Binomijakauman laki. Satunnaismuuttujan binomijakauma Satunnaismuuttujalla on binomijakauma

Binomijakauma on yksi diskreetti muuttuvan satunnaismuuttujan tärkeimmistä todennäköisyysjakaumista. Binomijakauma on luvun todennäköisyysjakauma m tapahtuma A V n toisistaan riippumattomia havaintoja. Usein tapahtuma A kutsutaan "havainnoinnin onnistumiseksi" ja päinvastaiseksi tapahtumaksi - "epäonnistumiseksi", mutta tämä nimitys on hyvin ehdollinen.

Binomijakauman ehdot:

toteutetaan yhteensä n kokeet, joissa tapahtuma A voi tapahtua tai ei;
tapahtuma A jokaisessa kokeessa voi tapahtua samalla todennäköisyydellä s;
testit ovat toisistaan riippumattomia.

Todennäköisyys, että sisään n testitapahtuma A tarkalleen m kertaa, voidaan laskea Bernoullin kaavalla:

Missä s- tapahtuman todennäköisyys A;

q = 1 - s on päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys.

Selvitetään se miksi binomijakauma liittyy Bernoullin kaavaan edellä kuvatulla tavalla . Tapahtuma - onnistumisten määrä klo n testit on jaettu useisiin vaihtoehtoihin, joista jokaisessa saavutetaan menestys m koettelemukset ja epäonnistumiset - sisään n - m testejä. Harkitse yhtä näistä vaihtoehdoista - B1 . Todennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan kerrotaan vastakkaisten tapahtumien todennäköisyydet:

ja jos merkitsemme q = 1 - s, Tuo

Samalla todennäköisyydellä on jokin muu vaihtoehto, jossa m menestys ja n - m epäonnistumisia. Tällaisten vaihtoehtojen määrä on yhtä suuri kuin kuinka monta tapaa se on mahdollista n testaa saada m menestys.

Kaikkien todennäköisyyksien summa m tapahtuman numero A(numerot 0 - n) on yhtä suuri kuin yksi:

jossa jokainen termi on Newtonin binomilin termi. Siksi tarkasteltua jakaumaa kutsutaan binomijakaumaksi.

Käytännössä on usein tarpeen laskea todennäköisyydet "korkeintaan m menestystä sisään n testit" tai "ainakin m menestystä sisään n testit". Tätä varten käytetään seuraavia kaavoja.

Integraalifunktio, eli todennäköisyys F(m) että sisällä n tarkkailutapahtuma A ei tule enää m kerran, voidaan laskea kaavalla:

puolestaan todennäköisyys F(≥m) että sisällä n tarkkailutapahtuma A tule ainakin m kerran, lasketaan kaavalla:

Joskus on kätevämpää laskea todennäköisyys, että sisään n tarkkailutapahtuma A ei tule enää m kertaa päinvastaisen tapahtuman todennäköisyyden kautta:

Mitä kaavoista käytetään, riippuu siitä, mikä niistä sisältää vähemmän termejä.

Binomijakauman ominaisuudet lasketaan seuraavilla kaavoilla .

Odotettu arvo: .

dispersio: .

Keskihajonta: .

Binomijakauma ja laskelmat MS Excelissä

Binomijakauman todennäköisyys P n ( m) ja integraalifunktion arvo F(m) voidaan laskea MS Excelin funktiolla BINOM.JAKAUMA. Ikkuna vastaavaa laskutoimitusta varten näkyy alla (klikkaa hiiren vasenta painiketta suurentaaksesi).

MS Excel vaatii sinua syöttämään seuraavat tiedot:

onnistumisten määrä;
testien määrä;
onnistumisen todennäköisyys;
integraali - looginen arvo: 0 - jos sinun on laskettava todennäköisyys P n ( m) ja 1 - jos todennäköisyys F(m).

Esimerkki 1 Yrityksen johtaja tiivisti tiedon myytyjen kameroiden määrästä viimeisen 100 päivän aikana. Taulukossa on yhteenveto tiedoista ja laskettu todennäköisyydet, että tietty määrä kameroita myydään päivässä.

