Pisteen projektio suoralla, pisteen projektion koordinaatit suoralla. Pisteen projektio suoralla, pisteen projektion koordinaatit suoralla Pisteen ortogonaalinen projektio suoralla verkossa

1-12. Pisteen projektio tasolle tai suoralle

ONGELMAN MUOTTAMINEN. Etsi pisteen P(^PiURCHzp) projektion P" koordinaatit tasolle Ax + By -\- Cz-\- D \u003d O,

RATKAISUSUUNNITELMA. Pisteen P projektio P" tasolle on pisteestä P tälle tasolle pudotetun kohtisuoran kanta.

1. Laadimme yhtälöt pisteen P kautta kulkevasta suorasta, joka kulkee kohtisuorassa annettua tasoa vastaan. Tätä varten otamme suoran suuntausvektoriksi normaali vektori taso: a \u003d n \u003d \u003d (A, B, C). Sitten suoran kanonisilla yhtälöillä on muoto

X = At-\- xp, y = Bt-\-yp, Z = z Ct-\- Zp.

3. Korvaamalla x^y^z tasoyhtälöön ja ratkaisemalla se t:n suhteen, saadaan parametrin t = arvo, jossa suora ja taso leikkaavat.

4. ^o:n löydetty arvo korvataan suoran parametriyhtälöillä ja saadaan tarvittavat pisteen koordinaatit R".

KOMMENTTI. Ongelma pisteen projektion koordinaattien löytämisestä suoralle ratkaistaan ​​samalla tavalla.

ESIMERKKI. Etsi pisteen P (1,2, -1) projektion P koordinaatit tasolle ЗЖ - 2/4-22: - 4 \u003d 0.

1. Laadimme yhtälöt pisteen P kautta kulkevasta suorasta, joka kulkee kohtisuorassa annettua tasoa vastaan. Tätä varten otamme tason normaalivektorin suoran suuntausvektoriksi: a = n =

3. Korvaamalla nämä x^ y:n ja z:n lausekkeet tason yhtälöön, löydämme parametrin ^ arvon, jossa suora ja taso leikkaavat:

3(3t + 1) - l(-t + 2) + 2(2t - 1) - 27 = O => - = 2.

4. Korvaamalla löydetyn arvon = 2 suoran parametriyhtälöihin, saadaan x0 = 7, y0 = 0, y0 = 1.

Siten suoran ja tason leikkauspisteellä ja siten pisteen P projektiolla tasossa on koordinaatit (7,0,1).

Vastaus. Projektiolla P" on koordinaatit (7,0,1).

Vastaukset. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6. (3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10. (1,1/2,0).

1.13. Symmetria viivan tai tason suhteen

ONGELMAN MUOTTAMINEN. Etsi pisteen Q koordinaatit, symmetrinen

RATKAISUSUUNNITELMA. Haluttu piste Q sijaitsee suoralla, joka on kohtisuorassa annettuun nähden ja leikkaa sen pisteessä P". Koska piste P" jakaa janan PQ kahtia, määritetään PISTEEN Q koordinaatit w, yd ja ZQ ehdoista.

sen projektio P" annetulle suoralle.

1. Etsi pisteen projektioР annettuun suoraan, ts. kohta P "(katso tehtävä 1.12). Voit tehdä tämän seuraavasti:

a) muodosta yhtälö tasolle, joka kulkee pisteen P kautta kohtisuorassa annettua suoraa vastaan. Tämän tason normaalivektoriksi p voidaan ottaa annetun suoran suuntavektori, ts. n = a = (l^m^n). Saamme

1 (x - Xp) + m (y - UR) -f n (z - zp) \u003d 0;

b) etsi tämän tason leikkauspisteen P koordinaatit tietyn suoran kanssa. Tätä varten kirjoitamme suoran yhtälöt parametrimuotoon

X = H-\-jo, y = mt-\-yo, Z = nt-\-ZQ.

Korvaamalla x^y^z tasoyhtälöön ja ratkaisemalla se t:n suhteen, saadaan parametrin t = to arvo, jossa suora ja taso leikkaavat;

c) korvaamme löydetyn arvon suoran parametriyhtälöihin ja saamme pisteen Р".

2. Pisteen Q, joka on symmetrinen pisteen Р kanssa annetun suoran suhteen, koordinaatit määritetään ehdoista (1). Saamme

XQ = 2xp/ - Xp, yq = 2ur" - ur, ZQ = 22;p/ - zp.

