itsenäiset satunnaiset tapahtumat. Todennäköisyyksien kertolaskulause. Riippuvat ja riippumattomat satunnaismuuttujat. Ehdolliset jakautumislait ja diskreettien RV:iden kovarianssi Satunnaismuuttujia kutsutaan riippumattomiksi if

Mikään niistä ei riipu siitä, mitä arvoja muut satunnaismuuttujat ovat saaneet (tai ottavat).

Esimerkiksi kahden pelinoppaan järjestelmä - on aivan selvää, että yhden nopan heiton tulos ei vaikuta millään tavalla toisen nopan kasvojen putoamisen todennäköisyyteen. Tai samat itsenäisesti toimivat peliautomaatit. Ja luultavasti joillakin on sellainen vaikutelma, että mikä tahansa SV on yleisesti ottaen riippumaton. Näin ei kuitenkaan aina ole.

Harkitse samanaikaisesti heittää pois kaksi magneettinoppaa, joiden pohjoisnavat ovat 1-pisteen puolella ja etelänavat ovat vastakkaisella 6-pistepinnalla. Ovatko samanlaiset satunnaismuuttujat riippumattomia? Kyllä he tahtovat. Todennäköisyys jättää pois "1" ja "6" yksinkertaisesti pienenee ja muiden kasvojen mahdollisuus kasvaa, koska testin tuloksena kuutiot voidaan vetää puoleensa vastakkaisilla navoilla.

Harkitse nyt järjestelmää, jossa nopat heitetään pois peräkkäin:

- ensimmäisellä noppaa heitettyjen pisteiden määrä;

- toisella nopalla heitettyjen pisteiden määrä, jos se hylätään aina ensimmäisen nopan oikealle (esimerkiksi) puolelle.

Tässä tapauksessa satunnaismuuttujan jakautumislaki riippuu kuinka 1. kuutio sijaitsee. Toinen luu voidaan joko vetää puoleensa tai päinvastoin - pomppia (jos samannimiset navat kohtaavat) tai jättää ensimmäisen kuution osittain tai kokonaan huomiotta.

Toinen esimerkki: oletetaan, että samat peliautomaatit yhdistyvät yhdeksi verkostoksi, ja - on olemassa satunnaismuuttujien järjestelmä - voitot vastaavilla koneilla. En tiedä onko tämä järjestelmä laillinen, mutta pelisalin omistaja voi hyvinkin perustaa verkon seuraavalla tavalla: kun suuri voitto tapahtuu missä tahansa koneessa, voittojen jakautumisen lait yleisesti kaikissa koneissa muuttuvat automaattisesti. Erityisesti on suositeltavaa nollata suurten voittojen todennäköisyydet joksikin aikaa, jotta laitoksella ei tule pulaa varoista (jos yhtäkkiä joku voittaa jälleen ison). Näin ollen tarkasteltava järjestelmä on riippuvainen.

Esimerkkinä voidaan harkita 8 kortin pakkaa, olkoon se kuninkaat ja kuningattaret, ja yksinkertainen peli, jossa kaksi pelaajaa peräkkäin (riippumatta missä järjestyksessä) nostavat yhden kortin pakasta. Harkitse satunnaismuuttujaa , joka symboloi yhtä pelaajaa ja saa seuraavat arvot: 1 , jos hän veti sydänkortin, ja 0 - jos kortti on eri maata.

Samoin anna satunnaismuuttujan symboloida toista pelaajaa ja ottaa myös arvot 0 tai 1, jos hän ei ole piirtänyt sydäntä ja sydäntä.

on todennäköisyys, että molemmat pelaajat poistavat madon,

on päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys ja:

- todennäköisyys, että toinen purkaa madon, ja toinen - ei; tai päinvastoin:

Siten riippuvan järjestelmän todennäköisyysjakauman laki on:

Ohjaus: , joka oli tarkistettava. ...Ehkä sinulla on kysymys, miksi harkitsen täsmälleen 8:ta enkä 36:ta? Kyllä, vain siksi, etteivät murtoluvut ole niin hankalia.

Analysoidaan nyt hieman tuloksia. Jos lasketaan todennäköisyydet yhteen rivi riviltä: , niin saadaan täsmälleen satunnaismuuttujan jakautumislaki:

On helppo ymmärtää, että tämä jakauma vastaa tilannetta, jossa "X"-pelaaja nostaa kortin yksin, ilman "G"-toveria, ja hänen odotettu arvo:
- on yhtä suuri kuin todennäköisyys saada sydämiä kanneltamme.

Vastaavasti, jos todennäköisyydet summataan sarakkeiden mukaan, niin saadaan toisen pelaajan yhden pelin jakautumislaki:

samalla odotuksella

Pelisääntöjen "symmetrian" vuoksi jakaumat osoittautuivat samoiksi, mutta yleensä ne ovat tietysti erilaisia.

Lisäksi on hyödyllistä harkita todennäköisyysjakauman ehdolliset lait . Tämä on tilanne, jossa yksi satunnaismuuttujista on jo ottanut jonkin verran erityinen merkitys, tai oletamme sen hypoteettisesti.

