Irrationaalisten lukujen ominaisuudet. Irrationaalinen luku. Irrationaalisen luvun määritelmä

Esimerkki:
\(4\) on rationaalinen luku, koska se voidaan kirjoittaa muodossa \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) on myös järkevä, koska se voidaan kirjoittaa muodossa \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)…\) - ja tämä on rationaalinen luku: voidaan esittää muodossa \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) on rationaalinen, koska se voidaan esittää muodossa \(\frac(1)(2)\) . Voimme todellakin suorittaa muunnosketjun \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

irrationaalinen luku on luku, jota ei voida kirjoittaa murtolukuna kokonaisluvun osoittajalla ja nimittäjällä.

Mahdotonta, koska se loputon murto-osia ja jopa ei-jaksollisia. Siksi ei ole olemassa kokonaislukuja, jotka antaisivat keskenään jaettuna irrationaalinen luku.

Esimerkki:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) on irrationaalinen luku;
\(π≈3,1415926… \) on irrationaalinen luku;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) on irrationaalinen luku.

Esimerkki (OGE:n tehtävä). Minkä lausekkeen arvo on rationaalinen luku?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Ratkaisu:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) on myös mahdotonta esittää lukua murtolukuna kokonaislukujen kanssa , joten luku on irrationaalinen.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - juuria ei ole jäljellä, luku voidaan helposti esittää murtolukuna, esim. \(\frac(-5)(1)\) , joten se on rationaalinen.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - juuria ei voida erottaa - luku on irrationaalinen.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) on myös irrationaalinen.

Matemaattisten käsitteiden abstraktisuudesta se hengittää joskus niin paljon irti, että tahattomasti herää ajatus: "Mitä varten tämä kaikki on?". Mutta ensivaikutelmasta huolimatta kaikki lauseet, aritmeettiset operaatiot, funktiot jne. - ei muuta kuin halu tyydyttää kiireelliset tarpeet. Tämä näkyy erityisen selvästi esimerkkinä erilaisten sarjojen ulkonäöstä.

Kaikki alkoi ulkonäöstä luonnolliset luvut. Ja vaikka on epätodennäköistä, että nyt joku pystyy vastaamaan kuinka se tarkalleen oli, mutta todennäköisimmin tieteiden kuningattaren jalat kasvavat jostain luolasta. Täällä, kun analysoidaan nahkojen, kivien ja heimomiesten määrää, ihmisellä on paljon "laskettavia lukuja". Ja se riitti hänelle. Tietysti johonkin pisteeseen asti.

Sitten oli tarpeen jakaa ja ottaa pois nahat ja kivet. Tarvittiin siis aritmeettisia operaatioita ja niiden kanssa rationaalisia operaatioita, jotka voidaan määritellä murto-osaksi m/n-tyypistä, missä esimerkiksi m on skinien lukumäärä, n on heimomiesten lukumäärä.

Näyttää siltä, ​​​​että jo löydetty matemaattinen laite riittää nauttimaan elämästä. Mutta pian kävi ilmi, että on tapauksia, joissa tulos ei ole jotain, joka ei ole kokonaisluku, mutta ei edes murto-osa! Ja todellakin, kahden neliöjuurta ei voida ilmaista millään muulla tavalla osoittajalla ja nimittäjällä. Tai esimerkiksi tunnettu luku Pi, jonka muinainen kreikkalainen tiedemies Archimedes löysi, ei myöskään ole järkevä. Ja ajan myötä tällaisia ​​löytöjä tehtiin niin paljon, että kaikki luvut, joita ei voitu "rationalisoida", yhdistettiin ja kutsuttiin irrationaalisiksi.

