Elementaariset muunnokset, jotka johtavat vastaavaan järjestelmään. Elementaariset matriisimuunnokset. §8. Vector tilat

§7. Järjestelmät lineaariset yhtälöt

Tasapainojärjestelmät. Lineaarisen yhtälöjärjestelmän alkeismuunnokset.

Antaa KANSSA- kenttä kompleksiluvut. Tyyppiyhtälö

Missä
, kutsutaan lineaariseksi yhtälöksi n tuntematon
. tilattu setti
,
kutsutaan ratkaisuksi yhtälöön (1), jos .

järjestelmä m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon on yhtälöjärjestelmä, jonka muoto on:

- lineaarisen yhtälöjärjestelmän kertoimet, - ilmaiset jäsenet.

suorakaiteen muotoinen pöytä

,

kutsutaan kokomatriisiksi
. Otetaan käyttöön merkintä: - i-matriisin rivi,
- k-matriisin sarake. Matriisi A myös tarkoittaa
tai
.

Seuraavat matriisirivien muunnokset A kutsutaan alkeellisiksi.
) tyhjä merkkijonopoikkeus; ) kertomalla minkä tahansa merkkijonon kaikki elementit luvulla
; ) lisäys minkä tahansa muun merkkijonon merkkijonoon kerrottuna
. Samanlaisia ​​matriisisarakemuunnoksia A kutsutaan alkeismatriisimuunnoksiksi A.

Minkä tahansa matriisirivin ensimmäinen nollasta poikkeava elementti (laskettuna vasemmalta oikealle). A kutsutaan tämän merkkijonon johtavaksi elementiksi.

Määritelmä. Matriisi
kutsutaan vaiheittain, jos seuraavat ehdot täyttyvät:

1) matriisin nollarivit (jos sellaisia ​​on) ovat nollasta poikkeavien ykkösten alapuolella;

2) jos
matriisin rivien johtavat elementit

Mikä tahansa nollasta poikkeava matriisi A voidaan pelkistää askelmatriisiksi rivialkeismuunnoksilla.

Esimerkki. Esittelemme matriisin
askelmatriisiin:
~
~
.

Matriisi, joka koostuu järjestelmän kertoimista Lineaarisia yhtälöitä (2) kutsutaan järjestelmän päämatriisiksi. Matriisi
, joka saadaan lisäämällä vapaiden termien sarake, kutsutaan järjestelmän lisätyksi matriisiksi.

Järjestättyä joukkoa kutsutaan ratkaisuksi lineaariyhtälöjärjestelmään (2), jos se on ratkaisu tämän järjestelmän jokaiseen lineaariseen yhtälöön.

Lineaarista yhtälöjärjestelmää kutsutaan johdonmukaiseksi, jos sillä on vähintään yksi ratkaisu, ja epäjohdonmukaiseksi, jos sillä ei ole ratkaisuja.

Lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan määrätyksi, jos sillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja epämääräiseksi, jos sillä on useampi kuin yksi ratkaisu.

Seuraavia lineaarisen yhtälöjärjestelmän muunnoksia kutsutaan alkeismuunnoksiksi:

) lomakkeen poissulkeminen yhtälöjärjestelmästä ;

) minkä tahansa yhtälön molempien puolten kertominen
,
;

) lisäys minkä tahansa muun yhtälön yhtälöön, kerrottuna ,.

Kaksi lineaarista yhtälöjärjestelmää n Tuntemattomien sanotaan olevan ekvivalentteja, jos ne eivät ole yhteensopivia tai niiden ratkaisujoukot ovat samat.

Lause. Jos yksi lineaariyhtälöjärjestelmä saadaan toisesta alkeismuunnoksilla, joiden tyyppi on ), ), ), niin se on ekvivalentti alkuperäisen kanssa.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen tuntemattomien eliminointimenetelmällä (Gaussin menetelmällä).

