Rajoitukset. Toinen merkittävä raja Raja x pyrkii olemaan 2
Mikä on raja? Rajan käsite
Jokainen poikkeuksetta jossain sielunsa syvyyksissä ymmärtää, mikä raja on, mutta heti kun kuulee "toimintorajan" tai "sekvenssirajan", tulee pieni hämmennys.
Älä pelkää, se johtuu vain tietämättömyydestä! Kun olet lukenut seuraavan 3 minuuttia, sinusta tulee lukutaitavampi.
On tärkeää ymmärtää kerta kaikkiaan, mitä he tarkoittavat puhuessaan joistakin rajoittavista asennoista, merkityksistä, tilanteista ja ylipäätään, kun he turvautuvat elämässä termiin raja.
Aikuiset ymmärtävät tämän intuitiivisesti, ja analysoimme sitä muutaman esimerkin avulla.
Esimerkki yksi
Muistetaanpa rivit Chaif-ryhmän laulusta: "... älä ota sitä rajoihin, älä vie sitä rajoihin ...".
Esimerkki kaksi
Olet varmasti kuullut lauseen kohteen erittäin vakaasta asennosta avaruudessa.
Voit itse simuloida tällaisen tilanteen helposti improvisoiduilla asioilla.
Kallista esimerkiksi muovipulloa hieman ja vapauta se. Hän palaa pohjaan.
Mutta on olemassa sellaisia rajoittavia kaltevia asentoja, joiden yli se yksinkertaisesti putoaa.
Jälleen raja-asento tässä tapauksessa on jotain erityistä. On tärkeää ymmärtää tämä.
Raja-termin käytöstä voidaan antaa monia esimerkkejä: ihmisen kykyjen raja, materiaalin lopullinen lujuus ja niin edelleen.
No, yleensä kohtaamme laittomuutta joka päivä)))
Mutta nyt meitä kiinnostaa sekvenssin raja ja funktion raja matematiikassa.
Numerosarjan raja matematiikassa
Raja (numeerisen sekvenssin) on yksi matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Sadat ja sadat modernia tiedettä määrittävät lauseet perustuvat rajan ylittämisen käsitteeseen.
Konkreettinen esimerkki selvyyden vuoksi.
Oletetaan, että on olemassa ääretön numerosarja, joista jokainen on puolet edellisestä, alkaen yhdestä: 1, ½, ¼, ...
Joten numeerisen sekvenssin raja (jos se on olemassa) on jokin tietty arvo.
Jakamisprosessissa sekvenssin jokainen myöhempi arvo lähestyy loputtomasti tiettyä numeroa.
On helppo arvata, että se on nolla.
Tärkeä!
Kun puhumme rajan (raja-arvon) olemassaolosta, tämä ei tarkoita, että jokin sarjan jäsen olisi yhtä suuri kuin tämä raja-arvo. Hän voi vain pyrkiä siihen.
Esimerkkimme perusteella tämä on enemmän kuin selvää. Huolimatta siitä, kuinka monta kertaa jaamme yksi kahdella, emme koskaan saa nollaa. Siellä on vain puolet edellisestä, mutta ei nollaa!
Funktion raja matematiikassa
Matemaattisessa analyysissä tärkeintä on tietysti funktion rajan käsite.
Teoriaan syventymättä sanotaan seuraavaa: funktion raja-arvo ei välttämättä aina kuulu itse funktion arvoalueeseen.
Kun argumentti muuttuu, funktio pyrkii johonkin arvoon, mutta ei ehkä koskaan hyväksy sitä.
Esimerkiksi hyperboli 1/x sillä ei ole nolla-arvoa missään vaiheessa, mutta se pyrkii olemaan nolla loputtomasti, koska se pyrkii xäärettömään.
Raja-laskin
Tavoitteenamme ei ole antaa sinulle teoreettista tietoa, sitä varten on olemassa paljon älykkäitä paksuja kirjoja.
Mutta kutsumme sinut käyttämään online-laskin rajat, joiden avulla voit verrata ratkaisuasi oikeaan vastaukseen.
Lisäksi laskin antaa vaiheittaisen ratkaisun rajoista soveltaen usein L'Hopital-sääntöä käyttämällä jatkuvan funktion osoittajan ja nimittäjän differentiaatiota pisteessä tai tietyssä segmentissä.
Rajat aiheuttavat kaikille matematiikan opiskelijoille paljon vaivaa. Rajan ratkaisemiseksi joudut joskus käyttämään monia temppuja ja valitsemaan useista ratkaisuista juuri se, joka sopii tiettyyn esimerkkiin.