Anna "pelaaja"-pelaajan vetää ensin kortti, äläkä sydäntä. Tämän tapahtuman todennäköisyys on (summaa todennäköisyydet ensimmäiseen sarakkeessa pöydät - Katso edellä). Siis samasta riippuvien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulauseet saamme seuraavat ehdolliset todennäköisyydet:
- todennäköisyys, että "X"-pelaaja ei piirrä sydäntä, edellyttäen, että "pelaava" pelaaja ei vedä sydäntä;
- todennäköisyys, että "X"-pelaaja piirtää sydämen, jos "pelaaja" ei ole piirtänyt sydäntä.

... kaikki muistavat kuinka päästä eroon nelikerroksisia murto-osia? Ja kyllä, muodollinen, mutta erittäin mukava tekninen sääntö näiden todennäköisyyksien laskemiseksi: ensimmäinen summa Kaikki todennäköisyydet sarakkeessa, ja jaa sitten jokainen todennäköisyys saadulla summalla.

Siten kohdassa , satunnaismuuttujan ehdollinen jakautumislaki kirjoitetaan seuraavasti:

, OK. Lasketaan ehdollinen matemaattinen odotus:

Tehdään nyt satunnaismuuttujan jakautumislaki sillä ehdolla, että satunnaismuuttuja on ottanut arvon , ts. "Pelaaja"-pelaaja veti sydänpukuisen kortin. Tätä varten teemme yhteenvedon 2. todennäköisyyksistä sarakkeessa taulukot ( Katso edellä): ja laske ehdolliset todennäköisyydet:
- se, että "X"-pelaaja ei piirrä matoa,
- ja mato.
Siten haluttu ehdollinen jakautumislaki:

Ohjaus: , ja ehdollinen odotus:
- tietysti se osoittautui pienemmäksi kuin edellisessä tapauksessa, koska "pelaaja" -pelaaja vähensi pakan sydämien määrää.

"peili" tapa (työskentely taulukon rivien kanssa) voidaan muodostaa - satunnaismuuttujan jakautumislaki, jos satunnaismuuttuja on ottanut arvon ja ehdollinen jakauma, kun "X"-pelaaja on ottanut madon. On helppo ymmärtää, että pelin "symmetrian" ansiosta saadaan samat jakaumat ja samat arvot.

varten jatkuvia satunnaismuuttujia ottaa käyttöön samat käsitteet. ehdolliset jakaumat ja matemaattiset odotukset, mutta jos niille ei ole kuumaa tarvetta, on parempi jatkaa tämän oppitunnin opiskelua.

Käytännössä useimmissa tapauksissa sinulle tarjotaan valmis jakautumislaki satunnaismuuttujien järjestelmälle:

Esimerkki 4

Kaksiulotteinen satunnaismuuttuja saadaan omalla todennäköisyysjakauman lailla:

... Halusin harkita suurempaa pöytää, mutta päätin olla maaninen, koska tärkeintä on ymmärtää ratkaisun periaate.

Edellytetään:

1) Piirrä jakautumislait ja laske vastaavat matemaattiset odotukset. Tee järkevä johtopäätös satunnaismuuttujien riippuvuudesta tai riippumattomuudesta .

Tämä on tehtävä, joka on ratkaistava itse! Muistutan, että NE:n riippumattomuuden tapauksessa lait täytyy osoittautua samaksi ja yhtyä satunnaismuuttujan jakauman lain kanssa ja lakien on oltava samat kuin . Desimaalit, joka ei tiedä tai unohtanut, on kätevää jakaa näin: .
Voit katsoa näytteen sivun alalaidasta.

2) Laske kovarianssikerroin.

Katsotaan ensin itse termiä ja mistä se ylipäätään tuli: kun satunnaismuuttuja saa eri arvoja, he sanovat, että se vaihtelee, ja tämän määrällinen mittaus muunnelmat, kuten tiedät, ilmaistaan dispersio. Käyttämällä varianssin laskentakaavaa sekä odotuksen ja varianssin ominaisuuksia on helppo todeta, että:

eli kun lisätään kaksi satunnaismuuttujaa, niiden varianssit summataan ja lisätään lisätermi, joka kuvaa nivelen vaihtelu tai pian - kovarianssi satunnaismuuttujia.

kovarianssi tai korrelaatiohetki - Tämä nivelen vaihtelun mitta satunnaismuuttujia.

Nimitys: tai

Diskreettien satunnaismuuttujien kovarianssi on määritelty, nyt "ilmaisin" :), tuotteen matemaattisena odotuksena lineaariset poikkeamat näistä satunnaismuuttujista vastaavista matemaattisista odotuksista:

Jos , niin satunnaismuuttujat riippuvainen. Kuvannollisesti puhuen nollasta poikkeava arvo kertoo meille luonnollinen yhden SW:n "vastaukset" toisen SW:n muutokseen.

Kovarianssi voidaan laskea kahdella tavalla, minä katan molemmat.

