Mikä on mediaani. Kolmion abc pääelementit. Kolmion keskiviivan ominaisuus

Mediaanin löytämiseksi kolmion sivuilta ei tarvitse muistaa ylimääräistä kaavaa. Riittää, kun tietää ratkaisualgoritmin.

Katsotaanpa ensin ongelmaa yleisellä tasolla.

Annettu kolmio, jonka sivut ovat a, b, c. Etsi sivulle b piirretyn mediaanin pituus.

AB=a, AC=b, BC=c.

Säteellä BF laitamme sivuun segmentin FD, FD=BF.

Yhdistetään piste D pisteisiin A ja C.

Nelikulmainen ABCD on suunnikkapiirros, koska sen lävistäjät leikkauspisteessä on jaettu puoliksi.

Suunnikkaan lävistäjien ominaisuus: suunnikkaan lävistäjien neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen sivujen neliöiden summa.

Tästä syystä: AC²+BD²=2(AB²+BC²), joten b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². Rakenteen mukaan BF on puolet BD:stä, joten

Tämä on kaava kolmion mediaanin löytämiseksi sen sivuilta. Yleensä se kirjoitetaan näin:

Jatketaan tiettyyn ongelmaan.

Kolmion sivut ovat 13 cm, 14 cm ja 15 cm. Etsi kolmion mediaani, joka on piirretty sen keskipituiselle sivulle.

Samanlaista päättelyä soveltamalla saamme:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Kolmion mediaani, kuten korkeus, toimii graafisena parametrina, joka määrittää koko kolmion, sen sivujen ja kulmien arvon. Kolme arvoa: mediaanit, korkeudet ja puolittajat – se on kuin tuotteen viivakoodi, meidän tehtävämme on vain osata laskea se.

Määritelmä

Mediaani on jana, joka yhdistää vastakkaisen puolen korkeuden ja keskipisteen. Kolmiolla on kolme kärkeä ja siten kolme mediaania. Mediaanit eivät aina vastaa korkeuksia tai puolittajia. Useimmiten nämä ovat erillisiä segmenttejä.

Mediaaniominaisuudet

• Pohjaan vedetyn tasakylkisen kolmion mediaani on sama kuin korkeus ja puolittaja. SISÄÄN tasasivuinen kolmio kaikki mediaanit ovat yhtäpitäviä puolittajien ja korkeuksien kanssa.
• Kaikki kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä.
• Mediaani jakaa kolmion kahdeksi yhtä suureksi kolmioksi ja kolme mediaania 6 yhtä suureksi kolmioksi.

Tasaiset alueet ovat kolmioita, joiden pinta-alat ovat yhtä suuret.

Riisi. 1. Kolme mediaania muodostaa 6 yhtäläistä kolmiota.

• Mediaanien leikkauspiste jakaa ne suhteessa 2:1 ylhäältä laskettuna.
• Suorakulmaisen kolmion hypotenuusaan vedetty mediaani on puolet hypotenuusasta.

Tehtävät

Kaikki nämä ominaisuudet on helppo muistaa, ne on helppo korjata käytännössä. Aiheen ymmärtämiseksi paremmin ratkaisemme useita ongelmia:

• Suorakulmaisessa kolmiossa tunnetaan jalat, jotka ovat yhtä suuria kuin a=3 ja b=4. Etsi hypotenuusaan c vedetyn mediaanin m arvo.

Riisi. 2. Piirustus ongelmaan.

Mediaanin arvon löytämiseksi meidän on löydettävä hypotenuusa, koska hypotenuusaan vedetty mediaani on yhtä suuri kuin puolet siitä. Hypotenuusa Pythagoraan lauseen kautta: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Etsi mediaanin arvo: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2.5$$ - tuloksena oleva luku on mediaanin arvo.

Kolmion mediaaniarvot eivät ole yhtä suuret. Siksi on tarpeen kuvitella tarkalleen, mitä arvoa löytyy.

• Kolmiossa sivujen arvot tunnetaan: a=7; b = 8; c = 9. Etsi mediaanin arvo sivulle b.

Riisi. 3. Piirustus ongelmaan.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on käytettävä yhtä kolmesta kaavasta löytääksesi mediaani kolmion sivuilta:

$$m^2 =(1\over2)*(a^2+c^2-b^2)$$

Kuten näette, tärkeintä tässä on muistaa suluissa oleva kerroin ja sivujen arvojen merkit. Merkit ovat helpoin muistaa - se puoli, jolle mediaani on laskettu, vähennetään aina. Meidän tapauksessamme tämä on b, mutta se voi olla mikä tahansa muu.

