Mikä on irrationaalisten lukujen joukko. Irrationaaliset luvut, määritelmät, esimerkit. Irrationaaliluku on luku, jota ei voida kirjoittaa murtolukuna kokonaisluvun osoittajalla ja nimittäjällä.

Monet kaikista luonnolliset luvut merkitty kirjaimella N. Luonnolliset luvut ovat lukuja, joita käytämme objektien laskemiseen: 1,2,3,4, ... Joissakin lähteissä numeroa 0 kutsutaan myös luonnollisiksi lukuiksi.

Kaikkien kokonaislukujen joukko on merkitty kirjaimella Z. Kokonaisluvut ovat luonnollisia lukuja, nolla- ja negatiivisia lukuja:

1,-2,-3, -4, …

Lisätään nyt kaikkien kokonaislukujen joukkoon kaikkien tavallisten murtolukujen joukko: 2/3, 18/17, -4/5 ja niin edelleen. Sitten saamme kaikkien rationaalilukujen joukon.

Joukko rationaalisia lukuja

Kaikkien rationaalilukujen joukko on merkitty kirjaimella Q. Kaikkien rationaalilukujen joukko (Q) on joukko, joka koostuu muotoa m/n, -m/n ja luvusta 0. kuten n,m voi olla mikä tahansa luonnollinen luku. On huomattava, että kaikki rationaaliset luvut voidaan esittää äärellisenä tai äärettömänä PERIODISTINEN desimaaliluku. Päinvastoin on myös totta, että mikä tahansa äärellinen tai ääretön jaksollinen desimaaliluku voidaan kirjoittaa rationaaliluvuksi.

Mutta entä esimerkiksi numero 2.0100100010…? Se on äärettömän EI-PERIOODINEN desimaali. Eikä se päde rationaalisiin lukuihin.

SISÄÄN koulun kurssi Algebroita tutkitaan vain todellisia (tai reaalilukuja). Kaikkien reaalilukujen joukko on merkitty kirjaimella R. Joukko R koostuu kaikista rationaaliluvuista ja kaikista irrationaalisista luvuista.

Irrationaalisten lukujen käsite

Irrationaaliset luvut ovat kaikki äärettömiä ei-jaksollisia desimaalilukuja. Irrationaalisilla luvuilla ei ole erityistä merkintää.

Esimerkiksi kaikki luvut, jotka saadaan erottamalla luonnollisten lukujen neliöjuuri, jotka eivät ole luonnollisten lukujen neliöitä, ovat irrationaalisia. (√2, √3, √5, √6 jne.).

Mutta älä ajattele, että irrationaaliset luvut saadaan vain erottamalla neliöjuuret. Esimerkiksi luku "pi" on myös irrationaalinen, ja se saadaan jakamalla. Ja vaikka kuinka yrität, et voi saada sitä ottamalla neliöjuuren minkään luonnollisen luvun.

Ir rationaalinen luku voidaan esittää äärettömänä ei-jaksollisena murtolukuna. Irrationaalisten lukujen joukkoa merkitään $I$ ja se on yhtä suuri kuin: $I=R / Q$ .

Esimerkiksi. Irrationaaliset luvut ovat:

Irrationaalisten lukujen operaatiot

Irrationaalisten lukujen joukkoon voidaan ottaa käyttöön neljä aritmeettista perusoperaatiota: yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku; mutta yhdenkään luetelluista operaatioista irrationaalisten lukujen joukolla ei ole sulkemisominaisuutta. Esimerkiksi kahden irrationaalisen luvun summa voi olla rationaalinen luku.

Esimerkiksi. Etsi kahden irrationaalisen luvun $0,1010010001 \ldots$ ja $0,0101101110 \ldots$ summa. Ensimmäinen näistä luvuista muodostuu ykkösten sarjasta, jotka on erotettu vastaavasti yhdellä nollalla, kahdella nollalla, kolmella nollalla jne., toinen - nollasarjalla, jonka välillä on yksi, kaksi ykköstä, kolme ykköstä jne. sijoitetaan:

$0.1010010001 $$ \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$

Siten kahden annetun irrationaalisen luvun summa on luku $\frac(1)(9)$ , joka on rationaalinen.

