Satunnaismuuttujan jakautumistiheys on muotoa. Numeeriset ominaisuudet. Todennäköisyystiheys

Kuten tiedetään, Satunnaismuuttuja nimeltään muuttuja, joka voi saada tietyt arvot tapauksesta riippuen. Satunnaismuuttujat on merkitty latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla (X, Y, Z) ja niiden arvot - vastaavilla pienillä kirjaimilla (x, y, z). Satunnaismuuttujat jaetaan epäjatkuviin (diskreetteihin) ja jatkuviin.

Diskreetti satunnaismuuttuja nimeltään satunnainen arvo, joka ottaa vain äärellisen tai äärettömän (laskettavan) joukon arvoja tietyillä nollasta poikkeavilla todennäköisyyksillä.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on funktio, joka yhdistää satunnaismuuttujan arvot niitä vastaaviin todennäköisyyksiin. Jakelulaki voidaan määrittää jollakin seuraavista tavoista.

1 . Jakelulaki voidaan antaa taulukosta:

jossa λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) käyttämällä jakaumafunktio F(x) , joka määrittää kullekin arvolle x todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja X saa arvon, joka on pienempi kuin x, ts. F(x) = P(X< x).

F(x) funktion ominaisuudet

3 . Jakelulaki voidaan asettaa graafisesti – jakautumispolygoni (polygon) (katso tehtävä 3).

Huomaa, että joidenkin ongelmien ratkaisemiseksi ei ole välttämätöntä tuntea jakelulakia. Joissakin tapauksissa riittää, että tietää yhden tai useamman luvun, jotka kuvastavat jakelulain tärkeimpiä piirteitä. Se voi olla luku, joka tarkoittaa satunnaismuuttujan "keskiarvoa", tai luku, joka osoittaa satunnaismuuttujan keskimääräisen poikkeaman keskiarvosta. Tällaisia ​​lukuja kutsutaan satunnaismuuttujan numeerisiksi ominaisuuksiksi.

Diskreetin satunnaismuuttujan numeeriset perusominaisuudet :

• Matemaattinen odotus diskreetin satunnaismuuttujan (keskiarvo). M(X) = Σ x i p i.
  Binomijakaumalla M(X)=np, Poisson-jakaumalla M(X)=λ
• Dispersio diskreetti satunnaismuuttuja D(X) = M2 tai D(X) = M(X 2) − 2. Erotusta X–M(X) kutsutaan satunnaismuuttujan poikkeamaksi sen matemaattisesta odotuksesta.
  Binomijakaumalla D(X)=npq, Poisson-jakaumalla D(X)=λ
• Standardipoikkeama (keskihajonta) σ(X)=√D(X).

Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki"

Tehtävä 1.

1000 arpalippua on jaettu: 5 niistä voittaa 500 ruplaa, 10 voittaa 100 ruplaa, 20 voittaa 50 ruplaa ja 50 voittaa 10 ruplaa. Määritä satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman laki - voitot per lippu.

Ratkaisu. Ongelman ehdon mukaan seuraavat satunnaismuuttujan X arvot ovat mahdollisia: 0, 10, 50, 100 ja 500.

Lippujen määrä ilman voittoa on 1000 - (5+10+20+50) = 915, sitten P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Samalla tavalla löydämme kaikki muut todennäköisyydet: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Esitämme tuloksena olevan lain taulukon muodossa:

Etsitään odotettu arvo arvot X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tehtävä 3.

Laite koostuu kolmesta itsenäisesti toimivasta elementistä. Jokaisen elementin epäonnistumisen todennäköisyys yhdessä kokeessa on 0,1. Piirrä jakautumislaki epäonnistuneiden elementtien lukumäärälle yhdessä kokeessa, rakenna jakautumispolygoni. Etsi jakaumafunktio F(x) ja piirrä se. Etsi diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotusarvo, varianssi ja keskihajonta.

Ratkaisu. 1. Diskreetillä satunnaismuuttujalla X= (epäonnistuneet elementit yhdessä kokeessa) on seuraavat mahdolliset arvot: x 1 =0 (mikään laitteen elementeistä ei epäonnistunut), x 2 =1 (yksi elementti epäonnistui), x 3 =2 ( kaksi elementtiä epäonnistui ) ja x 4 \u003d 3 (kolme elementtiä epäonnistui).

