Riittävät kriteerit funktion maksimi- ja minimiarvolle. Kuinka löytää funktion maksimi- ja minimipisteet. Jatkamme toiminnon ääripäiden etsimistä yhdessä

Tästä artikkelista lukija oppii, mikä on toiminnallisen arvon ääriarvo, sekä sen käytännön ominaisuuksista. Tällaisen käsitteen tutkiminen on erittäin tärkeää perusasioiden ymmärtämiseksi korkeampi matematiikka. Tämä aihe on olennainen kurssin syvemmälle tutkimiselle.

Yhteydessä

Mikä on ääripää?

SISÄÄN koulun kurssi"äärimmäisyyden" käsitteelle annetaan monia määritelmiä. Tämän artikkelin tarkoituksena on antaa syvin ja selkein käsitys termistä niille, jotka eivät tiedä asiasta. Joten termi ymmärretään, missä määrin toiminnallinen intervalli saa minimi- tai maksimiarvon tietyssä joukossa.

Ekstreemi on sekä funktion minimi- että maksimiarvo samanaikaisesti. On minimipiste ja maksimipiste, eli kaavion argumentin ääriarvot. Tärkeimmät tieteet, joissa tätä käsitettä käytetään:

• tilastot;
• koneen ohjaus;
• ekonometria.

Ääripisteillä on tärkeä rooli järjestyksen määrittämisessä annettu toiminto. Kuvaajan koordinaattijärjestelmä näyttää parhaimmillaan ääriasennon muutoksen toiminnallisuuden muutoksesta riippuen.

Johdannaisen funktion ääriarvo

On myös sellainen asia kuin "johdannainen". On tarpeen määrittää ääripiste. On tärkeää olla sekoittamatta minimi- tai maksimipisteitä suurimpaan ja pienimpään arvoon. Nämä ovat erilaisia ​​käsitteitä, vaikka ne saattavat näyttää samanlaisilta.

Funktion arvo on tärkein tekijä määritettäessä, kuinka maksimipiste löydetään. Johdannaista ei muodosteta arvoista, vaan yksinomaan sen ääriasemasta tavalla tai toisessa.

Itse derivaatta määritetään ääripisteiden tietojen perusteella, ei suurimman tai pienimmän arvon perusteella. Venäläisissä kouluissa näiden kahden käsitteen välistä rajaa ei vedetä selkeästi, mikä vaikuttaa tämän aiheen ymmärtämiseen yleisesti.

Tarkastellaanpa nyt sellaista asiaa kuin "terävä ääripää". Tähän mennessä on olemassa akuutti minimiarvo ja akuutti maksimiarvo. Määritelmä on annettu venäläisen funktion kriittisten pisteiden luokituksen mukaisesti. Ääripisteen käsite on perusta kriittisten pisteiden löytämiselle kaaviosta.

Sellaisen käsitteen määrittelemiseen käytetään Fermatin lausetta. Se on opinnoissa välttämätöntä äärimmäisiä pisteitä ja antaa selkeän käsityksen niiden olemassaolosta muodossa tai toisessa. Äärimmäisyyden varmistamiseksi on tärkeää luoda tietyt edellytykset kaavion pienenemiselle tai nousulle.

Jotta voit vastata tarkasti kysymykseen "miten löytää maksimipiste", sinun on noudatettava näitä säännöksiä:

1. Tarkan määritelmäalueen löytäminen kaaviosta.
2. Hae funktion ja ääripisteen derivaatta.
3. Ratkaise argumentin alueen standardiepäyhtälöt.
4. Pystyy todistamaan missä funktioissa kuvaajan piste on määritelty ja jatkuva.

Huomio! Hae Kriittinen piste toiminto on mahdollinen vain, jos on olemassa vähintään toisen kertaluvun derivaatta, jonka takaa suuri osa ääripisteen läsnäolosta.

Toiminnan ääripään välttämätön ehto

Jotta ääriarvo olisi olemassa, on tärkeää, että siinä on sekä minimi- että maksimipisteet. Jos tätä sääntöä noudatetaan vain osittain, ääripään olemassaolon ehtoa rikotaan.

Jokainen toiminto missä tahansa asennossa on erotettava, jotta sen uudet merkitykset voidaan tunnistaa. On tärkeää ymmärtää, että tapaus, jossa piste katoaa, ei ole pääperiaate erotettavissa olevan pisteen löytämisessä.