Päivä päättyy voittoon, jos kameraa myydään 13 tai enemmän. Todennäköisyys, että päivä työstetään voitolla:

Todennäköisyys, että päivä työstetään ilman voittoa:

Olkoon todennäköisyys, että päivä työstetään voitolla, vakio ja yhtä suuri kuin 0,61, ja päivässä myytyjen kameroiden määrä ei riipu päivästä. Sitten voit käyttää binomijakaumaa, jossa tapahtuma A- päivä tehdään voitolla, - ilman voittoa.

Todennäköisyys, että 6 päivästä kaikki selvitetään voitolla:

Saamme saman tuloksen käyttämällä MS Excelin funktiota BINOM.JAKAUMA (integraaliarvon arvo on 0):

P 6 (6 ) = BINOM.JAKAUMA(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

Todennäköisyys, että 6 päivästä 4 päivää tai enemmän työstetään voitolla:

Missä ,

Laskemme MS Excelin BINOM.JAKAUMA-funktion avulla todennäköisyyden, että 6 päivästä enintään 3 päivää tullaan suorittamaan voitolla (integraaliarvon arvo on 1):

P 6 (≤3 ) = BINOM.JAKAUMA(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Todennäköisyys, että 6 päivästä kaikki selviää tappiolla:

Laskemme saman indikaattorin käyttämällä MS Excelin funktiota BINOM.DIST:

P 6 (0 ) = BINOM.JAKAUMA(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Ratkaise ongelma itse ja katso sitten ratkaisu

Esimerkki 2 Urna sisältää 2 valkoista palloa ja 3 mustaa palloa. Pallo otetaan uurnasta, väri asetetaan ja laitetaan takaisin. Yritys toistetaan 5 kertaa. Valkoisten pallojen esiintymismäärä on diskreetti satunnaismuuttuja X, jaettu binomiaalilain mukaan. Laadi satunnaismuuttujan jakautumislaki. Määrittele muoti odotettu arvo ja dispersio.

Jatkamme ongelmien ratkaisemista yhdessä

Esimerkki 3 Kuriiripalvelusta meni esineisiin n= 5 kuriiria. Jokainen kuriiri todennäköisyydellä s= 0,3 on myöhässä objektille muista riippumatta. Diskreetti satunnaismuuttuja X- myöhästyneiden kuriirien määrä. Muodosta tämän satunnaismuuttujan jakaumasarja. Etsi sen matemaattinen odotus, varianssi, keskihajonta. Laske todennäköisyys, että vähintään kaksi kuriiria myöhästyy esineistä.