Elementtien viat ovat toisistaan ​​riippumattomia, kunkin elementin epäonnistumistodennäköisyydet ovat keskenään yhtä suuret, joten sitä voidaan soveltaa Bernoullin kaava . Kun otetaan huomioon, että ehdon mukaan n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, määritämme arvojen todennäköisyydet:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 = 0,001;
Tarkista: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Siten haluttu binomilaki jakelu X on muotoa:

Abskissa-akselille piirretään mahdolliset arvot x i ja ordinaatta-akselille vastaavat todennäköisyydet р i . Muodostetaan pisteet M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Yhdistämällä nämä pisteet janoilla saamme halutun jakautumispolygonin.

3. Etsi jakaumafunktio F(x) = P(X

Funktion F(x) kuvaaja

4. Binomijakauma X:
- matemaattinen odotus М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersio D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- keskihajonta σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Tehtävä 2. Etsi integraalifunktion antama satunnaismuuttujan X varianssi.

Tehtävä 3. Etsi satunnaismuuttujan X matemaattinen odotus jakaumafunktiolla.

Tehtävä 4. Jonkin satunnaismuuttujan todennäköisyystiheys on annettu seuraavasti: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Etsi kerroin A , jakaumafunktio F(x) , matemaattinen odotus ja varianssi sekä todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa arvon välissä . Piirrä f(x)- ja F(x)-kuvaajat.

Tehtävä. Jonkin jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio on annettu seuraavasti:

Määritä parametrit a ja b , löydä lauseke todennäköisyystiheydelle f(x) , matemaattinen odotus ja varianssi sekä todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa arvon välissä . Piirrä f(x)- ja F(x)-kuvaajat.

Etsitään jakautumistiheysfunktio jakaumafunktion derivaatana.
F'=f(x)=a
Tietäen, että löydämme parametrin a:

tai 3a = 1, josta a = 1/3
Löydämme parametrin b seuraavista ominaisuuksista:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, jolloin b = -1/3
Siksi jakaumafunktio on: F(x) = (x-1)/3

Esimerkki #1. Jatkuvan satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman tiheys f(x) on annettu. Edellytetään:

1. Määritä kerroin A.
2. etsi jakaumafunktio F(x) .
3. piirrä kaavamaisesti F(x) ja f(x) .
4. etsi X:n matemaattinen odotus ja varianssi.
5. selvitä todennäköisyys, että X saa arvon väliltä (2;3).

Satunnaismuuttuja X saadaan jakautumistiheydellä f(x):

Tarkastetaan, täyttyykö varianssin tasaisen rajallisuuden vaatimus. Kirjoitetaan jakelulaki :

Etsitään matemaattinen odotus
:

Etsitään varianssi
:

Tämä funktio kasvaa, joten varianssia rajoittavan vakion laskemiseksi voit laskea rajan:

Näin ollen annettujen satunnaismuuttujien varianssit ovat rajoittamattomia, mikä oli todistettava.

B) Tšebyševin lauseen muotoilusta seuraa, että varianssien tasaisen rajallisuuden vaatimus on riittävä, mutta ei välttämätön ehto, joten ei voida väittää, etteikö tätä lausetta voida soveltaa tiettyyn sekvenssiin.

Riippumattomien satunnaismuuttujien järjestys Х 1 , Х 2 , …, Х n , … saadaan jakautumislain mukaan

D(Xn)=M(Xn2)-2,

muista, että M(X n)=0, löydämme (laskelmat jätetään lukijalle)

Oletetaan väliaikaisesti, että n muuttuu jatkuvasti (tämän oletuksen korostamiseksi merkitsemme n:ää x:llä), ja tutkitaan funktiota φ(x)=x 2 /2 x-1 ääripäälle.

Yhdistämällä tämän funktion ensimmäinen derivaatta nollaan, löydämme kriittiset pisteet x 1 \u003d 0 ja x 2 \u003d ln 2.

Hylkäämme ensimmäisen pisteen kiinnostamattomana (n ei saa arvoa, joka on yhtä suuri kuin nolla); on helppo nähdä, että pisteissä x 2 =2/ln 2 funktiolla φ(x) on maksimi. Ottaen huomioon, että 2/ln 2 ≈ 2,9 ja että N on positiivinen kokonaisluku, laskemme varianssin D(X n)= (n 2 /2 n -1)α 2 kokonaisluvuille, jotka ovat lähimpänä lukua 2,9 (vasen ja oikea), t . e. n = 2 ja n = 3.

