Monimutkainen piirustus (monge-kaavio). Mongen monimutkainen piirustus Käännettävien piirustusten päätyypit Monge-kaavion piirustus

JOHDANTO .................................................. . ................................................ .. ..4

1 MENETELMÄOHJEET ONGELMIEN RATKAISEMINEN.................................4

2 HYVÄKSYTTYÄ SYMBOLIA ................................................... ...............................................5

3 AIHE 1 MONGEN MONGEN PIIRTO (piste, viiva) .......6

3.1 Pisteen monimutkainen piirtäminen. ...................................................... ...................6

Harjoitukset. ................................................... . ................................................ .. 6

Tehtävät. ................................................... . ................................................ .. .......7

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta…………………………………… ..................8

Tiedon itsekontrollitestit…………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… 10

3.2 Suoran viivan monimutkainen piirtäminen ................................................... ..............................................yksitoista

Harjoitukset. ................................................... . ................................................ .yksitoista

Tehtävät. ................................................... . ................................................ .. .........12

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta…………………………………… ..13

Tiedon itsekontrollitestit………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………15

4 AIHE 2 MONGEN (TASO) KOMPLEKSINEN PIIRUSTUS ....... 17 OIKEUKSIEN JA TASOJEN PISTÄRISTÖ

4.1 Tason monimutkainen piirtäminen ................................................ ..............................17

Harjoitukset. …………………………………………………………………………. ...................... ..............17

Tehtävät. ................................................... ................................................... . ......19

Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta .................................................. ................................... 21

Tiedon itsehallinnan kokeet………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4.2 Viivojen ja tasojen kohtisuoraisuus................................................ ...................23

Harjoitukset. ................................................... . ................................................ .23

Tehtävät. ................................................... ................................................... . .......24

Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta .................................................. ................................ 25

5 AIHE 3 Linjojen JA TASOJEN keskinäinen sijainti

Harjoitukset. ................................................... . ................................................ .27

Tehtävät. ................................................... . ................................................ .. .........29

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta. ................................................... . ..............................kolmekymmentä

Tiedon itsekontrollitestit…………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………….

6 AIHE 4 TAPAA MUUNTAA PIIRUSTUS ................................33

Harjoitukset. ................................................... . ................................................ .33

Tehtävät................................................. ................................................... . ........34

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta. ................................................... . ..............................36

Tiedon itsehallinnan testit…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7 AIHE 5 MONIKERTOISET PINNAT................................................ ....40

Harjoitukset. ................................................... . ................................................ .40

Tehtävät. ................................................... . ................................................ .. .........41

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta. ................................................... . ................................43

Tiedon itsehallinnan testit ................................................ ......................................44

VIITTEET………………………………………………… ........47

SOVELLUS.................................................................................................47

JOHDANTO

Opetusohjelma on tarkoitettu Maanhoito-metsätieteellisen tiedekunnan opiskelijoille kuvaavan geometrian laboratoriotunneille (suunnat: 250700 - Maisema-arkkitehtuuri, 250100 - Metsätalous).

Opiskelijat käyttävät käsikirjaa itseharjoittelu seuraavalle oppitunnille. Tätä varten hänen on:

Opiskella teoreettista materiaalia tietystä aiheesta ja vastata itsekontrollikysymyksiin;

Suorita harjoitukset annetusta aiheesta.

Oppitunnin alussa opettaja tarkistaa opiskelijoiden teoreettisen valmistautumisen ja tehtävän ratkaisun tietystä aiheesta. Jokaisen aiheen lopussa esimerkkejä tyypillisten ongelmien ratkaisemisesta. Harjoitusten aloittaminen uusi aihe, on hyödyllistä tutustua vastaavaan esimerkkiin ja seurata sitä piirustuksen suunnittelussa.

Opaskirjaa voivat käyttää myös opiskelijat kokeissa hankitun tiedon itsehallinta annettu ohjekirjassa esimerkkien jälkeen tyypillisten ongelmien ratkaisemisesta. Tätä varten hänen on:

Vastaa jokaisen oppitunnin jälkeen tiedon itsekontrollitesteihin ja tarkista tietosi oikeellisuus käsikirjan liitteen vastauksista.

Käsikirjan kanssa työskennellessään opiskelija oppii käytännön tekniikoita, joita käytetään ongelmien ratkaisussa, mikä antaa mahdollisuuden kehittää taitoja ja kykyjä ratkaista niitä itsenäisesti. Kun tämä kokemus kertyy, opiskelijat alkavat ajatella itsenäisesti ammatillinen taso samalla kun kehität tilallista ja loogista ajattelua.