Hei! Tiedämme jo, mikä todennäköisyysjakauma on. Se voi olla diskreetti tai jatkuva, ja olemme oppineet, että sitä kutsutaan todennäköisyystiheysjakaumaksi. Tarkastellaan nyt muutamaa yleisempää jakelua. Oletetaan, että minulla on kolikko ja oikea kolikko, ja aion kääntää sen viisi kertaa. Määritän myös satunnaismuuttujan X, merkitsen sen isolla kirjaimella X, se on yhtä suuri kuin "kotkien" lukumäärä 5 heitossa. Ehkä minulla on 5 kolikkoa, heitän ne kaikki kerralla ja lasken kuinka monta päätä sain. Tai voisin saada yhden kolikon, voisin kääntää sen viisi kertaa ja laskea kuinka monta kertaa sain päät. Ei sillä oikeastaan ole väliä. Mutta oletetaan, että minulla on yksi kolikko ja käännä sitä viisi kertaa. Silloin meillä ei ole epävarmuutta. Joten tässä on satunnaismuuttujani määritelmä. Kuten tiedämme, satunnaismuuttuja eroaa hieman tavallisesta muuttujasta, se on enemmän kuin funktio. Se antaa kokeelle jonkin arvon. Ja tämä satunnaismuuttuja on melko yksinkertainen. Laskemme yksinkertaisesti kuinka monta kertaa "kotka" putosi 5 heiton jälkeen - tämä on satunnaismuuttujamme X. Mietitään, mitkä todennäköisyydet voivat olla erilaisia arvoja meidän tapauksessamme? Joten mikä on todennäköisyys, että X (iso X) on 0? Nuo. Millä todennäköisyydellä se ei koskaan nouse 5 heiton jälkeen? No, tämä on itse asiassa sama kuin todennäköisyys saada "häntä" (se on oikein, pieni katsaus todennäköisyysteoriaan). Sinun pitäisi saada "häntä". Mikä on kunkin "häntän" todennäköisyys? Tämä on 1/2. Nuo. sen pitäisi olla 1/2 kertaa 1/2, 1/2, 1/2 ja taas 1/2. Nuo. (1/2)⁵. 1⁵=1, jaa 2⁵:lla, ts. klo 32. Ihan loogista. Joten... Toistan hieman mitä kävimme läpi todennäköisyysteorian suhteen. Tämä on tärkeää, jotta voimme ymmärtää, mihin olemme nyt menossa ja miten itse asiassa diskreetti jakelu todennäköisyydet. Joten mikä on todennäköisyys, että saamme päät tarkalleen kerran? No, päät saattoivat nousta ensimmäisellä heitolla. Nuo. se voisi olla näin: "kotka", "hännät", "hännät", "hännät", "hännät". Tai päät voivat nousta toisessa heitossa. Nuo. voisi olla tällainen yhdistelmä: "hännät", "päät", "hännät", "hännät", "hännät" ja niin edelleen. Yksi "kotka" voi pudota minkä tahansa 5 heiton jälkeen. Mikä on kunkin tällaisen tilanteen todennäköisyys? Pään saamisen todennäköisyys on 1/2. Sitten todennäköisyys saada "häntä", joka on 1/2, kerrotaan 1/2:lla, 1/2:lla, 1/2:lla. Nuo. kunkin tällaisen tilanteen todennäköisyys on 1/32. Sekä todennäköisyys tilanteeseen, jossa X=0. Itse asiassa minkä tahansa päiden ja hännän erityisjärjestyksen todennäköisyys on 1/32. Joten tämän todennäköisyys on 1/32. Ja tämän todennäköisyys on 1/32. Ja tällaisia tilanteita tapahtuu, koska "kotka" voi pudota mihin tahansa viidestä heitosta. Siksi todennäköisyys, että täsmälleen yksi "kotka" putoaa, on 5 * 1/32, ts. 5/32. Ihan loogista. Nyt alkaa mielenkiintoisuus. Mikä on todennäköisyys… (kirjoitan jokaisen esimerkin eri värillä)… mikä on todennäköisyys, että satunnaismuuttujani on 2? Nuo. Heitän kolikon 5 kertaa, ja millä todennäköisyydellä se laskeutuu tasan päätä 2 kertaa? Tämä on mielenkiintoisempaa, eikö? Mitkä yhdistelmät ovat mahdollisia? Se voi olla päitä, päitä, häntää, häntää, häntää. Se voi olla