Etsi vektoreiden 2a 3c lineaarinen yhdistelmä. Vektorien lineaarinen riippuvuus. Lineaarinen vektoreiden yhdistelmä. Vektorien kollineaarisuus. Vektorien komplanaarisuus. Vektorien lineaarisen riippuvuuden lause

Vektorien lineaarinen yhdistelmä on muodon ilmaisu: , Missä - todellisia lukuja, jota kutsutaan lineaarisen yhdistelmän kertoimiksi.

Vektorien lineaarisen riippumattomuuden määritelmä

Vektorijärjestelmää А 1 ,А 2 ,…А n kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi, jos näiden vektorien lineaarinen yhdistelmä λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An on yhtä suuri kuin nollavektori vain nollajoukolle luvuilla λ1, λ2,..., λn, eli yhtälöjärjestelmällä: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ on ainutlaatuinen nollaratkaisu.

Vektorien lineaarisen riippuvuuden määrittäminen

Kaksi tasovektoria ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos ja vain jos ne ovat kollineaarisia.
Kahden vektorin sanotaan olevan kollineaarisia, jos ne sijaitsevat samalla suoralla tai rinnakkaisilla viivoilla.

Vektorien lineaarisen riippuvuuden lause

Lause merkkijonon esittämisestä riippumattomien merkkijonojen lineaarisena yhdistelmänä

Jokainen matriisin A rivi voidaan esittää matriisin A riippumattomien rivien lineaarisena yhdistelmänä.

Olkoon matriisilla A rank r, silloin on r-asteen molli, joka eroaa 0:sta, lisää tähän molliin i. rivi ja j:s sarake

M r =
Mr+1 = 0; koska rank A=r (korkeamman asteen mollina kuin r) Tämä molli voidaan laajentaa viimeiseen sarakkeeseen.

[а 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0

Jaa kaikki M r:llä ja esittele A ij /((-1) i+j M r) = λ i

a ij = λ 1 a 1j +λ 2 a 2j +…+ λ 4 a 4j, missä j=r+1 tämä yhtälö pätee myös j=1 m

81. Lause sarakkeen esittämisestä riippumattomien lineaarisena yhdistelmänä sarakkeita

Lause matriisin järjestyksen ja riippumattomien rivien/sarakkeiden lukumäärän välisestä suhteesta

Matrix sijoitus A on yhtä suuri kuin luku sen riippumattomat rivit/sarakkeet Olkoon matriisilla A (m*n) arvo r

On molli, jonka suuruus on r = 0; (e 1….. e r ) ovat lineaarisesti riippumattomia

Olkoon päinvastoin: e r = λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ r-1 e r-1

Suoritetaan ele-s-muunnos. ei muuta tämän alaikäisen determinanttia (M r)

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2 - λ 3 e 3 -…- λ r-1 e r-1

Joten, saamme viimeisen rivin, joka koostuu 0:sta, mutta silloin M r = 0, olettamuksemme on väärä!

Determinantit

Determinanttien ominaisuudet. Nro 01. (Säännökset)

Transponoidun matriisin determinantti on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti: .

Todiste. Määritelmän mukaan

Transponoitaessa matriisia A tässä summassa on vain ehtojen uudelleenjärjestely.

Determinanttien ominaisuudet. Nro 02. (Rivien tai sarakkeiden uudelleenjärjestely).

Jos mitkä tahansa kaksi riviä tai kaksi saraketta vaihdetaan determinantissa, determinantti muuttaa etumerkkinsä päinvastaiseksi.

Todiste. Lauseen 1 mukaan mikä tahansa transponointi muuttaa permutaation pariteettia. Siksi, kun kaksi riviä (saraketta) permutoidaan, jokainen summa muuttaa etumerkkinsä päinvastaiseksi.

Vektorien lineaarinen riippuvuus ja lineaarinen riippumattomuus.
Vektorien perusta. Affine koordinaattijärjestelmä

Yleisössä on suklaakärry, jonka jokainen tänään kävijä saa suloinen pari– analyyttinen geometria lineaarialgebralla. Tämä artikkeli kattaa kaksi osiota kerralla. korkeampaa matematiikkaa, ja katsotaan kuinka he tulevat toimeen yhdessä paketissa. Pidä tauko, syö Twixiä! ... helvetti, no, riitely hölynpölyä. Vaikka okei, en tee pisteitä, loppujen lopuksi opiskeluun pitäisi olla positiivinen asenne.

Vektorien lineaarinen riippuvuus, vektorien lineaarinen riippumattomuus, vektoripohjalta ja muilla termeillä ei ole vain geometrinen tulkinta, vaan ennen kaikkea algebrallinen merkitys. Itse käsite "vektori" kannalta lineaarialgebra- Tämä ei suinkaan aina ole "tavallinen" vektori, jonka voimme kuvata tasossa tai avaruudessa. Sinun ei tarvitse etsiä todisteita kaukaa, kokeile piirtää viisiulotteisen avaruuden vektori . Tai säävektori, jonka takia juuri menin Gismeteoon: - lämpötila ja Ilmakehän paine vastaavasti. Esimerkki on tietysti virheellinen vektoriavaruuden ominaisuuksien kannalta, mutta kukaan ei kuitenkaan kiellä näiden parametrien formalisoimista vektoriksi. Syksyn henkeä...

