Tapoja asettaa lähtötoiminto. Toiminto. Tapoja asettaa toiminto. Funktion ominaisuudet, jotka on otettava huomioon piirtämisessä. Graafinen tapa rakentaa funktio

Luento: Funktion käsite. Toiminnon perusominaisuudet.

Luennoitsija: Goryacheva A.O.

NOIN. : Joukkojen X ja Y välisen vastaavuuden sääntö (laki), jonka mukaan jokaiselle joukon X alkiolle löytyy yksi ja vain yksi alkio joukosta Y, kutsutaantoiminto .

Funktio katsotaan määritellyksi, jos:

Funktion X laajuus on asetettu;

Toiminnon Y arvojen alue on asetettu;

Vastaavuuden sääntö (laki) tunnetaan ja sellainen, että jokaiselle argumentin arvolle löytyy vain yksi funktion arvo. Tämä funktion yksilöllisyyden vaatimus on pakollinen.

NOIN. : Argumentin x kaikkien kelvollisten arvojen joukko X, jolle funktio y = f(x) on määritelty, kutsutaantoiminnon laajuus .

Kutsutaan kaikkien funktion saamien todellisten y-arvojen joukkoa Ytoimintoalue .

Katsotaanpa joitain tapoja määritellä funktioita.

Taulukkomainen tapa . Melko yleistä, se koostuu yksittäisten argumenttiarvojen ja niitä vastaavien funktioarvojen taulukon asettamisesta. Tätä funktion määrittelytapaa käytetään, kun funktion alue on diskreetti äärellinen joukko.

Graafinen tapa . Funktion y = f(x) kuvaaja on joukko kaikkia tason pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät annetun yhtälön.

Graafinen tapa määrittää funktio ei aina mahdollista argumentin numeeristen arvojen tarkkaa määritystä. Sillä on kuitenkin suuri etu muihin menetelmiin verrattuna - näkyvyys. Tekniikassa ja fysiikassa käytetään usein graafista menetelmää funktion asettamiseen, ja graafi on ainoa käytettävissä oleva tapa tähän.

Analyyttinen menetelmä . Useimmiten laki, joka määrittää argumentin ja funktion välisen suhteen, määritellään kaavojen avulla. Tätä funktion määrittelytapaa kutsutaan analyyttiseksi.

Tämä menetelmä mahdollistaa sen, että jokainen argumentin x numeerinen arvo löytää funktion y vastaavan numeerisen arvon tarkasti tai jollain tarkkuudella.

sanallinen tapa . Tämä menetelmä on sitä toiminnallinen riippuvuus ilmaistaan sanoilla.

Esimerkki 1: funktio E(x) on luvun x kokonaislukuosa. Yleensä E(x) = [x] tarkoittaa suurinta kokonaislukua, joka ei ylitä x:ää. Toisin sanoen, jos x = r + q, missä r on kokonaisluku (voi olla negatiivinen) ja q kuuluu väliin = r. Funktio E(x) = [x] on vakio välillä = r.

Esimerkki 2: funktio y = (x) - luvun murto-osa. Tarkemmin sanottuna y =(x) = x - [x], missä [x] on luvun x kokonaislukuosa. Tämä funktio on määritetty kaikille x:ille. jos x- mielivaltainen numero, jolloin se esitetään muodossa x = r + q (r = [x]), missä r on kokonaisluku ja q on välissä ; 2) (-;-2] ; 4) [-2;0]

5. Etsi kaikki x-arvot, joille funktio ottaa negatiiviset arvot(Kuva e):

1) (-2;0); 2) [-6;6]; 3) (- ;0); 4) (- ;0) (0;+ )

f) g)

6. Etsi kaikki x-arvot, joille funktio saa ei-negatiivisia arvoja (kuva e):

1) (kuvio i).

