Kolmion kehä ja pinta-ala. Kolmion kehä ja pinta-ala Kuinka löytää tasakylkisen kolmion sivut ympärysmitan tiedosta

Ennakkotiedot

Minkä tahansa tasaisen geometrisen kuvion ympärysmitta tasossa määritellään sen kaikkien sivujen pituuksien summana. Kolmio ei ole poikkeus tästä. Ensin annamme kolmion käsitteen sekä kolmioiden tyypit sivuista riippuen.

Määritelmä 1

Kutsumme kolmiota geometriseksi kuvioksi, joka koostuu kolmesta segmenteillä yhdistetystä pisteestä (kuva 1).

Määritelmä 2

Määritelmän 1 pisteitä kutsutaan kolmion kärjeksi.

Määritelmä 3

Määritelmän 1 puitteissa olevia segmenttejä kutsutaan kolmion sivuiksi.

Ilmeisesti missä tahansa kolmiossa on 3 kärkeä sekä 3 sivua.

Riippuen sivujen suhteesta toisiinsa, kolmiot jaetaan mittakaavaan, tasakylkisiin ja tasakylkisiin.

Määritelmä 4

Kolmion sanotaan olevan skaalattu, jos mikään sen sivuista ei ole yhtä suuri kuin muut.

Määritelmä 5

Kutsumme kolmiota tasakylkiseksi, jos sen kaksi sivua ovat keskenään yhtä suuret, mutta eivät yhtä suuret kuin kolmas sivu.

Määritelmä 6

Kolmiota kutsutaan tasasivuiseksi, jos sen kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Näet kaikki näiden kolmioiden tyypit kuvassa 2.

Kuinka löytää skaalautuvan kolmion ympärysmitta?

Olkoon meille skaalaava kolmio, jonka sivujen pituudet ovat $α$, $β$ ja $γ$.

Johtopäätös: Löytääksesi skaalautuvan kolmion kehän laskemalla sen sivujen pituudet yhteen.

Esimerkki 1

Etsi mittakaavakolmion ympärysmitta, joka on yhtä suuri kuin $34$ cm, $12$ cm ja $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Vastaus: $57 katso.

Esimerkki 2

Etsi suorakulmaisen kolmion kehä, jonka jalat ovat $6$ ja $8$ cm.

Ensin selvitetään tämän kolmion hypotenuusien pituus Pythagoraan lauseen avulla. Merkitse se sitten $α$:lla

$α=10$ Skaalaan kolmion kehän laskentasäännön mukaan saamme

$P=10+8+6=24$ cm

Vastaus: $24 katso.

Kuinka löytää tasakylkisen kolmion ympärysmitta?

Annetaan tasakylkinen kolmio, jonka sivujen pituus on $α$ ja kannan pituus on $β$.

Asunnon kehän määritelmän mukaan geometrinen kuvio, ymmärrämme sen

$P=α+α+β=2α+β$

Johtopäätös: Kehyksen löytämiseksi tasakylkinen kolmio lisää kaksi kertaa sen sivujen pituus sen pohjan pituuteen.

Esimerkki 3

Etsi tasakylkisen kolmion ympärysmitta, jos sen sivut ovat $12$ cm ja kanta on $11$ cm.

Yllä olevasta esimerkistä näemme sen

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Vastaus: 35 dollaria katso.

Esimerkki 4

Etsi tasakylkisen kolmion ympärysmitta, jos sen kantaan vedetty korkeus on $8$ cm ja kanta on $12$ cm.

Harkitse kuvaa ongelman tilanteen mukaan:

Koska kolmio on tasakylkinen, $BD$ on myös mediaani, joten $AD=6$ cm.

Pythagoraan lauseen avulla löydämme kolmiosta $ADB$ sivupuoli. Merkitse se sitten $α$:lla

Tasakylkisen kolmion kehän laskentasäännön mukaan saamme

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Vastaus: 32 dollaria katso.

Kuinka löytää tasasivuisen kolmion ympärysmitta?

