Koordinaattimenetelmä Atanasyan-avaruudessa. Avaruusesityksen koordinaattimenetelmä geometrian oppitunnille (luokka 11) aiheesta. Tasojen normaalivektorien laskenta

Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo Google-tili (tili) ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com

Diojen kuvatekstit:

Suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä avaruudessa. Vektorikoordinaatit.

Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä

Jos avaruuden pisteen läpi vedetään kolme pareittain kohtisuoraa viivaa, jokaiselle valitaan suunta ja segmenttien mittayksikkö, niin sanotaan, että avaruuteen asetetaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä.

Suoria viivoja, joihin on valittu suunnat, kutsutaan koordinaattiakseleiksi ja niiden yhteistä pistettä kutsutaan koordinaattien origoksi. Se merkitään yleensä kirjaimella O. Koordinaattiakselit on merkitty seuraavasti: Ox, Oy, O z - ja niillä on nimet: abskissa-akseli, y-akseli, aplikaatioakseli.

Koko koordinaattijärjestelmä on merkitty Oxy z . Tasoja, jotka kulkevat koordinaattiakselien Ox ja Oy, Oy ja O z , O z ja Ox kautta, kutsutaan koordinaattitasoiksi ja niitä merkitään Oxy, Oy z , O z x.

Piste O jakaa kunkin koordinaattiakselin kahdeksi säteeksi. Sädettä, jonka suunta on sama kuin akselin suunta, kutsutaan positiiviseksi puoliakseliksi ja toista sädettä negatiiviseksi puoliakseliksi.

SISÄÄN suorakaiteen muotoinen järjestelmä koordinaatit, jokainen avaruuden piste M liittyy kolmoislukuihin, joita kutsutaan sen koordinaatteiksi.

Kuvassa kuusi pistettä A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F(0; 0; -3).

Vektorikoordinaatit

Mikä tahansa vektori voidaan hajottaa koordinaattivektoreiksi, ts. esittää muodossa, jossa laajennuskertoimet x, y, z on määritetty yksiselitteisesti.

Kertoimia x, y ja z vektorin laajennuksessa koordinaattivektoreilla kutsutaan vektorin koordinaatteiksi annetussa koordinaattijärjestelmässä.

Harkitse sääntöjä, joiden avulla voimme löytää niiden summan ja eron koordinaatit sekä tietyn vektorin tulon koordinaatit tietyllä luvulla käyttämällä näiden vektoreiden koordinaatteja.

10. Kukin kahden tai useamman vektorin summan koordinaatti on yhtä suuri kuin näiden vektorien vastaavien koordinaattien summa. Toisin sanoen, jos a (x 1, y 1, z 1) ja b (x 2, y 2, z 2 ) on annettu vektorit, niin vektorilla a + b on koordinaatit (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2).

20 . Kukin kahden vektorin eron koordinaatti on yhtä suuri kuin näiden vektorien vastaavien koordinaattien ero. Toisin sanoen, jos a (x 1, y 1, z 1) ja b (x 2 y 2; z 2) ovat vektoreita, niin vektorilla a - b on koordinaatit (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2).

kolmekymmentä. Jokainen vektorin luvun tulon koordinaatti on yhtä suuri kuin vektorin vastaavan koordinaatin tulo kyseisellä luvulla. Toisin sanoen, jos a (x; y; x) on annettu vektori, α on tietty luku, niin vektorilla α a on koordinaatit (αx; αy; α z).

Aiheesta: metodologinen kehitys, esitykset ja muistiinpanot

Didaktinen moniste "Muistiinpanosarja opiskelijoille aiheesta "Koordinaattien menetelmä avaruudessa" oppituntien johtamiseen luentojen muodossa. Geometria luokka 10-11....

Oppitunnin tarkoitus: Testaa opiskelijoiden tietoja, taitoja ja kykyjä aiheesta "Koordinaattimenetelmän käyttö avaruudessa tehtävien ratkaisemiseen C2 KÄYTTÖ." Suunnitellut koulutustulokset: Oppilaat osoittavat: ...

Koordinaattimenetelmä on erittäin tehokas ja monipuolinen tapa löytää kulmat tai etäisyydet stereometristen kohteiden välillä avaruudessa. Jos matematiikan opettajasi on erittäin pätevä, hänen pitäisi tietää tämä. Muuten suosittelen "C"-osan vaihtamaan ohjaaja. Matematiikan C1-C6 tenttiin valmistautuminen sisältää yleensä alla kuvattujen perusalgoritmien ja -kaavojen analyysin.