Ei, en aio ladata sinulle teoriaa, lineaarinen vektoriavaruudet, tehtävänä on ymmärtää määritelmät ja lauseet. Uudet termit (lineaarinen riippuvuus, riippumattomuus, lineaarinen yhdistelmä, kanta jne.) soveltuvat kaikkiin vektoreihin algebrallisesta näkökulmasta, mutta esimerkit annetaan geometrisesti. Siten kaikki on yksinkertaista, saavutettavaa ja visuaalista. Analyyttisen geometrian ongelmien lisäksi tarkastellaan myös joitain tyypillisiä algebran tehtäviä. Materiaalin hallitsemiseksi on suositeltavaa tutustua oppitunteihin Vektorit tutille Ja Kuinka determinantti lasketaan?

Tasovektorien lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus.
Tasokanta ja affiininen koordinaattijärjestelmä

Harkitse tietokonepöytäsi tasoa (vain pöytä, yöpöytä, lattia, katto, mikä tahansa). Tehtävä koostuu seuraavista toimista:

1) Valitse tasopohja. Karkeasti sanottuna pöytälevyllä on pituus ja leveys, joten on intuitiivisesti selvää, että perustan rakentamiseen tarvitaan kaksi vektoria. Yksi vektori ei selvästikään riitä, kolme vektoria on liikaa.

2) Valitun perusteen perusteella aseta koordinaattijärjestelmä(koordinaattiruudukko) määrittääksesi koordinaatit kaikille taulukon kohteille.

Älä ihmettele, aluksi selitykset ovat sormilla. Lisäksi sinun. Ole hyvä ja aseta etusormi vasen käsi pöydän reunalla niin, että hän katsoo näyttöä. Tästä tulee vektori. Nyt paikka oikean käden pikkusormi pöydän reunalla samalla tavalla - niin, että se on suunnattu näyttöruutuun. Tästä tulee vektori. Hymyile, näytät upealta! Mitä vektoreista voidaan sanoa? Datavektorit kollineaarinen, joka tarkoittaa lineaarisesti ilmaistaan ​​toistensa kautta:
, no tai päinvastoin: , jossa on nollasta poikkeava luku.

Näet kuvan tästä toiminnasta oppitunnilla. Vektorit tutille, jossa selitin säännön vektorin kertomisesta luvulla.

Asettavatko sormesi perustan tietokonepöydän tasolle? Ilmiselvästi ei. Kollineaariset vektorit kulkevat edestakaisin sisään yksin suuntaan, kun taas tasolla on pituus ja leveys.

Tällaisia ​​vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippuvainen.

Viite: Sanat "lineaarinen", "lineaarinen" tarkoittavat sitä, että matemaattisissa yhtälöissä, lausekkeissa ei ole neliöitä, kuutioita, muita potenssia, logaritmeja, sinejä jne. On vain lineaarisia (1. asteen) lausekkeita ja riippuvuuksia.

Kaksi tasovektoria lineaarisesti riippuvainen jos ja vain jos ne ovat kollineaarisia.

Aseta sormesi ristiin pöydällä niin, että niiden välillä on mikä tahansa kulma paitsi 0 tai 180 astetta. Kaksi tasovektorialineaarisesti Ei ovat riippuvaisia, jos ja vain jos ne eivät ole kollineaarisia. Eli perusteet on saatu. Ei tarvitse hävetä, että kanta osoittautui "viistoksi" eripituisilla ei-suorassa olevilla vektoreilla. Hyvin pian näemme, että sen rakentamiseen ei sovellu vain 90 asteen kulma, eivät vain yhtä pitkiä yksikkövektorit

Minkä tahansa tasovektori ainoa tapa laajennettu pohjalta:
, missä ovat reaaliluvut. Numeroita kutsutaan vektorin koordinaatit tällä perusteella.

He myös sanovat sen vektoriesitetään muodossa lineaarinen yhdistelmä kantavektorit. Eli ilmaisua kutsutaan vektorin hajoaminenperusta tai lineaarinen yhdistelmä kantavektorit.

Voidaan esimerkiksi sanoa, että vektori on laajennettu tason ortonormaaliin kantaan, tai voidaan sanoa, että se esitetään vektorien lineaariyhdistelmänä.

Muotoillaan perustan määritelmä muodollisesti: tasopohjalta on pari lineaarisesti riippumattomia (epäkollineaarisia) vektoreita, , jossa minkä tahansa tasovektori on kantavektoreiden lineaarinen yhdistelmä.

Määritelmän olennainen kohta on se, että vektorit otetaan tietyssä järjestyksessä. pohjat Nämä ovat kaksi täysin erilaista pohjaa! Kuten sanotaan, vasemman käden pikkusormea ​​ei voi siirtää oikean käden pikkusormen paikalle.

Selvitimme perusteen, mutta ei riitä, että asetat koordinaattiruudukon ja määrität koordinaatit jokaiselle tietokoneesi pöydän kohteelle. Miksi ei tarpeeksi? Vektorit ovat vapaita ja kulkevat koko tason yli. Joten kuinka määrität koordinaatit niille pienille likaisille pöytäpisteille, jotka ovat jääneet jäljelle hurjasta viikonlopusta? Lähtökohta tarvitaan. Ja tällainen vertailupiste on kaikille tuttu piste - koordinaattien alkuperä. Koordinaattijärjestelmän ymmärtäminen:

Aloitan "koulu"-järjestelmästä. Jo johdantotunnilla Vektorit tutille Korostin joitain eroja suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän ja ortonormaalisen perustan välillä. Tässä on vakiokuva:

Kun puhutaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, niin useimmiten ne tarkoittavat origoa, koordinaattiakseleita ja mittakaavaa akseleita pitkin. Kokeile kirjoittaa hakukoneeseen "suorakulmainen koordinaattijärjestelmä", niin huomaat, että monet lähteet kertovat sinulle 5.-6. luokalta tutuista koordinaattiakseleista ja pisteiden piirtämisestä tasoon.