myös päätä, häntää, päätä, häntää, häntää. Ja jos luulet, että nämä kaksi "kotkaa" voivat seistä yhdistelmän eri paikoissa, voit hämmentyä. Et voi enää ajatella sijoitteluja kuten teimme täällä edellä. Vaikka... voit, voit vain hämmentyä. Sinun täytyy ymmärtää yksi asia. Jokaiselle näistä yhdistelmistä todennäköisyys on 1/32. ½*½*½*½*½. Nuo. kunkin näiden yhdistelmien todennäköisyys on 1/32. Ja meidän pitäisi miettiä, kuinka monta sellaista yhdistelmää on olemassa, jotka tyydyttävät meidän tilamme (2 "kotkaa")? Nuo. Itse asiassa sinun on kuviteltava, että kolikonheittoja on 5, ja sinun on valittava niistä 2, joissa "kotka" putoaa. Oletetaan, että 5 heittoamme ovat ympyrässä. Kuvittele myös, että meillä on vain kaksi tuolia. Ja me sanomme: "Okei, kuka teistä istuu näille Eagles-tuoleille? Nuo. kumpi teistä on "kotka"? Ja meitä ei kiinnosta, missä järjestyksessä he istuvat. Annan tällaisen esimerkin toivoen, että se on sinulle selkeämpi. Ja saatat haluta katsoa joitain todennäköisyysteorian opetusohjelmia tästä aiheesta, kun puhun Newtonin binomiaalista. Koska siellä aion syventyä tähän kaikkeen tarkemmin. Mutta jos päätät tällä tavalla, ymmärrät, mikä binomikerroin on. Koska jos ajattelet näin: OK, minulla on 5 heittoa, mikä heittää ensimmäiset päät? No, tässä on 5 mahdollisuutta, mikä läppä saa ensimmäiset päät. Ja kuinka monta mahdollisuuksia toiselle "kotkalle"? No, ensimmäinen heitto, jonka jo käytimme, vei yhden mahdollisuuden päästä päähän. Nuo. yksi pään asento yhdistelmässä on jo yhden heiton varassa. Nyt on 4 heittoa jäljellä, mikä tarkoittaa, että toinen "kotka" voi pudota johonkin 4 heitosta. Ja näit sen täällä. Päätin ottaa päät ensimmäisellä heitolla ja oletin, että yhdessä neljästä jäljellä olevasta heitosta pitäisi myös nousta päät. Tässä on siis vain 4 mahdollisuutta. Sanon vain, että ensimmäistä päätä varten sinulla on 5 eri asentoa, johon se voi laskeutua. Ja toiselle on enää 4 paikkaa jäljellä. Ajattele sitä. Kun laskemme näin, järjestys otetaan huomioon. Mutta meille nyt ei ole väliä missä järjestyksessä "päät" ja "hännät" putoavat. Emme sano, että se on "kotka 1" tai "kotka 2". Molemmissa tapauksissa se on vain "kotka". Voisimme olettaa, että tämä on pää 1 ja tämä on pää 2. Tai se voi olla toisinpäin: se voi olla toinen "kotka", ja tämä on "ensimmäinen". Ja sanon tämän, koska on tärkeää ymmärtää, missä sijoitteluja ja missä yhdistelmiä käytetään. Emme ole kiinnostuneita järjestyksestä. Joten itse asiassa tapahtumamme alkuperä on vain 2 tapaa. Joten jaetaan se kahdella. Ja kuten näet myöhemmin, se on 2! tapahtumamme alkuperätapoja. Jos olisi 3 päätä, niin niitä olisi 3! ja näytän sinulle miksi. Eli se olisi... 5*4=20 jaettuna 2:lla on 10. On siis 10 erilaista yhdistelmää 32:sta, joissa sinulla on varmasti 2 päätä. Joten 10*(1/32) on yhtä kuin 10/32, mitä se tarkoittaa? 5/16. Kirjoitan binomikertoimen kautta. Tämä on arvo täällä yläosassa. Jos ajattelet sitä, tämä on sama kuin 5! jaettuna ... Mitä tämä 5 * 4 tarkoittaa? 5! on 5*4*3*2*1. Nuo. jos tarvitsen vain 5 * 4, niin voin jakaa tätä varten 5! 