Käänteisten trigonometristen funktioiden derivaatat ovat yhtä suuret. Siniderivaata: (sin x)′. Korkeampien tilausten johdannaiset

Kun johdetaan taulukon aivan ensimmäistä kaavaa, lähdetään funktion derivaatan määritelmästä pisteessä. Otetaan minne x- minkä tahansa oikea numero, tuo on, x– mikä tahansa numero funktion määritysalueelta . Kirjoita funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen raja osoitteeseen:

On huomattava, että rajan merkin alla saadaan lauseke, joka ei ole nollan epävarmuus jaettuna nollalla, koska osoittaja ei sisällä äärettömän pientä arvoa, vaan täsmälleen nollan. Toisin sanoen vakiofunktion inkrementti on aina nolla.

Täten, vakiofunktion derivaattaon yhtä suuri kuin nolla koko määritelmäalueella.

Tehofunktion johdannainen.

Potenssifunktion derivaatan kaavalla on muoto , jossa eksponentti s on mikä tahansa todellinen luku.

Todistetaan ensin luonnollisen eksponentin, eli for:n, kaava p = 1, 2, 3, ...

Käytämme johdannaisen määritelmää. Kirjoitetaan tehofunktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen raja:

Osoittajan lausekkeen yksinkertaistamiseksi siirrymme Newtonin binomiaalikaavaan:

Siten,

Tämä todistaa luonnollisen eksponentin potenssifunktion derivaatan kaavan.

Eksponentiaalifunktion johdannainen.

Johdamme johdannaiskaavan määritelmän perusteella:

Tuli epävarmuuteen. Laajentaaksemme sitä otamme käyttöön uuden muuttujan , ja . Sitten . Viimeisessä siirtymässä käytimme logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaavaa.

Suoritetaan korvaus alkuperäisessä rajassa:

Jos muistamme toisen ihana raja, niin päästään eksponentiaalisen funktion derivaatan kaavaan:

Logaritmisen funktion derivaatta.

Todistakaamme logaritmisen funktion derivaatan kaava kaikille x laajuudesta ja kaikista kelvollisista perusarvoista a logaritmi. Johdannaisen määritelmän mukaan meillä on:

Kuten huomasit, todistuksessa muunnokset suoritettiin käyttämällä logaritmin ominaisuuksia. Tasa-arvo on voimassa toisen merkittävän rajan vuoksi.

Trigonometristen funktioiden johdannaiset.

Kaavojen johtamiseksi trigonometristen funktioiden johdannaisille on muistettava joitain trigonometriakaavoja sekä ensimmäinen merkittävä raja.

Sinifunktion derivaatan määritelmän mukaan meillä on .

Käytämme kaavaa sinien erolle:

Jäljelle jää ensimmäinen merkittävä raja:

Siis funktion derivaatta synti x On cos x.

Kosinijohdannaisen kaava todistetaan täsmälleen samalla tavalla.

Siksi funktion derivaatta cos x On -sin x.

Johdamme tangentin ja kotangentin derivaattataulukon kaavat käyttämällä todistettuja differentiaatiosääntöjä (murto-osan derivaatta).

Hyperbolisten funktioiden johdannaiset.

Differentiointisäännöt ja eksponentiaalisen funktion derivaatan kaava derivaattataulukosta antavat meille mahdollisuuden johtaa kaavoja hyperbolisen sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin derivaateille.

Käänteisfunktion derivaatta.

Jotta esityksessä ei olisi hämmennystä, merkitään alemmalla indeksillä funktion argumentti, jolla differentiointi suoritetaan, eli se on funktion derivaatta f(x) Tekijä: x.

Nyt muotoillaan sääntö käänteisfunktion derivaatan löytämiseksi.

Anna toiminnot y = f(x) Ja x = g(y) toistensa käänteinen, määritelty intervalleilla ja vastaavasti. Jos jossakin pisteessä on olemassa funktion äärellinen nollasta poikkeava derivaatta f(x), silloin pisteessä on käänteisfunktion äärellinen derivaatta g(y), ja . Toisessa merkinnässä .

