1 Pythagoraan lause ja sen käänteinen. Oppitunti "lause on Pythagoraan lauseen käänteis". Taululle kirjoitetut lausunnot

Pythagoraan lause- yksi euklidisen geometrian peruslauseista, joka määrittää suhteen

suorakulmaisen kolmion sivujen välissä.

Uskotaan, että sen todisti kreikkalainen matemaatikko Pythagoras, jonka mukaan se on nimetty.

Pythagoraan lauseen geometrinen muotoilu.

Lause muotoiltiin alun perin seuraavasti:

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin neliöiden pinta-alojen summa,

rakennettu katetriin.

Pythagoraan lauseen algebrallinen muotoilu.

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan pituuden neliö on yhtä suuri kuin jalkojen pituuksien neliöiden summa.

Tämä tarkoittaa kolmion hypotenuusan pituutta c, ja jalkojen pituudet läpi a Ja b:

Molemmat formulaatiot Pythagoraan lauseita ovat vastaavia, mutta toinen muotoilu on alkeellisempi, se ei ole

vaatii alueen käsitteen. Toisin sanoen toinen väite voidaan varmistaa tietämättä mitään alueesta ja

mittaamalla vain suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet.

Käänteinen Pythagoraan lause.

Jos kolmion yhden sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa, niin

kolmio on suorakaiteen muotoinen.

Tai toisin sanoen:

Jokaiselle kolmikolle positiivisia lukuja a, b Ja c, sellaista

on suorakulmainen kolmio jaloilla a Ja b ja hypotenuusa c.

Pythagoraan lause tasakylkiselle kolmiolle.

Pythagoraan lause tasasivuiselle kolmiolle.

Pythagoraan lauseen todisteet.

Tällä hetkellä sisään tieteellistä kirjallisuutta Tämän lauseen todisteita kirjattiin 367 kappaletta. Luultavasti lause

Pythagoras on ainoa lause, jolla on niin vaikuttava määrä todisteita. Sellaista monimuotoisuutta

voidaan selittää vain lauseen perustavanlaatuisella merkityksellä geometrialle.

Tietenkin käsitteellisesti ne kaikki voidaan jakaa pieneen määrään luokkia. Tunnetuin niistä:

todiste alueen menetelmä, aksiomaattinen Ja eksoottisia todisteita(Esimerkiksi,

käyttämällä differentiaaliyhtälöt).

1. Pythagoraan lauseen todiste samankaltaisten kolmioiden suhteen.

Seuraava algebrallisen formuloinnin todistus on yksinkertaisin konstruoiduista todisteista

suoraan aksioomista. Erityisesti se ei käytä hahmon alueen käsitettä.

Antaa ABC on suorakulmainen kolmio C. Piirretään korkeus C ja merkitsee

sen perustan läpi H.

Kolmio ACH samanlainen kuin kolmio AB C kahdessa kulmassa. Samoin kolmio CBH samanlainen ABC.

Esittelemällä merkinnän:

saamme:

,

mikä vastaa -

Taitettuaan a 2 ja b 2, saamme:

tai , joka oli todistettava.

2. Pythagoraan lauseen todistus aluemenetelmällä.

Näennäisestä yksinkertaisuudestaan ​​huolimatta seuraavat todistukset eivät ole ollenkaan niin yksinkertaisia. Ne kaikki

Käytä alueen ominaisuuksia, joiden todistaminen on monimutkaisempaa kuin itse Pythagoraan lauseen todistus.

• Todistus equicomplementation kautta.

Järjestä neljä samanlaista suorakaiteen muotoista

kolmio kuvan osoittamalla tavalla

oikealla.

Nelikulmainen sivuilla c- neliö,

koska kahden terävän kulman summa on 90°, ja

kehitetty kulma on 180°.

Koko hahmon pinta-ala on toisaalta

neliön pinta-ala sivulla ( a+b), ja toisaalta neljän kolmion pinta-alojen summa ja

Q.E.D.