Anna järjestelmän m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon:

Jos järjestelmä (1) sisältää muotoa olevan yhtälön

niin tämä järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Oletetaan, että järjestelmä (1) ei sisällä yhtälöä muotoa (2). Syötä järjestelmään (1) muuttujan kerroin x 1 ensimmäisessä yhtälössä
(jos näin ei ole, niin järjestämällä yhtälöt paikkoihin, saavutamme sen, koska kaikki kertoimet eivät x 1 ovat yhtä kuin nolla). Sovelletaan seuraavaa alkeismuunnosten ketjua lineaariyhtälöjärjestelmään (1):

, lisää toiseen yhtälöön;

Ensimmäinen yhtälö kerrottuna
, lisää kolmanteen yhtälöön ja niin edelleen;

Ensimmäinen yhtälö kerrottuna
, lisää järjestelmän viimeiseen yhtälöön.

Tuloksena saadaan järjestelmää (1) vastaava lineaarinen yhtälöjärjestelmä (jatkossa käytämme lyhennettä CLE lineaariyhtälöjärjestelmästä). Saattaa osoittautua, että tuloksena olevassa järjestelmässä ei ole yhtä yhtälöä numeron kanssa i, i 2, ei sisällä tuntematonta x 2. Antaa k on vähin luonnollinen luku, joka on tuntematon x k sisältyy vähintään yhteen yhtälöön numeron kanssa i, i 2. Sitten tuloksena oleva yhtälöjärjestelmä on muotoa:

Järjestelmä (3) vastaa järjestelmää (1). Hae nyt alajärjestelmään
lineaaristen yhtälöiden järjestelmät (3) päättely, jota on sovellettu SLE:hen (1) . Ja niin edelleen. Tämän prosessin tuloksena pääsemme toiseen kahdesta tuloksesta.

1. Saamme SLE:n, joka sisältää muotoa (2) olevan yhtälön. Tässä tapauksessa SLE (1) on epäjohdonmukainen.

2. SLE:hen (1) sovelletut alkeismuunnokset eivät johda järjestelmään, joka sisältää muotoa (2) olevan yhtälön. Tässä tapauksessa SLE (1) alkeismuunnoksilla
pelkistetään yhtälöjärjestelmäksi, jonka muoto on:

(4)

missä, 1< k < l < . . .< s,

Muotoa (4) olevaa lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan porrastetusti. Seuraavat kaksi tapausta ovat mahdollisia tässä.

A) r= n, niin järjestelmällä (4) on muoto

(5)

Järjestelmällä (5) on ainutlaatuinen ratkaisu. Näin ollen järjestelmällä (1) on myös ainutlaatuinen ratkaisu.

B) r< n. Tässä tapauksessa tuntematon
järjestelmässä (4) kutsutaan tärkeimmät tuntemattomat, ja jäljellä olevia tuntemattomia tässä järjestelmässä kutsutaan vapaiksi (niiden lukumäärä on yhtä suuri kuin n- r). Annetaan mielivaltaiset numeeriset arvot vapaille tuntemattomille, niin SLE:llä (4) on sama muoto kuin järjestelmällä (5). Sen perusteella tärkeimmät tuntemattomat määritetään yksiselitteisesti. Siten järjestelmällä on ratkaisu, eli se on yhteinen. Koska vapaille tuntemattomille annettiin mielivaltaiset numeeriset arvot alkaen KANSSA, niin järjestelmä (4) on määrittelemätön. Näin ollen järjestelmä (1) on myös määrittelemätön. Ilmaisemalla SLE:ssä (4) tärkeimmät tuntemattomat vapaina tuntemattomina, saadaan järjestelmä, jota kutsutaan järjestelmän (1) yleiseksi ratkaisuksi.

Esimerkki. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä menetelmällä G aussa

Kirjoitetaan lineaariyhtälöjärjestelmän laajennettu matriisi ja pelkistetään alkeisrivimuunnosten avulla askelmatriisiksi:

~

~
~
~

~ . Palautamme tuloksena olevan matriisin avulla lineaarisen yhtälöjärjestelmän:
Tämä järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää. Tärkeimmiksi tuntemattomiksi otamme sitten
vapaat tuntemattomat. Ilmaistakaamme tärkeimmät tuntemattomat vain vapailla tuntemattomilla:

Sain yhteinen päätös SLN. Anna sitten

(5, 0, -5, 0, 1) on SLE:n erityinen ratkaisu.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

1. Etsi yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu ja yksi tietty ratkaisu poistamalla tuntemattomat:

1)
2)

4)
6)

2. Etsi eri parametriarvoista A yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§8. Vector tilat

Vektoriavaruuden käsite. Yksinkertaisimmat ominaisuudet.

