Hanki tasojen suoran leikkausviivan kanoninen yhtälö. Lentokoneiden risteyslinja verkossa. Siirtyminen avaruuden suoran parametrisiin ja kanonisiin yhtälöihin

Sisällytetään suoran kanoniset yhtälöt

kerroin on nollasta poikkeava, eli suora ei ole yhdensuuntainen xOy-tason kanssa. Kirjoitamme nämä yhtälöt erikseen seuraavassa muodossa:

Ehdoissamme yhtälöt (6) määrittävät suoran kokonaan. Jokainen niistä yksilöllisesti ilmaisee tason, joista ensimmäinen on yhdensuuntainen Oy akselin kanssa ja toinen akselin kanssa

Siten esittämällä suoraa muodon (6) yhtälöillä, katsomme sen kahden tason leikkauspisteeksi, jotka projisoivat tämän suoran koordinaattitasoille xOz ja yOz. Ensimmäinen yhtälöistä (6) tasossa tarkasteltuna määrittää tietyn suoran projektion tälle tasolle; samalla tavalla tasossa tarkasteltuna toinen yhtälöistä (6) määrittää annetun suoran projektion tasolle yOz. Voidaan siis sanoa, että suoran yhtälöiden antaminen muodossa (6) tarkoittaa sen projektioiden antamista koordinaattien xOz ja yOz tasolle.

Jos ohjauskerroin olisi nolla, niin ainakin toinen kahdesta muusta kertoimesta olisi esimerkiksi erilainen kuin nolla, eli suora ei olisi yhdensuuntainen tason yOz kanssa. Tässä tapauksessa voisimme ilmaista suoraan

tasojen yhtälöt, jotka projisoivat sen koordinaattitasoille kirjoittamalla yhtälöt (5) muotoon

Siten mikä tahansa suora voidaan ilmaista kahden sen läpi kulkevan ja sen koordinaattitasoille projisoivan tason yhtälöillä. Mutta ei ole ollenkaan välttämätöntä määritellä suoraa vain sellaisella tasoparilla.

Jokaisella rivillä on lukemattomia lentokoneita. Mitkä tahansa niistä leikkaavat, määrittelevät sen avaruudessa. Siksi minkä tahansa kahden tällaisen tason yhtälöt yhdessä tarkasteltuna ovat tämän suoran yhtälöitä.

Yleensä mitkä tahansa kaksi ei-rinnakkaista tasoa yleiset yhtälöt

määrittää niiden leikkauslinjan.

Yhtälöitä (7) kutsutaan suoran yleisiksi yhtälöiksi.

Suoran (7) yleisistä yhtälöistä voidaan siirtyä sen kanonisiin yhtälöihin. Tätä tarkoitusta varten meidän on tiedettävä jokin suoran piste ja suuntavektori.

Voimme helposti löytää pisteen koordinaatit annetusta yhtälöjärjestelmästä valitsemalla yhden koordinaateista mielivaltaisesti ja ratkaisemalla sitten kahden yhtälöjärjestelmän suhteessa kahteen jäljellä olevaan koordinaattiin.

Löytääksemme suoran suuntausvektorin, huomaamme, että tämän vektorin, joka on suunnattu näiden tasojen leikkausviivaa pitkin, on oltava kohtisuorassa molempiin normaalit vektorit nämä lentokoneet. Sitä vastoin mikä tahansa vektori, joka on kohtisuorassa, on yhdensuuntainen molempien tasojen ja siten annetun suoran kanssa.

Mutta vektorituotteella on myös tämä ominaisuus. Siksi näiden tasojen normaalivektorien vektoritulo voidaan ottaa suoran suuntausvektoriksi.

Esimerkki 1. Muunna suoran yhtälön kanoniseen muotoon

Valitsemme yhden koordinaateista mielivaltaisesti. Olkoon esimerkiksi. Sitten

mistä Joten, olemme löytäneet pisteen (2, 0, 1) makaavan viivalla,

Kun nyt löydetään vektorien vektoritulo, saadaan suoran suuntausvektori, joten kanoniset yhtälöt ovat:

Kommentti. Muodon (7) yleisistä suorista yhtälöistä voidaan siirtyä kanonisiin yhtälöihin turvautumatta vektorimenetelmään.

