Kompleksilukujen kenttä. Kompleksilukujen geometrinen esitys ja operaatiot niillä. Kompleksiluvun trigonometrinen muoto. Kompleksilukujen kenttä Kompleksiluvuilla ei ole käänteislukuja

Määritelmät . Antaa a, b ovat todellisia lukuja, i on joku hahmo. Kompleksiluku on muodon tietue a+bi.

Lisäys Ja kertolasku luvut kompleksilukujoukossa: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d) minä,

(a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(ilmoitus+bc)i. .

Lause 1 . Joukko kompleksilukuja KANSSA yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden kanssa muodostaa kentän. Lisäysominaisuudet

1) kommutatiivisuus b: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+di)+(a+bi).

2) Assosiatiivisuus :[(a+bi)+(c+di)]+(esim+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+bi)+[(c+di)+(esim+fi)].

3) olemassaolo neutraali elementti :(a+bi)+(0 +0i)=(a+bi). Määrä 0 +0 i kutsumme nollaksi ja merkitsemme 0 .

4) olemassaolo vastakkainen elementti : (a+bi)+(–a–bi)=0 +0i=0 .

5) Kertomisen kommutatiivisuus : (a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(eKr+ad)i=(c+di)(a+bi).

6) Kertomisen assosiatiivisuus :Jos z1=a+bi, z2=c+di, z3=e+fi, Tuo (z 1 z 2) z 3=z 1 (z 2 z 3).

7) Jakelu: Jos z1=a+bi, z2=c+di, z3=e+fi, Tuo z 1 (z 2+z3)=z 1 z 2+z 1 z 3.

8) Neutraali kertolaskuelementti :(a+bi)(1+0i)=(a 1–b 0)+(a 0+b 1)i=a+bi.

9) Numero 1 +0i=1 -yksikkö.

9) olemassaolo käänteinen elementti : "z¹ 0 $z –1 :zz –1 =1 .

Antaa z=a+bi. Oikeita lukuja a, nimeltään pätevä, A b - kuvitteellisia osia kompleksiluku z. Merkintöjä käytetään: a=Rez, b=imz.

Jos b=0 , Tuo z=a+ 0i=a on todellinen luku. Siksi sarja todellisia lukuja R on osa kompleksilukujen joukkoa C: R Í C.

Huomautus: minä 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Tämän numero-ominaisuuden käyttäminen i, sekä lauseessa 1 todistettujen operaatioiden ominaisuudet, voidaan suorittaa operaatioita kompleksiluvuilla tavanomaisten sääntöjen mukaisesti korvaamalla minä 2 päällä - 1 .

Kommentti. Kompleksilukujen suhteita £, ³ ("pienempi kuin", "suurempi kuin") ei ole määritelty.

2 trigonometrinen muoto levyjä .

Kutsutaan merkintää z = a+bi algebrallinen kompleksiluvun merkintä . Tarkastellaan tasoa, jossa on valittu Karteesinen järjestelmä koordinaatit. Esitetään numero z pisteen koordinaatit (a, b). Sitten todelliset luvut a=a+0i esitetään akselipisteillä HÄRKÄ- sitä kutsutaan pätevä akseli. Akseli OY nimeltään kuvitteellinen akseli, sen pisteet vastaavat muodon numeroita bi, joita joskus kutsutaan puhtaasti kuvitteellinen . Koko kone on ns monimutkainen taso .Numeroon soitetaan moduuli numeroita z: ,

napakulma j nimeltään Perustelu numeroita z: j=argz.

Argumentti määräytyy termiin asti 2 kp; arvo jolla - s< j £ p , kutsutaan tärkein merkitys Perustelu. Numerot r, j ovat pisteen napakoordinaatit z. Se on selvää a=r cosj, b=r sinj, ja saamme: z=a+b i=r (cosj+minä synj). trigonometrinen muoto kompleksiluvun merkintä.

Konjugoidut numerot . Kompleksilukua kutsutaan luvun konjugaatiksi.z = a + bi . Se on selvää. Ominaisuudet : .

Kommentti. Konjugoitujen lukujen summa ja tulo ovat reaalilukuja:

kompleksiluku z nimeltään ilmaisu, missä A Ja V- todellisia lukuja, i on kuvitteellinen yksikkö tai erityinen merkki.

Seuraavia sopimuksia noudatetaan:

1) lausekkeella a + bi voidaan suorittaa aritmeettisia operaatioita algebran kirjaimellisille lausekkeille hyväksyttyjen sääntöjen mukaisesti;

5) yhtälö a+bi=c+di, jossa a, b, c, d ovat reaalilukuja, tapahtuu silloin ja vain jos a=c ja b=d.

Numeroa 0+bi=bi kutsutaan kuvitteellinen tai puhtaasti kuvitteellinen.

Mikä tahansa reaaliluku a on kompleksiluvun erikoistapaus, koska se voidaan kirjoittaa muodossa a=a+ 0i. Erityisesti 0=0+0i, mutta sitten jos a+bi=0, niin a+bi=0+0i, joten a=b=0.

Siten kompleksiluku a+bi=0 jos ja vain jos a=0 ja b=0.

Kompleksilukujen muunnoslait perustuvat konventionaaleihin:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

Näemme, että kompleksilukujen summa, erotus, tulo ja osamäärä (jossa jakaja ei ole nolla) puolestaan on kompleksiluku.

Määrä A nimeltään kompleksiluvun reaaliosa z(merkitty) V on kompleksiluvun z imaginaariosa (merkitty merkillä ).

Kutsutaan kompleksilukua z, jonka reaaliosa on nolla. puhtaasti kuvitteellinen, ilman kuvitteellista - puhtaasti todellinen.

Kutsutaan kahta kompleksilukua. yhtä suuri, jos niillä on sama todellinen ja kuvitteellinen osa.

Kutsutaan kahta kompleksilukua. konjugoitu jos niissä on aineita. osat ovat samat ja kuvitteelliset eroavat merkeiltä. , sitten konjugaatti siihen.

Konjugaattilukujen summa on aineiden lukumäärä, ja ero on puhtaasti kuvitteellinen luku. Kompleksilukujoukolla on luonnollisesti määritelty lukujen kerto- ja yhteenlaskuoperaatiot. Nimittäin, jos ja ovat kaksi kompleksilukua, niin summa on: ; tehdä työtä: .

Määrittelemme nyt vähennys- ja jakooperaatiot.

Huomaa, että kahden kompleksiluvun tulo on aineiden lukumäärä.

(koska i=-1). Tätä numeroa kutsutaan moduulin neliö numeroita. Jos siis luku , niin sen moduuli on reaaliluku.

Toisin kuin todellisia lukuja kompleksilukujen osalta käsitettä "suurempi kuin" ja "pienempi kuin" ei oteta käyttöön.

Kompleksilukujen geometrinen esitys. Reaaliluvut esitetään numerorivin pisteillä:

Tässä on pointti A tarkoittaa numeroa -3, piste B on numero 2 ja O- nolla. Sitä vastoin kompleksiluvut esitetään koordinaattitason pisteillä. Tätä varten valitsemme suorakulmaiset (Carteesiset) koordinaatit samoilla asteikoilla molemmilla akseleilla. Sitten kompleksiluku a + bi esitetään pisteellä P abskissalla a ja ordinaatalla b(riisi.). Tätä koordinaattijärjestelmää kutsutaan monimutkainen taso.

moduuli kompleksilukua kutsutaan vektorin pituudeksi OP, joka kuvaa kompleksilukua koordinaatissa ( integroitu) lentokone. Kompleksiluvun moduuli a + bi merkitty | a + bi| tai kirje r ja on yhtä suuri kuin:

Konjugoiduilla kompleksiluvuilla on sama moduuli. __

Perustelu kompleksiluku on akselin välinen kulma HÄRKÄ ja vektori OP edustaa tätä kompleksilukua. Siksi rusketus = b / a .