Antaa V ≠ Ø, ( F, +,∙) – kenttä. Kentän elementtejä kutsutaan skalaareiksi.

Näyttö φ : F× V –> V kutsutaan joukon elementtien kertolaskuoperaatioksi V skalaareihin kentältä F. Merkitse φ (λ,a) kautta λа elementtituote A skalaariin λ .

Määritelmä. Joukko V tietyllä algebrallisella operaatiolla joukon elementtien lisäämiseksi V ja joukon elementtien kertominen V skalaareihin kentältä F kutsutaan vektoriavaruudeksi kentän F yläpuolella, jos seuraavat aksioomat pätevät:

Esimerkki. Antaa F ala, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a i F (i=)). Sarjan jokainen elementti F n nimeltään n-ulotteinen aritmeettinen vektori. Esittelemme lisäystoiminnon n-ulotteiset vektorit ja kertolasku n-ulotteinen vektori skalaariin kentästä F. Antaa
. Laitetaan =( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1, λ a 2 , … , λ a n). Joukko F n on esitettyjen operaatioiden suhteen vektoriavaruus, ja sitä kutsutaan n-ulotteinen aritmeettinen vektoriavaruus kentän päällä F.

Antaa V- vektoriavaruus kentän päällä F, ,
. Seuraavat ominaisuudet tapahtuvat:

1)
;

3)
;

4)
;

Todistus omaisuudesta 3.

Tasa-arvosta vähennyslain mukaan ryhmässä ( V,+) meillä on
.

Lineaarinen riippuvuus, vektorijärjestelmien riippumattomuus.

Antaa V on vektoriavaruus kentän päällä F,

. Vektoria kutsutaan vektorijärjestelmän lineaariseksi yhdistelmäksi
. Kaikkien vektorijärjestelmän lineaaristen yhdistelmien joukkoa kutsutaan tämän vektorijärjestelmän lineaariseksi väliksi ja sitä merkitään .

Määritelmä. Vektorijärjestelmän sanotaan olevan lineaarisesti riippuvainen, jos tällaisia ​​skalaareja on olemassa
eivät kaikki ole nollaa, mikä

Jos yhtäläisyys (1) pätee jos ja vain jos λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, niin vektorijärjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi.

Esimerkki. Selvitä, onko vektorijärjestelmä = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) tilat R3 lineaarisesti riippuvaisia ​​tai riippumattomia.

Ratkaisu. Olkoon λ 1 , λ 2 , λ 3
Ja

 |=> (0,0,0) – järjestelmän ratkaisu. Siksi vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton.

Ominaisuudet lineaarinen riippuvuus ja vektorijärjestelmän riippumattomuus.

1. Vektorijärjestelmä, joka sisältää vähintään yhden nollavektori, on lineaarisesti riippuvainen.

2. Lineaarisesti riippuvaisen alijärjestelmän sisältävä vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen.

3. Vektorijärjestelmä , jossa
on lineaarisesti riippuvainen, jos ja vain jos ainakin yksi tämän järjestelmän vektori, joka on erilainen kuin vektori, on lineaarinen yhdistelmä sitä edeltävistä vektoreista.

4. Jos vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton, ja vektorijärjestelmä
lineaarisesti riippuvainen, sitten vektori voidaan esittää muodossa lineaarinen yhdistelmä vektoreita ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla.

Todiste. Koska vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, niin
eivät kaikki ole nollaa, mikä

Vektorien tasa-arvossa (2) λ m+1 ≠ 0. Olettaen, että λ m+1 =0, sitten (2) => Tästä seuraa, että vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, koska λ 1 , λ 2 , … , λ m kaikki eivät ole nollia. Pääsimme ristiriitaan ehdon kanssa. Mistä (1) => missä
.