Katsotaanpa ensin yksityiskohtaisemmin yhtälöitä

Ilmaistaan ​​x ja y suhteessa . Sitten saamme:

missä sen pitäisi olla

Yhtälöitä (6) kutsutaan suoran yhtälöiksi projektioissa tasossa

Asennetaan geometrinen merkitys vakiot M ja N: M on annetun suoran projektion kaltevuus koordinaattitasolle (tämän projektion kulman tangentti Oz-akselin kanssa) ja N on annetun suoran projektion kaltevuus koordinaattitasolle taso (tämän projektion kulman tangentti Oz-akselin kanssa). Näin ollen luvut määräävät tietyn suoran projektioiden suunnat kahdelle koordinaattitasolle, mikä tarkoittaa, että ne kuvaavat myös itse annetun suoran suuntaa. Siksi lukuja M ja N kutsutaan annetun suoran kulmakertoimeksi.

Vakioiden geometrisen merkityksen selvittämiseksi laitamme yhtälöihin (6) suoran, jolloin saadaan: eli piste sijaitsee tällä suoralla. Ilmeisesti tämä piste on tietyn suoran ja tason leikkauspiste, joten tietyn suoran jäljen koordinaattien olemus koordinaattitasolla

Nyt on helppo tehdä siirtyminen projektioyhtälöistä kanonisiin yhtälöihin. Olkoon esimerkiksi yhtälöt (6). Ratkaisemalla nämä yhtälöt , löydämme:

josta saamme suoraan kanoniset yhtälöt muodossa

Esimerkki 2. Anna suoran kanoniset yhtälöt

yhtälöihin projektioissa tasossa

Kirjoitamme nämä yhtälöt uudelleen muotoon

Ratkaisemalla ensimmäinen näistä yhtälöistä x:lle ja toinen y:lle, löydämme halutut yhtälöt projektioista:

Esimerkki 3. Esitä yhtälöt pprojektioissa

kanoniseen muotoon.

Ratkaisemalla nämä yhtälöt , saamme.

Suoran kanoniset yhtälöt

Ongelman muotoilu. Etsi kahden tason leikkausviivaksi määritellyn suoran kanoniset yhtälöt (yleiset yhtälöt)

Ratkaisusuunnitelma. Kanoniset yhtälöt suorasta suuntavektorista kulkee tämän pisteen läpi , on lomake

. (1)

Siksi suoran kanonisten yhtälöiden kirjoittamiseksi on löydettävä sen suuntavektori ja jokin piste suoralta.

1. Koska suora kuuluu molempiin tasoihin samanaikaisesti, sen suuntavektori on ortogonaalinen molempien tasojen normaalivektoreihin nähden, ts. vektoritulon määritelmän mukaan meillä on

. (2)

2. Valitse jokin piste viivalta. Koska suoran suuntavektori ei ole yhdensuuntainen ainakin yhden koordinaattitason kanssa, suora leikkaa tämän koordinaattitason. Siksi suoran pisteenä voidaan ottaa sen leikkauspiste tämän koordinaattitason kanssa.

3. Korvaamme suuntavektorin löydetyt koordinaatit ja osoitamme suoran (1) kanonisiin yhtälöihin.

Kommentti. Jos vektoritulo (2) on nolla, tasot eivät leikkaa (rinnakkaiset) eikä suoran kanonisia yhtälöitä voida kirjoittaa muistiin.

Tehtävä 12. Kirjoita suoran kanoniset yhtälöt.

Suoran suoran kanoniset yhtälöt:

,

Missä ovat minkä tahansa pisteen koordinaatit viivalla, on sen suuntavektori.

Etsi mikä tahansa piste viivalta . Anna sitten

Siten, ovat suoralle kuuluvan pisteen koordinaatit.

Tehtävä tarvitsee Etsi kahden tason leikkausviiva ja määritä niistä toisen todellinen koko taso-rinnakkaisliikkeen menetelmä.

Sellaisen klassisen ongelman ratkaisemiseksi kuvaavassa geometriassa sinun on tiedettävä seuraava teoreettinen materiaali:

- avaruuden pisteiden projektioiden piirtäminen monimutkainen piirustus annettujen koordinaattien mukaan;

- menetelmät tason määrittämiseksi monimutkaisessa piirustuksessa, yleisen ja tietyn sijainnin taso;

- koneen päälinjat;

- suoran ja tason leikkauspisteen määrittäminen (löytö "tapaamispisteet");

- tasosuuntaisen liikkeen menetelmä luonnonarvon määrittämiseksi litteä figuuri;

— näkyvyyden määrittely suorien viivojen ja tasojen piirustuksessa kilpailevien pisteiden avulla.