Ominaisuudet

Aiemmin käsitellyt joukot kuuluvat matematiikan peruskäsitteiden joukkoon. Tämä tarkoittaa, että niitä ei voida määritellä yksinkertaisemmilla matemaattisilla objekteilla. Mutta tämä voidaan tehdä kategorioiden (kreikkalaisista "lausunnoista") tai postulaattien avulla. Tässä tapauksessa oli parasta määrittää näiden joukkojen ominaisuudet.

o Ir rationaalisia lukuja Määritä Dedekind-osuudet rationaalisten lukujen joukkoon, joilla ei ole suurinta lukua alemmassa eikä pienintä lukua ylemmässä.

o Joka transsendentti numero on järjetöntä.

o Jokainen irrationaalinen luku on joko algebrallinen tai transsendentaalinen.

o Irrationaalilukujen joukko on kaikkialla tiheä reaaliviivalla: minkä tahansa kahden luvun välillä on irrationaaliluku.

o Irrationaalisten lukujen joukko on laskematon, se on toisen Baer-luokan joukko.

o Tämä joukko on järjestetty, eli jokaiselle kahdelle eri rationaaliluvulle a ja b voit osoittaa, kumpi niistä on pienempi kuin toinen.
o Jokaisen kahden eri rationaaliluvun välissä on ainakin yksi rationaaliluku lisää, ja siten ääretön määrä rationaalilukuja.

o Aritmeettiset operaatiot (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku) kahdelle rationaaliluvulle ovat aina mahdollisia ja johtavat tiettyyn rationaalilukuun. Poikkeuksena on jako nollalla, mikä on mahdotonta.

o Jokainen rationaalinen luku voidaan esittää muodossa desimaaliluku(äärellinen tai ääretön jaksollinen).

Yksikköpituisella segmentillä muinaiset matemaatikot tiesivät jo: he tiesivät esimerkiksi diagonaalin ja neliön sivun yhteensopimattomuuden, mikä vastaa luvun irrationaalisuutta.

Irrationaalisia ovat:

Irrationaalisuuden todistavia esimerkkejä

2:n juuri

Oletetaan päinvastoin: se on rationaalinen, eli se esitetään redusoitumattomana murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja. Nelistetään oletettu tasa-arvo:

Tästä seuraa, että jopa, siis jopa ja . Anna missä koko. Sitten

Siksi jopa, siis jopa ja . Olemme saaneet sen ja ovat parillisia, mikä on ristiriidassa murto-osan pelkistämättömyyden kanssa. Tästä syystä alkuperäinen oletus oli väärä, ja se on irrationaalinen luku.

Numeron 3 binäärinen logaritmi

Oletetaan päinvastoin: se on rationaalinen, eli se esitetään murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja. Koska , ja voidaan pitää positiivisena. Sitten

Mutta se on selvää, se on outoa. Saamme ristiriidan.

e

Tarina

Intialaiset matemaatikot omaksuivat irrationaalisten lukujen käsitteen implisiittisesti 7. vuosisadalla eKr., kun Manawa (n. 750 eKr. - n. 690 eKr.) havaitsi, että joidenkin luonnollisten lukujen, kuten 2 ja 61, neliöjuuria ei voida ilmaista suoraan.

Ensimmäinen todiste irrationaalisten lukujen olemassaolosta johtuu yleensä Hippasuksesta Metapontosta (n. 500 eKr), pythagoralaisesta, joka löysi tämän todisteen tutkimalla pentagrammin sivujen pituuksia. Pythagoralaisten aikana uskottiin, että on olemassa yksi pituusyksikkö, riittävän pieni ja jakamaton, mikä on kokonaisluku, joka sisältyy mihin tahansa segmenttiin. Hippasus kuitenkin väitti, ettei ole olemassa yhtä pituuden yksikköä, koska oletus sen olemassaolosta johtaa ristiriitaan. Hän osoitti, että jos tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa sisältää kokonaislukumäärän yksikkösegmenttejä, tämän luvun on oltava sekä parillinen että pariton samanaikaisesti. Todistus näytti tältä:

• Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituuden suhde jalan pituuteen voidaan ilmaista seuraavasti a:b, Missä a Ja b valitaan pienimmäksi mahdolliseksi.
• Pythagoraan lauseen mukaan: a² = 2 b².
• Koska a² tasainen, a on oltava parillinen (koska parittoman luvun neliö olisi pariton).
• Koska a:b vähentymätön b täytyy olla outoa.
• Koska a jopa, merkitse a = 2y.
• Sitten a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y² siis b on siis tasainen b jopa.
• Se on kuitenkin todistettu b outo. Ristiriita.