Kompleksiluvun trigonometrinen muoto. Kompleksiluvun kirjoittamisen lisäksi algebralliseen muotoon käytetään myös toista, nimeltään trigonometrinen.

Esitetään kompleksilukua z=a+bi vektori ОА koordinaattein (a,b). Merkitään OA-vektorin pituus r:ksi: r=|OA| ja kulma, jonka se muodostaa Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa kulman φ kautta.

Funktioiden sinφ=b/r, cosφ=a/r määritelmiä käyttämällä kompleksiluku z=a+bi voidaan kirjoittaa muodossa z=r(cosφ+i*sinφ), missä , ja kulma φ määritetään ehdot

trigonometrinen muoto kompleksiluku z on sen esitys muodossa z=r(cosφ+i*sinφ), missä r ja φ ovat reaalilukuja ja r≥0.

Todellakin, numeroa r kutsutaan moduuli kompleksiluku ja sitä merkitään |z|, ja kulmaa φ merkitään kompleksiluvun z argumentilla. Kompleksiluvun z argumenttia φ merkitään Arg z:llä.

Operaatiot, joissa kompleksiluvut esitetään trigonometrisessa muodossa:

Se on kuuluisa Moivren kaava.

8 .Vektoriavaruus. Esimerkkejä ja yksinkertaisia ominaisuuksia vektoriavaruuksista. Lineaarinen riippuvuus ja vektorijärjestelmän riippumattomuus. Äärillisen vektorijärjestelmän perusta ja arvo

Vektoritila - matemaattinen käsite, joka yleistää käsitteen tavallisen kolmiulotteisen avaruuden kaikkien (vapaiden) vektorien kokonaisuudesta.

Kolmiulotteisessa avaruudessa oleville vektoreille annetaan säännöt vektorien yhteenlaskulle ja kertomiselle reaaliluvuilla. Sovelletaan kaikkiin vektoreihin x, y, z ja mitkä tahansa numerot α, β nämä säännöt tyydyttävät seuraavat ehdot:

1) X+klo=klo+X(lisäyksen kommutatiivisuus);

2)(X+klo)+z=x+(y+z) (lisäyksen assosiatiivisuus);

3 saatavilla nollavektori 0 (tai nollavektori), joka täyttää ehdon x+0 =x: mille tahansa vektorille x;

4) mille tahansa vektorille X on vastakkainen vektori klo sellasta X+klo =0 ,

5) 1 x=X,jossa 1 on kenttäyksikkö

6) α (βx)=(αβ )X(kertoimen assosiatiivisuus), jossa tulo αβ on skalaarien tulos

7) (α +β )X=αх+βx(jakauman ominaisuus suhteessa numeeriseen tekijään);

8) α (X+klo)=αх+αy(jakauma ominaisuus suhteessa vektoritekijään).

Vektoriavaruus (tai lineaarinen) on joukko R, koostuu minkä tahansa luonteisista elementeistä (kutsutaan vektoreiksi), joka määrittelee elementtien yhteenlaskemisen ja kertomisen reaaliluvuilla, jotka täyttävät ehdot 1-8.

Esimerkkejä tällaisista avaruuksista ovat reaalilukujen joukko, vektoreiden joukko tasossa ja avaruudessa, matriisit jne.

Lause "Vektoriavaruuksien yksinkertaisimmat ominaisuudet"

1. Vektoriavaruudessa on vain yksi nollavektori.

2. Vektoriavaruudessa millä tahansa vektorilla on ainutlaatuinen vastakohta.

4. .

Doc-in

Olkoon 0 vektoriavaruuden V nollavektori. Sitten . Olkoon toinen nollavektori. Sitten . Otetaan ensimmäisessä tapauksessa ja toisessa - . Sitten ja mistä seuraa, että p.t.d.

Ensin todistetaan, että nollaskalaarin ja minkä tahansa vektorin tulo on yhtä suuri kuin nollavektori.

Antaa . Sitten vektoriavaruuden aksioomia soveltamalla saamme:

Lisäyksen suhteen vektoriavaruus on Abelin ryhmä, ja mitätöintilaki pätee missä tahansa ryhmässä. Vähennyslakia soveltaen se seuraa viimeisestä yhtälöstä 0 * x \u003d 0

Todistamme nyt väitteen 4). Antaa olla mielivaltainen vektori. Sitten

Tämä tarkoittaa välittömästi, että vektori (-1)x on vektorin x vastakohta.

Olkoon nyt x=0. Sitten vektoriavaruuden aksioomia soveltamalla saamme:

Oletetaan, että. Koska , jossa K on kenttä, on olemassa . Kerrotaan vasemmalla oleva yhtälö: , mikä tarkoittaa joko 1*x=0 tai x=0

Vektorijärjestelmän lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus. Joukkoa vektoreita kutsutaan vektorijärjestelmäksi.

Vektorijärjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippuvaiseksi, jos on lukuja , jotka eivät kaikki ole yhtä suuria nollia yhtä aikaa, joten (1)

K vektorin järjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi, jos yhtälö (1) on mahdollinen vain :lle, ts. kun yhtälön (1) vasemmalla puolella oleva lineaarinen yhdistelmä on triviaali.

Huomautuksia:

1. Yksi vektori muodostaa myös järjestelmän: lineaarisesti riippuvaiselle ja lineaarisesti riippumattomalle.

2. Mitä tahansa vektorijärjestelmän osaa kutsutaan osajärjestelmäksi.

Lineaarisesti riippuvien ja lineaarisesti riippumattomien vektoreiden ominaisuudet:

1. Jos vektorijärjestelmä sisältää nollavektorin, niin se on lineaarisesti riippuvainen.

2. Jos vektorijärjestelmässä on kaksi samanarvoista vektoria, niin se on lineaarisesti riippuvainen.

3. Jos vektorijärjestelmässä on kaksi verrannollista vektoria, niin se on lineaarisesti riippuvainen.

4. K>1 vektorin järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen silloin ja vain jos ainakin yksi vektoreista on muiden lineaarinen yhdistelmä.

5. Kaikki lineaarisesti riippumattomaan järjestelmään sisältyvät vektorit muodostavat lineaarisesti riippumattoman alijärjestelmän.

6. Lineaarisesti riippuvan alijärjestelmän sisältävä vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen.

7. Jos vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton ja siihen lisättyään vektori osoittautuu lineaarisesti riippuvaiseksi, niin vektoria voidaan laajentaa vektoreissa , ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla, ts. laajenemiskertoimet löytyvät yksiselitteisesti.

Todistakaamme esimerkiksi viimeinen ominaisuus. Koska vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, on lukuja, jotka eivät kaikki ole yhtä suuria kuin 0, mikä on. tässä tasa-arvossa. Todellakin, jos , niin sitten. Tämä tarkoittaa, että ei-triviaali vektorien lineaarinen yhdistelmä on yhtä suuri kuin nollavektori, mikä on ristiriidassa järjestelmän lineaarisen riippumattomuuden kanssa. Siksi ja sitten, ts. vektori on lineaarinen yhdistelmä vektoreita. On vielä osoitettava tällaisen esityksen ainutlaatuisuus. Oletetaan päinvastoin. Olkoon kaksi laajennusta ja , eivätkä kaikki laajennuskertoimet ole vastaavasti yhtä suuria keskenään (esimerkiksi ).

Sitten tasa-arvosta saamme .

