Pyramidihahmo. Geometriset hahmot. Pyramidi. Säännöllisen pyramidin ominaisuudet

Hypoteesi: uskomme, että pyramidin muodon täydellisyys johtuu matemaattisia lakeja upotettuna sen muotoon.

Kohde: tutkittuaan pyramidia geometrisena kappaleena selittääkseen sen muodon täydellisyyden.

Tehtävät:

1. Anna pyramidin matemaattinen määritelmä.

2. Tutki pyramidia geometrisena kappaleena.

3. Ymmärrä, mitä matemaattista tietoa egyptiläiset asettivat pyramideihinsa.

Yksityisiä kysymyksiä:

1. Mikä on pyramidi geometrisena kappaleena?

2. Miten pyramidin ainutlaatuinen muoto voidaan selittää matemaattisesti?

3. Mikä selittää pyramidin geometriset ihmeet?

4. Mikä selittää pyramidin muodon täydellisyyden?

Pyramidin määritelmä.

PYRAMIDI (kreikan pyramis, suku n. pyramidos) - monitahoinen, jonka kanta on monikulmio, ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki (kuva). Pohjan kulmien lukumäärän mukaan pyramidit ovat kolmion muotoisia, nelikulmaisia ​​jne.

PYRAMIDI - monumentaalinen rakenne, jolla on pyramidin geometrinen muoto (joskus myös porrastettu tai tornin muotoinen). Muinaisten egyptiläisten faaraoiden jättimäisiä hautoja 3.–2. vuosituhannella eKr. kutsutaan pyramideiksi. e., samoin kuin muinaiset amerikkalaiset temppelien jalustat (Meksikossa, Guatemalassa, Hondurasissa, Perussa), jotka liittyvät kosmologisiin kultteisiin.

Onko mahdollista että Kreikan sana"pyramidi" tulee egyptiläisestä ilmaisusta per-em-us, eli termistä, joka tarkoitti pyramidin korkeutta. Tunnettu venäläinen egyptiologi V. Struve uskoi, että kreikkalainen "puram…j" tulee muinaisesta egyptiläisestä "p"-mr.

Historiasta. Tutkittuaan materiaalia Atanasyanin kirjoittajien oppikirjassa "Geometria". Butuzova ja muut, opimme, että: Monitahoista, joka koostuu n-kulmiosta A1A2A3 ... An ja n kolmiosta RA1A2, RA2A3, ..., RANA1, kutsutaan pyramidiksi. Monikulmio A1A2A3 ... An on pyramidin kanta ja kolmiot RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 ovat pyramidin sivupinnat, P on pyramidin huippu, segmentit RA1, RA2, .. ., RAn ovat sivureunat.

Tällaista pyramidin määritelmää ei kuitenkaan aina ollut olemassa. Esimerkiksi antiikin kreikkalainen matemaatikko, matematiikan teoreettisten tutkielmien kirjoittaja, jotka ovat tulleet meille, Euclid, määrittelee pyramidin kiinteäksi hahmoksi, jota rajoittavat tasot, jotka suppenevat yhdestä tasosta yhteen pisteeseen.

Mutta tätä määritelmää on kritisoitu jo antiikissa. Joten Heron ehdotti seuraavaa pyramidin määritelmää: "Tämä on kuvio, jota rajoittavat yhdessä pisteessä lähentyvät kolmiot ja jonka kanta on monikulmio."

Ryhmämme, kun vertaili näitä määritelmiä, tuli siihen tulokseen, että heillä ei ole selkeää "säätiön" käsitettä.

Tutkimme näitä määritelmiä ja löysimme Adrien Marie Legendren määritelmän, joka vuonna 1794 teoksessaan "Elements of Geometry" määrittelee pyramidin seuraavasti: "Pyramidi on kehollinen hahmo, muodostettu kolmioista, joka suppenee yhteen pisteeseen ja päättyy tasaisen alustan eri puolille.

Meistä näyttää siltä, ​​​​että viimeinen määritelmä antaa selkeän käsityksen pyramidista, koska se viittaa siihen, että pohja on tasainen. Toinen pyramidin määritelmä esiintyi 1800-luvun oppikirjassa: "pyramidi on avaruuskulma, jonka taso leikkaa."

Pyramidi geometrisena kappaleena.

Että. Pyramidi on monitahoinen, jonka yksi pinoista (kanta) on monikulmio, muut pinnat (sivut) ovat kolmioita, joilla on yksi yhteinen kärki (pyramidin huippu).

Pyramidin huipulta pohjan tasoon vedettyä kohtisuoraa kutsutaan pitkäh pyramidit.

Mielivaltaisen pyramidin lisäksi on olemassa oikea pyramidi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja katkaistu pyramidi.

Kuvassa - pyramidi PABCD, ABCD - sen pohja, PO - korkeus.

Koko pinta-ala Pyramidia kutsutaan kaikkien sen pintojen pinta-alojen summaksi.

Täysi = Sside + Sbase, Missä Sside on sivupintojen pinta-alojen summa.

pyramidin tilavuus löytyy kaavan mukaan:

V = 1/3Sbase h, missä Sosn. - perusalue h- korkeus.

Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala ilmaistaan ​​seuraavasti: Sivu. =1/2P h, jossa P on kannan ympärysmitta, h- sivupinnan korkeus (säännöllisen pyramidin apoteemi). Jos pyramidin ylittää pohjan suuntainen taso A'B'C'D', niin:

1) sivureunat ja korkeus jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

2) leikkauksessa saadaan kantaa vastaava monikulmio A'B'C'D';

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Katkaistun pyramidin pohjat ovat samanlaisia ​​polygoneja ABCD ja A`B`C`D`, sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia.

Korkeus katkaistu pyramidi - tukien välinen etäisyys.

Katkaistu tilavuus pyramidi löytyy kaavasta:

V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala ilmaistaan ​​seuraavasti: Sivu. = ½(P+P') h, jossa P ja P' ovat kantajen ympärysmitat, h- sivupinnan korkeus (juhlien katkaiseman säännöllisen apoteemi

Pyramidin osat.

Pyramidin poikkileikkaukset sen yläosan läpi kulkevien tasojen mukaan ovat kolmioita.

Pyramidin kahden ei-viereisen sivureunan läpi kulkevaa osaa kutsutaan diagonaalinen leikkaus.