1)-1

2) 3

3) 5

4) 6

Hei)

9. Millä argumentin y arvoilla<0 (рис. к)?

1) [-4;0); 2) (-3;0); 3) (-3;1); 4) (0;1)

j) l)

10. Millä x:n arvoilla funktion arvo on positiivinen (kuva l)?

Funktion käsite Funktion määrittelytapoja Esimerkkejä funktioista Funktion analyyttinen määrittely Graafinen tapa määrittää funktion raja pisteessä Taulukkomuotoinen funktion määrittelytapa Rajalauseet Rajan ainutlaatuisuus Funktion, jolla on raja Rajaan siirtyminen epäyhtälössä Funktion raja äärettömyydessä Infinitesimaaliset funktiot Äärettömän pienten funktioiden ominaisuudet

Funktion käsite on perustavanlaatuinen ja alkuperäinen, kuten myös joukon käsite. Olkoon X jokin joukko reaalilukuja x. Jos jokaiselle x ∈ X:lle on jonkin lain mukaan annettu tietty reaaliluku y, niin sanotaan, että joukolle X on annettu funktio ja kirjoitetaan.Tällä tavalla esitettyä funktiota kutsutaan numeeriseksi. Tässä tapauksessa joukkoa X kutsutaan funktion määritelmän alueeksi ja itsenäistä muuttujaa x argumentiksi. Toiminnon osoittamiseen käytetään joskus vain symbolia, joka ilmaisee vastaavuuslakia, eli f (x) n:n ja jesterin sijaan vain /. Näin ollen funktio on annettu, jos 1) määrittelyalue on määritetty 2) sääntö /, joka antaa kullekin arvolle a: € X tietyn luvun y \u003d / (x) - tätä arvoa vastaavan funktion arvon argumentista x. Funktioita / ja g kutsutaan yhtäläisiksi, jos niiden määritelmäalueet ovat samat ja yhtälö f(x) = g(x) on totta mille tahansa argumentin x arvolle niiden yhteisestä alueesta. Siten funktiot y eivät ole yhtä suuret; ne ovat yhtä suuret vain välillä [O, I]. Esimerkkejä toiminnoista. 1. Sarja (o„) on funktio kokonaislukuargumentista, joka on määritelty luonnollisten lukujen joukossa siten, että f(n) = an (n = 1,2,...). 2. Funktio y = n? (lue "en-factorial"). Luonnollisten lukujen joukossa annettuna: jokainen luonnollinen luku n liittyy kaikkien luonnollisten lukujen tuloon 1:stä n:ään mukaan lukien: lisäksi 0! = 1. Nimitysmerkki tulee latinan sanasta signum - merkki. Tämä funktio on määritelty koko lukurivillä; sen arvojen joukko koostuu kolmesta numerosta -1.0, I (kuva 1). y = |x), jossa (x) tarkoittaa reaaliluvun x kokonaislukuosaa, eli [x| - suurin kokonaisluku, joka ei ylitä Se luetaan: - peli on yhtä suuri kuin antie x ”(fr. entier). Tämä toiminto on asetettu koko lukuakselille, ja sen kaikkien arvojen joukko koostuu kokonaisluvuista (kuva 2). Menetelmät funktion määrittämiseksi Analyyttinen funktion määrittäminen Funktio y = f(x) on määritelty analyyttisesti, jos se määritellään kaavalla, joka määrittää, mitä operaatioita on suoritettava kullekin x:n arvolle, jotta saadaan vastaava arvo y. Esimerkiksi funktio annetaan analyyttisesti. Tässä tapauksessa funktion verkkoalue (jos sitä ei ole määritetty etukäteen) ymmärretään kaikkien argumentin x todellisten arvojen joukkona, jolle funktion määrittelevä analyyttinen lauseke ottaa vain todelliset ja lopulliset arvot. Tässä mielessä funktion aluetta kutsutaan myös sen olemassaolon alueeksi. Funktiolle määrittelyalue on segmentti, funktiolle y - sin x määritelmäalue on koko numeerinen akseli. Huomaa, että jokainen kaava ei määrittele funktiota. Esimerkiksi kaava ei määrittele mitään funktiota, koska ei ole yhtä x:n todellista arvoa, jolle molemmilla yllä kirjoitetuilla juurilla olisi todellisia