Toiminnallinen yhteys ja stokastinen riippuvuus. Riippuvuus on stokastinen. Kirjallisen teoksen stokastinen malli

Erilaisten ilmiöiden ja niiden piirteiden välillä on ensinnäkin tarpeen erottaa 2 tyyppistä suhdetta: toiminnallinen (jäykästi määrätty) ja tilastollinen (stokastisesti määritetty).

Talousjärjestelmien toiminnasta jäykästi deterministisen käsityksen mukaisesti välttämättömyys ja säännöllisyys ilmenevät yksiselitteisesti jokaisessa yksittäisessä ilmiössä, eli mikä tahansa toiminta aiheuttaa tiukasti määritellyn tuloksen; satunnaiset (ennakolta odottamattomat) vaikutukset jätetään huomiotta. Siksi annettuna alkuolosuhteet tällaisen järjestelmän tila voidaan määrittää todennäköisyydellä 1. Tämän säännönmukaisuuden muunnelma on toiminnallinen yhteys.

Ominaisuusyhteys klo merkin kanssa X kutsutaan funktionaaliseksi, jos jokainen riippumattoman ominaisuuden mahdollinen arvo X vastaa yhtä tai useampaa riippuvan ominaisuuden tiukasti määriteltyä arvoa klo. Toiminnallisen suhteen määritelmä voidaan helposti yleistää moniin piirteisiin X 1 ,X 2 …X n .

Funktionaalisille suhteille on ominaista se, että jokaisessa yksittäistapauksessa tunnetaan täydellinen luettelo tekijöistä, jotka määrittävät riippuvan (tuloksen) attribuutin arvon, sekä niiden tarkka vaikutusmekanismi, joka ilmaistaan ​​tietyllä yhtälöllä.

Toiminnallinen yhteys voidaan esittää yhtälöllä:

y i =  (x i ) ,

Missä y i- tehokas merkki ( i = 1, …, n);

f(x i ) - tehollisen ja tekijämerkin välisen yhteyden tunnettu toiminto;

x i- tekijämerkki.

Todellisessa sosiaalisessa elämässä jäykästi määrätyn järjestelmän tiedon epätäydellisyydestä johtuen voi syntyä epävarmuutta, jonka vuoksi tätä järjestelmää on luonteeltaan pidettävä todennäköisyyspohjaisena, kun taas piirteiden välinen suhde muuttuu stokastisiseksi.

Stokastinen yhteys on suhde suureiden välillä, joista yksi on satunnaismuuttuja klo, reagoi toisen arvon muutokseen X tai muita arvoja X 1 ,X 2 …X n(satunnainen tai ei-satunnainen) muuttamalla jakelulakia. Tämä johtuu siitä, että riippuvainen muuttuja (tuloksena oleva ominaisuus) on katsottujen riippumattomien lisäksi alttiina useiden huomioimattomien tai hallitsemattomien (satunnaisten) tekijöiden vaikutukselle sekä eräille mittauksen väistämättömille virheille. muuttujista. Koska riippuvaisen muuttujan arvot ovat satunnaisvaihtelun kohteena, niitä ei voida ennustaa riittävällä tarkkuudella, vaan ne ilmoitetaan vain tietyllä todennäköisyydellä.

Stokastisille yhteyksille on ominaista, että ne esiintyvät koko populaatiossa, eivät sen jokaisessa yksikössä. Lisäksi ei tunneta täydellistä luetteloa tekijöistä, jotka määrittävät vaikuttavan ominaisuuden arvon, eikä niiden toimivuuden ja vuorovaikutuksen tarkkaa mekanismia tehokkaan ominaisuuden kanssa. Aina on sattuman vaikutus. Riippuvan muuttujan eri arvojen ilmestyminen - satunnaismuuttujan toteutuminen.

Stokastinen yhteysmalli voidaan esittää yleisessä muodossa yhtälöllä:

ŷ i =  (x i ) +  i ,

Missä ŷ i- vaikuttavan ominaisuuden laskettu arvo;

f(x i ) - vaikuttavan ominaisuuden osa, joka muodostuu katsottujen tunnettujen tekijäominaisuuksien vaikutuksesta (yksi tai useampi), jotka ovat stokastisessa yhteydessä ominaisuuteen;

 i- osa vaikuttavasta ominaisuudesta, joka on syntynyt hallitsemattomien tai huomioimattomien tekijöiden vaikutuksesta sekä ominaisuuksien mittauksesta, johon liittyy väistämättä joitain satunnaisia ​​virheitä.