3:lle! Tämä on yhtä kuin 5*4*3*2*1 jaettuna 3*2*1:llä. Ja vain 5 * 4 jäljellä. Se on siis sama kuin tämä osoittaja. Ja sitten, koska emme ole kiinnostuneita sarjasta, tähän tarvitaan 2. Itse asiassa 2!. Kerro luvulla 1/32. Tämä on todennäköisyys, että osuisimme tasan 2 päätä. Millä todennäköisyydellä saamme päät tasan 3 kertaa? Nuo. todennäköisyys, että x=3. Joten, samalla logiikalla, ensimmäinen päiden esiintyminen voi tapahtua yhdellä viidestä käännöksestä. Toinen pään esiintyminen voi tapahtua yhdellä neljästä jäljellä olevasta heitosta. Ja kolmas pään esiintyminen voi tapahtua yhdellä kolmesta jäljellä olevasta heitosta. Kuinka monta on olemassa eri tavoilla järjestää 3 heittoa? Kuinka monella tavalla yleensä on mahdollista järjestää 3 kohdetta paikoilleen? Se on 3! Ja voit selvittää sen tai haluat ehkä käydä uudelleen opetusohjelmissa, joissa selitin sen yksityiskohtaisemmin. Mutta jos otat esimerkiksi kirjaimet A, B ja C, voit järjestää ne 6 tapaa. Voit ajatella näitä otsikoina. Tässä voisi olla ACB, CAB. Voisiko olla BAC, BCA ja... Mikä on viimeinen vaihtoehto, jota en nimennyt? CBA. On 6 tapaa järjestää 3 erilaista kohdetta. Jaamme kuudella, koska emme halua laskea niitä kuutta uudelleen eri tavoilla koska pidämme niitä vastaavina. Täällä emme ole kiinnostuneita siitä, kuinka monta heittoa johtaa päihin. 5*4*3… Tämä voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon 5!/2!. Ja jaa se vielä kolmella!. Tätä hän on. 3! on 3*2*1. Kolmikot kutistuvat. Tästä tulee 2. Tästä tulee 1. Jälleen kerran 5*2, ts. on 10. Jokaisen tilanteen todennäköisyys on 1/32, joten tämä on jälleen 5/16. Ja se on mielenkiintoista. Todennäköisyys, että saat 3 päätä, on sama kuin todennäköisyys, että saat 2 päätä. Ja syy siihen... No, siihen on monia syitä. Mutta jos ajattelee sitä, todennäköisyys saada 3 päätä on sama kuin todennäköisyys saada 2 häntää. Ja todennäköisyyden saada 3 häntää pitäisi olla sama kuin todennäköisyyden saada 2 päätä. Ja on hyvä, että arvot toimivat näin. Hieno. Millä todennäköisyydellä X = 4? Voimme käyttää samaa kaavaa, jota käytimme aiemmin. Se voisi olla 5*4*3*2. Joten, tähän kirjoitetaan 5 * 4 * 3 * 2 ... Kuinka monta eri tapaa on järjestää 4 objektia? Se on 4!. 4! - Tämä on itse asiassa tämä osa, täällä. Tämä on 4*3*2*1. Joten tämä kumoutuu ja jää 5. Silloin jokaisen yhdistelmän todennäköisyys on 1/32. Nuo. tämä on yhtä suuri kuin 5/32. Huomaa jälleen, että todennäköisyys saada päitä 4 kertaa on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että päät tulevat esiin 1 kerran. Ja tämä on järkevää, koska. 4 päätä on sama kuin 1 häntä. Sanot: no, ja millaisella heittelyllä tämä "häntä" putoaa? Kyllä, siihen on 5 eri yhdistelmää. Ja jokaisella niistä on todennäköisyys 1/32. Ja lopuksi, mikä on todennäköisyys, että X = 5? Nuo. heads up 5 kertaa peräkkäin. Sen pitäisi olla tällainen: "kotka", "kotka", "kotka", "kotka", "kotka". Jokaisen pään todennäköisyys on 1/2. Kerrot ne ja saat 1/32. Voit mennä toiseen suuntaan. Jos näissä kokeissa on 32 tapaa saada päät ja hännät, tämä on vain yksi niistä. Täällä niitä oli 5/32. Tässä - 10/32. Olemme kuitenkin tehneet laskelmat ja nyt olemme valmiita piirtämään todennäköisyysjakauman. Mutta minun aikani on lopussa. Jatkan seuraavalla oppitunnilla. Ja jos olet tuulella, niin ehkä piirrä ennen seuraavan oppitunnin katsomista? Nähdään pian!