Siksi vektorien lineaarinen yhdistelmä on yhtä suuri kuin nollavektori. Koska kaikki sen kertoimet eivät ole yhtä suuria kuin nolla (ainakin ), tämä yhdistelmä on ei-triviaali, mikä on ristiriidassa vektorien lineaarisen riippumattomuuden ehdon kanssa. Tuloksena oleva ristiriita vahvistaa hajoamisen ainutlaatuisuuden.

Vektorijärjestelmän järjestys ja perusta. Vektorijärjestelmän järjestys on järjestelmän lineaarisesti riippumattomien vektorien enimmäismäärä.

Vektorijärjestelmän perusta on annetun vektorijärjestelmän suurin lineaarisesti riippumaton osajärjestelmä.

Lause. Mikä tahansa järjestelmävektori voidaan esittää järjestelmän kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä. (Mikä tahansa järjestelmän vektori voidaan hajottaa kantavektoreiksi.) Laajentumiskertoimet määritetään yksiselitteisesti tietylle vektorille ja tietylle kantalle.

Doc-in:

Anna järjestelmälle perustaa.

1 tapaus. Vektori - pohjalta. Siksi se on yhtä suuri kuin yksi kantavektoreista, sanotaan . Sitten =.

2. tapaus. Vektori ei ole kannasta. Sitten r>k.

Tarkastellaan vektorijärjestelmää. Tämä järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, koska se on perusta, ts. suurin lineaarisesti riippumaton osajärjestelmä. Siksi on olemassa lukuja, joissa on 1 , 2 , …, k , joiden kaikki eivät ole nollia, joten

On selvää, että (jos c=0, niin järjestelmän kanta on lineaarisesti riippuvainen).

Osoittakaamme, että vektorin laajeneminen kantaan on ainutlaatuinen. Oletetaan päinvastoin: vektorilla on kaksi kantan laajennusta.

Vähentämällä nämä yhtäläisyydet, saamme

Kun otetaan huomioon kantavektoreiden lineaarinen riippumattomuus, saadaan

Siksi vektorin laajennus kantaan nähden on ainutlaatuinen.

Vektorien lukumäärä missä tahansa järjestelmän kannassa on sama ja yhtä suuri kuin vektorijärjestelmän arvo.

Luentoja algebrasta ja geometriasta. Lukukausi 1.

Luento 2. Kompleksilukujen kenttä.

Luku 2. Kompleksilukujen kenttä.

kohta 1. Kompleksilukukentän rakentaminen.

Antaa olla todellisten lukujen kentän karteesinen neliö, ts.
on joukko järjestettyjä reaalilukupareja. Määrittelemme tälle joukolle kaksi sisäistä binäärialgebrallista operaatiota, yhteenlasku ja kertolasku, seuraavien sääntöjen mukaisesti:
määritelmän mukaan

(1)

(2)
.

Ilmeisesti kahden parin summa ja tulo
taas on pari monta
, koska Reaalilukujen summa, tulo ja erotus ovat reaalilukuja. Täten,
on algebrallinen rakenne, jossa on kaksi sisäistä binäärialgebrallista operaatiota.

Lause.
- kenttä.

Todiste. Tarkistamme peräkkäin kentän kaikkien yhdeksän aksiooman täyttymisen.

1. Assosiatiivisuuden laki koskien lisäystä:

Antaa . Sitten parinlisäyksen määritelmän mukaan
Ja .

Toisella puolella,
Ja .

Koska R on kenttä, reaalilukujen yhteenlasku noudattaa assosiatiivisuuden lakia ja siksi ja . Tästä seuraa parien yhtäläisyys , ja tästä puolestaan seuraa yhtäläisyys , p.t.d.

2. Nolla-elementin olemassaolo:

Merkitse
, missä 0 - tyhjä elementti reaalilukukentät, ts. numero nolla. Antaa
on mielivaltainen pari
. Sitten määritelmän mukaan parien ja . Siten,
ja pari
on nolla-alkio suhteessa summausoperaatioon, jonka olemassaolo oli todistettava.

3. Vastakkaisen elementin olemassaolo:

Antaa
on mielivaltainen pari
.

Osoitetaan, että vastakkainen elementti on pari

. Todellakin, määritelmän mukaan

parien lisäys meillä on:

JA . Tämä tarkoittaa tasa-arvoa, p.t.d.

4. Kommutatiivisuuden laki summauksen suhteen:

Antaa
- kaksi satunnaista paria. Sitten parinlisäyksen määritelmän mukaan meillä on:

JA . Koska R on kenttä, se täyttää summauksen ja kommutatiivisuuden lain
,
, josta seuraa parien yhtäläisyys: ja
, jne.

5. Kertomista koskeva assosiatiivisuuden laki:

Antaa . Sitten parien kertomisen määritelmän mukaan

,
Ja

Tuloksena on yhtä suuret parit. Siten,
, jne.

6. Yhden elementin olemassaolo:

Laitamme määritelmän mukaan
ja näytä se on kertomisen identiteettielementti. Antaa
. Sitten parien kertolaskumääritelmän mukaan , . Täten,
, jne.

7. Käänteisen elementin olemassaolo:

Antaa
Ja
, eli luvut a ja b eivät ole yhtä aikaa nolla, mikä tarkoittaa
. Laitamme määritelmän mukaan
ja osoittavat, että tämä elementti täyttää tasa-arvon
. Itse asiassa parien kertomisen määritelmän mukaan

Olemme siis varmistaneet tasa-arvon
, jne.

8. Kommutatiivisuuden laki kertomisen suhteen:

Antaa
- kaksi satunnaista paria. Sitten parien kertomisen määritelmän mukaan

Koska R on kenttä, reaalilukujen kerto- ja yhteenlasku noudattaa kommutatiivisuuden lakia ja

,
, josta seuraa tasa-arvo
, jne.

9. Kertolaiki summauksen suhteen:

Ja
.

Antaa . Sitten parien yhteen- ja kertolaskumääritelmällä

Tässä olemme käyttäneet kertolaskujen jakautumislakia summauksen suhteen, jota reaaliluvut noudattavat. Samoin

,
Ja

Tästä näemme sen
.

Todistamaan toisen distributiivisen lain, käytämme kertolaskussa juuri todistettua distributiivista lakia ja kommutatiivisuuslakia, jotka olemme myös jo todistaneet:

Lause on todistettu.

Määritelmä. Ala
kutsutaan kompleksilukujen kentällä, ja sen elementtejä, järjestettyjä reaalilukupareja, kutsutaan kompleksiluvuiksi.

kohta 2. Algebrallinen muoto kompleksilukujen kirjoittamiseen.

Merkitse
on kentän osajoukko
, joka koostuu niistä reaalilukupareista, joiden toinen alkio on nolla. Antaa
. Sitten parien yhteen- ja kertolaskusääntöjen mukaan
,
. Tämän avulla voimme tunnistaa tällaiset parit niiden ensimmäisestä elementistä ja itse joukosta monien R:n kanssa.

Laitamme määritelmän mukaan
. Siksi erityisesti
,
.

Parille
otamme käyttöön erityisen merkinnän. Laitamme määritelmän mukaan
. Sitten

(3)
.

Tätä kompleksiluvun kirjoitustapaa kutsutaan algebraksi.

Itse kompleksilukujen kenttä on merkitty kirjaimella C.

Huomaa vielä, että. Tämä tarkoittaa, että kompleksiluku
on toisen asteen yhtälön juuri
. On helppo nähdä, että tämän yhtälön toinen juuri on kompleksiluku
. Todella, .

Siten voimme antaa seuraavan määritelmän kompleksiluvuille.