Tässä artikkelissa emme auta sinua ymmärtämään kykyjesi rajoja tai ymmärtämään hallinnan rajoja, vaan yritämme vastata kysymykseen: kuinka ymmärtää korkeamman matematiikan rajat? Ymmärtäminen tulee kokemuksen myötä, joten samalla annamme muutaman yksityiskohtaisia esimerkkejä ratkaisurajat selityksillä.
Rajan käsite matematiikassa
Ensimmäinen kysymys kuuluu: mikä on raja ja minkä raja? Voimme puhua numeeristen sekvenssien ja funktioiden rajoista. Olemme kiinnostuneita funktion rajan käsitteestä, koska juuri niiden kanssa opiskelijat kohtaavat useimmiten. Mutta ensin yleisin rajan määritelmä:
Sanotaan, että niitä on muuttuja. Jos tämä arvo lähestyy muutosprosessissa loputtomasti tiettyä numeroa a , Tuo a on tämän arvon raja.
Jossain välissä määritellylle funktiolle f(x)=y raja on numero A , johon funktio pyrkii milloin X taipumus tiettyyn pisteeseen A . Piste A kuuluu väliin, jolle funktio määritellään.
Se kuulostaa hankalalta, mutta se on kirjoitettu hyvin yksinkertaisesti:
Lim- englannista raja- raja.
Rajan määrittelylle on myös geometrinen selitys, mutta tässä emme mene teoriaan, koska meitä kiinnostaa enemmän asian käytännön kuin teoreettinen puoli. Kun sanomme niin X pyrkii johonkin arvoon, tämä tarkoittaa, että muuttuja ei ota luvun arvoa, vaan lähestyy sitä äärettömän lähellä.
Otetaan konkreettinen esimerkki. Haasteena on löytää raja.
Tämän esimerkin ratkaisemiseksi korvaamme arvon x=3 funktioksi. Saamme:
Muuten, jos olet kiinnostunut matriisien perustoiminnoista, lue erillinen artikkeli tästä aiheesta.
Esimerkeissä X voi taipua mihin tahansa arvoon. Se voi olla mikä tahansa luku tai ääretön. Tässä esimerkki kun X taipumus äärettömyyteen:
Se on intuitiivisesti selvää lisää numeroa nimittäjässä, sitä pienemmän arvon funktio ottaa. Siis rajattomalla kasvulla X merkitys 1/x vähenee ja lähestyy nollaa.
Kuten näet, rajan ratkaisemiseksi sinun tarvitsee vain korvata tavoite arvo funktioon X . Tämä on kuitenkin yksinkertaisin tapaus. Usein rajan löytäminen ei ole niin ilmeistä. Rajojen sisällä on tyyppiepävarmuutta 0/0 tai ääretön / ääretön . Mitä tehdä tällaisissa tapauksissa? Käytä temppuja!
Epävarmuus sisällä
Epävarmuus muodosta ääretön/ääretön
Olkoon raja:
Jos yritämme korvata funktion äärettömän, saamme äärettömän sekä osoittajassa että nimittäjässä. Yleisesti ottaen kannattaa sanoa, että tällaisten epävarmuustekijöiden ratkaisemisessa on tietty taiteen elementti: täytyy huomata, kuinka funktio voidaan muuttaa siten, että epävarmuus katoaa. Meidän tapauksessamme jaamme osoittajan ja nimittäjän X ylimmässä tutkinnossa. Mitä tapahtuu?
Yllä jo käsitellystä esimerkistä tiedämme, että termit, jotka sisältävät x:n nimittäjässä, ovat yleensä nolla. Sitten ratkaisu rajaan on:
Selvittääksesi tyyppiepäselvyydet ääretön / ääretön jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla X korkeimmalle tasolle.
Muuten! Lukijoillemme on nyt 10 % alennus kaikenlaista työtä
Toinen epävarmuustyyppi: 0/0
Kuten aina, korvaus arvofunktioon x = -1 antaa 0 osoittajassa ja nimittäjässä. Katso hieman tarkemmin, niin huomaat sen osoittajassamme toisen asteen yhtälö. Etsitään juuret ja kirjoitetaan:
Vähennetään ja saadaan:
Joten jos kohtaat tyyppisen epäselvyyden 0/0 - kertokaa osoittaja ja nimittäjä.
Esimerkkien ratkaisemisen helpottamiseksi tässä on taulukko joidenkin funktioiden rajoituksista:
L'Hopitalin sääntö sisällä
Toinen tehokas tapa poistaa molemmat epävarmuustekijät. Mikä on menetelmän ydin?
Jos rajassa on epävarmuutta, otetaan osoittajan ja nimittäjän derivaatta, kunnes epävarmuus katoaa.
Visuaalisesti L'Hopitalin sääntö näyttää tältä:
Tärkeä pointti : rajan, jossa osoittajan ja nimittäjän derivaatat ovat osoittajan ja nimittäjän sijaan, on oltava olemassa.