Menetelmä yksi. Tekijä: matemaattisen odotuksen määritelmä:

"Kauhea" kaava ja ei ollenkaan kauheita laskelmia. Ensin laadimme satunnaismuuttujien jakauman lait ja - tätä varten teemme yhteenvedon todennäköisyyksistä rivien yli ("X" arvo) ja sarakkeiden mukaan ("pelin" arvo):

Katso alkuperäistä ylätaulukkoa - ymmärtävätkö kaikki, kuinka jakelut muodostuivat? Laskea odotuksia:
Ja poikkeamat satunnaismuuttujien arvot vastaavista matemaattisista odotuksista:

Tuloksena olevat poikkeamat on kätevää sijoittaa kaksiulotteiseen taulukkoon, jonka sisään kirjoitetaan sitten todennäköisyydet alkuperäisestä taulukosta:


Nyt sinun on laskettava kaikki mahdolliset tuotteet, esimerkkinä korostin: (Punainen väri) Ja (Sininen väri). On kätevää suorittaa laskelmia Excelissä ja kirjoittaa kaikki yksityiskohtaisesti puhtaalle kopiolle. Olen tottunut työskentelemään "rivi riviltä" vasemmalta oikealle, ja siksi listaan ​​ensin kaikki mahdolliset tuotteet, joiden "X"-poikkeama on -1,6, sitten poikkeamalla 0,4:

Menetelmä kaksi, yksinkertaisempi ja yleisempi. Kaavan mukaan:

Tuotteen SW odotus määritellään seuraavasti ja teknisesti kaikki on hyvin yksinkertaista: otamme alkuperäisen ongelmataulukon ja etsimme kaikki mahdolliset tuotteet vastaavilla todennäköisyyksillä ; alla olevassa kuvassa korostin työn punaisella ja sininen tuote:


Ensin listaan ​​kaikki tuotteet arvolla , sitten arvolla , mutta voit tietysti käyttää erilaista luettelointijärjestystä - kuten haluat:

Arvot on jo laskettu (katso menetelmä 1), ja on vielä sovellettava kaavaa:

Kuten edellä todettiin, kovarianssin nollasta poikkeava arvo kertoo meille satunnaismuuttujien riippuvuudesta, ja mitä enemmän se on modulo, sitä enemmän tämä riippuvuus lähemmäksi toimivaksi lineaarinen riippuvuuksia. Sillä se määräytyy lineaaristen poikkeamien kautta.

Siten määritelmä voidaan muotoilla tarkemmin:

kovarianssi on mitta lineaarinen satunnaismuuttujien riippuvuuksia.

KANSSA nolla arvo yhä kiireisempiä. Jos todetaan, että , niin satunnaismuuttujat voivat osoittautua sekä riippumaton että riippuvainen(koska riippuvuus ei voi olla vain lineaarinen). Täten, tätä tosiasiaa ei yleensä voida käyttää perustelemaan SV:n riippumattomuutta!

Jos kuitenkin tiedetään, että he ovat itsenäisiä, niin . Tämä voidaan helposti todentaa analyyttisesti: koska riippumattomille satunnaismuuttujille ominaisuus ( katso edellinen oppitunti), sitten kovarianssin laskentakaavan mukaan:

Mitä arvoja tämä kerroin voi saada? Kovarianssikerroin ottaa arvoja, jotka eivät ylitä modulo- ja mitä enemmän, sitä selvemmin lineaarinen riippuvuus. Ja kaikki näyttää olevan kunnossa, mutta tällaisella toimenpiteellä on merkittävä haitta:

Oletetaan, että tutkimme kaksiulotteinen jatkuva satunnaismuuttuja(valmistellaan henkisesti :)), jonka komponentit mitataan senttimetreinä ja sai arvon . Muuten, mikä on kovarianssin ulottuvuus? Koska, - senttimetriä, ja - myös senttimetriä, sitten heidän tuotteensa ja tämän tuotteen odotukset – ilmaistuna neliösenttimetrinä, ts. kovarianssi, kuten varianssi, on neliöllinen arvo.

Oletetaan nyt, että joku oppi saman järjestelmän, mutta ei käyttänyt senttimetrejä, vaan millimetrejä. Koska 1 cm = 10 mm, kovarianssi kasvaa 100-kertaiseksi ja on yhtä suuri kuin !

Siksi se on kätevä harkita normalisoitunut kovarianssikerroin, joka antaisi meille saman ja dimensiottoman arvon. Tätä kerrointa kutsutaan, jatkamme tehtäväämme:

3) Kerroin korrelaatioita . Tai tarkemmin sanottuna lineaarinen korrelaatiokerroin:

, Missä - standardipoikkeamat satunnaismuuttujia.

Korrelaatiokerroin mittaamaton ja ottaa arvot alueelta:

(jos sinulla on jotain muuta käytännössä - etsi virhe).

Sitä enemmän modulo ykseyteen, mitä lähempänä arvojen lineaarista suhdetta on ja mitä lähempänä nollaa, sitä vähemmän tämä riippuvuus on. Suhdetta pidetään merkittävänä alkaen noin . Ääriarvot vastaavat tiukkaa toiminnallista riippuvuutta, mutta käytännössä "ihanteellisia" tapauksia ei tietenkään ole.