arvoja. Toiminnon analyyttinen määrittäminen voi näyttää melko monimutkaiselta. Erityisesti funktio voidaan määritellä eri kaavoilla sen määritelmäalueen eri osissa. Funktio voidaan määritellä esimerkiksi seuraavasti: 1.2. Graafinen tapa määrittää funktio Funktiota y = f(x) kutsutaan graafisesti määritettynä, jos sen aikataulu on määritelty, ts. joukko pisteitä (xy/(x)) xOy-tasolla, joiden abskissat kuuluvat funktion määritelmäalueeseen ja ordinaatit ovat yhtä suuria kuin funktion vastaavat arvot (kuva 4). Ei jokaiselle funktiolle, sen kaavio voidaan esittää kuvassa. Esimerkiksi Dirichlet-funktio, jos x on rationaalinen, jos x on irrationaalinen, ZX \o, ei salli tällaista esitystä. Funktio R(x) on annettu koko numeerisella akselilla ja sen arvojoukko koostuu kahdesta luvusta 0 ja 1. 1.3. Taulukkomuotoinen tapa määrittää funktio Funktiota sanotaan määritellyksi taulukkomuodossa, jos tarjotaan taulukko, joka sisältää funktion numeeriset arvot joillekin argumentin arvoille. Kun funktio määritellään taulukossa, sen määritelmäalue koostuu vain taulukossa olevista arvoista x\t x2i..., xn. §2. Funktion raja pisteessä Funktion rajan käsite on keskeinen matemaattisessa analyysissä. Olkoon funktio f(x) määritelty jossain pisteen xq naapurustossa Q, paitsi ehkä itse laajennuspisteen (Cauchyn) kohdalla. Lukua A kutsutaan funktion f(x) rajaksi pisteessä x0, jos mille tahansa luvulle e > 0, joka voi olla mielivaltaisen pieni, on olemassa luku<5 >0, siten, että kaikilla ehdon iGH.i^ x0:lla epäyhtälö on tosi. funktion määrittelystä Rajalauseet Rajan ainutlaatuisuus Rajallisen funktion rajallisuus Siirtyminen rajaan epäyhtälössä Funktion raja äärettömyydessä Infinitesimaalifunktiot Äärettömän pienten funktioiden ominaisuudet Merkintä: Tämä määritelmä ilmaistaan loogisten symbolien avulla seuraavasti. Esimerkkejä. 1. Käytä funktion pisteen rajan määritelmää, osoita, että funktio on määritelty kaikkialla, mukaan lukien piste zo = 1: /(1) = 5. Ota mikä tahansa. Jotta epäyhtälö |(2x + 3) - 5| tapahtui, on tarpeen täyttää seuraavat epätasa-arvot. Siksi, jos otamme, meillä on. Tämä tarkoittaa, että luku 5 on funktion raja: pisteessä 2. Osoita funktion rajan määritelmää käyttäen, että funktiota ei ole määritelty pisteessä xo = 2. Tarkastellaan /(x) jossakin funktion ympäristössä. piste-Xq = 2 esimerkiksi välissä ( 1, 5), joka ei sisällä pistettä x = 0, jossa funktiota /(x) ei myöskään ole määritelty. Ota mielivaltainen luku c > 0 ja muunna lauseke |/(x) - 2| x f 2:lle seuraavasti Kohdalle x b (1, 5) saadaan epäyhtälö Tästä on selvää, että jos otetaan 6 \u003d c, niin kaikille x € (1,5) ehdolla epäyhtälö on tosi. luku A - 2 on tietyn funktion raja pisteessä. Annetaan geometrinen selitys funktion rajan käsitteelle pisteessä viitaten sen kuvaajaan (kuva 5). x:lle funktion /(x) arvot määritetään käyrän M \ M pisteiden ordinaateilla, x > ho - käyrän MM2 pisteiden ordinaateilla. Arvo /(x0) määräytyy pisteen N ordinaatilla. Tämän funktion kuvaaja saadaan, jos otetaan "hyvä" käyrä M\MMg ja korvataan käyrän piste M(x0, A) pisteellä jV. Osoitetaan, että funktiolla f(x) on raja pisteessä xo, yhtä suuri kuin luku A (pisteen M ordinaatta). Otetaan mikä tahansa (mielisen pieni) luku e > 0. Merkitse Oy-akselille pisteet ordinaateilla A, A - e, A + e. Merkitse P:llä ja Q:lla funktion y \u003d / (x) kuvaajan leikkauspisteet ) suorilla y \u003d A - enu = A + e. Olkoon näiden pisteiden abskissat vastaavasti x0 - hx0 + hi (ht > 0, /12 > 0). Kuvasta nähdään, että mille tahansa x Φ x0:lle väliltä (x0 - h\, x0 + hi) funktion f(x) arvo on välillä. kaikille x ⩽ x0, jotka täyttävät ehdon, epäyhtälö on tosi Asetamme Sitten väli sisältyy väliin ja siten epäyhtälö tai, joka myös täyttyy kaikille ehdon täyttäville x:ille Tämä todistaa, että Siten funktio y = /(x):llä on raja A pisteessä x0, jos vaikka e-liuska olisi kuinka kapea rivien y = A - eny = A + e välillä on, on olemassa sellainen "5 > 0, että kaikille x:lle funktion y = / (x) graafin pisteen pisteen x0 punkturoitu ympäristö ovat ilmoitetun e-kaistan sisällä. Huomautus 1. Suuruus b riippuu e:stä: 6 = 6(e). Huomautus 2. Pisteessä Xq olevan funktion rajan määrittelyssä itse piste x0 jätetään huomioimatta. Siten funktion arvo Ho ns -pisteessä ei vaikuta funktion rajaan tässä pisteessä. Lisäksi funktiota ei ehkä ole edes määritelty pisteessä Xq. Siksi kaksi funktiota, jotka ovat yhtä suuret pisteen Xq läheisyydessä, poissulkien ehkä itse pisteen xo (niillä voi olla erilaisia merkityksiä , jompaakumpaa niistä tai molempia yhdessä ei ehkä ole määritelty), niillä on sama raja x - Xq:lle tai molemmilla ei ole rajaa. Tästä seuraa erityisesti, että murto-osan rajan löytämiseksi pisteessä xo on oikeutettua pienentää tätä murto-osaa yhtäläisillä lausekkeilla, jotka häviävät kohdassa x = Xq. Esimerkki 1. Etsi Funktio /(x) = j kaikille x Ф 0 on yhtä suuri kuin yksi, ja pisteessä x = 0 sitä ei ole määritelty. Korvaamalla f(x) funktiolla q(x) = 1, joka on yhtä suuri kuin se kohdassa x 0, saadaan funktion käsite. Tapoja määrittää funktio Esimerkkejä funktioista Funktion analyyttinen määrittely Graafinen tapa määritellä funktio. funktio pisteessä Taulukkomainen tapa määritellä funktio Rajalauseet Rajan ainutlaatuisuus Rajasiirtymän omaavan funktion rajallisuus epäyhtälössä Funktion raja äärettömässä Äärettömän pienet funktiot Äärettömän pienten funktioiden ominaisuudet x = 0 raja yhtä suuri nollaan: lim q(x) = 0 (näytä se!). Siksi lim /(x) = 0. Tehtävä. Formuloi epäyhtälöiden avulla (e -6 kielellä), mikä tarkoittaa, että funktio /(n) määritellään jossain pisteen x0 ympäristössä Π, paitsi ehkä itse piste x0. Määritelmä (Heine). Lukua A kutsutaan funktion /(x) rajaksi pisteessä x0, jos millä tahansa argumentin x 6 P, zn / x0) arvojen sarjalla (xn) konvergoi pisteeseen x0, vastaava jono. funktion (/(xn)) arvojen arvo konvergoi numeroon A. Yllä olevaa määritelmää on hyvä käyttää, kun on tarpeen varmistaa, että funktiolla /(x) ei ole rajaa pisteessä x0. Tätä varten riittää, että löydetään jokin sekvenssi (/(xn)), jolla ei ole rajaa, tai osoitetaan kaksi sekvenssiä (/(xn)) ja (/(x "n)), joilla on eri rajat. näytä esimerkiksi, että funktiolla iiya / (x) = sin j (kuva 7), joka on määritelty KAIKKILLA paitsi PISTEessä X = O, kuvassa 7 ei ole rajaa pisteessä x = 0. Tarkastellaan kahta sekvenssit (, konvergoivat pisteeseen x = 0. F(x) funktion vastaavat sekvenssiarvot konvergoivat eri rajoihin: jono (sinnTr) konvergoi nollaan ja jono (sin(5 + -) yhteen . Tämä tarkoittaa, että funktiolla f(x) = sin j pisteessä x = 0 ei ole rajaa Huomautus. Molemmat funktion rajan määritelmät pisteessä (Cauchyn määritelmä ja Heinen