Määritelmä. Kompleksiluku on järjestetty reaalilukupari
, joka yleensä kirjoitetaan nimellä
, jossa elementti i on toisen asteen yhtälön juuri
, eli
.

Määritelmä. Antaa
on kompleksiluvun kirjoittamisen algebrallinen muoto. Elementtiä i kutsutaan imaginaariyksiköksi. Reaalilukua a kutsutaan kompleksiluvun z todelliseksi osaksi ja sitä merkitään
. Reaalilukua b kutsutaan kompleksiluvun z imaginaariosaksi ja sitä merkitään
.

Määritelmä. Kompleksilukua, jonka reaaliosa on yhtä suuri kuin nolla, kutsutaan puhtaasti imaginaariseksi.

Määritelmästä algebrallinen muoto kompleksiluvun merkintä (katso yhtälö (3)) seuraa välittömästi kahden kompleksiluvun yhtäläisyyden ehtoa:

Kaksi kompleksilukua ovat samanarvoisia silloin ja vain, jos niiden reaali- ja imaginaariosa ovat yhtä suuret, ts.

Tässä & on konjunktiomerkki, looginen konnektiivi "ja".

Kommentti. Määritelmistä seuraa, että
, eli Jokainen reaaliluku on kompleksiluku, jonka imaginaariosa on nolla. Mitä tahansa kompleksilukua voidaan pitää tuloksena, kun lasketaan yhteen kaksi kompleksilukua, joista toinen on reaaliluku (sen imaginaarinen osa on nolla), toinen on puhtaasti imaginaari:

kohta 3. Operaatiot kompleksiluvuilla algebrallisissa merkinnöissä.

Parin yhteenlaskennan (1) määritelmästä ja kompleksiluvun algebrallisesta merkinnästä (3) seuraavat säännöt kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskulle algebrallisessa merkinnässä. Antaa
,
ovat mielivaltaisia kompleksilukuja. Sitten

Huomaa, että sama tulos voidaan saada käyttämällä todistettua lausetta. Kompleksilukujen joukko muodostaa kentän. Kentällä assosiatiivisuuden, kommutatiivisuuden ja distributiivisuuden lait ovat voimassa. Käsittelemme jokaista kompleksilukua osan 2 lopussa olevan huomautuksen mukaisesti. on kahden kompleksiluvun yhteenlaskettu tulos. Sitten

Tässä olemme käyttäneet tasa-arvoa
.

Näin ollen yhteenlasku- (4) ja erityisesti kertolasku (5) sääntöjä ei tarvitse muistaa. Lisäksi se on selvää
– nollaelementti, – vastakkainen.

Määrittelemme vähentämisen toiminnon yhteenlaskuksi päinvastoin:

Esimerkkejä. 1),
, ,

2). Ratkaise yhtälö kompleksilukujen kentässä:

Ratkaisu. Erottajan löytäminen
. Toisen yhtälön juurten kaavan mukaan löydämme juuret:

. Vastaus:
.

Kommentti. Tässä olemme käyttäneet tasa-arvoa
, missä
.

Määrittelemme jakamisen missä tahansa kentässä K kertomisen käänteisalkiolla:
määritelmän mukaan
Ja

.

Se on helppo tarkistaa
,

Todella,

Kaavaa (6) ei kuitenkaan tarvitse muistaa. On parempi käyttää yhtä yksinkertaista sääntöä. Mutta tätä varten esittelemme ensin yhden käsitteen.

Määritelmä. Monimutkainen luku
kutsutaan kompleksiluvun kompleksikonjugaatiksi
.

Määritelmästä seuraa välittömästi, että numero
on kompleksikonjugaatti
, eli luvut, jotka eroavat toisistaan vain imaginaariosan merkillä, ovat toistensa kompleksisia konjugaatteja.

Esimerkki:
Ja
, minä ja - minä,
ja niin edelleen.

Kompleksilukujen jakolasääntö.

Jotta voit jakaa yhden kompleksiluvun toisella, sinun on kerrottava murtoluvun osoittaja ja nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla.

Esimerkkejä. ,

,
,
.

Kommentti. Jos
, niin sen kompleksinen konjugaatti on merkitty
.

kohta 4. Kompleksikonjugaattilukujen ominaisuudet.

1.

.

2.

.

3.
.

4.

.

6.

.

7.

.

9. Kaikille polynomeille
todellisilla kertoimilla kompleksimuuttujassa z

Todiste. 1) Anna
on mielivaltainen kompleksiluku. Sitten kompleksikonjugaattiluvun määritelmän mukaan
jne.

2) Anna. Sitten ja
. Toisella puolella,
Ja
, mistä se seuraa
.

3) Osoitetaan matemaattisen induktion menetelmällä, että yhtäläisyys on tosi monelle termille n.

a) Induktion kanta.

klo
,
tasa-arvo
juuri todistettu.

b) Induktiohypoteesi.

Oletetaan, että väite on tosi, jos termien määrä on yhtä suuri
:.

c) Induktiosiirtymä.

Koska väite on totta kahdelle termille, niin

Mistä seuraa todistettava tasa-arvo.

4) Anna. Sitten ja
. Toisaalta , mistä se seuraa
.

5) Se todistetaan samalla tavalla kuin kohdassa 3) matemaattisen induktion menetelmällä.

6) Anna
ja k on mielivaltainen luonnollinen luku. Siis määritelmän mukaan luonnollinen tutkinto numeroita
, jne.

7) Olkoon a reaaliluku. Sitten
ja kompleksikonjugaattiluvun määritelmän mukaan
, jne.

8) Anna
. Kohdissa 4) ja 7) jo todistetuilla ominaisuuksilla
, jne.

9) Olkoon z kompleksimuuttuja ja
on polynomi kompleksisessa muuttujassa z todellisilla kertoimilla:, missä

ovat todellisia lukuja. Sitten käyttämällä jo todistettuja ominaisuuksia, saamme:

Lause on todistettu.

Esimerkki. Laskea
.

Ratkaisu. Merkitse
. Sitten
,
,
. Siksi,.

kohta 5. Kompleksiluvun luonnollisen juuren käsite.

Määritelmä. Antaa
on mielivaltainen luonnollinen luku. juuri n:s aste kompleksiluvusta z kutsutaan kompleksiluvuksi , sellaista
.

Myöhemmin todistetaan seuraava lause, jonka hyväksymme toistaiseksi ilman todistetta.

Lause. (Kompleksiluvun n:nnen juuren olemassaolosta ja lukumäärästä.)

Kompleksiluvulla on tasan n:nnet juuret.

Kompleksiluvun n:nnen asteen juurien merkitsemiseen käytetään radikaalin tavallista merkkiä. Mutta on yksi merkittävä ero. Jos a on positiivinen reaaliluku, niin
määritelmän mukaan tarkoittaa positiivista n:ttä juuria, sitä kutsutaan aritmeettiseksi juuriksi.

jos n- pariton numero, silloin millä tahansa reaaliluvulla a on ainutlaatuinen n:s juuri. klo
tämä yksittäinen juuri
on määritelmän mukaan aritmeettinen, kanssa
tämä yksittäinen juuri
ei ole aritmeettinen, mutta voidaan ilmaista vastakkaisen luvun aritmeettisen juuren avulla:
, Missä
on aritmeettinen, koska
.

Kenttäaksioomit. Kompleksilukujen kenttä. Kompleksiluvun trigonometrinen merkintä.

Kompleksiluku on muotoa oleva luku, jossa ja ovat reaalilukuja, ns kuvitteellinen yksikkö. Numeroon soitetaan todellinen osa ( ) kompleksiluku, numeroa kutsutaan kuvitteellinen osa ( ) kompleksiluku.