Haluan todella antaa monia mielenkiintoisia esimerkkejä, mutta korrelaatio on kurssilla tärkeämpi matemaattiset tilastot ja säästän ne tulevaisuutta varten. No, nyt etsitään korrelaatiokerroin tehtävästämme. Niin. Jakelun lait ovat jo tiedossa, kopioin ylhäältä:

Odotukset löytyvät: , ja se on vielä laskettava standardipoikkeamat. merkki En piirrä sitä, se on nopeampi laskea viivalla:

Edellisessä kappaleessa havaittu kovarianssi , ja jäljellä on laskea korrelaatiokerroin:
, joten arvojen välillä on lineaarinen riippuvuus keskimääräisestä tiiviydestä.

Neljäs tehtävä on taas tyypillisempi tehtäville matemaattiset tilastot, mutta harkitse sitä varmuuden vuoksi tässä:

4) Kirjoita lineaarinen regressioyhtälö .

Yhtälö lineaarinen regressio on toiminto , mikä paras tapa approksimoi satunnaismuuttujan arvoja. Parhaan likiarvon saamiseksi käytetään yleensä pienimmän neliösumman menetelmä, ja sitten regressiokertoimet voidaan laskea kaavoilla:
, nämä ovat ihmeitä, ja toinen kerroin:

  Riippuvat ja riippumattomat satunnaismuuttujat

 Satunnaismuuttujien järjestelmiä tutkittaessa tulee aina kiinnittää huomiota niiden riippuvuuden asteeseen ja luonteeseen. Tämä riippuvuus voi olla enemmän tai vähemmän selvä, enemmän tai vähemmän läheinen. Joissakin tapauksissa satunnaismuuttujien välinen suhde voi olla niin läheinen, että tietäen yhden satunnaismuuttujan arvon voit osoittaa tarkasti toisen arvon. Toisessa ääritapauksessa satunnaismuuttujien välinen riippuvuus on niin heikko ja etäinen, että niitä voidaan käytännössä pitää itsenäisinä.
 Riippumattomien satunnaismuuttujien käsite on yksi tärkeimmistä todennäköisyysteorian käsitteistä.
 Satunnaismuuttujan \(Y\) sanotaan olevan riippumaton satunnaismuuttujasta \(X\), jos arvon \(Y\) jakautumislaki ei riipu arvon \(X\) arvosta.
 Jatkuville satunnaismuuttujille ehto, että \(Y\) on riippumaton \(X\):stä, voidaan kirjoittaa seuraavasti: $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ mille tahansa \(y) \).
 Päinvastoin, jos \(Y\) riippuu \(X\), niin $$f(y\mid x) \neq f_(2)(y)$$  Todistamme, että satunnaismuuttujien riippuvuus tai riippumattomuus on aina molemminpuolinen: jos arvo \(Y\) ei riipu arvosta \(X\), niin arvo \(X\) ei riipu arvosta \(Y\).
 Olkoon \(Y\) riippumaton arvosta \(X\): $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ meillä on: $$f_(1)(x)f( y \mid x)=f_(2)(y)f(x\mid y)$$ mistä saamme: $$f_(1)(x)=f(x\mid y)$$ jonka piti olla todistettu.
 Koska satunnaismuuttujien riippuvuus ja riippumattomuus ovat aina keskinäisiä, voimme antaa riippumattomille satunnaismuuttujille uuden määritelmän.
 Satunnaismuuttujia \(X\) ja \(Y\) kutsutaan itsenäisiksi, jos kummankaan jakauman laki ei riipu toisen arvosta. Muussa tapauksessa suuret \(X\) ja \(Y\) kutsutaan riippuvainen.
  Riippumattomille jatkuville satunnaismuuttujille jakautumislain kertolaskulause on järjestelmään sisältyvien yksittäisten suureiden jakauman muodossa.
Usein jo funktion \(f(x, y)\) muodon perusteella voidaan päätellä, että satunnaismuuttujat \(X, Y\) ovat riippumattomia, eli jos jakautumistiheys \(f(x, y) \) hajottaa tuotteeksi kaksi funktiota, joista toinen riippuu vain \(x\), toinen vain \(y\), jolloin satunnaismuuttujat ovat riippumattomia.
Esimerkki 1 Järjestelmän \((X, Y)\) jakautumistiheys on muotoa: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi ^(2)(x^(2)+y^( 2)+x ^(2)y^(2)+1))$$ Määritä, ovatko satunnaismuuttujat \(X\) ja \(Y\) riippuvia vai riippumattomia.
Ratkaisu. Kun nimittäjä kerrotaan, meillä on: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\frac(1)(\pi (y^(2)+1 ))$$ Siitä, että funktio \(f(x, y)\) on jakautunut kahden funktion tuloksi, joista toinen riippuu vain funktiosta \(x\) ja toinen vain funktiosta \(y\ ), päättelemme, että suureiden \(X\) ja \(Y\) on oltava riippumattomia. Todellakin, kaavoja sovellettaessa meillä on: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\int_(-\infty)^(\infty)(\ frac( dy)(\pi (y^(2)+1)))=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))$$ samanlainen kuin $$f(x, y)= (\frac (1)(\pi (y^(2)+1)))$$ mistä syystä varmistamme, että $$f(x, y)=f_(1)(x)f_(2)(y) $$ ja näin ollen suuret \(X\) ja \(Y\) ovat riippumattomia.