määritelmä) ovat samanarvoisia. §3. Raja lauseet Lause 1 (rajan ainutlaatuisuus) Jos funktiolla f(x) on raja kohdassa xo, niin tämä raja on yksikäsitteinen A Olkoon lim f(x) = A. Osoitetaan, että mikään luku B φ A ei voi olla funktion f(x) raja x-x0 pisteessä x0. Se, että lim /(x) φ Loogisten symbolien avulla XO muotoillaan seuraavasti: Saamme epäyhtälön avulla e = > 0. Koska lim /(x) = A, valitulle e > 0 on 6 > 0 siten, että relaatiosta (1) x:n ilmoitetuille arvoille on Joten, on havaittu, että vaikka kuinka pieni tahansa, on x Φ xQ, niin että ja samalla ^ e Tästä syystä määritelmä. Funktion /(x) sanotaan olevan rajattu pisteen x0 ympäristöön, jos on lukuja M > 0 ja 6 > 0 siten, että Lause 2 (funktion rajallisuus, jolla on raja). Jos funktio f(x) on määritelty pisteen x0 ympäristössä ja sillä on äärellinen raja pisteessä x0, niin se on rajoitettu johonkin tämän pisteen ympäristöön. m Olkoon Sitten missä tahansa esimerkissä, kun e = 1, on sellainen 6 > 0, että kaikilla ehdon täyttävillä x φ x0:lla epäyhtälö on totta. Huomaa, että saamme aina Let. Sitten jokaisessa välin pisteessä x meillä on Tämä tarkoittaa määritelmän mukaan, että funktio f(x) on rajattu ympäristöön. Esimerkiksi funktio /(x) = sin on rajoitettu pisteen läheisyydessä, mutta sillä ei ole rajaa pisteessä x = 0. Muotoilemme vielä kaksi lausetta, geometrinen merkitys joka on riittävän selkeä. Lause 3 (epäyhtälön rajalle siirtyminen). Jos /(x) ⩽ ip(x) kaikille x:lle pisteen x0 jossakin ympäristössä, paitsi ehkä itse pisteelle x0, ja jokaisella funktiolla /(x) ja ip(x) pisteessä x0 on raja , niin Huomaa, että funktioiden tiukka eriarvoisuus ei välttämättä tarkoita niiden rajojen tiukkaa epäyhtälöä. Jos nämä rajat ovat olemassa, voimme vain väittää, että Siten esimerkiksi epäyhtälö pätee funktioille, kun taas Lause 4 (raja välitoiminto ). Jos kaikilla x:llä pisteen Xq jossakin ympäristössä, paitsi ehkä itse piste x0 (kuva 9), ja funktioilla f(x) ja ip(x) pisteessä xo on sama raja A, niin funktion f (x) pisteessä x0 on raja, joka on yhtä suuri kuin A:n arvo. § 4. Funktion raja äärettömyydessä Olkoon funktio /(x) määritelty joko koko reaaliakselilla tai ainakin kaikki x täyttävät ehdon jx| > K joillekin K > 0. Määritelmä. Lukua A kutsutaan funktion f(x) rajaksi, koska x pyrkii äärettömyyteen, ja he kirjoittavat, jos jollekin e > 0:lle on olemassa luku jV > 0 siten, että kaikille x:ille, jotka täyttävät ehdon |x| > X, epäyhtälö on tosi Korvaamalla tämän määritelmän ehdon vastaavasti, saamme määritelmiä Näistä määritelmistä seuraa, että jos ja vain jos samanaikaisesti Se tosiasia geometrisesti tarkoittaa seuraavaa: vaikka kuinka kapea e-nauha rivien välillä y \ u003d A- euy \u003d A + e, on sellainen suora x = N > 0, että oikealla oleva funktion y = /(x) kuvaaja sisältyy kokonaan esitettyyn e-nauhaan (kuva 10 ). Tässä tapauksessa he sanovat, että x + oo:lla funktion y \u003d / (x) kuvaaja lähestyy asymptoottisesti suoraa y \u003d A. Esimerkki: Funktio / (x) \u003d jtjj- on määritelty koko reaaliakseli ja on murtoluku, jonka osoittaja on vakio , ja nimittäjä kasvaa loputtomasti muodossa |x| +oo. On luonnollista olettaa, että lim /(x)=0. Näytä se. М Otetaan mikä tahansa e > 0 ehdolla Jotta relaatio toteutuisi, epäyhtälön c or täytyy täyttyä, joka on sama kuin mistä Siten. jos otamme, saamme. Tämä