Joukko sama kompleksiluvut merkitään yleensä "lihavoitulla" tai paksunnetulla kirjaimella

Kompleksiluvut näytetään monimutkainen taso:

Kompleksinen taso koostuu kahdesta akselista:
- todellinen akseli (x)
– kuvitteellinen akseli (y)

Reaalilukujen joukko on osajoukko kompleksilukujen joukosta

Operaatiot kompleksiluvuilla

Voit lisätä kaksi kompleksilukua lisäämällä niiden reaali- ja imaginaariosat.

Kompleksilukujen vähentäminen

Toiminto on samanlainen kuin lisääminen, ainoa ominaisuus on, että aliosa on otettava suluissa ja sitten normaalisti avattava nämä sulut etumerkin muutoksella

Kompleksilukujen kertolasku

avoimet hakasulkeet polynomien kertolaskusäännön mukaisesti

Kompleksilukujen jako

Numeroiden jako suoritetaan kertomalla nimittäjä ja osoittaja nimittäjän konjugaattilausekkeella.

Kompleksiluvuilla on monia reaalilukujen ominaisuuksia, joista huomaamme seuraavat, ns pää.

1) (a + b) + c = a + (b + c) (lisäassosiatiivisuus);

2) a + b = b + a (lisäyksen kommutatiivisuus);

3) a + 0 = 0 + a = a (neutraalin elementin olemassaolo lisäämällä);

4) a + (−a) = (−a) + a = 0 (vastakkaisen elementin olemassaolo);

5) a(b + c) = ab + ac ();

6) (a + b)c = ac + eKr (Kertolaskujakauma suhteessa yhteenlaskuun);

7) (ab)c = a(eKr) (kertolaskuassosiatiivisuus);

8) ab = ba (kertolaskujen kommutatiivisuus);

9) a∙1 = 1∙a = a (neutraalin elementin olemassaolo kertomalla);

10) mille tahansa a≠ 0 b, Mitä ab = ba = 1 (käänteisen elementin olemassaolo);

11) 0 ≠ 1 (ei nimeä).

Joukko mielivaltaisia objekteja, joille on määritelty yhteen- ja kertolaskuoperaatiot ja joilla on ilmoitetut 11 ominaisuutta (jotka tässä tapauksessa ovat aksioomia), on ns. ala.

Kompleksilukujen kenttä voidaan ymmärtää jatkeena reaalilukujen kenttään, jossa polynomilla on juuri

Mikä tahansa kompleksiluku (paitsi nolla) voidaan kirjoittaa trigonometriseen muotoon:
, missä se on kompleksiluvun moduuli, A- kompleksiluvun argumentti.

Kompleksiluvun moduuli on etäisyys koordinaattien origosta kompleksitason vastaavaan pisteeseen. Yksinkertaisesti sanottuna, moduuli on pituus sädevektori, joka on merkitty piirustuksessa punaisella.

Kompleksiluvun moduulia merkitään yleensä: tai

Pythagoraan lauseen avulla on helppo johtaa kaava kompleksiluvun moduulin löytämiseksi: . Tämä kaava on voimassa mille tahansa tarkoittaa "a" ja "olla".

Kompleksiluvun argumentti nimeltään kulma välillä positiivinen akseli reaaliakseli ja sädevektori piirretty origosta vastaavaan pisteeseen. Argumenttia ei ole määritetty yksikölle: .

Kompleksiluvun argumentti merkitään yleensä seuraavasti: tai

Olkoon ja φ = arg z. Sitten argumentin määritelmän mukaan meillä on:

Matriisien rengas reaalilukukentän päällä. Matriisien perusoperaatiot. Toiminnan ominaisuudet.

Matriisi Kokoa m´n, jossa m on rivien lukumäärä, n on sarakkeiden lukumäärä, kutsutaan numerotaulukoksi, joka on järjestetty tiettyyn järjestykseen. Näitä lukuja kutsutaan matriisielementeiksi. Jokaisen elementin paikka määräytyy yksilöllisesti sen rivin ja sarakkeen numeron mukaan, jonka leikkauskohdassa se sijaitsee. Matriisielementtejä merkitään a ij , jossa i on rivin numero ja j on sarakkeen numero.

Määritelmä. Jos matriisin sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä (m=n), niin matriisi on ns. neliö.

Määritelmä. Näytä Matrix:

= E,

nimeltään identiteettimatriisi.

Määritelmä. Jos a mn = a nm, niin matriisia kutsutaan symmetrinen.

Esimerkki. - symmetrinen matriisi

Määritelmä. Neliönäkymämatriisi nimeltään diagonaalinen matriisi.

Matriisin kertominen numerolla

Matriisin kertominen numerolla(merkintä: ) koostuu matriisin rakentamisesta, jonka elementit saadaan kertomalla jokainen matriisin elementti tällä luvulla, eli jokainen matriisin elementti on yhtä suuri kuin

Matriisien luvulla kertomisen ominaisuudet:

· yksitoista A = A;

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

· 4. λ(A+B) = λA + λB

Matriisin lisäys

Matriisin lisäys on operaatio matriisin löytämiseksi, jonka kaikki elementit ovat yhtä suuria kuin matriisien kaikkien vastaavien alkioiden parillinen summa ja eli jokainen matriisin elementti on yhtä suuri kuin

Matriisin lisäysominaisuudet:

1. kommutatiivisuus: A+B = B+A;

2.assosiatiivisuus: (A+B)+C =A+(B+C);

3.lisäys nollamatriisilla: A + Θ = A;

4.vastakkaisen matriisin olemassaolo: A+(-A)=Θ;

Kaikki lineaarioperaatioiden ominaisuudet toistavat lineaarisen avaruuden aksioomia, ja siksi seuraava lause pätee:

Kaikkien samankokoisten matriisien joukko m x n elementeillä kentältä P(kaikkien reaali- tai kompleksilukujen kentät) muotoja lineaarinen avaruus kentän P yli (jokainen tällainen matriisi on tämän tilan vektori). Kuitenkin ensisijaisesti terminologisen sekaannuksen välttämiseksi matriiseja vältetään tavallisissa yhteyksissä ilman tarvetta (mikä ei ole yleisimmissä standardisovelluksissa) ja selkeää määrittelyä termin käytöstä vektorien kutsumiseen.

Matriisin kertolasku

Matriisin kertolasku(merkintä: , harvoin kertomerkillä) - on operaatio matriisin laskemiseksi, jonka jokainen alkio on yhtä suuri kuin ensimmäisen tekijän vastaavan rivin ja toisen sarakkeen alkioiden tulojen summa.

Matriisin sarakkeiden lukumäärän tulee vastata matriisin rivien määrää, toisin sanoen matriisin on oltava sovittu matriisin kanssa. Jos matriisin dimensio on , - , niin niiden tulon dimensio on .

Matriisin kertolaskuominaisuudet:

1.assosiatiivisuus (AB)C = A(BC);

2. ei-kommutatiivisuus (yleensä): AB BA;

3. Tulo on kommutatiivinen, kun kyseessä on kertolasku identiteettimatriisilla: AI = IA;

4. jakelukyky: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.assosiatiivisuus ja kommutatiivisuus suhteessa kertomiseen luvulla: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Matriisitransponointi.

Käänteismatriisin löytäminen.

Neliömatriisi on käännettävä silloin ja vain, jos se on ei-singulaarinen, eli sen determinantti ei ole nolla. Ei-neliömatriiseille ja degeneroituneille matriiseille ei ole käänteismatriiseja.

Matriisiarvolause

Matriisin A arvosana on nollasta poikkeavan mollin suurin kertaluku

Matriisin arvon määräävää sivua kutsutaan Basis Minoriksi. BM:n muodostavia rivejä ja sarakkeita kutsutaan perusriveiksi ja -sarakkeiksi.