Annetaan tasasivuinen kolmio, jonka kaikkien sivujen pituus on $α$.

Litteän geometrisen hahmon kehän määritelmän mukaan saamme sen

$P=α+α+α=3α$

Johtopäätös: Tasasivuisen kolmion kehän löytämiseksi kerrotaan kolmion sivun pituus $3 $:lla.

Esimerkki 5

Etsi tasasivuisen kolmion ympärysmitta, jos sen sivu on $12$ cm.

Yllä olevasta esimerkistä näemme sen

$P=3\cdot 12=36$ cm

Mikä tahansa kolmio on yhtä suuri kuin sen kolmen sivun pituuksien summa. Yleinen kaava kolmioiden kehän löytämiseksi on:

P = a + b + c

Missä P on kolmion ympärysmitta a, b Ja c- hänen kylkensä.

Se löytyy lisäämällä sen sivujen pituudet sarjaan tai kertomalla sivun pituus kahdella ja lisäämällä pohjan pituus tuotteeseen. Yleinen kaava tasakylkisten kolmioiden kehän löytämiseksi näyttää tältä:

P = 2a + b

Missä P on tasakylkisen kolmion ympärysmitta, a- mikä tahansa puoli, b- pohja.

Löydät sen lisäämällä sen sivujen pituudet sarjaan tai kertomalla minkä tahansa sen sivun pituus kolmella. Yleinen kaava tasasivuisten kolmioiden kehän löytämiseksi näyttää tältä:

P = 3a

Missä P on tasasivuisen kolmion ympärysmitta, a- mikä tahansa sen puoli.

Neliö

Kolmion pinta-alan mittaamiseksi voit verrata sitä suunnikkaaseen. Harkitse kolmiota ABC:

Jos otat sitä vastaavan kolmion ja kiinnität sen niin, että saat suunnikkaan, saat suunnikkaan, jolla on sama korkeus ja kanta kuin tämä kolmio:

Tässä tapauksessa yhteen taitettujen kolmioiden yhteinen sivu on muodostetun suunnikkaan diagonaali. Suunkkaiden ominaisuudesta tiedämme, että diagonaali jakaa suunnikkaan aina kahteen osaan tasainen kolmio, joten kunkin kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet suunnikkaan pinta-alasta.

Koska suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen kannan ja sen korkeuden tulo, kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet tästä tulosta. Joten Δ ABC pinta-ala on yhtä suuri

Harkitse nyt suorakulmaista kolmiota:

Kaksi samankokoista suorakulmaista kolmiota voidaan taittaa suorakulmioksi, jos ne nojaavat toisiaan vasten hypotenuusan avulla. Koska suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen vierekkäisten sivujen tulo, tietyn kolmion pinta-ala on:

Tästä voimme päätellä, että minkä tahansa suorakulmaisen kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin jalkojen tulo jaettuna kahdella.

Näistä esimerkeistä voidaan päätellä, että minkä tahansa kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan pituuden ja kantaan pudonneen korkeuden tulo jaettuna kahdella. Yleinen kaava kolmioiden alueen löytämiseksi näyttää tältä:

Missä S on kolmion pinta-ala, a- sen perusta h a- korkeus laskettu alustaan a.

Kolmion ympärysmitta, kuten muissakin asioissa ja mitä tahansa lukua, kutsutaan kaikkien sivujen pituuksien summaksi. Melko usein tämä arvo auttaa löytämään alueen tai sitä käytetään laskemaan muita kuvion parametreja.
Kolmion kehän kaava näyttää tältä:

Esimerkki kolmion kehän laskemisesta. Olkoon kolmio, jonka sivut ovat a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Korvaa kaavan tiedot: cm

Kaava kehän laskemiseen tasakylkinen kolmio näyttää tältä:

Kaava kehän laskemiseen tasasivuinen kolmio:

