Trapetsin sivujen leikkauspiste. Trapetsoidut lävistäjät. Tärkeimmät ominaisuudet ja kaavat

- (Kreikan trapetsi). 1) nelikulmion geometriassa, jossa kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia, mutta kaksi ei. 2) voimisteluharjoituksiin sovitettu figuuri. Venäjän kielen vieraiden sanojen sanakirja. Chudinov A.N., 1910. TRAPEZIA ... ... Venäjän kielen vieraiden sanojen sanakirja

Trapetsi- Trapetsi. TRAPEZIA (kreikan sanasta trapetsio, kirjaimellisesti taulukko), kupera nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset (suunnikkaan pohjat). Puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin emästen summan puolen tulo ( keskiviiva) korkeuteen. … Kuvitettu tietosanakirja

Nelisivuinen, ammus, poikkipalkki Venäjän synonyymien sanakirja. trapezium n., synonyymien lukumäärä: 3 poikkipalkki (21) ... Synonyymien sanakirja

- (kreikkalaisesta trapetsista, kirjaimellisesti taulukko), kupera nelikulmio, jossa kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset (suunnikkaan pohjat). Puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet kantojen summasta (keskiviiva) ja korkeuden ... Nykyaikainen tietosanakirja

- (kreikkalaisista puolisuunnikkaan kirjaimista. taulukko), nelikulmio, jossa kaksi vastakkaista sivua, joita kutsutaan puolisuunnikkaan kantaviksi, ovat yhdensuuntaiset (kuvassa AD ja BC), ja kaksi muuta eivät ole yhdensuuntaisia. Kantojen välistä etäisyyttä kutsutaan puolisuunnikkaan korkeudeksi (pisteessä ... ... Suuri Ensyklopedinen sanakirja

TRAPEZE, neliö litteä figuuri jossa kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset. Puolisuunnikkaan pinta-ala on puolet yhdensuuntaisten sivujen summasta kerrottuna niiden välisen kohtisuoran pituudella... Tieteellinen ja tekninen tietosanakirja

TRAPEZIA, puolisuunnikkaan muotoinen, naaras. (kreikkalaisesta trapetsitaulukosta). 1. Nelisivu, jossa on kaksi yhdensuuntaista ja kaksi ei-rinnakkaista sivua (mat.). 2. Voimistelulaite, joka koostuu kahdelle köydelle ripustetusta poikittaispalkista (sport.). Akrobaattinen…… Sanakirja Ushakov

TRAPEZIA ja vaimot. 1. Nelikulmio, jossa on kaksi yhdensuuntaista ja kaksi ei-samansuuntaista sivua. Puolisuunnikkaan pohjat (sen yhdensuuntaiset sivut). 2. Sirkus- tai voimisteluammus, kahdelle kaapelille ripustettu poikkitanko. Ožegovin selittävä sanakirja. KANSSA … Ožegovin selittävä sanakirja

Nainen, geom. nelikulmio, jolla on eripuoliset sivut, joista kaksi on postenisia (rinnakkaisia). Puolisuunnikas on samanlainen nelikulmio, jonka kaikki sivut ovat erillään. Trapetsohedron, puolisuunnikkaan leikattu runko. Dahlin selittävä sanakirja. IN JA. Dal. 1863 1866... Dahlin selittävä sanakirja

- (Trapeze), USA, 1956, 105 min. Melodraama. Pyrkivä akrobaatti Tino Orsini astuu sirkusseurueeseen, jossa työskentelee Mike Ribble, kuuluisa trapetsitaiteilija menneisyydestä. Kerran Mike esiintyi Tinon isän kanssa. Nuori Orsini haluaa Miken...... Cinema Encyclopedia

Nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset ja kaksi muuta sivua, jotka eivät ole yhdensuuntaisia. Yhdensuuntaisten sivujen välinen etäisyys. korkeus T. Jos yhdensuuntaiset sivut ja korkeus sisältävät a, b ja h metriä, niin alue T. sisältää neliömetriä ... Brockhausin ja Efronin tietosanakirja

Kirjat

• Pöytien sarja. Geometria. 8. luokka. 15 taulukkoa + metodologia, . Taulukot on painettu paksulle polygraafiselle kartongille, jonka mitat ovat 680 x 980 mm. Esite kanssa ohjeita opettajalle. 15 arkin opetusalbumi. Monikulmiot...
• Pöytien sarja. Matematiikka. Monikulmiot (7 taulukkoa) , . Opetusalbumi 7 arkkia. Kupera ja ei-kupera monikulmio. Nelikulmat. Rinnakkaiskäyrä ja puolisuunnikas. Suunnikkaan merkit ja ominaisuudet. Suorakulmio. Rombi. Neliö. Neliö…

"HYVÄKSYÄ"

Erillisen tieteenalan johtaja

(matematiikka, tietotekniikka ja ICT)

Yu. V. Krylova _____________

"___" _____________ 2015

« Trapetsi ja sen ominaisuudet»