Jos leikkaus kulkee sivureunassa ja pohjan sivulla olevan pisteen läpi, tämä sivu on sen jälki pyramidin pohjan tasossa.

Poikkileikkaus, joka kulkee pyramidin pinnalla sijaitsevan pisteen läpi ja tietyn jäljen leikkauksesta pohjan tasossa, rakentaminen tulee suorittaa seuraavasti:

etsi annetun pinnan tason ja pyramidin leikkauksen jäljen leikkauspiste ja nimeä se;

rakentaa tietyn pisteen ja tuloksena olevan leikkauspisteen kautta kulkeva suora;

· Toista nämä vaiheet seuraaville kasvoille.

, joka vastaa suorakulmaisen kolmion jalkojen suhdetta 4:3. Tämä jalkojen suhde vastaa hyvin tunnettua suorakulmaista kolmiota, jonka sivut ovat 3:4:5, jota kutsutaan "täydelliseksi", "pyhäksi" tai "egyptiläiseksi" kolmioksi. Historioitsijoiden mukaan "egyptiläiselle" kolmiolle annettiin maaginen merkitys. Plutarch kirjoitti, että egyptiläiset vertasivat maailmankaikkeuden luonnetta "pyhään" kolmioon; he vertasivat symbolisesti pystysuoraa jalkaa aviomieheen, pohjaa vaimoon ja hypotenuusa siihen, mikä on syntynyt molemmista.

Kolmiolle 3:4:5 yhtäläisyys on tosi: 32 + 42 = 52, mikä ilmaisee Pythagoraan lauseen. Eikö tämä lause ole, jonka egyptiläiset papit halusivat jatkaa pystyttämällä pyramidin kolmion 3:4:5 pohjalta? On vaikea löytää parempaa esimerkkiä havainnollistamaan Pythagoraan lausetta, jonka egyptiläiset tunsivat kauan ennen kuin Pythagoras löysi sen.

Niinpä Egyptin pyramidien nerokkaat luojat yrittivät tehdä vaikutuksen kaukaisiin jälkeläisiin tietonsa syvyydellä, ja he saavuttivat tämän valitsemalla Cheopsin pyramidin "geometriseksi pääideaksi" - "kultaisen" suorakulmaisen kolmion ja Khafren pyramidille - "pyhä" tai "egyptiläinen" kolmio.

Hyvin usein tutkijat käyttävät tutkimuksessaan pyramidien ominaisuuksia kultaisen leikkauksen mittasuhteilla.

Matematiikassa tietosanakirjasta Kultaiselle leikkaukselle annetaan seuraava määritelmä - tämä on harmoninen jako, jako ääri- ja keskiarvosuhteessa - segmentin AB jakaminen kahteen osaan siten, että suurin osa sen AC:stä on keskiarvo verrannollinen koko segmentin AB välillä ja sen pienempi osa CB.

Janan kultaisen osan algebrallinen löytö AB = a pelkistyy yhtälön a ratkaisemiseksi: x = x: (a - x), jolloin x on suunnilleen yhtä suuri kuin 0,62a. X-suhde voidaan ilmaista murto-osina 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, jossa 2, 3, 5, 8, 13, 21 ovat Fibonacci-lukuja.

Jakson AB kultaisen leikkauksen geometrinen rakentaminen suoritetaan seuraavasti: pisteessä B palautetaan kohtisuora AB:tä vastaan, segmentti BE \u003d 1/2 AB asetetaan sen päälle, A ja E yhdistetään, DE \ u003d BE lykätään ja lopuksi AC \u003d AD, sitten yhtälö AB täyttyy: CB = 2: 3.

kultainen leikkaus käytetään usein taideteoksissa, arkkitehtuurissa, luonnossa. Eläviä esimerkkejä ovat Apollo Belvederen veistos, Parthenon. Parthenonin rakentamisen aikana käytettiin rakennuksen korkeuden suhdetta sen pituuteen ja tämä suhde on 0,618. Myös ympärillämme olevat esineet tarjoavat esimerkkejä kultaisesta suhteesta, esimerkiksi monien kirjojen sidosten leveys-pituussuhde on lähellä 0,618. Kun tarkastellaan lehtien sijoittelua yhteiseen kasvin varteen, voidaan huomata, että jokaisen kahden lehtiparin välissä kolmas sijaitsee kultaisen suhteen (diat) paikalla. Jokainen meistä "käyttää" kultaista suhdetta kanssamme "käsissämme" - tämä on sormien sormien suhde.

Useiden matemaattisten papyrusten löytämisen ansiosta egyptiläiset ovat oppineet jotain muinaisista egyptiläisistä lasku- ja mittausjärjestelmistä. Niiden sisältämät tehtävät ratkaisivat kirjanoppineet. Yksi tunnetuimmista on Rhindin matemaattinen papyrus. Näitä arvoituksia tutkimalla egyptiläiset oppivat, kuinka muinaiset egyptiläiset käsittelivät erilaisia ​​määriä, jotka syntyivät laskettaessa painon, pituuden ja tilavuuden mittareita, joissa käytettiin usein murtolukuja, sekä kuinka he käsittelivät kulmia.

Muinaiset egyptiläiset käyttivät kulmien laskentamenetelmää, joka perustui suorakulmaisen kolmion korkeuden ja pohjan suhteeseen. Ne ilmaisivat minkä tahansa kulman gradientin kielellä. Kaltevuusgradientti ilmaistiin kokonaisluvun suhteena, jota kutsutaan "sekediksi". Richard Pillins selittää teoksessa Mathematics in the Time of the Pharaohs: "Säännöllisen pyramidin seked on minkä tahansa neljän kolmion pinnan kaltevuus pohjan tasoon nähden, mitattuna n:nnellä vaakayksiköiden lukumäärällä pystysuoraa korkeusyksikköä kohti. . Siten tämä mittayksikkö vastaa nykyaikaista kaltevuuskulmamme kotangenttiamme. Siksi egyptiläinen sana "seked" liittyy meidän moderni sana"kaltevuus"".

Pyramidien numeerinen avain on niiden korkeuden suhteessa pohjaan. Käytännössä tämä on helpoin tapa tehdä malleja, joita tarvitaan oikean kallistuskulman jatkuvaan tarkistamiseen koko pyramidin rakentamisen ajan.