Kreikkalaiset matemaatikot kutsuivat tätä suhteettoman suuren suhdetta logos(ilmaistamaton), mutta legendojen mukaan Hippasukselle ei maksettu asianmukaista kunnioitusta. On legenda, että Hippasus teki löydön ollessaan merimatkalla, ja muut pythagoralaiset heittivät hänet yli laidan "luokseen universumin elementin, joka kieltää opin, jonka mukaan kaikki universumin olennot voidaan vähentää kokonaislukuihin ja niiden suhteisiin. " Hippasuksen löytäminen aiheutti vakavan ongelman pythagoralaiselle matematiikalle, mikä tuhosi taustalla olevan oletuksen, että numerot ja geometriset objektit ovat yksi ja erottamaton.

Katso myös

Huomautuksia

Olemme jo osoittaneet aiemmin, että $1\frac25$ on lähellä $\sqrt2$. Jos se olisi täsmälleen yhtä suuri kuin $\sqrt2$, . Silloin suhde - $\frac(1\frac25)(1)$, joka voidaan muuttaa kokonaislukujen suhteeksi $\frac75$ kertomalla murtoluvun ylä- ja alaosa viidellä, olisi haluttu arvo.

Mutta valitettavasti $1\frac25$ ei ole $\sqrt2$:n tarkka arvo. Tarkemman vastauksen $1\frac(41)(100)$ antaa relaatio $\frac(141)(100)$. Saavutamme vielä suuremman tarkkuuden, kun rinnastamme $\sqrt2$ arvoon $1\frac(207)(500)$. Tässä tapauksessa kokonaislukujen suhde on $\frac(707)(500)$. Mutta $1\frac(207)(500)$ ei myöskään ole tarkka neliöjuuren arvo 2. Kreikkalaiset matemaatikot käyttivät paljon aikaa ja vaivaa laskeakseen $\sqrt2$:n tarkan arvon, mutta he eivät koskaan onnistuneet. He eivät pystyneet esittämään suhdetta $\frac(\sqrt2)(1)$ kokonaislukujen suhteena.

Lopuksi suuri kreikkalainen matemaatikko Euclid osoitti, että riippumatta siitä, kuinka laskelmien tarkkuus kasvaa, on mahdotonta saada tarkkaa arvoa $\sqrt2$. Ei ole murto-osaa, joka neliötettynä johtaisi 2:een. Pythagoraan sanotaan olevan ensimmäinen, joka päätyi tähän johtopäätökseen, mutta tämä selittämätön tosiasia teki tutkijaan niin suuren vaikutuksen, että hän vannoi itsensä ja vannoi oppilailtansa pitävän. tämä löytö on salaisuus. Tämä tieto ei kuitenkaan välttämättä pidä paikkaansa.

Mutta jos lukua $\frac(\sqrt2)(1)$ ei voida esittää kokonaislukujen suhteena, ei lukua, joka sisältää $\sqrt2$, esimerkiksi $\frac(\sqrt2)(2)$ tai $\frac (4)(\sqrt2)$ ei myöskään voida esittää kokonaislukujen suhteena, koska kaikki tällaiset murtoluvut voidaan muuntaa $\frac(\sqrt2)(1)$ kerrottuna jollakin luvulla. Joten $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Tai $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, joka voidaan muuntaa kertomalla ylä- ja alaosa $\sqrt2$:lla, jolloin saadaan $\frac(4) (\sqrt2)$. (Emme saa unohtaa, että riippumatta siitä, mikä luku $\sqrt2$ on, jos kerromme sen $\sqrt2$:lla, saamme 2.)

Koska lukua $\sqrt2$ ei voida esittää kokonaislukujen suhteena, sitä kutsutaan irrationaalinen luku. Toisaalta kutsutaan kaikkia lukuja, jotka voidaan esittää kokonaislukujen suhteena järkevää.

Rational ovat kaikki kokonaislukuja ja murtolukuja, sekä positiivisia että negatiivisia.