Menettely ongelman ratkaisemiseksi

1. Määritys pistekoordinaateilla -vaihtoehdon mukaan asetamme kompleksipiirustukseen kaksi tasoa, jotka on määritetty kolmioiden muodossa ABC(A’, B’, C’; A, B, C) ja DKE(D', K', E'; D, K, E) ( kuva 1.1).

Kuva 1.1

2 . Käytämme leikkausviivan löytämiseksi projektiotasomenetelmä. Sen olemus on, että ensimmäisen tason (kolmion) toinen sivu (viiva) on otettu ja se sijaitsee ulkonevassa tasossa. Tämän suoran ja toisen kolmion tason leikkauspiste määritetään. Toistamalla tämä tehtävä uudelleen, mutta toisen kolmion suoralle ja ensimmäisen kolmion tasolle määritetään toinen leikkauspiste. Koska saadut pisteet kuuluvat samanaikaisesti molempiin tasoihin, niiden on oltava näiden tasojen leikkausviivalla. Yhdistämällä nämä pisteet suoralla, saamme halutun tasojen leikkausviivan.

3. Ongelma ratkaistaan ​​seuraavasti:

A) sulkeutuvat projektiotasoon F(F') puolella AB(A’ B’) ensimmäisen kolmion etuprojektiotasossa V. Merkitsemme ulkonevan tason leikkauspisteet sivujen kanssa DK Ja DE toinen kolmio, saa pisteitä 1(1') ja 2(2'). Siirrämme ne viestintälinjoja pitkin projektioiden vaakatasoon H kolmion vastaavilla sivuilla, piste 1 (1) siinä sivussa DE ja piste 2(2) siinä sivussa DK.

Kuva 1.2

b) yhdistämällä pisteiden projektiot 1 ja 2, meillä on ulkonevan tason projektio F. Sitten suoran leikkauspiste AB kolmion tason kanssa DKE määritetään (säännön mukaan) yhdessä ulkonevan tason projektion leikkauspisteen kanssa 1-2 ja samanniminen projektio AB. Siten saimme tasojen ensimmäisen leikkauspisteen vaakasuoran projektion - M, jota pitkin määritämme (projektoimme viestintälinjoja pitkin) sen frontaalisen projektion - M’ suoralla linjalla A’ B’ (kuva 1.2.a);

V) löydämme toisen pisteen samalla tavalla. Päättelemme ulkonevassa tasossa G(G) toisen kolmion sivu DK(DK) . Merkitsemme ulkonevan tason leikkauspisteet ensimmäisen kolmion sivujen kanssa ACJaeKr vaakaprojektiossa pisteiden projektioiden saaminen 3 ja 4. Projisoimme ne vastaaville sivuille etutasossa, saamme 3’ ja 4'. Yhdistämällä ne suoralla linjalla, meillä on ulkonevan tason projektio. Sitten tasojen toinen leikkauspiste on suoran leikkauspisteessä 3’-4’ kolmion sivun kanssa D’ K’ , joka oli suljettu ulkonevaan tasoon. Siten saimme toisen leikkauspisteen frontaalisen projektion - N’ , viestintälinjaa pitkin löydämme vaakaprojektion - N (kuva 1.2.b).

G) yhdistämällä pisteitä MN(MN) Ja (M’ N’) vaaka- ja etutasolla meillä on haluttu annettujen tasojen leikkausviiva.

4. Kilpailevien pisteiden avulla määritämme koneiden näkyvyyden. Otetaan esimerkiksi pari kilpailevaa pistettä, 1’=5’ etuprojektiossa. Projisoimme ne vastaaville sivuille vaakatasossa, saamme 1 ja 5. Näemme sen pointin 1 kyljellään makaamassa DE sillä on suuri koordinaatti akseliin nähden x kuin piste 5 kyljellään makaamassa ASISÄÄN. Siksi suuremman koordinaatin säännön mukaan piste 1 ja kolmion sivu D'E' etutasossa tulee näkyviin. Siten määritetään kolmion kummankin sivun näkyvyys vaaka- ja etutasossa. Piirustuksissa näkyvät viivat piirretään yhtenäisellä ääriviivalla ja ei-näkyvät viivat katkoviivalla. Muista, että tasojen leikkauspisteissä ( M— N JaM’- N’ ) muuttaa näkyvyyttä.