MENETELMÄOHJEET RATKAISEMME JA

MUODOSTUSTEHTÄVÄT

Kun ratkaiset ongelmia, sinun tulee noudattaa seuraavia suosituksia:

1. Ennusteiden mukaan geometriset kuviot, jotka muodostavat ongelman lähtötiedot, esittämään niiden muotoa ja suhteellista sijaintia avaruudessa sekä suhteessa toisiinsa että suhteessa projektiotasoihin.

2. Piirrä "tilasuunnitelma" ongelman ratkaisemiseksi. Ratkaisun tässä vaiheessa kannattaa viitata perusgeometrian osioiden "Planimetria" ja "Stereometria" opintojaksoihin sekä oppikirjojen ja luentojen teoreettiseen aineistoon.

3. Määritä ongelman ratkaisun algoritmi, kirjoita sarja lyhyesti muistiin graafiset rakenteet käyttäen hyväksyttyä merkintää.

4. Jatka geometrisiin rakenteisiin.

Kun ongelma ratkaistaan graafisesti, vastauksen tarkkuus ei riipu pelkästään valinnasta oikea tapa sen ratkaisuun, mutta myös geometristen rakenteiden tarkkuuteen. Siksi ongelmaa ratkaistaessa on käytettävä piirustustyökaluja. Tehtävät tulee ratkaista erillisessä muistikirjassa häkissä laboratorioharjoituksia varten. Linjojen tyyppi ja paksuus suoritetaan standardin GOST 2.303-68 ESKD mukaisesti. Rakenteet tehdään lyijykynällä. Ratkaisuprosessin aikana saadun piirustuksen lukemisen helpottamiseksi on suositeltavaa käyttää värikyniä: annetut elementit on rajattu mustalla, apurakenteet sinisellä, halutut elementit punaisella. Samaa tavoitetta tavoitellaan kaikkien pisteiden ja viivojen pakollisella nimeämisellä. Tässä tapauksessa merkintä tulee tehdä ongelman ratkaisemisen yhteydessä välittömästi viivan piirtämisen tai viivojen leikkauspisteen määrittämisen jälkeen. Kirjoitukset ja kirjainmerkinnät tulee tehdä standardin fontilla GOST 2.304-84 ESKD:n mukaisesti.

Muistikirja, jossa on ratkaistu tehtäviä, esitetään opettajalle kokeessa tai kokeessa.

HYVÄKSYTYT NIMET

A, B, C, D,…tai 1, 2, 3, 4, ... - pisteen nimitys; latinalaisten aakkosten isot kirjaimet tai arabialaiset numerot.

o - pisteen kuva (pisteen sijaintialue); ympyrä, jonka halkaisija on 2-3 mm ohuella viivalla käsin.

a, b, c, d,... - viiva avaruudessa; latinalaisten aakkosten pienet kirjaimet.

Γ, Σ, Δ,… - tasot, pinnat; kreikkalaisten aakkosten isot kirjaimet.

α, β, γ, δ, ... - kulmat; kreikkalaisten aakkosten pienet kirjaimet.

P - projektiotaso (kuvataso); iso kirjain(pi) Kreikan aakkoset.

AB- pisteiden läpi kulkeva viiva A Ja SISÄÄN .

[AB]- pisteiden rajoittama segmentti A Ja SISÄÄN .

[AB ) on pisteen rajoittama säde A ja kulkee pisteen läpi SISÄÄN.

/AB /–segmentin luonnollinen koko[ AB] (sama kuin alkuperäinen).

/Aa /–etäisyys pisteestä A linjalle A.

/AΣ /–etäisyys pisteestä A koneeseen asti Σ .

/ab /– rivien välinen etäisyys A Ja b.

/GD / - pintojen G ja D välinen etäisyys.

≡- sattuma (A≡B - pisteet A ja B ovat samat).

║ - rinnakkain.

^ - kohtisuorassa.

∩ - risteys.

О - kuuluu, on joukon elementti.

RABC - kulma kärjen kanssa pisteessä B.

Kylttien kuva on suoritettava hyväksyttyjen teknisen ja tieteellisen dokumentaation suunnittelua koskevien standardien mukaisesti.

AIHE 1 MONGEN INTEGROIDUT PIIRUSTUS

(POISTETTA, SUORA)

Itsehillinnän kysymyksiä

1. Mitä kutsutaan pisteen projektioksi?

2. Mitä kutsutaan projektioakseliksi? Mitä suoria viivoja kutsutaan "linkkiviivoiksi" ja miten ne sijaitsevat suhteessa projektioakseliin?