Esimerkki

Harjoittele. Todista, että luku $\sqrt(3)$ on irrationaalinen.

Todiste. Käytämme ristiriitaa osoittavaa todistusmenetelmää. Oletetaan, että $\sqrt(3)$ on rationaalinen luku, eli se voidaan esittää murtolukuna $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , missä $m$ ja $n$ ovat luonnollisten lukujen koprime-lukuja.

Neliöimme tasa-arvon molemmat puolet, saamme

$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \nuoli vasen oikealle 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$

Luku 3$\cdot n^(2)$ on jaollinen kolmella. Siksi $m^(2)$ ja siten $m$ on jaollinen kolmella. Jos $m=3 \cdot k$, yhtälö $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ voidaan kirjoittaa muodossa

$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$

Viimeisestä yhtälöstä seuraa, että $n^(2)$ ja $n$ ovat jaollisia kolmella, joten murto-osaa $\frac(m)(n)$ voidaan pienentää kolmella. Mutta oletetaan, että murto-osa $\ frac(m)(n)$ on redusoitumaton. Tuloksena oleva ristiriita osoittaa, että lukua $\sqrt(3)$ ei voida esittää murto-osana $\frac(m)(n)$ ja on siksi irrationaalinen.

Q.E.D.

Tämän artikkelin materiaali on alustavaa tietoa irrationaalisia lukuja. Ensin annamme irrationaalisten lukujen määritelmän ja selitämme sen. Tässä on esimerkkejä irrationaalisista luvuista. Lopuksi tarkastellaan joitakin tapoja selvittää, onko tietty luku irrationaalinen vai ei.

Sivulla navigointi.

Irrationaalisten lukujen määritelmä ja esimerkkejä

Desimaalimurtolukujen tutkimuksessa tarkastelimme erikseen ääretöntä ei-jaksollista desimaalit. Tällaisia ​​murtolukuja syntyy desimaalimittauksessa segmenttien pituuksista, jotka eivät ole suhteellisia yksittäinen segmentti. Huomasimme myös, että äärettömiä ei-jaksollisia desimaalilukuja ei voida muuntaa tavallisiksi murtoluvuiksi (katso tavallisten murtolukujen muuntaminen desimaaleiksi ja päinvastoin), joten nämä luvut eivät ole rationaalilukuja, ne edustavat niin kutsuttuja irrationaalisia lukuja.

Joten tulimme irrationaalisten lukujen määritelmä.

Määritelmä.

Kutsutaan lukuja, jotka desimaalimuodossa edustavat äärettömiä ei-toistuvia desimaalimurtolukuja irrationaalisia lukuja.

Kuulunut määritelmä sallii tuoda esimerkkejä irrationaalisista luvuista. Esimerkiksi ääretön ei-jaksollinen desimaaliluku 4.10110011100011110000… (ykkösten ja nollien määrä kasvaa joka kerta yhdellä) on irrationaalinen luku. Otetaan toinen esimerkki irrationaalisesta luvusta: -22.353335333335 ... (kahdeksoita erottavien kolminoiden määrä kasvaa joka kerta kahdella).

On huomattava, että irrationaaliset luvut ovat melko harvinaisia ​​äärettömien ei-jaksollisten desimaalilukujen muodossa. Yleensä ne löytyvät muodossa jne. sekä erityisesti lisättyjen kirjainten muodossa. Tunnetuimmat esimerkit irrationaalisista luvuista tällaisessa merkinnässä ovat kahdesta aritmeettinen neliöjuuri, luku "pi" π=3,141592..., luku e=2,718281... ja kultainen luku.

Irrationaaliset luvut voidaan määritellä myös reaalilukuina, jotka yhdistävät rationaaliset ja irrationaaliset luvut.

Määritelmä.

Irrationaalisia lukuja- Tämä todellisia lukuja, jotka eivät ole rationaalisia.

Onko tämä luku irrationaalinen?

Kun lukua ei anneta desimaalilukuna, vaan tiettynä juurina, logaritmina jne., niin monissa tapauksissa on melko vaikea vastata kysymykseen, onko se irrationaalista.

