Ote, joka kuvaa Transsendenttinumeroa

transsendenttinen luku on kompleksiluku, joka ei ole algebrallinen, eli se ei ole minkään nollasta poikkeavan polynomin juuri, jolla on rationaaliset kertoimet.

J. Liouville totesi ensimmäisen kerran transsendenttisten numeroiden olemassaolon vuonna 1844; hän rakensi myös ensimmäiset esimerkit tällaisista numeroista. Liouville huomautti, että alebrallisia lukuja ei voida approksimoida "liian hyvin" rationaalisilla luvuilla. Nimittäin Liouvillen lause sanoo, että jos algebrallinen luku on astepolynomin juuri, jolla on rationaaliset kertoimet, niin mille tahansa rationaaliluvulle epäyhtälö

jossa vakio riippuu vain . Tästä lausunnosta se seuraa riittävä merkki transsendenssi: jos luku on sellainen, että mille tahansa vakiolle on ääretön joukko rationaalilukuja, jotka täyttävät epäyhtälöt

se on transsendenttia. Myöhemmin tällaisia ​​numeroita kutsuttiin Liouville-numeroiksi. Esimerkki tällaisesta numerosta on

Toisen todisteen transsendenttisten lukujen olemassaolosta sai G. Kantor vuonna 1874 luomansa joukkoteorian perusteella. Kantor todisti algebrallisten lukujen joukon laskettavuuden ja reaalilukujen joukon laskemattomuuden, mistä seuraa, että transsendenttisten lukujen joukko on laskematon. Toisin kuin Liouvillen todistus, nämä argumentit eivät kuitenkaan salli meidän antaa esimerkkiä ainakin yhdestä sellaisesta numerosta.

Liouvillen työ synnytti kokonaisen osan transsendenttisten lukujen teoriasta - teorian algebrallisten lukujen lähentämisestä rationaalisilla tai yleisemmin algebrallisilla numeroilla. Liouvillen lausetta on vahvistettu ja yleistetty monien matemaatikoiden teoksissa. Tämä teki mahdolliseksi rakentaa uusia esimerkkejä transsendentaalisista luvuista. Joten K. Mahler osoitti, että jos on ei-vakiopolynomi, joka ottaa ei-negatiivisia kokonaislukuja kaikille luonnollisille luvuille, niin mikä tahansa luonnollinen luku, jossa on luvun tietue lukujärjestelmässä, jossa on kanta, on transsendentaalinen , mutta se ei ole Liouvillen numero. Esimerkiksi for ja saamme seuraavan tyylikkään tuloksen: numero

transsendentti, mutta se ei ole Liouvillen numero.

Vuonna 1873 Sh. Hermite osoitti muita ideoita käyttäen Napier-luvun (luonnollisen logaritmin kanta) ylittävyyden:

Hermiten ideat kehittänyt F. Lindemann vuonna 1882 osoitti luvun ylittävyyden ja päätti näin muinaisen ympyrän neliöintiongelman: kompassin ja viivaimen avulla on mahdotonta rakentaa neliötä, joka on yhtä suuri koon (eli jolla on sama pinta-ala) tiettyyn ympyrään. Yleisemmin Lindemann osoitti, että mikä tahansa algebrallinen luku on transsendentaalinen. Vastaava formulaatio: mille tahansa muulle algebralliselle luvulle kuin ja, sen luonnollinen logaritmi on transsendentaalinen luku.

Vuonna 1900 Pariisissa pidetyssä matemaatikoiden kongressissa D. Hilbert toi esiin 23 ratkaisemattoman matematiikan ongelman joukossa seuraavan L. Eulerin yksityisessä muodossa:

Antaa Ja ovat algebrallisia lukuja ja transsendentti? Erityisesti, ovatko luvut transsendenttisia? Ja?

Tämä ongelma voidaan muotoilla uudelleen seuraavassa muodossa, lähellä Eulerin alkuperäistä muotoilua:

Antaa Ja ovat algebrallisia lukuja kuin ja lisäksi niiden luonnollisten logaritmien suhde irrationaalinen. Will numero transsendentti?

Ensimmäisen osittaisen ratkaisun ongelmaan sai vuonna 1929 A. O. Gel'fond, joka osoitti erityisesti luvun ylittävyyden. Vuonna 1930 R. O. Kuzmin paransi Gelfondin menetelmää, erityisesti hän onnistui todistamaan luvun ylittävyyden. A. O. Gel'fond ja T. Schneider saivat vuonna 1934 itsenäisesti täydellisen ratkaisun Euler-Hilbertin ongelmaan (myönteisessä mielessä).