3. Voitko palauttaa pisteen sijainnin avaruudessa sen projektioiden avulla?

4. Kuinka voit asettaa suoran monimutkaiseen piirustukseen?

5. Mitä viivoja kutsutaan yleisasennon viivoiksi? Nimeä yksityisen aseman rivit.

Teknisissä piirustuksissa käytetään suorakaiteen muotoisten projektioiden menetelmää. Siksi suoritamme kurssin lisätutkimuksen käyttämällä ortogonaalisen projektion menetelmää.

Jotta kuvailevan geometrian kurssin kaksi päätehtävää voitaisiin ratkaista yksiselitteisesti, piirustusten on täytettävä seuraavat vaatimukset:

1. Yksinkertaisuus ja näkyvyys;

2. Piirustuksen käännettävyys.

Tarkasteltavat projisointimenetelmät yksikuvapiirroksia käyttäen mahdollistavat suoran ongelman ratkaisemisen (eli sen projektion rakentamisen annetusta alkuperäisestä). Käänteistä ongelmaa (eli alkuperäisen toistamista projisoimalla) ei kuitenkaan voida ratkaista yksiselitteisesti. Tämä ongelma sallii äärettömän määrän ratkaisuja, koska jokainen piste A 1 projektiotasot P 1 voidaan katsoa projisoivan säteen minkä tahansa pisteen projektioksi l A läpikulkumatkalla A 1. Tarkastetuilla yksikuvapiirroksilla ei siis ole ominaisuutta palautuvuus.

Käännettävien yksikuvaisten piirustusten saamiseksi niitä täydennetään tarvittavilla tiedoilla. Olla olemassa eri tavoilla sellainen lisäys. Esimerkiksi, piirustuksia numeroineen.

Menetelmä piilee siinä, että yhdessä pisteen projektion kanssa A 1 pisteen korkeus asetetaan, ts. sen etäisyys projektiotasosta. Aseta myös asteikko. Tätä menetelmää käytetään rakentamisessa, arkkitehtuurissa, geodesiassa jne. Se ei kuitenkaan ole universaali monimutkaisten tilamuotojen piirustusten luomiseen.

Vuonna 1798 ranskalainen geometri-insinööri Gaspard Monge tiivisti siihen mennessä kertyneet teoreettiset tiedot ja kokemukset ja esitti ensimmäistä kertaa tieteellisen perustelun yleiselle kuvien rakennusmenetelmälle ehdottaen harkitsemaan tasaista piirustusta, joka koostuu kahdesta projektiosta. tulosta yhdistämällä kaksi keskenään kohtisuoraa projektiotasoa. Täältä saa alkunsa piirustusten rakentamisen periaate, jota käytämme tähän päivään asti.

Asetetaan itsellemme tehtäväksi rakentaa segmentin projektiot kahteen keskenään kohtisuoraan projektiotasoon P 1 Ja P 2.

1. Tilamalli.

P 1 ^ P 2 . AA1^P1; |AA 1 | - etäisyys A:sta P 1:een.

AA 2^ P2;|AA 2| -etäisyys A ennen P 2.

P 1- vaakasuora projektiotaso;

P 2- etuprojektiotaso.

A 1 B 1- segmentin vaakasuora projektio;

A 2 B 2- segmentin etuprojektio.

x 12- projektiotasojen leikkausviiva.

Tässä muodossa piirustus on kuitenkin hankala lukea. Siksi Gaspard Monge ehdotti näiden projektiotasojen yhdistämistä, lisäksi P otetaan piirustuksen tasoksi ja P käännetään yhteen P 2. Tällaista piirustusta kutsutaan monimutkaiseksi piirrokseksi.

2. Litteä malli.

Harkitse projektiotasojen yhdistelmää kaikella sisällöllä litteässä piirustuksessa. Joukko avaruuden pisteiden joukon projektioita P 1 kutsutaan vaakasuora projektiokenttä, ja edelleen P 2- Frontaalinen projektiokenttä.

x 12- projektioakseli, vertailupohja.

A 1 A 2 , B 1 B 2 Þ liitosviiva on suora, joka yhdistää kaksi pisteen projektiota monimutkaisessa piirustuksessa. Liitoslinja on kohtisuorassa projektioakseliin nähden.

