Nosta kompleksiluku potenssiesimerkkeihin. Kompleksilukujen nostaminen potenssiin. Juurien erottaminen kompleksiluvuista. Neliöyhtälö monimutkaisilla juurilla
Aloitetaan suosikkiruudustamme.
Esimerkki 9
Kompleksiluvun neliöinti
Tässä voi toimia kahdella tavalla, ensimmäinen tapa on kirjoittaa aste uudelleen tekijöiden tuloksi ja kertoa luvut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti.
Toinen tapa on käyttää tunnettua koulun lyhennettyä kertolaskukaavaa:
Kompleksiluvulle on helppo johtaa oma lyhennetty kertolasku:
Samanlainen kaava voidaan johtaa erotuksen neliölle sekä summan kuutiolle ja erotuksen kuutiolle. Mutta nämä kaavat ovat merkityksellisempiä monimutkaisille analyysiongelmille. Entä jos kompleksiluku on korotettava esimerkiksi 5., 10. tai 100. potenssiin? On selvää, että sisään algebrallinen muoto tällaisen tempun tekeminen on melkein mahdotonta, todella, mieti kuinka ratkaiset esimerkin, kuten?
Ja tässä kompleksiluvun trigonometrinen muoto tulee apuun ja ns De Moivren kaava: Jos kompleksiluku esitetään trigonometrisessa muodossa, niin kun se nostetaan luonnolliseen potenssiin, kaava on voimassa:
Vain häpeäksi.
Esimerkki 10
Anna kompleksiluku, etsi.
Mitä pitäisi tehdä? Ensin sinun on esitettävä tämä numero trigonometrisessa muodossa. Tarkat lukijat huomaavat, että olemme jo tehneet tämän esimerkissä 8:
Sitten De Moivren kaavan mukaan:
Jumala varjelkoon, ei tarvitse laskea laskimeen, mutta useimmissa tapauksissa kulmaa tulisi yksinkertaistaa. Kuinka yksinkertaistaa? Kuvaannollisesti sanottuna ylimääräisistä käännöksistä on päästävä eroon. Yksi kierros on radiaani tai 360 astetta. Selvitä, kuinka monta vallankumousta väitteessämme on. Mukavuuden vuoksi teemme murto-osan oikeaksi:, jonka jälkeen tulee selvästi näkyviin, että voit vähentää yhden kierroksen:. Toivottavasti kaikki ymmärtävät, että tämä on sama kulma.
Lopullinen vastaus olisi siis:
Eksponenttiongelman erillinen versio on puhtaasti imaginaarilukujen eksponentio.
Esimerkki 12
Nosta kompleksiluvut potenssiin
Myös täällä kaikki on yksinkertaista, tärkeintä on muistaa kuuluisa tasa-arvo.
Jos kuvitteellinen yksikkö nostetaan tasaiseen tehoon, niin ratkaisutekniikka on seuraava:
Jos kuvitteellinen yksikkö nostetaan parittomaan tehoon, niin "kiinnitetään" yksi "ja", saadaan parillinen teho:
Jos on miinus (tai mikä tahansa todellinen kerroin), se on ensin erotettava:
Juurien erottaminen kompleksiluvuista. Neliöyhtälö monimutkaisilla juurilla
Harkitse esimerkkiä:
Etkö voi purkaa juuria? Jos puhumme todellisista luvuista, se on todella mahdotonta. Kompleksiluvuissa voit poimia juuren - voit! Tarkemmin, kaksi juuri:
Ovatko löydetyt juuret todella yhtälön ratkaisu? Tarkistetaan:
Mikä pitikin tarkistaa.
Usein käytetään lyhennettyä merkintää, molemmat juuret kirjoitetaan yhdelle riville "yksi kampa":n alle.
Näitä juuria kutsutaan myös konjugoitu monimutkaiset juuret .
Kuinka purkaa neliöjuuret negatiivisista luvuista luulen kaikkien ymmärtävän: ,,, jne. Kaikissa tapauksissa se selviää kaksi konjugoida monimutkaisia juuria.
Aloitetaan suosikkiruudustamme.
Esimerkki 9
Kompleksiluvun neliöinti
Tässä voi toimia kahdella tavalla, ensimmäinen tapa on kirjoittaa aste uudelleen tekijöiden tuloksi ja kertoa luvut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti.