Egyptologit vakuuttaisivat meidät mielellään siitä, että jokainen faarao halusi ilmaista yksilöllisyytensä, mistä johtuen kunkin pyramidin kaltevuuskulmien erot. Mutta syy voi olla toinenkin. Ehkä he kaikki halusivat ilmentää erilaisia ​​symbolisia assosiaatioita eri suhteissa. Kuitenkin Khafren pyramidin kulma (perustuu kolmioon (3:4:5) näkyy Rhindin matemaattisen papyruksen pyramidien esittämissä kolmessa tehtävässä). Joten tämä asenne oli muinaisten egyptiläisten tiedossa.

Ollakseni oikeudenmukainen egyptologeja kohtaan, jotka väittävät, että muinaiset egyptiläiset eivät tienneet 3:4:5 kolmiota, sanotaan, että hypotenuusan 5 pituutta ei koskaan mainittu. Mutta matemaattisia ongelmia, koskien pyramideja, ratkaistaan ​​aina kulman - korkeuden suhteen pohjaan - perusteella. Koska hypotenuusan pituutta ei koskaan mainittu, pääteltiin, että egyptiläiset eivät koskaan laskeneet kolmannen sivun pituutta.

Muinaiset egyptiläiset tiesivät epäilemättä Gizan pyramideissa käytetyt korkeuden ja pohjan suhteet. On mahdollista, että nämä suhteet kullekin pyramidille valittiin mielivaltaisesti. Tämä on kuitenkin ristiriidassa numeerisen symbolismin merkityksen kanssa kaikentyyppisissä egyptiläisissä Kuvataide. On hyvin todennäköistä, että tällaisilla suhteilla oli suuri merkitys, koska ne ilmaisivat erityisiä uskonnollisia ajatuksia. Toisin sanoen koko Gizan kompleksi oli johdonmukaisen suunnittelun kohteena, joka oli suunniteltu heijastamaan jonkinlaista jumalallista teemaa. Tämä selittäisi, miksi suunnittelijat valitsivat kolmelle pyramidille eri kulmat.

Orionin salaisuudessa Bauval ja Gilbert esittivät vakuuttavia todisteita Gizan pyramidien yhteydestä Orionin tähdistöyn, erityisesti Orionin vyön tähtiin. Sama tähdistö on läsnä myytissä Isis ja Osiris, ja on syytä pitää jokaista pyramidia kuvana yhdestä kolmesta pääjumaluudesta - Osiris, Isis ja Horus.

IHMEÄ "GEOMETRIA".

Egyptin mahtavien pyramidien joukossa on erityinen paikka Farao Cheopsin suuri pyramidi (Khufu). Ennen kuin siirrymme Cheopsin pyramidin muodon ja koon analysointiin, meidän tulisi muistaa, mitä mittajärjestelmää egyptiläiset käyttivät. Egyptiläisillä oli kolme pituusyksikköä: "kyynärää" (466 mm), joka vastaa seitsemää "kämmentä" (66,5 mm), mikä puolestaan ​​vastasi neljää "sormea" (16,6 mm).

Analysoidaan Cheops-pyramidin kokoa (kuva 2) ukrainalaisen tiedemiehen Nikolai Vasjutinskin upeassa kirjassa "Kultainen osuus" (1990) annettujen perustelujen mukaisesti.

Useimmat tutkijat ovat yhtä mieltä siitä, että esimerkiksi pyramidin pohjan sivun pituus GF on yhtä suuri kuin L\u003d 233,16 m. Tämä arvo vastaa lähes täsmälleen 500 "kyynärää". Täysi noudattaminen 500 "kyynärää" on, jos "kyynärän" pituudeksi katsotaan 0,4663 m.

Pyramidin korkeus ( H) on tutkijoiden arvioitu eri tavalla 146,6-148,2 m. Ja riippuen pyramidin hyväksytystä korkeudesta, kaikki sen geometristen elementtien suhteet muuttuvat. Mistä johtuu pyramidin korkeusarvion erot? Tosiasia on, että tarkasti ottaen Cheopsin pyramidi on katkaistu. Sen ylälava on nykyään kooltaan noin 10 ´ 10 m ja sata vuotta sitten 6 ´ 6 m. On ilmeistä, että pyramidin huippu on purettu, eikä se vastaa alkuperäistä.

Pyramidin korkeutta arvioitaessa on otettava huomioon sellainen fyysinen tekijä"luonnoksena" mallina. Takana pitkä aika kolossaalisen paineen vaikutuksesta (joka saavuttaa 500 tonnia 1 m2 alapintaa kohti) pyramidin korkeus laski alkuperäiseen korkeuteen verrattuna.

Mikä oli pyramidin alkuperäinen korkeus? Tämä korkeus voidaan luoda uudelleen, jos löydät pyramidin "geometrisen perusidean".

Kuva 2.

Vuonna 1837 englantilainen eversti G. Wise mittasi pyramidin pintojen kaltevuuskulman: se osoittautui yhtä suureksi kuin a= 51°51". Useimmat tutkijat tunnistavat tämän arvon vielä tänäkin päivänä. Kulman ilmoitettu arvo vastaa tangenttia (tg a) yhtä suuri kuin 1,27306. Tämä arvo vastaa pyramidin korkeuden suhdetta AC puoleen sen pohjasta CB(Kuva 2), so. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Ja tässä tutkijat kohtasivat suuren yllätyksen!.png" width="25" height="24">= 1,272. Vertaamalla tätä arvoa tg-arvoon a= 1,27306, näemme, että nämä arvot ovat hyvin lähellä toisiaan. Jos otamme kulman a\u003d 51 ° 50", eli pienentääksesi sitä vain yhdellä kaaren minuutilla, sitten arvo a tulee yhtä suureksi kuin 1,272, eli se osuu yhteen arvon kanssa. On huomattava, että vuonna 1840 G. Wise toisti mittauksensa ja selvensi, että kulman arvo a=51°50".

Nämä mittaukset johtivat tutkijat seuraavaan erittäin mielenkiintoiseen hypoteesiin: Cheopsin pyramidin kolmio ASV perustui suhteeseen AC / CB = = 1,272!

Harkitse nyt suorakulmaista kolmiota ABC, jossa jalkojen suhde AC / CB= (Kuva 2). Jos nyt suorakulmion sivujen pituudet ABC tarkoittaa x, y, z, ja ota myös huomioon, että suhde y/x= , sitten Pythagoraan lauseen mukaisesti pituus z voidaan laskea kaavalla:

Jos hyväksyt x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Kuva 3"Kultainen" suorakulmainen kolmio.