Linjojen a ja b välinen kulma

Avaruudessa olevien viivojen välinen kulma on kulma niiden kanssa yhdensuuntaisten leikkaavien viivojen välillä. Tämä kulma on yhtä suuri kuin näiden viivojen suuntavektorien välinen kulma (tai täydentää sitä 180 asteeseen).

Mitä algoritmia matematiikan ohjaaja käyttää kulman löytämiseen?

1) Valitse mitkä tahansa vektorit ja joilla on linjojen a ja b suunnat (niiden kanssa yhdensuuntaiset).
2) Määritämme vektorien koordinaatit ja niiden alun ja lopun vastaavien koordinaattien perusteella (alkun koordinaatit on vähennettävä vektorin lopun koordinaateista).
3) Korvaamme löydetyt koordinaatit kaavaan:
. Itse kulman löytämiseksi sinun on löydettävä tuloksen kaarikossini.

Normaali lentokoneeseen

Tason normaali on mikä tahansa vektori, joka on kohtisuorassa kyseiseen tasoon nähden.
Miten löytää normaali? Normaalin koordinaattien löytämiseksi riittää, että tietää minkä tahansa kolmen pisteen M, N ja K koordinaatit, jotka sijaitsevat annetussa tasossa. Näiden koordinaattien avulla löydämme vektorien koordinaatit ja edellytämme, että ehdot täyttyvät. Yhdistäen vektorien skalaaritulon nollaan, muodostamme yhtälöjärjestelmän, jossa on kolme muuttujaa, joista voimme löytää normaalin koordinaatit.

Matematiikan opettajan huomautus : Järjestelmää ei tarvitse ratkaista kokonaan, koska riittää, että valitset vähintään yhden normaalin. Voit tehdä tämän korvaamalla minkä tahansa luvun (esimerkiksi yhden) minkä tahansa sen tuntemattoman koordinaatin sijasta ja ratkaisemalla kahden yhtälön järjestelmän kahdella jäljellä olevalla tuntemattomalla. Jos sillä ei ole ratkaisuja, tämä tarkoittaa, että normaaliperheessä ei ole ketään, jolla olisi yksikkö valitulle muuttujalle. Korvaa sitten toinen muuttujalla (toisella koordinaatilla) ja ratkaise uusi järjestelmä. Jos ohitat uudelleen, normaalillasi on yksikkö viimeisellä koordinaatilla, ja se osoittautuu jonkin koordinaattitason suuntaiseksi (tässä tapauksessa se on helppo löytää ilman järjestelmää).

Oletetaan, että meille annetaan suora ja taso suuntavektorin ja normaalin koordinaatin kanssa
Suoran ja tason välinen kulma lasketaan seuraavalla kaavalla:

Olkoon ja mitkä tahansa kaksi normaalia annetuille tasoille. Tällöin tasojen välisen kulman kosini on yhtä suuri kuin normaalien välisen kulman kosinin moduuli:

Tason yhtälö avaruudessa

Pisteet, jotka täyttävät tasa-arvon, muodostavat tason normaalin kanssa. Kerroin vastaa poikkeaman (rinnakkaissiirtymän) määrästä kahden tason välillä, joilla on sama normaali normaali. Tason yhtälön kirjoittamista varten sinun on ensin löydettävä sen normaali (kuten yllä on kuvattu), ja sitten korvattava minkä tahansa tason pisteen koordinaatit yhdessä löydetyn normaalin koordinaattien kanssa yhtälöön ja löydettävä kerroin. .

Minkä tahansa pisteen sijainti avaruudessa voidaan määrittää yksiselitteisesti suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän avulla. Tämä järjestelmä sisältää kolme keskenään kohtisuoraa akselia, jotka leikkaavat yhdessä pisteessä O on koordinaattien origo. Yksi akseleista on ns x-akseli(akseli vai niin), toinen y-akseli (OU), kolmas soveltaa akselia (Oz). lentokoneita XOY, XOZ Ja YOZ kutsutaan koordinaattitasoiksi. Mikä tahansa segmentti katsotaan mittakaavayksikkö kaikille kolmelle akselille . Positiiviset suunnat akseleilla valitaan siten, että kierto 90 0, joka yhdistää positiivisen säteen HÄRKÄ positiivisella säteellä OY, näytti menevän vastapäivään säteestä katsottuna oz. Tätä koordinaattijärjestelmää kutsutaan oikein.