Kun n = 2, dispersio D(X2) = 2a2, n = 3, dispersio D(X3) = 9/4a2. Ilmeisesti

(9/4)α2 > 2α2.

Siten suurin mahdollinen varianssi on yhtä suuri kuin (9/4)α 2, ts. satunnaismuuttujien Хn varianssia rajoittaa tasaisesti luku (9/4)α 2 .

Riippumattomien satunnaismuuttujien sarja X 1 , X 2 , …, X n , … saadaan jakautumislain mukaan

Onko Chebyshevin lause soveltuva tiettyyn sekvenssiin?

Kommentti. Koska satunnaismuuttujat X ovat tasaisesti jakautuneita ja riippumattomia, Khinchinin lauseeseen perehtynyt lukija voi rajoittua vain matemaattisen odotuksen laskemiseen ja varmistaa, että se on ohi.

Koska satunnaismuuttujat X n ovat riippumattomia, ne ovat vielä enemmän ja pareittain riippumattomia, ts. Tšebyshevin lauseen ensimmäinen vaatimus täyttyy.

On helppo todeta, että M(X n)=0, eli ensimmäinen matemaattisten odotusten äärellisyyden vaatimus täyttyy.

On vielä tarkistettava, onko varianssien tasaisen rajallisuuden vaatimus toteutettavissa. Kaavan mukaan

D(Xn)=M(Xn2)-2,

Muista, että M(X n)=0, löydämme

Suurin mahdollinen varianssi on siis 2, ts. satunnaismuuttujien Х n dispersioita rajoittaa tasaisesti luku 2.

Joten kaikki Chebyshev-lauseen vaatimukset täyttyvät, joten tätä lausetta voidaan soveltaa tarkasteltavaan sekvenssiin.

Määritä todennäköisyys, että arvo X saa testin tuloksena arvon, joka sisältyy väliin (0, 1/3).

Satunnaismuuttuja X annetaan koko Ox-akselilla hajautetulla funktiolla F(x)=1/2+(arctg x)/π. Määritä todennäköisyys, että arvo X saa testin tuloksena välissä (0, 1) olevan arvon.

Todennäköisyys, että X ottaa väliin (a, b) sisältyvän arvon, on yhtä suuri kuin jakaumafunktion lisäys tällä välillä: P(a

P(0< Х <1) = F(1)-F(0) = x =1 - x =0 = 1/4

Satunnaismuuttujan X-jakaumafunktio

Määritä todennäköisyys, että testin tuloksena X:n arvo saa arvon, joka sisältyy väliin (-1, 1).

Todennäköisyys, että X ottaa väliin (a, b) sisältyvän arvon, on yhtä suuri kuin jakaumafunktion lisäys tällä välillä: P(a

P(-1< Х <1) = F(1)-F(-1) = x =-1 – x =1 = 1/3.

Jatkuvan satunnaismuuttujan X (jonkin laitteen käyttöaika) jakaumafunktio on yhtä suuri kuin F(x)=1-e -x/ T (x≥0). Laske laitteen häiriöttömän toiminnan todennäköisyys ajalle x≥T.

Todennäköisyys, että X ottaa väliin x≥T sisältyvän arvon, on yhtä suuri kuin jakaumafunktion lisäys tällä välillä: P(0

P(x≥T) = 1 - P(T

Satunnaismuuttuja X saadaan jakaumafunktiosta

Määritä todennäköisyys, että X saa testin tuloksena arvon: a) pienempi kuin 0,2; b) vähemmän kuin kolme; c) vähintään kolme; d) vähintään viisi.

a) Koska x≤2:lle funktio F(x)=0, niin F(0, 2)=0, ts. P(x< 0, 2)=0;

b) P(X< 3) = F(3) = x =3 = 1.5-1 = 0.5;

c) tapahtumat Х≥3 ja Х<3 противоположны, поэтому Р(Х≥3)+Р(Х<3)=1. Отсюда, учитывая, что Р(Х<3)=0.5 [см. п. б.], получим Р(Х≥3) = 1-0.5 = 0.5;

d) vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi, joten P(X≥5) + P(X)<5)=1. Отсюда, используя условие, в силу которого при х>4 funktio F(x)=1, saamme P(X≥5) = 1-P(X<5) = 1-F(5) = 1-1 = 0.