Terävä ääripää, samoin kuin funktion minimi, ovat erittäin tärkeä osa päätöstä matemaattinen ongelma käyttämällä ääriarvoja. Tämän komponentin ymmärtämiseksi paremmin on tärkeää viitata funktion määrittämisessä oleviin taulukkoarvoihin.

Toimiva ääripää

Yllä olevan arvon löytämiseksi sinun on noudatettava seuraavia sääntöjä:

• määrittää äärimmäisen suhteen tarvittava ehto;
• ottaa huomioon kaavion ääripisteiden riittävä kunto;
• laskea akuutti ääripää.

On myös käsitteitä, kuten heikko minimi ja vahva minimi. Tämä on otettava huomioon määritettäessä ääriarvoa ja sen tarkkaa laskemista. Samaan aikaan terävä toiminnallisuus on kaikkien tarvittavien edellytysten etsiminen ja luominen funktiokaavion kanssa työskentelyyn.

Toiminto ja sen ominaisuuksien tutkiminen on yksi modernin matematiikan keskeisistä luvuista. Minkä tahansa funktion pääkomponentti on kaaviot, jotka kuvaavat paitsi sen ominaisuuksia, myös tämän funktion derivaatan parametreja. Katsotaanpa tätä hankalaa aihetta. Mikä on siis paras tapa löytää funktion maksimi- ja minimipisteet?

Tehtävä: määritelmä

Mitä tahansa muuttujaa, joka riippuu jollain tavalla toisen suuren arvoista, voidaan kutsua funktioksi. Esimerkiksi funktio f(x 2) on neliöllinen ja määrittää arvot koko joukolle x. Oletetaan, että x = 9, niin funktiomme arvo on yhtä suuri kuin 9 2 = 81.

Toimintoja on monenlaisia: loogisia, vektori-, logaritmisi-, trigonometrisiä, numeerisia ja muita toimintoja. Sellaiset erinomaiset mielet kuin Lacroix, Lagrange, Leibniz ja Bernoulli olivat mukana heidän tutkimuksessaan. Heidän kirjoituksensa toimivat tukivarrena nykyaikaisissa toimintojen tutkimisen tavoissa. Ennen minimipisteiden löytämistä on erittäin tärkeää ymmärtää funktion ja sen derivaatan merkitys.

Johdannainen ja sen rooli

Kaikki funktiot ovat riippuvaisia ​​niiden muuttujista, mikä tarkoittaa, että ne voivat muuttaa arvoaan milloin tahansa. Kaaviossa tämä kuvataan käyränä, joka joko laskee tai nousee y-akselia pitkin (tämä on koko numerosarja "y" kaavion pystysuoraa pitkin). Ja niinpä funktion maksimi- ja minimipisteen määrittely liittyy juuri näihin "värähtelyihin". Selvitetään, mikä tämä suhde on.

Minkä tahansa funktion derivaatta piirretään kuvaajalle, jotta voidaan tutkia sen pääominaisuuksia ja laskea kuinka nopeasti funktio muuttuu (eli muuttaa arvoaan muuttujan "x" mukaan). Sillä hetkellä, kun funktio kasvaa, myös sen derivaatan kuvaaja kasvaa, mutta minä hetkenä hyvänsä funktio voi alkaa pienentyä, jolloin derivaatan kuvaaja pienenee. Pisteitä, joissa derivaatta siirtyy miinuksesta plussaan, kutsutaan minimipisteiksi. Jotta tiedät kuinka löytää vähimmäispisteet, sinun pitäisi ymmärtää paremmin

Kuinka laskea johdannainen?

Määritelmä ja funktiot sisältävät useita käsitteitä aiheesta Yleisesti ottaen derivaatan määritelmä voidaan ilmaista seuraavalla tavalla: tämä on arvo, joka ilmaisee funktion muutosnopeuden.

Matemaattinen tapa määritellä se näyttää monille opiskelijoille monimutkaiselta, mutta itse asiassa kaikki on paljon yksinkertaisempaa. On tarpeen noudattaa vain vakiosuunnitelmaa minkä tahansa funktion derivaatan löytämiseksi. Seuraavassa kuvataan, kuinka voit löytää funktion minimipisteen soveltamatta differentiaatiosääntöjä ja muistamatta derivaattataulukkoa.