Minkä tahansa pisteen sijainti M avaruudessa voidaan määritellä kolmella koordinaatilla seuraavasti . KauttaMpiirrä tasojen kanssa yhdensuuntaisia tasojaXOY, XOZ Ja YOZ. Akselien risteyksessä saamme pisteitä, esim. P, K Ja R vastaavasti. Numerot X (abskissa), klo(ordinaattinen), z (applikointi), mittaamalla segmenttejäOP, O QJaTAIvalitulla asteikolla kutsutaansuorakulmaiset koordinaatitpisteitä M. Ne otetaan positiivisina tai negatiivisina riippuen siitä, ovatko vastaavat segmentit positiivisella vai negatiivisella puoliakselilla. Jokainen kolmoisluku ( X; klo; z) vastaa yhtä ja vain yhtä pistettä avaruudessa ja päinvastoin.

Kahden pisteen välinen etäisyys ja se lasketaan kaavalla: (1.6)

Koordinaatit (x; y; z) pisteitäM jakamalla tietyssä suhteessa Jana AB, (,) määritetään seuraavilla kaavoilla:

Erityisesti kohdassa (kohta M jakaa segmentin AB puoliksi), saadaan kaavat janan keskipisteen koordinaattien määrittämiseksi:

Esimerkki 4: akselilla OU Etsi piste, joka on yhtä kaukana kahdesta pisteestä Ja .

Ratkaisu: Piste M makaa akselilla OU, on koordinaatit . Tehtävän mukaan |AM| = |VM|. Etsitään etäisyyksiä |AM| Ja |VM|, käyttämällä kaavaa (1.6):

Saamme yhtälön: .

Tästä syystä huomaamme, että 4 klo= 16, ts. y= 4. Haluttu piste on M(0; 4; 0).

Esimerkki 5: Jana AB jaettu 3 yhtä suureen osaan. Etsi jakopisteiden koordinaatit, jos pisteet tunnetaan ja .

Ratkaisu:

Merkitse janan jakopisteitä AB seuraavassa järjestyksessä: KANSSA Ja D. Tehtävän mukaan |AC| = |CD| = |DB|. Siksi pointti KANSSA jakaa segmentin AB suhteessa . Kaavojen (1.7) avulla löydämme pisteen C koordinaatit:

Kaavojen (1.8) avulla löydämme pisteen koordinaatit D- segmentin keskikohta SW:

Eli pisteellä D on koordinaatit: .

Esimerkki 6: Kohdissa , ,, massat väkevöidään vastaavasti m 1 , m 2 , m 3 , m 4. Etsi näiden massojen järjestelmän painopisteen koordinaatit.

Ratkaisu:

Kuten fysiikan kurssista tiedetään, massojen painopiste m 1 ja m 2 sijoittui pisteisiin A Ja SISÄÄN, jakaa segmentin AB osiin, jotka ovat kääntäen verrannollisia segmentin () päihin keskittyneisiin massoihin. Tämän perusteella löydämme ensin kahden massan järjestelmän painopisteen m 1 ja m 2 sijoittui pisteisiin A 1 Ja A 2 :

, ,.

Kolmimassaisen järjestelmän painopiste m 1 ja m 2 ja m 3 () löydämme samalla tavalla:

, ,.

Lopulta löydämme kolmen massan järjestelmän painopisteenm 1 , m 2 , m 3 Jam 4 :

, ,.

Hallittavia kysymyksiä:

Kuvaa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasossa ja kaikki sen komponentit.

Miten tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit määritetään?

Kirjoita kaava löytääksesi pkahden pisteen välinen etäisyys päällä kone .

Kuinka löytääpisteen koordinaatit, joka jakaa janan tietyssä suhteessa?

Kirjoita kaavat janan keskipisteen koordinaateille.

Kirjoita kaava, joka laskee kolmion alueen, jos sen kärkien koordinaatit tunnetaan .

Kuvaile napakoordinaatistoa.

Mikä on napapiirin säde? Missä määrin sitä mitataan?

Mikä on napakulma? Mittauksen rajat?

Miten löytää suorakulmaiset koordinaatit pisteelle, jonka napakoordinaatit tunnetaan?