Tämä sääntö voidaan muotoilla uudelleen mille tahansa x väliltä , niin saamme .

Tarkastetaan näiden kaavojen oikeellisuus.

Etsitään luonnollisen logaritmin käänteisfunktio (Tässä y on toiminto ja x- Perustelu). Tämän yhtälön ratkaiseminen x, saamme (täältä x on toiminto ja y hänen argumenttinsa). Tuo on, ja keskenään käänteisiä funktioita.

Johdannaisten taulukosta näemme sen Ja .

Varmistetaan, että kaavat käänteisfunktion derivaattojen löytämiseksi johtavat samoihin tuloksiin:

Kuten näet, saimme samat tulokset kuin johdannaistaulukossa.

Nyt meillä on tietoa todistaa kaavoja käänteisjohdannaisille trigonometriset funktiot.

Aloitetaan arcsinin derivaatalla.

. Sitten käänteisfunktion derivaatan kaavalla saadaan

Muutos on vielä tehtävä.

Koska arsinin alue on intervalli , Tuo (katso osio perusfunktioista, niiden ominaisuuksista ja kaavioista). Siksi emme harkitse.

Siten, . Arsinin derivaatan määritelmäalue on väli (-1; 1) .

Arkosiinille kaikki tehdään täsmälleen samalla tavalla:

Etsi arctangentin derivaatta.

Sillä käänteisfunktio on .

Ilmaisemme arkitangentin kaarikosinin kautta tuloksena olevan lausekkeen yksinkertaistamiseksi.

Antaa arctanx = z, Sitten

Siten,

Samalla tavalla käänteisen tangentin derivaatta löytyy:

Tässä on yhteenvetotaulukko mukavuuden ja selkeyden vuoksi aihetta tutkittaessa.

Analysoidaan kuinka osoitetun taulukon kaavat on saatu, tai toisin sanoen, todistetaan derivaattakaavojen johtaminen kullekin funktiotyypille.

Vakion johdannainen

Tämän kaavan johtamiseksi otamme perustaksi funktion derivaatan määritelmän pisteessä. Käytämme x 0 = x, missä x saa minkä tahansa reaaliluvun arvon, tai toisin sanoen x on mikä tahansa luku funktion f (x) = C alueelta. Kirjoita funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen rajaksi ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Huomaa, että lauseke 0 ∆ x kuuluu rajamerkin alle. Se ei ole "nolla jaettuna nollalla" epävarmuudesta, koska osoittaja ei sisällä äärettömän pientä arvoa, vaan nollan. Toisin sanoen vakiofunktion inkrementti on aina nolla.

Vakiofunktion derivaatta f (x) = C on siis nolla koko määritelmän alueella.

Esimerkki 1

Annetut vakiofunktiot:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0, f 5 (x) = - 8 7

Ratkaisu

Kuvataan annetut ehdot. Ensimmäisessä funktiossa näemme luonnollisen luvun 3 derivaatan. Seuraavassa esimerkissä sinun on otettava johdannainen A, Missä A- mikä tahansa todellinen luku. Kolmas esimerkki antaa meille derivaatan irrationaalinen luku 4. 13 7 22 , neljäs - nollan derivaatta (nolla on kokonaisluku). Lopuksi viidennessä tapauksessa meillä on rationaalisen murtoluvun derivaatta - 8 7 .

Vastaus: johdannaiset asettaa toimintoja on nolla missään todellisuudessa x(koko määritelmän alueella)

f 1 " (x) = (3)" = 0, f 2 " (x) = (a) " = 0, a ∈ R , f 3 " (x) = 4. 13 7 22" = 0, f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Tehofunktion derivaatta

Siirrymme tehofunktioon ja sen derivaatan kaavaan, jonka muoto on: (x p) " = p x p - 1, jossa eksponentti s on mikä tahansa todellinen luku.