Korvaa arvot kaavaan ja etsi mediaaniarvo: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$

$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ - jätä tulos juureksi.

• SISÄÄN tasakylkinen kolmio kantaan piirretty mediaani on 8 ja kanta itse on 6. Yhdessä kahden muun kanssa tämä mediaani jakaa kolmion 6 kolmioon. Etsi kunkin alueen alue.

Mediaanit jakavat kolmion kuuteen yhtä suureen osaan. Tämä tarkoittaa, että pienten kolmioiden pinta-alat ovat keskenään yhtä suuret. Riittää, kun etsit suuremman alueen ja jaat sen kuudella.

Kun mediaani on vedetty kantaan, tasakylkisessä kolmiossa se on puolittaja ja korkeus. Joten kolmiolla on kanta ja korkeus. Löydät alueen.

$$S=(1\over2)*6*8=24$$

Jokaisen pienen kolmion pinta-ala: $$(24\over6)=4$$

Mitä olemme oppineet?

Opimme, mikä mediaani on. Määritimme mediaanin ominaisuudet ja löysimme ratkaisun tyypillisiin ongelmiin. Puhuimme perusvirheistä ja selvitimme kuinka nopeasti ja helposti muistaa kaava mediaanin löytämiseksi kolmion sivujen kautta.

Aihekilpailu

Artikkelin luokitus

Keskiarvoluokitus: 4.7. Saatujen arvioiden kokonaismäärä: 84.

Gomelin koululaisten tieteellinen ja käytännön konferenssi matematiikasta, sen sovelluksista ja tietotekniikka"Hae"

Tiivistelmä aiheesta:

"Kolmion mediaanit"

Oppilaat:

9" luokan tila

koulutusinstituutiot

"Gomelin kaupunki

Monitieteinen kuntosali nro 14 "

Morozova Elizabeth

Khodosovskoy Alesya

Tieteellinen neuvonantaja-

Matematiikan opettaja korkein luokka

Safonova Alla Viktorovna

Gomel 2009

Johdanto

1. Kolmion mediaanit ja niiden ominaisuudet

2. Saksalaisen matemaatikon G. Leibnizin löytö

3. Mediaanien soveltaminen sisään matemaattiset tilastot

4. Tetraedrin mediaanit

5. Mediaanilauseen kuusi todistetta

Johtopäätös

Luettelo käytetyistä lähteistä ja kirjallisuudesta

Sovellus

Johdanto

Geometria alkaa kolmiosta. Kahden vuosituhannen ajan kolmio on ollut ikään kuin geometrian symboli, mutta se ei ole symboli. Kolmio on geometrian atomi.

Kolmio on ehtymätön - sen uusia ominaisuuksia löydetään jatkuvasti. Jos haluat puhua kaikista sen tunnetuista ominaisuuksista, tarvitset volyymiltaan verrattavan suuren tietosanakirjan määrään. Haluamme puhua kolmion mediaanista ja sen ominaisuuksista sekä mediaanien käytöstä.

Muista ensin, että kolmion mediaani on jana, joka yhdistää kolmion kärjet vastakkaisen sivun keskipisteeseen. Mediaanilla on monia ominaisuuksia. Mutta tarkastelemme yhtä ominaisuutta ja 6 erilaista todistetta siitä. Kolme mediaania leikkaa yhdessä pisteessä, jota kutsutaan sentroidiksi (massakeskipisteeksi) ja jaetaan suhteessa 2:1.

Ei ole vain kolmion, vaan myös tetraedrin mediaani. Janaa, joka yhdistää tetraedrin kärjen vastakkaisen pinnan sentroidiin (mediaanien leikkauspisteeseen), kutsutaan tetraedrin mediaaniksi. Otamme myös huomioon tetraedrin mediaaniominaisuuden.

Mediaaneja käytetään matemaattisessa tilastossa. Esimerkiksi jonkin numerojoukon keskiarvon löytämiseksi.

1. Kolmion mediaanit ja niiden ominaisuudet

Kuten tiedät, kolmion mediaanit ovat segmenttejä, jotka yhdistävät sen kärjet vastakkaisten sivujen keskipisteisiin. Kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessä pisteessä ja jakavat sen suhteessa 1:2.

Mediaanien leikkauspiste on myös kolmion painopiste. Jos ripustat pahvikolmion sen mediaanien leikkauspisteeseen, se on tasapainotilassa

On kummallista, että kaikilla kuudella kolmiolla, joihin jokainen kolmio on jaettu sen mediaanilla, on samat alueet.