Toisaalta siltä näyttää suorakaiteen muotoinen järjestelmä koordinaatit voidaan määrittää ortonormaalin perusteella . Ja se melkein on. Sanamuoto kuulostaa seuraavalla tavalla:

alkuperää, Ja ortonormaali perusjoukko Tason suorakulmainen koordinaattijärjestelmä . Eli suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä ehdottomasti määritellään yhdellä pisteellä ja kahdella ortogonaalisella yksikkövektorilla. Siksi näet yllä esittämäni piirustuksen - geometrisissa tehtävissä sekä vektoreita että koordinaattiakseleita piirretään usein (mutta kaukana aina).

Luulen, että kaikki ymmärtävät sen pisteen (alkuperän) ja ortonormaalin perustan avulla MIKÄ tahansa koneen piste ja MIKKI koneen VEKTORIT koordinaatit voidaan määrittää. Kuvaannollisesti "kaikki lentokoneessa voidaan numeroida".

Pitääkö koordinaattivektorien olla yksikköä? Ei, niillä voi olla mielivaltainen nollasta poikkeava pituus. Tarkastellaan pistettä ja kahta ortogonaalista vektoria, joiden pituus on mielivaltainen nollasta poikkeava:

Tällaista perustaa kutsutaan ortogonaalinen. Koordinaattien origo vektoreilla määrittelee koordinaattiruudukon, ja millä tahansa tason pisteellä, millä tahansa vektorilla on omat koordinaatit annetussa perustassa. Esimerkiksi tai. Ilmeinen haitta on, että koordinaattivektorit yleisesti niillä on eri pituudet kuin yhtenäisyys. Jos pituudet ovat yhtä suuret kuin yksi, saadaan tavallinen ortonormaalikanta.

! Huomautus : ortogonaalisessa pohjassa sekä alapuolella tason ja avaruuden affiineissa kannaissa otetaan huomioon yksiköt akseleita pitkin EHDOLLINEN. Esimerkiksi yksi yksikkö abskissalla sisältää 4 cm, yksi yksikkö ordinaatalla 2 cm Tämä tieto riittää muuttamaan "epästandardit" koordinaatit "tavallisiksi senttimetreiksimme" tarvittaessa.

Ja toinen kysymys, johon itse asiassa on jo vastattu - onko kantavektoreiden välinen kulma välttämättä 90 astetta? Ei! Kuten määritelmä sanoo, kantavektoreiden on oltava vain ei-kollineaarinen. Vastaavasti kulma voi olla mikä tahansa paitsi 0 ja 180 astetta.

Piste koneessa nimeltä alkuperää, Ja ei-kollineaarinen vektorit, , aseta tason affiininen koordinaattijärjestelmä :

Joskus tätä koordinaattijärjestelmää kutsutaan vino järjestelmä. Pisteet ja vektorit on esitetty esimerkkeinä piirustuksessa:

Kuten ymmärrät, affiininen koordinaattijärjestelmä on vielä vähemmän kätevä, vektorien ja segmenttien pituuksien kaavat, joita tarkastelimme oppitunnin toisessa osassa, eivät toimi siinä. Vektorit tutille, monia herkullisia kaavoja, jotka liittyvät vektorien skalaaritulo. Mutta säännöt vektorien lisäämisestä ja vektorin kertomisesta luvulla ovat voimassa, kaavat segmentin jakamiseksi tässä suhteessa sekä eräitä muita ongelmia, joita harkitsemme pian.

Ja johtopäätös on, että affiinin koordinaattijärjestelmän kätevin erityistapaus on suorakulmainen suorakulmainen järjestelmä. Siksi hän, omansa, on useimmiten nähtävä. ... Kaikki tässä elämässä on kuitenkin suhteellista - on monia tilanteita, joissa on tarkoituksenmukaista olla vino (tai jokin muu esim. napainen) koordinaattijärjestelmä. Kyllä, ja humanoidit tällaiset järjestelmät voivat maistaa =)

Siirrytään käytännön osaan. Kaikki tehtävät tämä oppitunti ovat voimassa sekä suorakaiteen muotoiselle koordinaattijärjestelmälle että yleiselle affiinille tapaukselle. Tässä ei ole mitään monimutkaista, kaikki materiaali on saatavilla jopa koulupojalle.

Kuinka määrittää tasovektorien kollineaarisuus?

Tyypillinen juttu. Jotta kaksi tasovektoria ovat kollineaarisia, on välttämätöntä ja riittävää, että niiden vastaavat koordinaatit ovat verrannollisia.Pohjimmiltaan tämä on ilmeisen suhteen koordinaatti-koordinaatilta tarkennus.

Esimerkki 1

a) Tarkista, ovatko vektorit kollineaarisia .
b) Muodostavatko vektorit perustan? ?

Ratkaisu:
a) Selvitä, onko vektoreille olemassa suhteellisuuskerroin siten, että yhtäläisyydet täyttyvät:

Kerron ehdottomasti tämän säännön soveltamisen "foppih"-versiosta, joka toimii varsin hyvin käytännössä. Ajatuksena on laatia välittömästi suhde ja katsoa, ​​onko se oikein:

Tehdään suhde vektorien vastaavien koordinaattien suhteista:

Lyhennämme:
, joten vastaavat koordinaatit ovat verrannollisia, joten

Suhde voidaan tehdä ja päinvastoin, tämä on vastaava vaihtoehto:

Itsetestaukseen voidaan käyttää sitä tosiasiaa, että kollineaariset vektorit ilmaistaan ​​lineaarisesti toistensa kautta. Tässä tapauksessa on tasa-arvoa . Niiden pätevyys voidaan helposti tarkistaa alkeisoperaatioilla vektoreilla:

b) Kaksi tasovektoria muodostavat kannan, jos ne eivät ole kollineaarisia (lineaarisesti riippumattomia). Tutkimme vektoreiden kollineaarisuutta . Luodaan järjestelmä:

Ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että toisesta yhtälöstä seuraa, että mikä tarkoittaa, järjestelmä on epäjohdonmukainen(ei ratkaisuja). Siten vektorien vastaavat koordinaatit eivät ole verrannollisia.