3. Pythagoraan lauseen todistus infinitesimaalimenetelmällä.

​

Ottaen huomioon kuvassa näkyvän piirustuksen ja

katsomassa puolen muuttumistaa, me voimme

kirjoita seuraava relaatio äärettömälle

pieni sivun lisäyksetKanssa Ja a(käyttämällä samankaltaisuutta

kolmiot):

Käyttämällä muuttujien erottelumenetelmää löydämme:

Lisää yleinen ilmaisu hypotenuusan vaihtaminen molempien jalkojen kasvaessa:

Integroimalla tämä yhtälö ja käyttämällä alkuehtoja saamme:

Siten pääsemme haluttuun vastaukseen:

Kuten on helppo nähdä, neliöllinen riippuvuus lopullisessa kaavassa ilmenee lineaarisuuden vuoksi

suhteellisuus kolmion sivujen ja inkrementtien välillä, kun taas summa on suhteessa riippumattomaan

eri jalkojen lisäyksestä.

Yksinkertaisempi todiste voidaan saada, jos oletetaan, että yksi jaloista ei koe lisäystä

(tässä tapauksessa jalka b). Sitten integraatiovakiolle saamme:

Pythagoraan lause sanoo:

Suorakulmaisessa kolmiossa jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö:

a 2 + b 2 = c 2,

• a Ja b- suoran kulman muodostavat jalat.
• Kanssa on kolmion hypotenuusa.

Pythagoraan lauseen kaavat

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Pythagoraan lauseen todiste

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala lasketaan kaavalla:

S = \frac(1)(2)ab

Mielivaltaisen kolmion pinta-alan laskemiseksi pintakaava on:

• s- puolikehä. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• r on piirretyn ympyrän säde. Suorakulmiolle r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Sitten vertaamme molempien kaavojen oikeat puolet kolmion pinta-alalle:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \vasen((a+b)^(2) -c^(2) \oikea)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Käänteinen Pythagoraan lause:

Jos kolmion toisen sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa, niin kolmio on suorakulmainen kolmio. Eli mille tahansa positiivisten lukujen kolminkertaiselle a, b Ja c, sellaista

a 2 + b 2 = c 2,

on suorakulmainen kolmio jaloilla a Ja b ja hypotenuusa c.

Pythagoraan lause- yksi euklidisen geometrian peruslauseista, joka määrittää suoran kolmion sivujen välisen suhteen. Hän on todistettu oppinut matemaatikko ja filosofi Pythagoras.

Lauseen merkitys siinä, että sitä voidaan käyttää muiden lauseiden todistamiseen ja ongelmien ratkaisemiseen.

Lisämateriaali:

Aihe: Lause käänteinen Pythagoraan lauseelle.

Oppitunnin tavoitteet: 1) tarkastele Pythagoraan lauseen vastaista lausetta; sen soveltaminen ongelmien ratkaisuprosessissa; vahvistaa Pythagoraan lausetta ja parantaa ongelmanratkaisutaitoja sen soveltamista varten;

2) kehittää loogista ajattelua, luovaa etsintää, kognitiivista kiinnostusta;

3) kasvattaa opiskelijan vastuullista asennetta oppimiseen, matemaattisen puheen kulttuuria.

Oppitunnin tyyppi. Oppitunti uuden tiedon oppimiseen.

Tuntien aikana

І. Ajan järjestäminen

ІІ. Päivittää tietoa

Oppitunti minulleolisihalusialoita neliöllä.

Kyllä, tiedon tie ei ole sileä

Mutta tiedämme kouluvuosista

Enemmän mysteereitä kuin arvoituksia

Eikä haulla ole rajoituksia!

Joten viimeisellä oppitunnilla opit Pythagoraan lauseen. Kysymyksiä:

Mille kuviolle Pythagoraan lause pätee?

Mitä kolmiota kutsutaan suorakulmaiseksi kolmioksi?

Muotoile Pythagoraan lause.

Kuinka Pythagoraan lause kirjoitetaan kullekin kolmiolle?

Mitä kolmioita kutsutaan yhtäläisiksi?

Muotoile kolmioiden tasa-arvomerkit?

Tehdään nyt vähän itsenäinen työ:

Ongelmanratkaisu piirustusten mukaan.

№1

(1 b.) Etsi: AB.

№2

(1 b.) Etsi: eKr.

№3

( 2 b.)Etsi: AC

№4

(1 b.)Etsi: AC

№5 Annettu: ABCDrombi

(2 b.) AB \u003d 13 cm

AC = 10 cm

Etsi sisäänD

Itsetarkistus #1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Opiskelu Uusi materiaalia.