Stokastisten suhteiden ilmentyminen on toiminnan alainen suurten lukujen laki: juuri tarpeeksi suuret numerot Yksilölliset ominaisuudet tasoittuvat, mahdollisuudet kumoavat toisensa ja riippuvuus, jos sillä on merkittävä voima, ilmenee melko selvästi.

korrelaatio olemassa, kun toisiinsa liittyviä ilmiöitä luonnehtivat vain satunnaismuuttujat. Tällaisella yhteydellä tehollisen ominaisuuden satunnaismuuttujan keskiarvo (matemaattinen odotus). klo muuttuu luonnollisesti toisen suuren muutoksesta riippuen X tai muita satunnaismuuttujia X 1 ,X 2 …X n. Korrelaatio ei esiinny jokaisessa yksittäistapauksessa, vaan koko väestössä kokonaisuutena. Vain riittävän suurella määrällä tapauksia jokainen arvo on satunnainen piirre X vastaa satunnaisen ominaisuuden keskiarvojen jakaumaa klo. Korrelaatioiden läsnäolo on luontaista monille yhteiskunnallisille ilmiöille.

korrelaatio- käsite on kapeampi kuin stokastinen yhteys. Jälkimmäinen voi heijastua paitsi keskiarvon muutoksena, myös yhden attribuutin vaihteluna toisesta riippuen, toisin sanoen mistä tahansa muun vaihtelun ominaisuudesta. Siten korrelaatioyhteys on stokastisen yhteyden erikoistapaus.

Suorat ja käänteiset linkit. Toiminnan suunnasta riippuen toiminnalliset ja stokastiset suhteet voivat olla suoria ja käänteisiä. Suorassa suhteessa tuloksena olevan attribuutin muutoksen suunta osuu yhteen etumerkkitekijän muutossuunnan kanssa, eli tekijämerkin kasvaessa resultanttimerkki myös kasvaa ja päinvastoin, kun tekijämerkki, myös resultanttimerkki pienenee. Muussa tapauksessa tarkasteltujen määrien välillä on palautetta. Esimerkiksi mitä korkeampi työntekijän pätevyys (arvo) on, sitä korkeampi on työn tuottavuuden taso - suora suhde. Ja mitä korkeampi työn tuottavuus, sitä alhaisemmat ovat tuotannon yksikkökustannukset - palaute.

Suoraviivaiset ja kaarevat liitokset. Analyyttisen lausekkeen (muodon) mukaan liitokset voivat olla suoraviivaisia ​​ja kaarevia. Suoraviivaisessa suhteessa tekijämääritteen arvon kasvuun tuloksena olevan attribuutin arvot kasvavat (tai pienenevät) jatkuvasti. Matemaattisesti tällainen suhde esitetään suoran yhtälöllä ja graafisesti suoralla. Tästä syystä sen lyhyempi nimi - lineaarinen yhteys. Käyräviivaisissa suhteissa, joissa tekijän attribuutin arvo kasvaa, vaikuttavan attribuutin kasvu (tai lasku) tapahtuu epätasaisesti tai sen muutoksen suunta on päinvastainen. Geometrisesti tällaisia ​​yhteyksiä edustavat kaarevat viivat (hyperbola, paraabeli jne.).

Yksitekijä- ja monitekijäsuhteet. Tehokkaaseen ominaisuuteen vaikuttavien tekijöiden lukumäärän mukaan suhteet eroavat: yksitekijä (yksi tekijä) ja monitekijä (kaksi tai useampi tekijä). Yksitekijäisiä (yksinkertaisia) suhteita kutsutaan yleensä pariksi (koska ominaisuuspari otetaan huomioon). Esimerkiksi voiton ja työn tuottavuuden välinen korrelaatio. Kun kyseessä on monitekijäinen (moninkertainen) suhde, ne tarkoittavat, että kaikki tekijät toimivat monimutkaisesti, eli samanaikaisesti ja toisiinsa yhteydessä. Esimerkiksi työn tuottavuuden ja työn organisoinnin tason, tuotannon automaation, työntekijöiden pätevyyden, työkokemuksen, seisokkien ja muiden tekijöiden ominaisuuksien välinen korrelaatio. Monikorrelaation avulla on mahdollista kattaa koko tekijäominaisuuksien kompleksi ja heijastaa objektiivisesti olemassa olevia moninkertaisia ​​suhteita.