Olkoon vektori voidaan esittää myös seuraavasti: Sitten vektorin yhtälöstä
vektorijärjestelmän lineaarisesta riippumattomuudesta johtuen siitä seuraa, että
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Olkoon kaksi vektorijärjestelmää ja
, m>k. Jos jokainen vektorijärjestelmän vektori voidaan esittää vektorijärjestelmän lineaarisena yhdistelmänä, niin vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen.

Vektorijärjestelmän perusta, järjestys.

Avaruusvektorien äärellinen järjestelmä V kentän yli F tarkoittaa S.

Määritelmä. Mikä tahansa vektorijärjestelmän lineaarisesti riippumaton alijärjestelmä S kutsutaan vektorijärjestelmän perustaksi S, jos jokin järjestelmän vektori S voidaan esittää vektorijärjestelmän lineaarisena yhdistelmänä.

Esimerkki. Etsi vektorijärjestelmän kanta = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton, koska ominaisuuden 5 mukaan vektorijärjestelmä saadaan vektorijärjestelmästä. korvaus perusasiat sähkömekanotroniikka: koulutuksellinenkorvaus perusasiat Sähkötekniikka"; ...

Kaksi lineaarista yhtälöjärjestelmää yhdestä tuntemattomien joukosta x 1 ,..., x n ja vastaavasti m ja p yhtälöistä

Niitä kutsutaan ekvivalenteiksi, jos niiden ratkaisujoukot ja yhtyvät (eli osajoukot ja K n:ssä ovat samat, ). Tämä tarkoittaa, että joko ne ovat molemmat tyhjiä osajoukkoja (eli molemmat järjestelmät (I) ja (II) ovat epäjohdonmukaisia) tai ne ovat samanaikaisesti ei-tyhjiä ja (eli jokainen järjestelmän I ratkaisu on järjestelmän II ratkaisu ja jokainen ratkaisujärjestelmä II on ratkaisu järjestelmään I).

Esimerkki 3.2.1.

Gaussin menetelmä

Gaussin ehdottaman algoritmin suunnitelma oli melko yksinkertainen:

1. soveltaa lineaaristen yhtälöiden järjestelmään peräkkäisiä muunnoksia, jotka eivät muuta ratkaisujoukkoa (täten tallennamme alkuperäisen järjestelmän ratkaisujoukon) ja siirrymme vastaavaan järjestelmään, jolla on "yksinkertainen muoto" (ns. askel muoto);
2. " yksinkertainen muoto"Järjestelmän (askelmatriisilla) kuvaile joukko ratkaisuja, jotka ovat yhtäpitäviä alkuperäisen järjestelmän ratkaisujoukon kanssa.

Huomaa, että siihen läheisesti liittyvä menetelmä "fan-chen" tunnettiin jo muinaisessa kiinalaisessa matematiikassa.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien (matriisirivien) alkeismuunnokset

Määritelmä 3.4.1 (alkeistyypin 1 muunnos). Kun järjestelmän i-yhtälö lisätään k-yhtälöön kerrottuna luvulla (merkintä: (i) "= (i) + c (k) ; eli vain yksi i-yhtälö (i) korvataan uudella yhtälöllä (i)"=(i)+c(k) ). Uudella i:nnellä yhtälöllä on muoto (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k tai lyhyesti

Eli uudessa i:nnessä yhtälössä a ij "=a ij +ca kj, b i"=b i + cb k.

Määritelmä 3.4.2 (alkeistyypin 2 muunnos). Jos yhtälöt i ja k - vaihdetaan keskenään, muut yhtälöt eivät muutu (merkintä: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; kertoimille tämä tarkoittaa seuraavaa: j=1 ,...,n

Huomautus 3.4.3. Mukavuussyistä tietyissä laskelmissa voit käyttää 3. tyypin alkeismuunnosta: i:s yhtälö kerrotaan nollasta poikkeavalla luvulla , (i)"=c(i) .