A. Baker vuonna 1966 yleisti Lindemannin ja Gelfond-Schneiderin lauseita, jotka osoittavat erityisesti muodon mielivaltaisen äärellisen määrän ja algebrallisten lukujen tulon ylityksen luonnollisin rajoituksin.

Vuonna 1996 Yu.V. Nesterenko osoitti Eisenstein-sarjan arvojen ja erityisesti lukujen u algebrallisen riippumattomuuden. Tämä tarkoittaa minkä tahansa sellaisen luvun ylittämistä, jossa nollasta poikkeava on rationaalinen funktio algebrallisilla kertoimilla. Esimerkiksi sarjan summa on transsendenttinen

Vuosina 1929-1930. K. Mahler ehdotti useissa töissä uutta menetelmää analyyttisten funktioiden arvojen ylittävyyden osoittamiseksi, jotka täyttävät tietyn tyyppiset funktionaaliset yhtälöt (myöhemmin sellaisia ​​​​funktioita kutsuttiin Mahler-funktioiksi).

Transsendenttisten lukujen teorian menetelmät ovat löytäneet käyttöä myös muilla matematiikan aloilla, erityisesti diofantiiniyhtälöiden teoriassa.

Tässä osiossa jätämme jälleen kauniin ja viihtyisän kokonaislukumaailman, jonka ympäri kiersimme (melkein sanoin - vaelsimme) vertailuteoriaa tutkiessamme. Jos jäljitetään ihmiskunnan lukutietämyksen synty- ja kehityshistoriaa, niin paljastuu melko paradoksaalinen tosiasia - lähes koko vuosisatoja vanhan historiansa ajan ihmiskunta on käytännössä käyttänyt ja tutkinut tarkoin poikkeuksellisen pientä osaa koko luvusta. joukko luonnossa eläviä numeroita. Pitkään aikaan ihmiset eivät olleet täysin tietoisia siitä, että, kuten myöhemmin kävi ilmi, suurin osa todellisista numeroista, joilla on hämmästyttäviä ja salaperäisiä ominaisuuksia ja joita nykyään kutsutaan transsendentaaliseksi. Arvioi itse (luettelon likimääräiset vaiheet reaaliluvun käsitteen kehittämisessä):

1) Tuleva vuosituhansien syvyyksistä, nerokas matemaattinen abstraktio luonnollisesta luvusta

Tämän abstraktion nerokkuus on silmiinpistävää, ja sen merkitys ihmiskunnan kehitykselle ylittää ehkä jopa pyörän keksimisen. Olemme niin tottuneet siihen, että olemme lakanneet ihailemasta tätä ihmismielen merkittävintä saavutusta. Yritä kuitenkin varmuuden vuoksi kuvitella itseäsi ei matematiikan opiskelijaksi, vaan primitiiviseksi ihmiseksi tai vaikkapa filologian opiskelijaksi ja muotoilla täsmälleen, mikä on yhteistä kolmen kotan, kolmen härän, kolmen banaanin ja kolmen ultraäänitomografin välillä ( mikä on yhteistä kolmen juomakaverin välillä, joita emme ota tässä huomioon). Selittää ei-matemaatikolle, mikä luonnollinen luku "kolme" on, on lähes toivotonta yritystä, mutta jo viisivuotias ihmispentu tuntee sisäisesti tämän abstraktion ja pystyy kohtuullisesti operoimaan sen kanssa pyytäen äidiltään kolmea. makeisia kahden sijasta.

2) Murtoluvut, ts. positiivisia rationaalilukuja

Murto-osat syntyivät luonnollisesti, kun ratkaistaan ​​omaisuuden jakamiseen, maan mittaamiseen, ajan laskemiseen liittyviä ongelmia jne. SISÄÄN muinainen Kreikka rationaaliset luvut olivat yleensä ympäröivän maailman harmonian symboli ja ilmentymä jumalallinen alku, ja kaikkia segmenttejä pidettiin tiettyyn aikaan asti oikeasuhteisina, ts. niiden pituuksien suhde oli ilmaistava rationaalisella numerolla, muuten - putki (ja jumalat eivät voi sallia tätä).