Mongen kahden kuvan monimutkaiset piirustusominaisuudet:

1. Pisteen kaksi projektiota on aina samassa määritetyn suunnan yhteyslinjassa.

2. Kaikki yhden muodostetun suunnan tietoliikennelinjat ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa.

3. Akseliton piirustus.

Jos yhdistetyt lentokoneet P 1 Ja P 2 liikkua keskenään yhdensuuntaisesti mielivaltaisilla etäisyyksillä (katso akselien sijainti x 12 x 12 1 x 12 11 kuvassa 1-17), silloin etäisyydet kuvasta projektiotasoihin muuttuvat.

Kuitenkin itse kuvion projektiot (tässä tapauksessa segmentti AB) eivät muutu, kun projektiotasoja siirretään yhdensuuntaisesti (rinnakkaisprojektion ominaisuuden 7 mukaan).

Kuvasta 1-17 näkyy. että mihin tahansa akselin asemaan X, määrät DZ- ero etäisyyksissä segmentin päistä P 1, Ja Dy- ero etäisyyksissä segmentin päistä P 2, pysyä muuttumattomana. Siksi akselin sijaintia ei tarvitse määrittää x 12 monimutkaisessa piirustuksessa ja siten ennalta määrätä projektiotasojen sijainnit P 1 Ja P 2 avaruudessa.

Tämä seikka esiintyy suunnittelussa käytetyissä piirustuksissa, ja tällaista piirustusta kutsutaan akseliton.

Havainnollistakaamme yllä olevaa erityisellä esimerkillä.

Tehtävä: Tee piirustus pöydän valmistusta varten (Kuva 1-18).

1. Muodosta taulukosta kolme projektiota ottaen huomioon Monge-kaavion ominaisuudet.

2. Mitä tämän tuotteen piirustuksen mukaan puuttuu?

3. Kyllä, tietysti koot.

Nyt, kun tuotteesta ja sen mitoista on kolme kuvaa, onko tuotteen ja projektiotasojen välisillä etäisyyksillä merkitystä tuotteen valmistuksessa eli akseleihin sitoutumisessa x, y Ja z(mitat 1500, 2000, 2000 piirustuksessa).

Ei, he eivät!

Tämän piirustuksen mukaan tuote luodaan ja mille etäisyydelle se tulee asentaa seinistä ( P 2, P 3) on toinen asia.

Akseliton piirustus mahdollistaa kuvien sijoittamisen akseleihin kiinnittymättä esittäjälle sopivaan asentoon, mutta projektiosuhteen mukaisesti, ts. piirustuksen rakentaminen tapahtuu Gaspard Mongen määrittelemien lakien mukaisesti

Monge-kaavio tai monimutkainen piirustus on piirros, joka koostuu kahdesta tai useammasta toisiinsa kytketystä sisällöstä ortogonaaliset projektiot geometrinen kuvio.

Tilallisen asettelun käyttäminen geometristen kuvioiden ortogonaalisten projektioiden näyttämiseen on hankalaa, koska se on kookas, ja myös siksi, että kun se siirretään paperiarkille, projisoidun kuvion muoto ja koko vääristyvät korkeudessa ja lännessä. lentokoneita.
Siksi tila-asetelman piirustuksessa olevan kuvan sijasta käytetään Monge-kuvaa.

Monge-diagrammi saadaan muuttamalla spatiaalinen layout yhdistämällä H- ja W-tasot frontaalisen projektiotason V kanssa:
- kohdistaa H-taso V:n kanssa kiertämällä sitä 90 astetta x-akselin ympäri myötäpäivään. Kuvassa selvyyden vuoksi kone H kierretty kulmassa hieman alle 90 astetta, kun taas akseli y, joka kuuluu vaakasuoraan projektiotasoon, sen jälkeen kun kierto osuu yhteen akselin kanssa z;
- vaakatason kohdistamisen jälkeen käännä akselin ympäri z myös 90 asteen kulmassa profiilitasoon nähden myötäpäivään vastakkaiseen suuntaan. Samaan aikaan akseli y, joka kuuluu projektion profiilitasoon, pyörimisen jälkeen osuu yhteen akselin kanssa x.

Muutoksen jälkeen tila-asettelu saa kuvan mukaisen muodon. Tässä kuvassa näkyy myös projektiotasojen pohjan suhteellinen sijainti, eli tietue V osoittaa, että tässä Monge-kuvaajan osassa (rajoittuu akselien positiiviseen suuntaan x Ja z) lähempänä meitä on etuprojektiotason vasen yläkerros V, sen takana on vaakasuoran projektiotason vasen takalattia H, jota seuraa profiilitason ylempi takakerros W.