Vaaditaan riippuvuuden tutkimista, ja molemmat suureet mitataan samoissa kokeissa. Tätä varten sarja kokeita erilaisia ​​merkityksiä yrittää pitää muut kokeen ehdot ennallaan.

Kunkin suuren mittaus sisältää satunnaisia ​​virheitä (systeemisiä virheitä ei huomioida tässä); siksi nämä määrät ovat satunnaisia.

Säännöllistä satunnaismuuttujien yhteyttä kutsutaan stokastiseksi. Käsittelemme kahta tehtävää:

a) selvittää, onko (tietyllä todennäköisyydellä) riippuvuutta tai onko arvo ei riipu;

b) jos riippuvuus on olemassa, kuvaile se kvantitatiivisesti.

Ensimmäistä tehtävää kutsutaan varianssianalyysiksi, ja jos tarkastellaan useiden muuttujien funktiota, niin monimuuttujavarianssianalyysi. Toista tehtävää kutsutaan regressioanalyysiksi. Jos satunnaisvirheet ovat suuria, ne voivat peittää halutun riippuvuuden, eikä sitä ole helppo tunnistaa.

Näin ollen riittää, että parametriksi otetaan satunnaismuuttuja riippuen. Tämän arvon matemaattinen odotus riippuu siitä, että tämä riippuvuus on haluttu ja sitä kutsutaan regressiolakiksi.

Dispersioanalyysi. Suoritetaan pieni sarja mittauksia jokaiselle arvolle ja määritetään.

Ensimmäisessä menetelmässä yhden mittauksen näytteenottostandardit lasketaan kullekin sarjalle erikseen ja koko mittaussarjalle:

missä on mittausten kokonaismäärä ja

ovat keskiarvoja kullekin sarjalle ja vastaavasti koko mittaussarjalle.

Verrataan mittausjoukon varianssia yksittäisten sarjojen varianssiin. Jos käy ilmi, että valitulla luotettavuustasolla on mahdollista laskea kaikille i:lle, on z:n riippuvuus.

Jos merkittävää ylimäärää ei ole, riippuvuutta ei voida havaita (kokeen annetulla tarkkuudella ja hyväksytyllä käsittelymenetelmällä).

Dispersioita verrataan Fisherin testillä (30). Koska standardi s määräytyy dimensioiden kokonaismäärästä N, joka on yleensä melko suuri, on lähes aina mahdollista käyttää taulukossa 25 annettuja Fisher-kertoimia.

Toinen analyysimenetelmä on verrata eri arvojen keskiarvoja keskenään. Arvot ovat satunnaisia ​​ja riippumattomia, ja niillä on omat näytteenottostandardinsa

Siksi niitä verrataan kappaleessa 3 kuvatun riippumattomien mittausten kaavion mukaisesti. Jos erot ovat merkittäviä, ts. ylittävät luottamusvälin, niin riippuvuus todetaan; jos kaikkien kahden erot ovat merkityksettömiä, niin riippuvuus ei ole havaittavissa.

Monimuuttuja-analyysillä on joitain erityispiirteitä. On suositeltavaa mitata arvo suorakaiteen muotoisen ruudukon solmuissa, jotta riippuvuutta yhdestä argumentista on helpompi tutkia, kun toinen argumentti kiinnitetään. On liian työlästä suorittaa mittaussarja moniulotteisen verkon jokaisessa solmussa. Yksittäisen mittauksen varianssin arvioimiseksi riittää, että suoritetaan sarja mittauksia useissa verkon solmuissa; muissa solmuissa voidaan rajoittua yksittäisiin mittauksiin. Varianssianalyysi suoritetaan ensimmäisen menetelmän mukaisesti.