Miten löytää napakoordinaatit pisteelle, jonka suorakulmaiset koordinaatit tunnetaan?

Kuinka löytää pisteiden välinen etäisyys napajärjestelmä koordinaatit?

Kuvaa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä avaruudessa ja kaikki sen komponentit.

Kuinka määrittää avaruuden pisteen koordinaatit?

Kirjoita muistiin kaava kahden avaruuden pisteen välisen etäisyyden selvittämiseksi.

Kirjoita kaavoja löytääksesi pisteen koordinaatit, jakaa segmentin tietyssä suhteessa kolmiulotteisessa koordinaattijärjestelmässä.

Koordinaattimenetelmän ydin geometristen ongelmien ratkaisemiseen

Koordinaattimenetelmällä tehtävän ongelmien ratkaisemisen ydin on ottaa käyttöön koordinaattijärjestelmä, joka on meille kätevä jossakin tapauksessa ja kirjoittaa kaikki tiedot uudelleen sen avulla. Sen jälkeen kaikki tuntemattomat suuret tai todisteet säilytetään tällä systeemillä. Keskustelimme toisessa artikkelissa pisteiden koordinaattien syöttämisestä missä tahansa koordinaattijärjestelmässä - emme käsittele sitä täällä.

Esittelemme tärkeimmät väitteet, joita käytetään koordinaattimenetelmässä.

Lausuma 1: Vektorin koordinaatit määräytyvät tämän vektorin lopun ja sen alun vastaavien koordinaattien välisen eron perusteella.

Lausuma 2: Janan keskipistekoordinaatit määritetään puoleksi sen rajojen vastaavien koordinaattien summasta.

Lausuma 3: Minkä tahansa vektorin $\overline(δ)$, jolla on tietyt koordinaatit $(δ_1,δ_2,δ_3)$, pituus määritetään kaavalla

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Lausuma 4: Kahden koordinaattien $(δ_1,δ_2,δ_3)$ ja $(β_1,β_2,β_3)$ antama etäisyys määritetään kaavalla

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Kaavio geometristen tehtävien ratkaisemiseksi koordinaattimenetelmällä

Geometristen ongelmien ratkaisemiseksi koordinaattimenetelmällä on parasta käyttää tätä kaaviota:

Analysoi mitä ongelmassa on annettu:

Aseta tehtävälle sopivin koordinaattijärjestelmä;
Matemaattisesti tehtävän ehto, ongelman kysymys kirjoitetaan ylös, tälle tehtävälle rakennetaan piirustus.

Kirjoita kaikki tehtävän tiedot valitun koordinaattijärjestelmän koordinaatteihin.
Laadi tarvittavat suhteet ongelman ehdosta ja yhdistä nämä suhteet myös löydettäviin (tehtävässä todistettuihin).
Saatu tulos käännetään geometrian kielelle.

Esimerkkejä koordinaattimenetelmällä ratkaistavista ongelmista

Seuraavat tehtävät voidaan erottaa päätehtävistä, jotka johtavat koordinaattimenetelmään (niiden ratkaisuja ei anneta tässä):

Tehtävät vektorin koordinaattien löytämiseksi sen lopusta ja alusta.
Segmentin jakamiseen liittyvät tehtävät kaikilta osin.
Todista, että kolme pistettä ovat samalla viivalla tai että neljä pistettä ovat samalla tasolla.
Tehtävät kahden annetun pisteen välisen etäisyyden selvittämiseksi.
Tehtäviä geometristen muotojen tilavuuksien ja alueiden löytämisessä.

Ensimmäisen ja neljännen tehtävän ratkaisun tulokset esitämme yllä olevina päälauseina ja niitä käytetään melko usein muiden ongelmien ratkaisemiseen koordinaattimenetelmällä.

Esimerkkejä tehtävistä koordinaattimenetelmän soveltamiseen

Esimerkki 1

löytö sivupuoli säännöllinen pyramidi, jonka korkeus on $3 $ cm, jos pohjan sivu on $4 $ cm.

Olkoon meille annettu oikea pyramidi$ABCDS$ jonka korkeus on $SO$. Otetaan käyttöön koordinaattijärjestelmä, kuten kuvassa 1.