Kolmion sivujen mediaanit ilmaistaan ​​seuraavasti:

Jos kaksi mediaania ovat kohtisuorassa, niiden sivujen neliöiden summa, joihin ne pudotetaan, on 5 kertaa kolmannen sivun neliö.

Rakennamme kolmion, jonka sivut ovat yhtä suuret kuin tämän kolmion mediaanit, jolloin muodostetun kolmion mediaanit ovat yhtä suuria kuin 3/4 alkuperäisen kolmion sivuista.

Tätä kolmiota kutsutaan ensimmäiseksi, kolmio mediaaneistaan ​​- toinen, kolmio toisen mediaaneista - kolmas jne. Sitten kolmiot, joissa on parittomat luvut (1,3, 5, 7,...) ovat samankaltaisia ​​keskenään ja kolmiot, joissa on parilliset luvut (2, 4, 6, 8,...) ovat myös samanlaisia.

Kolmion kaikkien mediaanien pituuksien summa on ¾ sen sivujen pituuksien neliöiden summasta.

2. Saksalaisen matemaatikon G. Leibnizin löytö

kuuluisa saksalainen matemaatikko G. Leibniz havaitsi merkittävän tosiasian: tason mielivaltaisesta pisteestä tässä tasossa olevan kolmion kärkipisteiden neliöityjen etäisyyksien summa on yhtä suuri kuin mediaanien leikkauspisteen ja sen kärkien välisten neliöetäisyyksien summa, lisättynä etäisyyden kolminkertainen neliö mediaanien leikkauspisteestä valittuun pisteeseen.

Tästä lauseesta seuraa, että tason piste, jonka neliöetäisyyksien summa tietyn kolmion kärkipisteisiin on minimaalinen, on tämän kolmion mediaanien leikkauspiste.

Samanaikaisesti etäisyyksien vähimmäissumma kolmion kärkipisteisiin (eikä niiden neliöihin) on pisteessä, josta kolmion kumpikin sivu näkyy 120°:n kulmassa, jos mikään kolmion kulmista ei ole kolmio on suurempi kuin 120° (Fermatin piste), ja kärkipisteelle tylppä kulma jos se on suurempi kuin 120°.

Leibnizin lauseesta ja edellisestä lauseesta on helppo löytää etäisyys d mediaanien leikkauspisteestä rajatun ympyrän keskustaan. Itse asiassa tämä etäisyys Leibnizin lauseen mukaan on yhtä suuri kuin neliöjuuri kolmannesta rajatun ympyrän keskipisteen ja kolmion kärkien välisten neliöetäisyyksien summasta ja summasta.

Neliöidyt etäisyydet mediaanien leikkauspisteestä kolmion kärkipisteisiin. Me ymmärrämme sen

Piste M kolmion ABC mediaanien leikkauspiste on kolmion ainoa piste, jonka vektorien summa on MA,MBja MS on yhtä kuin nolla. Pistekoordinaatit M(suhteessa mielivaltaisiin akseleihin) ovat yhtä suuria kuin kolmion kärkien vastaavien koordinaattien aritmeettinen keskiarvo. Näistä väitteistä voidaan saada todiste mediaanilauseesta.

3. Mediaanien soveltaminen matemaattisessa tilastossa

Mediaanit eivät ole vain geometriassa, vaan myös matemaattisissa tilastoissa. Olkoon tarpeen löytää jonkin lukujoukon keskiarvo

Mutta joskus se on epämukavaa. Oletetaan, että meidän on määritettävä Moskovan kakkosluokkalaisten keskimääräinen korkeus. Kysytään satunnaisesti 100 koululaista ja kirjoitetaan heidän pituutensa. Jos joku kavereista sanoo vitsillä, että hänen pituutensa on kilometri, tallennettujen lukujen aritmeettinen keskiarvo on liian suuri. Paljon parempi ottaa keskiarvona mediaani numeroita

Oletetaan, että lukuja on pariton määrä, ja järjestä ne ei-laskevaan järjestykseen. Keskellä olevaa lukua kutsutaan joukon mediaaniksi. Esimerkiksi lukujoukon 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 mediaani on 2 (ja aritmeettinen keskiarvo on paljon suurempi - se on 6).