Merkintä: r(A), R(A), alue A.

Kommentti. On selvää, että matriisin asteen arvo ei voi ylittää pienintä sen dimensioista.

Minkä tahansa matriisin sivu-, rivi- ja sarakearvot ovat samat.

Todiste. Olkoon matriisin sivuarvo A on yhtä suuri r . Osoitetaan, että rivin sijoitus on myös yhtä suuri r . Tätä varten voimme olettaa, että käännettävä molli M Tilaus r on ensimmäisessä r matriisirivejä A . Tästä seuraa, että ensimmäinen r matriisirivejä A ovat lineaarisesti riippumattomia ja pienempien rivien joukko M lineaarisesti riippumaton. Antaa a -- pituus merkkijono r , koostuu elementeistä i -matriisin rivi, jotka sijaitsevat samoissa sarakkeissa kuin molli M . Pienistä kielistä lähtien M muodostavat perustan k r , Tuo a -- Pienten merkkijonojen lineaarinen yhdistelmä M . Vähennä siitä i - linja A sama lineaarinen yhdistelmä ensimmäinen r matriisirivejä A . Jos saat numerolla varustetussa sarakkeessa merkkijonon, joka sisältää ei-nolla-elementin t , harkitse sitten alaikäistä M 1 Tilaus r+1 matriiseja A , lisäämällä molliriveihin matriisin :nnen rivin A ja matriisin sivusarakkeisiin - A (he sanovat, että alaikäinen M 1 otettu vastaan reunus pieni M käyttämällä i - rivi ja t -matriisin sarake A ). Meidän valintamme mukaan t , tämä molli on käännettävä (riittää vähentää tämän mollin viimeisestä rivistä ensimmäisen rivin lineaarinen yhdistelmä r rivejä ja laajenna sen determinantti viimeiselle riville varmistaaksesi, että tämä determinantti, aina nollasta poikkeavaan skalaaritekijään, vastaa molliarvon determinanttia. M . A-priory r tällainen tilanne on mahdoton ja siksi muutoksen jälkeen i - linja A tulee nollaksi. Toisin sanoen alkuperäinen i -th row on lineaarinen yhdistelmä ensimmäisestä r matriisirivejä A . Olemme osoittaneet, että ensimmäinen r rivit muodostavat matriisin rivijoukon pohjan A , eli pienten kirjainten järjestys A on yhtä suuri r . Todistaaksesi, että sarakkeen sijoitus on r , riittää "rivien" ja "sarakkeiden" vaihtaminen yllä olevassa perustelussa. Lause on todistettu.

Tämä lause osoittaa, että ei ole järkevää tehdä eroa matriisin kolmen asteen välillä, ja seuraavassa matriisin arvolla tarkoitamme riviarvoa muistaen, että se on yhtä suuri kuin sarake- ja sivurivi (merkintä r(A) -- matriisiarvo A ). Huomioimme myös, että rank-lauseen todistuksesta seuraa, että matriisin ranki osuu yhteen matriisin minkä tahansa käännettävän mollin dimensioiden kanssa siten, että kaikki sitä ympäröivät minorit (jos niitä on ollenkaan) ovat degeneroituneita.

Kronecker-Capellin lause

Lineaarinen järjestelmä algebralliset yhtälöt on johdonmukainen silloin ja vain, jos sen päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin sen laajennetun matriisin järjestys, ja järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, jos arvo on yhtä suuri kuin luku tuntemattomia, ja ääretön määrä ratkaisuja, jos arvo pienempi kuin numero tuntematon.

Välttämättömyys

Anna järjestelmän olla johdonmukainen. Sitten on sellaisia lukuja, että . Siksi sarake on matriisin sarakkeiden lineaarinen yhdistelmä. Siitä, että matriisin järjestys ei muutu, jos sen rivien (sarakkeiden) järjestelmä poistetaan tai sille osoitetaan rivi (sarake), joka on muiden rivien (sarakkeiden) lineaarinen yhdistelmä, seuraa, että .

Riittävyys

Antaa . Otetaan matriisiin perusmolli. Siitä lähtien se on myös matriisin perusmolli. Tällöin matriisin viimeinen sarake on base minor -lauseen mukaan perussarakkeiden eli matriisin sarakkeiden lineaarinen yhdistelmä. Siksi järjestelmän vapaiden jäsenten sarake on lineaarinen yhdistelmä matriisin sarakkeista.

Seuraukset

· Järjestelmän päämuuttujien lukumäärä on yhtä suuri kuin järjestelmän arvo.

· Yhteinen järjestelmä määritellään (sen ratkaisu on ainutlaatuinen), jos järjestelmän arvo on yhtä suuri kuin sen kaikkien muuttujien lukumäärä.

Perus-mollilause.

Lause. Mielivaltaisessa matriisissa A jokainen sarake (rivi) on lineaarinen yhdistelmä sarakkeita (rivejä), joissa kanta-molli sijaitsee.

Näin ollen mielivaltaisen matriisin A järjestys on yhtä suuri kuin matriisin lineaarisesti riippumattomien rivien (sarakkeiden) enimmäismäärä.

Jos A on neliömatriisi ja detA = 0, niin ainakin yksi sarakkeista on muiden sarakkeiden lineaarinen yhdistelmä. Sama pätee jousiin. Tämä väite seuraa lineaarisen riippuvuuden ominaisuudesta, jossa determinantti on nolla.

7. SLU ratkaisu. Cramerin menetelmä, matriisimenetelmä, Gaussin menetelmä.

Cramerin menetelmä.

Tämä menetelmä on myös sovellettavissa vain lineaarisissa yhtälöjärjestelmissä, joissa muuttujien lukumäärä on sama kuin yhtälöiden lukumäärä. Lisäksi on tarpeen asettaa rajoituksia järjestelmän kertoimille. On välttämätöntä, että kaikki yhtälöt ovat lineaarisesti riippumattomia, ts. mikään yhtälö ei olisi muiden lineaarinen yhdistelmä.

Tätä varten on välttämätöntä, että järjestelmän matriisin determinantti ei ole yhtä suuri kuin 0.

Itse asiassa, jos mikä tahansa järjestelmän yhtälö on muiden lineaarinen yhdistelmä, niin jos minkä tahansa rivin elementit lisätään toisen elementteihin kerrottuna jollakin luvulla käyttämällä lineaarisia muunnoksia, voit saada nollarivin. Determinantti on tässä tapauksessa nolla.

Lause. (Cramerin sääntö):

Lause. N yhtälöjärjestelmä, jossa on n tuntematonta

jos järjestelmän matriisin determinantti ei ole nolla, sillä on ainutlaatuinen ratkaisu ja tämä ratkaisu löydetään kaavoilla:

x i = D i /D, missä

D = det A, ja D i on matriisin determinantti, joka saadaan järjestelmämatriisista korvaamalla sarake i vapaiden jäsenten sarakkeella b i .

D i =

Matriisimenetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen.

Matriisimenetelmää voidaan soveltaa yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä.

Menetelmä on kätevä matalan järjestyksen järjestelmien ratkaisemiseen.

Menetelmä perustuu matriisin kertolaskujen ominaisuuksien soveltamiseen.

Olkoon yhtälöjärjestelmä:

Muodosta matriisit: A = ; B = ; X = .

Yhtälöjärjestelmä voidaan kirjoittaa: A×X = B.