Satunnaismuuttuja X saadaan jakaumafunktiosta

Laske todennäköisyys, että neljän riippumattoman kokeen tuloksena X:n arvo saa tasan kolme kertaa väliin (0,25, 0,75) kuuluvan arvon.

Todennäköisyys, että X ottaa väliin (a, b) sisältyvän arvon, on yhtä suuri kuin jakaumafunktion lisäys tällä välillä: P(a

P(0,25< X <0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.5

Siksi tai Täältä tai.

Satunnaismuuttuja X on annettu koko Ox - akselilla jakautumisfunktiolla . Etsi mahdollinen arvo, joka täyttää ehdon: todennäköisyydellä satunnainen X saa testin tuloksena arvon, joka on suurempi kuin

Ratkaisu. Tapahtumat ja ovat vastakkaisia, siis . Siksi,. Siitä lähtien .

Jakaumafunktion määritelmän mukaan .

Siksi tai . Täältä tai.

Diskreetti satunnaismuuttuja X on annettu jakautumislain mukaan

Joten halutulla jakelufunktiolla on muoto

Diskreetti satunnaismuuttuja X on annettu jakautumislain mukaan

Etsi jakaumafunktio ja piirrä sen kuvaaja.

Kun otetaan huomioon jatkuvan satunnaismuuttujan X jakaumafunktio

Etsi jakauman tiheys f(x).

Jakaumatiheys on yhtä suuri kuin jakaumafunktion ensimmäinen derivaatta:

Kun x=0 derivaatta ei ole olemassa.

Jatkuva satunnaismuuttuja X annetaan jakauman tiheydellä välissä ; tämän aikavälin ulkopuolella. Selvitä todennäköisyys, että X saa arvon, joka kuuluu väliin .

Käytetään kaavaa. Ehdolla ja. Siksi haluttu todennäköisyys

Jakauman tiheys antaa jatkuvan satunnaismuuttujan X välissä ; tämän aikavälin ulkopuolella. Selvitä todennäköisyys, että X saa arvon, joka kuuluu väliin .

Käytetään kaavaa. Ehdolla ja . Siksi haluttu todennäköisyys

Jatkuvan satunnaismuuttujan X jakautumistiheys välillä (-π/2, π/2) on f(x)=(2/π)*cos2x ; tämän välin ulkopuolella f(x)=0. Etsi todennäköisyys, että kolmessa riippumattomassa kokeessa X ottaa tasan kaksi kertaa välin (0, π/4) sisältämän arvon.

Käytämme kaavaa Р(a

P(0

Vastaus: π+24π.

fx=0, x≤0cosx, 0

Käytämme kaavaa

Jos x ≤0, niin f(x)=0, joten

F(x)=-∞00dx=0.

Jos 0

F(x)=-∞00dx+0xcosxdx=sinx.

Jos x≥ π2 , niin

F(x)=-∞00dx+0π2cosxdx+π2x0dx=sinx|0π2=1.

Joten haluttu jakelufunktio

Fx=0, kohdassa x≤0sinx, kohdassa 0 π2.

Jatkuvan satunnaismuuttujan X jakautumistiheys on annettu:

Fx=0, kohdassa x≤0sinx, kohdassa 0 π2.

Etsi jakaumafunktio F(x).

Käytämme kaavaa

Jatkuvan satunnaismuuttujan X jakautumistiheys on annettu koko Oh-akselilla yhtälöllä . Etsi vakioparametri C.

.

. (*)

.

Täten,

Jatkuvan satunnaismuuttujan jakautumistiheys annetaan koko akselilla yhtälöllä Etsi vakioparametri C.

Ratkaisu. Jakaumatiheyden tulee täyttää ehto . Edellytämme tämän ehdon täyttyvän annetulle funktiolle:

.

. (*)

Etsitään ensin epämääräinen integraali:

.

Sitten laskemme väärän integraalin:

Täten,

Korvaamalla (**) sanalla (*) saamme lopulta .

Jatkuvan satunnaismuuttujan X jakautumistiheys välissä on ; tämän välin ulkopuolella f(x) = 0. Etsi vakioparametri C.

