Vektorin tulo luvulla. Mitä vektoria kutsutaan kahden vektorin summaksi Nollavektorin a ja luvun k tulo

Luonnonlakien oikea näyttäminen fysiikassa edellyttää asianmukaisia ​​matemaattisia työkaluja.

Geometriassa ja fysiikassa on suureita, joille on tunnusomaista sekä numeerinen arvo että suunta.

On suositeltavaa esittää ne suunnattuina segmentteinä tai vektorit.

Yhteydessä

Tällaisilla arvoilla on alku (esitetty pisteellä) ja loppu, joka on merkitty nuolella. Jakson pituutta kutsutaan (pituus).

• nopeus;
• kiihtyvyys;
• pulssi;
• pakottaa;
• hetki;
• vahvuus;
• liikkuva;
• kenttävoimakkuus jne.

Tason koordinaatit

Asetetaan jana tasolle, joka on suunnattu pisteestä A (x1,y1) pisteeseen B (x2,y2). Sen koordinaatit a (a1, a2) ovat lukuja a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Moduuli lasketaan Pythagoraan lauseella:

Nollavektorilla on alku ja loppu. Koordinaatit ja pituus ovat 0.

Vektorien summa

Olla olemassa useita sääntöjä määrän laskemiseen

• kolmio sääntö;
• monikulmio sääntö;
• suunnikassääntö.

Vektorien summaussääntö voidaan selittää dynamiikan ja mekaniikan tehtävillä. Harkitse vektoreiden yhteenlaskua kolmiosäännön mukaisesti käyttämällä esimerkkiä pistekappaleeseen vaikuttavista voimista ja kappaleen peräkkäisistä siirtymistä avaruudessa.

Oletetaan, että keho siirtyy ensin pisteestä A pisteeseen B ja sitten pisteestä B pisteeseen C. Lopullinen siirtymä on segmentti, joka on suunnattu aloituspisteestä A loppupisteeseen C.

Kahden siirtymän tulos tai niiden summa s = s1+ s2. Tällaista menetelmää kutsutaan kolmion sääntö.

Nuolet asettuvat ketjuun peräkkäin, tarvittaessa suorittaen rinnakkaissiirron. Kokonaissegmentti sulkee sarjan. Sen alku on sama kuin ensimmäisen alun, loppu - viimeisen lopun kanssa. Ulkomaisissa oppikirjoissa tätä menetelmää kutsutaan "häntä päähän".

Tuloksen c = a + b koordinaatit ovat yhtä kuin termien c vastaavien koordinaattien summa (a1+ b1, a2+ b2).

Kolmiosäännön määrää myös yhdensuuntaisten (kollineaaristen) vektoreiden summan.

Jos kaksi alkusegmenttiä ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, niin niiden yhteenlaskemisen tulos on niille rakennetun suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Summan pituus lasketaan Pythagoraan lauseella.

Esimerkkejä:

• Vaakasuoraan heitetyn kappaleen nopeus kohtisuorassa vapaa pudotuskiihtyvyys.
• Tasaisella pyörimisliikkeellä kappaleen lineaarinen nopeus on kohtisuorassa keskikiihtyvyyteen nähden.

Kolmen tai useamman vektorin lisääminen tuottaa mukaan monikulmion sääntö, "häntä päähän"

Oletetaan, että voimat F1 ja F2 kohdistuvat pistekappaleeseen.

Kokemus on osoittanut, että näiden voimien yhteisvaikutus on yhtä suuri kuin yhden voiman vaikutus, joka on suunnattu vinottain niihin rakennettua suunnikkaa pitkin. Tämä resultanttivoima on yhtä suuri kuin niiden summa F \u003d F1 + F 2. Yllä olevaa summausmenetelmää kutsutaan ns. suunnikassääntö.

Pituus lasketaan tässä tapauksessa kaavalla

Missä θ on sivujen välinen kulma.

Kolmio- ja suuntaviivasäännöt ovat keskenään vaihdettavissa. Fysiikassa suuntaviivasääntöä käytetään useammin, koska voimien, nopeuksien ja kiihtyvyyksien suunnatut suureet kohdistuvat yleensä yhteen pistekappaleeseen. 3D-koordinaattijärjestelmässä laatikkosääntö pätee.

Algebran elementit

1. Lisääminen on binääritoiminto: voit lisätä vain parin kerrallaan.
2. kommutatiivisuus: termien permutaatiosta saatu summa ei muutu a + b = b + a. Tämä käy ilmi suunnikassäännöstä: diagonaali on aina sama.
3. Assosiatiivisuus: summa mielivaltainen numero vektorit eivät riipu niiden summausjärjestyksestä (a + b) + c = a + (b + c).
4. Nollavektorin summaus ei muuta suuntaa tai pituutta: a +0= a .
5. Jokaiselle vektorille on olemassa vastapäätä. Niiden summa on nolla a +(-a)=0 ja pituudet ovat samat.