3) Negatiiviset luvut ja nolla (joidenkin tieteellisten lähteiden mukaan

Negatiiviset luvut tulkittiin alun perin velkaksi rahoitus- ja vaihtokaupoissa, mutta sitten kävi ilmi, että ilman negatiivisia lukuja ja muilla ihmisen toiminnan aloilla et pääse minnekään (joka ei usko, katsokoon lämpömittaria ikkunan ulkopuolella talvella). Numero nolla ei mielestäni alun perin toiminut pikemminkin tyhjän tilan ja määrän puuttumisen symbolina, vaan tasa-arvon ja ratkaisuprosessin täydellisyyden symbolina (kuinka paljon olin velkaa naapurilleni, annoin hänelle niin paljon, ja nyt - nolla, eli anteeksi).

4) Irrationaaliset algebralliset luvut

Pythagoralaisessa koulukunnassa löydettiin irrationaalisia lukuja, kun yritettiin mitata neliön diagonaalia sen kyljellä, mutta he pitivät tämän löydön kauheassa salassa - riippumatta siitä, kuinka ongelmia tuli esiin! Vain henkisesti vakaammat ja kokeneimmat opiskelijat vihittiin tähän löytöyn, ja se tulkittiin inhottavaksi ilmiöksi, joka rikkoo maailman harmoniaa. Mutta tarve ja sota saivat ihmiskunnan oppimaan päättämään algebralliset yhtälöt ei vain ensimmäisen asteen kokonaislukukertoimilla. Galileon jälkeen kuoret alkoivat lentää paraabeleja pitkin, Keplerin jälkeen planeetat lensivät ellipsejä pitkin, mekaniikasta ja ballistiikasta tuli eksakteja tieteitä, ja kaikkialla oli tarpeen ratkaista ja ratkaista yhtälöitä, joiden juuret olivat irrationaalisia lukuja. Siksi algebrallisten yhtälöiden irrationaalisten juurien olemassaolo oli sovitettava yhteen, olivatpa ne kuinka vastenmielisiä tahansa. Lisäksi menetelmät kuutioyhtälöiden ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi, jotka italialaiset matemaatikot Scipio del Ferro löysivät 1500-luvulla, Niccolò Tartaglia (Tartaglia on lempinimi, joka tarkoittaa käännöksessä - änkyttäjä, en tiedä hänen oikeaa nimeään) , Ludovic Ferrari ja Rafael Bombelli johtivat erittäin "yliluonnollisten" kompleksilukujen keksimiseen, jotka oli määrä saada täysi tunnustus vasta 1800-luvulla. Algebrallinen irrationaalisuus on vakiintunut ihmisen käytäntöön 1500-luvulta lähtien.

Tässä lukukäsitteen kehityshistoriassa ei ollut sijaa transsendentaalisille luvuille, ts. luvut, jotka eivät ole minkään algebrallisen yhtälön juuria rationaalisella tai vastaavalla (vähennyksen jälkeen yhteinen nimittäjä), kokonaislukukertoimet. Totta, jopa muinaiset kreikkalaiset tiesivät huomattavan luvun p, joka, kuten myöhemmin kävi ilmi, on transsendenttinen, mutta he tiesivät sen vain ympyrän kehän suhteena sen halkaisijaan. Kysymys tämän luvun todellisesta luonteesta ei yleensä kiinnostanut ketään, ennen kuin ihmiset olivat tarpeeksi ja onnistuneet ratkaisemaan antiikin kreikkalaisen ympyrän neliöintiongelman, ja itse numero p ryömi jotenkin mystisesti esiin matematiikan ja luonnontieteen eri osissa.

Vasta vuonna 1844 Liouville rakensi historiallisesti ensimmäisen esimerkin transsendenttisesta luvusta, ja matemaattinen maailma yllättyi tällaisten lukujen olemassaolosta. Loistava Georg Cantor tajusi vasta 1800-luvulla joukon kardinaalisuuden käsitettä käyttäen, että lukurivillä on ylivoimainen enemmistö transsendenttisia lukuja. Vasta tämän pienen kirjan viidennessä kappaleessa käännämme vihdoin huomiomme transsendenttisiin lukuihin.

Kohta 24. Mitta ja kategoria suoralla viivalla.