KOMMENTTI. Ongelma pisteen koordinaattien löytämisestä, joka on symmetrinen tietylle pisteelle tason suhteen, ratkaistaan ​​samalla tavalla.

ESIMERKKI. Etsi pisteen Q koordinaatit, joka on symmetrinen pisteen P(2, -1,2) kanssa suoran suhteen

X - 1 _ y __ Z -\-1

RATKAISU.

1. Etsi pisteen projektioР annettuun suoraan, ts. kohta P". Voit tehdä tämän seuraavasti:

a) muodosta yhtälö tasolle, joka kulkee pisteen P kautta kohtisuorassa annettua suoraa vastaan. Tämän tason normaalivektoriksi p voidaan ottaa tämän suoran suuntavektori: n = a = (1,0,-2). Sitten

Korvaamalla nämä x:n, y:n ja z:n lausekkeet tason yhtälöön, saadaan parametrin t arvo, jossa suora ja taso leikkaavat: to = -1;

c) korvaamalla löydetyn arvon = -1 suoran parametriyhtälöissä, saadaan

zhp/ = 0, g/p/ = 0, zpr = 1.

Siten suoran ja tason leikkauspiste ja siten pisteen P projektio suoralle on P"(0,0,1).

2. Pisteen Q, joka on symmetrinen pisteen P kanssa annetun suoran suhteen, koordinaatit määritetään ehdoista (1):

XQ \u003d 2xp "- Xp \u003d -2,

VQ \u003d 2ur / - 2 / p \u003d 1,

ZQ = 2zpf - zp = 0.

Vastaus. Pisteellä Q on koordinaatit (-2,1,0).

TEHTÄVÄT EHDOT. Etsi pisteen P kanssa symmetrisen pisteen koordinaatit annetun suoran suhteen.

Tässä artikkelissa tarkastellaan pisteen projisointia suoralle viivalle (akselille). Määrittelemme sen käyttämällä selittävää kuviota; tutkimme menetelmää pisteen projektion koordinaattien määrittämiseksi suoralla (tasolla tai kolmiulotteisessa avaruudessa); katsotaanpa esimerkkejä.

Artikkelissa "Pisteen projektio tasolle, koordinaatit" mainittiin, että kuvion projektio on yleistetty kohtisuoran tai ortogonaalisen projektion käsite.

Kaikki geometrisia kuvioita koostuvat vastaavasti pisteistä, tämän kuvan projektio on kaikkien sen pisteiden projektioiden joukko. Siksi, jotta pystyt projisoimaan hahmon suoralle viivalle, on tarpeen hankkia taito projisoida piste suoralle viivalle.

Määritelmä 1

Pisteen projektio suoralle- tämä on joko itse piste, jos se kuuluu tiettyyn suoraan, tai tästä pisteestä tiettyyn suoraan pudotetun kohtisuoran kanta.

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa: piste H 1 toimii pisteen M 1 projektiona suoralle a ja suoralle kuuluva piste M 2 on projektio itsestään.

Tämä määritelmä pätee tapaukseen tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa.

Jotta saadaan pisteen M 1 projektio tason suoralle a, piirretään viiva b, joka kulkee annetun pisteen M 1 läpi ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Siten suorien a ja b leikkauspiste on pisteen M 1 projektio suoralle a.

Kolmiulotteisessa avaruudessa suoran a ja pisteen M 1 kautta kulkevan tason α leikkauspiste, joka on kohtisuorassa suoraa a vastaan, toimii pisteen projektiona suoralle viivalle.

Pisteen suoralle projektion koordinaattien löytäminen

Tarkastellaan tätä kysymystä tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa projektiossa.

Annetaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y, piste M 1 (x 1, y 1) ja suora a. On tarpeen löytää pisteen M 1 projektion koordinaatit suoralle a.

Vedetään annetun pisteen M 1 (x 1, y 1) läpi suora b kohtisuoraan suoraa a vastaan. Merkitsemme leikkauspisteen H 1 . Piste H 1 on pisteen M 1 projektiopiste suoralle a.