Kertominen skalaarilla

Skalaarilla kertomisen tulos on vektori.

Tulokoordinaatit saadaan kertomalla skalaarilla vastaavat lähteen koordinaatit.

Skalaari on numeerinen arvo, jonka plus- tai miinusmerkki on suurempi tai pienempi kuin yksi.

Esimerkkejä fysiikan skalaareista:

• paino;
• aika;
• maksu;
• pituus;
• neliö;
• tilavuus;
• tiheys;
• lämpötila;
• energiaa.

Esimerkki:

Työ on voiman ja siirtymän skalaaritulo A = Fs .

Fysiikan, mekaniikan ja teknisten tieteiden eri aloja opiskellessa on suureita, jotka määräytyvät kokonaan asettamalla niiden numeeriset arvot. Tällaisia ​​määriä kutsutaan skalaari tai lyhyesti sanottuna skalaarit.

Skalaarisuureita ovat pituus, pinta-ala, tilavuus, massa, ruumiinlämpö jne. Skalaarisuureiden lisäksi erilaisissa ongelmissa on suureita, joiden määrittämistä varten on numeerisen arvon lisäksi tiedettävä myös niiden suunta . Tällaisia ​​määriä kutsutaan vektori. Fysikaalisia esimerkkejä vektorisuureista ovat avaruudessa liikkuvan aineellisen pisteen siirtymä, tämän pisteen nopeus ja kiihtyvyys sekä siihen vaikuttava voima.

Vektorisuureet esitetään vektoreilla.

Vektorin määritelmä. Vektori on suunnattu jana, jolla on tietty pituus.

Vektoria kuvaa kaksi pistettä. Yksi piste on vektorin alkupiste, toinen piste on vektorin loppupiste. Jos merkitsemme vektorin alkua pisteellä A , ja vektorin loppu on piste SISÄÄN , silloin itse vektori on merkitty . Vektori voidaan merkitä myös yhdellä pienellä latinalaiskirjaimella, jonka yläpuolella on palkki (esimerkiksi ).

Graafisesti vektoria edustaa jana, jonka lopussa on nuoli.

Vektorin alkua kutsutaan sen soveltamiskohta. Jos kohta A on vektorin alku , silloin sanomme, että vektori on kiinnitetty pisteeseen A.

Vektorille on ominaista kaksi suuretta: pituus ja suunta.

Vektorin pituus – alkupisteiden A ja päätepisteiden B välinen etäisyys. Vektorin pituuden toinen nimi on vektorin moduuli ja se on merkitty symbolilla . Vektorin moduuli on merkitty Vektori , jonka pituus on 1, kutsutaan yksikkövektoriksi. Eli yksikkövektorin ehto

Nollapituista vektoria kutsutaan nollavektoriksi (merkitty ). Ilmeisesti nollavektorilla on sama alku- ja loppupiste. Nollavektorilla ei ole tarkkaa suuntaa.

Kollineaaristen vektorien määritelmä. Vektoreita, jotka sijaitsevat samalla suoralla tai rinnakkaisilla viivoilla, kutsutaan kollineaarisiksi .

Huomaa, että kollineaarisilla vektoreilla voi olla eri pituuksia ja eri suuntaisia.

Samansuuruisten vektorien määritelmä. Kaksi vektoria, joita kutsutaan samanarvoisiksi, jos ne ovat kollineaarisia, niillä on sama pituus ja sama suunta.

Tässä tapauksessa he kirjoittavat:

Kommentti. Vektorien yhtäläisyyden määritelmästä seuraa, että vektori voidaan siirtää rinnakkain asettamalla sen origo mihin tahansa avaruuden pisteeseen (erityisesti tasoon).

Kaikki nollavektorit katsotaan yhtäläisiksi.

Vastakkaisten vektorien määritelmä. Kaksi vektoria, joita kutsutaan vastakkaisiksi, jos ne ovat kollineaarisia, ovat saman pituisia, mutta vastakkaisia.

Tässä tapauksessa he kirjoittavat:

Toisin sanoen vektoria vastapäätä olevaa vektoria merkitään .

m x n -matriisi.

Matriisi Kokoa m x n kutsutaan kokoelmaksi mn todellisia lukuja tai muun rakenteen elementit (polynomit, funktiot jne.), jotka on kirjoitettu suorakaiteen muotoiseen taulukkoon, joka koostuu m rivistä ja n sarakkeesta ja joka on otettu pyöreisiin tai suorakaiteen muotoisiin tai kaksoissuoraan hakasulkeeseen. Tässä tapauksessa itse numeroita kutsutaan matriisin elementeiksi ja jokaiselle elementille annetaan kaksi numeroa - rivin numero ja sarakkeen numero. N x n -matriisia kutsutaan ns. neliö n:nnen kertaluvun matriisi, ts. rivien määrä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä. kolmion muotoinen - neliömatriisi, jossa kaikki päädiagonaalin ala- tai yläpuolella olevat elementit ovat nollia. Neliömatriisia kutsutaan nimellä diagonaalinen jos kaikki sen diagonaalista poikkeavat elementit ovat yhtä suuria kuin nolla. skalaari matriisi - diagonaalinen matriisi, jonka diagonaaliset pääelementit ovat yhtä suuret. Skalaarimatriisin erikoistapaus on identiteettimatriisi. Diagonaalinen kutsutaan matriisia, jonka kaikki diagonaalit ovat yhtä suuria kuin 1 yksittäinen matriisi ja sitä merkitään symbolilla I tai E. Matriisia, jonka kaikki alkiot ovat yhtä suuret kuin nolla, kutsutaan tyhjä matriisi ja se on merkitty symbolilla O.