Ehdolliset lait jakelu. Regressio.

Määritelmä. Kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (X, Y) yhden yksiulotteisen komponentin ehdollinen jakautumislaki on sen jakautumislaki, joka lasketaan sillä ehdolla, että toinen komponentti sai tietyn arvon (tai putoaa jollekin välille). Edellisessä luennossa pohdittiin ehdollisten jakaumien löytämistä diskreeteille satunnaismuuttujille. Ehdollisille todennäköisyyksille on myös kaavoja:

Jatkuvien satunnaismuuttujien tapauksessa on tarpeen määrittää ehdollisten jakaumien j y (x) ja j X (y) todennäköisyystiheydet. Tätä varten korvaamme yllä olevissa kaavoissa tapahtumien todennäköisyydet niiden "todennäköisyyselementeillä",!

dx:llä ja dy:llä pienennyksen jälkeen saadaan:

nuo. kaksiulotteisen satunnaismuuttujan yhden yksiulotteisen komponentin ehdollinen todennäköisyystiheys on yhtä suuri kuin sen niveltiheyden suhde toisen komponentin todennäköisyystiheyteen. Nämä suhteet on kirjoitettu muodossa

kutsutaan jakautumistiheyksien kertolaskulauseeksi (säännöksi).

Ehdolliset tiheydet j y (x) ja j X (y). niillä on kaikki "ehdottoman" tiheyden ominaisuudet.

Kun tutkitaan kaksiulotteisia satunnaismuuttujia, otamme huomioon numeeriset ominaisuudet yksiulotteiset komponentit X ja Y - matemaattiset odotukset ja varianssit. Jatkuvalle satunnaismuuttujalle (X, Y) ne määritetään kaavoilla:

Niiden ohella huomioidaan myös ehdollisten jakaumien numeeriset ominaisuudet: ehdolliset matemaattiset odotukset M x (Y) ja M y (X) sekä ehdolliset varianssit D x (Y) ja D Y (X). Nämä ominaisuudet löydetään tavallisilla matemaattisten odotusten ja varianssien kaavoilla, joissa käytetään ehdollisia todennäköisyyksiä tai ehdollisia todennäköisyystiheyksiä tapahtumatodennäköisyyksien tai todennäköisyystiheyksien sijasta.

Satunnaismuuttujan Y ehdollinen matemaattinen odotus, kun X = x, ts. M x (Y), on x:n funktio, jota kutsutaan regressiofunktioksi tai yksinkertaisesti regressioksi Y X:ssä. Samoin M Y (X) on regressiofunktio tai yksinkertaisesti regressio X:llä Y. Näiden funktioiden kuvaajia kutsutaan vastaavasti. regressioviivat (tai regressiokäyrät) Y x X tai X X Y.

Riippuvat ja riippumattomat satunnaismuuttujat.

Määritelmä. Satunnaismuuttujia X ja Y kutsutaan riippumattomiksi, jos niiden yhteinen jakaumafunktio F(x,y) esitetään näiden satunnaismuuttujien jakaumafunktioiden F 1 (x) ja F 2 (y) tulona, ​​ts.

Muuten satunnaismuuttujia X ja Y kutsutaan riippuviksi.

Erottamalla yhtäläisyys kahdesti argumenttien x ja y suhteen, saamme

nuo. riippumattomille jatkuville satunnaismuuttujille X ja Y niiden yhteistiheys j(x, y) on yhtä suuri kuin näiden satunnaismuuttujien todennäköisyystiheyksien j 1 (x) ja j 2 (y) tulo.

Toistaiseksi olemme käsitelleet konseptia toiminnallinen riippuvuus muuttujien X ja Y välillä, kun jokainen x:n arvo yhdessä muuttujassa vastasi tiukasti määriteltyä arvoa toisessa. Esimerkiksi kahden satunnaismuuttujan välinen suhde - tietyn ajanjakson aikana epäonnistuneiden laitteiden lukumäärä ja niiden hinta - on toimiva.

Yleensä kohdataan erityyppinen riippuvuus, vähemmän jäykkä kuin toiminnallinen riippuvuus.

Määritelmä. Kahden satunnaismuuttujan välistä suhdetta kutsutaan todennäköisyysmuuttujaksi (stokastiseksi tai tilastolliseksi), jos jommankumman arvo vastaa toisen tiettyä (ehdollista) jakaumaa.

Todennäköisyysriippuvuuden (stokastisen) tapauksessa on mahdotonta toisen suuren arvon tiedossa määrittää tarkasti toisen suuren arvo, mutta vain toisen suuren jakauma voidaan osoittaa. Esimerkiksi laitevikojen määrän ja ennaltaehkäisevän huollon kustannusten välinen suhde, henkilön paino ja pituus, koululapsen televisio-ohjelmien katseluun ja kirjojen lukemiseen käytetty aika jne. ovat probabilistisia (stokastisia).

Kuvassa 5.10 näyttää esimerkkejä riippuvista ja riippumattomista satunnaismuuttujista X ja Y.