1. Voit laskea funktion derivaatan käyttämällä kuvaajaa. Tätä varten sinun on kuvattava itse funktio, otettava yksi piste siitä (piste A kuvassa), piirrettävä viiva pystysuoraan alas abskissa-akseliin (piste x 0) ja pisteessä A piirretään tangentti funktion kaavio. Abskissa-akseli ja tangentti muodostavat kulman a. Laskeaksesi arvon, kuinka nopeasti funktio kasvaa, sinun on laskettava tämän kulman tangentti a.
2. Osoittautuu, että tangentin ja x-akselin suunnan välisen kulman tangentti on funktion derivaatta pienellä alueella pisteen A kanssa. Tätä menetelmää pidetään geometrisena tapana määrittää derivaatta.

Menetelmät funktion tutkimiseksi

SISÄÄN koulun opetussuunnitelma matematiikassa on mahdollista löytää funktion minimipiste kahdella tavalla. Olemme jo analysoineet ensimmäistä menetelmää kaavion avulla, mutta kuinka määrittää derivaatan numeerinen arvo? Tätä varten sinun on opittava useita kaavoja, jotka kuvaavat derivaatan ominaisuuksia ja auttavat muuntamaan muuttujia kirjoita "x" numeroihin. Seuraava menetelmä on universaali, joten sitä voidaan soveltaa lähes kaikenlaisiin funktioihin (sekä geometrisiin että logaritmiin).

1. On tarpeen rinnastaa funktio johdannaisfunktioon ja sitten yksinkertaistaa lauseke käyttämällä differentiaatiosääntöjä.
2. Joissakin tapauksissa, kun annetaan funktio, jossa muuttuja "x" on jakaja, on tarpeen määrittää hyväksyttävien arvojen alue jättämällä siitä pois piste "0" (sestä yksinkertaisesta syystä, että matematiikassa ei voi koskaan jakaa nollalla).
3. Sen jälkeen funktion alkuperäinen muoto tulee muuntaa yksinkertaiseksi yhtälöksi, joka vastaa koko lauseke nollaan. Esimerkiksi, jos funktio näytti tältä: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, niin differentiaatiosääntöjen mukaan sen derivaatta on yhtä suuri kuin f "(x) \u003d 3x 2 + 1. Sitten muutetaan tämä lauseke seuraavan muotoiseksi yhtälöksi: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. Kun yhtälö on ratkaistu ja pisteet "x" on löydetty, ne tulee kuvata x-akselilla ja määrittää, onko derivaatta näillä merkittyjen pisteiden välissä positiivinen vai negatiivinen. Nimeämisen jälkeen käy selväksi, missä vaiheessa funktio alkaa laskea, eli vaihtaa etumerkkiä miinuksesta päinvastaiseksi. Tällä tavalla voit löytää sekä minimi- että maksimipisteet.

Erottamisen säännöt

Peruskomponentti funktion ja sen derivaatan tutkimisessa on erilaistumissääntöjen tuntemus. Vain heidän avullaan on mahdollista muuttaa hankalia ja suuria lausekkeita monimutkaiset toiminnot. Tutustutaanpa niihin, niitä on paljon, mutta ne ovat kaikki hyvin yksinkertaisia ​​sekä potenssi- että logaritmisten funktioiden säännöllisten ominaisuuksien vuoksi.

1. Minkä tahansa vakion derivaatta on nolla (f(x) = 0). Eli derivaatta f (x) \u003d x 5 + x - 160 on seuraavassa muodossa: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. Kahden termin summan derivaatta: (f+w)" = f"w + fw".
3. Logaritmisen funktion derivaatta: (log a d)" = d/ln a*d. Tämä kaava koskee kaikenlaisia ​​logaritmeja.
4. Tehoderivaata: (x n)"= n*x n-1. Esimerkiksi (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Sinifunktion derivaatta: (sin a)" = cos a. Jos kulman a sin on 0,5, niin sen derivaatta on √3/2.

ääripisteet

Olemme jo keskustelleet minimipisteiden löytämisestä, mutta on olemassa funktion maksimipisteiden käsite. Jos minimi tarkoittaa niitä pisteitä, joissa funktio siirtyy miinuksesta plussaan, niin maksimipisteet ovat niitä x-akselin pisteitä, joissa funktion derivaatta muuttuu plussasta päinvastaiseksi - miinus.

Löydät sen yllä kuvatulla menetelmällä, vain on otettava huomioon, että ne osoittavat alueita, joissa funktio alkaa pienentyä, eli derivaatta on pienempi kuin nolla.

Matematiikassa on tapana yleistää molemmat käsitteet korvaamalla ne lauseella "ääripisteet". Kun tehtävä pyytää määrittämään nämä pisteet, tämä tarkoittaa, että on tarpeen laskea tämän funktion derivaatta ja löytää minimi- ja maksimipisteet.