Epäilemättä esitettyyn kysymykseen vastattaessa on erittäin hyödyllistä tietää, mitkä luvut eivät ole irrationaalisia. Irrationaalisten lukujen määritelmästä seuraa, että rationaaliluvut eivät ole irrationaalisia lukuja. Näin ollen irrationaaliset luvut EIVÄT ole:

• äärelliset ja äärettömät jaksolliset desimaalimurtoluvut.

Myöskään mikä tahansa aritmeettisten operaatioiden etumerkeillä (+, −, ·, :) yhdistettyjen rationaalilukujen koostumus ei ole irrationaalinen luku. Tämä johtuu siitä, että kahden rationaaliluvun summa, erotus, tulo ja osamäärä on rationaalinen luku. Esimerkiksi lausekkeiden ja arvot ovat rationaalilukuja. Tässä huomautetaan, että jos tällaisissa lausekkeissa rationaalilukujen joukossa on yksi irrationaaliluku, niin koko lausekkeen arvo on irrationaaliluku. Esimerkiksi lausekkeessa luku on irrationaalinen, ja loput luvut ovat rationaalisia, joten irrationaaliluku. Jos se olisi rationaaliluku, niin tästä seuraisi luvun rationaalisuus, mutta se ei ole rationaalista.

Jos lauseke, jolle annetaan luku, sisältää useita irrationaalisia lukuja, juurimerkkejä, logaritmeja, trigonometriset funktiot, luvut π, e jne., silloin on jokaisessa tapauksessa todistettava tietyn luvun irrationaalisuus tai rationaalisuus. On kuitenkin olemassa useita jo saatuja tuloksia, joita voidaan käyttää. Listataan tärkeimmät.

On todistettu, että kokonaisluvun k:s juuri on rationaaliluku vain, jos juuren alla oleva luku on toisen kokonaisluvun k:s potenssi, muissa tapauksissa tällainen juuri määrittelee irrationaalisen luvun. Esimerkiksi luvut ja ovat irrationaalisia, koska ei ole olemassa kokonaislukua, jonka neliö on 7, eikä ole olemassa kokonaislukua, jonka nosto viidenteen potenssiin antaa luvun 15. Ja numerot ja eivät ole irrationaalisia, koska ja .

Mitä tulee logaritmiin, joskus on mahdollista todistaa niiden irrationaalisuus ristiriitaisesti. Todistetaan esimerkiksi, että log 2 3 on irrationaalinen luku.

Oletetaan, että log 2 3 on rationaalinen luku, ei irrationaalinen, eli se voidaan esittää tavallisena murtolukuna m/n . ja anna meidän kirjoittaa seuraava yhtälöketju: . Viimeinen tasa-arvo on mahdoton, koska sen vasemmalla puolella pariton numero , ja jopa oikealla puolella. Niinpä tulimme ristiriitaan, mikä tarkoittaa, että olettamuksemme osoittautui vääräksi, ja tämä todistaa, että log 2 3 on irrationaalinen luku.

Huomaa, että lna mille tahansa positiiviselle ja ei-yksikkörationaaliselle a on irrationaalinen luku. Esimerkiksi ja ovat irrationaalisia lukuja.

On myös todistettu, että luku e a on irrationaalinen mille tahansa nollasta poikkeavalle rationaaliselle a:lle ja että luku π z on irrationaalinen mille tahansa nollasta poikkeavalle kokonaisluvulle z. Esimerkiksi luvut ovat irrationaalisia.

Irrationaaliset luvut ovat myös trigonometrisiä syntifunktiot, cos , tg ja ctg kaikille argumentin rationaalisille ja nollasta poikkeaville arvoille. Esimerkiksi sin1 , tg(−4) , cos5,7 , ovat irrationaalisia lukuja.

On muitakin todistettuja tuloksia, mutta rajoitamme itsemme jo lueteltuihin. On myös sanottava, että edellä mainittujen tulosten todistamisessa teoria liittyy algebralliset luvut Ja transsendenttiset numerot.