Johtopäätös: vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat kannan.

Ratkaisun yksinkertaistettu versio näyttää tältä:

Muodosta suhde vektorien vastaavista koordinaateista :
, joten nämä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat perustan.

Yleensä arvioijat eivät hylkää tätä vaihtoehtoa, mutta ongelma syntyy tapauksissa, joissa jotkin koordinaatit ovat yhtä suuret kuin nolla. Kuten tämä: . Tai näin: . Tai näin: . Kuinka käsitellä suhdetta tässä? (Et todellakaan voi jakaa nollalla). Tästä syystä kutsuin yksinkertaistettua ratkaisua "foppish".

Vastaus: a) , b) muoto.

Pieni luova esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 2

Millä parametrivektorien arvolla tuleeko olemaan kollineaarinen?

Näyteratkaisussa parametri löytyy suhteesta.

On olemassa tyylikäs algebrallinen tapa tarkistaa vektorien kollineaarisuus. Systematisoidaan tietomme ja lisätään se viidenneksi:

Seuraavat lauseet ovat ekvivalentteja kahdelle tasovektorille:

2) vektorit muodostavat perustan;
3) vektorit eivät ole kollineaarisia;

+ 5) näiden vektorien koordinaateista koostuva determinantti on nollasta poikkeava.

Vastaavasti, seuraavat vastakkaiset lauseet ovat ekvivalentteja:
1) vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia;
2) vektorit eivät muodosta perustaa;
3) vektorit ovat kollineaarisia;
4) vektorit voidaan ilmaista lineaarisesti toistensa kautta;
+ 5) näiden vektorien koordinaateista muodostuva determinantti on nolla.

Toivon kovasti, että ymmärrät jo tällä hetkellä kaikki sanat ja lausunnot, joita olet kohdannut.

Katsotaanpa tarkemmin uutta, viidettä kohtaa: kaksi tasovektoria ovat kollineaarisia silloin ja vain jos annettujen vektorien koordinaateista koostuva determinantti on yhtä suuri kuin nolla:. Jotta voit käyttää tätä ominaisuutta, sinun on tietysti kyettävä käyttämään sitä löytää määrääviä tekijöitä.

Me päätämme Esimerkki 1 toisella tavalla:

a) Laske determinantti, joka koostuu vektorien koordinaateista :
, joten nämä vektorit ovat kollineaarisia.

b) Kaksi tasovektoria muodostavat kannan, jos ne eivät ole kollineaarisia (lineaarisesti riippumattomia). Lasketaan vektorien koordinaateista koostuva determinantti :
, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat perustan.

Vastaus: a) , b) muoto.

Se näyttää paljon kompaktimmalta ja kauniimmalta kuin ratkaisu mittasuhteineen.

Tarkastelun materiaalin avulla on mahdollista todeta paitsi vektorien kollineaarisuus, myös osoittaa segmenttien, suorien viivojen yhdensuuntaisuus. Harkitse pari ongelmaa tiettyjen geometristen muotojen kanssa.

Esimerkki 3

Nelikulmion pisteet on annettu. Todista, että nelikulmio on suuntaviiva.

Todiste: Tehtävään ei tarvitse rakentaa piirustusta, koska ratkaisu on puhtaasti analyyttinen. Muista suuntaviivan määritelmä:
Suunnikas Kutsutaan nelikulmiota, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaisia.

Siksi on tarpeen todistaa:
1) vastakkaisten sivujen yhdensuuntaisuus ja;
2) vastakkaisten puolien yhdensuuntaisuus ja .

Todistamme:

1) Etsi vektorit:

2) Etsi vektorit:

Tuloksena on sama vektori ("koulun mukaan" - yhtäläiset vektorit). Kollineaarisuus on varsin ilmeistä, mutta on parempi tehdä päätös kunnolla, sovituksen kanssa. Laske determinantti, joka koostuu vektorien koordinaateista:
, joten nämä vektorit ovat kollineaarisia, ja .

Johtopäätös: Nelikulman vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaisia, joten se on määritelmän mukaan suunnikkaampi. Q.E.D.

Lisää hyviä ja erilaisia ​​hahmoja:

Esimerkki 4

Nelikulmion pisteet on annettu. Todista, että nelikulmio on puolisuunnikkaan muotoinen.

Todistuksen tiukempaa muotoilua varten on tietysti parempi saada puolisuunnikkaan määritelmä, mutta riittää vain muistaa, miltä se näyttää.

Tämä on itsenäisen päätöksen tehtävä. Täydellinen ratkaisu oppitunnin lopussa.

Ja nyt on aika siirtyä hitaasti koneesta avaruuteen:

Kuinka määrittää avaruusvektorien kollineaarisuus?

Sääntö on hyvin samanlainen. Jotta kaksi avaruusvektoria olisivat kollineaarisia, on välttämätöntä ja riittävää, että niiden vastaavat koordinaatit ovat verrannollisia.

Esimerkki 5

Selvitä, ovatko seuraavat avaruusvektorit kollineaarisia:

A) ;
b)
V)

Ratkaisu:
a) Tarkista, onko vektorien vastaaville koordinaateille olemassa suhteellisuuskerroin:

Systeemillä ei ole ratkaisua, mikä tarkoittaa, että vektorit eivät ole kollineaarisia.