Kuva 1.3

RKuva 1.4 .

Kaaviossa näkyy lisäksi näkyvyyden määritelmä vaakatasossa kilpailevien pisteiden avulla 3 Ja 6 suorilla linjoilla DK Ja AB.

5. Taso-rinnakkaissiirtymän menetelmällä määritetään kolmion tason todellinen koko ABC, Minkä vuoksi:

A) määritetyssä tasossa pisteen läpi C(C) suorittaa frontaalia C— F(KANSSA-FJaC’- F’) ;

b) piirustuksen vapaassa kentässä vaakaprojektiossa otamme (merkitsimme) mielivaltaisen pisteen Alkaen 1 Olettaen, että tämä on yksi kolmion pisteistä (erityisesti kärki C). Siitä palautamme kohtisuoran etutasoon nähden (läpi x-akseli);

Kuva 1.5

V) taso-rinnakkaisliikkeellä muunnetaan kolmion vaakasuora projektio ABC, uuteen asemaan A 1 B 1 C 1 siten, että se ottaa etuprojektiossa ulkonevan asennon (muunnettu suoraksi viivaksi). Tee tämä: kohtisuorassa pisteestä Alkaen 1, lykätä vaakatason etuprojektiota C 1 — F 1 (pituus lCF) saamme pisteen F 1 . Kompassin ratkaisu pisteestä F1 koko FA teemme kaariserifin ja pisteestä C 1 - loven koko CA, niin kaariviivojen leikkauspisteessä saamme pisteen A 1 (kolmion toinen kärki);

- Samoin saamme pisteen B 1 (pisteestä C 1 tee lovi kokoon C— B(57mm) ja pisteestä F 1 suuruus F— B(90mm) Huomaa, että oikealla ratkaisulla kolme pistettä A 1 F’ 1 Ja B’ 1 täytyy olla yhdellä suoralla linjalla (kolmion sivu A 1 — B 1 ) kaksi muuta puolta KANSSA 1 — A 1 Ja C 1 — B 1 saadaan yhdistämällä niiden kärjet;

G) kiertomenetelmästä seuraa, että liikutettaessa tai pyöritettäessä pistettä jossain projektiotasossa - konjugaattitasolla tämän pisteen projektion tulisi liikkua suorassa linjassa, meidän tapauksessamme, pitkin suoraa yhdensuuntaista akselia X. Sitten vedetään pisteistä A’ B’ C’ Etuprojektiosta nämä ovat suoria viivoja (niitä kutsutaan pisteiden kiertotasoiksi) ja siirtyneiden pisteiden frontaaliprojekteista A 1 KOHDASSA 1C 1 palauta kohtisuorat (liitäntälinjat) ( kuva 1.6).

Kuva 1.6

Näiden viivojen leikkaus vastaavien kohtisuorien kanssa antaa uudet paikat kolmion etuprojektiolle ABC, erityisesti A’ 1 KOHDASSA 1C’ 1 jonka pitäisi olla ulkoneva (suora viiva) vaakatason jälkeen h 1 piirrettiin kohtisuoraan etuprojektiotasoon ( kuva 1.6);

5) sitten kolmion luonnollisen koon saamiseksi riittää laajentaa sen etuprojektio yhdensuuntaiseksi vaakatason kanssa. Kääntäminen suoritetaan kompassin avulla pisteen läpi A' 1, pitäen sitä kiertokeskuksena, laitamme kolmion A’ 1 KOHDASSA 1C’ 1 yhdensuuntainen akselin kanssa X, saamme A’ 2 KLO 2C’ 2 . Kuten edellä mainittiin, kun piste pyörii, ne liikkuvat konjugaattiprojektiossa (nyt vaakasuuntaisessa) akselin suuntaisia ​​suoria linjoja pitkin X. Poistetaan kohtisuorat (linkkiviivat) pisteiden etuprojektiosta A’ 2 KLO 2C’ 2 ylittämällä ne vastaavilla viivoilla löydämme kolmion vaakaprojektion ABC (A 2 KLO 2C 2 ) todellinen koko ( kuva 1.7).