Esimerkki tasasivuisen kolmion kehän laskemisesta. Kun hahmon kaikki sivut ovat yhtä suuret, ne voidaan yksinkertaisesti kertoa kolmella. Sanotaan, että annettu suorakulmainen kolmio jossa sivu on 5 cm tässä tapauksessa: cm

Yleensä, kun kaikki sivut on annettu, kehä on melko helppoa löytää. Muissa tilanteissa on löydettävä puuttuvan puolen koko. Suorakulmaisesta kolmiosta löydät kolmannen sivun Pythagoraan lause. Jos esimerkiksi jalkojen pituudet tunnetaan, voit löytää hypotenuusan kaavalla:

Harkitse esimerkkiä tasakylkisen kolmion kehän laskemisesta edellyttäen, että tiedämme jalkojen pituudet suorakulmaisessa tasakylkisessä kolmiossa.
Annettu kolmio, jonka jalat ovat a \u003d b \u003d 5 cm. Etsi kehä. Etsitään ensin puuttuva puoli . cm
Lasketaan nyt ympärysmitta: cm
Suoran tasakylkisen kolmion ympärysmitta on 17 cm.

Siinä tapauksessa, että hypotenuusa ja yhden jalan pituus tunnetaan, puuttuva voidaan löytää kaavalla:
Jos suorakulmaisessa kolmiossa tunnetaan hypotenuusa ja yksi terävistä kulmista, niin puuttuva puoli löydetään kaavalla.

Kehä on kuvion kaikkien sivujen summa. Tämä ominaisuus, yhdessä alueen kanssa, on yhtä kysytty kaikille hahmoille. Tasakylkisen kolmion kehän kaava seuraa loogisesti sen ominaisuuksista, mutta kaava ei ole niin monimutkainen kuin käytännön taitojen hankkiminen ja vahvistaminen.

Kehäkaava

Tasakylkisen kolmion sivut ovat keskenään yhtä suuret. Tämä seuraa määritelmästä ja näkyy selvästi jopa kuvan nimestä. Tästä ominaisuudesta seuraa kehäkaava:

P=2a+b, missä b on kolmion kanta, a on sivuarvo.

Riisi. 1. Tasakylkinen kolmio

Kaavasta voidaan nähdä, että kehän löytämiseksi riittää, että tiedät pohjan ja yhden sivun koon. Harkitse useita ongelmia tasakylkisen kolmion kehän löytämisessä. Ratkaisemme ongelmat monimutkaisuuden kasvaessa, mikä antaa meille mahdollisuuden ymmärtää paremmin ajattelutapaa, jota on seurattava ympärysmitan löytämiseksi.

Tehtävä 1

• Tasakylkisessä kolmiossa kanta on 6 ja tähän kantaan piirretty korkeus on 4. Sinun on löydettävä kuvion ympärysmitta.

Riisi. 2. Piirustus tehtävään 1

Pohjaan piirretyn tasakylkisen kolmion korkeus on myös mediaani ja korkeus. Tätä ominaisuutta käytetään hyvin usein tasakylkisiin kolmioihin liittyvien ongelmien ratkaisemisessa.

Kolmio ABC, jonka korkeus on VM, on jaettu kahteen suorakulmaiseen kolmioon: ABM ja BCM. Kolmiossa AVM tunnetaan haara VM, haara AM on yhtä suuri kuin puolet kolmion ABC kantasta, koska VM on puolittajan ja korkeuden mediaani. Pythagoraan lauseen avulla löydämme hypotenuusan AB arvon.

$$AB^2=AM^2+BM^2$$

$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Etsi kehä: P=AC+AB*2=6+5*2=16

Tehtävä 2

• Tasakylkisessä kolmiossa pohjaan vedetty korkeus on 10 ja terävä kulma tyvessä on 30 astetta. sinun on löydettävä kolmion ympärysmitta.

Riisi. 3. Piirustus tehtävään 2

Tätä tehtävää vaikeuttaa kolmion sivujen tiedon puute, mutta tietäen korkeuden ja kulman arvon, löytyy jalka AH suorakulmaisesta kolmiosta ABH, jolloin ratkaisu seuraa samaa skenaariota kuin tehtävässä. 1.