- (binomiaalinen jakauma) Jakauma, jonka avulla voit laskea minkä tahansa esiintymistodennäköisyyden satunnainen tapahtuma, saatu useiden riippumattomien tapahtumien havaintojen tuloksena, jos sen osatekijän esiintymistodennäköisyys ... ... Taloussanakirja

- (Bernoulli-jakauma) jonkin tapahtuman esiintymistodennäköisyysjakauma toistuvissa riippumattomissa kokeissa, jos tämän tapahtuman esiintymistodennäköisyys kussakin kokeessa on p(0 p 1). Aivan, numero? tätä tapahtumaa on esiintynyt...... Suuri Ensyklopedinen sanakirja

binomiaalinen jakauma- - Tietoliikenneaiheet, peruskäsitteet FI binomiaalinen jakelu ...

- (Bernoulli-jakauma), jonkin tapahtuman esiintymistodennäköisyysjakauma toistuvissa riippumattomissa kokeissa, jos tämän tapahtuman esiintymistodennäköisyys kussakin kokeessa on p (0≤p≤1). Nimittäin tämän tapahtuman esiintymisten lukumäärä μ…… tietosanakirja

binomiaalinen jakauma- 1.49. binomiaalinen jakauma Diskreetin satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma, mikä tahansa kokonaislukuarvo 0:sta n:ään siten, että x = 0, 1, 2, ..., n ja parametrien n = 1, 2, ... ja 0< p < 1, где Источник … Normatiivisen ja teknisen dokumentaation termien sanakirja-viitekirja

Bernoulli-jakauma, satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma, ottaen vastaavasti kokonaislukuarvot todennäköisyyksien kanssa (binomikerroin; p-parametri B.R., kutsutaan positiivisen tuloksen todennäköisyydeksi, ottamalla arvot ... Matemaattinen tietosanakirja

Jonkin tapahtuman esiintymistiheyden todennäköisyysjakauma toistuvissa riippumattomissa kokeissa. Jos jokaisessa kokeessa tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin p ja 0 ≤ p ≤ 1, niin tämän tapahtuman esiintymistodennäköisyys on n riippumatonta ... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

- (Bernoulli-jakauma), tietyn tapahtuman esiintymistodennäköisyysjakauma toistuvissa riippumattomissa kokeissa, jos tämän tapahtuman esiintymistodennäköisyys kussakin kokeessa on p (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … Luonnontiede. tietosanakirja

Binomiaalinen todennäköisyysjakauma- (binomiaalinen jakauma) Jakauma, joka havaitaan tapauksissa, joissa kunkin riippumattoman kokeen tulos (tilastollinen havainto) saa yhden kahdesta mahdollisesta arvosta: voitto tai tappio, sisällyttäminen tai poissulkeminen, plus tai ... Talous- ja matemaattinen sanakirja

binomiaalinen todennäköisyysjakauma- Jakauma, joka havaitaan tapauksissa, joissa kunkin riippumattoman kokeen tulos (tilastollinen havainto) saa yhden kahdesta mahdollisesta arvosta: voitto tai tappio, sisällyttäminen tai poissulkeminen, plus tai miinus, 0 tai 1. Eli ... ... Teknisen kääntäjän käsikirja

Kirjat

Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot ongelmissa. Yli 360 tehtävää ja harjoitusta, D. A. Borzykh. Ehdotettu käsikirja sisältää eri monimutkaisia tehtäviä. Pääpaino on kuitenkin keskikokoisissa tehtävissä. Tämä on tarkoituksella tehty kannustamaan opiskelijoita…
Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot ongelmissa Yli 360 tehtävää ja harjoitusta, Borzykh D. Ehdotettu käsikirja sisältää eri monimutkaisia ongelmia. Pääpaino on kuitenkin keskikokoisissa tehtävissä. Tämä on tarkoituksella tehty kannustamaan opiskelijoita…

Harkitse binomijakaumaa, laske sen matemaattinen odotus, varianssi, moodi. MS EXCEL -funktiolla BINOM.JAKAUMA() piirretään jakaumafunktio ja todennäköisyystiheyskaaviot. Arvioidaan jakauman parametri p, jakauman matemaattinen odotus ja keskihajonta. Harkitse myös Bernoullin jakaumaa.

Määritelmä. Anna ne olla pidettynä n testit, joissa kussakin voi tapahtua vain 2 tapahtumaa: tapahtuma "onnistuu" todennäköisyydellä s tai tapahtuma "epäonnistuminen" todennäköisyydellä q =1-p (ns Bernoullin suunnitelma,Bernoullikoettelemuksia).

Todennäköisyys saada täsmälleen x menestystä näissä n testit on yhtä suuri kuin:

Otoksen onnistuneiden määrä x on satunnaismuuttuja, jolla on Binomijakauma(Englanti) Binomijakelu) s Ja n – ovat tämän jakauman parametreja.

Muista tämä, jotta voit hakea Bernoullin suunnitelmat ja vastaavasti binomijakauma, seuraavat ehdot on täytettävä:

jokaisella kokeella on oltava täsmälleen kaksi tulosta, joita kutsutaan ehdollisesti "onnistuneiksi" ja "epäonnistuneiksi".
jokaisen testin tulos ei saisi riippua aikaisempien testien tuloksista (testin riippumattomuus).
onnistumisprosentti s tulee olla vakio kaikissa testeissä.