Kuvatusta konstruktiosta voimme muodostaa algoritmin, jonka avulla voit löytää pisteen M 1 (x 1, y 1) projektion koordinaatit suoralle a:

Muodostamme suoran yhtälön (jos sitä ei ole asetettu). Tämän toiminnon suorittaminen edellyttää taitoa laatia perusyhtälöitä tasossa;

Kirjoitamme suoran b yhtälön (joka kulkee pisteen M 1 läpi ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan). Artikkeli suoran yhtälöstä, joka kulkee tietyn pisteen kautta kohtisuorassa tiettyyn suoraan nähden, auttaa tässä;

Määritämme halutut projektiokoordinaatit suorien a ja b leikkauspisteen koordinaatteiksi. Tätä varten ratkaisemme yhtälöjärjestelmän, jonka komponentit ovat suorien a ja b yhtälöt.

Esimerkki 1

Tasolle O x y on annettu pisteet M 1 (1, 0) ja suora a (yleinen yhtälö on 3 x + y + 7 = 0). On tarpeen määrittää pisteen M 1 projektion koordinaatit suoralle a.

Ratkaisu

Annetun suoran yhtälö tunnetaan, joten etenemme algoritmin mukaan suoran b yhtälön kirjoittamisvaiheeseen. Suora b on kohtisuorassa suoraa a vastaan, mikä tarkoittaa, että suoran a normaalivektori toimii suoran b suuntavektorina. Sitten suoran b suuntavektori voidaan kirjoittaa muodossa b → = (3, 1) . Kirjoitamme myös suoran b kanonisen yhtälön, koska meille annetaan myös pisteen M 1 koordinaatit, jonka kautta suora b kulkee:

Viimeinen vaihe on määrittää suorien a ja b leikkauspisteen koordinaatit. Siirrytään suoran b kanonisista yhtälöistä sen yleiseen yhtälöön:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Muodostamme yhtälöjärjestelmän suorien a ja b yleisistä yhtälöistä ja ratkaisemme sen:

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 ( - 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Lopulta saatiin pisteen M 1 (1, 0) projektion koordinaatit suoralle 3 x + y + 7 = 0: (- 2, - 1) .

Vastaus: (- 2 , - 1) .

Tarkastellaan yksityiskohtaisemmin tapausta, jossa on tarpeen määrittää tietyn pisteen projektion koordinaatit koordinaattiviivoille ja niiden rinnakkaisille viivoille.

Olkoon koordinaattiviivat O x ja O y sekä piste M 1 (x 1 , y 1) . On selvää, että annetun pisteen projektio muotoa y = 0 olevalle koordinaattiviivalle O x tulee olemaan piste, jonka koordinaatit ovat (x 1 , 0) . Joten tietyn pisteen projektiolla koordinaattiviivalla O y on koordinaatit 0, y 1 .

Mikä tahansa mielivaltainen x-akselin suuntainen suora voidaan antaa epätäydelliseksi yleinen yhtälö B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B ja suora viiva, joka on yhdensuuntainen ordinaatta-akselin kanssa - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Sitten pisteen M 1 (x 1, y 1) projektiot suorille y \u003d - C B ja x \u003d - C A ovat pisteitä, joiden koordinaatit ovat x 1, - C B ja - C A, y 1.

Esimerkki 2

Määritä pisteen M 1 (7, - 5) projektion koordinaatit koordinaattiviivalla O y sekä suoralla, joka on yhdensuuntainen suoran O y 2 y - 3 = 0 kanssa.

Ratkaisu

Kirjoitetaan annetun pisteen projektion koordinaatit suoralle O y: (0 , - 5) .

Kirjoitamme suoran 2 y - 3 = 0 yhtälön muodossa y = 3 2 . On selvää, että annetun pisteen projektiolla suoralle y = 3 2 on koordinaatit 7, 3 2.

Vastaus:(0 , - 5) ja 7 , 3 2 .

Olkoon kolmiulotteisessa avaruudessa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y z , piste M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja suora a. Etsitään pisteen M 1 projektion koordinaatit suoralle a.