Matriisin A kertominen luvulla λ (symboli: λ A) on muodostaa matriisi B, jonka alkiot saadaan kertomalla jokainen matriisin alkio A tällä numerolla eli matriisin jokaisella elementillä B on yhtä suuri

Matriisien luvulla kertomisen ominaisuudet

1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Matriisin lisäys A + B on operaatio matriisin löytämiseksi C, jonka kaikki alkiot ovat yhtä suuria kuin matriisien kaikkien vastaavien alkioiden pareittainen summa A Ja B, eli matriisin jokainen elementti C on yhtä suuri

Matriisin lisäysominaisuudet

5.kommutatiivisuus) a+b=b+a

6.assosiatiivisuus.

7.lisäys nollamatriisilla;

8. vastakkaisen matriisin olemassaolo (sama, mutta kaikkialla miinuksia jokaisen numeron edessä)

Matriisin kertolasku - on matriisilaskentatoiminto C, jonka alkiot ovat yhtä suuria kuin ensimmäisen tekijän vastaavan rivin ja toisen sarakkeen alkioiden tulojen summa.

Matriisin sarakkeiden lukumäärä A täytyy vastata matriisin rivien määrää B. Jos matriisi A on ulottuvuus, B- , sitten tuotteen koko AB = C On .

Matriisikertoimen ominaisuudet

1.assosiatiivisuus (katso yllä)

2. tuote ei ole kommutoiva;

3. tulo on kommutatiivinen, kun kyseessä on kertolasku identiteettimatriisilla;

4. jakelulain oikeudenmukaisuus; A*(B+C)=A*B+A*C.

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. Ensimmäisen ja n:nnen kertaluvun neliömatriisin determinantti

Matriisin determinantti on polynomi neliömatriisin alkioissa (eli sellaisen, jonka rivien ja sarakkeiden määrä on yhtä suuri kuin

Määritelmä ensimmäisen rivin laajennuksen kautta

Ensimmäisen asteen matriisille määräävä tekijä on itse tämän matriisin ainoa elementti:

Matriisissa determinantti määritellään seuraavasti

Matriisille determinantti annetaan rekursiivisesti:

, jossa elementin lisämolli a 1j. Tätä kaavaa kutsutaan merkkijonon laajennus.

Erityisesti kaava matriisin determinantin laskemiseksi on:

= a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31

Tarkentajan ominaisuudet

Kun lisätään mille tahansa riville (sarakkeelle) lineaarinen yhdistelmä muilla riveillä (sarakkeilla) determinantti ei muutu.

§ Jos matriisin kaksi riviä (saraketta) osuvat yhteen, sen determinantti on nolla.

§ Jos matriisin kaksi (tai useampia) riviä (saraketta) ovat lineaarisesti riippuvaisia, niin sen determinantti on nolla.

§ Jos järjestät matriisin kaksi riviä (saraketta) uudelleen, sen determinantti kerrotaan (-1).

§ Minkä tahansa determinantin sarjan alkioiden yhteinen tekijä voidaan ottaa pois determinantin merkistä.

§ Jos vähintään yksi matriisin rivi (sarake) on nolla, niin determinantti on nolla.

§ Minkä tahansa merkkijonon kaikkien elementtien ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa on yhtä suuri kuin determinantti.

§ Minkä tahansa sarjan kaikkien alkioiden ja rinnakkaissarjan vastaavien alkioiden algebrallisten komplementtien tulojen summa on nolla.

§ Saman kertaluvun neliömatriisien tulon determinantti on yhtä suuri kuin niiden determinanttien tulo (katso myös Binet-Cauchyn kaava).

§ Indeksimerkintää käyttämällä 3×3-matriisin determinantti voidaan määrittää Levi-Civita-symbolilla suhteesta:

Käänteinen matriisi.

Käänteinen matriisi on sellainen matriisi A -1, kun kerrotaan jolla alkuperäinen matriisi A tuottaa identiteettimatriisin E:

Tulos olemassaolo:

Neliömatriisi on käännettävä silloin ja vain, jos se on ei-singulaarinen, eli sen determinantti ei ole nolla. Ei-neliömatriiseille ja degeneroituneille matriiseille ei ole käänteismatriiseja.