Suorakulmainen kolmio, jonka sivut liittyvät toisiinsa kuten t:kultainen" suorakulmainen kolmio.

Sitten, jos otamme perustaksi hypoteesin, että Cheops-pyramidin tärkein "geometrinen idea" on "kultainen" suorakulmainen kolmio, niin täältä on helppo laskea Cheops-pyramidin "suunnittelu" korkeus. Se on yhtä suuri kuin:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Johdetaan nyt joitain muita suhteita Cheopsin pyramidille, jotka seuraavat "kultaisesta" hypoteesista. Erityisesti löydämme pyramidin ulkopinnan suhteen sen pohjan pinta-alaan. Tätä varten otamme jalan pituuden CB yksikköä kohti, eli: CB= 1. Mutta sitten pyramidin pohjan sivun pituus GF= 2 ja pohjan pinta-ala EFGH tulee olemaan yhtä suuri kuin SEFGH = 4.

Lasketaan nyt Cheops-pyramidin sivupinnan pinta-ala SD. Koska korkeus AB kolmio AEF on yhtä suuri kuin t, niin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri SD = t. Sitten pyramidin kaikkien neljän sivupinnan kokonaispinta-ala on 4 t, ja pyramidin ulkoisen kokonaispinta-alan suhde peruspinta-alaan on yhtä suuri kuin kultainen suhde! Sitä se on - Cheopsin pyramidin tärkein geometrinen salaisuus!

Cheopsin pyramidin "geometristen ihmeiden" ryhmään kuuluvat pyramidin eri ulottuvuuksien välisen suhteen todelliset ja keksityt ominaisuudet.

Yleensä ne saadaan etsimällä jotain "vakiota", erityisesti numeroa "pi" (Ludolf-luku), joka on yhtä suuri kuin 3,14159...; luonnollisten logaritmien kantaluvut "e" (Napierin luku) ovat 2,71828...; luku "F", "kultaisen leikkauksen" numero on esimerkiksi 0,618 ... jne.

Voit nimetä esimerkiksi: 1) Herodotuksen omaisuus: (Korkeus) 2 \u003d 0,5 st. pää x Apothem; 2) V:n omaisuus. Hinta: Korkeus: 0,5 st. osn \u003d "Ф":n neliöjuuri; 3) M. Eistin ominaisuus: Pohjan ympärysmitta: 2 Korkeus = "Pi"; eri tulkinnassa - 2 rkl. pää : Korkeus = "Pi"; 4) G. Reberin ominaisuus: Piirretyn ympyrän säde: 0,5 st. pää = "F"; 5) K. Kleppishin omaisuus: (St. Main.) 2: 2 (st. Main. x Apothem) \u003d (St. Main. W. Apothem) \u003d. 2. pää X Apothem) + (st. main) 2). Jne. Voit keksiä monia tällaisia ​​ominaisuuksia, varsinkin jos yhdistät kaksi vierekkäistä pyramidia. Esimerkiksi "A. Arefjevin ominaisuuksina" voidaan mainita, että Kheopsin pyramidin ja Khafren pyramidin tilavuuksien ero on yhtä suuri kuin kaksi kertaa Menkauren pyramidin tilavuus...

Monia mielenkiintoisia määräyksiä, erityisesti koskien pyramidien rakentamista "kultaisen leikkauksen" mukaan, on esitetty D. Hambidgen "Dynamic Symmetry in Architecture" ja M. Geekin kirjoissa "Aesthetics of Proportion in Nature and Art". Muista, että "kultainen leikkaus" on segmentin jako sellaisessa suhteessa, kun osa A on yhtä monta kertaa suurempi kuin osa B, kuinka monta kertaa A on pienempi kuin koko segmentti A + B. Suhde A / B on yhtä suuri kuin luku "Ф" == 1,618. .. "Kultaleikkauksen" käyttö on osoitettu ei vain yksittäisissä pyramideissa, vaan koko Gizan pyramidikompleksissa.

Kaikkein kummallisinta on kuitenkin se, että yksi ja sama Cheopsin pyramidi "ei voi" sisältää niin monia upeita ominaisuuksia. Kun otat tietyn ominaisuuden yksitellen, voit "säätää" sitä, mutta kerralla ne eivät sovi - ne eivät ole samat, ne ovat ristiriidassa keskenään. Siksi, jos esimerkiksi kaikkia ominaisuuksia tarkasteltaessa otetaan alun perin yksi ja sama puoli pyramidin pohjasta (233 m), myös eri ominaisuuksien omaavien pyramidien korkeudet ovat erilaisia. Toisin sanoen on olemassa tietty "perhe" pyramideja, jotka ovat ulkoisesti samanlaisia ​​kuin Cheopsilla, mutta vastaavat erilaisia ​​ominaisuuksia. Huomaa, että "geometrisissa" ominaisuuksissa ei ole mitään erityisen ihmeellistä - paljon syntyy puhtaasti automaattisesti, itse kuvion ominaisuuksista. "Ihme" tulisi pitää vain jotain ilmeisen mahdotonta muinaisille egyptiläisille. Tämä sisältää erityisesti "kosmiset" ihmeet, joissa Cheops-pyramidin tai Gizan pyramidikompleksin mittoja verrataan joihinkin tähtitieteellisiin mittauksiin ja esitetään "parilliset" numerot: miljoona kertaa, miljardi kertaa vähemmän ja niin edelleen. . Tarkastellaanpa joitain "kosmisia" suhteita.

Yksi lauseista on tämä: "Jos jaamme pyramidin pohjan sivun tarkalla vuoden pituudella, saamme täsmälleen 10 miljoonasosan maan akseli". Laske: jaamme 233:lla 365, saamme 0,638. Maan säde on 6378 km.

Toinen väite on itse asiassa edellisen vastakohta. F. Noetling huomautti, että jos käytät hänen keksimäänsä "egyptiläistä kyynärpäätä", pyramidin sivu vastaa "aurinkovuoden tarkinta kestoa, ilmaistuna lähimpään vuorokauden miljardisosaan" - 365.540.903.777 .

P. Smithin lausunto: "Pyramidin korkeus on täsmälleen yksi miljardisosa etäisyydestä Maan ja Auringon välillä." Vaikka yleensä korkeudeksi on otettu 146,6 m, Smith otti sen 148,2 m. Nykyaikaisten tutkamittausten mukaan maan kiertoradan puolipääakseli on 149 597 870 + 1,6 km. Tämä on keskimääräinen etäisyys Maan ja Auringon välillä, mutta perihelionissa se on 5 000 000 kilometriä pienempi kuin aphelionissa.