Koska tasoilla ei ole rajoja, yhdistetyssä asennossa (kaaviossa) näitä rajoja ei näytetä, ei tarvitse jättää merkintöjä, jotka osoittavat projektiotasojen lattian sijainnin. On myös tarpeetonta muistuttaa, missä koordinaattiakselien negatiivinen suunta on. Tällöin tila-asettelupiirustuksen korvaava Monge-kaavio saa lopullisessa muodossaan kuvan mukaisen muodon.

Monge-juoni voidaan tehdä seuraavilla tavoilla:

- perinteiset piirustustyökalut ja -kalusteet:
Piirustus työkalut;
Piirustus tarvikkeet ja laitteet;
- Ohjelmat Monge-kaavion rakentamiseen (piirtämiseen): Piirustuksen tekeminen grafiikkaeditorilla.

Esimerkkinä Monge-kaavion suunnittelusta tarjoamme ratkaisun tasakylkisen suorakaiteen rakentamisen ongelmaan kolmio ABC:

— ongelman tilan mukaan tunnettu näkyy mustana;
- vihreällä värillä näytetään kaikki ongelman ratkaisuun johtavat rakenteet;
- haetut tehtävät näkyvät punaisina.
Tehtävän ehdon mukaan annetaan kolmion ABC(A`B`C`, A»B»…”) projektiot. Ongelman ratkaisemiseksi on löydettävä puuttuva projektio C.

Kohdassa 1.1 esitetyt projisointimenetelmät mahdollistavat kuvien (projektioiden) rakentamisen tietyn geometrisen kuvan (alkuperäisen) mukaan, ts. ratkaisemaan kuvaavan geometrian suoran ongelman. Mutta useissa tapauksissa tarjotaan käänteisen ongelman ratkaisu, joka koostuu alkuperäisen rakentamisesta avaruudessa sen projektioiden mukaan projektiotasolla.

Näin ollen yllä olevat projektiopiirustukset (ks. kuva 3, kuva 6, kuva 7, kuva 9) eivät salli alkuperäisen, ts. niillä ei ole "käännettävyys"-ominaisuutta.

Harkitse kuvaavassa geometriassa käytettävää käännettävän piirustuksen rakentamiskaaviota.

Ortografinen projektio on yhdensuuntaisen projektion erikoistapaus, jossa projektion suunta on kohtisuorassa (ortogonaalinen) projektiotasoon nähden: S^P i.

Ortografinen projektio on tärkein piirtämisessä, koska. on erittäin selkeä ja mahdollistaa tietyllä geometristen kuvien järjestelyllä suhteessa projektiotasoihin säilyttää useita alkuperäisen lineaarisia ja kulmaparametreja.

Ranskalainen geometri Gaspard Monge ehdotti alkuperäisen projisoimista ortogonaalisesti kahteen keskenään kohtisuoraan projektiotasoon П 1 ja П 2 .

Riisi. 11 Kuva. 12

P 1 - projektioiden vaakataso; P 2 - etuprojektiotaso; x \u003d P 1 Ⴖ P 2.

Projektiotasot jakavat tilan neljään neljännekseen (tai neljännekseen). Neljännekset on numeroitu kuvan 4 mukaisessa järjestyksessä. 11. Koordinaatisto valitaan sillä ehdolla, että koordinaattitasot osuvat yhteen projektiotasojen kanssa. Kuvassa 12 esittää pisteen projektiota A tasossa P 1 ja P 2. Projisointisäteet AA 1 ja AA 2 ovat kohtisuorassa vastaaviin projektiotasoihin nähden, joten frontaali ( A 2) ja vaakasuora ( A 1) pisteprojektio A ovat kohtisuorassa A 1 A x ja A 2 A x projektioakselille x.

Kääntämällä projektiotasoa P 1 x-akselin ympäri kulmassa 90 0 (kuva 13), saadaan yksi taso - piirustuksen taso, projektio A 1 Ja A 2 sijaitsee yhdellä kohtisuorassa projektioakseliin x - tietoliikennelinjat. Projektitasojen P 1 ja P 2 yhdistämisen tuloksena saadaan piirustus, jota kutsutaan Monge-diagrammiksi. Mongen kaaviota kutsutaan myös modernissa kirjallisuudessa monimutkaiseksi piirrokseksi. Tämä on piirros, joka koostuu kahdesta tai useammasta toisiinsa kytketystä geometrisen kuvan projektiosta. Jatkossa Mongen kaavioita kutsutaan yhdellä sanalla - piirustus.

Riisi. 13 Kuva. 14

Koska projektiotasoja on rajattomasti, pistepiirustus A P 1 / P 2 -järjestelmässä näyttää samalta kuin kuvassa. 14.