tarkoittaa, että luku on tämän funktion raja kohdassa Huomaa, että radikaalilauseke on vain t ^ 1:lle. Siinä tapauksessa, että epäyhtälö c täyttyy automaattisesti kaikille Parillisen funktion y = - kuvaaja lähestyy asymptoottisesti suoraa Muotoile käyttämällä epäyhtälöitä, mikä tarkoittaa §5. Äärettömän pienet funktiot Olkoon funktio a(x) määritelty jossain pisteen x0 ympäristössä, paitsi mahdollisesti itse pisteelle x0. Määritelmä. Funktiota a(x) kutsutaan äärettömäksi pieneksi funktioksi (lyhennettynä b.m.f.), koska x pyrkii arvoon x0, jos funktion rajarajauksen yksilöllisyyden sisällä on rajasiirtymä epäyhtälössä olevaan rajaan Funktion raja äärettömässä Äärettömän pienet funktiot Infinitesimaalien funktioiden ominaisuudet Esimerkiksi funktio a(x) = x - 1 on b. m.f. x 1:lle, koska lim(x-l) = 0. Funktion y \u003d x-1 1-1 kaavio on esitetty kuvassa. II. Yleensä funktio a(x)=x-x0 on yksinkertaisin esimerkki b:stä. m.f. klo x-»ho. Kun otetaan huomioon funktion rajan määritelmä pisteessä, funktion b määritelmä. m.f. voidaan muotoilla näin. Määritelmä. Funktion a(x) sanotaan olevan ääretön funktiolle x - * xo, jos mille tahansa t > 0:lle on olemassa sellainen "5 > 0, että kaikille ehdon täyttäville x:ille epäyhtälö on tosifunktiot Määritelmässä. Funktiota a(x) kutsutaan äärettömän pieneksi x -» oo:lle, jos silloin funktiota a(x) kutsutaan infinitesimaaliksi, vastaavasti, tai esimerkiksi funktio on äärettömän pieni x -» oo:lle, koska lim j = 0. Funktio a (x ) = e~x on äärettömän pieni funktio muodossa x - * + oo, koska seuraavassa tarkastellaan pääsääntöisesti kaikkia funktioiden rajoihin liittyviä käsitteitä ja lauseita. suhde funktion rajan tapaukseen pisteessä, jolloin lukija voi muotoilla itse vastaavat käsitteet ja todistaa samanlaisia lauseita päivätapauksista, jolloin Äärettömän pienten funktioiden ominaisuudet Lause 5. Jos a(x) ja P(x) - b. m.f. kun x - * xo, niin niiden summa a(x) + P(x) on myös b.m. f. klo x -» ho. 4 Oletetaan mikä tahansa e > 0. Koska a(x) on b.m.f. kun x -* xo, niin on "51 > 0 sellainen, että kaikilla ehdon täyttävillä x Φ xo:lla epäyhtälö on tosi. Ehdolla P(x) myös b.m.f. x ho:lle on siis sellainen, että kaikilla ehdon täyttävillä χ φ ho:lla epäyhtälö on tosi. Asetetaan 6 = min(«5j, 62). Tällöin kaikille ehdon täyttäville x Ф ho epäyhtälöt (1) ja (2) ovat yhtä aikaa tosia. Siksi Tämä tarkoittaa, että summa a(x) +/3(x) on b.m.f. for xxq. Kommentti. Lause pysyy voimassa minkä tahansa äärellisen määrän funktioiden summalle, b. m. x zo. Lause 6 (b.m.f.:n tulo rajoitetulla funktiolla). Jos funktio a(x) on b. m.f. jos x -* x0, ja funktio f(x) on rajattu pisteen Xo läheisyyteen, niin tulo a(x)/(x) on 6. m.f. x -» x0. Oletuksena on, että funktio f(x) on rajattu pisteen x0 ympäristöön. Tämä tarkoittaa, että on olemassa lukuja 0 ja M > 0 siten, että Otetaan mikä tahansa e > 0. Koska ehdon mukaan on 62 > 0 niin, että kaikilla x φ x0:lla, jotka täyttävät ehdon |x - xol, epäyhtälö tulee olla tosi Olkoon i kaikista x f x0:sta, jotka täyttävät ehdon |x - x0|, epäyhtälöt ovat yhtä aikaa tosia. Siksi Tämä tarkoittaa, että tulo a(x)/(x) on b. m.f. esimerkin kanssa. Funktiota y \u003d xsin - (kuva 12) voidaan pitää funktioiden a (ar) \u003d x ja f (x) \u003d sin j tulona. Funktio a(a) on b. m.f. x - 0 ja funktio f käyttäen kolmea kaavaa.