Viimeinen utelias lausunto:

"Kuinka selittää, että Cheopsin, Khafren ja Menkauren pyramidien massat liittyvät toisiinsa, kuten planeettojen Maa, Venus ja Mars massat?" Lasketaan. Kolmen pyramidin massat ovat suhteessa toisiinsa: Khafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerin - 0,0915. Kolmen planeetan massojen suhteet: Venus - 0,815; Maa - 1 000; Mars - 0,108.

Joten, skeptisyydestä huolimatta, huomioikaa lausuntojen rakentamisen tunnettu harmonia: 1) pyramidin korkeus "avaruuteen menevänä" viivana - vastaa etäisyyttä Maasta Auringoon; 2) pyramidin pohjan "substraattia" lähimpänä oleva puoli, eli Maata, vastaa maan säteestä ja maan kierrosta; 3) pyramidin tilavuudet (lue - massat) vastaavat Maata lähimpänä olevien planeettojen massojen suhdetta. Samanlainen "salaus" voidaan jäljittää esimerkiksi mehiläiskielellä, jonka on analysoinut Karl von Frisch. Emme kuitenkaan toistaiseksi kommentoi tätä.

PYRAMIDIEN MUOTO

Pyramidien kuuluisa tetraedrinen muoto ei ilmestynyt heti. Skytialaiset hautasivat maakukkuloiden - koukkujen - muodossa. Egyptiläiset rakensivat kivestä "kukkulia" - pyramideja. Tämä tapahtui ensimmäistä kertaa Ylä- ja Ala-Egyptin yhdistämisen jälkeen, 2700-luvulla eKr., jolloin III-dynastian perustaja, faarao Djoser (Zoser), joutui maan yhtenäisyyden vahvistamiseen.

Ja täällä historioitsijoiden mukaan oli tärkeä rooli keskushallinnon vahvistamisessa " uusi konsepti kuninkaan jumaluus". Vaikka kuninkaalliset hautaukset olivatkin upeampia, ne eivät periaatteessa eronneet hoviaatelisten haudoista, ne olivat samoja rakenteita - mastabaa. Kammion yläpuolella, jossa oli muumion sisältävä sarkofagi, suorakulmainen pieni kukkula kiviä kaadettiin, missä sitten pieni suurista kivipaloista tehty rakennus - "mastaba" (arabiaksi - "penkki"). Edeltäjänsä Sanakhtin mastaban paikalle farao Djoser pystytti ensimmäisen pyramidin. Se porrastettiin ja oli näkyvä siirtymävaihe yhdestä arkkitehtonisesta muodosta toiseen, mastabasta pyramidiin.

Tällä tavalla faaraon "kasvatti" viisas ja arkkitehti Imhotep, jota myöhemmin pidettiin taikurina ja kreikkalaiset tunnistivat jumalan Asklepioksen. Oli kuin kuusi mastabaa olisi pystytetty peräkkäin. Lisäksi ensimmäinen pyramidi miehitti alueen 1125 x 115 metriä, ja sen arvioitu korkeus oli 66 metriä (egyptiläisten mittojen mukaan - 1000 "kämmentä"). Aluksi arkkitehti suunnitteli rakentavansa mastaban, mutta ei pitkulaisen, vaan neliömäisen. Myöhemmin sitä laajennettiin, mutta koska jatke tehtiin alemmas, muodostui ikään kuin kaksi porrasta.

Tämä tilanne ei tyydyttänyt arkkitehtuuria, ja valtavan litteän mastaban ylätasolle Imhotep asetti kolme lisää, laskeen vähitellen ylöspäin. Hauta oli pyramidin alla.

Useita porrastettuja pyramideja tunnetaan, mutta myöhemmin rakentajat siirtyivät rakentamaan tutumpia tetraedrisiä pyramideja. Miksei kuitenkaan kolmiomainen tai vaikkapa kahdeksankulmainen? Epäsuoran vastauksen antaa se tosiasia, että melkein kaikki pyramidit on suunnattu täydellisesti neljään pääpisteeseen ja siksi niillä on neljä sivua. Lisäksi pyramidi oli "talo", nelikulmaisen hautakammion kuori.

Mutta mikä aiheutti kasvojen kaltevuuskulman? Kirjassa "Suhteellisuusperiaate" on koko luku omistettu tälle: "Mikä voisi määrittää pyramidien kulmat." Erityisesti on osoitettu, että "kuva, johon vanhan valtakunnan suuret pyramidit vetoavat, on kolmio, jonka yläosassa on suora kulma.

Avaruudessa tämä on puolioktaedri: pyramidi, jossa pohjan reunat ja sivut ovat yhtä suuret, pinnat ovat tasasivuiset kolmiot". Tästä aiheesta annetaan tiettyjä pohdintoja Hambidgen, Geekin ja muiden kirjoissa.

Mitä hyötyä puolioktaedrin kulmasta on? Arkeologien ja historioitsijoiden kuvausten mukaan jotkut pyramidit romahtivat oman painonsa alla. Tarvittiin "kestävyyskulma", kulma, joka oli energeettisesti luotettavin. Puhtaasti empiirisesti tämä kulma voidaan ottaa kärkikulmasta murenevan kuivan hiekan kasassa. Mutta saadaksesi tarkkoja tietoja, sinun on käytettävä mallia. Kun otat neljä lujasti kiinnitettyä palloa, sinun on asetettava viides pallo niiden päälle ja mitattava kaltevuuskulmat. Tässä voit kuitenkin tehdä virheen, joten teoreettinen laskelma auttaa: sinun tulee yhdistää pallojen keskustat viivoilla (henkisesti). Pohjassa saat neliön, jonka sivu on kaksi kertaa säde. Neliö on vain pyramidin pohja, jonka reunojen pituus on myös kaksi kertaa säde.

Siten tiheä 1:4-tyyppisten pallojen pakkaus antaa meille säännöllisen puolioktaedrin.