Kaava löytämiseen

Jos matriisi on käännettävä, voit löytää matriisin käänteisen käyttämällä jotakin seuraavista menetelmistä:

a) Matriisin käyttö algebralliset lisäykset

C T- algebrallisten lisäysten transponoitu matriisi;

Tuloksena oleva matriisi A−1 ja on käänteinen. Algoritmin monimutkaisuus riippuu determinantin O det laskemiseen käytettävän algoritmin monimutkaisuudesta ja on yhtä suuri kuin O(n²) O det .

Toisin sanoen käänteismatriisi on yhtä suuri kuin yksi jaettuna alkuperäisen matriisin determinantilla ja kerrottuna algebrallisten lisäysten transponoidulla matriisilla (kerromme molliarvolla (-1) sen paikan asteeseen, jonka se vie) alkuperäisen matriisin elementit.

4. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä. Järjestelmäratkaisu. Järjestelmän johdonmukaisuus ja yhteensopimattomuus. matriisimenetelmä n lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaisemiseksi n muuttujalla. Krammerin lause.

Järjestelmä m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon(tai, lineaarinen järjestelmä) V lineaarialgebra on muodon yhtälöjärjestelmä

(1)

Tässä x 1 , x 2 , …, x n ovat tuntemattomia määritettäväksi. a 11 , a 12 , …, amn- järjestelmäkertoimet - ja b 1 , b 2 , … b m- vapaajäsenet - oletetaan olevan tiedossa. Kerroinindeksit ( aij) järjestelmät tarkoittavat yhtälön ( i) ja tuntematon ( j), jossa tämä kerroin on vastaavasti.

Järjestelmää (1) kutsutaan homogeeninen jos kaikki sen vapaat ehdot ovat nolla ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), muuten - heterogeeninen.

Järjestelmää (1) kutsutaan neliö jos numero m yhtälöt ovat yhtä suuria kuin luku n tuntematon.

Ratkaisu järjestelmät (1) - sarja n numeroita c 1 , c 2 , …, c n, niin että kunkin korvaaminen c i sijasta x i järjestelmäksi (1) muuttaa kaikki yhtälönsä identiteeteiksi.

Järjestelmää (1) kutsutaan liitos jos sillä on ainakin yksi ratkaisu, ja yhteensopimaton jos siihen ei ole ratkaisua.

Muotoa (1) olevalla yhteisjärjestelmällä voi olla yksi tai useampi ratkaisu.

Ratkaisut c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) ja c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) kutsutaan muotoa (1) olevia liitosjärjestelmiä eri jos vähintään yhtä tasa-arvoa rikotaan:

matriisimuoto

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä voidaan esittää matriisimuodossa seuraavasti:

Ax = B.

Jos oikealla olevaan matriisiin A on liitetty vapaiden termien sarake, niin tuloksena olevaa matriisia kutsutaan laajennetuksi.

Suorat menetelmät

Cramerin menetelmä (Cramerin sääntö)- tapa ratkaista neliömäisiä lineaarisia järjestelmiä algebralliset yhtälöt päämatriisin nollasta poikkeavalla determinantilla (lisäksi sellaisille yhtälöille ratkaisu on olemassa ja ainutlaatuinen). Nimetty Gabriel Cramerin (1704–1752) mukaan, joka keksi menetelmän.

Menetelmän kuvaus

Järjestelmälle n lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon (muokatun kentän yli)

kun järjestelmämatriisideterminantti Δ on eri kuin nolla, ratkaisu kirjoitetaan muodossa

(järjestelmämatriisin i. sarake korvataan vapaiden termien sarakkeella).
Toisessa muodossa Cramerin sääntö on muotoiltu seuraavasti: kaikille kertoimille c 1 , c 2 , ..., c n yhtälö on tosi:

Tässä muodossa Cramerin kaava pätee ilman oletusta, että Δ on eri kuin nolla, ei ole edes välttämätöntä, että järjestelmän kertoimet ovat integraalirenkaan elementtejä (järjestelmän determinantti voi olla jopa nollan jakaja renkaassa kertoimet). Voimme myös olettaa, että joko asettaa b 1 ,b 2 ,...,b n Ja x 1 ,x 2 ,...,x n, tai setti c 1 ,c 2 ,...,c n eivät koostu järjestelmän kerroinrenkaan elementeistä, vaan jostain tämän renkaan päällä olevasta moduulista.

5. Pieni k-as tilaus. Matrix sijoitus. Matriisien alkeismuunnokset. Kronecker-Capellin lause lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuusehdoista. Muuttujan eliminointimenetelmä (Gauss) lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Pieni matriiseja A on järjestyksen neliömatriisin determinantti k(jota kutsutaan myös tämän mollin järjestykseksi), jonka elementit ovat matriisissa A numeroiden rivien ja numeroiden sarakkeiden leikkauskohdassa.

sijoitus matriisirivi (sarake) järjestelmät A Kanssa m linjat ja n sarakkeet on nollasta poikkeavien rivien (sarakkeiden) enimmäismäärä.