Tässä kappaleessa annan joitakin alustavia tietoja matemaattisesta analyysistä, jotka ovat tarpeen jatkoesityksen ymmärtämiseksi. Matematiikassa on keksitty useita erilaisia ​​formalisaatioita joukon "pienyyden" käsitteelle. Tarvitsemme niitä kaksi - mittasarjat nolla ja ensimmäisen luokan sarjat Baerin mukaan. Molemmat käsitteet perustuvat joukon laskettavuuden käsitteeseen. Tiedetään, että rationaalilukujen joukko on laskettavissa (| K|= A 0), ja että mikä tahansa ääretön joukko sisältää laskettavan osajoukon, ts. laskettavat joukot ovat äärettömän "pienimpiä". Minkä tahansa laskettavan joukon ja luonnollisten lukujen joukon välillä N on olemassa bijektiivinen kartoitus, ts. minkä tahansa laskettavan joukon alkiot voidaan numeroida uudelleen, tai toisin sanoen mikä tahansa laskettava joukko voidaan järjestää sarjaan. Mikään väli rivillä ei ole laskettava joukko. Tämä seuraa selvästi seuraavasta lauseesta.

Lause 1 (Cantor). mille tahansa sarjalle ( a n) reaalilukuja ja mille tahansa välille minä on pointtia R NOIN minä sellasta s № a n kenelle tahansa n NOIN N .

Todiste. Käsitellä asiaa. Otamme segmentin (eli segmentin päiden kanssa) minä 1 milj minä sellasta a 1 P minä 1 . Segmentistä minä 1 ota segmentti minä 2 M minä 1 sellainen a 2 P minä 2 jne. Jatka prosessia segmentistä Kohdassa 1 ota segmentti minä n M minä n-1 sellainen a n P minä n. Tämän prosessin tuloksena saamme sisäkkäisten segmenttien sarjan minä 1 minä 2 Y… Y minä n th ... risteys
jotka, kuten ensimmäisestä kurssista tiedetään, ovat ei-tyhjiä, ts. sisältää jonkin kohdan
. Se on selvää p nro a n kaikille n O N .

En usko, että lukijat eivät ole aiemmin kohdanneet tätä eleganttia todistusta (vaikka käytännössäni oli myös hyvin epäselviä opiskelijoita), vain tämän todistuksen ideaa käytetään myöhemmin Baerin lauseen todistuksessa ja siksi on hyödyllistä muistaa se etukäteen.

Määritelmä. Joukko A tiukka välissä minä, jos sillä on ei-tyhjä leikkauspiste kunkin osavälin kanssa alkaen minä. Joukko A tiukka, jos se on tiukka R. Joukko A ei ole missään tiheä, jos se on tiheä missään välissä reaaliviivalla, ts. jokainen rivin väli sisältää alivälin, joka on kokonaan komplementissa A .

On helppo ymmärtää, että monet A ei ole missään tiheä jos ja vain jos sen täydennys A sisältää tiheän avoimen joukon. On helppo ymmärtää, että monet A ei ole missään tiheä jos ja vain jos sen sulkeminen
ei sisällä sisäpintoja.

Missään viivalla olevat tiheät joukot eivät tunnu intuitiivisesti pieniltä siinä mielessä, että ne ovat täynnä reikiä ja tällaisen joukon pisteet sijaitsevat melko harvoin viivalla. Muotoilemme joitain nowhere-tiheiden joukkojen ominaisuuksia massana lauseen muodossa.

Lause 2. 1) Mikä tahansa ei missään tiheän joukon osajoukko ei ole missään tiheä.

2) Kahden (tai minkä tahansa äärellisen luvun) ei missään tiheän joukon liitto ei ole missään tiheä.

3) Ei missään tiheän joukon sulkeminen ei ole missään tiheää.

Todiste. 1) Ilmeisesti.

2) Jos A 1 ja A 2 eivät ole missään tiheitä, sitten kullekin välille minä intervalleja on minä 1 milj ( minä \ A 1) ja minä 2 M ( minä 1 \ A 2). tarkoittaa, minä 2 M minä \(A 1 ja A 2), mikä tarkoittaa sitä A 1 ja A 2 ei ole missään tiukka.

3) Ilmeisesti mikä tahansa avoin aikaväli, joka sisältyy A, sisältyy myös
.

Siten nowhere-tiheiden joukkojen luokka on suljettu osajoukkojen ottamisen, sulkemisoperaation ja äärellisten liittojen operaatiossa. Ei missään tiheiden joukkojen laskettavan liiton ei yleensä tarvitse olla nowhere tiheä joukko. Esimerkki tästä on rationaalisten lukujen joukko, joka on kaikkialla tiheä, mutta on erillisten pisteiden laskettava liitto, joista jokainen muodostaa yhden alkion, joka ei ole missään tiheä. R .