Tarkastellaan funktiota y = f(x), jota tarkastellaan välillä (a, b).

Jos väliin (a, b) kuuluvalle pisteelle x1 on mahdollista määrittää sellainen b-naapuri, että kaikilla x:illä (x1, b) epäyhtälö f(x1) > f(x) täyttyy, niin y1 = kutsutaan f1(x1). toiminto maksimi y = f(x) katso kuva.

Funktion y = f(x) maksimi on merkitty arvolla max f(x). Jos väliin (a, b) kuuluvalle pisteelle x2 on mahdollista määrittää 6-naapuri siten, että kaikille x:lle se kuuluu O(x2, 6), x ei ole yhtä suuri kuin x2, epäyhtälö f(x2)< f(x) , niin y2= f(x2) kutsutaan funktion y-f(x) minimiksi (ks. kuva).

Esimerkki maksimin löytämisestä, katso seuraava video

Ominaisuuden minimi

Funktion y = f(x) minimiä merkitään min f(x). Toisin sanoen, funktion maksimi tai minimi y = f(x) nimeltään sen arvo, joka on suurempi (pienempi) kuin kaikki muut arvot, jotka on otettu pisteistä, jotka ovat riittävän lähellä annettua ja poikkeavat siitä.

Huomautus 1. Maksimitoiminto, jonka epäyhtälö määrittää, kutsutaan tiukaksi maksimiksi; ei-tiukka maksimi määritellään epäyhtälöllä f(x1) > = f(x2)

Huomautus 2. niillä on paikallinen luonne (nämä ovat funktion suurimmat ja pienimmät arvot vastaavan pisteen riittävän pienellä alueella); Jonkin funktion yksittäiset minimit voivat olla suurempia kuin saman funktion maksimi

Tämän seurauksena kutsutaan funktion maksimi (minimi). paikallinen maksimi(paikallinen minimi) toisin kuin absoluuttinen maksimi (minimi) - suurin (pienin) arvo funktion alueella.

Funktion maksimi- ja minimiarvoa kutsutaan ääriarvoksi. . Äärimmäisyydet funktioiden piirtämiseen

Latina ääriarvo tarkoittaa "äärimmäistä" merkitys. Argumentin x arvoa, jossa ääriarvo saavutetaan, kutsutaan ääriarvopisteeksi. Tarpeellinen kuntoääriarvo ilmaistaan ​​seuraavalla lauseella.

Lause. Differentioituvan funktion ja sen derivaatan ääripisteessä on nolla.

Lauseena on yksinkertainen geometrinen tunne: differentioituvan funktion kuvaajan tangentti vastaavassa pisteessä on yhdensuuntainen x-akselin kanssa

Yksinkertainen algoritmi äärimmäisyyksien löytämiseen..

• Funktion derivaatan löytäminen
• Yhdistä tämä derivaatta nollaan
• Löydämme tuloksena olevan lausekkeen muuttujan arvot (muuttujan arvot, jossa derivaatta muunnetaan nollaksi)
• Jaamme koordinaattiviivan intervalleiksi näillä arvoilla (samaan aikaan emme saa unohtaa katkaisukohtia, joita on myös sovellettava linjaan), kaikkia näitä pisteitä kutsutaan "epäilyttäväksi" pisteeksi ääripäälle
• Laskemme millä näistä intervalleista derivaatta on positiivinen ja millä negatiivinen. Tätä varten sinun on korvattava arvo väliltä derivaatta.

Pisteistä, joita epäillään ääripäästä, on löydettävä tarkasti . Tätä varten tarkastelemme aukkojamme koordinaattiviivalla. Jos derivaatan merkki vaihtuu plussasta miinukseksi kulkiessaan jonkin pisteen läpi, niin tämä piste on enimmäismäärä, ja jos miinuksesta plussaan, niin minimi.

Löytääksesi suurimmat ja pienin arvo funktion, sinun on laskettava funktion arvo segmentin päissä ja ääripisteissä. Valitse sitten suurin ja pienin arvo.

Harkitse esimerkkiä
Etsimme derivaatan ja rinnastamme sen nollaan:

Käytämme saatuja muuttujien arvoja koordinaattiviivalle ja laskemme derivaatan etumerkin kullakin välillä. No, esimerkiksi ensimmäiseksi-2 , niin derivaatta on-0,24 , toiselle otolle0 , niin derivaatta on2 , ja kolmannen otamme2 , niin derivaatta on-0,24. Laitoimme asianmukaiset merkit.