Jos x:n ja y:n välinen suhde on annettu kaavalla, joka ratkaistaan y:n suhteen, ts. sillä on muoto y \u003d f (x) , silloin he sanovat, että x:n funktio on annettu eksplisiittisesti esimerkiksi. Jos arvot x ja y liittyvät toisiinsa jollain yhtälöllä muotoa F(x, y) = 0, ts. kaava ei ole sallittu y:n suhteen, silloin funktion sanotaan olevan implisiittisesti määritelty. Esimerkiksi,. Huomaa, että jokaista implisiittistä funktiota ei voida esittää muodossa y \u003d f (x), päinvastoin mikä tahansa eksplisiittinen funktio voidaan aina esittää implisiittisenä:
. Toinen funktion analyyttinen määrittely on parametrinen, kun argumentti x ja funktio y ovat kolmannen suuren - parametrin t -funktioita:
, Missä
, T on jokin intervalli. Tätä menetelmää käytetään laajalti mekaniikassa, geometriassa.

Analyyttinen tapa on yleisin tapa määritellä funktio. Kompaktisuus, kyky soveltaa matemaattisen analyysin laitteistoa tiettyyn funktioon, kyky laskea funktion arvot mille tahansa argumentin arvolle ovat sen tärkeimmät edut.

4. Sanallinen tapa. Tämä menetelmä koostuu siitä, että toiminnallinen riippuvuus ilmaistaan sanoilla. Esimerkiksi funktio E (x) on luvun x kokonaislukuosa, Dirichlet-funktio, Riemannin funktio, n!, r (n) on luonnollisen luvun n jakajien lukumäärä.