Määritelmä. Joukkoa, joka voidaan esittää äärellisenä tai laskettavana ei missään tiheiden joukkojen liittona, kutsutaan ensimmäisen luokan joukoksi (Baerin mukaan). Joukkoa, jota ei voida esittää tässä muodossa, kutsutaan toisen luokan joukoksi.

Lause 3. 1) Minkä tahansa rivin ensimmäisen luokan joukon komplementti on tiheä.

2) Ei väliä R ei ole ensimmäisen luokan sarja.

3) Minkä tahansa tiheiden avointen joukkojen sekvenssien leikkauspiste on tiheä joukko.

Todiste. Lauseen sisältämät kolme ominaisuutta ovat olennaisesti ekvivalentteja. Todistetaan ensimmäinen. Antaa

– aseta esitys A ensimmäinen luokka ei missään tiheiden joukkojen laskettavana liittona, minä- mielivaltainen intervalli. Lisäksi - prosessi kuten Cantorin lauseen todistuksessa. Valitaan segmentti (eli segmentti yhdessä päiden kanssa) minä 1 milj ( minä \ A 1). Tämä on mahdollista, koska lisäksi ei missään tiheä asetettu A 1 sisäinen väli minä aina on kokonainen osaväli, ja se puolestaan ​​sisältää kokonaisen segmentin itsessään. Valitsemme segmentin minä 2 M ( minä 1 \ A 2). Valitsemme segmentin minä 3M ( minä 2 \ A 3) jne. Sisäkkäisten segmenttien leikkauspiste
ei ole tyhjä, joten täydennys minä \ A ei ole tyhjä, mikä tarkoittaa, että komplementti A tiukasti.

Lauseen toinen väite seuraa suoraan ensimmäisestä, kolmas väite myös ensimmäisestä, jos vain ponnistelee itsensä kanssa ja siirtyy tiheiden avointen joukkojen sekvenssin komplementeihin.

Määritelmä. Joukkoluokkaa, joka sisältää kaikki mahdolliset sen jäsenten äärelliset tai laskettavat liitot ja minkä tahansa sen jäsenten osajoukot, kutsutaan s-ideaaliksi.

Ilmeisesti kaikkien korkeintaan laskettavien joukkojen luokka on s-ideaali. Pienen pohdinnan jälkeen on helppo huomata, että linjan ensimmäisen luokan kaikkien sarjojen luokka on myös s-ideaali. Toinen mielenkiintoinen esimerkki s-ideaalista on niin kutsuttujen nollajoukkojen (tai mitan nollajoukkojen) luokka.

Määritelmä. Joukko A M R kutsutaan nollamittajoukoksi (nollajoukko), jos A voidaan kattaa korkeintaan laskettavalla intervalleilla, joiden kokonaispituus on pienempi kuin mikä tahansa määrätty luku e >0, ts. mille tahansa e >0:lle on olemassa sellainen intervallijono Sisään, Mitä
ja e S I n S< e .

Nollajoukon käsite on toinen formalisaatio joukon intuitiiviselle "pienyyden" käsitteelle: nollajoukot ovat pituudeltaan pieniä joukkoja. On selvää, että yksittäinen piste on nollajoukko ja että mikä tahansa nollajoukon osajoukko on itse nollajoukko. Siksi se tosiasia, että nollajoukot muodostavat s-ideaalin, seuraa seuraavasta lauseesta.

Lause 4 (Lebesgue). Mikä tahansa laskettava nollajoukkojen liitto on nollajoukko.

Todiste. Antaa A i- nollasarjat, i= 1, 2, ... . Sitten jokaiselle i on sarja intervalleja minä ij( j=1, 2, ...) siten, että
Ja
. Kaikkien intervallien joukko minä ij kattaa A ja niiden pituuksien summa on pienempi kuin e, koska
. tarkoittaa, A- nolla-setti.

Mikään intervalli tai segmentti ei ole nollajoukko, koska reilua

Lause 5 (Heine-Borel). Jos äärellinen tai ääretön intervallijono Sisään kattaa intervallin minä, Tuo

S S Sisään Ѕ і Ѕ minä Ѕ .

En anna tässä todisteita tälle intuitiivisesti ilmeiselle lauseelle, koska se löytyy mistä tahansa enemmän tai vähemmän vakavasta matemaattisen analyysin kurssista.