Muinaiset egyptiläiset rakensivat suorat kulmat maahan tällä tavalla: he jakoivat köyden 12 yhtä suureen osaan solmuilla, sidoivat sen päät, minkä jälkeen köysi venytettiin maahan siten, että muodostui kolmio, jonka sivut olivat 3, 4 ja 5 divisioonaa. Kolmion kulma, joka oli vastapäätä 5-jakoista sivua, oli oikea.

Voitko selittää tämän tuomion oikeellisuuden?

Kysymykseen vastauksen etsimisen tuloksena oppilaiden tulee ymmärtää, että matemaattiselta kannalta kysymys kuuluu: onko kolmio suorakulmainen.

Esitämme ongelman: kuinka määrittää ilman mittauksia, onko kolmio, jolla on tietyt sivut, suorakulmainen. Tämän ongelman ratkaiseminen on oppitunnin tarkoitus.

Kirjoita oppitunnin aihe ylös.

Lause. Jos kolmion kahden sivun neliöiden summa on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö, niin kolmio on suorakulmainen kolmio.

Todista lause itsenäisesti (tee todistussuunnitelma oppikirjan mukaan).

Tästä lauseesta seuraa, että kolmio, jonka sivut ovat 3, 4, 5, on suorakulmainen (egyptiläinen).

Yleensä luvut, joihin tasa-arvo pätee kutsutaan Pythagoraan kolmoisiksi. Ja kolmiot, joiden sivujen pituudet ilmaistaan ​​Pythagoraan kolmioilla (6, 8, 10), ovat Pythagoraan kolmioita.

Konsolidointi.

Koska , silloin kolmio, jonka sivut ovat 12, 13, 5, ei ole suorakulmainen kolmio.

Koska , niin kolmio, jonka sivut ovat 1, 5, 6, on suorakulmainen.

№ 430 (a, b, c)

( - ei ole)

Van der Waerdenin mukaan on hyvin todennäköistä, että suhde yleisnäkymä tunnettiin Babylonissa jo noin 1700-luvulla eKr. e.

Noin 400 eaa. esim. Prokloksen mukaan Platon antoi menetelmän Pythagoraan kolmioiden löytämiseksi yhdistämällä algebran ja geometrian. Noin 300 eaa. e. Eukleideen "elementeissä" ilmestyi Pythagoraan lauseen vanhin aksiomaattinen todiste.

Sanamuoto

Pääformulaatio sisältää algebrallisia operaatioita - suorakulmaisessa kolmiossa, jonka jalkojen pituudet ovat yhtä suuret a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b), ja hypotenuusan pituus on c (\displaystyle c), suhde täyttyy:

Vastaava geometrinen muotoilu on myös mahdollista turvautumalla pinta-alan käsitteeseen: suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin jaloille rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa. Tässä muodossa lause on muotoiltu Eukleideen Principiassa.

Käänteinen Pythagoraan lause- väite minkä tahansa kolmion suorakulmaisuudesta, jonka sivujen pituudet liittyvät suhteeseen a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Tämän seurauksena mille tahansa positiivisten lukujen kolminkertaiselle a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Ja c (\displaystyle c), sellaista a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), on suorakulmainen kolmio jaloilla a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b) ja hypotenuusa c (\displaystyle c).

Todiste

Tieteelliseen kirjallisuuteen on tallennettu ainakin 400 Pythagoraan lauseen todistetta, mikä selittyy sekä geometrian perusarvolla että tuloksen alkeellisuudella. Todistuksen pääsuunnat ovat: alkioiden kolmiosuhteiden algebrallinen käyttö (esimerkiksi suosittu samankaltaisuusmenetelmä), pinta-alamenetelmä, olemassa on myös erilaisia ​​eksoottisia todisteita (esim. differentiaaliyhtälöitä käyttäen).

Samanlaisten kolmioiden kautta

Euklidesin klassinen todistus pyrkii määrittämään alueiden yhtäläisyyden suorakulmioiden välillä, jotka on muodostettu leikkaamalla neliö hypotenuusan korkeudelta. oikea kulma neliöt jalkojen päällä.