Binomijakauma MS EXCELissä

MS EXCELissä, versiosta 2010 alkaen, for on funktio BINOM.JAKAUMA() , jonka englanninkielinen nimi on BINOM.JAKAUMA(), jonka avulla voit laskea todennäköisyyden, että näyte on täsmälleen X"menestykset" (esim. Todennäköisyystiheysfunktio p(x), katso kaava yllä), ja integraalinen jakelufunktio(todennäköisyys, että näytteessä on x tai vähemmän "onnistumisia", mukaan lukien 0).

Ennen MS EXCEL 2010:tä EXCELissä oli BINOMDIST()-funktio, jonka avulla voit myös laskea jakelutoiminto Ja todennäköisyystiheys p(x). BINOMDIST() jätetään MS EXCEL 2010:een yhteensopivuuden vuoksi.

Esimerkkitiedosto sisältää kaavioita todennäköisyysjakauman tiheys Ja .

Binomijakauma on nimitys B (n ; s) .

Huomautus: Rakentamiseen integraalinen jakelufunktio täydellisesti istuva kaaviotyyppi Ajoittaa, Sillä jakautumistiheys – Histogrammi ryhmittelyllä. Lisätietoja rakennuskartoista on artikkelissa Kaavioiden päätyypit.

Huomautus: Kaavojen kirjoittamisen helpottamiseksi esimerkkitiedostoon on luotu parametrien nimet Binomijakauma: n ja p.

Esimerkkitiedostossa on erilaisia todennäköisyyslaskelmia MS EXCEL -funktioilla:

Kuten yllä olevasta kuvasta näkyy, oletetaan, että:

Ääretön populaatio, josta näyte tehdään, sisältää 10 % (tai 0,1) hyviä elementtejä (parametri s, kolmannen funktion argumentti = BINOM.JAKAUMA() )
Laske todennäköisyys, että 10 elementin otoksessa (parametri n, funktion toinen argumentti) on täsmälleen 5 kelvollista elementtiä (ensimmäinen argumentti), sinun on kirjoitettava kaava: =BINOM.JAKAUMA(5; 10; 0,1; EPÄTOSI)
Viimeinen, neljäs elementti on asetettu = EPÄTOSI, ts. funktion arvo palautetaan jakautumistiheys .

Jos neljännen argumentin arvo on TOSI, BINOM.JAKAUMA()-funktio palauttaa arvon integraalinen jakelufunktio tai yksinkertaisesti jakelutoiminto. Tässä tapauksessa voit laskea todennäköisyyden, että otokseen kuuluvien hyvien tuotteiden määrä on tietyltä alueelta, esimerkiksi 2 tai vähemmän (mukaan lukien 0).

Tee tämä kirjoittamalla kaava: = BINOM.JAKAUMA(2; 10; 0,1; TOSI)

Huomautus: Jos x:n arvo ei ole kokonaisluku, . Esimerkiksi seuraavat kaavat palauttavat saman arvon: =BINOM.JAKAUMA( 2 ; 10; 0,1; TOTTA)=BINOM.JAKAUMA( 2,9 ; 10; 0,1; TOTTA)

Huomautus: Esimerkkitiedostossa todennäköisyystiheys Ja jakelutoiminto lasketaan myös käyttämällä määritelmää ja COMBIN()-funktiota.

Jakeluindikaattorit

SISÄÄN esimerkkitiedosto arkilla Esimerkki on kaavoja joidenkin jakautumisindikaattoreiden laskemiseen:

=n*p;
(keskihajonnan neliö) = n*p*(1-p);
= (n+1)*p;
=(1-2*p)*JUURI(n*p*(1-p)).

Johdamme kaavan matemaattinen odotusBinomijakauma käyttämällä Bernoullin kaava .

Määritelmän mukaan satunnaismuuttuja X in Bernoullin kaava(Bernoullin satunnaismuuttuja) on jakelutoiminto :

Tätä jakelua kutsutaan Bernoullin jakelu .

Huomautus : Bernoullin jakelu- erikoistapaus Binomijakauma parametrilla n=1.