Riisi. 1.7

Minulla on kaikki valmiit ratkaisut tällaisten koordinaattien ongelmiin, voit ostaa

Hinta 55 ruplaa, piirustuksia kuvaavasta geometriasta Frolovin kirjasta, voit ladata helposti heti maksun jälkeen tai lähetän sinulle sähköpostin. Ne ovat ZIP-arkistossa eri muodoissa:
*.jpg – piirustuksen tavallinen väripiirros asteikolla 1-1 hyvällä 300 dpi:n resoluutiolla;
*.cdw – ohjelman muoto Compass 12 tai uudempi tai versio LT;
*.dwg ja .dxf — muoto AUTOCAD-ohjelmat, nanoCAD;

Avaruuden suoran kanoniset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka määrittelevät suoran, joka kulkee tietyn pisteen kautta kollineaarisesti suuntavektoriin nähden.

Olkoon piste ja suuntavektori annettu. Satunnainen piste on suoralla l vain jos vektorit ja ovat kollineaarisia, eli ne täyttävät ehdon:

.

Yllä olevat yhtälöt ovat suoran kanonisia yhtälöitä.

Numerot m , n Ja s ovat suuntavektorin projektioita koordinaattiakseleille. Koska vektori ei ole nolla, niin kaikki luvut m , n Ja s ei voi olla nolla samanaikaisesti. Mutta yksi tai kaksi niistä voi olla nolla. Esimerkiksi analyyttisessä geometriassa seuraavat merkinnät ovat sallittuja:

,

mikä tarkoittaa, että vektorin projektiot akseleille Oy Ja Oz ovat yhtä kuin nolla. Siksi sekä vektori että kanonisten yhtälöiden antama suora ovat kohtisuorassa akseleita vastaan Oy Ja Oz eli lentokoneita yOz .

Esimerkki 1 Laadi yhtälöt suorasta avaruudessa, joka on kohtisuorassa tasoon nähden ja kulkee tämän tason ja akselin leikkauspisteen kautta Oz .

Ratkaisu. Etsi annetun tason ja akselin leikkauspiste Oz. Koska mikä tahansa akselin piste Oz, on koordinaatit , sitten, olettaen annetussa yhtälössä tason x=y= 0, saamme 4 z- 8 = 0 tai z= 2. Siksi annetun tason leikkauspiste akselin kanssa Oz on koordinaatit (0; 0; 2) . Koska haluttu suora on kohtisuorassa tasoon nähden, se on yhdensuuntainen normaalivektorinsa kanssa. Siksi normaalivektori voi toimia suoran suuntausvektorina annettu lentokone.

Nyt kirjoitetaan halutut yhtälöt pisteen läpi kulkevalle suoralle A= (0; 0; 2) vektorin suunnassa:

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöt

Suora voidaan määrittää kahdella sillä olevalla pisteellä Ja Tässä tapauksessa suoran suuntausvektori voi olla vektori . Sitten suoran kanoniset yhtälöt saavat muodon

.

Yllä olevat yhtälöt määrittelevät suoran, joka kulkee kahden tietyn pisteen kautta.

Esimerkki 2 Kirjoita yhtälö suoran avaruudessa kulkevan pisteiden ja .

Ratkaisu. Kirjoitamme halutut suoran yhtälöt yllä esitetyssä muodossa teoreettisessa viitteessä:

.

Koska , Haluttu viiva on kohtisuorassa akseliin nähden Oy .

Suora kuin tasojen leikkausviiva

Suora avaruudessa voidaan määritellä kahden ei-rinnakkaisen tason leikkausviivaksi ja ts. joukkona pisteitä, jotka täyttävät kahden tason järjestelmän lineaariset yhtälöt

Järjestelmän yhtälöitä kutsutaan myös avaruuden suoran yleisiksi yhtälöiksi.

Esimerkki 3 Laadi suoran suoran kanoniset yhtälöt yleisten yhtälöiden antamaan avaruuteen

Ratkaisu. Kirjoittaaksesi suoran kanonisen yhtälön tai, mikä on sama, kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön, sinun on löydettävä minkä tahansa kahden suoran pisteen koordinaatit. Ne voivat olla esimerkiksi suoran leikkauspisteitä minkä tahansa kahden koordinaattitason kanssa yOz Ja xOz .