Etsitään AH sinin arvon kautta:

$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - 30 asteen sini on taulukon arvo.

Ilmaistaan ​​haluttu puoli:

$$AB=((BH\yli (1\yli 2))) =BH*2=10*2=20$$

Kotangentin kautta löydämme AH:n arvon:

$$ctg(BAH)=(AH\yli BH)=(1\over\sqrt(3))$$

$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17.32$$ - pyöristää saatu arvo lähimpään sadasosaan.

Etsitään pohja:

AC=AH*2=17,32*2=34,64

Nyt kun kaikki tarvittavat arvot on löydetty, määritellään kehä:

P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64

Tehtävä 3

• tasakylkisessä kolmio ABC alue tunnetaan, joka on $$16\over\sqrt(3)$$ ja terävä kulma tyvessä on 30 astetta. Etsi kolmion ympärysmitta.

Ehdon arvot annetaan usein juuren ja luvun tulona. Tämä tehdään myöhemmän päätöksen suojaamiseksi virheiltä mahdollisimman paljon. Tulos on parempi pyöristää laskelmien lopussa

Tällaisella ongelman muotoilulla voi vaikuttaa siltä, ​​että ratkaisuja ei ole, koska käytettävissä olevista tiedoista on vaikea ilmaista yksi puoli tai korkeus. Yritetään päättää toisin.

Merkitään pohjan korkeus ja puolet latinalaisin kirjaimin: BH=h ja AH=a

Tällöin kanta on: AC=AH+HC=AH*2=2a

Alue: $$S=(1\yli 2)*AC*BH=(1\yli 2)*2a*h=ah$$

Toisaalta h:n arvo voidaan ilmaista kolmiosta ABH tangentin avulla terävä kulma. Miksi tangentti? Koska kolmioon ABH olemme jo merkinneet kaksi haaraa a ja h. Toinen on ilmaistava toisen termein. Kaksi jalkaa yhdistävät tangentin ja kotangentin. Perinteisesti kotangenttia ja kosinia käytetään vain silloin, kun tangentti tai sini ei sovi. Tämä ei ole sääntö, voit päättää kuinka kätevä se on, se on vain hyväksytty.

$$tg(BAH)=(h\over(a))=(1\over\sqrt(3))$$

$$h=(a\over\sqrt(3))$$

Korvaa tuloksena oleva arvo aluekaavaan.

$$S=a*h=a*(a\over\sqrt(3))=((a^2)\over\sqrt(3))$$

Ilmaise a:

$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$

Korvaa a:n arvo pinta-alakaavassa ja määritä korkeuden arvo:

$$S=a*h=(16\over\sqrt(3))$$

$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2,31$$- saatu arvo pyöristettynä ylöspäin sadasosaan.

Pythagoraan lauseen avulla löydämme kolmion sivun:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2.31^2)=4.62$$

Korvaa arvot kehäkaavaan:

P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24

Mitä olemme oppineet?

Selvitimme yksityiskohtaisesti kaikki tasakylkisen kolmion kehän löytämisen vaivat. Ratkaisimme kolme eri monimutkaisuutta omaavaa tehtävää osoittaen esimerkin avulla, kuinka tyypillisiä ongelmia ratkaistaan ​​tasakylkisen kolmion ratkaisemiseksi.

Aihekilpailu

Artikkelin luokitus

Keskiarvoluokitus: 4.4 Saatujen arvioiden kokonaismäärä: 83.

Ennakkotiedot

Minkä tahansa tasaisen geometrisen kuvion ympärysmitta tasossa määritellään sen kaikkien sivujen pituuksien summana. Kolmio ei ole poikkeus tästä. Ensin annamme kolmion käsitteen sekä kolmioiden tyypit sivuista riippuen.