Todiste 2

Esitetään kaavan todistus, kun eksponentti on luonnollinen luku: p = 1 , 2 , 3 , …

Luotamme jälleen johdannaisen määritelmään. Kirjoitetaan tehofunktion lisäyksen ja argumentin inkrementin suhteen raja:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Osoittimen lausekkeen yksinkertaistamiseksi käytämme Newtonin binomiaalikaavaa:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Täten:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x +... + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p ( ∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Todistimme siis potenssifunktion derivaatan kaavan, kun eksponentti on luonnollinen luku.

Todiste 3

Antaakseen todisteet tapauksesta, kun p- mikä tahansa muu reaaliluku kuin nolla, käytämme logaritmista derivaatta (tässä meidän pitäisi ymmärtää ero logaritmisen funktion derivaatta). Täydemmän ymmärryksen saamiseksi on toivottavaa tutkia logaritmisen funktion derivaatta ja lisäksi käsitellä implisiittisesti annetun funktion derivaatta ja derivaatta monimutkainen toiminto.

Harkitse kahta tapausta: milloin x positiivinen ja milloin x ovat negatiivisia.

Joten x > 0. Sitten: x p > 0 . Otetaan yhtälön y \u003d x p logaritmi kantaan e ja käytetään logaritmin ominaisuutta:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Tässä vaiheessa on saatu implisiittisesti määritelty funktio. Määritellään sen johdannainen:

(ln y) " = (p ln x) 1 v y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Nyt tarkastellaan tapausta, jolloin x- negatiivinen luku.

Jos ilmaisin s On tasaluku, silloin tehofunktio määritellään myös x:lle< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Sitten xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Jos s On pariton numero, silloin tehofunktio määritellään myös x:lle< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x) ) p - 1 = p x p - 1

Viimeinen siirtymä on mahdollinen, koska jos s on siis pariton luku p - 1 joko parillinen luku tai nolla (jos p = 1), joten negatiivinen x yhtälö (- x) p - 1 = x p - 1 on tosi.

Olemme siis todistaneet kaavan potenssifunktion derivaatalle mille tahansa todelliselle p:lle.

Esimerkki 2

Annetut toiminnot:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

Määritä niiden johdannaiset.

Ratkaisu

Muunnamme osan annetuista funktioista taulukkomuotoon y = x p asteen ominaisuuksien perusteella ja käytämme sitten kaavaa:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Eksponentiaalifunktion johdannainen

Johdamme johdannaisen kaavan määritelmän perusteella:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Meillä on epävarmuutta. Sen laajentamiseksi kirjoitetaan uusi muuttuja z = a ∆ x - 1 (z → 0 as ∆ x → 0). Tässä tapauksessa a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Viimeisessä siirtymässä käytetään logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaavaa.

Suoritetaan korvaus alkuperäisessä rajassa:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Muista toinen merkittävä raja ja sitten saadaan derivaatan kaava eksponentti funktio:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Esimerkki 3

Eksponentiaaliset funktiot on annettu:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Meidän on löydettävä niiden johdannaiset.

Ratkaisu

Käytämme eksponentiaalisen funktion derivaatan ja logaritmin ominaisuuksien kaavaa:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Logaritmisen funktion derivaatta

Esitämme todisteen logaritmisen funktion derivaatan kaavasta mille tahansa x määritelmäalueella ja logaritmin kantaluvun a kelvollisia arvoja. Johdannan määritelmän perusteella saamme:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a x 1 + ∆ x x x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Määritellystä yhtälöketjusta voidaan nähdä, että muunnokset rakennettiin logaritmin ominaisuuden perusteella. Yhdenvertaisuusraja ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e on tosi toisen merkittävän rajan mukaisesti.

Esimerkki 4

Logaritmiset funktiot annetaan:

f 1 (x) = log log 3 x, f 2 (x) = log x

Meidän on laskettava niiden johdannaiset.