Toinen tapa on käyttää tunnettua koulun lyhennettyä kertolaskukaavaa:
Kompleksiluvulle on helppo johtaa oma lyhennetty kertolasku:
Samanlainen kaava voidaan johtaa erotuksen neliölle sekä summan kuutiolle ja erotuksen kuutiolle. Mutta nämä kaavat ovat merkityksellisempiä monimutkaisille analyysiongelmille. Entä jos kompleksiluku on korotettava esimerkiksi 5., 10. tai 100. potenssiin? On selvää, että algebrallisessa muodossa on melkein mahdotonta tehdä tällaista temppua, todella, ajattele kuinka ratkaiset esimerkin, kuten?
Ja tässä kompleksiluvun trigonometrinen muoto tulee apuun ja ns De Moivren kaava: Jos kompleksiluku esitetään trigonometrisessa muodossa, niin kun se nostetaan luonnolliseen potenssiin, kaava on voimassa:
Vain häpeäksi.
Esimerkki 10
Anna kompleksiluku, etsi.
Mitä pitäisi tehdä? Ensin sinun on esitettävä tämä numero trigonometrisessa muodossa. Tarkat lukijat huomaavat, että olemme jo tehneet tämän esimerkissä 8:
Sitten De Moivren kaavan mukaan:
Jumala varjelkoon, ei tarvitse laskea laskimeen, mutta useimmissa tapauksissa kulmaa tulisi yksinkertaistaa. Kuinka yksinkertaistaa? Kuvaannollisesti sanottuna ylimääräisistä käännöksistä on päästävä eroon. Yksi kierros on radiaani tai 360 astetta. Selvitä, kuinka monta vallankumousta väitteessämme on. Mukavuuden vuoksi teemme murto-osan oikeaksi:, jonka jälkeen tulee selvästi näkyviin, että voit vähentää yhden kierroksen:. Toivottavasti kaikki ymmärtävät, että tämä on sama kulma.
Lopullinen vastaus olisi siis:
Eksponenttiongelman erillinen versio on puhtaasti imaginaarilukujen eksponentio.
Esimerkki 12
Nosta kompleksiluvut potenssiin
Myös täällä kaikki on yksinkertaista, tärkeintä on muistaa kuuluisa tasa-arvo.
Jos kuvitteellinen yksikkö nostetaan tasaiseen tehoon, niin ratkaisutekniikka on seuraava:
Jos kuvitteellinen yksikkö nostetaan parittomaan tehoon, niin "kiinnitetään" yksi "ja", saadaan parillinen teho:
Jos on miinus (tai mikä tahansa todellinen kerroin), se on ensin erotettava:
Juurien erottaminen kompleksiluvuista. Neliöyhtälö monimutkaisilla juurilla
Harkitse esimerkkiä:
Etkö voi purkaa juuria? Jos puhumme todellisista luvuista, se on todella mahdotonta. Kompleksiluvuissa voit poimia juuren - voit! Tarkemmin, kaksi juuri:
Ovatko löydetyt juuret todella yhtälön ratkaisu? Tarkistetaan:
Mikä pitikin tarkistaa.
Usein käytetään lyhennettyä merkintää, molemmat juuret kirjoitetaan yhdelle riville "yksi kampa":n alle.
Näitä juuria kutsutaan myös konjugoida monimutkaisia juuria.
Kuinka erottaa neliöjuuret negatiivisista luvuista, luulen kaikkien ymmärtävän: ,,, jne. Kaikissa tapauksissa se selviää kaksi konjugoida monimutkaisia juuria.
Esimerkki 13
Ratkaise toisen asteen yhtälö
Lasketaan diskriminantti:
Diskriminantti on negatiivinen, eikä yhtälöllä ole ratkaisua reaalilukuina. Mutta juuri voidaan ottaa kompleksiluvuilla!
Tunnettujen koulukaavojen mukaan saamme kaksi juuria: - konjugoidut kompleksiset juuret
Joten yhtälöllä on kaksi konjugoitua kompleksista juuria:,
Nyt voit ratkaista minkä tahansa toisen asteen yhtälön!
Ja yleensä kaikilla yhtälöillä, joissa on "n:nnen" asteen polynomi, on täsmälleen juuret, joista jotkut voivat olla monimutkaisia.
Yksinkertainen esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:
Esimerkki 14
Etsi yhtälön juuret ja kerroin neliöbinomi.
Tekijöinti suoritetaan jälleen koulun vakiokaavan mukaan.
Ladataan...