Luodaan 3 100 luvun taulukkoa, joilla on eri onnistumistodennäköisyydet: 0,1; 0,5 ja 0,9. Voit tehdä tämän ikkunassa Satunnaislukujen sukupolvi aseta seuraavat parametrit kullekin todennäköisyydelle p:

Huomautus: Jos asetat vaihtoehdon Satunnainen sironta (Satunnainen siemen), voit valita tietyn satunnaisen joukon luotuja numeroita. Esimerkiksi asettamalla tämän vaihtoehdon =25, voit luoda samat satunnaislukujoukot eri tietokoneissa (jos tietysti muut jakeluparametrit ovat samat). Optioarvo voi olla kokonaislukuarvoja väliltä 1 - 32 767. Option nimi Satunnainen sironta voi hämmentää. Olisi parempi kääntää se muotoon Aseta numero satunnaisluvuilla .

Tuloksena on 3 saraketta, joissa on 100 numeroa, joiden perusteella voimme esimerkiksi arvioida onnistumisen todennäköisyyttä s kaavan mukaan: Onnistumisen määrä/100(cm. esimerkkitiedostoarkki Bernoullin luominen).

Huomautus: varten Bernoulli-jakaumat kun p=0.5, voit käyttää kaavaa =RANDBETWEEN(0;1) , joka vastaa .

Satunnaislukujen sukupolvi. Binomijakauma

Oletetaan, että näytteessä on 7 viallista tuotetta. Tämä tarkoittaa, että on "erittäin todennäköistä", että viallisten tuotteiden osuus on muuttunut. s, joka on tuotantoprosessimme ominaisuus. Vaikka tämä tilanne on "erittäin todennäköinen", on olemassa mahdollisuus (alfariski, tyypin 1 virhe, "väärä hälytys") s pysyi ennallaan ja viallisten tuotteiden määrän kasvu johtui satunnaisotannasta.

Kuten alla olevasta kuvasta näkyy, 7 on viallisten tuotteiden määrä, joka on hyväksyttävä prosessille, jonka p = 0,21 samalla arvolla Alpha. Tämä osoittaa, että kun viallisten tuotteiden kynnys näytteessä ylittyy, s"luultavasti" lisääntynyt. Ilmaus "todennäköisimmin" tarkoittaa, että on vain 10 %:n mahdollisuus (100%-90 %), että viallisten tuotteiden prosenttiosuuden poikkeama kynnyksen yläpuolella johtuu vain satunnaisista syistä.

Siten näytteessä olevien viallisten tuotteiden raja-arvon ylittäminen voi toimia signaalina siitä, että prosessi on häiriintynyt ja alkanut tuottaa b O suurempi viallisten tuotteiden prosenttiosuus.

Huomautus: Ennen MS EXCEL 2010:tä EXCELillä oli funktio CRITBINOM() , joka vastaa BINOM.INV() . CRITBINOM() on jätetty MS EXCEL 2010:een ja uudempiin yhteensopivuuden vuoksi.

Binomiaalisen jakauman suhde muihin jakaumiin

Jos parametri nBinomijakauma taipumus äärettömyyteen ja s yleensä 0, niin tässä tapauksessa Binomijakauma voidaan arvioida. On mahdollista muotoilla ehdot, kun approksimaatio Poisson-jakauma toimii hyvin:

s(vähemmän s ja enemmän n, sitä tarkempi likiarvo);
s >0,9 (ottaen huomioon q =1- s, laskelmat on tässä tapauksessa suoritettava käyttämällä q(A X on vaihdettava n - x). Siksi mitä vähemmän q ja enemmän n, sitä tarkempi likiarvo).

Klo 0.110 Binomijakauma voidaan arvioida.

puolestaan Binomijakauma voi toimia hyvänä likiarvona, kun populaation koko on N Hypergeometrinen jakauma paljon suurempi kuin otoskoko n (ts. N>>n tai n/N Voit lukea lisää yllä olevien jakaumien suhteesta artikkelista. Siellä on myös esimerkkejä approksimaatiosta, ja ehdot selitetään, kun se on mahdollista ja millä tarkkuudella.

NEUVOT: Voit lukea muista MS EXCELIN jakeluista artikkelista .