Kuten käy ilmi, useimmat neliöjuuret ovat irrationaalisia lukuja. Rationaaliset neliöjuuret koskevat vain sarjaan sisältyviä lukuja neliönumerot. Näitä lukuja kutsutaan myös täydellisiksi neliöiksi. Rationaaliset luvut ovat myös murto-osia, jotka koostuvat näistä täydellisistä neliöistä. Esimerkiksi $\sqrt(1\frac79)$ on rationaalinen luku, koska $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ tai $1\frac13$ (4 on juuri neliö 16, ja 3 on 9:n neliöjuuri).

Tämän artikkelin materiaali on alustavaa tietoa irrationaalisia lukuja. Ensin annamme irrationaalisten lukujen määritelmän ja selitämme sen. Tässä on esimerkkejä irrationaalisista luvuista. Lopuksi tarkastellaan joitakin tapoja selvittää, onko tietty luku irrationaalinen vai ei.

Sivulla navigointi.

Irrationaalisten lukujen määritelmä ja esimerkkejä

Desimaalimurtolukujen tutkimuksessa tarkastelimme erikseen äärettömiä ei-jaksollisia desimaalilukuja. Tällaisia ​​murtolukuja syntyy desimaalimittauksessa segmenttien pituuksista, jotka eivät ole suhteellisia yksittäinen segmentti. Huomasimme myös, että äärettömiä ei-jaksollisia desimaalilukuja ei voida muuntaa tavallisiksi murtoluvuiksi (katso tavallisten murtolukujen muuntaminen desimaaleiksi ja päinvastoin), joten nämä luvut eivät ole rationaalilukuja, ne edustavat niin kutsuttuja irrationaalisia lukuja.

Joten tulimme irrationaalisten lukujen määritelmä.

Määritelmä.

Kutsutaan lukuja, jotka desimaalimuodossa edustavat äärettömiä ei-toistuvia desimaalimurtolukuja irrationaalisia lukuja.

Kuulunut määritelmä sallii tuoda esimerkkejä irrationaalisista luvuista. Esimerkiksi ääretön ei-jaksollinen desimaaliluku 4.10110011100011110000… (ykkösten ja nollien määrä kasvaa joka kerta yhdellä) on irrationaalinen luku. Otetaan toinen esimerkki irrationaalisesta luvusta: −22.353335333335 ... (kahdeksoita erottavien kolmioiden määrä kasvaa joka kerta kahdella).

On huomattava, että irrationaaliset luvut ovat melko harvinaisia ​​äärettömien ei-jaksollisten desimaalilukujen muodossa. Yleensä ne löytyvät muodossa jne. sekä erityisesti lisättyjen kirjainten muodossa. Tunnetuimmat esimerkit irrationaalisista luvuista tällaisessa merkinnässä ovat kahdesta aritmeettinen neliöjuuri, luku "pi" π=3,141592..., luku e=2,718281... ja kultainen luku.

Irrationaaliset luvut voidaan määritellä myös reaalilukuina, jotka yhdistävät rationaaliset ja irrationaaliset luvut.

Määritelmä.

Irrationaalisia lukuja- Tämä todellisia lukuja, jotka eivät ole rationaalisia.

Onko tämä luku irrationaalinen?

Kun lukua ei anneta desimaalilukuna, vaan tiettynä juurina, logaritmina jne., niin monissa tapauksissa on melko vaikea vastata kysymykseen, onko se irrationaalista.

Epäilemättä esitettyyn kysymykseen vastattaessa on erittäin hyödyllistä tietää, mitkä luvut eivät ole irrationaalisia. Irrationaalisten lukujen määritelmästä seuraa, että rationaaliluvut eivät ole irrationaalisia lukuja. Näin ollen irrationaaliset luvut EIVÄT ole:

• äärelliset ja äärettömät jaksolliset desimaalimurtoluvut.