Muodostetaan taso α, joka kulkee pisteen M 1 kautta ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Annetun pisteen projektio suoralle a on suoran a ja tason α leikkauspiste. Tämän perusteella esitetään algoritmi pisteen M 1 (x 1, y 1, z 1) projektion koordinaattien löytämiseksi suoralle a:

Kirjataan muistiin suoran a yhtälö (jos sitä ei ole annettu). Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on luettava artikkeli suoran linjan yhtälöistä avaruudessa;

Muodostetaan yhtälö tasolle α, joka kulkee pisteen M 1 kautta ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan ​​(katso artikkeli "Tietyttyä suoraa vastaan ​​kohtisuorassa annetun pisteen läpi kulkevan tason yhtälö");

Etsitään halutut koordinaatit pisteen M 1 (x 1, y 1, z 1) projektiolle suoralle a - nämä ovat suoran α ja tason α leikkauspisteen koordinaatit (avuksi - artikkeli "Suoran ja tason leikkauspisteen koordinaatit").

Esimerkki 3

On annettu suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y z, jossa on piste M 1 (0, 1, - 1) ja suora a. Suora a vastaa kanonisia yhtälöitä, jotka ovat muotoa: x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 . Määritä pisteen M 1 projektion koordinaatit suoralle a.

Ratkaisu

Käytämme yllä olevaa algoritmia. Suoran a yhtälöt tunnetaan, joten ohitamme algoritmin ensimmäisen vaiheen. Kirjoitetaan tason α yhtälö. Tätä varten määritämme tason α normaalivektorin koordinaatit. Annetuista suoran a kanonisista yhtälöistä valitaan tämän suoran suuntavektorin koordinaatit: (3 , - 4 , 1) , joka on suoraa a vastaan ​​kohtisuorassa olevan tason α normaalivektori. Sitten n → = (3 , - 4 , 1) on tason α normaalivektori. Siten tason α yhtälö näyttää tältä:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Nyt löydämme suoran a ja tason α leikkauspisteen koordinaatit, tähän käytetään kahta menetelmää:

1. Annetut kanoniset yhtälöt antavat meille mahdollisuuden saada yhtälöt kahdesta leikkaavasta tasosta, jotka määrittelevät suoran a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Suoran 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 ja tason 3 x - 4 y + z + 5 = 0 leikkauspisteiden löytämiseksi ratkaisemme yhtälöjärjestelmän:

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

Tässä tapauksessa käytämme Cramer-menetelmää, mutta on mahdollista soveltaa mitä tahansa kätevää:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ 0-78 = 0

Siten annetun pisteen projektio suoralle a on piste, jonka koordinaatit (1 , 2 , 0)

1. Annettujen kanonisten yhtälöiden perusteella on helppo kirjoittaa suoran parametriset yhtälöt avaruuteen:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Korvataan tason yhtälöön, jonka muoto on 3 x - 4 y + z + 5 = 0, x:n, y:n ja z:n sijaan niiden lausekkeet parametrin kautta:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Lasketaan halutut koordinaatit suoran a ja tason α leikkauspisteelle käyttäen parametriset yhtälöt rivi a, kun λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Siten annetun pisteen projektiolla suoralle a on koordinaatit (1 , 2 , 0)

Vastaus: (1 , 2 , 0)

Lopuksi todetaan, että pisteen M 1 (x 1, y 1, z 1) projektiot koordinaattiviivoille O x, O y ja O z ovat pisteitä, joiden koordinaatit ovat (x 1, 0, 0) , (0 , y1, 0) ja (0, 0, z1) vastaavasti.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tässä artikkelissa määritellään ensin pisteen projektio suoralle viivalle (akselilla) ja annetaan selittävä kuva. Seuraavaksi esitellään menetelmä pisteen suoralle projektion koordinaattien löytämiseksi suorakaiteen muotoinen järjestelmä koordinaatit tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa, esimerkkiratkaisut yksityiskohtaisine selityksineen esitetään.

Sivulla navigointi.

Pisteen projisointi suoralle viivalle - määritelmä.

Koska kaikki geometriset hahmot koostuvat pisteistä ja kuvion projektio on joukko tämän kuvion kaikkien pisteiden projektioita, kuvion projisoimiseksi suoralle on välttämätöntä pystyä projisoimaan tämän kuvion pisteet tiettyä riviä.

Mitä kutsutaan pisteen projektioksi suoralle?

Määritelmä.

Pisteen projektio suoralle- tämä on joko itse piste, jos se on tietyllä suoralla, tai tästä pisteestä tietylle suoralle pudotetun kohtisuoran kanta.

Alla olevassa kuvassa piste H 1 on pisteen M 1 projektio suoralle a ja piste M 2 on itse pisteen M 2 projektio suoralle a, koska M 2 on suoralla a.