Miksi monet pyramidit, jotka vetoavat kohti samanlaista muotoa, eivät kuitenkaan säilytä sitä? Todennäköisesti pyramidit ovat vanhenemassa. Toisin kuin kuuluisa sanonta:

"Kaikki maailmassa pelkää aikaa, ja aika pelkää pyramideja", pyramidien rakennusten täytyy ikääntyä, niissä voi ja niiden pitäisi tapahtua paitsi ulkoisen sään prosessit, myös sisäiset "kutistumisprosessit" , josta pyramidit voivat laskea. Kutistuminen on mahdollista myös siksi, että kuten D. Davidovitsin teoksista selvisi, muinaiset egyptiläiset käyttivät tekniikkaa tehdä lohkoja kalkkilastuista, toisin sanoen "betonista". Juuri nämä prosessit voisivat selittää syyn Kairosta 50 km etelään sijaitsevan Medum-pyramidin tuhoutumiseen. Se on 4600 vuotta vanha, pohjan mitat ovat 146 x 146 m, korkeus 118 m. "Miksi se on niin silvottu?" kysyy V. Zamarovsky. "Tavalliset viittaukset ajan tuhoaviin vaikutuksiin ja "kiven käyttöön muissa rakennuksissa" eivät sovi tähän.

Loppujen lopuksi suurin osa sen lohkoista ja pintalaatoista on edelleen paikoillaan, sen juurella olevissa raunioissa. "Kuten tulemme näkemään, monet säännökset saavat jopa ajattelemaan, että myös kuuluisa Kheopsin pyramidi" kutistui ". Joka tapauksessa , kaikissa muinaisissa kuvissa pyramidit ovat teräviä ...

Pyramidien muoto voidaan luoda myös jäljittelemällä: joitain luonnollisia kuvioita, "ihmeellistä täydellisyyttä", esimerkiksi joitain kiteitä oktaedrin muodossa.

Tällaiset kiteet voivat olla timantti- ja kultakiteitä. Tyypillistä suuri määrä"leikkaavat" merkit sellaisille käsitteille kuin farao, aurinko, kulta, timantti. Kaikkialla - jalo, loistava (loistava), upea, virheetön ja niin edelleen. Yhtäläisyydet eivät ole sattumaa.

Kuten tiedätte, aurinkokultti oli tärkeä osa uskontoa. muinainen Egypti. "Riippumatta siitä, kuinka käännämme suurimman pyramidin nimen", yksi nykyaikaisista oppikirjoista sanoo "Sky Khufu" tai "Sky Khufu", se tarkoitti, että kuningas on aurinko. Jos Khufu, voimansa loistossa, kuvitteli olevansa toinen aurinko, hänen poikansa Jedef-Ra tuli ensimmäinen Egyptin kuninkaista, joka alkoi kutsua itseään "Ra:n pojaksi", toisin sanoen Aurinko. Melkein kaikki kansat symboloivat aurinkoa "aurinkometallina", kullana. "Iso kirkkaan kullan levy" - niin egyptiläiset kutsuivat päivänvaloamme. Egyptiläiset tunsivat kullan erittäin hyvin, he tunsivat sen alkuperäiset muodot, joissa kultakiteet voivat esiintyä oktaedrin muodossa.

"Muotonäytteenä" "aurinkokivi" - timantti - on myös mielenkiintoinen täällä. Timantin nimi tuli juuri arabimaailmasta, "almas" - vaikein, vaikein, tuhoutumaton. Muinaiset egyptiläiset tiesivät timantin ja sen ominaisuudet ovat melko hyvät. Joidenkin kirjoittajien mukaan he käyttivät jopa pronssiputkia timanttileikkureilla poraamiseen.

Etelä-Afrikka on nykyään tärkein timanttien toimittaja, mutta Länsi-Afrikka on myös runsaasti timantteja. Malin tasavallan aluetta kutsutaan siellä jopa "timanttimaaksi". Samaan aikaan Dogon asuu Malin alueella, jonka kanssa paleovisit-hypoteesin kannattajat panevat monia toiveita (katso alla). Timantit eivät voineet olla syynä muinaisten egyptiläisten yhteyksiin tälle alueelle. Kuitenkin tavalla tai toisella on mahdollista, että juuri kopioimalla timanttien ja kultakiteiden oktaedreja muinaiset egyptiläiset jumalallistivat faaraot, "tuhoutumattomia" kuin timantti ja "loistavia" kuin kulta, Auringon poikia. vain luonnon upeimpien luomusten kanssa.

Johtopäätös:

Tutkittuamme pyramidia geometrisena kappaleena, tutustumalla sen elementteihin ja ominaisuuksiin, olimme vakuuttuneita pyramidin muodon kauneudesta annetun mielipiteen pätevyydestä.

Tutkimuksemme tuloksena tulimme siihen tulokseen, että egyptiläiset, kerättyään arvokkaimman matemaattisen tiedon, sisälsivät sen pyramidiin. Siksi pyramidi on todella luonnon ja ihmisen täydellisin luomus.

KIRJASTUS

"Geometria: Proc. 7-9 solulle. Yleissivistävä koulutus oppilaitokset \ jne. - 9. painos - M .: Koulutus, 1999

Matematiikan historia koulussa, M: "Enlightenment", 1982

Geometria luokka 10-11, M: "Enlightenment", 2000

Peter Tompkins "Cheopsin suuren pyramidin salaisuudet", M: "Centropoligraph", 2005

Internet-resurssit

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Olemme hyvin tietoisia suurista Egyptin pyramideista, jokainen voi kuvitella miltä ne näyttävät. Tämä esitys auttaa meitä ymmärtämään sellaisen geometrisen hahmon ominaisuuksia kuin pyramidi.

Pyramidi on monitahoinen, joka koostuu litteästä monikulmiosta - pyramidin pohjasta, pisteestä, joka ei ole pohjan tasossa - pyramidin yläosasta ja kaikista segmenteistä, jotka yhdistävät yläosan pohjan pisteisiin. Segmenttejä, jotka yhdistävät pyramidin yläosan pohjan yläosaan, kutsutaan sivureunoksi. Kuvassa 1 esittää pyramidin SABCD. Nelisivuinen ABCD on pyramidin kanta, piste S on pyramidin huippu, segmentit SA, SB, SC ja SD ovat pyramidin reunat.

Pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on pudonnut pyramidin huipulta pohjan tasoon. Kuvassa 1 SO on pyramidin korkeus.

Pyramidia kutsutaan n-kulmaiseksi, jos sen kanta on n-kulmio. Kuvassa 1 on nelikulmainen pyramidi. Kolmion muotoista pyramidia kutsutaan tetraedriksi.