Suoran ja tason leikkauspiste yOz on abskissa x= 0. Siksi oletetaan tässä yhtälöjärjestelmässä x= 0, saamme järjestelmän, jossa on kaksi muuttujaa:

Hänen päätöksensä y = 2 , z= 6 yhdessä x= 0 määrittää pisteen A(0; 2; 6) halutusta rivistä. Olettaen sitten annetussa yhtälöjärjestelmässä y= 0, saamme järjestelmän

Hänen päätöksensä x = -2 , z= 0 yhdessä y= 0 määrittää pisteen B(-2; 0; 0) suoran ja tason leikkauspiste xOz .

Nyt kirjoitetaan pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälöt A(0; 2; 6) ja B (-2; 0; 0) :

,

tai jakamalla nimittäjät -2:lla:

,

Jos kaksi konetta leikkaa, niin lineaarinen yhtälöjärjestelmä määrittelee avaruudessa olevan suoran yhtälön.

Eli suora on annettu kahden tason yhtälöillä. Tyypillinen ja yleinen tehtävä on kirjoittaa uudelleen suoran yhtälön kanoniseen muotoon:

Esimerkki 9

Ratkaisu: Suoran kanonisten yhtälöiden kirjoittamiseksi sinun on tiedettävä piste ja suuntavektori. Ja olemme antaneet kahden tason yhtälöt ....

1) Etsi ensin jokin piste, joka kuuluu annettuun riviin. Kuinka tehdä se? Yhtälöjärjestelmässä sinun on nollattava jokin koordinaatti. Olkoon , niin saadaan järjestelmä, jossa on kaksi lineaarista yhtälöä, joissa on kaksi tuntematonta: . Lisäämme yhtälöt termi kerrallaan ja löydämme järjestelmän ratkaisun:

Näin ollen piste kuuluu tälle riville. Kiinnitä huomiota seuraavaan tekniseen seikkaan: on toivottavaa löytää piste koko koordinaatit. Jos nollasimme "x" tai "z" järjestelmässä, niin ei ole tosiasia, että saisimme "hyvän" pisteen ilman murto-koordinaatteja. Tällainen analyysi ja pisteen valinta tulisi suorittaa henkisesti tai luonnoksen perusteella.

Tarkistetaan: korvataan pisteen koordinaatit alkuperäiseen yhtälöjärjestelmään: . Otettu vastaan todellista tasa-arvoa, mikä tarkoittaa todellakin.

2) Kuinka löytää suoran suuntausvektori? Sen sijainti näkyy selvästi seuraavassa kaaviokuvassa:

Suoramme suuntavektori on ortogonaalinen tasojen normaalivektoreihin nähden. Ja jos , niin löydämme vektorin "pe" as vektorituote normaalivektorit: .

Tasojen yhtälöistä poistamme niiden normaalivektorit:

Ja löydämme suoran suuntavektorin:

Artikkelissa käsiteltiin tuloksen tarkistamista Vektorien ristitulo.

3) Muodostetaan suoran kanoniset yhtälöt pisteen ja suuntavektorin avulla:

Vastaus:

Käytännössä voit käyttää valmista kaavaa: jos suora on annettu kahden tason leikkauspisteellä, niin vektori on tämän suoran suuntaava vektori.

Esimerkki 10

Kirjoita suoran kanoniset yhtälöt

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Vastauksesi voi poiketa minun vastauksestani (riippuen siitä, minkä kohdan valitset). Jos on eroa, ota piste yhtälöstäsi ja korvaa se yhtälölläni (tai päinvastoin).

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Oppitunnin toisessa osassa tarkastellaan viivojen suhteellista sijaintia avaruudessa ja analysoidaan myös tehtäviä, jotka liittyvät tilaviivoihin ja pisteisiin. Minua piinaavat epämääräiset odotukset materiaalin olevan kunnollista, joten on parempi tehdä erillinen nettisivu.

Tervetuloa: Ongelmia suorassa avaruudessa >>>

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 4: Vastaukset:

Esimerkki 6: Ratkaisu: Etsi suoran suuntavektori:

Muodostamme suoran yhtälöt pisteen ja suuntavektorin mukaan:

Vastaus : ("y" - mikä tahansa) :

Vastaus :