4. Tetraedrin mediaanit

Osoittautuu, että voimme puhua mediaaneista ei vain kolmiolle, vaan myös tetraedrille. Jana, joka yhdistää tetraedrin kärjen vastakkaisen pinnan sentroidiin (mediaanien leikkauspisteeseen) on ns. mediaani tetraedri. Kuten kolmion mediaanit, tetraedrin mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä, tetraedrin massakeskuksessa tai painopisteessä, mutta suhde, jossa ne jakautuvat tässä pisteessä, on erilainen - 3:1 laskettuna huipuista. Sama piste sijaitsee kaikilla segmenteillä, jotka yhdistävät tetraedrin vastakkaisten reunojen keskipisteet, sen bimediaaneja, ja jakaa ne kahtia. Tämä voidaan todistaa esimerkiksi mekaanisista näkökohdista asettamalla massayksikköpainoja tetraedrin jokaiseen neljään kärkeen.

5. Mediaanilauseen kuusi todistetta

Jo pitkään on todettu, että on hyödyllisempää tutustua yhden ongelman erilaisiin ratkaisuihin kuin samantyyppisiin ratkaisuihin eri ongelmiin. Yksi lauseista, joka myöntää, kuten monet muutkin perusgeometrian klassiset lauseet, useita opettavia todisteita,

Kolmion mediaanilause. Kolmion mediaanit, B ja CABCleikkaavat jossakin pisteessä M, ja jokainen niistä jaetaan tällä pisteellä suhteessa 2:1, ylhäältä laskettuna:OLEN: M= BM: M= CM: M=2. (1)

Kaikissa alla annetuissa todisteissa kuudetta lukuun ottamatta vahvistamme vain sen mediaani B kulkee pisteen M kautta, joka jakaa mediaanin A suhteessa 2:1. Jos vastaavassa argumentissa korvaamme segmentin SISÄÄN segmentille KANSSA , sitten saamme sen KANSSA menee läpi M. Tämä osoittaa, että kaikki kolme mediaania leikkaavat jossain vaiheessa M, ja AM:M - 2. Koska kaikki mediaanit ovat yhtä suuret, voimme korvata A päällä SISÄÄN tai SS 1 tästä syystä (1) seuraa.

Kun opiskelet aihetta koulun kurssi on mahdollista valita tietty vähimmäistehtävä, kun hän hallitsee menetelmät, joiden ratkaisemiseksi opiskelijat pystyvät ratkaisemaan minkä tahansa tehtävän opiskelun aiheen ohjelmavaatimusten tasolla. Ehdotan harkitsemaan tehtäviä, joiden avulla voit nähdä koulun matematiikan kurssin yksittäisten aiheiden välisen suhteen. Siksi koottu tehtäväjärjestelmä on tehokas työkalu toisto, yleistäminen ja systematisointi koulutusmateriaalia valmistaa opiskelijoita kokeeseen.

Kokeen läpäisemiseksi lisätiedot joistakin kolmion elementeistä eivät ole tarpeettomia. Harkitse kolmion mediaanin ominaisuuksia ja ongelmia, joissa näitä ominaisuuksia voidaan käyttää. Ehdotetut tehtävät toteuttavat tasojen eriyttämisen periaatetta. Kaikki tehtävät on ehdollisesti jaettu tasoihin (taso on merkitty suluissa jokaisen tehtävän jälkeen).

Muista joitakin kolmion mediaanin ominaisuuksia

Kiinteistö 1. Todista, että kolmion mediaani ABC piirretty ylhäältä A, alle puolet sivujen summasta AB Ja AC.

Todiste

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Kiinteistö 2. Mediaani leikkaa kolmion kahteen yhtä suureen alueeseen.

Todiste

Piirrä kolmion ABC kärjestä B mediaani BD ja korkeus BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Koska segmentti BD on mediaani, niin

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Mediaani" align="left" width="196" height="75 src=">!} Kiinteistö 4. Kolmion mediaanit jakavat kolmion 6 kolmioon, joiden pinta-ala on yhtä suuri.

Todiste

Osoitetaan, että kunkin kuudesta kolmiosta, joihin mediaanit jakavat kolmion ABC, pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmion ABC pinta-ala. Tarkastellaan tätä varten esimerkiksi kolmiota AOF ja pudotetaan kohtisuora AK kärjestä A suoralle BF .

Kiinteistön 2 vuoksi

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Mediaani" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Kiinteistö 6. Suoran kulman kärjestä vedetyn suorakulmaisen kolmion mediaani on puolet hypotenuusasta.