Tehdään seuraava muunnos: A -1 ×A×X = A -1 ×B, koska A -1 × A = E, sitten E × X = A -1 × B

X \u003d A -1 × B

Tämän menetelmän soveltamiseksi on löydettävä käänteinen matriisi, mikä saattaa johtua laskennallisista vaikeuksista korkeatasoisten järjestelmien ratkaisemisessa.

Määritelmä. M yhtälöjärjestelmä, jossa on n tuntematonta yleisnäkymä tallennetaan seuraavalla tavalla:

, (1)

missä a ij ovat kertoimia ja b i ovat vakioita. Järjestelmän ratkaisut ovat n numeroa, jotka järjestelmään substituoituna muuttavat jokaisen sen yhtälön identiteetiksi.

Määritelmä. Jos järjestelmässä on ainakin yksi ratkaisu, sitä kutsutaan liitos. Jos järjestelmällä ei ole ratkaisua, sitä kutsutaan yhteensopimaton.

Määritelmä. Järjestelmää kutsutaan varma jos sillä on vain yksi ratkaisu ja epävarma jos useampi kuin yksi.

Määritelmä. Lineaariyhtälöjärjestelmälle, jonka muoto on (1), matriisi

A = kutsutaan järjestelmän matriisiksi ja matriisiksi

A*=
kutsutaan järjestelmän lisätyksi matriisiksi

Määritelmä. Jos b 1 , b 2 , …,b m = 0, niin järjestelmä kutsutaan homogeeninen. Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen.

Systeemien alkeismuunnokset.

Alkeismuunnokset ovat:

1) Yhden yhtälön molempiin osiin lisätty toisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna samalla luvulla, joka ei ole nolla.

2) Yhtälöiden permutaatio paikoissa.

3) Poistetaan yhtälöjärjestelmästä yhtälöt, jotka ovat identiteettejä kaikille x:ille.

Gaussin menetelmä - klassinen menetelmä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (SLAE) ratkaisu. Tämä on menetelmä muuttujien peräkkäiseen eliminointiin käytettäessä alkeellisia muunnoksia yhtälöjärjestelmä pelkistetään ekvivalentiksi kolmiojärjestelmäksi, josta peräkkäin, viimeisistä (lukumääräisistä) muuttujista alkaen, löydetään kaikki muut muuttujat

Anna alkuperäisen järjestelmän näyttää tältä

Matriisia kutsutaan järjestelmän päämatriisiksi - vapaiden jäsenten sarakkeeksi.

Sitten rivien yli tapahtuvien alkeismuunnosten ominaisuuden mukaan tämän järjestelmän päämatriisi voidaan pelkistää porrastettuun muotoon (samoja muunnoksia on sovellettava vapaiden jäsenten sarakkeeseen):

Sitten muuttujia kutsutaan päämuuttujat. Kaikki muut kutsutaan vapaa.

Jos ainakin yksi luku , jossa , niin tarkasteltava järjestelmä on epäjohdonmukainen, ts. hänellä ei ole ratkaisua.

Anna mille tahansa.

Siirrämme vapaat muuttujat yhtäläisyysmerkkien yli ja jaamme jokaisen järjestelmän yhtälön sen kertoimella vasemmanpuoleisessa ( , missä on rivin numero):

Jos ilmainen järjestelmän muuttujat(2) Anna kaikki mahdolliset arvot ja ratkaise uusi järjestelmä tärkeimpien tuntemattomien suhteen alhaalta ylöspäin (eli alemmasta yhtälöstä ylempään), niin saamme kaikki tämän SLAE:n ratkaisut. Koska tämä järjestelmä on saatu alkuperäisen järjestelmän (1) alkeismuunnoksilla, niin alkeismuunnosten ekvivalenssilauseella järjestelmät (1) ja (2) ovat ekvivalentteja, eli niiden ratkaisujen joukot ovat samat.

Seuraukset:
1: Jos yhteisjärjestelmässä kaikki muuttujat ovat pääasiallisia, niin tällainen järjestelmä on määrätty.

2: Jos järjestelmän muuttujien määrä ylittää yhtälöiden määrän, tällainen järjestelmä on joko epämääräinen tai epäjohdonmukainen.

Algoritmi

Algoritmi SLAE:n ratkaisemiseksi Gaussin menetelmällä on jaettu kahteen vaiheeseen.

Ensimmäisessä vaiheessa suoritetaan ns. suora siirto, kun rivien yli suoritettujen alkeismuunnosten avulla järjestelmä saatetaan porrastettuun tai kolmiomaiseen muotoon tai todetaan järjestelmän epäjohdonmukaisuus. Nimittäin matriisin ensimmäisen sarakkeen elementeistä valitaan nollasta poikkeava ykkönen, se siirretään rivejä permutoimalla ylimpään kohtaan ja permutoinnin jälkeen saatu ensimmäinen rivi vähennetään jäljellä olevista riveistä kertomalla se arvolla, joka on yhtä suuri kuin kunkin rivin ensimmäisen elementin suhde ensimmäisen rivin ensimmäiseen elementtiin, nollaten siten sen alapuolella olevan sarakkeen. Kun ilmoitetut muunnokset on tehty, ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake yliviivataan ja jatketaan, kunnes jäljelle jää nollakokoinen matriisi. Jos joissakin iteraatioissa ensimmäisen sarakkeen elementtien joukosta ei löytynyt nollasta poikkeavaa ykköstä, siirry seuraavaan sarakkeeseen ja suorita samanlainen toimenpide.

Toisessa vaiheessa suoritetaan ns. käänteinen siirto, jonka ydin on ilmaista kaikki tuloksena olevat perusmuuttujat ei-perusmuuttujilla ja rakentaa perusratkaisujärjestelmä, tai jos kaikki muuttujat ovat perusmuuttujia, ilmaista sitten numeerisesti lineaarisen yhtälöjärjestelmän ainoa ratkaisu. Tämä menettely alkaa viimeisestä yhtälöstä, josta vastaava perusmuuttuja ilmaistaan (ja siellä on vain yksi) ja korvataan aiemmilla yhtälöillä ja niin edelleen, "askeleita" ylöspäin. Jokainen rivi vastaa täsmälleen yhtä perusmuuttujaa, joten jokaisessa vaiheessa, paitsi viimeinen (ylimpänä), tilanne toistaa täsmälleen viimeisen rivin tapauksen.

Vektorit. Peruskonseptit. Skalaarituote, sen ominaisuudet.

Vektori kutsutaan suunnatuksi segmentiksi (järjestetyksi pistepariksi). Koskee myös vektoreita. tyhjä vektori, jonka alku ja loppu ovat samat.

Pituus (moduuli) vektori on vektorin alun ja lopun välinen etäisyys.

Vektoreita kutsutaan kollineaarinen jos ne sijaitsevat samoilla tai yhdensuuntaisilla linjoilla. Nollavektori on kollineaarinen minkä tahansa vektorin kanssa.

Vektoreita kutsutaan koplanaarinen jos on olemassa taso, jonka kanssa ne ovat yhdensuuntaisia.

Kollineaariset vektorit ovat aina koplanaarisia, mutta kaikki koplanaariset vektorit eivät ole kollineaarisia.

Vektoreita kutsutaan yhtä suuri jos ne ovat kollineaarisia, niillä on sama suunta ja sama absoluuttinen arvo.

Mitkä tahansa vektorit voidaan pelkistää yhteiseen origoon, ts. rakentaa vektoreita, jotka ovat vastaavasti yhtä suuret kuin data ja joilla on yhteinen origo. Vektoriyhtälön määritelmästä seuraa, että millä tahansa vektorilla on äärettömän monta sen suuruista vektoreita.

Lineaariset operaatiot Yli vektoreita kutsutaan yhteen- ja kertolaskuksi luvulla.