Huomautus 1. Jos mittauksia on paljon, niin molemmissa menetelmissä yksittäiset mittaukset tai sarjat voivat poiketa varsin voimakkaasti omasta huomattavalla todennäköisyydellä. matemaattinen odotus. Tämä on otettava huomioon valittaessa luottamustodennäköisyys, joka on riittävän lähellä 1:tä (kuten tehtiin asetettaessa rajat, joissa sallitut satunnaiset virheet erotetaan karkeista virheistä).

Taantumisanalyysi. Olkoon varianssianalyysi osoittava, että z:llä on riippuvuus. Kuinka kvantifioida se?

Tätä varten arvioimme halutun riippuvuuden jollain funktiolla. Löydämme parametrien optimaaliset arvot pienimmän neliösumman menetelmällä, mikä ratkaisee ongelman

missä ovat mittauspainot, jotka on valittu käänteisesti suhteessa mittausvirheen neliöön tietyssä pisteessä (eli ). Tätä ongelmaa käsiteltiin II luvun 2 §:ssä. Tässä keskitytään vain niihin piirteisiin, jotka johtuvat suurten satunnaisvirheiden esiintymisestä.

Tyyppi valitaan joko teoreettisista pohdinnoista riippuvuuden luonteesta tai muodollisesti vertaamalla kuvaajaa tunnettujen funktioiden kuvaajiin. Jos kaava valitaan teoreettisista näkökohdista ja oikein (teorian näkökulmasta) välittää asymptotiikkaa, niin yleensä se mahdollistaa kokeellisen datajoukon approksimoimisen lisäksi myös havaitun riippuvuuden ekstrapoloinnin muihin arvoalueisiin. Muodollisesti valittu funktio voi kuvata koetta tyydyttävästi, mutta se soveltuu harvoin ekstrapolointiin.

Tehtävä (34) on helpoin ratkaista, jos se on algebrallinen polynomi, mutta tällainen muodollinen funktion valinta on harvoin tyydyttävä. Yleensä hyvät kaavat riippuvat parametreista epälineaarisesti (transsendenttinen regressio). On kätevintä rakentaa transsendenttinen regressio valitsemalla sellainen muuttujien tasausmuutos siten, että riippuvuus on lähes lineaarinen (katso luku II, § 1, kohta 8). Sitten se on helppo approksimoida algebrallisella polynomilla: .

Muuttujien tasausmuutosta haetaan teoreettisia pohdintoja käyttäen ja asymptotiikkaa huomioiden, ja lisäksi oletetaan, että tällainen muutos on jo tehty.

Huomautus 2. Siirrettäessä uusiin muuttujiin pienimmän neliösumman tehtävä (34) saa muodon

jossa uudet painot liittyvät alkuperäisiin suhteisiin

Siksi, vaikka alkuperäisessä lauseessa (34) kaikilla mittauksilla olisi sama tarkkuus, tasausmuuttujien painot eivät ole samat.

Korrelaatioanalyysi. On tarkistettava, oliko muuttujien muutos todella tasaista, eli onko riippuvuus lähellä lineaarista. Tämä voidaan tehdä laskemalla parin korrelaatiokerroin

On helppo osoittaa, että suhde on aina pätevä

Jos riippuvuus on tiukasti lineaarinen (eikä sisällä satunnaisia ​​virheitä), niin tai riippuen suoran kaltevuuden merkistä. Mitä pienempi, sitä vähemmän riippuvuus on samanlainen kuin lineaarinen. Siksi, jos , ja mittausten lukumäärä N on riittävän suuri, niin tasausmuuttujat valitaan tyydyttävästi.

Tällaisia ​​johtopäätöksiä korrelaatiokertoimien riippuvuuden luonteesta kutsutaan korrelaatioanalyysiksi.

Korrelaatioanalyysi ei vaadi mittaussarjaa jokaisessa pisteessä. Riittää, että jokaisessa pisteessä tehdään yksi mittaus, mutta sitten otetaan enemmän pisteitä tutkittavalta käyrältä, mikä usein tehdään fysikaalisissa kokeissa.

Huomautus 3. On olemassa läheisyyskriteerit , joiden avulla voidaan osoittaa, onko riippuvuus käytännössä lineaarinen. Emme viivyttele niissä, koska approksimoivan polynomin asteen valintaa tarkastellaan alla.