Ratkaisu

Sovelletaan johdettua kaavaa:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Luonnollisen logaritmin derivaatta on siis yksi jaettuna x.

Trigonometristen funktioiden johdannaiset

Käytämme joitain trigonometrisiä kaavoja ja ensimmäistä ihmeellistä rajaa trigonometrisen funktion derivaatan kaavan johtamiseen.

Sinifunktion derivaatan määritelmän mukaan saamme:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Sinien eron kaava antaa meille mahdollisuuden suorittaa seuraavat toiminnot:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Lopuksi käytämme ensimmäistä upeaa rajaa:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Siis funktion derivaatta synti x tahtoa cos x.

Todistamme myös kosinijohdannaisen kaavan samalla tavalla:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Nuo. funktion cos x derivaatta on – synti x.

Johdamme tangentin ja kotangentin derivaatan kaavat differentiaatiosääntöjen perusteella:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Käänteisten trigonometristen funktioiden derivaatat

Käänteisfunktioiden derivaatta käsittelevä osio tarjoaa kattavaa tietoa arsinin, arkosiinin, arktangentin ja arkotangentin derivaatan kaavojen todistuksesta, joten emme kopioi aineistoa tässä.

Hyperbolisten funktioiden johdannaiset

Voimme johtaa kaavoja hyperbolisen sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin derivaateille käyttämällä differentiaatiosääntöä ja eksponentiaalisen funktion derivaatan kaavaa:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Johdannainen

Matemaattisen funktion derivaatan (differentioinnin) laskeminen on hyvin yleinen tehtävä ratkaistaessa korkeampi matematiikka. Yksinkertaisille (alkeis) matemaattisille funktioille tämä on melko yksinkertainen asia, koska alkeisfunktioiden derivaattataulukoita on koottu pitkään ja ne ovat helposti saatavilla. Monimutkaisen matemaattisen funktion derivaatan löytäminen ei kuitenkaan ole triviaali tehtävä ja vaatii usein paljon vaivaa ja aikaa.

Etsi johdannainen verkosta

Verkkopalvelumme avulla pääset eroon turhista pitkistä laskelmista ja löytää johdannaisia ​​verkosta yhdessä hetkessä. Lisäksi käyttämällä sivustollamme olevaa palveluamme www.sivusto, voit laskea johdannainen verkossa sekä alkeisfunktiosta että erittäin monimutkaisesta funktiosta, jossa ei ole ratkaisua analyyttinen muoto. Sivustomme tärkeimmät edut muihin verrattuna ovat: 1) matemaattisen funktion syöttämismenetelmälle derivaatan laskemiseksi ei ole tiukkoja vaatimuksia (esimerkiksi kun syötät funktion sini x, voit syöttää sen sin x tai sin (x) tai sin [x] jne.). d.); 2) johdannaisen online-laskenta tapahtuu välittömästi tilassa verkossa ja ehdottomasti ilmaiseksi; 3) annamme löytää funktion derivaatan mikä tahansa tilaus, derivaatan järjestyksen muuttaminen on erittäin helppoa ja ymmärrettävää; 4) annamme sinun löytää verkosta lähes minkä tahansa matemaattisen funktion johdannaisen, jopa erittäin monimutkaisen, muiden palvelujen ulottumattomissa. Annettu vastaus on aina oikea, eikä se voi sisältää virheitä.

Palvelimemme avulla voit 1) laskea johdannaisen verkossa puolestasi, mikä säästää sinut pitkiltä ja ikäviltä laskelmilta, joiden aikana saatat tehdä virheen tai kirjoitusvirheen; 2) jos lasket itse matemaattisen funktion derivaatan, annamme sinulle mahdollisuuden verrata tulosta palvelumme laskelmiin ja varmistaa, että ratkaisu on oikea tai löytää harhaanjohtavan virheen; 3) käytä palveluamme sen sijaan, että käytät yksinkertaisten funktioiden johdannaistaulukoita, joissa halutun funktion löytäminen vie usein aikaa.