Heine-Borel-lauseesta seuraa, että nollajoukkojen s-ideaali, kuten enintään laskettavien joukkojen ja ensimmäisen luokan joukkojen s-sopimukset, ei sisällä intervalleja ja segmenttejä. Näille kolmelle s-ideaalille on myös yhteistä, että ne sisältävät kaikki äärelliset ja laskettavat joukot. Lisäksi on olemassa lukemattomia joukkoja ensimmäisen luokan nollasta. Tunnetuin esimerkki tällaisesta sarjasta on Cantor perfect (*) -sarja c M, joka koostuu luvuista, joiden kolminumeroisessa merkinnässä ei ole yksikköä. Muista Cantorin täydellisen joukon rakentamisprosessi: segmentti jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan ja keskimääräinen avoin aikaväli hylätään. Kukin segmentin kahdesta jäljellä olevasta kolmasosasta jaetaan jälleen kolmeen yhtä suureen osaan ja keskimmäiset avoimet välit hylätään niistä jne. Ilmeisesti tämän prosessin jälkeen jäljellä oleva joukko ei ole missään tiheä, ts. ensimmäinen luokka. On helppo laskea, että ulos heitettyjen keskiosien kokonaispituus on yhtä, ts. Kanssa on mitta nolla. On tiedossa, että Kanssa lukematon, koska lukemattoman monta ääretöntä sekvenssiä, jotka koostuvat nollasta ja kahdesta (jokainen elementti Kanssa jota edustaa kolmiosainen murtoluku, jossa desimaalipiste on täsmälleen nollien ja kaksien sekvenssi).

Kehotan lukijoita tarkistamaan itse, että on olemassa ensimmäisen luokan joukkoja, jotka eivät ole nollajoukkoja, ja on nollajoukkoja, jotka eivät ole ensimmäisen luokan joukkoja (jos sinun on kuitenkin vaikea keksiä sopivia esimerkkejä, älä ole epätoivoinen, vaan lue tämä kappale Lauseen 6) asti.

Näin ollen kuva kolmen tarkasteltavan s-ideaalin välisistä suhteista on seuraava:

Näin ollen olemme ottaneet käyttöön kaksi joukon pienuuden käsitettä. Ei ole mitään paradoksaalista siinä tosiasiassa, että yhdessä mielessä pieni joukko voi olla suuri toisessa mielessä. Seuraava lause havainnollistaa tätä ajatusta varsin hyvin ja osoittaa, että joissain tapauksissa esittämämme pienuuden käsitteet voivat osoittautua täysin päinvastaisiksi.

Lause 6. Numeroviiva voidaan jakaa kahteen täydentävään joukkoon A Ja SISÄÄN Niin A on joukko ensimmäisen luokan ja SISÄÄN on mitta nolla.

Todiste. Antaa a 1 , a 2 ,…, a n ,… on rationaalisten lukujen lueteltu joukko (tai mikä tahansa muu laskettavissa oleva kaikkialla tiheä osajoukko R). Antaa I ij on avoin intervalli, jonka pituus on 1/2 i+j ja jonka keskipiste on piste a i. Harkitse sarjoja:

, j =1,2,...;

; A = R \ B = B ў .

Ilmeisesti mille tahansa e >0:lle voidaan valita j niin että 1/2 j< e . Тогда

,

siten, SISÄÄN- nolla-setti.

Edelleen,
on tiheä avoin osajoukko R koska se on avointen intervallien yhdistelmä ja sisältää kaikki rationaaliset pisteet. Tämä tarkoittaa, että sen lisäys Gj Siksi ¢ ei ole missään tiheä
on ensimmäisen luokan sarja.

Eikö olekin upea tulos! Todistetusta lauseesta seuraa, että jokainen rivin osajoukko voidaan esittää nollajoukon ja ensimmäisen luokan joukon liittona. Seuraavassa osiossa tarkastelemme tiettyä osiota R kahteen osajoukkoon, joista toinen on transsendentaaliset Liouville-luvut - mittaa nolla, mutta toisen kategorian Baerin mukaan. Kiirehdi seuraavaan kohtaan!

4.2. Algebralliset ja transsendentaaliset luvut

Reaaliluvut jaetaan joskus myös algebrallisiin ja transsendenttisiin.

Algebralliset luvut ovat lukuja, jotka ovat algebrallisten polynomien juuria kokonaislukukertoimilla, esimerkiksi 4, . Kaikki muut (ei-algebralliset) luvut ovat transsendentaalisia. Koska jokainen rationaaliluku p/q on juuri vastaavan ensimmäisen asteen polynomin kokonaislukukertoimilla qx -p, niin kaikki transsendentaaliluvut ovat irrationaalisia.