Useita rivejä (sarakkeita) kutsutaan lineaarisesti riippumattomiksi, jos yhtäkään niistä ei voida ilmaista lineaarisesti muiden termein. Rivijärjestelmän järjestys on aina yhtä suuri kuin sarakejärjestelmän arvo, ja tätä numeroa kutsutaan matriisin arvoksi.

Kronecker - Capelli-lause (yhteensopivuuskriteeri lineaarisille algebrallisille yhtälöille) -

lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä on johdonmukainen silloin ja vain, jos sen päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin sen laajennetun matriisin arvo (vapailla termeillä), ja järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, jos järjestys on on yhtä suuri kuin luku tuntemattomia, ja ääretön määrä ratkaisuja, jos arvo pienempi kuin numero tuntematon.

Gaussin menetelmä - klassinen menetelmä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (SLAE) ratkaisu. Tämä on menetelmä muuttujien peräkkäiseen eliminointiin, kun alkeismuunnosten avulla yhtälöjärjestelmä pelkistetään vastaava järjestelmä vaiheittainen (tai kolmion muotoinen) muoto, josta kaikki muut muuttujat löytyvät peräkkäin, alkaen viimeisistä (numerokohtaisista) muuttujista.

6. Suunnattu segmentti ja vektori. Vektorialgebran alkukäsitteet. Vektorien summa ja vektorin tulo luvulla. Vektorien koordinaation ehto. Vektorien lineaaristen operaatioiden ominaisuudet.

Operaatiot vektoreille

Lisäys

Geometristen vektorien summausoperaatio voidaan määritellä eri tavoin tilanteen ja tarkasteltavien vektoreiden tyypin mukaan:

Kaksi vektoria u, v ja niiden summan vektori

kolmion sääntö. Lisätään kaksi vektoria ja kolmiosäännön mukaisesti nämä molemmat vektorit siirretään rinnakkain itsensä kanssa niin, että toisen alku on sama kuin toisen loppu. Sitten summavektorin antaa muodostetun kolmion kolmas sivu, ja sen alku osuu yhteen ensimmäisen vektorin alun kanssa ja loppu toisen vektorin lopun kanssa.

suunnikassääntö. Kahden vektorin lisäämiseksi ja suunnikkaan säännön mukaisesti nämä molemmat vektorit siirretään rinnakkain keskenään niin, että niiden alku on sama. Sitten summavektorin antaa niille rakennetun suunnikkaan diagonaali, joka tulee niiden yhteisestä origosta.

Ja summavektorin moduuli (pituus). määritetään kosinilauseella missä on vektorien välinen kulma, kun yhden alku on sama kuin toisen loppu. Kaavaa käytetään myös nyt - yhdestä pisteestä lähtevien vektorien välinen kulma.

vektorituote

vektori taidetta vektorista vektoriin kutsutaan vektoriksi, joka täyttää seuraavat vaatimukset:

Vektorin C ominaisuudet

§ vektorin pituus on yhtä suuri kuin vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman φ sinin tulo

§ vektori on ortogonaalinen kuhunkin vektoriin ja

§ vektorin C suunta määräytyy Gimlet-säännön mukaan

Vektorituotteen ominaisuudet:

1. Kun tekijät järjestetään uudelleen, vektoritulo vaihtaa etumerkkiä (antikommutatiivisuus), ts.

2. Vektoritulolla on assosiatiivista omaisuutta skalaaritekijän suhteen, eli

3. Vektoritulolla on jakautumisominaisuus:

Pohja ja koordinaattijärjestelmä tasossa ja avaruudessa. Vektorin hajoaminen kannassa. Ortonormaali kanta ja suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä tasossa ja avaruudessa. Vektorikoordinaatit ja -pisteet tasossa ja avaruudessa. Vektoriprojektiot koordinaattiakseleille.

Perusta (antiikin Kreikan βασις, kanta) - joukko sellaisia ​​vektoreita vektoriavaruudessa, että mikä tahansa tämän avaruuden vektori voidaan esittää yksiselitteisesti tämän joukon vektoreiden lineaarisena yhdistelmänä - kantavektorit.

Usein on kätevää valita kunkin kantavektorin pituus (normi) yksikkönä, tällaista kantaa kutsutaan ns. normalisoitunut.

Tietyn (mitä tahansa) avaruusvektorin esittäminen kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä (kantavektorien summa numeerisilla kertoimilla), esim.

tai käyttämällä summan Σ etumerkkiä:

nimeltään tämän vektorin laajennus tällä perusteella.

Vektorikoordinaatit ja -pisteet tasossa ja avaruudessa.

Pisteen A koordinaatti x-akselilla on luku, joka on absoluuttisesti yhtä suuri kuin janan OAx pituus: positiivinen, jos piste A on positiivisella puoliakselilla x, ja negatiivinen, jos se on negatiivisella puoliakselilla.