Määritelmä 1

Kutsumme kolmiota geometriseksi kuvioksi, joka koostuu kolmesta segmenteillä yhdistetystä pisteestä (kuva 1).

Määritelmä 2

Määritelmän 1 pisteitä kutsutaan kolmion kärjeksi.

Määritelmä 3

Määritelmän 1 puitteissa olevia segmenttejä kutsutaan kolmion sivuiksi.

Ilmeisesti missä tahansa kolmiossa on 3 kärkeä sekä 3 sivua.

Riippuen sivujen suhteesta toisiinsa, kolmiot jaetaan mittakaavaan, tasakylkisiin ja tasakylkisiin.

Määritelmä 4

Kolmion sanotaan olevan skaalattu, jos mikään sen sivuista ei ole yhtä suuri kuin muut.

Määritelmä 5

Kutsumme kolmiota tasakylkiseksi, jos sen kaksi sivua ovat keskenään yhtä suuret, mutta eivät yhtä suuret kuin kolmas sivu.

Määritelmä 6

Kolmiota kutsutaan tasasivuiseksi, jos sen kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Näet kaikki näiden kolmioiden tyypit kuvassa 2.

Kuinka löytää skaalautuvan kolmion ympärysmitta?

Olkoon meille skaalaava kolmio, jonka sivujen pituudet ovat $α$, $β$ ja $γ$.

Johtopäätös: Löytääksesi skaalautuvan kolmion kehän laskemalla sen sivujen pituudet yhteen.

Esimerkki 1

Etsi mittakaavakolmion ympärysmitta, joka on yhtä suuri kuin $34$ cm, $12$ cm ja $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Vastaus: $57 katso.

Esimerkki 2

Etsi suorakulmaisen kolmion kehä, jonka jalat ovat $6$ ja $8$ cm.

Ensin selvitetään tämän kolmion hypotenuusien pituus Pythagoraan lauseen avulla. Merkitse se sitten $α$:lla

$α=10$ Skaalaan kolmion kehän laskentasäännön mukaan saamme

$P=10+8+6=24$ cm

Vastaus: $24 katso.

Kuinka löytää tasakylkisen kolmion ympärysmitta?

Annetaan tasakylkinen kolmio, jonka sivujen pituus on $α$ ja kannan pituus on $β$.

Litteän geometrisen hahmon kehän määritelmän mukaan saamme sen

$P=α+α+β=2α+β$

Johtopäätös: Tasakylkisen kolmion ympärysmitan selvittämiseksi lisää sen sivujen pituus kaksi kertaa sen kantaan.

Esimerkki 3

Etsi tasakylkisen kolmion ympärysmitta, jos sen sivut ovat $12$ cm ja kanta on $11$ cm.

Yllä olevasta esimerkistä näemme sen

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Vastaus: 35 dollaria katso.

Esimerkki 4

Etsi tasakylkisen kolmion ympärysmitta, jos sen kantaan vedetty korkeus on $8$ cm ja kanta on $12$ cm.

Harkitse kuvaa ongelman tilanteen mukaan:

Koska kolmio on tasakylkinen, $BD$ on myös mediaani, joten $AD=6$ cm.

Pythagoraan lauseen avulla löydämme kolmiosta $ADB$ sivun. Merkitse se sitten $α$:lla

Tasakylkisen kolmion kehän laskentasäännön mukaan saamme

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Vastaus: 32 dollaria katso.

Kuinka löytää tasasivuisen kolmion ympärysmitta?

Annetaan tasasivuinen kolmio, jonka kaikkien sivujen pituus on $α$.

Litteän geometrisen hahmon kehän määritelmän mukaan saamme sen

$P=α+α+α=3α$

Johtopäätös: Tasasivuisen kolmion kehän löytämiseksi kerrotaan kolmion sivun pituus $3 $:lla.

Esimerkki 5

Etsi tasasivuisen kolmion ympärysmitta, jos sen sivu on $12$ cm.

Yllä olevasta esimerkistä näemme sen

$P=3\cdot 12=36$ cm