Ehdotus 3.4.4. Jos siirryimme järjestelmästä I järjestelmään II äärellisen määrän 1. ja 2. tyypin alkeismuunnosten avulla, niin järjestelmästä II voimme palata järjestelmään I myös 1. ja 2. tyypin alkeismuunnoksilla.

Todiste.

Huomautus 3.4.5. Väite pitää paikkansa myös, kun alkeismuunnosten määrään sisällytetään 3. tyypin alkeismuunnos. Jos ja (i)"=c(i) , sitten ja (i) = c -1 (i)".

Lause 3.4.6 Kun äärellinen määrä 1. tai 2. tyypin alkeismuunnoksia on sovellettu peräkkäin lineaariyhtälöjärjestelmään, saadaan lineaariyhtälöjärjestelmä, joka vastaa alkuperäistä yhtälöä.

Todiste. Huomaa, että riittää, kun tarkastellaan tapausta siirtymisestä järjestelmästä I järjestelmään II yhden alkeismuunnoksen avulla ja todistetaan sisällyttäminen ratkaisujoukkoon (koska todistetun väitteen ansiosta on mahdollista palata järjestelmästä II järjestelmään I ja siksi meillä on sisällyttäminen , eli se todistetaan tasa-arvoiseksi).

Määritelmä 1. Lineaariyhtälöjärjestelmä muotoa (1) , jossa , kenttä, kutsutaan M lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on n tuntematonta kentän päällä, - kertoimet tuntemattomissa, , , - järjestelmän vapaat ehdot (1).

Määritelmä 2. Tilattu n-ka (), jossa , kutsutaan lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu(1) jos muuttuja korvataan jokaisella järjestelmän (1) yhtälöllä, se muuttuu todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi.

Määritelmä 3. liitos jos siinä on ainakin yksi ratkaisu. Muussa tapauksessa kutsutaan järjestelmää (1). yhteensopimaton.

Määritelmä 4. Lineaariyhtälöjärjestelmää (1) kutsutaan varma jos sillä on ainutlaatuinen ratkaisu. Muussa tapauksessa kutsutaan järjestelmää (1). epävarma.

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä

(on ratkaisu) (ei ole ratkaisua)

yhteinen ei-nivel

(ainoa ratkaisu) (ei ainoa ratkaisu)

ehdoton loputon

Määritelmä 5. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä kentän päällä R nimeltään homogeeninen jos kaikki sen vapaat ehdot ovat nolla. Muuten järjestelmä on ns heterogeeninen.

Tarkastellaan lineaarista yhtälöjärjestelmää (1). Silloin lajin homogeenista järjestelmää kutsutaan homogeeniseksi järjestelmäksi, liittyvät järjestelmällä (1). Homogeeninen SLE on aina johdonmukainen, koska sillä on aina ratkaisu.

Jokaiselle SLN:lle voidaan ottaa huomioon kaksi matriisia - pää- ja laajennettu matriisi.

Määritelmä 6. Lineaariyhtälöjärjestelmän päämatriisi(1) kutsutaan matriisiksi, joka koostuu seuraavan muodon tuntemattomien kertoimista: .

Määritelmä 7. Laajennettu lineaaristen yhtälöiden matriisijärjestelmä(1) kutsutaan matriisiksi, joka saadaan matriisista lisäämällä siihen sarake vapaita jäseniä: .

Määritelmä 8.Lineaariyhtälöjärjestelmän alkeismuunnokset seuraavia kutsutaan: 1) järjestelmän jonkin yhtälön molempien osien kertominen skalaarilla; 2) toisen yhtälön vastaavien osien yhteenlasku järjestelmän yhden yhtälön molempiin osiin, kerrottuna elementillä; 3) muodon yhtälön lisääminen tai pudottaminen.

Määritelmä 9. Kaksi lineaarista yhtälöjärjestelmää kentän päällä R suhteessa muuttujiin kutsutaan vastaava jos niiden ratkaisujoukot ovat samat.

Lause 1 . Jos yksi lineaariyhtälöjärjestelmä saadaan toisesta alkeismuunnosten avulla, niin tällaiset järjestelmät ovat ekvivalentteja.