Näemme, että kulkiessaan pisteen -1 läpi derivaatta muuttaa etumerkin miinuksesta plussaan, eli se on minimipiste, ja kun kuljetaan 1:n kautta, plussasta miinukseen, tämä on maksimipiste.

Maksimi pitäisi kutsua eniten iso luku tai suurin saavutettava raja. Minimi on, kuten me kaikki hyvin tiedämme, maksimin vastakohta, ts. se on pienin luku ja pienin raja. Sanat minimi ja maksimi sekä niiden johdannaiset löytyvät sellaisista ilmauksista ja lauseista kuin:

Ota kaikki irti viestinnästä.

Jotta voit oppia runon, sinun on luettava se vähintään 3-4 kertaa.

Eniten hän voi tehdä...

Heillä on ainakin kaksi yhteistä ystävää.

Hän sai korkeimman pistemäärän.

Ota kaikki irti mahdollisuuksistasi!

Tämä on vähimmäisvaatimus, joka sinun on tiedettävä.

Elämisen palkka.

Minimi ilmanpaine.

Minimi/maksimi kylmä ..... vuotta.

Tarvitset tämän työn suorittamiseen vähintään muutaman tunnin.

Sellaiset käsitteet kuin maksimi ja minimi löytyvät myös erityisistä tieteellisistä termeistä. Esimerkiksi matematiikassa on sellainen asia kuin funktion maksimi ja minimi.

Näin ollen matematiikan maksimi on ns korkein arvo toimintoja. Tässä tapauksessa funktion maksimiarvo on suurempi kuin kaikki sen vieressä olevat arvot. Funktion maksimi on sen arvo, kun arvo ensin kasvaa ja sitten alkaa välittömästi laskea, kun taas sillä on maksimi kohdassa, jossa funktion kasvu ja lasku siirtyvät toisesta toiseen. Funktion minimi on vastaavasti funktion pienin arvo.

Funktion ensimmäistä derivaatta voidaan pitää positiivisena, jos se nousee, kun suurennamme muuttujaa, niin funktiota voidaan pitää positiivisena. Jos ensimmäinen muuttuja pienenee derivaatan kasvaessa, funktiota tulee pitää negatiivisena.

Derivaata on pääasiallinen differentiaalilaskelmissa käytetty arvo (derivaatan ja differentiaalin tutkimus, jotka auttavat tutkimaan matemaattisia funktioita), se voidaan ymmärtää funktion muutosnopeudena tietyssä pisteessä. Mitä suurempi nopeus, sitä voimakkaammin funktio muuttuu, mitä pienempi, sitä hitaampi (tämä pätee kuitenkin vain, jos funktio on positiivinen). Siten funktion muutosnopeus tietyssä pisteessä määrää sen kaltevuuden ja pullistuman. Muuttuja on määrä, joka voi muuttaa sen arvoa. Sitä merkitään x tai aika.

Muuttujaa voidaan pitää järjestelmän (sekä fyysisen että abstraktin) attribuuttina, joka voi muuttaa sen arvoa. Globaalimmassa mielessä muuttujaksi voidaan kutsua sekä aikaa että lämpötilaa ja yleensä kaikkea elämää (ne voivat muuttua). Muuttujalla on monia arvoja, jotka se voi ottaa. Voimme olettaa, että tämä joukko on muuttuja.

Mitä tulee itse funktioon, sen on vaihdettava positiivisesta negatiiviseksi arvoksi nollan kautta. Siten muuttujan arvolla, joka vastaa funktion maksimiarvoa, sen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Tämä funktion ominaisuus mahdollistaa sen, että voidaan määrittää x:n arvot, joilla funktio saavuttaa maksiminsa. Jos kuitenkin suurennamme muuttujaa ja samalla funktio ensin kasvaa ja sitten pienenee, sitten funktio muuttuessaan negatiivinen arvo positiiviseen (joka kulkee nollan kautta), se ei saavuta maksimiarvoa, vaan päinvastoin vähimmäisarvoa. Vaikka loogisesti tämä voitaisiin ottaa maksimiarvoksi (se on funktion yläosassa).

Funktion maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan myös ääripisteiksi.

Niinpä sekä tavallisessa elämässä että matematiikassa maksimi ja minimi ovat kaksi äärimmäistä vastakohtaa, jotka merkitsevät jotain suurinta ja jotain pienintä.