Pyramidia kutsutaan säännölliseksi, jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja korkeuden kanta osuu yhteen tämän monikulmion keskipisteen kanssa. Säännöllisen pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret, ja siksi sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita. Tavallisessa pyramidissa pyramidin huipulta vedetyn sivupinnan korkeutta kutsutaan apoteemiksi.

Pyramidilla on useita ominaisuuksia.

Kaikki pyramidin diagonaalit kuuluvat sen pinnoille.

Jos kaikki sivureunat ovat yhtä suuret, niin:

• pyramidin pohjan lähellä voidaan kuvata ympyrä, ja pyramidin huippu projisoidaan sen keskustaan;
• sivureunat muodostavat yhtä suuret kulmat perustason kanssa, ja päinvastoin, jos sivureunat muodostavat yhtä suuret kulmat perustason kanssa tai jos ympyrä voidaan kuvata lähellä pyramidin kantaa ja pyramidin huippu projisoituu sen keskipiste, silloin pyramidin kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.

Jos sivupinnat ovat vinossa perustasoon nähden yhdessä kulmassa, niin:

• pyramidin pohjaan voidaan piirtää ympyrä ja pyramidin huippu projisoidaan sen keskustaan;
• sivupintojen korkeudet ovat yhtä suuret;
• sivupinnan pinta-ala on puolet pohjan kehän ja sivupinnan korkeuden tulosta.

Harkitse kaavoja pyramidin tilavuuden, pinta-alan löytämiseksi.

Pyramidin tilavuus voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

missä S on pohjan pinta-ala ja h on korkeus.

Käytä kaavaa löytääksesi pyramidin kokonaispinta-alan:

S p \u003d S b + S o,

missä S p on kokonaispinta-ala, S b on sivupinta-ala, S o on peruspinta-ala.

Typistetty pyramidi on monitahoinen pyramidin pohjan ja sen pohjan suuntaisen leikkaustason välissä. Katkaistun pyramidin sivuja, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa, kutsutaan katkaistun pyramidin kannaksi, muita pintoja kutsutaan sivupinnoiksi. Katkaistun pyramidin pohjat ovat samanlaisia ​​monikulmioita, sivupinnat puolisuunnikkaan muotoisia. Typistettyä pyramidia, joka saadaan tavallisesta pyramidista, kutsutaan säännölliseksi katkaistuksi pyramidiksi. Säännöllisen katkaistun puolisuunnikkaan sivupinnat ovat tasakylkisiä puolisuunnikkaita, joiden korkeuksia kutsutaan apoteemiksi.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Piirustus on ensimmäinen ja erittäin tärkeä askel geometrisen ongelman ratkaisemisessa. Millainen pitäisi olla säännöllisen pyramidin piirros?

Muistetaan ensin rinnakkaiset suunnitteluominaisuudet:

- kuvion yhdensuuntaiset segmentit on kuvattu yhdensuuntaisina segmentteinä;

- yhdensuuntaisten viivojen ja yhden suoran segmenttien pituuksien suhde säilyy.

Piirustus säännöllisestä kolmiopyramidista

Piirrä ensin pohja. Koska ei-rinnakkaisten segmenttien kulmat ja pituuksien suhteet eivät säily rinnakkaisessa suunnittelussa, pyramidin pohjassa olevaa säännöllistä kolmiota edustaa mielivaltainen kolmio.

Tasasivuisen kolmion keskipiste on kolmion mediaanien leikkauspiste. Koska leikkauspisteen mediaanit jaetaan suhteessa 2:1, ylhäältä laskettuna, yhdistämme henkisesti pohjan yläosan vastakkaisen puolen keskelle, jaamme sen suunnilleen kolmeen osaan ja laitamme pisteen 2 osan etäisyys ylhäältä. Piirrä kohtisuora tästä pisteestä ylöspäin. Tämä on pyramidin korkeus. Piirrämme kohtisuoran niin pitkäksi, että sivureuna ei peitä korkeuden kuvaa.

Piirustus säännöllisestä nelikulmaisesta pyramidista

Myös säännöllisen nelikulmaisen pyramidin piirtäminen alkaa alustasta. Koska osien yhdensuuntaisuus säilyy, mutta kulmien suuruudet eivät, pohjan neliö on kuvattu suuntaviivana. toivottavaa terävä kulma tee tämä suunnikas pienemmäksi, niin sivupinnat ovat suurempia. Neliön keskipiste on sen diagonaalien leikkauspiste. Piirrämme diagonaalit, leikkauspisteestä palautamme kohtisuoran. Tämä kohtisuora on pyramidin korkeus. Valitsemme kohtisuoran pituuden niin, että sivureunat eivät sulaudu toisiinsa.

Piirustus säännöllisestä kuusikulmaisesta pyramidista

Koska yhdensuuntainen projektio säilyttää segmenttien yhdensuuntaisuuden, säännöllisen kuusikulmiopyramidin kanta - säännöllinen kuusikulmio - on kuvattu kuusikulmiona, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret. Säännöllisen kuusikulmion keskipiste on sen diagonaalien leikkauspiste. Jotta piirustus ei sotkeutuisi, emme piirrä diagonaaleja, vaan löydämme tämän pisteen suunnilleen. Siitä palautamme kohtisuoran - pyramidin korkeuden - niin, että sivureunat eivät sulaudu toisiinsa.

Määritelmä. Sivukasvot- tämä on kolmio, jossa yksi kulma on pyramidin huipulla ja sen vastakkainen puoli osuu pohjan (polygonin) sivuun.

Määritelmä. Sivukylkiluut ovat sivupintojen yhteiset puolet. Pyramidilla on yhtä monta reunaa kuin monikulmiossa on kulmia.

Määritelmä. pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on pudonnut pyramidin huipulta pohjaan.

Määritelmä. Apothem- tämä on pyramidin sivupinnan kohtisuora, laskettuna pyramidin huipulta pohjan sivulle.

Määritelmä. Diagonaalinen leikkaus- tämä on pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee pyramidin huipun ja pohjan diagonaalin läpi.

Määritelmä. Oikea pyramidi- Tämä on pyramidi, jonka pohja on säännöllinen monikulmio ja korkeus laskee pohjan keskelle.