Vektorien summa on vektori -

Tehdä työtä - , ollessaan kollineaarinen.

Vektori on samansuuntainen vektorin ( ) kanssa, jos a > 0.

Vektori on vastapäätä vektoria ( ¯ ), jos a< 0.

Vektorin ominaisuudet.

1) + = + - kommutatiivisuus.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – assosiatiivisuus

6) (a + b) = a + b - distributiivisuus

7) a( + ) = a + a

1) Perusta avaruudessa kutsutaan mitä tahansa 3 ei-koplanaarista vektoria, jotka on otettu tietyssä järjestyksessä.

2) Perusta tasossa on mitkä tahansa 2 ei-kollineaarista vektoria, jotka on otettu tietyssä järjestyksessä.

3)Perusta mitä tahansa nollasta poikkeavaa vektoria kutsutaan rivillä.

Jos on perusta avaruudessa ja , Sitten numerot a, b ja g kutsutaan komponentteja tai koordinaatteja vektoreita tällä perusteella.

Tältä osin voimme kirjoittaa seuraavan ominaisuuksia:

yhtäläisillä vektoreilla on samat koordinaatit,

kun vektori kerrotaan luvulla, myös sen komponentit kerrotaan tällä luvulla,

kun vektoreita lisätään, niitä vastaavat komponentit lisätään.

;
;

Vektorien lineaarinen riippuvuus.

Määritelmä. Vektorit nimeltään lineaarisesti riippuvainen, jos on olemassa sellainen lineaarinen yhdistelmä , jos a i ei ole samaan aikaan nolla, ts. .

Jos vain kun a i = 0 täyttyy, niin vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippumattomiksi.

Kiinteistö 1. Jos vektorien joukossa on nollavektori, niin nämä vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Kiinteistö 2. Jos yksi tai useampi vektori lisätään lineaarisesti riippuvaisten vektoreiden järjestelmään, niin tuloksena oleva järjestelmä on myös lineaarisesti riippuvainen.

Kiinteistö 3. Vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, jos ja vain jos yksi vektoreista hajoaa muiden vektoreiden lineaariseksi yhdistelmäksi.

Kiinteistö 4. Mitkä tahansa 2 kollineaarista vektoria ovat lineaarisesti riippuvaisia ja päinvastoin mitkä tahansa 2 lineaarisesti riippuvaista vektoria ovat kollineaarisia.

Kiinteistö 5. Mitkä tahansa 3 koplanaarista vektoria ovat lineaarisesti riippuvaisia ja päinvastoin mitkä tahansa 3 lineaarisesti riippuvaista vektoria ovat koplanaarisia.

Kiinteistö 6. Mitkä tahansa 4 vektoria ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Vektorin pituus koordinaatteina määritellään etäisyydeksi vektorin alku- ja loppupisteiden välillä. Jos avaruudessa A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2) on annettu kaksi pistettä, niin .

Jos piste M(x, y, z) jakaa segmentin AB suhteessa l / m, niin tämän pisteen koordinaatit määritellään seuraavasti:

Tietyssä tapauksessa koordinaatit segmentin keskellä sijaitsevat näin:

x \u003d (x 1 + x 2) / 2; y = (y 1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.

Lineaariset operaatiot vektoreille koordinaateissa.

Koordinaattiakselien kierto

Alla vuoro koordinaattiakselit ymmärtävät sellaisen koordinaattimuunnoksen, jossa molempia akseleita kierretään samalla kulmalla, kun taas origo ja asteikko pysyvät muuttumattomina.

Saadaan uusi järjestelmä O 1 x 1 y 1 kiertämällä Oxy-järjestelmää kulman α läpi.

Olkoon Μ tason mielivaltainen piste, (x; y) - sen koordinaatit vanhassa järjestelmässä ja (x"; y") - uudessa järjestelmässä.

Esittelemme kaksi napajärjestelmät koordinaatit yhteisen navan O ja napa-akseleiden Ox ja Οx 1 kanssa (asteikko on sama). Napainen säde r on sama molemmissa järjestelmissä ja napakulmat ovat vastaavasti α + j ja φ, missä φ on napakulma uudessa napajärjestelmässä.

Kaavojen mukaan siirtyminen napakoordinaateista suorakaiteen muotoisiin koordinaatteihin meillä on

Mutta rcosj = x" ja rsinφ = y". Siksi

Tuloksena olevia kaavoja kutsutaan akselin kiertokaavat . Niiden avulla voidaan määrittää mielivaltaisen pisteen M vanhat koordinaatit (x; y) saman pisteen M uusien koordinaattien (x"; y") perusteella ja päinvastoin.

Jos uusi koordinaattijärjestelmä O 1 x 1 y 1 saadaan vanhasta Oxysta koordinaattiakselien rinnakkaissiirrolla ja sitä seuraavalla akseleiden kiertämisellä kulmalla α (katso kuva 30), niin apujärjestelmän käyttöönotto on helppoa. saadaksesi kaavat

ilmaisee mielivaltaisen pisteen vanhat x- ja y-koordinaatit sen uusina x"- ja y"-koordinaateina.

Ellipsi

Ellipsi on joukko tasossa olevia pisteitä, joka on etäisyyksien summa jokaisesta tasosta

enintään kaksi annettua pistettä on vakio. Näitä pisteitä kutsutaan polttopisteiksi ja

on nimetty F1 Ja F2, niiden välinen etäisyys 2s, ja etäisyyksien summa kustakin pisteestä

temppuja - 2a(ehdon mukaan 2a>2c). Rakennamme karteesisen koordinaattijärjestelmän niin, että F1 Ja F2 olivat x-akselilla ja origo osui yhteen segmentin keskikohdan kanssa F1F2. Johdetaan ellipsin yhtälö. Voit tehdä tämän harkitsemalla mielivaltaista kohtaa M(x, y) ellipsi. A-priory: | F1M |+| F2M |=2a. F1M =(x+c; y);F2M =(x-c; y).

|F1M|=(x+ c)2 + y 2 ; |F2M| = (x- c)2 + y 2

(x+ c)2 + y 2 + (x- c)2 + y 2 =2a(5)

x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(x- c)2 + y 2 +x2-2cx+c2+y2

4cx-4a2=4a(x- c)2 + y 2

a2-cx=a(x- c)2 + y 2

a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)

koska 2a>2c(kolmion kahden sivun summa on suurempi kuin kolmas sivu), niin a2-c2>0.

Antaa a2-c2=b2

Pisteitä, joilla on koordinaatit (a, 0), (−a, 0), (b, 0) ja (−b, 0), kutsutaan ellipsin pisteiksi, arvo a on ellipsin pääpuoliakseli, ja arvo b on sen pieni puoliakseli. Pisteitä F1(c, 0) ja F2(−c, 0) kutsutaan polttopisteiksi

ellipsi, ja tarkennusta F1 kutsutaan oikeaksi ja tarkennusta F2 kutsutaan vasemmaksi. Jos piste M kuuluu ellipsiin, niin etäisyydet |F1M| ja |F2M| niitä kutsutaan polttosäteiksi ja niitä merkitään vastaavasti r1:llä ja r2:lla. Arvoa e \u003d c / a kutsutaan ellipsin epäkeskisyydeksi. Suorat yhtälöillä x =a/e

ja x = −a/e kutsutaan ellipsin suojiksi (jos e = 0, ellipsillä ei ole suuntaviivoja).

Tason yleinen yhtälö

Harkitse yleinen yhtälö ensimmäinen aste kolmella muuttujalla x, y ja z:

Jos esimerkiksi oletetaan, että ainakin yksi kertoimista A, B tai C ei ole nolla, kirjoitetaan yhtälö (12.4) muotoon