Todistuksessa käytetty konstruktio on seuraava: suorakulmaiselle kolmiolle, jolla on suora kulma C (\displaystyle C), neliöt jalkojen päällä ja ja neliöt hypotenuusan päällä A B I K (\displaystyle ABIK) korkeutta rakennetaan CH (\displaystyle CH) ja sitä jatkava säde s (\displaystyle s), jakamalla hypotenuusan yläpuolella olevan neliön kahteen suorakulmioon ja . Todistuksen tarkoituksena on määrittää suorakulmion pinta-alojen tasa-arvo A H J K (\displaystyle AHJK) neliö jalan päällä A C (\displaystyle AC); toisen suorakulmion, joka on hypotenuusan yläpuolella oleva neliö, ja toisen jalan yläpuolella olevan suorakulmion pinta-alojen yhtäläisyys määritetään samalla tavalla.

Suorakulmion pinta-alojen yhtäläisyys A H J K (\displaystyle AHJK) Ja A C E D (\displaystyle ACED) muodostetaan kolmioiden kongruenssilla △ A C K ​​(\näyttötyyli \kolmio ACK) Ja △ A B D (\näyttötyyli \kolmio ABD), joiden jokaisen pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet neliöiden pinta-alasta A H J K (\displaystyle AHJK) Ja A C E D (\displaystyle ACED) vastaavasti yhteydessä seuraava kiinteistö: kolmion pinta-ala on puolet suorakulmion pinta-alasta, jos muodoilla on yhteinen sivu, ja kolmion korkeus yhteiseen sivuun on suorakulmion toinen puoli. Kolmioiden kongruenssi seuraa kahden sivun (neliöiden sivut) ja niiden välisen kulman (joka koostuu suorasta kulmasta ja kulmasta A (\näyttötyyli A).

Siten todiste osoittaa, että hypotenuusan yläpuolella olevan neliön pinta-ala koostuu suorakulmioista A H J K (\displaystyle AHJK) Ja B H J I (\displaystyle BHJI), on yhtä suuri kuin jalkojen yläpuolella olevien neliöiden pinta-alojen summa.

Todiste Leonardo da Vincistä

Aluemenetelmä sisältää myös Leonardo da Vincin löytämän todisteen. Olkoon suorakulmainen kolmio △ A B C (\näyttötyyli \kolmio ABC) oikea kulma C (\displaystyle C) ja neliöitä A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) Ja A B H J (\displaystyle ABHJ)(katso kuva). Tässä todistuksessa sivussa H J (\displaystyle HJ) jälkimmäinen, kolmio on rakennettu ulkopuolelle, yhteneväinen △ A B C (\näyttötyyli \kolmio ABC) Lisäksi heijastuu sekä hypotenuusaan että sen korkeuteen (eli J I = B C (\displaystyle JI=BC) Ja H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Suoraan C I (\displaystyle CI) jakaa hypotenuusalle rakennetun neliön kahteen yhtä suureen osaan, koska kolmiot △ A B C (\näyttötyyli \kolmio ABC) Ja △ J H I (\näyttötyyli \kolmio JHI) ovat rakenteeltaan samanarvoisia. Todistus vahvistaa nelikulmioiden kongruenssin C A J I (\displaystyle CAJI) Ja D A B G (\displaystyle DABG), jonka jokaisen pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet jalkojen neliöiden pinta-aloista ja alkuperäisen kolmion pinta-alan summa, toisaalta puolet kolmion pinta-alasta. hypotenuusan neliö plus alkuperäisen kolmion pinta-ala. Kaiken kaikkiaan puolet jalkojen yli olevien neliöiden pinta-alojen summasta on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusan yläpuolella olevan neliön pinta-alasta, mikä vastaa Pythagoraan lauseen geometrista muotoilua.

Todistus infinitesimaalimenetelmällä

On olemassa useita differentiaaliyhtälöiden tekniikkaa käyttäviä todisteita. Erityisesti Hardylle on myönnetty todiste, joka käyttää äärettömän pieniä jalkojen lisäyksiä a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b) ja hypotenuusa c (\displaystyle c), ja säilyttäen samankaltaisuuden alkuperäisen suorakulmion kanssa, eli varmistamalla, että seuraavat differentiaalisuhteet täyttyvät:

Muuttujien erottelumenetelmällä niistä johdetaan differentiaaliyhtälö c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), jonka integrointi antaa suhteen c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Alkuehtojen soveltaminen a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) määrittelee vakion 0:ksi, mikä johtaa lauseen väitteeseen.