On kätevää soveltaa alkeismuunnoksia ei lineaariyhtälöjärjestelmään, vaan sen laajennettuun matriisiin.

Määritelmä 10. Olkoon annettu matriisi, jossa on alkioita kentästä P. Elementaariset muunnokset matriisit nimetään seuraavasti:

1) minkä tahansa rivin kaikkien elementtien kertominen matriiseilla aО Р # ;

2) minkä tahansa rivin kaikkien elementtien kertominen matriiseilla aО Р # ja yhteenlasku toisen rivin vastaavilla elementeillä;

3) matriisin minkä tahansa kahden rivin permutaatio;

4) nollarivin lisääminen tai poistaminen.

8. SLN-ratkaisu: m Menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen poissulkemiseen (Gaussin menetelmä).

Harkitse yhtä tärkeimmistä menetelmistä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi, jota kutsutaan Menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin, tai muuten, Gaussin menetelmä. Harkitse järjestelmää (1) m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon kentän yli R:(1) .

Järjestelmässä (1) ainakin yksi kertoimista for ei ole yhtä suuri kuin 0 . Muuten (1) on yhtälöjärjestelmä, jossa on () tuntemattomia - tämä on ristiriidassa ehdon kanssa. Vaihdetaan yhtälöt niin, että kerroin at ensimmäisessä yhtälössä ei ole yhtä suuri kuin 0 . Voimme siis olettaa, että. Kerro ensimmäisen yhtälön molemmat puolet ja lisää toisen, kolmannen, ..., vastaaviin osiin, m vastaavasti yhtälöt. Saamme järjestelmän muodossa: , missä s - pienin numero, niin että ainakin yksi kertoimista ei ole yhtä suuri kuin 0 . Vaihda yhtälöt niin, että toisella rivillä muuttujan kerroin ei ole yhtä suuri kuin 0 , eli voimme olettaa, että. Sitten kerromme toisen yhtälön molemmat osat ja lisäämme kolmannen yhtälön vastaaviin osiin …, m vastaavasti yhtälöt. Jatkamalla tätä prosessia, saamme seuraavan muotoisen järjestelmän:

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä, joka Lauseen 1 mukaan vastaa järjestelmää (1) . Järjestelmää kutsutaan porrastetuksi lineaaristen yhtälöiden järjestelmäksi. Tapauksia on kaksi: 1) Ainakin yksi elementeistä ei ole yhtä suuri kuin 0 . Olkoon esimerkiksi. Sitten lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä on yhtälö muotoa , mikä on mahdotonta. Tämä tarkoittaa, että järjestelmällä ei ole ratkaisuja, ja siksi järjestelmällä (1) ei ole ratkaisuja (tässä tapauksessa (1) on epäjohdonmukainen järjestelmä).

2) Olkoon ,…, . Sitten alkeismuunnoksen 3) avulla saamme järjestelmän - järjestelmän r lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon. Tässä tapauksessa kutsutaan kertoimien muuttujia päämuuttujat(tämä), niiden yhteensä r. Loput ( n-r) muuttujia kutsutaan vapaa.

Tapauksia on kaksi: 1) Jos r = n, on sitten kolmiojärjestelmä. Tässä tapauksessa viimeisestä yhtälöstä löydämme muuttujan , toiseksi viimeisestä - muuttujan , ..., ensimmäisestä yhtälöstä - muuttujan . Siten saamme ainutlaatuisen ratkaisun lineaariyhtälöjärjestelmälle ja siten lineaariyhtälöjärjestelmälle (1) (tässä tapauksessa järjestelmä (1) on määritelty).

2) Anna r . Tässä tapauksessa päämuuttujat ilmaistaan ​​vapailla muuttujilla ja saadaan lineaarisen yhtälöjärjestelmän (1) yleinen ratkaisu. Antamalla mielivaltaisia ​​arvoja vapaille muuttujille saadaan lineaarisen yhtälöjärjestelmän (1) erilaisia ​​ratkaisuja (tässä tapauksessa järjestelmä (1) on määrittelemätön).