Erostetaan tarkasteltujen (luonnollisten, rationaalisten, todellisten) lukujen ominaispiirteet: he mallintavat vain yhtä ominaisuutta - määrää; ne ovat yksiulotteisia ja niitä kaikkia edustavat pisteet yhdellä suoralla, jota kutsutaan koordinaattiakseliksi.

5. Monimutkaiset luvut

5.1. kuvitteellisia lukuja

Irrationaalisiakin oudompia olivat italialaisen tiedemiehen Cardanon vuonna 1545 löytämät uuden luonnon numerot. Hän osoitti, että yhtälöjärjestelmällä, jolla ei ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa, on ratkaisuja muotoa . On vain tarpeen suostua toimimaan tällaisilla lausekkeilla tavallisen algebran sääntöjen mukaisesti ja olettaa, että · = -.

Cardano kutsui tällaisia ​​määriä "puhtaasti negatiivisiksi" ja jopa "sofistisesti negatiivisiksi", piti niitä hyödyttöminä ja yritti olla käyttämättä niitä.

Pitkään näitä lukuja pidettiin mahdottomina, olemattomina, kuvitteellisina. Descartes kutsui niitä kuvitteellisiksi, Leibniz - "friikiksi ideamaailmasta, olemuksen ja ei-olemisen välissä olevaksi kokonaisuudeksi".

Itse asiassa tällaisten lukujen avulla on mahdotonta ilmaista joko jonkin määrän mittauksen tulosta tai jonkin suuren muutosta.

Kuvitteellisilla luvuilla ei ollut paikkaa koordinaattiakselilla. Tiedemiehet kuitenkin huomasivat, että jos otamme reaaliluvun b koordinaattiakselin positiivisella puolella ja kerromme sen, saamme imaginaariluvun b, kukaan ei tiedä missä se sijaitsee. Mutta jos tämä luku kerrotaan jälleen, niin saamme -b, eli alkuperäisen luvun, mutta jo koordinaattiakselin negatiivisella puolella. Joten kahdella kertolaskulla käänsimme luvun b positiivisesta negatiiviseksi, ja tarkalleen tämän heiton keskellä luku oli kuvitteellinen. Joten he löysivät paikan imaginaariluvuille imaginaarisen koordinaattiakselin pisteistä, jotka ovat kohtisuorassa todellisen koordinaattiakselin keskelle. Imaginaari- ja reaaliakselin väliset tason pisteet kuvaavat Cardanon löytämiä lukuja, jotka yleensä muodostavat a + b i:n sisältävät reaaliluvut a ja imaginaariset b i yhdessä kompleksissa (koostumuksessa), joten niitä kutsutaan kompleksiluvuiksi.

Se oli numeroiden yleistyksen neljäs taso.

Imaginaarilukujen operaatiotekniikka kehittyi vähitellen. 1600- ja 1600-luvun vaihteessa rakennettiin yleinen teoria n:nnen potenssien juurista ensin negatiivisista ja sitten kaikista kompleksiluvuista, joka perustui englantilaisen matemaatikon A. De Moivren seuraavaan kaavaan:

Tämän kaavan avulla oli myös mahdollista johtaa kaavoja useiden kaarien kosineille ja sineille.

Leonhard Euler keksi upean kaavan vuonna 1748:

joka yhdisti eksponentiaalisen funktion trigonometriseen funktioon. Eulerin kaavan avulla oli mahdollista nostaa luku e mihin tahansa kompleksiseen potenssiin. Mielenkiintoista on esimerkiksi se. Voit etsiä kompleksilukujen sin ja cos, laskea tällaisten lukujen logaritmit ja niin edelleen.

Jopa matemaatikot pitivät kompleksilukuja pitkään salaperäisinä ja käyttivät niitä vain matemaattisiin manipulaatioihin. Niinpä sveitsiläinen matemaatikko Bernoulli käytti kompleksilukuja integraalien ratkaisemiseen. Hieman myöhemmin he oppivat kuvitteellisten lukujen avulla ilmaisemaan lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja vakiokertoimilla. Tällaisia ​​yhtälöitä kohdataan esimerkiksi materiaalipisteen värähtelyteoriassa vastustavassa väliaineessa.

Algebralliset matriisiryhmät

Algebralliset sulkujärjestelmät

Aloitetaan käsitteestä algebrallinen operaatio. Olkoon A universaali algebra, jossa on joukko algebrallisia operaatioita W. Jokaisella operaation w W:ssä on tietty ariteetti n, nN(0). Minkä tahansa luonnollisen n:n kohdalla n-arvoinen operaatio u on kuvaus An:sta A:hen...