Neliöllinen riippuvuus lopullisessa kaavassa johtuu kolmion sivujen ja inkrementtien välisestä lineaarisesta suhteellisuudesta, kun taas summa johtuu eri haarojen lisäyksestä riippumattomista lisäyksistä.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Samanlaisia ​​geometrisia muotoja kolmella sivulla

Tärkeän Pythagoraan lauseen geometrisen yleistyksen antoi Eukleides elementissä, siirtyen sivujen neliöiden alueista mielivaltaisen samankaltaisten alueille. geometriset kuviot: tällaisten jalkoihin rakennettujen hahmojen pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin niitä vastaavan, hypotenuusalle rakennetun hahmon pinta-ala.

Tämän yleistyksen pääidea on, että tällaisen geometrisen hahmon pinta-ala on verrannollinen minkä tahansa sen lineaarimitan neliöön ja erityisesti minkä tahansa sivun pituuden neliöön. Siksi samankaltaisille luvuille alueilla A (\näyttötyyli A), B (\näyttötyyli B) Ja C (\displaystyle C) rakennettu pituuksilla jalkoihin a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b) ja hypotenuusa c (\displaystyle c) vastaavasti on suhde:

Koska Pythagoraan lauseen mukaan a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), sitten se on tehty.

Lisäksi, jos Pythagoraan lausetta käyttämättä on mahdollista todistaa, että kolmen samanlaisen geometrisen kuvion pinta-aloilla suorakulmaisen kolmion sivuilla, suhde A + B = C (\näyttötyyli A+B=C), niin käyttämällä Eukleideen yleistyksen todisteen käänteistä voimme johtaa Pythagoraan lauseen todistuksen. Esimerkiksi jos hypotenuusalle rakennamme suorakulmaisen kolmion, joka on yhtäpitävä alkuperäisen kolmion kanssa, jonka pinta-ala C (\displaystyle C), ja jaloissa - kaksi samanlaista suorakulmaista kolmiota, joissa on alueita A (\näyttötyyli A) Ja B (\näyttötyyli B), niin käy ilmi, että jalkojen kolmiot muodostuvat jakamalla alkuperäinen kolmio sen korkeudella, eli kolmioiden kahden pienemmän alueen summa on yhtä suuri kuin kolmannen pinta-ala, joten A + B = C (\näyttötyyli A+B=C) ja soveltamalla relaatiota vastaaviin lukuihin johdetaan Pythagoraan lause.

Kosinilause

Pythagoraan lause on erikoistapaus yleisempi kosinilause, joka suhteuttaa mielivaltaisen kolmion sivujen pituudet:

missä on sivujen välinen kulma a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b). Jos kulma on 90°, niin cos ⁡ θ = 0 (\näyttötyyli \cos \theta =0), ja kaava yksinkertaistuu tavalliseen Pythagoraan lauseeseen.

Mielivaltainen kolmio

Pythagoraan lause on yleistetty mielivaltaiseksi kolmioksi, joka toimii yksinomaan sivujen pituuksien suhteen, ja uskotaan, että sen loi ensimmäisenä sabian tähtitieteilijä Sabit ibn Kurra. Siinä mielivaltaiselle kolmiolle, jossa on sivut, tasakylkinen kolmio, jonka kanta on sivulla c (\displaystyle c), kärki, joka on sama kuin alkuperäisen kolmion kärki, vastapäätä sivua c (\displaystyle c) ja kulmat pohjassa ovat yhtä suuret kuin kulma θ (\displaystyle \theta ) vastakkainen puoli c (\displaystyle c). Tuloksena muodostuu kaksi kolmiota, samanlainen kuin alkuperäinen: ensimmäinen, jossa on sivut a (\displaystyle a), kaiverretun sivun sivu tasakylkinen kolmio, Ja r (\displaystyle r)- sivuosat c (\displaystyle c); toinen on symmetrinen sille sivulta katsottuna b (\displaystyle b) juhlien kanssa s (\displaystyle s)- sivun asiaankuuluva osa c (\displaystyle c). Tämän seurauksena suhde toteutuu:

joka rappeutuu Pythagoraan lauseeksi θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Suhde on seurausta samankaltaisuudesta muodostuneet kolmiot:

Pappus-alueen lause

Ei-euklidinen geometria

Pythagoraan lause on johdettu euklidisen geometrian aksioomeista ja ei kelpaa ei-euklidiselle geometrialle - Pythagoraan lauseen toteutuminen vastaa euklidisen rinnakkaisuuden postulaattia.