Lopuksi toteamme, että ei pidä tehdä hätäisiä johtopäätöksiä annettujen lukujen järjettömyydestä. Esimerkiksi näyttää ilmeiseltä, että irrationaaliluku on irrationaaliluku. Näin ei kuitenkaan aina ole. Esittelemme tutkinnon vahvistukseksi lausutusta tosiasiasta. Tiedetään, että - irrationaalinen luku, ja myös todistettu, että - irrationaalinen luku, mutta - rationaalinen luku. Voit myös antaa esimerkkejä irrationaalisista luvuista, joiden summa, erotus, tulo ja osamäärä ovat rationaalilukuja. Lisäksi lukujen π+e, π−e, πe, π π, π e ja monien muiden rationaalisuutta tai irrationaalisuutta ei ole vielä todistettu.

Bibliografia.

• Matematiikka. luokka 6: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [N. Ya. Vilenkin ja muut]. - 22. painos, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.

Olemme jo osoittaneet aiemmin, että $1\frac25$ on lähellä $\sqrt2$. Jos se olisi täsmälleen yhtä suuri kuin $\sqrt2$, . Silloin suhde - $\frac(1\frac25)(1)$, joka voidaan muuttaa kokonaislukujen suhteeksi $\frac75$ kertomalla murtoluvun ylä- ja alaosa viidellä, olisi haluttu arvo.

Mutta valitettavasti $1\frac25$ ei ole $\sqrt2$:n tarkka arvo. Tarkemman vastauksen $1\frac(41)(100)$ antaa relaatio $\frac(141)(100)$. Saavutamme vielä suuremman tarkkuuden, kun rinnastamme $\sqrt2$ arvoon $1\frac(207)(500)$. Tässä tapauksessa kokonaislukujen suhde on $\frac(707)(500)$. Mutta $1\frac(207)(500)$ ei myöskään ole tarkka neliöjuuren arvo 2. Kreikkalaiset matemaatikot käyttivät paljon aikaa ja vaivaa laskeakseen $\sqrt2$:n tarkan arvon, mutta he eivät koskaan onnistuneet. He eivät pystyneet esittämään suhdetta $\frac(\sqrt2)(1)$ kokonaislukujen suhteena.

Lopuksi suuri kreikkalainen matemaatikko Euclid osoitti, että riippumatta siitä, kuinka laskelmien tarkkuus kasvaa, on mahdotonta saada tarkkaa arvoa $\sqrt2$. Ei ole murto-osaa, joka neliötettynä johtaisi 2:een. Pythagoraan sanotaan olevan ensimmäinen, joka päätyi tähän johtopäätökseen, mutta tämä selittämätön tosiasia teki tutkijaan niin suuren vaikutuksen, että hän vannoi itsensä ja vannoi oppilailtansa pitävän. tämä löytö on salaisuus. Tämä tieto ei kuitenkaan välttämättä pidä paikkaansa.

Mutta jos lukua $\frac(\sqrt2)(1)$ ei voida esittää kokonaislukujen suhteena, ei lukua, joka sisältää $\sqrt2$, esimerkiksi $\frac(\sqrt2)(2)$ tai $\frac (4)(\sqrt2)$ ei myöskään voida esittää kokonaislukujen suhteena, koska kaikki tällaiset murtoluvut voidaan muuntaa $\frac(\sqrt2)(1)$ kerrottuna jollakin luvulla. Joten $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Tai $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, joka voidaan muuntaa kertomalla ylä- ja alaosa $\sqrt2$:lla, jolloin saadaan $\frac(4) (\sqrt2)$. (Emme saa unohtaa, että riippumatta siitä, mikä luku $\sqrt2$ on, jos kerromme sen $\sqrt2$:lla, saamme 2.)

Koska lukua $\sqrt2$ ei voida esittää kokonaislukujen suhteena, sitä kutsutaan irrationaalinen luku. Toisaalta kutsutaan kaikkia lukuja, jotka voidaan esittää kokonaislukujen suhteena järkevää.

Rational ovat kaikki kokonaislukuja ja murtolukuja, sekä positiivisia että negatiivisia.

Kuten käy ilmi, useimmat neliöjuuret ovat irrationaalisia lukuja. Rationaaliset neliöjuuret koskevat vain sarjaan sisältyviä lukuja neliönumerot. Näitä lukuja kutsutaan myös täydellisiksi neliöiksi. Rationaaliset luvut ovat myös murto-osia, jotka koostuvat näistä täydellisistä neliöistä. Esimerkiksi $\sqrt(1\frac79)$ on rationaalinen luku, koska $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ tai $1\frac13$ (4 on juuri neliö 16, ja 3 on 9:n neliöjuuri).