5. Puoligraafinen menetelmä. Tässä funktion arvot esitetään segmentteinä, ja argumenttiarvot esitetään numeroina segmenttien päissä, jotka osoittavat funktion arvoja. Joten esimerkiksi lämpömittarissa on asteikko, jossa on yhtäläiset jaot, joilla on numeroita. Nämä luvut ovat argumentin (lämpötilan) arvoja. Ne seisovat paikalla, joka määrää elohopeapatsaan graafisen pidentymisen (funktioarvot) sen tilavuuslaajenemisen vuoksi lämpötilan muutosten seurauksena.

Yksi "funktion" käsitteen klassisista määritelmistä ovat vastaavuuksiin perustuvat määritelmät. Esitämme useita tällaisia määritelmiä.

Määritelmä 1

Kutsutaan suhdetta, jossa jokainen riippumattoman muuttujan arvo vastaa yhtä riippuvan muuttujan arvoa toiminto.

Määritelmä 2

Olkoon kaksi ei-tyhjää joukkoa $X$ ja $Y$. Haku $f$, joka liittyy kuhunkin $x\in X$ yksi ja vain yksi $y\in Y$ kutsutaan toiminto($f:X → Y$).

Määritelmä 3

Olkoot $M$ ja $N$ kaksi mielivaltaista numeerista joukkoa. Sanotaan, että funktio $f$ määritetään $M$:lle, joka ottaa arvot arvosta $N$, jos jokainen $x\in X$:n elementti liittyy yhteen ja vain yhteen elementtiin $N$:sta.

Seuraava määritelmä annetaan käsitteen kautta muuttuja. Muuttuja on suure, joka tässä tutkimuksessa saa erilaisia numeerisia arvoja.

Määritelmä 4

Olkoon $M$ muuttujan $x$ arvojen joukko. Sitten, jos jokainen arvo $x\in M$ vastaa toista muuttujaa $y$ tiettyä arvoa, on joukossa $M$ määritetyn arvon $x$ funktio.

Määritelmä 5

Olkoon $X$ ja $Y$ joitain lukujoukkoja. Funktio on joukko $f$ järjestetyistä numeropareista $(x,\ y)$ siten, että $x\in X$, $y\in Y$ ja jokainen $x$ kuuluu yhdelle ja vain yhdelle parille tästä joukko, ja jokainen $y$ on vähintään yhdessä parissa .

Määritelmä 6

Mikä tahansa joukko $f=$\left(x,\y\right)$$ järjestetyistä pareista $\left(x,\y\right)$ siten, että kaikille pareille $\left(x",\ y" \right)\in f$ ja $\left(x",\ y""\right)\in f$ seuraa ehdosta $y"≠ y""$, että $x"≠x""$ on kutsutaan toiminnoksi tai näytöksi.

Määritelmä 7

Funktio $f:X → Y$ on joukko $f$ järjestetyistä pareista $\left(x,\y\right)\in X\kertaa Y$ siten, että mille tahansa elementille $x\in X$ on yksilöllinen elementti $y\in Y$ siten, että $\left(x,\y\right)\in f$, eli funktio on joukko objekteja $\left(f,\ X,\ Y\right) $.

Näissä määritelmissä

$x$ on riippumaton muuttuja.

$y$ on riippuvainen muuttuja.

Muuttujan $x$ kaikkia mahdollisia arvoja kutsutaan funktion toimialueiksi ja kaikkia muuttujan $y$ mahdollisia arvoja funktion toimialueiksi.

Analyyttinen tapa määritellä funktio

Tätä menetelmää varten tarvitsemme analyyttisen lausekkeen käsitteen.

Määritelmä 8

Analyyttinen lauseke on kaikkien lukujen ja muuttujien mahdollisten matemaattisten operaatioiden tulos.

Analyyttinen tapa asettaa funktio on sen asettaminen analyyttisen lausekkeen avulla.

Esimerkki 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Plussat:

Kaavoilla voimme määrittää funktion arvon mille tahansa muuttujan $x$ arvolle;
Tällä tavalla määriteltyjä funktioita voidaan tutkia matemaattisen analyysin laitteistolla.

Miinukset:

Vähän näkyvyyttä.
Joskus joudut tekemään erittäin hankalia laskelmia.

Taulukkomuotoinen tapa määritellä funktio

Tämä asetustapa on, että useille riippumattoman muuttujan arvoille kirjoitetaan riippuvan muuttujan arvot. Kaikki tämä kirjataan taulukkoon.

Esimerkki 2

Kuva 1.

Plus: Jokaiselle riippumattoman muuttujan $x$ arvolle, joka syötetään taulukkoon, funktion $y$ vastaava arvo tunnistetaan välittömästi.

Miinukset:

Useimmiten ei suorita tehtävä toiminnot;
Vähän näkyvyyttä.

(Määritelmä: Olkoot X ja Y numeerisia joukkoja. Jos jokainen alkio x X liittyy jonkin säännön f mukaan yksilölliseen alkioon y Y, niin sanotaan, että funktio y=f(x) on määritelty joukolle X x=D(f) – arvoalue; y= ; x=(- )=R; E(f)= =)