Tämä määritelmä pisteen projektiosta suoralle pätee sekä tapaukselle tasossa että tapaukselle kolmiulotteisessa avaruudessa.

Tasossa, jotta voit rakentaa pisteen M 1 projektion suoralle a, sinun on piirrettävä suora b, joka kulkee pisteen M 1 läpi ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Tällöin suorien a ja b leikkauspiste on pisteen M 1 projektio suoralle a.

Kolmiulotteisessa avaruudessa pisteen M 1 projektio suoralle a on suoran a ja suoraa a vastaan ​​kohtisuorassa olevan pisteen M 1 kautta kulkevan tason leikkauspiste.

Pisteen projektion koordinaattien löytäminen suoralla - teoria ja esimerkkejä.

Aloitetaan etsimällä koordinaatit pisteen projektiosta suoralle, kun projisoitu piste ja suora on annettu Oxy-suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa. Sen jälkeen näytämme kuinka pisteen suoralle projektion koordinaatit löytyvät suorakaiteen muotoisesta koordinaattijärjestelmästä Oxyz kolmiulotteisessa avaruudessa.

Pisteen projektion koordinaatit tasaiselle suoralle.

Olkoon Oxy kiinnitetty tasoon, annettu piste, suora a, ja on määritettävä pisteen M 1 projektion koordinaatit suoralle a.

Ratkaistaan ​​tämä ongelma.

Piirretään pisteen M 1 b läpi viiva, joka on kohtisuorassa suoraa a vastaan, ja merkitään suorien a ja b leikkauspisteeksi H 1. Tällöin H 1 on pisteen M 1 projektio suoralle a.

Toteutetusta rakentamisesta se seuraa loogisesti algoritmi, jonka avulla voit löytää pisteen projektion koordinaatit suoralla a:

Käsitellään pisteen projektion koordinaattien löytämistä suoralla, kun ratkaistaan ​​esimerkkiä.

Esimerkki.

Tasolla suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään Oxy nähden on annettu piste ja suora a, joka vastaa suoran suoran yleinen yhtälö kiltti

Ratkaisu.

Tiedämme suoran a yhtälön ehdosta, joten voimme edetä algoritmin toiseen vaiheeseen.

Saamme yhtälön suorasta b, joka kulkee pisteen M 1 läpi ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Tätä varten tarvitsemme suuntavektorin koordinaatit b. Koska suora b on kohtisuorassa suoraa a vastaan, niin normaali vektori suora a on suoran b suuntavektori. Ilmeisesti suoran normaalivektori on vektori, jolla on koordinaatit , joten suoran b suuntausvektori on vektori . Nyt voimme kirjoittaa suoran kanoninen yhtälö b , koska tiedämme sen pisteen koordinaatit, jonka läpi se kulkee, ja sen suuntavektorin koordinaatit: .

Vielä on löydettävä suorien a ja b leikkauspisteen koordinaatit, jotka antavat halutut koordinaatit pisteen M 1 projektiolle suoralle a. Tätä varten siirrymme ensin suoran b kanonisista yhtälöistä sen yleiseen yhtälöön: . Nyt muodostamme yhtälöjärjestelmän suorien a ja b yleisistä yhtälöistä, jonka jälkeen löydämme sen ratkaisun (katso tarvittaessa artikkelia):

Siten pisteen projektio suoralle on koordinaatit.

Vastaus:

Esimerkki.

Kolme pistettä on annettu tasossa Oxy-suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Etsi pisteen M 1 projektion koordinaatit suoralle AB.

Ratkaisu.

Löytääksemme pisteen M 1 suoralle AB projektion koordinaatit, toimimme saadun algoritmin mukaan.

Kirjoitetaan kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö Ja:
.

Nyt on mahdollista siirtyä saadusta suoran AB kanonisesta yhtälöstä suoran AB yleisyhtälöön ja jatkaa ratkaisua analogisesti edellisen esimerkin kanssa. Mutta tarkastellaan toista tapaa löytää yhtälö pisteestä M 1, joka kulkee kohtisuorassa suoraa AB vastaan.

Suoran AB kanonisesta yhtälöstä saamme kaltevuusyhtälö : . Suoran AB kaltevuus on , ja suoran b kaltevuus, joka on kohtisuorassa suoraa AB vastaan, on (ks. kohtisuora ehto). Tällöin pisteen läpi kulkevan suoran b yhtälö, jolla on kaltevuus, on muotoa .