Todiste

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Mediaani" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Seuraukset:1. Suorakulmaisen kolmion ympärille piirretyn ympyrän keskipiste on hypotenuusan keskipisteessä.

2. Jos kolmiossa mediaanin pituus on puolet sen sivun pituudesta, johon se on vedetty, niin tämä kolmio on suorakulmainen kolmio.

TEHTÄVÄT

Kunkin myöhemmän ongelman ratkaisemisessa käytetään todistettuja ominaisuuksia.

№1 Aiheet: Mediaanin kaksinkertaistaminen. Vaikeusaste: 2+

Suunnikkaan ominaisuudet ja ominaisuudet Luokat: 8,9

Kunto

Mediaanin jatkossa OLEN kolmio ABC pistettä kohti M jaksoa siirretty MD, yhtä kuin OLEN. Todista, että nelikulmio ABDC-suunnikas.

Ratkaisu

Käytetään yhtä suunnikasmerkkiä. Nelikulman lävistäjät ABDC leikkaavat pisteessä M ja jaa se puoliksi, joten nelikulmio ABDC-suunnikas.

Kolmion mediaani on jana, joka yhdistää kolmion kärjen tämän kolmion vastakkaisen sivun keskipisteeseen.

Kolmion mediaaniominaisuudet

1. Mediaani jakaa kolmion kahdeksi saman alueen kolmioksi.

2. Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä, joka jakaa ne suhteessa 2:1 ylhäältä laskettuna. Tätä pistettä kutsutaan kolmion painopisteeksi (keskipiste).

3. Koko kolmio on jaettu mediaaneistaan ​​kuuteen yhtä suureen kolmioon.

Sivulle vedetyn mediaanin pituus: ( doc rakentamalla suunnikkaan ja käyttämällä suunnikkaassa yhtäläisyyttä, joka on kaksinkertainen sivujen neliöiden summan ja lävistäjien neliöiden summan )

T1. Kolmion kolme mediaania leikkaavat yhdessä pisteessä M, joka jakaa ne suhteessa 2:1 kolmion kärjestä laskettuna. Annettu: ∆ abc, SS 1, AA 1, BB 1 - mediaanit
∆ABC. Todista: ja

D-in: Olkoon M kolmion ABC mediaanien CC 1 , AA 1 leikkauspiste. Huomautus A 2 - segmentin AM keskikohta ja C 2 - segmentin CM keskikohta. Silloin A 2 C 2 on kolmion keskiviiva AMS. tarkoittaa, A 2 C 2|| AC

ja A 2 C 2 = 0,5 * AC. KANSSA 1 A 1 on kolmion ABC keskiviiva. Joten A 1 KANSSA 1 || AC ja A 1 KANSSA 1 \u003d 0,5 * AC.

nelikulmio A 2 C 1 A 1 C 2- suunnikas, koska sen vastakkaiset sivut A 1 KANSSA 1 Ja A 2 C 2 yhtäläinen ja yhdensuuntainen. Siten, A 2 M = MA 1 Ja C2M = NEITI 1 . Tämä tarkoittaa, että pisteitä A 2 Ja M jaa mediaani AA 2 kolmeen yhtä suureen osaan, eli AM = 2MA 2. Vastaavasti CM = 2MC 1 . Siis kahden mediaanin leikkauspisteen M AA 2 Ja CC2 kolmio ABC jakaa ne kunkin suhteessa 2:1 kolmion kärjestä laskettuna. Samoin on todistettu, että mediaanien AA 1 ja BB 1 leikkauspiste jakaa ne kunkin suhteessa 2:1 kolmion kärjestä laskettuna.

Mediaanilla AA 1 tällainen piste on piste M, joten piste M ja siellä on mediaanien AA 1 ja BB 1 leikkauspiste.

Täten, n

T2. Osoita, että janat, jotka yhdistävät sentroidin kolmion kärkipisteisiin, jakavat sen kolmeen yhtä suureen osaan. Annettu: ∆ABC , ovat sen mediaanit.

Todistaa: S AMB =S BMC =S-AMC.Todiste. SISÄÄN, niillä on yhteistä. koska niiden perusteet ovat samat ja korkeus vedettynä ylhäältä M, niillä on yhteistä. Sitten

Samalla tavalla se on todistettu S AMB = S AMC . Täten, S AMB = S AMC = S CMB .n

Kolmion puolittaja. Kolmion puolittajiin liittyvät lauseet. Kaavat puolittajien löytämiseksi

Kulman puolittaja Säde, joka alkaa kulman kärjestä ja jakaa kulman kahteen yhtä suureen kulmaan.