Koska piste $A$ on rakentamamme koordinaattijärjestelmän keskipiste, niin

Koska pisteet $B$ ja $D$ kuuluvat akseleille $Ox$ ja $Oy$, vastaavasti,

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

Koska piste $C$ kuuluu tasoon $Oxy$, niin

Koska pyramidi on säännöllinen, $O$ on janan $$ keskipiste. Lausunnon 2 mukaan saamme:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

Korkeudesta $SO$ lähtien

Geometrian oppituntikoe luokalla 11

Aihe: " Koordinaattien menetelmä avaruudessa”.

Kohde: Tarkista opiskelijoiden teoreettiset tiedot, taidot ja kyvyt soveltaa tätä tietoa ongelmien ratkaisussa vektori-, vektori-koordinaattisilla tavoilla.

Tehtävät:

1 .Luoda olosuhteet tiedon ja taitojen omaksumisen ohjaukselle (itsehillintä, keskinäinen valvonta).

2. Kehitä matemaattista ajattelua, puhetta, huomiokykyä.

3. Edistää aktiivisuutta, liikkuvuutta, kommunikointikykyä, opiskelijoiden yleistä kulttuuria.

Käyntilomake: työ ryhmissä.

Laitteet ja tietolähteet: näyttö, multimediaprojektori, laskentataulukko, luottokortit, testit.

Tuntien aikana

1. Mobilisoiva hetki.

Oppitunti CSR:n avulla; opiskelijat jaetaan 3 dynaamiseen ryhmään, joissa opiskelijat, joilla on hyväksyttävä, optimaalinen ja edistynyt taso. Jokaisella ryhmällä on koordinaattori, joka johtaa koko ryhmän työtä.

2 . Opiskelijoiden itsemäärääminen ennakoinnin perusteella.

Tehtävä:tavoitteen asettaminen suunnitelman mukaan: muista-opi-kykee.

Pääsykoe - Täytä tyhjät kohdat (tulosteissa)

pääsykoe

Täytä aukot…

1. Avaruuden pisteen läpi vedetään kolme pareittain kohtisuoraa viivaa

me, kullekin niistä, valitaan segmenttien suunta ja mittayksikkö,

sitten he sanovat, että se on asetettu …………. avaruudessa.

2. Suoria viivoja, joihin on valittu suunnat, kutsutaan nimellä ……………..,

ja niiden yhteinen pointti on …………. .

3. Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä jokainen avaruuden piste M liittyy numeroiden kolmikkoon, jotka kutsuvat sitä …………………..

4. Avaruuden pisteen koordinaatteja kutsutaan …………………..

5. Vektoria, jonka pituus on yksi, kutsutaan …………..

6. Vektorit iykkutsutaan………….

7. Kertoimet xyz hajoamisessa a= xi + yj + zk nimeltään

……………vektori a .

8. Kahden tai useamman vektorin summan kukin koordinaatti on yhtä suuri kuin ……………..

9. Kukin kahden vektorin eron koordinaatti on yhtä suuri kuin ……………….

10. Jokainen vektorin ja luvun tulon koordinaatti on yhtä suuri kuin………………..

11.Jokainen vektorin koordinaatti on yhtä suuri kuin…………….

12. Janan keskikohdan jokainen koordinaatti on yhtä suuri kuin………………….

13. Vektorin pituus a { xyz) lasketaan kaavalla ………………………

14. Pisteiden välinen etäisyys M 1(x 1 ; y 1; z 1) ja M 2 (x 2; y 2 ; z2) lasketaan kaavalla ……………………

15. Kahden vektorin skalaarituloa kutsutaan………………..

16. Nollasta poikkeavien vektorien skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla…………………..

17. Vektorien pistetuloa{ x 1; y 1; z 1} b { x 2 ; y 2 ; z 2) sisään ilmaistaan kaavalla ……………………

Pääsykokeen molemminpuolinen tarkastus. Vastaukset testin tehtäviin näytöllä.

Arviointikriteeri:

1-2 virhettä - "5"

3-4 virhettä - "4"

5-6 virhettä - "3"

Muissa tapauksissa - "2"

3. Töiden tekeminen. (korteille).

Kukin kortti sisältää kaksi tehtävää: nro 1 - teoreettinen todisteineen, nro 2 sisältää tehtäviä.