Yksikkövektori tai vektori on vektori, jonka pituus on yhtä suuri ja joka on suunnattu mitä tahansa koordinaattiakselia pitkin.

Sitten vektori projektio AB l-akselilla on tämän akselin vektorin lopun ja alun projektioiden koordinaattien erotus x1 - x2.

8.Vektorin pituus- ja suuntakosinit, suuntakosinien välinen suhde. Vektori vektori. Koordinaatit ovat vektorien summa, vektorin tulo luvulla.

Vektorin pituus määräytyy kaavan mukaan

Vektorin suunnan määräävät sen muodostamat kulmat α, β, γ koordinaattiakseleiden Ox, Oy, Oz kanssa. Näiden kulmien kosinit (ns vektorin suuntakosinit ) lasketaan kaavoilla:

Yksikkövektori tai ort (normoidun vektoriavaruuden yksikkövektori) on vektori, jonka normi (pituus) on yhtä suuri kuin yksi.

Yksikkövektori , kollineaarinen annetun kanssa (normalisoitu vektori), määritetään kaavalla

Yksikkövektorit valitaan usein kantavektoreiksi, koska tämä yksinkertaistaa laskelmia. Tällaisia ​​emäksiä kutsutaan normalisoitunut. Jos nämä vektorit ovat myös ortogonaalisia, tällaista kantaa kutsutaan ortonormaaliksi kantaksi.

Koordinaatit kollineaarinen

Koordinaatit yhtä suuri

Koordinaatit summavektorit kaksi vektoria täyttävät suhteet:

Koordinaatit kollineaarinen vektorit täyttävät suhteen:

Koordinaatit yhtä suuri vektorit täyttävät suhteet:

summavektori kaksi vektoria:

Useiden vektorien summa:

Vektorin tulo luvulla:

Vektoritulo vektoreista. Ristituotteen geometriset sovellukset. Kollineaaristen vektorien ehto. Sekatuotteen algebralliset ominaisuudet. Ristitulon ilmaus tekijöiden koordinaatteina.

Vektorin ristitulo ja vektoria b kutsutaan vektoriksi c, joka:

1. kohtisuorassa vektoreihin a ja b, eli c^a ja c^b nähden;

2. Sillä on numeerinen pituus yhtä suuri kuin pinta-ala vektoreille a ja b rakennettu suunnikas kuten sivuille (ks. kuva 17), ts.

3. Vektorit a, b ja c muodostavat oikean kolmion.

Geometriset sovellukset:

Vektorien kollineaarisuuden määrittäminen

Suunnikkaan ja kolmion alueen löytäminen

Vektorien ristitulon määritelmän mukaan A ja b |a xb | =|a| * |b |laulaa , eli S paria = |a x b |. Ja siksi DS \u003d 1/2 | a x b |.

Voiman momentin määrittäminen pisteen ympärillä

Se tiedetään fysiikasta voimamomentti F suhteessa pisteeseen NOIN kutsutaan vektoriksi M, joka kulkee pisteen läpi NOIN Ja:

1) kohtisuorassa pisteiden läpi kulkevaan tasoon nähden O, A, B;

2) numeerisesti yhtä suuri kuin voiman ja olkapään tulo

3) muodostaa oikean kolmion vektoreilla OA ja A B.

Joten M = OA x F.

Lineaarisen pyörimisnopeuden löytäminen

Nopeus v piste M kiinteä runko, pyörii kanssa kulmanopeus w kiinteän akselin ympärillä määritetään Eulerin kaavalla v =w xr, missä r = OM, missä O on jokin akselin kiinteä piste (katso kuva 21).

Kollineaaristen vektorien ehto - nollasta poikkeavan vektorin ja vektorin kollineaarisuuden välttämätön ja riittävä ehto on luvun, joka täyttää yhtälön .

Sekatuotteen algebralliset ominaisuudet

Vektorien sekatulo ei muutu tekijöiden ympyräpermutaatiolla ja muuttaa etumerkkiä päinvastaiseksi, kun nämä kaksi tekijää vaihdetaan, samalla kun moduuli säilyy.

Sekatulon sisällä oleva vektorin kertolaskumerkki " " voidaan sijoittaa minkä tahansa sen tekijän väliin.

Sekatuote on distributiivinen minkä tahansa tekijänsä suhteen: (esimerkiksi) jos , niin

Ristituotteen ilmaisu koordinaattien muodossa

koordinaattijärjestelmä oikein

koordinaattijärjestelmä jäljellä

12.Vektorien sekatulo. geometrinen tunne sekatulo, vektorin komplanaarisuuden ehto. Sekatuotteen algebralliset ominaisuudet. Sekatuotteen ilmaisu tekijöiden koordinaatteina.

sekoitettu vektorien järjestetyn kolmikon (a,b,c) tulo on ensimmäisen vektorin skalaaritulo toisen vektorin kolmannen vektoritulolla.