.

. (*)

Etsitään ensin epämääräinen integraali:

Sitten laskemme väärän integraalin:

(**)

Korvaamalla (**) sanalla (*) saamme lopulta .

Jatkuvan satunnaismuuttujan X jakautumistiheys välissä annetaan yhtälöllä ; tämän välin ulkopuolella f(x) = 0. Etsi vakioparametri C.

Ratkaisu. Jakauman tiheyden tulee täyttää ehto, mutta koska välin ulkopuolella oleva f(x) on yhtä suuri kuin 0, riittää, että se täyttää: Edellytämme tämän ehdon täyttyvän annetulle funktiolle:

.

. (*)

Etsitään ensin epämääräinen integraali:

Sitten laskemme väärän integraalin:

(**)

Korvaamalla (**) sanalla (*) saamme lopulta .

Satunnaismuuttuja X saadaan jakauman tiheydellä ƒ(x) = 2x välillä (0,1); tämän välin ulkopuolella ƒ(x) = 0. Etsi X:n matemaattinen odotus.

R ratkaisu. Käytämme kaavaa

Korvaamalla a = 0, b = 1, ƒ(x) = 2x, saadaan

Vastaus: 2/3.

Satunnaismuuttuja X saadaan jakauman tiheydellä ƒ(x) = (1/2)x välillä (0;2); tämän välin ulkopuolella ƒ(x) = 0. Etsi X:n matemaattinen odotus.

R ratkaisu. Käytämme kaavaa

Korvaamalla a = 0, b = 2, ƒ(x) = (1/2)x, saadaan

M(X) = = 4/3

Vastaus: 4/3.

Satunnaismuuttuja X välissä (–s, s) saadaan jakautumistiheydellä

ƒ (x) = ; tämän välin ulkopuolella ƒ(x) = 0. Etsi X:n matemaattinen odotus.

R ratkaisu. Käytämme kaavaa

Korvaamalla a = –с, b = c, ƒ(x) = , saadaan

Ottaen huomioon, että integrandi on pariton ja integroinnin rajat ovat symmetrisiä origon suhteen, päätellään, että integraali on yhtä suuri kuin nolla. Siksi M(X) = 0.

Tämä tulos voidaan saada välittömästi, jos otamme huomioon, että jakautumiskäyrä on symmetrinen suoran x = 0 suhteen.

Satunnaismuuttuja X välissä (2, 4) saadaan jakautumistiheydellä f(x)=

. Tästä voidaan nähdä, että kohdassa x=3 jakautumistiheys saavuttaa maksimin; siis,. Jakaumakäyrä on symmetrinen suoran x=3 suhteen, joten ja .

Satunnaismuuttuja X välissä (3, 5) saadaan jakautumistiheydellä f(x)= ; tämän välin ulkopuolella f(x)=0. Etsi X:n tila, keskiarvo ja mediaani.

Ratkaisu. Edustamme jakautumistiheyttä muodossa . Tästä voidaan nähdä, että kohdassa x=3 jakautumistiheys saavuttaa maksimin; siis,. Jakaumakäyrä on symmetrinen suoran x=4 suhteen, joten ja .

Satunnaismuuttuja X välissä (-1, 1) saadaan jakautumistiheydellä ; tämän välin ulkopuolella f(x)=0. Etsi: a) muoti; b) mediaani X.

Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Satunnaiset muuttujat".

Tehtävä 1 . Arvonnassa jaetaan 100 lippua. Pelattiin yksi voitto 50 USD. ja kymmenen 10 dollarin voittoa. Etsi arvon X jakautumislaki - mahdollisen voiton hinta.

Ratkaisu. X:n mahdolliset arvot: x 1 = 0; x 2 = 10 ja x 3 = 50. Koska "tyhjiä" lippuja on 89, niin s 1 = 0,89, voiton todennäköisyys on 10 c.u. (10 lippua) – s 2 = 0,10 ja voitosta 50 c.u. -s 3 = 0,01. Täten:

Helppo hallita: .

Tehtävä 2. Todennäköisyys, että ostaja on tutustunut tuotteen ilmoitukseen etukäteen, on 0,6 (p = 0,6). Mainonnan valikoiva laadunvalvonta suoritetaan ostajakyselyllä ennen ensimmäistä ilmoitukseen tutustunutta. Tee sarja jakauma haastateltujen ostajien määrästä.