A 2 A x- etäisyys pisteestä A projektiotasolle P1;

A 1 A x- etäisyys pisteestä A projektioiden tasoon П 2 .

Siksi pisteen ennusteet A kahdelle projektiotasolle määrittää täysin sen sijainnin avaruudessa.

Lisäpäättelyn yksinkertaistamiseksi otetaan huomioon vain projektion П 3 profiilitason vasemmalla puolella oleva tila.

P 3 - projektioiden profiilitaso; Z\u003d P 2 Ⴖ P 3; Z- y-akseli. Projektitaso P 3 on kohtisuorassa P 1 P 2:een nähden.

Kuvassa Kuvio 15 esittää pyörimissuuntaa projektiotasojen P3 ja P1 90° kulman läpi vastaavien koordinaattiakseleiden ympäri, kunnes se on kohdistettu P2:n kanssa.

Kuvasta 15 näemme, että akseli X jakaa vaakaprojektiotason P 1 kahteen osaan: etulattia P 1 (akselit X Ja Y) ja takalattia P 1 (akselit X Ja Y).

abskissa X jakaa myös projektioiden P 2 etutason kahteen osaan: yläkerrokseen P 2 (X- ja Z-akselit) ja alempaan kerrokseen (akselit) X Ja -Z).

Riisi. 16

Kuvasta 15 voidaan nähdä, että avaruuden eri neljänneksissä sijaitsevilla pisteillä on tietyt koordinaattimerkit. Nämä merkit näkyvät taulukossa.

Pisteprojektioiden rakentaminen A P 1 / P 2 / P 3 -järjestelmässä on esitetty kuvassa. 17

Riisi. 17 Kuva. 18

OA x- pisteen poistaminen A ulokkeiden profiilitasosta;

A 3– pisteen profiiliprojektio A;

A 1 A x A 2, A 2 A z A 3- viestintälinjat.

Piirustuksessa pisteen etu- ja profiiliprojektio ovat samalla yhteyslinjalla kohtisuorassa akseliin nähden Z, ja profiiliprojektio on samalla etäisyydellä akselista Z, joka on vaakasuora x-akselista: A z A 3 = A x A 1.

Vaakapisteen projektio A 1 määräytyy koordinaateista X Ja Y

edestä A 2- koordinaatit X Ja Z, profiili P 3 - koordinaatit Y ja Z.

Suhteessa projektiotasoihin piste voi olla seuraavissa paikoissa:

Piste sijaitsee missä tahansa tilan neljänneksessä, kun taas ehto on pakollinen, että X ≠ 0; Y ≠ 0; Z ¹ 0.
Piste kuuluu mihin tahansa projektiotasoon edellyttäen, että yhden koordinaatin on oltava yhtä suuri kuin "0".

A Î P 1 jos Ζ = 0;

A Î P2, jos Y = 0;

А О П 3, jos Х = 0.

3. Piste kuuluu koordinaattiakseliin, jos mitkä tahansa kaksi koordinaattia ovat yhtä kuin "0".

A Î X, jos Y = 0; Z = 0;

А н U jos Х = 0; Z = 0;

A Î Z, jos X = 0; Y = 0.

Luento

Aihe "Insinöörigrafiikka"

Luku. 1 Kuvaava geometria

Kokoonpano: Shagvaleeva.G.N.

Johdanto.

Kuvailevaa geometriaa kutsutaan myös kuvien teoriaksi. Kuvailevan geometrian aiheena on menetelmien esittäminen ja perustelut tilahahmojen esittämiseksi litteässä piirustuksessa sekä menetelmiä tilageometristen ongelmien ratkaisemiseksi litteässä piirustuksessa. Stereometrisiä (kolmiulotteisia) objekteja käsitellään siinä näiden kohteiden planimetristen (kaksiulotteisten) kuvien, projektioiden avulla.

He sanovat, että piirtäminen on tekniikan kieli, ja kuvaava geometria on tämän kielen kielioppi. Kuvaava geometria on teoreettinen perusta teknisten piirustusten rakentaminen, jotka ovat täydellisiä graafisia malleja tietyistä konepajatuotteista.

Kuvaavassa geometriassa esitetyt kuvien rakentamissäännöt perustuvat projisointimenetelmä.

Kuvailevan geometrian opiskelu edistää tilaesityksen ja mielikuvituksen, rakentavan geometrisen ajattelun kehittymistä sekä tilamuotojen ja niiden välisten suhteiden analysointi- ja synteesikykyjen kehittämistä. Hallitsee erilaisten geometristen tilaobjektien konstruointimenetelmiä, menetelmiä niiden piirustusten saamiseksi graafisten mallien tasolla ja kykyä ratkaista näissä piirustuksissa tilaobjekteihin ja niiden geometrisiin ominaisuuksiin liittyviä ongelmia.