Huomautus 4. Suhde osoittaa poissaolon lineaarinen riippuvuus mutta se ei tarkoita riippuvuuden puuttumista. Joten, jos segmentillä - niin

Optimaalinen polynomin aste a. Korvataan tehtävään (35) approksimoiva astepolynomi:

Sitten parametrien optimaaliset arvot tyydyttävät järjestelmän lineaariset yhtälöt (2.43):

ja ne on helppo löytää. Mutta kuinka valita polynomin aste?

Vastataksemme tähän kysymykseen, palataan alkuperäisiin muuttujiin ja lasketaan approksimaatiokaavan varianssi löydetyillä kertoimilla. Tämän varianssin puolueeton arvio on

On selvää, että polynomin asteen kasvaessa dispersio (40) pienenee: mitä enemmän kertoimia otetaan, sitä tarkemmin koepisteet voidaan approksimoida.

Stokastinen empiirinen riippuvuus

Suhde satunnaismuuttujia kutsutaan stokastiseksi riippuvuudeksi. Se ilmenee yhden niistä (riippuvaisen muuttujan) jakautumislain muutoksena, kun muut (argumentit) muuttuvat.

Graafisesti stokastinen empiirinen riippuvuus koordinaattijärjestelmässä riippuvainen muuttuja - argumentit, on joukko satunnaisesti jakautuneita pisteitä, jotka kuvastavat riippuvan muuttujan käyttäytymisen yleistä trendiä argumenttien muuttuessa.

Stokastista empiiristä riippuvuutta yhdestä argumentista kutsutaan paririippuvuudeksi, jos argumentteja on useampi kuin yksi - monimuuttujariippuvuudeksi. Esimerkki paritetusta lineaarisesta riippuvuudesta on esitetty kuvassa. 1.()

Riisi. 1.

Toisin kuin tavallisessa toiminnallisessa riippuvuudessa, jossa argumentin (tai usean argumentin) arvon muutokset vastaavat muutosta deterministisessä riippuvaisessa muuttujassa, stokastisessa riippuvuudessa tapahtuu muutos tilastollinen jakautuminen satunnaisriippuvainen muuttuja, erityisesti matemaattinen odotus.

Tehtävä matemaattinen mallinnus(arviot)

Stokastisen riippuvuuden rakentamista kutsutaan muuten matemaattiseksi mallinnoksi (approksimaatioksi) tai approksimaatioksi, ja se koostuu sen matemaattisen lausekkeen (kaavan) löytämisestä.

Matemaattisena mallina pidetään empiirisesti vahvistettua kaavaa (funktiota), joka heijastaa ei aina tunnettua, mutta objektiivisesti olemassa olevaa todellista riippuvuutta ja joka vastaa esineiden, ilmiöiden tai niiden ominaisuuksien välistä perus-, stabiilia, toistuvaa suhdetta.

Asioiden vakaa suhde ja niiden todellinen riippuvuus. onko se mallinnettu tai ei, on objektiivisesti olemassa, on matemaattinen lauseke, ja sitä pidetään laina tai sen seurauksena.

Jos sopiva laki tai sen seuraus tunnetaan, on luonnollista pitää niitä haluttuna analyyttisena riippuvuutena. Esimerkiksi virranvoimakkuuden empiirinen riippuvuus minä piirissä jännitteestä U ja kuormituskestävyys R seuraa Ohmin laista:

Valitettavasti suuressa osassa tapauksia muuttujien todellinen riippuvuus on a priori tuntematon, joten se on tarpeen havaita yleisten pohdintojen ja teoreettisten käsitteiden pohjalta, eli rakentamalla matemaattinen malli tarkasteltavasta säännöllisyydestä. Tässä otetaan huomioon, että annetut muuttujat ja niiden lisäykset satunnaisten vaihteluiden taustalla heijastavat halutun todellisen riippuvuuden matemaattisia ominaisuuksia (tangenttien, ääripäiden, juurien, asymptootien jne. käyttäytyminen).

Tavalla tai toisella valittu approksimoiva funktio tasoittaa (keskiarvoistaa) riippuvan muuttujan empiiristen alkuarvojen satunnaisia ​​vaihteluita ja siten tukahduttaa satunnaiskomponentin, on approksimaatio säännölliseen komponenttiin ja siten haluttuun todelliseen riippuvuuteen. .