Ratkaisu. Tehtävän ehdon mukaan p = 0,6. Alkaen: q=1 -p = 0,4. Korvaamalla nämä arvot, saamme: ja rakentaa jakelusarja:

Tehtävä 3. Tietokone koostuu kolmesta itsenäisesti toimivasta elementistä: järjestelmäyksiköstä, näytöstä ja näppäimistöstä. Yhdellä jyrkällä jännitteen nousulla kunkin elementin vian todennäköisyys on 0,1. Laadi Bernoullin jakauman perusteella jakautumislaki epäonnistuneiden elementtien lukumäärälle verkon tehopiikin aikana.

Ratkaisu. Harkitse Bernoullin jakelu(tai binomi): todennäköisyys, että sisään n testit, tapahtuma A näkyy tarkalleen k kerran: , tai:

SISÄÄN palataan tehtävään.

X:n mahdolliset arvot (vikojen määrä):

x 0 =0 - mikään elementeistä ei epäonnistunut;

x 1 =1 - yhden elementin vika;

x 2 =2 - kahden elementin vika;

x 3 =3 - kaikkien elementtien vika.

Koska ehdon mukaan p = 0,1, niin q = 1 – p = 0,9. Bernoullin kaavalla saadaan

, ,

, .

Ohjaus: .

Siksi haluttu jakelulaki:

Tehtävä 4. Valmistettu 5000 kierrosta. Todennäköisyys, että yksi kasetti on viallinen . Millä todennäköisyydellä koko erässä on täsmälleen 3 viallista patruunaa?

Ratkaisu. Sovellettava Poisson-jakauma: tätä jakaumaa käytetään määrittämään todennäköisyys, että erittäin suuri

kokeiden määrä (massakokeet), joissa kussakin tapahtuman A todennäköisyys on hyvin pieni, tapahtuma A tapahtuu k kertaa: , Missä .

Tässä n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Löydämme sitten halutun todennäköisyyden: .

Tehtävä 5. Ammuttaessa ennen ensimmäistä osumaa osuman todennäköisyydellä p = 0,6 laukausta varten, sinun on löydettävä todennäköisyys, että osuma tapahtuu kolmannella laukauksella.

Ratkaisu. Käytetään geometristä jakaumaa: suoritetaan riippumattomia kokeita, joissa jokaisessa tapahtumalla A on todennäköisyys p:n (ja ei-toistumisen q = 1 - p) esiintymiselle. Kokeilut päättyvät heti, kun tapahtuma A tapahtuu.

Tällaisissa olosuhteissa todennäköisyys, että tapahtuma A tapahtuu k:nnessä testissä, määritetään kaavalla: . Tässä p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Siksi .

Tehtävä 6. Olkoon satunnaismuuttujan X jakautumislaki annettu:

Etsi matemaattinen odotus.

Ratkaisu. .

Huomaa, että matemaattisen odotuksen todennäköisyysmerkitys on satunnaismuuttujan keskiarvo.

Tehtävä 7. Etsi satunnaismuuttujan X varianssi seuraavalla jakautumissäännöllä:

Ratkaisu. Tässä .

X:n neliön jakautumislaki 2 :

Vaadittu varianssi: .

Dispersio kuvaa satunnaismuuttujan poikkeaman (sironta) astetta sen matemaattisesta odotuksesta.

Tehtävä 8. Anna satunnaismuuttuja jakauman avulla:

Etsi sen numeeriset ominaisuudet.

Ratkaisu: m, m 2 ,

M 2 , m.

Satunnaismuuttujasta X voidaan sanoa joko - sen matemaattinen odotus on 6,4 m ja varianssi 13,04 m 2 , tai - sen matemaattinen odotusarvo on 6,4 m ja poikkeama m. Toinen muotoilu on selvästi selkeämpi.

Tehtävä 9. Satunnainen arvo X jakautumisfunktion antama:
.

Määritä todennäköisyys, että arvo X saa testin tuloksena intervallin sisältämän arvon .

Ratkaisu. Todennäköisyys, että X ottaa arvon tietystä intervallista, on yhtä suuri kuin integraalifunktion inkrementti tässä välissä, ts. . Meidän tapauksessamme ja siksi

.