Kuvailevan geometrian perustan tieteenä loi ranskalainen tiedemies ja insinööri Gaspard Monge (1746-1818) teoksessaan "Descriptive Geometry", Pariisi, 1795. Gaspard Monge antoi yleisen menetelmän stereometristen ongelmien ratkaisemiseen. geometriset rakenteet tasossa, eli piirustuksessa, piirtotyökalujen avulla.

Hyväksytyt nimitykset.

A, B, C, D, -pisteet on merkitty latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla;

a, b, c, d - rivit - latinalaisten aakkosten pienillä kirjaimilla;

p 1 - projektioiden vaakataso,

p 2 - projektioiden etutaso,

p 3 - projektioiden profiilitaso,

p 4 , p 5 , ... - lisäprojektiotasot.

lentokoneita

Projektioakselit - latinalaisten aakkosten pienillä kirjaimilla: x, y ja z. Koordinaattien origo on numero 0.

Pisteiden, viivojen, tasojen projektiot on merkitty: p 1:ssä yhdellä vedolla, p 2:lla kahdella, p 3:lla - kolmella vedolla.

p 1 - A I , B I , C I ,..., a I , b I , ... , a I , b I ,

p 2 - A II, B II, C II,..., a II, b II, ..., a II, b II,

p 3 - A III, B III, C III,..., a III, b III, ..., a III, b III.

Ennusteiden muodostuminen.

1 Keskiprojektio.

Keskusprojektiolaitteisto koostuu projektiokeskuksesta S, projektiotasosta π, projisoivista säteistä.

π 1 - projektiotaso

S - projektiokeskus

A, B, C - pisteet avaruudessa

A", B", C" - pisteiden projektiot tasolle π"

Projektio on projisoivan säteen ja projektiotason leikkauspiste.

2. Rinnakkaisprojektio.

Ulkonevat palkit johdetaan yhdensuuntaisesti S:n ja toistensa kanssa. Rinnakkaiset projektiot jaetaan vinoihin ja suorakaiteen muotoisiin. Vinossa projektiossa säteet sijaitsevat kulmassa ulkonevaan tasoon nähden.

Suorakaiteen muotoisessa projektiossa ulkonevat säteet ovat kohtisuorassa projektiotasoon nähden (kuva 1.3). Suorakulmainen projektio on tärkein projektiomenetelmä, jota käytetään teknisten piirustusten rakentamisessa.

Ortogonaalisen projektion perusominaisuudet

1. Pisteen projektio - on piste;

2. Suoran projektio (yleisessä tapauksessa) - on suora tai piste (suora on kohtisuorassa projektiotasoon nähden);

3. Jos piste on suoralla, niin tämän pisteen projektio kuuluu suoran projektioon: А l ® A "l";

4. Jos kaksi suoraa avaruudessa ovat yhdensuuntaisia, niin niiden samannimiset projektiot ovat myös yhdensuuntaiset: a || b ® a` || b";

5. Jos kaksi suoraa leikkaavat jossain pisteessä, niin niiden samannimiset projektiot leikkaavat tämän pisteen vastaavassa projektiossa: m ∩ n = K ® m" ∩ n" = K";

6. Yhdellä suoralla tai kahdella yhdensuuntaisella viivalla sijaitsevien segmenttien suhteellisuus säilyy myös niiden projektioissa (kuva 1.3): AB: CD \u003d A "B": C "D"

7. Jos toinen kahdesta keskenään kohtisuorasta suorasta on yhdensuuntainen projektiotason kanssa, niin oikea kulma projisoidaan tälle tasolle suoralla kulmalla (kuva 1.4).

Piste- tai Monge-piirrosten monimutkainen piirtäminen.

Käytännössä yleisin kuvailevan geometrian menetelmä ehdotti Gaspard Monge. Tämä menetelmä perustuu ortogonaaliseen suunnitteluun.

Pisteen A kohtisuoraa (tai suorakaiteen muotoista) projektiota tasolle π 1 kutsutaan pisteestä A tasoon π 1 pudotetun kohtisuoran kannaksi (kuva 1.5).