Satunnaisia ​​tapahtumia kutsutaan riippumattomiksi, jos yhden niistä esiintyminen ei vaikuta muiden tapahtumien todennäköisyyteen.

Esimerkki 1 . Jos värillisiä palloja on kaksi tai useampia, minkä tahansa pallon vetäminen yhdestä uurnasta ei vaikuta todennäköisyyteen vetää muita palloja jäljellä olevista uurneista.

Itsenäisiin tapahtumiin, todennäköisyyden kertolaskulause: todennäköisyysliitos(samanaikaisesti)useiden riippumattomien satunnaisten tapahtumien esiintyminen on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo:

P (A 1 ja A 2 ja A 3 ... ja A k) \u003d P (A 1) ∙ P (A 2) ∙ ... ∙ P (A k). (7)

Tapahtumien yhteinen (samanaikainen) esiintyminen tarkoittaa, että tapahtumat tapahtuvat ja A 1, Ja A 2, Ja A 3… Ja Ja k.

Esimerkki 2 . Urnia on kaksi. Toisessa on 2 mustaa ja 8 valkoista palloa, toisessa 6 mustaa ja 4 valkoista. Anna tapahtuman A- satunnainen valkoinen pallo ensimmäisestä uurnasta, SISÄÄN- toisesta. Millä todennäköisyydellä näistä uurneista valitaan satunnaisesti valkoinen pallo, ts. mikä on yhtä suuri R (A Ja SISÄÄN)?

Ratkaisu: todennäköisyys vetää valkoinen pallo ensimmäisestä uurnasta
R(A) = = 0,8 toisesta – R(SISÄÄN) = = 0,4. Todennäköisyys saada valkoinen pallo molemmista uurneista samanaikaisesti on
R(A Ja SISÄÄN) = R(A)· R(SISÄÄN) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Esimerkki 3 Vähemmän jodia sisältävä ruokavalio aiheuttaa kilpirauhasen laajentumisen 60 %:lla eläimistä suuressa populaatiossa. Kokeeseen tarvitaan 4 laajentunutta rauhasta. Laske todennäköisyys, että neljällä satunnaisesti valitulla eläimellä on laajentunut kilpirauhanen.

Ratkaisu: Satunnainen tapahtuma A- satunnainen valinta eläimestä, jolla on laajentunut kilpirauhanen. Ongelman tilanteen mukaan tämän tapahtuman todennäköisyys R(A) = 0,6 = 60 %. Sitten neljän itsenäisen tapahtuman yhteisen esiintymisen todennäköisyys - satunnainen valinta 4 eläimestä, joilla on laajentunut kilpirauhanen - on yhtä suuri:

R(A 1 ja A 2 ja A 3 ja A 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6) 4 ≈ 0,13 = 13%.

riippuvaisia ​​tapahtumia. Riippuvien tapahtumien todennäköisyyden kertolaskulause

Satunnaisia ​​tapahtumia A ja B kutsutaan riippuviksi, jos jommankumman tapahtuminen, esimerkiksi A, muuttaa toisen tapahtuman - B - todennäköisyyttä. Siksi riippuville tapahtumille käytetään kahta todennäköisyysarvoa: ehdottomia ja ehdollisia todennäköisyyksiä .

Jos A Ja SISÄÄN riippuvat tapahtumat, sitten tapahtuman todennäköisyys SISÄÄN ensin (eli ennen tapahtumaa A) kutsutaan ehdoton todennäköisyys tämän tapahtuman ja on nimetty R(SISÄÄN).Tapahtuman todennäköisyys SISÄÄN edellyttäen, että tapahtuma A jo tapahtunut, kutsutaan ehdollinen todennäköisyys Tapahtumat SISÄÄN ja merkitty R(SISÄÄN/A) tai R A(SISÄÄN).

Ehdoton - R(A) ja ehdollinen - R(A/B) tapahtuman todennäköisyyksiä A.

Todennäköisyyksien kertolaskulause kahdelle riippuvaiselle tapahtumalle: kahden riippuvan tapahtuman A ja B samanaikaisen esiintymisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin ensimmäisen tapahtuman ehdottoman todennäköisyyden tulo toisen ehdollisen todennäköisyyden kanssa:

R(A ja B)= P(A)∙P(B/A) , (8)

A, tai

R(A ja B)= P(SISÄÄN)∙P(A/B), (9)

jos tapahtuma tapahtuu ensin SISÄÄN.

Esimerkki 1. Urnassa on 3 mustaa palloa ja 7 valkoista palloa. Laske todennäköisyys, että tästä uurnasta otetaan 2 valkoista palloa yksitellen ulos (eikä ensimmäistä palloa palauteta uurnaan).

Ratkaisu: todennäköisyys vetää ensimmäinen valkoinen pallo (tapahtuma A) on yhtä suuri kuin 7/10. Ulosottamisen jälkeen uurnaan jää 9 ​​palloa, joista 6 on valkoisia. Sitten toisen valkoisen pallon ilmestymisen todennäköisyys (tapahtuma SISÄÄN) on yhtä suuri kuin R(SISÄÄN/A) = 6/9, ja todennäköisyys saada kaksi valkoista palloa peräkkäin on

R(A Ja SISÄÄN) = R(A)∙R(SISÄÄN/A) = = 0,47 = 47%.