Alkulukujen potenssi

Keskinäiset alkuluvut ovat luonnollisia tai kokonaislukuja, joten et voi ajatella suurimpia tuplauksia luvulle 1, tai muuten näyttää siltä, ​​että suurin tuplasi on hyvä luvulle 1. Tässä järjestyksessä 2 ja 3 ovat keskenään yksinkertaisia ​​ja 2 i 4 -- nі (jaettuna 2:lla)...

Kaaviot ja niiden funktiot

Harkitse funktioiden ja niiden kuvaajien algebrallisia perusoperaatioita, kuten yhteen- ja vähennyslaskua (y = f(x) ±g(x)), kertolaskua (y = f(x) g(x)), jakoa (y = f( x) / g(x)). Tämän tyyppistä kaaviota laadittaessa on otettava huomioon ...

Kompleksiluvut: niiden menneisyys ja nykyisyys

Matematiikka keskiajalla

Välttämätön ehto Fang Cheng -menetelmän soveltamiselle yhtälöjärjestelmiin oli negatiivisten lukujen käyttöönotto. Esimerkiksi, kun ratkaisemme järjestelmän, saamme taulukon. Seuraava vaihe: vähennä oikealta kolmannen sarakkeen elementit ensimmäisen...

Numerologia

Pythagoraan lukuja ei pidetty vain abstrakteina todellisten asioiden korvikkeina, vaan eläviä olentoja, jotka heijastavat avaruuden, energian tai äänen värähtelyn ominaisuuksia. Lukujen päätiede, aritmetiikka...

Numerologia

Legenda kertoo, että Pythagoras löysi harmoniset luvut, joiden suhteesta syntyy pallojen musiikki. Flammarion kertoo tämän legendan uudelleen seuraavasti: "He sanovat, että kulkiessaan takoman ohi hän kuuli vasaran äänen ...

Kvadratuurikaavojen käytännön soveltaminen Chebyshev-Hermite-painolla

Olkoon tasapainofunktio annettu koko akselille. (1.1) Differoimalla tämä funktio peräkkäin, saadaan (1.2) On helppo todistaa induktiolla, että funktion (1.1) derivaatta n kertaluvulla on tämän funktion tulo jollain n-asteisella polynomilla...

Otetaan käyttöön uusi virheellinen luku, jonka neliö on yhtä suuri kuin -1. Merkitsemme tätä numeroa symbolilla I ja kutsumme imaginaariyksikköä. Joten, (2.1) Sitten. (2.2) 1. Kompleksiluvun algebrallinen muoto Jos, niin lukua (2.3) kutsutaan kompleksiluvuksi...

Toistuvat numerosarjat

Monia ongelmia ratkaistaessa joutuu usein käsittelemään toistuvasti annettuja sekvenssejä, mutta toisin kuin Fibonacci-sekvenssin, sen analyyttistä tehtävää ei aina voida saada...

Transsendenttiset yhtälöt parametreineen ja niiden ratkaisumenetelmineen

Transsendenttinen yhtälö on yhtälö, joka sisältää transsendenttisia toimintoja (irrationaalisia, logaritmia, eksponentiaalisia, trigonometrisiä ja käänteistrigonometrisiä) tuntemattomasta (muuttujasta), esimerkiksi yhtälöstä ...

Upeita lukuja

Kauan sitten ihmiset auttoivat itseään laskemaan kiviä, kiinnittivät huomiota oikeisiin hahmoihin, jotka voidaan asettaa kivistä. Voit vain laittaa kivet peräkkäin: yksi, kaksi, kolme. Jos laitat ne kahteen riviin suorakulmioiden muodostamiseksi...

Upeita lukuja

Joskus täydellisiä lukuja pidetään ystävällisten lukujen erikoistapauksena: jokainen täydellinen numero on ystävällinen itselleen. Nikomachus of Geras, kuuluisa filosofi ja matemaatikko, kirjoitti: "Täydelliset luvut ovat kauniita. Mutta me tiedämme...

Yhteiskunnallisten prosessien fraktaaliominaisuudet

Geometriset fraktaalit ovat staattisia lukuja. Tällainen lähestymistapa on varsin hyväksyttävä niin kauan kuin ei ole tarvetta ottaa huomioon sellaisia ​​luonnonilmiöitä kuin putoavat vesivirrat, myrskyisät savupyörteet ...