Ei-euklidisessa geometriassa suorakulmaisen kolmion sivujen välinen suhde on välttämättä eri muodossa kuin Pythagoraan lause. Esimerkiksi pallogeometriassa suorakulmaisen kolmion kaikilla kolmella yksikköpallon oktanttia rajoittavalla sivulla on pituus π / 2 (\displaystyle \pi /2), mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa.

Lisäksi Pythagoraan lause pätee hyperbolisessa ja elliptisessä geometriassa, jos kolmion suorakulmainen vaatimus korvataan ehdolla, että kolmion kahden kulman summan on oltava yhtä suuri kuin kolmas.

pallomainen geometria

Mikä tahansa suorakulmainen kolmio pallolla, jonka säde on R (\displaystyle R)(esimerkiksi jos kolmion kulma on oikea) sivuilla a , b , c (\näyttötyyli a,b,c) osapuolten välinen suhde on:

Tämä yhtäläisyys voidaan johtaa pallokosinisilauseen erikoistapauksena, joka pätee kaikkiin pallomaisiin kolmioihin:

Missä ch (\näyttötyyli \operaattorin nimi (ch) )- hyperbolinen kosini. Tämä kaava on hyperbolisen kosinilauseen erikoistapaus, joka pätee kaikkiin kolmioihin:

Missä γ (\displaystyle \gamma )- kulma, jonka kärki on sivua vastapäätä c (\displaystyle c).

Taylor-sarjan käyttäminen hyperbolisen kosinin ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2/2 (\näyttötyyli \operaattorinimi (ch) x\noin 1+x^(2)/2)) voidaan osoittaa, että jos hyperbolinen kolmio pienenee (eli milloin a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Ja c (\displaystyle c) yleensä nolla), silloin suorakulmaisen kolmion hyperboliset suhteet lähestyvät klassisen Pythagoraan lauseen relaatiota.

Sovellus

Etäisyys kaksiulotteisissa suorakaiteen muotoisissa järjestelmissä

Pythagoraan lauseen tärkein sovellus on määrittää kahden pisteen välinen etäisyys suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa: etäisyys s (\displaystyle s) koordinaattipisteiden välillä (a , b) (\näyttötyyli (a,b)) Ja (c , d) (\displaystyle (c,d)) vastaa:

varten kompleksiluvut Pythagoraan lause antaa luonnollisen kaavan moduulin kompleksiluvun löytämiseksi - z = x + y i (\näyttötyyli z=x+yi) se on yhtä suuri kuin pituus

Oppitunnin tavoitteet:

Koulutus: muotoile ja todista Pythagoraan lause ja Pythagoraan lauseen käännekohta. Näytä niiden historiallinen ja käytännön merkitys.

Kehittäminen: kehittää huomiokykyä, muistia, opiskelijoiden loogista ajattelua, kykyä päätellä, vertailla, tehdä johtopäätöksiä.

Koulutus: kasvattaa kiinnostusta ja rakkautta aihetta kohtaan, tarkkuutta, kykyä kuunnella tovereita ja opettajia.

Varusteet: Pythagoraan muotokuva, julisteet tiivistämistehtävillä, oppikirja "Geometria" luokat 7-9 (I.F. Sharygin).

Tuntisuunnitelma:

I. Organisaatiohetki - 1 min.

II. Kotitehtävien tarkistaminen - 7 min.

III. esittely opettajat, historiallinen tausta - 4-5 min.

IV. Pythagoraan lauseen muotoilu ja todistus - 7 min.

V. Lauseen formulointi ja todistus käänteisesti Pythagoraan lauseeseen - 5 min.

Uuden materiaalin korjaaminen:

a) suun kautta - 5-6 minuuttia.
b) kirjallinen - 7-10 min.

VII. Kotitehtävät- 1 minuutti.

VIII. Oppitunnin yhteenveto - 3 min.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki.

II. Kotitehtävien tarkistaminen.

s.7.1, nro 3 (laudalla valmiin piirustuksen mukaan).

Kunto: Suorakulmaisen kolmion korkeus jakaa hypotenuusan osiksi, joiden pituus on 1 ja 2. Etsi tämän kolmion haarat.