Pisteen suoralle AB projektion koordinaattien määrittämiseksi on vielä ratkaistava yhtälöjärjestelmä :

Vastaus:

Pysähdytään erikseen pisteen projektion koordinaattien löytämiseen koordinaattisuorilta Ox ja Oy sekä niiden suuntaisilta suorilta.

On selvää, että pisteen projektio koordinaattiviivalle Ox , joka vastaa epätäydellinen suoran yleinen yhtälö muodon , on piste , jolla on koordinaatit . Samoin pisteen projektiolla koordinaattiviivalle Oy on koordinaatit .

Mikä tahansa x-akselin suuntainen suora voidaan antaa epätäydellisellä muodon yleisellä yhtälöllä , ja y-akselin suuntainen suora on muodon yhtälö . Pisteen projektiot suorille ja ovat pisteitä, joilla on koordinaatit ja vastaavasti.

Esimerkki.

Mitkä ovat pisteen projektioiden koordinaatit koordinaattiviivalla Oy ja suoralla.

Ratkaisu.

Pisteen projektio suoralle Oy on piste, jolla on koordinaatit.

Kirjoitetaan suoran yhtälö uudelleen muotoon . Nyt on selvästi nähtävissä, että pisteen projektiolla suoralle on koordinaatit.

Vastaus:

JA .

Pisteen projektion koordinaatit suoralle kolmiulotteisessa avaruudessa.

Siirrytään nyt etsimään koordinaatit pisteen projektiosta suoralle suhteessa kolmiulotteisessa avaruudessa esitettyyn suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään Oxyz.

Olkoon suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä Oxyz kiinteä avaruudessa, piste , suora a ja on löydettävä pisteen M 1 projektion koordinaatit suoralle a.

Ratkaistaan ​​tämä ongelma.

Tehdään taso, joka kulkee pisteen M 1 kautta kohtisuorassa suoraa a vastaan. Pisteen M 1 projektio suoralle a on suoran a ja tason leikkauspiste. Siten saamme algoritmi, jonka avulla voit löytää pisteen projektion koordinaatit riville a:

Tarkastellaan esimerkkiratkaisua.

Esimerkki.

Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz on annettu piste ja suora a ja suora a määräytyy avaruuden suoran kanoniset yhtälöt kiltti . Etsi pisteen M 1 projektion koordinaatit suoralle a.

Ratkaisu.

Määrittääksemme pisteen M 1 projektion suoralle a koordinaatit, käytämme saatua algoritmia.

Tiedämme välittömästi ehdosta suoran a yhtälöt, joten siirrymme toiseen vaiheeseen.

Saamme tason yhtälön, joka on kohtisuorassa suoraa a vastaan ​​ja kulkee pisteen läpi. Tätä varten meidän on tiedettävä tason normaalivektorikoordinaatit. Etsitään ne. Suoran a kanonisista yhtälöistä näkyy tämän suoran suuntausvektorin koordinaatit: . Suoran a suuntavektori on sen tason normaalivektori, joka on kohtisuorassa linjaa a vastaan. Tuo on, on tason normaalivektori. Sitten pisteen läpi kulkevan tason yhtälö, jolla on normaalivektori , on muoto .

Vielä on löydettävä suoran a ja tason leikkauspisteen koordinaatit - ne ovat haluttuja koordinaatteja pisteen projektiosta suoralle a. Näytämme kaksi tapaa löytää ne.

Ensimmäinen tapa.

Suoran a kanonisista yhtälöistä saamme kahden leikkaavan tason yhtälöt, jotka määrittelevät rivin a:

Suoran leikkauspisteen koordinaatit ja lentokone saamme ratkaisemalla järjestelmän lineaariset yhtälöt kiltti . Soveltuu (jos pidät jostain muusta menetelmästä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen, käytä sitä):

Koordinaattipiste on siis pisteen M 1 projektio suoralle a.

Toinen tapa.

Tietäen suoran a kanoniset yhtälöt, se on helppo kirjoittaa avaruuden suoran parametriset yhtälöt : . Korvaa muodon tason yhtälöön x:n, y:n ja z:n sijaan ne ilmaistaan ​​parametrina:

Nyt voidaan laskea suoran a ja tason leikkauspisteen halutut koordinaatit käyttämällä suoran a parametriyhtälöitä kohdassa :