"Yksinkertaistettu" saadaan tarkistamalla suhteet. Tässä tapauksessa:
– vastaavat koordinaatit eivät ole verrannollisia, mikä tarkoittaa, että vektorit eivät ole kollineaarisia.

Vastaus: vektorit eivät ole kollineaarisia.

b-c) Nämä ovat itsenäisen päätöksen pistettä. Kokeile sitä kahdella tavalla.

On olemassa menetelmä spatiaalisten vektorien kollineaarisuuden tarkistamiseksi ja kolmannen asteen determinantin kautta, tämä menetelmä käsitellään artikkelissa Vektorien ristitulo.

Tasotapauksen tapaan tarkasteltavilla työkaluilla voidaan tutkia spatiaalisten segmenttien ja suorien yhdensuuntaisuutta.

Tervetuloa toiseen osioon:

Kolmiulotteisten avaruusvektorien lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus.
Spatiaalinen perusta ja affiini koordinaattijärjestelmä

Monet säännöllisyydet, joita olemme huomioineet koneessa, pätevät myös avaruuteen. Yritin minimoida teorian yhteenvedon, koska leijonanosa tiedosta on jo pureskeltu. Suosittelen kuitenkin, että luet johdanto-osan huolellisesti, sillä uusia termejä ja käsitteitä ilmaantuu.

Tarkastellaan nyt tietokonetaulukon tason sijaan kolmiulotteista avaruutta. Ensin luodaan sen perusta. Joku on nyt sisällä, joku ulkona, mutta joka tapauksessa emme pääse eroon kolmesta ulottuvuudesta: leveydestä, pituudesta ja korkeudesta. Siksi perustan rakentamiseen tarvitaan kolme spatiaalista vektoria. Yksi tai kaksi vektoria ei riitä, neljäs on tarpeeton.

Ja taas lämmitellään sormilla. Nosta kätesi ylös ja levitä eri suuntiin peukalo, etusormi ja keskisormi. Nämä ovat vektoreita, ne näyttävät eri suuntiin, ovat eri pituisia ja eri kulmia keskenään. Onnittelut, kolmiulotteisen avaruuden perusta on valmis! Muuten, sinun ei tarvitse osoittaa tätä opettajille, vaikka kuinka vääntelet sormiasi, mutta et pääse eroon määritelmistä =)

Seuraavaksi kysytään tärkeä asia, muodostavatko kolme vektoria kolmiulotteisen avaruuden perustan? Paina kolmella sormella lujasti tietokoneen pöytälevyä. Mitä tapahtui? Kolme vektoria sijaitsee samassa tasossa, ja karkeasti sanottuna olemme menettäneet yhden mittauksista - korkeuden. Sellaisia ​​vektoreita ovat koplanaarinen ja aivan ilmeisesti, että kolmiulotteisen avaruuden perustaa ei luoda.

On huomattava, että samantasoisten vektoreiden ei tarvitse olla samassa tasossa, ne voivat olla yhdensuuntaisissa tasoissa (älä vain tee tätä sormillasi, vain Salvador Dali irtosi niin =)).

Määritelmä: vektoreita kutsutaan koplanaarinen jos on olemassa taso, jonka kanssa ne ovat yhdensuuntaisia. Tässä on loogista lisätä, että jos tällaista tasoa ei ole, vektorit eivät ole samantasoisia.

Kolme koplanaarista vektoria ovat aina lineaarisesti riippuvaisia, eli ne ilmaistaan ​​lineaarisesti toistensa kautta. Yksinkertaisuuden vuoksi kuvittele jälleen, että ne sijaitsevat samassa tasossa. Ensinnäkin vektorit eivät ole vain koplanaarisia, vaan ne voivat olla myös kollineaarisia, jolloin mikä tahansa vektori voidaan ilmaista minkä tahansa vektorin kautta. Toisessa tapauksessa, jos esimerkiksi vektorit eivät ole kollineaarisia, kolmas vektori ilmaistaan ​​niiden kautta ainutlaatuisella tavalla: (ja miksi on helppo arvata edellisen osan materiaaleista).

Päinvastoin on myös totta: kolme ei-koplanaarista vektoria ovat aina lineaarisesti riippumattomia eli niitä ei millään tavalla ilmaista toistensa kautta. Ja tietysti vain sellaiset vektorit voivat muodostaa kolmiulotteisen avaruuden perustan.

Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden perusta kutsutaan lineaarisesti riippumattomien (ei-tasoisten) vektoreiden kolmiosaksi, otettu tietyssä järjestyksessä, kun taas mikä tahansa avaruuden vektori ainoa tapa laajenee annetussa kannassa, missä ovat vektorin koordinaatit annetussa kannassa

Muistutuksena voit myös sanoa, että vektori esitetään muodossa lineaarinen yhdistelmä kantavektorit.

Koordinaatiston käsite esitellään täsmälleen samalla tavalla kuin litteä kotelo, yksi piste ja mitkä tahansa kolme lineaarisesti riippumatonta vektoria riittää:

alkuperää, Ja ei-tasossa vektorit, otettu tietyssä järjestyksessä, aseta kolmiulotteisen avaruuden affiininen koordinaattijärjestelmä :

Tietenkin koordinaattiristikko on "vino" ja hankala, mutta siitä huolimatta rakennettu koordinaattijärjestelmä mahdollistaa ehdottomasti määrittää minkä tahansa vektorin koordinaatit ja minkä tahansa avaruuden pisteen koordinaatit. Samoin kuin tasossa, jotkin jo mainitsemani kaavat eivät toimi affiinissa avaruuden koordinaattijärjestelmässä.