Ja nyt oikea esimerkki:
On tyypillistä epävarmuutta 0/0 . Otetaan osoittajan ja nimittäjän derivaatat:
Voila, epävarmuus poistuu nopeasti ja tyylikkäästi.
Toivomme, että pystyt hyödyntämään näitä tietoja käytännössä ja löytämään vastauksen kysymykseen "miten ratkaistaan korkeamman matematiikan rajoja". Jos joudut laskemaan sekvenssin rajan tai funktion rajan jossakin pisteessä, eikä tähän työhön ole aikaa sanasta "ehdottomasti", ota yhteyttä ammattiopiskelijapalveluun saadaksesi nopean ja yksityiskohtaisen ratkaisun.
Mikä on raja? Rajan käsite
Jokainen poikkeuksetta jossain sielunsa syvyyksissä ymmärtää, mikä raja on, mutta heti kun kuulee "toimintorajan" tai "sekvenssirajan", tulee pieni hämmennys.
Älä pelkää, se johtuu vain tietämättömyydestä! Kun olet lukenut seuraavan 3 minuuttia, sinusta tulee lukutaitavampi.
On tärkeää ymmärtää kerta kaikkiaan, mitä he tarkoittavat puhuessaan joistakin rajoittavista asennoista, merkityksistä, tilanteista ja ylipäätään, kun he turvautuvat elämässä termiin raja.
Aikuiset ymmärtävät tämän intuitiivisesti, ja analysoimme sitä muutaman esimerkin avulla.
Esimerkki yksi
Muistetaanpa rivit Chaif-ryhmän laulusta: "... älä ota sitä rajoihin, älä vie sitä rajoihin ...".
Esimerkki kaksi
Olet varmasti kuullut lauseen kohteen erittäin vakaasta asennosta avaruudessa.
Voit itse simuloida tällaisen tilanteen helposti improvisoiduilla asioilla.
Kallista esimerkiksi muovipulloa hieman ja vapauta se. Hän palaa pohjaan.
Mutta on olemassa sellaisia rajoittavia kaltevia asentoja, joiden yli se yksinkertaisesti putoaa.
Jälleen raja-asento tässä tapauksessa on jotain erityistä. On tärkeää ymmärtää tämä.
Raja-termin käytöstä voidaan antaa monia esimerkkejä: ihmisen kykyjen raja, materiaalin lopullinen lujuus ja niin edelleen.
No, yleensä kohtaamme laittomuutta joka päivä)))
Mutta nyt meitä kiinnostaa sekvenssin raja ja funktion raja matematiikassa.
Numerosarjan raja matematiikassa
Raja (numeerisen sekvenssin) on yksi matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Sadat ja sadat modernia tiedettä määrittävät lauseet perustuvat rajan ylittämisen käsitteeseen.
Konkreettinen esimerkki selvyyden vuoksi.
Oletetaan, että on olemassa ääretön numerosarja, joista jokainen on puolet edellisestä, alkaen yhdestä: 1, ½, ¼, ...
Joten numeerisen sekvenssin raja (jos se on olemassa) on jokin tietty arvo.
Jakamisprosessissa sekvenssin jokainen myöhempi arvo lähestyy loputtomasti tiettyä numeroa.
On helppo arvata, että se on nolla.
Tärkeä!
Kun puhumme rajan (raja-arvon) olemassaolosta, tämä ei tarkoita, että jokin sarjan jäsen olisi yhtä suuri kuin tämä raja-arvo. Hän voi vain pyrkiä siihen.
Esimerkkimme perusteella tämä on enemmän kuin selvää. Huolimatta siitä, kuinka monta kertaa jaamme yksi kahdella, emme koskaan saa nollaa. Siellä on vain puolet edellisestä, mutta ei nollaa!
Funktion raja matematiikassa
Matemaattisessa analyysissä tärkeintä on tietysti funktion rajan käsite.
Teoriaan syventymättä sanotaan seuraavaa: funktion raja-arvo ei välttämättä aina kuulu itse funktion arvoalueeseen.
Kun argumentti muuttuu, funktio pyrkii johonkin arvoon, mutta ei ehkä koskaan hyväksy sitä.
Esimerkiksi hyperboli 1/x sillä ei ole nolla-arvoa missään vaiheessa, mutta se pyrkii olemaan nolla loputtomasti, koska se pyrkii xäärettömään.
Raja-laskin
Tavoitteenamme ei ole antaa sinulle teoreettista tietoa, sitä varten on olemassa paljon älykkäitä paksuja kirjoja.
Suosittelemme kuitenkin käyttämään online-rajalaskuria, jolla voit verrata ratkaisuasi oikeaan vastaukseen.