Annettu riippuvaisten tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulause voidaan yleistää mihin tahansa määrään tapahtumia. Erityisesti kolmelle toisiinsa liittyvälle tapahtumalle:

R(A Ja SISÄÄN Ja KANSSA)= P(A)∙ R(B/A)∙ R(OHJAAMO). (10)

Esimerkki 2. Kahdessa päiväkodissa, joissa molemmissa oli 100 lasta, puhkesi tartuntatauti. Tapausten osuus on 1/5 ja 1/4, ja ensimmäisessä laitoksessa 70%, ja toisessa - 60% tapauksista on alle 3-vuotiaita lapsia. Yksi lapsi valitaan sattumanvaraisesti. Määritä todennäköisyys, että:

1) valittu lapsi kuuluu ensimmäiseen päiväkotiin (tapahtuma A) ja sairas (tapahtuma SISÄÄN).

2) lapsi valitaan toisesta päiväkoti(tapahtuma KANSSA), sairas (tapahtuma D) ja yli 3 vuotta (tapahtuma E).

Ratkaisu. 1) haluttu todennäköisyys -

R(A Ja SISÄÄN) = R(A) ∙ R(SISÄÄN/A) = = 0,1 = 10%.

2) haluttu todennäköisyys:

R(KANSSA Ja D Ja E) = R(KANSSA) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = = 5%.

Bayesin kaava

= (12)

Esimerkki1. Potilaan alkututkimuksen aikana oletetaan 3 diagnoosia H 1 , H 2 , H 3. Niiden todennäköisyydet jakautuvat lääkärin mukaan seuraavasti: R(H 1) = 0,5; R(H 2) = 0,17; R(H 3) = 0,33. Siksi ensimmäinen diagnoosi vaikuttaa alustavasti todennäköisimmältä. Sen selventämiseksi määrätään esimerkiksi verikoe, jossa odotetaan ESR:n nousua (tapahtuma A). Tiedetään etukäteen (tutkimustulosten perusteella), että ESR:n lisääntymisen todennäköisyys epäillyissä sairauksissa on yhtä suuri:

R(A/H 1) = 0,1; R(A/H 2) = 0,2; R(A/H 3) = 0,9.

Saadussa analyysissä kirjattiin ESR:n nousu (tapahtuma A tapahtui). Sitten Bayesin kaavan (12) mukainen laskelma antaa väitettyjen sairauksien todennäköisyyksien arvot kohonneella ESR-arvolla: R(H 1 /A) = 0,13; R(H 2 /A) = 0,09;
R(H 3 /A) = 0,78. Nämä luvut osoittavat, että laboratoriotiedot huomioon ottaen ei ensimmäinen, vaan kolmas diagnoosi, jonka todennäköisyys on nyt osoittautunut melko korkeaksi, on realistisin.

Esimerkki 2. Määritä todennäköisyys, joka arvioi lapsen perinataalisen* kuoleman riskin astetta naisilla, joilla on anatomisesti kapea lantio.

Ratkaisu: anna tapahtuma H 1 - turvallinen toimitus. Kliinisten raporttien mukaan R(H 1) = 0,975 = 97,5 %, niin jos H 2- perinataalisen kuolleisuuden tosiasia R(H 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Merkitse A- kapea lantio synnyttävällä naisella. Tehdyistä tutkimuksista tiedetään: a) R(A/H 1) - kapean lantion todennäköisyys suotuisan synnytyksen kanssa, R(A/H 1) = 0,029, b) R(A/H 2) - kapean lantion todennäköisyys perinataalisessa kuolleisuudessa,
R(A/H 2) = 0,051. Sitten synnyttävän naisen haluttu perinataalikuolleisuuden todennäköisyys kapeaan lantioon lasketaan Baysin kaavalla (12) ja se on yhtä suuri:

Siten perinataalisen kuolleisuuden riski anatomisesti kapeassa lantiossa on merkittävästi suurempi (melkein kaksinkertainen) kuin keskimääräinen riski (4,4 % vs. 2,5 %).

Kahta satunnaismuuttujaa $X$ ja $Y$ kutsutaan itsenäisiksi, jos yhden satunnaismuuttujan jakautumislaki ei muutu riippuen siitä, mitkä mahdolliset arvot toinen satunnaismuuttuja saa. Eli mille tahansa $x$ ja $y$ tapahtumat $X=x$ ja $Y=y$ ovat riippumattomia. Koska tapahtumat $X=x$ ja $Y=y$ ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien tulon lauseella $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ right)\right)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

Esimerkki 1 . Ilmaisekoon satunnaismuuttuja $X$ rahavoitot yhden "Russian Lotto" -arvontaan lipuista ja satunnaismuuttuja $Y$ ilmaisemaan rahavoitot toisen "Golden Key" -arpajaisten lipuista. On selvää, että satunnaismuuttujat $X,\ Y$ ovat riippumattomia, koska voitot yhden loton lipuista eivät riipu toisen arpajaisten voittojen jakautumislaista. Siinä tapauksessa, että satunnaismuuttujat $X,\ Y$ ilmaisevat voittoja samassa lotossa, niin nämä satunnaismuuttujat olisivat ilmeisesti riippuvaisia.