Pyramidin tilavuus ja pinta-ala

Kaava. pyramidin tilavuus pohjapinta-alan ja korkeuden läpi:

pyramidin ominaisuudet

Jos kaikki sivureunat ovat yhtä suuret, pyramidin pohjan ympärille voidaan rajata ympyrä ja pohjan keskipiste on sama kuin ympyrän keskusta. Myös ylhäältä pudonnut kohtisuora kulkee pohjan (ympyrän) keskustan läpi.

Jos kaikki sivurivat ovat yhtä suuret, ne ovat kallistettuina perustasoon nähden samoissa kulmissa.

Sivurivat ovat yhtä suuret, kun ne muodostavat yhtä suuret kulmat perustason kanssa tai jos ympyrä voidaan kuvata pyramidin pohjan ympärillä.

Jos sivupinnat ovat vinossa pohjan tasoon nähden yhdessä kulmassa, niin pyramidin pohjaan voidaan piirtää ympyrä ja pyramidin huippu heijastetaan sen keskustaan.

Jos sivupinnat ovat vinossa perustasoon nähden yhdessä kulmassa, niin sivupintojen apoteemit ovat yhtä suuret.

Säännöllisen pyramidin ominaisuudet

1. Pyramidin huippu on yhtä kaukana jalustan kaikista kulmista.

2. Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.

3. Kaikki sivurivat ovat vinossa samoissa kulmissa alustaan ​​nähden.

4. Kaikkien sivupintojen apoteemit ovat yhtä suuret.

5. Kaikkien sivupintojen pinta-alat ovat yhtä suuret.

6. Kaikilla pinnoilla on samat kaksitahoiset (litteät) kulmat.

7. Pyramidin ympärillä voidaan kuvata pallo. Kuvatun pallon keskipiste on reunojen keskikohdan läpi kulkevien kohtisuorien leikkauspiste.

8. Pyramidiin voidaan kirjoittaa pallo. Piirretyn pallon keskipiste on reunan ja kannan välisestä kulmasta lähtevien puolittajien leikkauspiste.

9. Jos piirretyn pallon keskipiste on sama kuin rajatun pallon keskipiste, niin tasomaisten kulmien summa kärjessä on yhtä suuri kuin π tai päinvastoin, yksi kulma on yhtä suuri kuin π / n, missä n on luku pyramidin pohjan kulmista.

Pyramidin yhteys pallon kanssa

Pallo voidaan kuvata pyramidin ympärillä, kun pyramidin pohjalla on monitahoinen, jonka ympärillä voidaan kuvata ympyrää (välttämätön ja riittävä ehto). Pallon keskipiste on pyramidin sivureunojen keskipisteiden läpi kohtisuorassa kulkevien tasojen leikkauspiste.

Pallo voidaan aina kuvata minkä tahansa kolmion tai säännöllisen pyramidin ympärillä.

Pallo voidaan kirjoittaa pyramidiin, jos pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasot leikkaavat yhdessä pisteessä (välttämätön ja riittävä ehto). Tämä piste tulee olemaan pallon keskipiste.

Pyramidin yhteys kartioon

Kartiota kutsutaan pyramidiin kirjoitetuksi, jos sen kärjet ovat samat ja kartion kanta on merkitty pyramidin pohjaan.

Pyramidiin voidaan kirjoittaa kartio, jos pyramidin apoteemit ovat yhtä suuret.

Kartion sanotaan olevan pyramidin ympärillä, jos sen kärjet ovat samat ja kartion kanta on rajattu pyramidin pohjan ympärille.

Kartiota voidaan kuvata pyramidin ympärillä, jos pyramidin kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.

Pyramidin kytkentä sylinteriin

Pyramidin sanotaan olevan kaiverrettu sylinteriin, jos pyramidin yläosa on sylinterin yhdellä pohjalla ja pyramidin pohja on kaiverrettu sylinterin toiseen kantaan.

Sylinteri voidaan rajata pyramidin ympärille, jos ympyrä voidaan rajata pyramidin pohjan ympärille.

Tetraedrillä on neljä pintaa ja neljä kärkeä ja kuusi reunaa, joissa kahdella reunalla ei ole yhteisiä pisteitä, mutta ne eivät kosketa.

Jokainen kärkipiste koostuu kolmesta muodostavasta pinnasta ja reunasta kolmikulmainen kulma.

Segmenttiä, joka yhdistää tetraedrin kärjen vastakkaisen pinnan keskustaan, kutsutaan tetraedrin mediaani(GM).

Bimediaan kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää vastakkaisten reunojen keskipisteet, jotka eivät kosketa (KL).

Kaikki tetraedrin bimediaanit ja mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä (S). Tässä tapauksessa bimediaanit jaetaan puoliksi ja mediaanit suhteessa 3:1 alkaen ylhäältä.

Määritelmä. Terävä kulmikas pyramidi on pyramidi, jossa apoteemi on yli puolet pohjan sivun pituudesta.

Määritelmä. tylppä pyramidi on pyramidi, jossa apoteemi on alle puolet pohjan sivun pituudesta.

Määritelmä. säännöllinen tetraedri Tetraedri, jonka neljä sivua ovat tasasivuisia kolmioita. Se on yksi viidestä säännöllisestä monikulmiosta. Säännöisessä tetraedrissä kaikki dihedraaliset kulmat (pintojen välillä) ja kolmikulmaiset (kärkessä) ovat yhtä suuret.

Määritelmä. Suorakaiteen muotoinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jolla on suora kulma kolmen reunan välillä kärjessä (reunat ovat kohtisuorassa). Muodostuu kolme kasvoa suorakaiteen kolmikulmainen kulma ja pinnat ovat suorakulmaisia ​​kolmioita, ja kanta on mielivaltainen kolmio. Minkä tahansa kasvojen apoteemi on yhtä suuri kuin puolet pohjan sivusta, jolle apoteemi putoaa.

Määritelmä. Isoedrinen tetraedri Kutsutaan tetraedriä, jonka sivupinnat ovat yhtä suuret toistensa kanssa ja kanta on säännöllinen kolmio. Tällaisella tetraedrillä on kasvot tasakylkiset kolmiot.

Määritelmä. Ortosentrinen tetraedri kutsutaan tetraedria, jossa kaikki korkeudet (pystysuorat), jotka lasketaan ylhäältä vastakkaiselle pinnalle, leikkaavat yhdessä pisteessä.

Määritelmä. tähtipyramidi Monitahoista, jonka kanta on tähti, kutsutaan.