Affiinin koordinaattijärjestelmän tutuin ja kätevin erikoistapaus, kuten jokainen voi arvata, on suorakaiteen muotoinen avaruuskoordinaattijärjestelmä:

piste avaruudessa nimeltään alkuperää, Ja ortonormaali perusjoukko Avaruuden suorakulmainen koordinaattijärjestelmä . tuttu kuva:

Ennen kuin siirrymme käytännön tehtäviin, systematisoimme tiedot uudelleen:

Kolmelle avaruusvektorille seuraavat lauseet ovat ekvivalentteja:
1) vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia;
2) vektorit muodostavat perustan;
3) vektorit eivät ole samassa tasossa;
4) vektoreita ei voida ilmaista lineaarisesti toistensa kautta;
5) näiden vektorien koordinaateista koostuva determinantti on eri kuin nolla.

Päinvastaiset väitteet ovat mielestäni ymmärrettäviä.

Avaruusvektorien lineaarinen riippuvuus / riippumattomuus tarkistetaan perinteisesti determinantilla (kohta 5). Jäljelle jäänyt käytännön tehtäviä on selvä algebrallinen luonne. On aika ripustaa geometrinen tikku naulaan ja käyttää lineaarialgebran pesäpallomailaa:

Kolme avaruusvektoria ovat koplanaarisia silloin ja vain, jos annettujen vektorien koordinaateista muodostuva determinantti on yhtä suuri kuin nolla: .

Kiinnitän huomionne pieneen tekniseen vivahteeseen: vektorien koordinaatit voidaan kirjoittaa paitsi sarakkeisiin, myös riveihin (determinantin arvo ei muutu tästä - katso determinanttien ominaisuudet). Mutta se on paljon parempi sarakkeissa, koska se on hyödyllisempää joidenkin käytännön ongelmien ratkaisemisessa.

Niille lukijoille, jotka ovat hieman unohtaneet determinanttien laskentamenetelmät tai ehkä he ovat huonosti orientoituneita, suosittelen yhtä vanhimmista oppitunneistani: Kuinka determinantti lasketaan?

Esimerkki 6

Tarkista, muodostavatko seuraavat vektorit kolmiulotteisen avaruuden perustan:

Ratkaisu: Itse asiassa koko ratkaisu perustuu determinantin laskemiseen.

a) Laske determinantti, joka muodostuu vektorien koordinaateista (determinantti laajennetaan ensimmäisellä rivillä):

, mikä tarkoittaa, että vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (ei koplanaarisia) ja muodostavat kolmiulotteisen avaruuden perustan.

Vastaus: nämä vektorit muodostavat perustan

b) Tämä on itsenäisen päätöksen asia. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

tavata ja luovia tehtäviä:

Esimerkki 7

Millä parametrin arvolla vektorit ovat samantasoisia?

Ratkaisu: Vektorit ovat samantasoisia, jos ja vain, jos annettujen vektorien koordinaateista muodostuva determinantti on nolla:

Pohjimmiltaan yhtälö on ratkaistava determinantilla. Lennämme nollaan kuin leijat jerbooihin - on kannattavinta avata determinantti toisella rivillä ja päästä heti eroon miinuksista:

Suoritamme lisäyksinkertaistuksia ja supistamme asian yksinkertaisimpaan lineaarinen yhtälö:

Vastaus: klo

Se on helppo tarkistaa täältä, tätä varten sinun on korvattava tuloksena oleva arvo alkuperäisellä determinantilla ja varmistettava, että avaamalla sen uudelleen.

Tarkastellaan lopuksi toista tyypillistä ongelmaa, joka on enemmän luonteeltaan algebrallinen ja sisältyy perinteisesti lineaarisen algebran kulkuun. Se on niin yleistä, että se ansaitsee erillisen aiheen:

Todista, että 3 vektoria muodostaa kolmiulotteisen avaruuden perustan
ja etsi annetusta kannasta neljännen vektorin koordinaatit

Esimerkki 8

Vektorit on annettu. Osoita, että vektorit muodostavat kolmiulotteisen avaruuden kannan ja etsi vektorin koordinaatit tästä kannasta.

Ratkaisu: Käsitellään ensin ehtoa. Ehdolla on annettu neljä vektoria, ja, kuten näet, niillä on jo koordinaatit jossain perusteessa. Mikä on perusta - emme ole kiinnostuneita. Ja seuraava asia kiinnostaa: kolme vektoria voivat hyvinkin muodostaa uuden perustan. Ja ensimmäinen vaihe on täysin sama kuin esimerkin 6 ratkaisu, on tarpeen tarkistaa, ovatko vektorit todella lineaarisesti riippumattomia:

Laske determinantti, joka koostuu vektorien koordinaateista:

, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat kolmiulotteisen avaruuden perustan.

! Tärkeä : vektorin koordinaatit Välttämättä Kirjoita ylös sarakkeiksi determinantti, ei merkkijonoja. Muutoin seuraavassa ratkaisualgoritmissa on hämmennystä.

Luento 6

Vektoreita …, kutsutaan lineaarisesti riippuviksi, jos on lukuja , , … , joiden joukossa on vähintään yksi nollasta poikkeava ykkönen siten, että

Lukujen ja vektorien tulojen summa, ts. vektori

kutsutaan vektorien lineaariseksi yhdistelmäksi.

Jos vektori esitetään lineaarisena vektoreiden yhdistelmänä, niin vektorin sanotaan myös hajoavan vektoreiksi.