Kaikki rationaaliluvut voidaan esittää yhteisenä murtolukuna. Tämä koskee kokonaislukuja (esimerkiksi 12, -6, 0) ja viimeisiä desimaalimurtolukuja (esimerkiksi 0,5; -3,8921) ja äärettömiä jaksollisia desimaalilukuja (esimerkiksi 0,11(23); -3 ,(87) )).

kuitenkin ääretön kertaluonteinen desimaaliluku ei voida esittää tavallisina murtolukuina. Sitä he ovat irrationaalisia lukuja(eli järjetöntä). Esimerkki tällaisesta luvusta on π, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin 3,14. Sitä, mitä se tarkalleen on, ei kuitenkaan voida määrittää, koska luvun 4 jälkeen on loputon sarja muita lukuja, joissa toistuvia jaksoja ei voida erottaa. Samalla, vaikka lukua π ei voida ilmaista tarkasti, sillä on oma spesifinen geometrinen merkitys. Luku π on minkä tahansa ympyrän pituuden suhde sen halkaisijan pituuteen. Näin ollen luonnossa on irrationaalisia lukuja, kuten myös rationaalilukuja.

Toinen esimerkki irrationaalisista luvuista on neliöjuuret positiivisia lukuja. Juurien erottaminen joistakin luvuista antaa rationaalisia arvoja, toisista - irrationaalisia. Esimerkiksi √4 = 2, eli 4:n juuri on rationaalinen luku. Mutta √2, √5, √7 ja monet muut johtavat irrationaalisiin lukuihin, eli ne voidaan erottaa vain likimääräisesti, pyöristettynä tiettyyn desimaaliin. Tässä tapauksessa murto-osa saadaan ei-jaksollisena. Eli on mahdotonta sanoa tarkasti ja varmasti, mikä näiden numeroiden juuri on.

Joten √5 on luku välillä 2 ja 3, koska √4 = 2 ja √9 = 3. Voimme myös päätellä, että √5 on lähempänä lukua 2 kuin 3, koska √4 on lähempänä √5 kuin √9 √5. Todellakin, √5 ≈ 2,23 tai √5 ≈ 2,24.

Irrationaaliset luvut saadaan myös muissa laskelmissa (eikä vain juuria poimittaessa), ne ovat negatiivisia.

Irrationaalisten lukujen suhteen voidaan sanoa, että riippumatta siitä, minkä yksikkösegmentin otamme mittaamaan sellaisen luvun ilmaiseman pituuden, emme voi varmasti mitata sitä.

Aritmeettisissa operaatioissa irrationaaliset luvut voivat osallistua rationaalisten lukujen rinnalle. Samaan aikaan on useita säännönmukaisuuksia. Jos esimerkiksi aritmeettisessa operaatiossa on mukana vain rationaalilukuja, niin tuloksena on aina rationaalinen luku. Jos operaatioon osallistuu vain irrationaalisia, on mahdotonta sanoa yksiselitteisesti, tuleeko rationaalinen vai irrationaalinen luku.

Jos esimerkiksi kerrot kaksi irrationaalista lukua √2 * √2, saat 2 - tämä on rationaalinen luku. Toisaalta √2 * √3 = √6 on irrationaalinen luku.

Jos aritmeettinen operaatio sisältää rationaalisen ja irrationaalisen luvun, saadaan irrationaalinen tulos. Esimerkiksi 1 + 3,14... = 4,14... ; √17-4.

Miksi √17 - 4 on irrationaalinen luku? Kuvittele, että saat rationaaliluvun x. Silloin √17 = x + 4. Mutta x + 4 on rationaalinen luku, koska oletimme, että x on rationaalinen. Luku 4 on myös rationaalinen, joten x + 4 on rationaalinen. Rationaalinen luku ei kuitenkaan voi olla yhtä suuri kuin irrationaalinen √17. Siksi oletus, että √17 - 4 antaa rationaalisen tuloksen, on virheellinen. Aritmeettisen operaation tulos on irrationaalinen.

Tästä säännöstä on kuitenkin poikkeus. Jos kerromme irrationaalisen luvun nollalla, saamme rationaaliluvun 0.