Vektoritulon algebralliset ominaisuudet

Antikommutatiivisuus

Assosiatiivisuus skalaarilla kertomiseen

Jakaumat yhteenlaskettuna

Jacobin identiteetti. Käy R3:ssa ja katkeaa R7:ssä

Kantavektoreiden vektoritulot löytyvät määritelmän mukaan

Johtopäätös

missä ovat sekä suoran suuntausvektorin että suoraan kuuluvan pisteen koordinaatit.

Tason suoran normaalivektori. Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa tiettyyn vektoriin nähden. Suoran suoran yleinen yhtälö. Suoran ja kaltevuuskertoimen yhtälöt. Kahden suoran keskinäinen järjestely tasossa

Normaali Viivan vektori on mikä tahansa nollasta poikkeava vektori, joka on kohtisuorassa tätä suoraa vastaan.

- yhtälö suorasta, joka kulkee tietyn pisteen kautta kohtisuorassa tiettyyn vektoriin nähden

Ah + Wu + C = 0- suoran suoran yleinen yhtälö.

Suoran yhtälö y=kx+b

nimeltään suoran ja kaltevuuden yhtälö, ja kerrointa k kutsutaan annetun suoran kulmakertoimeksi.

Lause. Suoran yhtälössä, jonka kaltevuus on y=kx+b

kulmakerroin k on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuskulman tangentti x-akseliin nähden:

Keskinäinen järjestely:

ovat Oxy-koordinaattitason kahden suoran yleiset yhtälöt. Sitten

1) jos , niin rivit ja ovat samat;

2) jos , niin suorat ja yhdensuuntaiset;

3) jos , niin suorat leikkaavat.

Todiste . Ehto vastaa annettujen viivojen normaalivektorien kollineaarisuutta:

Siksi, jos , Sitten ja suora leikkaavat.

Jos , sitten , , ja suoran yhtälö saa muodon:

Tai , eli suoraan ottelu. Huomaa, että suhteellisuuskerroin , muuten kaikki kertoimet yleinen yhtälö olisi nolla, mikä on mahdotonta.

Jos suorat eivät kohtaa eivätkä leikkaa, tapaus jää, ts. suoraan ovat yhdensuuntaisia.

Segmenttien suoran yhtälö

Jos suoran Ah + Vy + С = 0 С≠0 yleisessä yhtälössä saamme jakamalla –С:lla: tai , missä

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin A on suoran ja x-akselin leikkauspisteen koordinaatti, ja b- suoran ja Oy-akselin leikkauspisteen koordinaatti.

Normaali suoran yhtälö

Jos yhtälön molemmat puolet Ax + Wy + C = 0 jaettuna kutsutulla luvulla normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

suoran suoran normaaliyhtälö.

Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ ? KANSSA< 0.

p on origosta suoralle pudotetun kohtisuoran pituus, ja φ on tämän kohtisuoran muodostama kulma Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa.

C On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​akselien kanssa tai kulkevat origon kautta.

17. Ellipsi. Kanoninen yhtälö ellipsi. Geometriset ominaisuudet ja ellipsin rakentaminen. Erikoisehdot.

Ellipsi - pisteiden paikka M Euklidinen taso, jonka etäisyyksien summa kahteen annettuun pisteeseen F 1 ja F 2 (kutsutaan polttopisteiksi) on vakio ja suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys, eli | F 1 M | + | F 2 M | = 2a, ja | F 1 F 2 | < 2a.

Kanoninen yhtälö

Jokaiselle ellipsille voit löytää karteesisen koordinaattijärjestelmän, jossa ellipsi kuvataan yhtälöllä (ellipsin kanoninen yhtälö):

Se kuvaa origoon keskitettyä ellipsiä, jonka akselit yhtyvät koordinaattiakseleiden kanssa.

Rakennus V: 1) Kompassin käyttäminen

2) Kaksi temppua ja venytetty lanka

3) Ellipsografi (Ellipsografi koostuu kahdesta liukusäätimestä, jotka voivat liikkua kahta kohtisuoraa uraa tai ohjainta pitkin. Liukusäätimet on kiinnitetty tankoon saranoiden avulla, ja ne ovat kiinteällä etäisyydellä toisistaan ​​tankoa pitkin. Liukusäätimet liikkuvat eteenpäin ja taaksepäin - kukin omaa uraansa pitkin - ja tangon pää kuvaa ellipsiä tasossa. Ellipsin puoliakselit a ja b ovat etäisyydet tangon päästä liukusäätimien saranoihin. Yleensä etäisyyksiä a ja b voidaan vaihdella ja siten muuttaa kuvatun ellipsin muotoa ja kokoa)

Epäkeskisyys luonnehtii ellipsin venymistä. Mitä lähempänä epäkeskisyys on nollaa, sitä enemmän ellipsi muistuttaa ympyrää, ja päinvastoin, mitä lähempänä epäkeskisyys on yhtenäisyyttä, sitä pitkänomaisempi se on.