Kulman puolittaja on kulman sisällä olevien pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana kulman sivuista.

Ominaisuudet

1. Bisector-lause: Kolmion sisäkulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivun suhteessa kahden vierekkäisen sivun suhdetta

2. Kolmion sisäkulmien puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä - keskipisteessä - tähän kolmioon piirretyn ympyrän keskipisteen.

3. Jos kaksi puolittajaa kolmiossa ovat yhtä suuret, niin kolmio on tasakylkinen (Steiner-Lemus-lause).

Puolittajan pituuden laskeminen

l c - puolittajan pituus, joka on vedetty sivulle c,

a,b,c - kolmion sivut pisteitä A,B,C vastaan, vastaavasti,

p - kolmion puolikas kehä,

a l ,b l - niiden osien pituudet, joihin puolittaja l c jakaa sivun c,

α,β,γ - kolmion sisäiset kulmat kärjet A,B,C vastaavasti,

h c - kolmion korkeus, laskettu sivulle c.

alueen menetelmä.

Menetelmän ominaisuus. Nimestä seuraa, että tämän menetelmän pääkohde on alue. Useille kuvioille, esimerkiksi kolmiolle, pinta-ala ilmaistaan ​​yksinkertaisesti erilaisten kuvion elementtien yhdistelmien avulla (kolmio). Siksi tekniikka on erittäin tehokas, kun verrataan tietyn kuvion alueen erilaisia ​​lausekkeita. Tässä tapauksessa syntyy yhtälö, joka sisältää kuvion tunnetut ja halutut elementit, jonka ratkaisemiseksi määritämme tuntemattoman. Tässä näkyy pinta-alan menetelmän pääominaisuus - geometrisestä ongelmasta se "tekee" algebrallisen ongelman, pelkistäen kaiken yhtälön (ja joskus yhtälöjärjestelmän) ratkaisemiseen.

1) Vertailumenetelmä: liittyy suureen määrään samojen kuvioiden kaavoja S

2) S-suhdemenetelmä: perustuu seuraaviin referenssitehtäviin:

Cevan lause

Olkoot pisteet A",B",C" kolmion viivoilla BC,CA,AB. Suorat AA,BB,CC" leikkaavat yhdessä pisteessä jos ja vain jos

Todiste.

Merkitään pisteen leikkaus segmenttien ja . Pudotetaan kohtisuorat pisteistä C ja A suoralle BB 1, kunnes ne leikkaavat sen pisteissä K ja L (ks. kuva).

Koska kolmioilla ja on yhteinen sivu, niiden pinta-alat ovat suhteessa tälle sivulle piirretyillä korkeuksilla, ts. AL ja CK:

Viimeinen yhtälö on totta, koska suorakulmaiset kolmiot ja ovat samanlaisia ​​terävässä kulmassa.

Samoin saamme Ja

Kerrotaan nämä kolme yhtälöä:

Q.E.D.

Kommentti. Janaa (tai janan jatkoa), joka yhdistää kolmion kärjen vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen tai sen jatkeeseen, kutsutaan cevianaksi.

Lause ( käänteinen lause Chevy). Olkoot pisteet A",B",C" kolmion ABC sivuilla BC,CA ja AB. Pätee suhde

Sitten janat AA", BB", CC" ja leikkaavat yhdessä pisteessä.

Menelaoksen lause

Menelaoksen lause. Leikkaa kolmion ABC, jossa C 1 on sen leikkauspiste sivun AB kanssa, A 1 on sen leikkauspiste sivun BC kanssa ja B 1 on sen leikkauspiste sivun AC jatkeen kanssa. Sitten

Todiste . Piirrä pisteen C kautta AB:n suuntainen viiva. Merkitään K:llä sen leikkauspiste suoran B 1 C 1 kanssa.

Kolmiot AC 1 B 1 ja CKB 1 ovat samanlaisia ​​(∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Siten,

Kolmiot BC 1 A 1 ja CKA 1 ovat myös samanlaisia ​​(∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 = ∟CKA 1). tarkoittaa,

Jokaisesta yhtälöstä ilmaisemme CK:

Missä Q.E.D.

Lause (Menelaoksen käänteinen lause). Olkoon kolmio ABC annettu. Olkoon piste C 1 puolella AB, piste A 1 puolella BC ja piste B 1 sivun AC jatkeella, ja suhde

Tällöin pisteet A 1 , B 1 ja C 1 ovat samalla suoralla.