Myöskään mikä tahansa aritmeettisten operaatioiden etumerkeillä (+, −, ·, :) yhdistettyjen rationaalilukujen koostumus ei ole irrationaalinen luku. Tämä johtuu siitä, että kahden rationaaliluvun summa, erotus, tulo ja osamäärä on rationaalinen luku. Esimerkiksi lausekkeiden ja arvot ovat rationaalilukuja. Tässä huomautetaan, että jos tällaisissa lausekkeissa rationaalilukujen joukossa on yksi irrationaaliluku, niin koko lausekkeen arvo on irrationaaliluku. Esimerkiksi lausekkeessa luku on irrationaalinen, ja loput luvut ovat rationaalisia, joten irrationaaliluku. Jos se olisi rationaaliluku, niin tästä seuraisi luvun rationaalisuus, mutta se ei ole rationaalista.

Jos lauseke, jolle annetaan luku, sisältää useita irrationaalisia lukuja, juurimerkkejä, logaritmeja, trigonometriset funktiot, luvut π, e jne., silloin on jokaisessa tapauksessa todistettava tietyn luvun irrationaalisuus tai rationaalisuus. On kuitenkin olemassa useita jo saatuja tuloksia, joita voidaan käyttää. Listataan tärkeimmät.

On todistettu, että kokonaisluvun k:s juuri on rationaaliluku vain, jos juuren alla oleva luku on toisen kokonaisluvun k:s potenssi, muissa tapauksissa tällainen juuri määrittelee irrationaalisen luvun. Esimerkiksi luvut ja ovat irrationaalisia, koska ei ole olemassa kokonaislukua, jonka neliö on 7, eikä ole olemassa kokonaislukua, jonka nosto viidenteen potenssiin antaa luvun 15. Ja numerot ja eivät ole irrationaalisia, koska ja .

Mitä tulee logaritmiin, joskus on mahdollista todistaa niiden irrationaalisuus ristiriitaisesti. Todistetaan esimerkiksi, että log 2 3 on irrationaalinen luku.

Oletetaan, että log 2 3 on rationaalinen luku, ei irrationaalinen, eli se voidaan esittää tavallisena murtolukuna m/n . ja anna meidän kirjoittaa seuraava yhtälöketju: . Viimeinen tasa-arvo on mahdoton, koska sen vasemmalla puolella pariton numero , ja jopa oikealla puolella. Niinpä tulimme ristiriitaan, mikä tarkoittaa, että olettamuksemme osoittautui vääräksi, ja tämä todistaa, että log 2 3 on irrationaalinen luku.

Huomaa, että lna mille tahansa positiiviselle ja ei-yksikkörationaaliselle a on irrationaalinen luku. Esimerkiksi ja ovat irrationaalisia lukuja.

On myös todistettu, että luku e a on irrationaalinen mille tahansa nollasta poikkeavalle rationaaliselle a:lle ja että luku π z on irrationaalinen mille tahansa nollasta poikkeavalle kokonaisluvulle z. Esimerkiksi luvut ovat irrationaalisia.

Irrationaaliset luvut ovat myös trigonometrisiä syntifunktiot, cos , tg ja ctg kaikille argumentin rationaalisille ja nollasta poikkeaville arvoille. Esimerkiksi sin1 , tg(−4) , cos5,7 , ovat irrationaalisia lukuja.

On muitakin todistettuja tuloksia, mutta rajoitamme itsemme jo lueteltuihin. On myös sanottava, että edellä mainittujen tulosten todistamisessa teoria liittyy algebralliset luvut Ja transsendenttiset numerot.

Lopuksi toteamme, että ei pidä tehdä hätäisiä johtopäätöksiä annettujen lukujen järjettömyydestä. Esimerkiksi näyttää ilmeiseltä, että irrationaaliluku on irrationaaliluku. Näin ei kuitenkaan aina ole. Esittelemme tutkinnon vahvistukseksi lausutusta tosiasiasta. Tiedetään, että - irrationaalinen luku, ja myös todistettu, että - irrationaalinen luku, mutta - rationaalinen luku. Voit myös antaa esimerkkejä irrationaalisista luvuista, joiden summa, erotus, tulo ja osamäärä ovat rationaalilukuja. Lisäksi lukujen π+e, π−e, πe, π π, π e ja monien muiden rationaalisuutta tai irrationaalisuutta ei ole vielä todistettu.

Bibliografia.

• Matematiikka. luokka 6: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [N. Ya. Vilenkin ja muut]. - 22. painos, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.