polttoparametri

Kanoninen yhtälö

18.Hyperbeli. Hyperbolien kanoniset yhtälöt. Hyperbolin geometriset ominaisuudet ja rakenne. Erikoisehdot

Hyperbeli(antiikin kreikan ὑπερβολή, muusta kreikasta βαλειν - "heittää", ὑπερ - "yli") - pisteiden paikka M Euklidinen taso, jolle etäisyyksien eron itseisarvo M enintään kaksi valittua pistettä F 1 ja F 2 (kutsutaan tarkennuksiksi) koko ajan. Tarkemmin,

Ja | F 1 F 2 | > 2a > 0.

Suhteet

Yllä määriteltyjen hyperbelin ominaisuuksien osalta ne noudattavat seuraavia suhteita

2. Hyperbolin suuntaviivat on osoitettu kaksinkertaisilla viivoilla ja ne on merkitty D 1 ja D 2. Epäkeskisyys ε on yhtä suuri kuin pisteiden etäisyyksien suhde P hyperbelin kohdalle ja vastaavaan suuntaviivaan (näkyy vihreällä). Hyperbolin kärjet merkitään ± a. Hyperbolaparametrit tarkoittavat seuraavaa:

a-etäisyys keskustasta C jokaiseen huippuun
b- kustakin kärjestä asymptootteihin pudonneen kohtisuoran pituus
c-etäisyys keskustasta C ennen mitään temppuja, F 1 ja F 2 ,
θ on kunkin asymptootin ja kärkien väliin piirretyn akselin muodostama kulma.

Ominaisuudet

§ Jokaiselle hyperbelin päällä olevalle pisteelle etäisyyden suhde tästä pisteestä polttopisteeseen samasta pisteestä suuntaviivaan on vakioarvo.

§ Hyperbolalla on peilisymmetriaa todellisen ja kuvitteellisen akselin suhteen sekä kiertosymmetriaa, kun sitä kierretään 180° kulmassa hyperbelin keskustan ympärillä.

§ Jokaisella hyperbolilla on konjugoitu hyperbola, jonka reaali- ja imaginaariakselit vaihdetaan, mutta asymptootit pysyvät samoina. Tämä vastaa vaihtoa a Ja b päällekkäin hyperbolaa kuvaavassa kaavassa. Konjugaattihyperboli ei ole tulosta alkuhyperbolin 90° kierrosta; molemmat hyperbolit eroavat muodoltaan.

19. Paraabeli. Paraabelin kanoninen yhtälö. Paraabelin geometriset ominaisuudet ja rakenne. Erikoisehdot.

Paraabeli on pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana annetusta suorasta (kutsutaan paraabelin suuntaviivaksi) ja annetusta pisteestä (kutsutaan paraabelin fokuspisteeksi).

Paraabelin kanoninen yhtälö suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on:

(tai jos akselit ovat käänteisiä).

Ominaisuudet

§ 1Paraabeli on toisen asteen käyrä.

§ 2Sillä on symmetria-akseli, jota kutsutaan nimellä paraabeliakseli. Akseli kulkee polttopisteen läpi ja on kohtisuorassa suuntaviivaan nähden.

§ 3Optinen ominaisuus. Paraabelin akselin suuntainen säde, joka heijastuu paraabeliin, kerätään sen fokukseen. Päinvastoin, valo tarkennetusta lähteestä heijastuu paraabelilla sen akselin suuntaiseksi säteeksi.

§ 4Paraabelin tarkennus on pisteessä (0,25; 0).

Paraabelin tarkennus on pisteessä (0; f).

§ 5 Jos paraabelin fokus heijastuu tangentin ympäriltä, ​​sen kuva on suuntaviivalla.

§ 6A paraabeli on viivan antipodera.

§ Kaikki paraabelit ovat samanlaisia. Tarkennuksen ja suuntaviivan välinen etäisyys määrittää mittakaavan.

§ 7 Kun paraabelia kierretään symmetria-akselin ympäri, saadaan elliptinen paraboloidi.

Paraabelin suuntaviiva

polttopisteen säde

20.Tason normaalivektori. Tietyn pisteen läpi kulkevan tason yhtälö on kohtisuorassa annettua vektoria vastaan. Tason yleinen yhtälö, erikoistapaus tason yleinen yhtälö. Tason vektoriyhtälö. Kahden tason keskinäinen järjestely.

Lentokone on yksi geometrian peruskäsitteistä. Geometrian systemaattisessa esittelyssä tason käsite otetaan yleensä yhdeksi alkukäsitteeksi, jonka geometrian aksioomat määräävät vain epäsuorasti.

Tasoyhtälö pisteeltä ja normaali vektori
Vektorimuodossa

Koordinaateissa

Tasojen välinen kulma

Tason yleisen yhtälön erityistapaukset.