Empiirisen riippuvuuden matemaattisella mallilla on teoreettinen ja käytännön arvoa:

antaa sinun määrittää kokeellisten tietojen riittävyyden yhteen tai toiseen tunnettuun lakiin ja tunnistaa uusia malleja;

· ratkaisee riippuvaisen muuttujan interpoloinnin ongelman tietyn argumenttiarvojen välillä ja ennustamisen (ekstrapoloinnin) intervallin ulkopuolella.

Huolimatta suuresta teoreettisesta kiinnostuksesta löytää matemaattinen kaava suureiden riippuvuudelle, käytännössä riittää usein vain sen selvittäminen, onko niiden välillä yhteys ja mikä on sen vahvuus.

Tehtävä korrelaatioanalyysi

Menetelmä muuttuvien suureiden välisen suhteen tutkimiseksi on korrelaatioanalyysi.

Korrelaatioanalyysin avainkäsite, joka kuvaa muuttujien välistä suhdetta, on korrelaatio (englanniksi korrelaatio - sopimus, yhteys, suhde, suhde, keskinäinen riippuvuus).

Korrelaatioanalyysiä käytetään stokastisen riippuvuuden havaitsemiseen ja sen vahvuuden (merkittävyyden) arvioimiseen korrelaatiokertoimien ja korrelaatiosuhteen suuruuden perusteella.

Jos muuttujien välinen suhde löydetään, sanotaan, että korrelaatio on olemassa tai että muuttujat korreloivat.

Yhteyden tiiviyden indikaattorit (korrelaatiokerroin, korrelaatiosuhde) modulo muuttuvat 0:sta (yhteyden puuttuessa) 1:ksi (kun stokastinen riippuvuus degeneroituu toiminnalliseksi).

Stokastista suhdetta pidetään merkittävänä (todellisena), jos korrelaatiokertoimen absoluuttinen estimaatti (korrelaatiosuhde) on merkitsevä eli ylittää 2-3 keskihajonta kertoimen arviot.

Huomaa, että joissakin tapauksissa voidaan löytää yhteys ilmiöiden välillä, jotka eivät ole ilmeisessä syy-seuraussuhteessa.

Esimerkiksi joillekin maaseutualueilla pesivien haikaroiden määrän ja syntyneiden lasten välillä paljastettiin suora stokastinen suhde. Haikaroiden kevään laskennan avulla voit ennustaa, kuinka monta lasta syntyy tänä vuonna, mutta riippuvuus ei tietenkään todista tuttua uskomusta, ja se selittyy rinnakkaisilla prosesseilla:

Lasten syntymää edeltää yleensä uusien perheiden muodostuminen ja järjestäytyminen maaseututalojen ja maatilojen hankinnalla;

· Lisääntyvät pesintämahdollisuudet houkuttelevat lintuja ja lisäävät niiden määrää.

Tällaista ominaisuuksien välistä korrelaatiota kutsutaan vääräksi (kuvitteelliseksi) korrelaatioksi, vaikka sillä voi olla käytännön merkitystä.

Usein todennäköisyysteoriaa pidetään matematiikan haarana, joka käsittelee "todennäköisyyslaskentaa".

Ja kaikki tämä laskelma tiivistyy itse asiassa yksinkertaiseen kaavaan:

« Minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin sen elementaaristen tapahtumien todennäköisyyksien summa". Käytännössä tämä kaava toistaa meille lapsuudesta tutun "loitsun":

« Esineen massa on yhtä suuri kuin sen osien massojen summa».

Tässä käsittelemme ei niin triviaaleja tosiseikkoja todennäköisyysteoriasta. Ensinnäkin puhumme aiheesta riippuvainen Ja riippumaton Tapahtumat.

On tärkeää ymmärtää, että samoilla termeillä matematiikan eri aloilla voi olla täysin erilaisia ​​merkityksiä.

Esimerkiksi kun he sanovat, että ympyrän pinta-ala S riippuu sen säteestä R, sitten tietysti tarkoitamme toiminnallinen riippuvuus

Riippuvuuden ja riippumattomuuden käsitteillä on todennäköisyysteoriassa täysin erilainen merkitys.