Tehtävä 10. Diskreetti satunnaismuuttuja X jakelulain mukaan:

Etsi jakelufunktio F(x ) ja rakentaa sen kaavio.

Ratkaisu. Jakelufunktiosta lähtien

varten , Tuo

osoitteessa ;

osoitteessa ;

osoitteessa ;

osoitteessa ;

Asiaankuuluva kaavio:

Tehtävä 11. Jatkuva satunnaismuuttuja X differentiaalijakaumafunktion antama: .

Selvitä osumisen todennäköisyys X väliin

Ratkaisu. Huomaa, että tämä on eksponentiaalisen jakauman lain erikoistapaus.

Käytetään kaavaa: .

Tehtävä 12. Etsi jakaumalain antaman diskreetin satunnaismuuttujan X numeeriset ominaisuudet:

Satunnaismuuttuja on muuttuja, joka voi saada tietyt arvot eri olosuhteista riippuen, ja satunnaismuuttujaa kutsutaan jatkuvaksi , jos se voi ottaa minkä tahansa arvon jostakin rajatusta tai rajoittamattomasta intervallista. Jatkuvalle satunnaismuuttujalle on mahdotonta määrittää kaikkia mahdollisia arvoja, joten näiden arvojen välit, jotka liittyvät tiettyihin todennäköisyyksiin, on merkitty.

Esimerkkejä jatkuvista satunnaismuuttujista ovat: tiettyyn kokoon käännetyn osan halkaisija, henkilön korkeus, ammuksen kantama jne.

Koska jatkuville satunnaismuuttujille funktio F(x), Toisin kuin diskreetit satunnaismuuttujat, ei hyppää missään, niin jatkuvan satunnaismuuttujan minkä tahansa yksittäisen arvon todennäköisyys on nolla.

Tämä tarkoittaa, että jatkuvan satunnaismuuttujan kohdalla ei ole järkevää puhua sen arvojen välisestä todennäköisyysjakaumasta: jokaisella niistä on nolla todennäköisyys. Tietyssä mielessä jatkuvan satunnaismuuttujan arvojen joukossa on kuitenkin "enemmän ja vähemmän todennäköisiä". Esimerkiksi on epätodennäköistä, että kukaan epäilee, että satunnaismuuttujan arvo - satunnaisesti kohdatun henkilön pituus - 170 cm - on todennäköisempi kuin 220 cm, vaikka käytännössä yksi ja toinen arvo voi esiintyä.

Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio ja todennäköisyystiheys

Jakaumalakina, joka on järkevä vain jatkuville satunnaismuuttujille, otetaan käyttöön jakautumistiheyden tai todennäköisyystiheyden käsite. Lähestytään sitä vertaamalla jakaumafunktion merkitystä jatkuvalle satunnaismuuttujalle ja diskreetille satunnaismuuttujalle.

Eli satunnaismuuttujan (sekä diskreetin että jatkuvan) jakaumafunktio tai kiinteä toiminto kutsutaan funktioksi, joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttujan arvo X pienempi tai yhtä suuri kuin raja-arvo X.

Diskreetille satunnaismuuttujalle sen arvojen kohdissa x1 , x 2 , ..., x minä,... todennäköisyyksien keskittyneitä massoja s1 , s 2 , ..., s minä,..., ja kaikkien massojen summa on 1. Siirretään tämä tulkinta jatkuvan satunnaismuuttujan tapaukseen. Kuvittele, että massaa, joka on yhtä suuri kuin 1, ei keskity erillisiin pisteisiin, vaan se "siirtyy" jatkuvasti x-akselia pitkin Härkä jollakin epätasaisella tiheydellä. Satunnaismuuttujan osumisen todennäköisyys missä tahansa paikassa Δ x tulkitaan tämän osan massaksi ja tämän osan keskimääräiseksi tiheydeksi - massan ja pituuden suhteeksi. Olemme juuri ottaneet käyttöön tärkeän käsitteen todennäköisyysteoriassa: jakautumistiheyden.

Todennäköisyystiheys f(x Jatkuvan satunnaismuuttujan ) on sen jakautumisfunktion derivaatta:

.

Tietäen tiheysfunktion, voimme löytää todennäköisyyden, että jatkuvan satunnaismuuttujan arvo kuuluu suljettuun väliin [ a; b]:

todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja X ottaa minkä tahansa arvon väliltä [ a; b], on yhtä suuri kuin sen todennäköisyystiheyden tietty integraali alueella alkaen a ennen b:

.