Tässä tapauksessa tasolle π 1 saatu piirros on peruuttamaton, alkuperäisen A ja projektion A "vastaavuus on ainutlaatuinen vain yhdessä suunnassa: alkuperäisestä projektioon. Alkuperäinen vastaa yhtä projektiota, alkuperäinen piirustus on yksilöllisesti määritelty, mutta projektiolle A" on lukemattomia sitä vastaavia alkuperäiskappaleita, nimittäin kaikki projektioviivan A A pisteet". Tarkka käännös piirustuksen kielestä luonnon kielelle on mahdotonta. Siksi Monge esittelee toinen projektiotaso.

Riisi. 1.6. Kuva 1. 7.

Kuvassa 6. kuvassa suorakaiteen muotoinen järjestelmä koordinaatit.

Yhdistämällä nyt tasot π 1 ja π 2 niihin rakennettuihin projektioihin kääntämällä π 1 X-akselin ympäri 90 0 siten, että etupuolitaso π 1 osuu yhteen alemman puolitason π 2 kanssa, saadaan monimutkainen pistepiirustus tai Mongen kaavio. (Kuva 1.7).

Rakennettu näiden sääntöjen mukaan projektiosuhteessa olevasta projektioparista koostuva piirustus on käännettävä, eli alkuperäisen ja piirustuksen välinen vastaavuus on yksiselitteinen molempiin suuntiin. Tai toisin sanoen piirustus antaa kattavaa tietoa alkuperäisestä. Tämän tiedon purkaminen on kuvailevan geometrian aihe.

Monimutkaisen pisteen piirtämisen perusteella voimme tehdä seuraavat johtopäätökset:

1. kaksi pisteen projektiota määräävät täysin pisteen sijainnin avaruudessa;

2. pisteiden projektiot ovat aina projektioakseliin nähden kohtisuoralla liitosviivalla.

Pisteiden projektiot yhdistäviä viivoja kutsutaan viestintälinjoiksi ja ne kuvataan yhtenäisinä ohuina viivoina.

Useissa rakenteissa ja tehtäviä ratkaistaessa osoittautuu tarpeelliseksi viedä järjestelmään π 1 (vaakasuora taso) π 2 (etutaso) ja muita projektiotasoja. Sekä π 1:een että π 1:een nähden kohtisuorassa oleva taso on profiilitaso. π3. Vaaka- ja etutason leikkausviiva antaa X-akselin, vaaka- ja profiilitason leikkausviiva Y-akselin ja etu- ja profiilitason leikkausviiva Z-akselin (kuva 1). . 8)

Pisteestä monimutkaisen piirustuksen saamiseksi on tarpeen sijoittaa kolme tasoa yhteen, joille "leikataan" Y-akseli ja yhdistetään kolme pääprojektiotasoa yhdeksi (kuva 1. 9).

Kolmas projektio ei lisää uutta tietoa alkuperäisestä. Se vain tekee saatavilla olevasta tiedosta paremmin sulavaa. (Kuva 1.10)

Etäisyys pisteestä A tasoon π 3 (A A "") avaruudessa näkyy piirustuksessa ja se on yhtä suuri kuin etäisyys A "AY \u003d A" A Z \u003d A X 0 \u003d X

Etäisyys pisteestä A tasoon π 2 (A A") avaruudessa näkyy piirustuksessa ja se on yhtä suuri kuin etäisyys A "AX \u003d A" "A Z \u003d A Y 0 \u003d Y

Etäisyys pisteestä A tasoon π 1 (A A") avaruudessa näkyy piirustuksessa ja se on yhtä suuri kuin etäisyys A "AX \u003d A" "A Y \u003d A Z 0 \u003d Z

Esimerkki. Rakenna pisteiden A(10, 10,30), B(30,20,10) projektiot

Kilpailevat pisteet.

Pisteitä, joissa yksi samanniminen projektiopari osuu yhteen (ja muut eivät täsmää), kutsutaan kilpaileviksi pisteiksi.

Pisteet sijaitsevat yhdellä ulkonevalla suoralla, kohtisuorassa etuprojektiotasoon nähden. Katselusuunta on merkitty nuolella. Tässä tapauksessa projektio B" on lähempänä havaitsijaa kuin A", ja π 2:lla projektio B"" on näkyvissä ja projektio A"" on näkymätön (kuva 1.12).

käsite " korkeampi alempi»

Pisteet sijaitsevat yhdellä ulkonevalla suoralla, kohtisuorassa vaakasuuntaiseen projektiotasoon nähden. Katselusuunta on merkitty nuolella. Tässä tapauksessa projektio A "" on lähempänä havaitsijaa kuin B "", ja kohdassa π 1 projektio A" on näkyvissä ja projektio B" on näkymätön (kuva 1.13).