Esimerkki 2 . Kaksi työntekijää työskentelee eri työpajoissa ja valmistaa erilaisia ​​tuotteita, jotka eivät liity toisiinsa valmistusteknologioiden ja käytettyjen raaka-aineiden suhteen. Ensimmäisen työntekijän vuorossa valmistamien viallisten tuotteiden lukumäärän jakautumislaki on seuraavanlainen:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ viallisten \ tuotteiden lukumäärä \ x & 0 & 1 \\
\hline
Todennäköisyys & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(array)$

Toisen työntekijän vuoroa kohden valmistamien viallisten tuotteiden määrään sovelletaan seuraavaa jakelulakia.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ viallisten \ tuotteiden lukumäärä \ y & 0 & 1 \\
\hline
Todennäköisyys & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end(array)$

Etsitään kahden työntekijän vuorossa valmistamien viallisten tuotteiden lukumäärän jakautumislaki.

Olkoon satunnaismuuttuja $X$ ensimmäisen työntekijän vuorossa valmistamien viallisten tuotteiden lukumäärä ja $Y$ toisen työntekijän valmistamien viallisten tuotteiden lukumäärä vuoroa kohti. Oletuksena on, että satunnaismuuttujat $X,\ Y$ ovat riippumattomia.

Kahden työntekijän per vuoro tuottamien viallisten tuotteiden määrä on satunnaismuuttuja $X+Y$. Sen mahdolliset arvot ovat $0,\1$ ja $2$. Selvitetään todennäköisyydet, joilla satunnaismuuttuja $X+Y$ saa arvonsa.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ or\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\vasen(Y=1\oikea)+P\vasen(X=1\oikea)P\vasen(Y=0\oikea)=0,8\cpiste 0,3+0,2\cpiste 0,7 =0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

Sitten kahden työntekijän vuorossa valmistamien viallisten tuotteiden lukumäärän jakautumislaki:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ viallisten \ tuotteiden lukumäärä & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Todennäköisyys & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end(array)$

Edellisessä esimerkissä suoritimme operaation satunnaismuuttujille $X,\ Y$, eli löysimme niiden summan $X+Y$. Tehdään nyt tarkempi määritelmä satunnaismuuttujien operaatioille (yhteen-, erotus, kertolasku) ja annetaan esimerkkejä ratkaisuista.

Määritelmä 1. Satunnaismuuttujan $X$ ja vakion $k$ tulo $kX$ on satunnaismuuttuja, joka saa arvot $kx_i$ samoilla todennäköisyyksillä $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \pisteet ,\ n\ oikealle)$.

Määritelmä 2. Satunnaismuuttujien $X$ ja $Y$ summa (ero tai tulo) on satunnaismuuttuja, joka ottaa kaikki mahdolliset arvot muodossa $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ tai $x_i\cdot y_i$) , jossa $i=1 ,\ 2,\pisteet ,\ n$, todennäköisyyksillä $p_(ij)$, että satunnaismuuttuja $X$ saa arvon $x_i$ ja $Y$ arvon $y_j$:

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

Koska satunnaismuuttujat $X,\ Y$ ovat riippumattomia, riippumattomien tapahtumien todennäköisyyskertolauseella: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right )= p_i\cdot p_j$.

Esimerkki 3 . Riippumattomat satunnaismuuttujat $X,\ Y$ on annettu omilla todennäköisyysjakaumalailla.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(array)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(array)$

Tehdään satunnaismuuttujan $Z=2X+Y$ jakauman laki. Satunnaismuuttujien $X$ ja $Y$ summa eli $X+Y$ on satunnaismuuttuja, joka saa kaikki mahdolliset arvot muodossa $x_i+y_j$, missä $i=1,\ 2,\ pisteitä ,\ n$ , todennäköisyyksillä $p_(ij)$, että satunnaismuuttuja $X$ saa arvon $x_i$ ja $Y$ arvon $y_j$: $p_(ij)=P\left[\left( X=x_i\oikea )\vasen(Y=y_j\oikea)\oikea]$. Koska satunnaismuuttujat $X,\ Y$ ovat riippumattomia, riippumattomien tapahtumien todennäköisyyskertolauseella: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right )= p_i\cdot p_j$.

Jakaumalakeja on siis satunnaismuuttujille $2X$ ja $Y$, vastaavasti.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(array)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(array)$

Kaikkien summan $Z=2X+Y$ arvojen ja niiden todennäköisyyksien löytämisen helpottamiseksi teemme aputaulukon, jonka jokaiseen soluun sijoitamme summan $ arvot vasempaan kulmaan. Z=2X+Y$, ja oikeassa kulmassa - näiden tuloksena saatujen arvojen todennäköisyydet kertomalla satunnaismuuttujien $2X$ ja $Y$ vastaavien arvojen todennäköisyydet.

Tuloksena saadaan jakauma $Z=2X+Y$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(array)$