Yllä annettu vektorien lineaarisen riippuvuuden määritelmä vastaa tätä: vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos yksi niistä voidaan esittää muiden lineaarisena yhdistelmänä (tai laajentaa muiden suhteen).

Lause 1. Kahden vektorin ollessa lineaarisesti riippuvainen on välttämätöntä ja riittävää, että ne ovat kollineaarisia.

Todiste tarve. Annettu: vektorit ja ovat lineaarisesti riippuvaisia. On todistettava, että ne ovat kollineaarisia. Koska vektorit ja ovat lineaarisesti riippuvaisia, on lukuja ja jotka eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti, ja

Olkoon esimerkiksi ; Sitten

tästä seuraa, että vektorit ja ovat kollineaarisia.

Annettu: vektorit ja ovat kollineaarisia. On todistettava, että ne ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Jos , niin tasa-arvo pätee, mikä tarkoittaa, että vektorit ja ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Jos , niin olettaen , löydämme , tai ; tästä syystä vektorit ja ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Kolmen vektorin sanotaan olevan samassa tasossa, jos samasta pisteestä piirrettynä ne sijaitsevat samassa tasossa.

Lause 2. Jotta kolme vektoria , olisivat lineaarisesti riippuvaisia, on välttämätöntä ja riittävää, että ne ovat samassa tasossa.

Koska: vektorit , , ovat lineaarisesti riippuvaisia. Meidän on todistettava, että ne ovat samassa tasossa.

Koska vektorit , , ovat lineaarisesti riippuvaisia, on numeroita , , , joiden joukossa on ainakin yksi ; sellasta

Olkoon esimerkiksi ; Sitten

Vektorit ja ovat kollineaarisia, vastaavasti, vektoreille ja ; siksi tällaisten vektorien summa, ts. vektori on samassa tasossa vektorien ja .

Todistus riittävyydestä. Koska: vektorit , , ovat samantasoisia. On todistettava, että nämä vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Jos vektorit ja ovat kollineaarisia, niin ne ovat lineaarisesti riippuvaisia ​​(tämän osan lause 1), ts. on numeroita ja , joista ainakin yksi ei ole nolla ja sellainen, että , mutta sitten ja , so. vektorit , , ovat lineaarisesti riippuvaisia .

Olkoon vektorit ja epäkollineaariset. Laita sivuun vektorit , ja samasta pisteestä NOIN:

Koska vektorit , , ovat samassa tasossa, pisteitä NOIN, makaa samassa tasossa. Projisoi piste suoralle, joka on yhdensuuntainen suoran kanssa; antaa R onko tämä projektio. Silloin ja siitä lähtien

sitten olettaen

eli vektorit , ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Lause 3. Mitkä tahansa neljä vektoria , , , avaruudessa ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Todiste. Oletetaan, että vektorit , , ovat ei-tasoisia. Laita sivuun kaikki vektorit , , , samasta pisteestä NOIN:

Antaa R- pisteen projektio tasolle, joka on yhdensuuntainen suoran kanssa, ja - pisteen projektio R linjan kanssa yhdensuuntaisella viivalla. Sitten .

Vektorit ovat vastaavasti kollineaarisia vektoreille , ja . Olettaen ; ; saada ; ;

ja siten:

nuo. vektorit , , , ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Lause 4. Kahden nollasta poikkeavan vektorin ollessa kollineaarinen on välttämätöntä ja riittävää, että niiden koordinaatit ovat verrannollisia.

Todistetaan lause tapaukselle, jossa vektorit on annettu niiden koordinaateilla suhteessa yhteiseen karteesiseen koordinaattijärjestelmään avaruudessa.

todiste välttämättömyydestä. Annettu: vektorit ; ja kollineaarinen. On todistettava, että niiden koordinaatit ovat verrannollisia.

Koska olettaen, että saamme ts.

Todistus riittävyydestä. Annettu: vektorien koordinaatit

suhteellinen. On todistettava, että nämä vektorit ovat kollineaarisia.

Antaa ; eli , tai , ja siten vektorit ja ovat kollineaarisia.

Lause 5. Jotta kaksi vektoria ja , annettu niiden koordinaatit suhteessa yhteiseen karteesiseen koordinaattijärjestelmään tasossa

tai suhteessa yhteiseen suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään avaruudessa

ovat kollineaarisia, se on välttämätöntä ja riittävää

(lentokoneen tapauksessa),

(jos on tilaa).

Todistetaan lause tapaukselle, jossa vektorit ja on annettu niiden koordinaateista suhteessa yleiseen karteesiseen koordinaattijärjestelmään avaruudessa.

todiste välttämättömyydestä. Annettu: vektorit ja ovat kollineaarisia. Se on todistettava, että suhteet

Jos vektorit ovat sekä nollasta poikkeavia että kollineaarisia, niin niiden koordinaatit ovat verrannollisia, ja siksi nämä yhtäläisyydet täyttyvät (determinantti, jossa kaksi riviä ovat verrannollisia, on nolla). Jos tai (tai ==0), niin tämä yhtäläisyys on ilmeinen.

Todistus riittävyydestä. On annettu, että nämä suhteet ovat tyytyväisiä. On todistettava, että vektorit ja ovat kollineaarisia.

Jos (eli =0), niin vektorit ja ovat kollineaarisia (koska nollavektori kollineaarinen mille tahansa vektorille). Olkoon ainakin yksi luvuista eri kuin nolla, esimerkiksi . Antaa ; sitten ja relaatiosta tai (laajentaen determinanttia) havaitsemme, , jotka on annettu niiden koordinaatteilla suhteessa yhteiseen karteesiseen koordinaattijärjestelmään avaruudessa, kuuluvat yhdelle suoralle, jos ja vain jos suhteet täyttyvät

Seuraus 3. Pisteet , , , , jotka on annettu niiden koordinaateilla suhteessa yhteiseen karteesiseen koordinaattijärjestelmään avaruudessa, kuuluvat samaan tasoon silloin ja vain, jos vektorit ; ; koplanaarinen, ts. jos ja vain jos .