Selitä työhön sisältyvien tehtävien vaikeusaste. Ryhmä suorittaa yhden tehtävän, mutta siinä on 2 osaa. Ryhmäkoordinaattori johtaa koko ryhmän työtä. Samasta tiedosta keskusteleminen usean kumppanin kanssa lisää vastuuta omien onnistumisten lisäksi myös kollektiivisen työn tuloksista, millä on positiivinen vaikutus tiimin mikroilmastoon.

KORTTIA #1

1. Johda kaavat, jotka ilmaisevat janan keskikohdan koordinaatit sen päiden koordinaatteina.

2. Tehtävä: 1) Pisteet A (-3; 1; 2) ja B (1; -1; 2) annetaan

Löytö:

a) janan AB keskipisteen koordinaatit

b) vektorin AB koordinaatit ja pituus

2) Kuutio ABCDA1 B1 C1 D1 on annettu. Etsi kulma koordinaattimenetelmällä

linjojen AB1 ja A1 D välissä.

KORTTIA #2

Johda kaava vektorin pituuden laskemiseksi sen koordinaateista.

Tehtävä: 1) Annetut pisteet M(-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Etsi etäisyys koordinaattien origosta janan M keskikohtaanN.

→ → → → →

2) Vektoritiedot a Ja b. löytö b(a+b), Jos a(-2;3;6),b=6i-8k

KORTTIA #3

Johda kaava pisteiden välisen etäisyyden laskemiseksi annetuilla koordinaatteilla.

Tehtävä: 1) Pisteet A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4) annetaan.

Todista, että ∆ABC on tasakylkinen ja laske pituus keskiviiva kolmio, joka yhdistää sivujen keskipisteet.

2) Laske suorien AB ja SD välinen kulma, jos A(1;1;0),

B(3;-1;2), D(0;1;0).

KORTTIA #4

Johda kaavat nollasta poikkeavien vektoreiden välisen kulman kosinille annetuilla koordinaatteilla.

Tehtävä: 1) Suunnikkaan ABCD kolmen kärjen koordinaatit on annettu:

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Etsi pisteen D koordinaatit.

2) Laske suorien AB ja CD välinen kulma, jos A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

KORTTIA #5

Kerro meille kuinka lasketaan kahden suoran välinen kulma avaruudessa käyttämällä näiden viivojen suuntavektoreita. →→

Tehtävä: 1) Etsi vektorien skalaarituloa Ja b, Jos:

→ → → ^ →

a) | a| =4; | b| =√3 (ab)=30◦

b) a {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k

2) Pisteet A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) ja D(2;4;4) on annettu. Todista, että ABCD on rombi.

4. Dynaamisten ryhmien työn tarkistaminen korteilla.

Kuuntelemme ryhmien edustajien puheita. Ryhmien työn arvioi opettaja opiskelijoiden osallistuessa.

5. Heijastus. Luottopisteet.

Loppukoe vastausvaihtoehdoilla (tulosteina).

1) Vektorit on annettu a {2 ;-4 ;3} b(-3; ─ ; 1). Etsi vektorin koordinaatit

→ 2

c = a+ b

a) (-5; 3 -; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Vektorit on annettu a(4; -3; 5) ja b(-3; 1; 2). Etsi vektorin koordinaatit

C=2 a – 3 b

a) (7; -2; 3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Laske vektorien skalaaritulom Ja n, Jos m = a + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 a - b jos | a|=2 , ‌| b |=3, (ab‌) = 60°, c ┴ a , c ┴ b.

a)-1; b) -27; kohdassa 1; d) 35.

4) Vektorin pituus a { xyz) on yhtä suuri kuin 5. Etsi vektorin a jos koordinaatitx=2, z=-√5

a) 16; b) 4 tai -4; klo 9; d) 3 tai -3.

5) Etsi alue ∆ABC, jos A(1;-1;3); B(3;-1;1) ja C(-1;1;-3).

a) 4√3; b) √3; c) 2√3; d) √8.

Ristiinvalidointitesti. Testitehtävien vastauskoodit näytöllä: 1(b); 2(c);

3(a); 4(b); 5(c).

Arviointikriteeri:

Kaikki on oikein - "5"

1 virhe - "4"

2 virhettä - "3"

Muissa tapauksissa - "2"

Oppilaan tietotaulukko

Työskentele

kortit

lopullinen

testata

Luottopisteet

Tehtävät

teoria

harjoitella

1 ryhmä

2 ryhmää

3 ryhmää

Opiskelijoiden kokeeseen valmistautumisen arviointi.