Tässä tapauksessa funktion yleinen kaava F(x) jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota voidaan käyttää, jos tiheysfunktio tunnetaan f(x) :

.

Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheyden kuvaajaa kutsutaan sen jakautumiskäyräksi (kuva alla).

Kuvion alue (varjostettu kuvassa), jota rajoittaa käyrä, pisteistä vedetyt suorat viivat a Ja b kohtisuorassa abskissa-akseliin ja akseliin nähden vai niin, näyttää graafisesti todennäköisyyden, että jatkuvan satunnaismuuttujan arvo X on alueella a ennen b.

Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheysfunktion ominaisuudet

1. Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja ottaa minkä tahansa arvon väliltä (ja funktion kaavion rajoittamasta luvun alueesta f(x) ja akseli vai niin) on yhtä suuri kuin yksi:

2. Todennäköisyystiheysfunktio ei voi ottaa negatiivisia arvoja:

ja jakauman olemassaolon ulkopuolella sen arvo on nolla

Jakauman tiheys f(x), sekä jakelufunktio F(x), on yksi jakauman lain muodoista, mutta toisin kuin jakaumafunktio, se ei ole universaali: jakautumistiheys on olemassa vain jatkuville satunnaismuuttujille.

Mainitaan kaksi käytännössä tärkeintä jatkuvan satunnaismuuttujan jakautumistyyppiä.

Jos jakautumistiheysfunktio f(x) jatkuva satunnaismuuttuja jollakin äärellisellä aikavälillä [ a; b] ottaa vakioarvon C, ja välin ulkopuolella saa arvon, joka on yhtä suuri kuin nolla, niin tämä jakautumista kutsutaan yhtenäiseksi .

Jos jakautumistiheysfunktion kuvaaja on symmetrinen keskustan suhteen, keskiarvot keskittyvät lähelle keskustaa ja keskustasta poispäin siirryttäessä kerätään keskiarvoista poikkeavia (funktion kaavio muistuttaa leikkausta kello), sitten tämä jakaumaa kutsutaan normaaliksi .

Esimerkki 1 Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumafunktio tunnetaan:

Etsi ominaisuus f(x) jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheys. Piirrä kaaviot molemmille funktioille. Määritä todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja saa minkä tahansa arvon välillä 4-8: .

Ratkaisu. Saamme todennäköisyystiheysfunktion etsimällä todennäköisyysjakaumafunktion derivaatan:

Funktiokaavio F(x) - paraabeli:

Funktiokaavio f(x) - suora viiva:

Selvitetään todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja saa minkä tahansa arvon välillä 4-8:

Esimerkki 2 Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheysfunktio annetaan seuraavasti:

Laske kerroin C. Etsi ominaisuus F(x) jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Piirrä kaaviot molemmille funktioille. Laske todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja saa minkä tahansa arvon välillä 0-5: .

Ratkaisu. Kerroin C löydämme käyttämällä todennäköisyystiheysfunktion ominaisuutta 1:

Näin ollen jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheysfunktio on:

Integroimalla löydämme toiminnon F(x) todennäköisyysjakaumat. Jos x < 0 , то F(x) = 0. Jos 0< x < 10 , то

.

x> 10 siis F(x) = 1 .

Näin ollen todennäköisyysjakaumafunktion täydellinen tietue on:

Funktiokaavio f(x) :

Funktiokaavio F(x) :

Selvitetään todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja saa minkä tahansa arvon välillä 0-5:

Esimerkki 3 Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheys X annetaan tasa-arvolla, kun taas . Etsi kerroin A, todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja X ottaa jonkin arvon väliltä ]0, 5[, jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio X.

Ratkaisu. Ehdolla saavutetaan tasa-arvo

Siksi mistä. Niin,

.

Nyt löydämme todennäköisyyden, että jatkuva satunnaismuuttuja X ottaa minkä tahansa arvon väliltä ]0, 5[:

Nyt saamme tämän satunnaismuuttujan jakautumisfunktion:

Esimerkki 4 Etsi jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheys X, joka ottaa vain ei-negatiiviset arvot, ja sen jakautumisfunktio .