Lisäksi laskin antaa vaiheittaisen ratkaisun rajoista soveltaen usein L'Hopital-sääntöä käyttämällä jatkuvan funktion osoittajan ja nimittäjän differentiaatiota pisteessä tai tietyssä segmentissä.
Niille, jotka haluavat oppia löytämään rajoitukset tässä artikkelissa, puhumme siitä. Emme syvenny teoriaan, se annetaan yleensä opettajien luennoilla. Joten "tylsää teoriaa" tulisi hahmotella muistikirjoissasi. Jos ei, voit lukea kirjastosta otettuja oppikirjoja oppilaitos tai muita verkkoresursseja.
Joten rajan käsite on varsin tärkeä kurssin opiskelussa korkeampi matematiikka, varsinkin kun törmäät integraalilaskentaan ja ymmärrät rajan ja integraalin välisen suhteen. Nykyisessä materiaalissa tarkastellaan yksinkertaisia esimerkkejä sekä tapoja ratkaista ne.
Ratkaisuesimerkkejä
| Esimerkki 1 |
| Laske a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| Ratkaisu |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Meille lähetetään usein näitä rajoja ja pyydetään apua niiden ratkaisemiseen. Päätimme korostaa niitä erillisenä esimerkkinä ja selittää, että nämä rajat on yksinkertaisesti muistettava, yleensä. Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaasi, lähetä se meille. Tarjoamme yksityiskohtaisen ratkaisun. Pystyt perehtymään laskennan etenemiseen ja keräämään tietoa. Tämä auttaa sinua saamaan hyvityksen opettajalta ajoissa! |
| Vastaus |
| $$ \teksti(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$ |
Mitä tehdä lomakkeen epävarmuudella: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| Esimerkki 3 |
| Ratkaise $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Ratkaisu |
|
Kuten aina, aloitamme korvaamalla arvon $ x $ rajamerkin alla olevaan lausekkeeseen. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Mitä seuraavaksi? Mikä pitäisi olla tuloksena? Koska tämä on epävarmuus, tämä ei ole vielä vastaus ja jatkamme laskemista. Koska meillä on osoittajissa polynomi, jaamme sen tekijöiksi tutulla kaavalla $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Muistatko? Loistava! Käytä nyt sitä laulun kanssa :) Saamme, että osoittaja $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Jatkamme ratkaisemista yllä olevan muutoksen perusteella: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Vastaus |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Otetaan kahden viimeisen esimerkin raja äärettömyyteen ja otetaan huomioon epävarmuus: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| Esimerkki 5 |
| Laske $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Ratkaisu |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Mitä tehdä? Kuinka olla? Älä panikoi, sillä mahdoton on mahdollista. Sekä osoittajassa että nimittäjässä X on poistettava sulut ja pienennettävä sitä. Yritä sen jälkeen laskea raja. Yritetään... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Käyttämällä esimerkin 2 määritelmää ja korvaamalla infinity x:llä, saamme: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Vastaus |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Algoritmi rajojen laskemiseen
Tehdään siis lyhyesti yhteenveto analysoiduista esimerkeistä ja laaditaan algoritmi rajojen ratkaisemiseksi:
- Korvaa rajamerkkiä seuraavan lausekkeen piste x. Jos saadaan tietty luku tai ääretön, niin raja on täysin ratkaistu. Muuten meillä on epävarmuus: "nolla jaettuna nollalla" tai "äärettömyydellä jaettuna äärettömyydellä" ja siirrytään ohjeen seuraaviin kappaleisiin.
- Epävarmuuden "nolla jaa nolla" poistamiseksi sinun on kerrottava osoittaja ja nimittäjä. Vähennä vastaavia. Korvaa lausekkeen piste x rajamerkin alle.
- Jos epävarmuus on "ääretön jaettuna äärettömyydellä", otetaan pois suurimman asteen osoittajassa ja nimittäjässä x. Lyhennämme x:iä. Korvaamme x-arvot rajan alta jäljellä olevaan lausekkeeseen.
Tässä artikkelissa tutustuit kurssilla usein käytettyihin rajanratkaisun perusteisiin. Matemaattinen analyysi. Nämä eivät tietenkään ole kaikentyyppisiä tutkijoiden tarjoamia ongelmia, vaan vain yksinkertaisimmat rajat. Puhumme muun tyyppisistä tehtävistä tulevissa artikkeleissa, mutta ensin sinun on opittava tämä oppitunti, jotta voit jatkaa. Keskustelemme siitä, mitä tehdä, jos on juuria, asteita, tutkimme äärettömän pieniä ekvivalenttifunktioita, upeita rajoja, L'Hopitalin sääntöä.
Jos et pysty selvittämään rajoja itse, älä panikoi. Autamme aina mielellämme!
Ladataan...