BC = a; CA=b; BA=c; BD = a1; DA = b1; CD = hC

Lisäkysymys: kirjoita suhteet suorakulmaiseen kolmioon.

kohta 7.1, nro 5. Leikkaa suorakulmainen kolmio kolmeksi samankaltaiseksi kolmioksi.

Selittää.

ASN ~ ABC ~ SVN

(Kiinnitä oppilaiden huomio samanlaisten kolmioiden vastaavien kärkien oikeaan tallentamiseen)

Totuus pysyy ikuisena, heti kun heikko ihminen tietää sen!

Ja nyt Pythagoraan lause on totta, kuten hänen kaukaisella aikakaudellaan.

Ei ole sattumaa, että aloitin oppituntini saksalaisen kirjailijan Chamisson sanoilla. Tämän päivän oppituntimme käsittelee Pythagoraan lausetta. Kirjoitetaan oppitunnin aihe.

Ennen sinua on muotokuva suuresta Pythagorasista. Syntynyt vuonna 576 eaa. Elettyään 80 vuotta hän kuoli vuonna 496 eaa. Tunnetaan antiikin kreikkalaisena filosofina ja opettajana. Hän oli kauppias Mnesarchuksen poika, joka vei hänet usein matkoilleen, minkä ansiosta pojassa kehittyi uteliaisuus ja halu oppia uusia asioita. Pythagoras on lempinimi, joka on annettu hänelle kaunopuheisuudestaan ​​("Pythagoras" tarkoittaa "vakuuttavaa puhetta"). Hän ei itse kirjoittanut mitään. Opiskelijat tallensivat kaikki hänen ajatuksensa. Pythagoras hankki ensimmäisen luentonsa tuloksena 2000 opiskelijaa, jotka vaimoineen ja lastensa kanssa muodostivat valtavan koulun ja loivat valtion nimeltä "Suur Kreikka", joka perustuu Pythagoraan kunnioitetun Pythagoraan lakeihin ja sääntöihin. jumalallisia käskyjä. Hän oli ensimmäinen, joka kutsui päättelyään elämän tarkoituksesta filosofiaksi (filosofia). Hän oli taipuvainen mystifiointiin ja demonstratiiviseen käytökseen. Kerran Pythagoras piiloutui maan alle ja oppi kaikesta, mitä tapahtui, äidiltään. Sitten kuihtuneena kuin luuranko, hän julisti julkisessa kokouksessa olleensa Haadeksessa ja osoitti hämmästyttävää tietoisuutta maallisista tapahtumista. Tästä syystä kosketetut asukkaat tunnustivat hänet Jumalaksi. Pythagoras ei koskaan itkenyt, ja intohimot ja jännitys olivat yleensä saavuttamattomissa. Hän uskoi tulevansa siemenestä, joka on parempi kuin ihminen. Pythagoraan koko elämä on legenda, joka on tullut meidän aikaan ja kertoi meille antiikin maailman lahjakkaimmasta miehestä.

Pythagoraan lauseen muotoilu on sinulle tuttu algebran kurssista. Muistakaamme häntä.

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa.

Tämä lause tunnettiin kuitenkin monta vuotta ennen Pythagorasta. Muinaiset egyptiläiset tiesivät 1500 vuotta ennen Pythagorasta, että kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5, on suorakaiteen muotoinen, ja käyttivät tätä ominaisuutta suorien kulmien rakentamiseen maa-alueiden ja rakennusten rakentamisessa. Vanhimpaan meille tulleeseen kiinalaiseen matemaattiseen ja tähtitieteelliseen teokseen "Zhiu-bi", joka on kirjoitettu 600 vuotta ennen Pythagorasta, muiden suorakulmaiseen kolmioon liittyvien lauseiden ohella on myös Pythagoran lause. Jo aikaisemmin tämä lause oli hindujen tiedossa. Pythagoras ei siis löytänyt tätä suorakulmaisen kolmion ominaisuutta, vaan hän oli luultavasti ensimmäinen, joka yleisti ja todisti sen, siirsi sen käytännön alalta tieteen kentälle.

Muinaisista ajoista lähtien matemaatikot ovat löytäneet yhä enemmän todisteita Pythagoraan lauseesta. Niitä tunnetaan yli sataviisikymmentä. Muistakaamme Pythagoraan lauseen algebrallinen todistus, jonka tunnemme algebran kulusta. ("Matematiikka. Algebra. Funktiot. Data-analyysi" G.V. Dorofeev, M., "Bubblehead", 2000).