Tämän kompromissikriteerin mukaisesti kullekin ratkaisulle määritetään lineaarinen yhdistelmä minimi- ja maksimivoitosta.

Toinen vaihtoehto sisältää keskittymisen yhteen kriteeriin. Se voidaan joko valita yhdeksi vakioindikaattoreista, jolla on täysin ymmärrettävä taloudellinen tulkinta (esimerkiksi jokin likviditeettisuhteista, korkokate jne.), tai tämä kriteeri on kehitetty jonkin yleistavan keinotekoisen indikaattorin muodossa. yksityiset kriteerit. Tälle yleistetylle kriteerille asetetaan kynnysarvo, jolla verrataan potentiaaliselle lainanottajalle laskettua kriteerin todellista arvoa. Suurin vaikeus tämän lähestymistavan toteuttamisessa on yleisen indikaattorin muodostamismenetelmä. Useimmiten se on lineaarinen yhdistelmä osittaisia ​​kriteereitä, joista jokainen sisältyy yleiseen indikaattoriin tietyllä painokertoimella. Juuri tätä lähestymistapaa E. Altman käytti kehittäessään Z-kriteeriä konkurssin ennustamiseen.

Riviä e kutsutaan matriisin rivien e, e-..., em lineaariksi yhdistelmäksi, jos

Lineaarisen yhdistelmän käsite, vektorien e, e2 lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus. f em ovat samanlaisia ​​kuin vastaavat käsitteet matriisin e, e2,..., em (11.5) riveille.

Kuten kuvassa , rajatuille ja konvekseille sallituille joukoille (2.14) rajoitteen A xk bk täyttävä vektori x% 0 voidaan esittää konveksina lineaarisena yhdistelmänä äärellisistä pisteiden joukosta.

Elementtien a ja niiden lineaaristen yhdistelmien raja-arvojen laskemisen optimointimenettelyssä ei ole suurelta osin näitä puutteita.

On selvää, että (A/, q) ja (L., q") lineaarisella yhdistelmällä saatu piste (X1, q) on myös järjestelmän (4.43), (4.44) ratkaisu.

Tässä osiossa tarkastellaan sääntöjä monimuuttujaisen satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen ja varianssin laskemiseksi. Tämä on lineaarinen yhdistelmä korreloituja satunnaismuuttujia  

Siksi saamme mielivaltaisen määrän satunnaismuuttujia lineaariselle yhdistelmälle

Harkitse tapausta, jossa sijoitus tehdään useaan omaisuuteen (salkkuun). Salkku on lineaarinen yhdistelmä omaisuuseriä, joilla kullakin on oma odotettu tuotto- ja tuottohajontansa.

Toisin kuin mielivaltainen lineaarinen satunnaismuuttujien yhdistelmä, omaisuuserien painot noudattavat normalisointisääntöä

Edellisessä kappaleessa osoitettiin, että kun omaisuuserien välinen korrelaatiokerroin on pienempi kuin 1, salkun hajauttaminen voi parantaa odotetun tuoton ja odotetun riskin suhdetta. Tämä johtuu siitä, että salkun odotettu tuotto on lineaarinen yhdistelmä salkkuun sisältyvien omaisuuserien odotetuista tuotoista ja salkun varianssi on s.d.n neliöfunktio. sisältyy omaisuussalkkuun.

Koska erottelufunktio riippuu vain syötteiden lineaarisesta yhdistelmästä, hermosolu on lineaarinen erottaja. Joissakin yksinkertaisimmissa tilanteissa lineaarinen erottelija on paras mahdollinen, nimittäin siinä tapauksessa, että tulovektoreiden luokkaan k kuulumisen todennäköisyydet annetaan Gaussin jakaumilla

Tarkemmin sanottuna Oya-verkon lähdöt ovat ensimmäisen W pääkomponentin lineaarisia yhdistelmiä. Jotta itse pääkomponentit saadaan tarkalleen, Oya-säännössä riittää korvata kaikkien tulosteiden summaus arvolla

Vektorit b muodostavat myös ns. minimikannan. Tämä on nimittäin vektoreiden minimimäärä, jonka lineaarisen yhdistelmän avulla voidaan esittää kaikki muistiin tallennetut vektorit

Seuraavalla systemaattisella menettelyllä voidaan iteratiivisesti erottaa merkittävimmät ominaisuudet, jotka ovat lineaarisia syötemuuttujien yhdistelmiä X = W X (syötteiden osajoukko on lineaarisen yhdistelmän erikoistapaus, eli muodollisesti voidaan löytää Paras päätös kuin mitä on saatavilla valitsemalla merkittävimmät syötteiden yhdistelmät).

Analyysin aikana taloudellisen tilanteen eri näkökohtien kuvaamiseksi niitä käytetään. absoluuttiset indikaattorit ja taloudelliset tunnusluvut , jotka ovat taloudellisen tilanteen suhteellisia indikaattoreita . Viimeksi mainitut lasketaan taloudellisen tilanteen absoluuttisten tunnuslukujen tai niiden lineaaristen yhdistelmien suhteina. Tasetieteen perustajan, N.A. Blatovin, luokituksen mukaan taloudellisen tilanteen suhteelliset indikaattorit jaetaan jakautumiskertoimiin ja niitä käytetään tapauksissa, joissa on määritettävä, mikä osa jommastakummasta tai toisesta