Kaikki mitä sinulta vaaditaan löytää johdannaisia ​​verkosta on käyttää palveluamme

Esitetään sinin - sin (x) derivaatan kaavan todistus ja derivointi. Esimerkkejä sinin 2x, sinin neliön ja kuution derivaattojen laskemisesta. N:nnen kertaluvun sinin derivaatan kaavan derivointi.

Katso myös: Sini ja kosini - ominaisuudet, kaaviot, kaavat

Derivaata x:n sinin muuttujan x suhteen on yhtä suuri kuin x:n kosini:
(sin x)′ = cos x.

Todiste

Sinin derivaatan kaavan johtamiseksi käytämme derivaatan määritelmää:
.

Tämän rajan löytämiseksi meidän on muunnettava lauseke siten, että se pelkistetään tunnetuiksi laeiksi, ominaisuuksiksi ja säännöiksi. Tätä varten meidän on tiedettävä neljä ominaisuutta.
1) Ensimmäisen merkittävän rajan merkitys:
(1) ;
2) Kosinifunktion jatkuvuus:
(2) ;
3) Trigonometriset kaavat. Tarvitsemme seuraavan kaavan:
(3) ;
4) Funktiorajan aritmeettiset ominaisuudet:
Jos ja sitten
(4) .

Käytämme näitä sääntöjä rajamme mukaan. Ensin muunnetaan algebrallinen lauseke
.
Tätä varten käytämme kaavaa
(3) .
Meidän tapauksessamme
; . Sitten
;
;
;
.

Tehdään nyt vaihto. klo , . Sovelletaan ensimmäistä merkittävää rajaa (1):
.

Teemme saman korvauksen ja käytämme jatkuvuusominaisuutta (2):
.

Koska yllä lasketut rajat ovat olemassa, käytämme ominaisuutta (4):

.

Sinin derivaatan kaava on todistettu.

Esimerkkejä

Harkitse yksinkertaisia ​​esimerkkejä sinin sisältävien funktioiden derivaattojen löytämisestä. Löydämme johdannaiset seuraavista funktioista:
y = sin2x; y= sin2x ja y= sin3x.

Esimerkki 1

Etsi johdannainen synti 2x.

Ensin löydämme johdannaisen yksinkertaisimmasta osasta:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Haemme.
.
täällä .

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

Esimerkki 2

Etsi neliön sinin derivaatta:
y= sin2x.

Kirjoitetaan alkuperäinen funktio uudelleen ymmärrettävämpään muotoon:
.
Etsi yksinkertaisimman osan johdannainen:
.
Sovellamme kompleksisen funktion derivaatan kaavaa.

.
täällä .

Voidaan soveltaa yhtä trigonometrian kaavoista. Sitten
.

Esimerkki 3

Etsi kuution sinin derivaatta:
y= sin3x.

Korkeampien tilausten johdannaiset

Huomaa, että johdannainen synti x ensimmäisen kertaluvun voidaan ilmaista sininä seuraavasti:
.

Etsitään toisen asteen derivaatta käyttämällä kompleksin funktion derivaatan kaavaa:

.
täällä .

Nyt voimme nähdä sen eron synti x saa sen argumentin kasvamaan . Sitten n:nnen kertaluvun derivaatalla on muoto:
(5) .

Todistetaan tämä käyttämällä matemaattisen induktion menetelmää.

Olemme jo tarkistaneet, että kaava (5) on voimassa.

Oletetaan, että kaava (5) pätee jollekin arvolle . Osoittakaamme, että tästä seuraa, että kaava (5) on voimassa .

Kirjoitamme kaavan (5) kohteelle:
.
Erotamme tämän yhtälön soveltamalla monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä:

.
täällä .
Joten löysimme:
.
Jos korvaamme , tämä kaava saa muodon (5).

Kaava on todistettu.