Kehota oppilaita muistamaan piirustuksen todistus ja kirjoittamaan se taululle.

(a + b) 2 \u003d 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 \u003d 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Muinaiset hindut, joille tämä päättely kuuluu, eivät yleensä kirjoittaneet sitä muistiin, vaan seurasivat piirustusta vain yhdellä sanalla: "Katso".

Tarkastellaanpa nykyaikaisessa esityksessä yhtä Pythagoraan kuuluvista todisteista. Oppitunnin alussa muistimme lauseen suhteista suorakulmaisessa kolmiossa:

h 2 \u003d a 1 * b 1 a 2 \u003d a 1 * c b 2 \u003d b 1 * c

Lisäämme kaksi viimeistä yhtäläisyyttä termi kerrallaan:

b 2 + a 2 \u003d b 1 * c + a 1 * c \u003d (b 1 + a 1) * c 1 \u003d c * c \u003d c 2; a 2 + b 2 = c 2

Huolimatta tämän todisteen näennäisestä yksinkertaisuudesta, se ei ole kaukana yksinkertaisimmasta. Loppujen lopuksi tätä varten oli tarpeen piirtää korkeus suorakulmaiseen kolmioon ja harkita samanlaisia ​​kolmioita. Kirjoita tämä todistus muistikirjaasi.

Mikä on tämän lauseen käänteisversio? (... jos ehto ja johtopäätös ovat päinvastaiset.)

Yritetään nyt muotoilla lause, Pythagoraan lauseen käänteinen.

Jos kolmiossa, jossa on sivut a, b ja c, yhtäläisyys 2 \u003d a 2 + b 2 on tosi, niin tämä kolmio on suorakulmainen ja suora kulma on vastakkainen sivun c kanssa.

(Käänteisen lauseen todiste julisteessa)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Todistaa:

ABC - suorakaiteen muotoinen,

Todiste:

Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota A 1 B 1 C 1,

jossa C 1 \u003d 90 °, A 1 C 1 \u003d a, A 1 C 1 \u003d b.

Sitten Pythagoraan lauseen mukaan B 1 A 1 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d c 2.

Eli B 1 A 1 \u003d c A 1 B 1 C 1 \u003d ABC ABC:n kolmella sivulla - suorakaiteen muotoinen

C = 90°, mikä oli todistettava.

1. Valmiiden piirustusten julisteen mukaan.

Kuva 1: etsi AD, jos BD = 8, BDA = 30°.

Kuva 2: etsi CD, jos BE = 5, BAE = 45°.

Kuva 3: etsi BD, jos BC = 17, AD = 16.

2. Onko kolmio suorakulmainen, jos sen sivut ilmaistaan ​​numeroilla:

Millä nimellä kutsutaan kahdessa viimeisessä tapauksessa lukujen kolmoiskappaleita? (pytagoralainen).

Nro 9. Tasasivuisen kolmion sivu on yhtä suuri kuin a. Etsi tämän kolmion korkeus, rajatun ympyrän säde, piirretyn ympyrän säde.

№ 14. Osoita, että suorakulmaisessa kolmiossa rajatun ympyrän säde on yhtä suuri kuin hypotenuusan mediaani ja yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.

Kohta 7.1, s. 175-177, analysoi Lause 7.4 (yleistetty Pythagoraan lause), nro 1 (suullinen), nro 2, nro 4.

Mitä uutta opit tänään tunnilla? …………

Pythagoras oli ennen kaikkea filosofi. Nyt haluan lukea sinulle muutamia hänen sanojaan, jotka ovat tärkeitä meidän aikanamme sinulle ja minulle.

• Älä nosta pölyä elämän tielle.
• Tee vain sitä, mikä tulevaisuudessa ei häiritse sinua eikä pakota sinua tekemään parannusta.
• Älä koskaan tee sitä, mitä et tiedä, vaan opi kaikki mitä sinun tarvitsee tietää, niin vietät hiljaista elämää.
• Älä sulje silmiäsi, kun haluat nukkua ymmärtämättä kaikkia toimiasi edellisenä päivänä.
• Opi elämään yksinkertaisesti ja ilman luksusta.