Aloitetaan yksinkertaisella esimerkillä tutustuaksesi näihin käsitteisiin.

Kuvittele, että teet nopanheittokokeilun tässä huoneessa, ja myös kollegasi viereisessä huoneessa heittelee kolikkoa. Anna sinun olla kiinnostunut tapahtumasta A - "kahden" menetys sinulle ja tapahtuma B - "häntien" menetys kollegallesi. Terve järki määrää: nämä tapahtumat ovat riippumattomia!

Vaikka emme ole vielä ottaneet käyttöön riippuvuuden/riippumattomuuden käsitettä, on intuitiivisesti selvää, että mikä tahansa järkevä riippumattomuuden määritelmä on järjestettävä niin, että nämä tapahtumat määritellään itsenäisiksi.

Siirrytään nyt toiseen kokeiluun. Noppa heitetään, tapahtuma A - "kahden" menetys, tapahtuma B - parittoman pistemäärän menetys. Olettaen, että luu on symmetrinen, voidaan heti sanoa, että P(A) = 1/6. Kuvittele nyt, että sinulle kerrotaan: "Kokeen tuloksena tapahtui tapahtuma B, pariton numero pisteitä." Mitä voidaan sanoa tapahtuman A todennäköisyydestä? On selvää, että nyt tämä todennäköisyys on nolla.

Meille tärkeintä on se on muuttunut.

Palataksemme ensimmäiseen esimerkkiin, voimme sanoa, tiedot se tosiasia, että tapahtuma B tapahtui seuraavassa huoneessa, ei vaikuta käsityksiinne tapahtuman A todennäköisyydestä. Tämä todennäköisyys Ei muutu siitä, että opit jotain tapahtumasta B.

Tulemme luonnolliseen ja erittäin tärkeään johtopäätökseen -

jos tietoa tapahtumasta SISÄÄN tapahtunut muuttaa tapahtuman todennäköisyyttä A , sitten tapahtumia A Ja SISÄÄN olisi pidettävä riippuvaisena, ja jos se ei muutu, niin itsenäisenä.

Näille huomioille tulee antaa matemaattinen muoto, tapahtumien riippuvuus ja riippumattomuus määritetään kaavoilla.

Jatketaan seuraavasta opinnäytetyöstä: "Jos A ja B ovat riippuvaisia ​​tapahtumia, niin tapahtuma A sisältää tietoa tapahtumasta B ja tapahtuma B tapahtumasta A". Mistä tiedät onko se mukana vai ei? Vastaus tähän kysymykseen on teoria tiedot.

Tietoteoriasta tarvitsemme vain yhden kaavan, jonka avulla voimme laskea keskinäisen informaation määrän I(A, B) tapahtumille A ja B

Emme laske eri tapahtumien tiedon määrää tai keskustele tästä kaavasta yksityiskohtaisesti.

Meille on tärkeää, että jos

silloin tapahtumien A ja B välisen keskinäisen tiedon määrä on nolla − tapahtumat A ja B riippumaton. Jos

silloin keskinäisen tiedon määrä on tapahtumat A ja B riippuvainen.

Vetoutuminen informaation käsitteeseen on tässä apuluonteista, ja se näyttää meistä mahdollistavan tapahtumien riippuvuuden ja riippumattomuuden käsitteiden tekemisen konkreettisemmiksi.

Todennäköisyysteoriassa tapahtumien riippuvuus ja riippumattomuus kuvataan muodollisemmin.

Ensinnäkin tarvitsemme konseptin ehdollinen todennäköisyys.

Tapahtuman A ehdollista todennäköisyyttä, mikäli tapahtuma B on tapahtunut (P(B) ≠ 0), kutsutaan P(A|B:n arvoksi), joka lasketaan kaavalla

.

Seuraamalla tapamme ymmärtää tapahtumien riippuvuutta ja riippumattomuutta, voimme odottaa, että ehdollinen todennäköisyys seuraava kiinteistö: jos tapahtumat A ja B riippumaton , Tuo

Tämä tarkoittaa, että tieto tapahtuman B tapahtumisesta ei vaikuta tapahtuman A todennäköisyyteen millään tavalla.

Niin kuin se on!

Jos tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, niin

Meillä on itsenäisiä tapahtumia A ja B

Ja