Metodinen kehitys

matematiikan opettaja

Shatalina Elena Dmitrievna

Harkitaan ja

PMO:n kokouksessa _______________

Pöytäkirja nro ______

Moskova

2015

Sisällysluettelo

Johdanto 2

Määritelmät 3

Ominaisuudet tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen 4

Piirretyt ja rajatut ympyrät 7

Piirrettyjen ja rajattujen puolisuunnikkaan ominaisuudet 8

Keskiarvot puolisuunnikkaan 12

Mielivaltaisen puolisuunnikkaan ominaisuudet 15

Puolisuunnikkaan merkit 18

Lisärakenteet puolisuunnikkaan 20

Puolisuunnikkaan muotoinen alue 25

10. Johtopäätös

Bibliografia

Sovellus

Todisteet joistakin puolisuunnikkaan ominaisuuksista 27

Tehtävät itsenäiseen työhön

Tehtävät aiheesta "Trapezium" on monimutkaisempi

Varmistustesti aiheesta "Pusunsuunnikas"

Johdanto

Tämä teos on omistettu geometriselle kuviolle, jota kutsutaan puolisuunnikkaan. "Tavallinen hahmo", sanot, mutta se ei ole. Se sisältää monia salaisuuksia ja mysteereitä, jos katsot tarkasti ja syvennät sen tutkimukseen, löydät paljon uutta geometrian maailmasta, tehtävät, joita ei ole ratkaistu ennen, näyttävät sinulle helpolta.

Trapetsi - kreikan sana trapezion - "pöytä". Lainat. 1700-luvulla lat. lang., jossa trapezion on kreikka. Se on nelikulmio, jonka kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaisia. Puolisuunnikkaan löysi ensimmäistä kertaa antiikin kreikkalainen tiedemies Posidonius (2. vuosisadalla eKr.). Elämässämme on monia erilaisia ​​hahmoja. 7. luokalla tutustuimme kolmioon läheltä, 8. luokalla koulun opetussuunnitelma aloimme tutkia puolisuunnikasta. Tämä hahmo kiinnosti meitä, ja oppikirjassa siitä kirjoitetaan mahdottoman vähän. Siksi päätimme ottaa tämän asian omiin käsiimme ja löytää tietoa puolisuunnikkaan. sen ominaisuuksia.

Työssä käsitellään oppikirjan oppimateriaalista tuttuja ominaisuuksia, mutta suuremmassa määrin tuntemattomia ominaisuuksia, jotka ovat välttämättömiä monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseksi. Mitä enemmän ratkaistavia tehtäviä on, sitä enemmän kysymyksiä syntyy niitä ratkaistaessa. Vastaus näihin kysymyksiin näyttää joskus mysteeriltä, ​​oppiessamme puolisuunnikkaan uusia ominaisuuksia, epätavallisia ongelmien ratkaisumenetelmiä sekä lisärakenteiden tekniikkaa, löydämme vähitellen puolisuunnikkaan salaisuudet. Internetissä, jos teet pisteet hakukoneessa, on hyvin vähän kirjallisuutta menetelmistä ratkaista ongelmia "suunnikkaan". Projektin työskentelyn aikana löydettiin suuri määrä tietoa, joka auttaa oppilaita geometrian syvällisissä opiskeluissa.

Trapetsi.

Määritelmät

Trapetsi Nelikulmio, jossa vain yksi sivupari on yhdensuuntainen (ja toinen sivupari ei ole yhdensuuntainen).

Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisia ​​sivuja kutsutaan perusteilla. Kaksi muuta ovat sivuja .
Jos sivut ovat yhtä suuret, kutsutaan puolisuunnikkaaksi tasakylkinen.

Puolisuunnikasta, jonka sivulla on suorat kulmat, kutsutaan suorakaiteen muotoinen.

Janaa, joka yhdistää sivujen keskipisteet, kutsutaanpuolisuunnikkaan keskiviiva.

Kantojen välistä etäisyyttä kutsutaan puolisuunnikkaan korkeudeksi.

2 . Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuudet

3. Tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalit ovat yhtä suuret.

4

1
0. Tasakylkisen puolisuunnikkaan lateraalisen sivun projektio suurempaan kantaan on yhtä suuri kuin kantojen eron puolikas ja diagonaalin projektio on kantojen summa.

3. Piirretty ja rajattu ympyrä

Jos puolisuunnikkaan kantojen summa on yhtä suuri kuin sivujen summa, siihen voidaan kirjoittaa ympyrä.

E
Jos puolisuunnikas on tasakylkinen, sen ympärille voidaan rajata ympyrä.

4. Piirrettyjen ja piirrettyjen puolisuunnikkaan ominaisuudet

2. Jos ympyrä voidaan piirtää tasakylkiseen puolisuunnikkaan, niin

jalustan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa. Siksi sivupuolen pituus on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan keskiviivan pituus.

4 . Jos ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, sivut sen keskustasta ovat näkyvissä 90 ° kulmassa.

E jos ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, joka koskettaa yhtä sivuista, jakaa sen osiin m ja n , silloin piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri kuin näiden segmenttien geometrinen keskiarvo.

1

0 . Jos ympyrä on rakennettu halkaisijana puolisuunnikkaan pienemmälle pohjalle, kulkee lävistäjien keskipisteiden läpi ja koskettaa alempaa kantaa, niin puolisuunnikkaan kulmat ovat 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Keskiarvot puolisuunnikkaana

geometrinen keskiarvo

Missä tahansa puolisuunnikkaan pohjalla a Ja b varten a > bepätasa-arvoa :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Mielivaltaisen puolisuunnikkaan ominaisuudet

1
. Puolisuunnikkaan diagonaalien keskipisteet ja sivujen keskipisteet ovat samalla suoralla.

Satunnaisen puolisuunnikkaan sivujen jatkeen leikkauspiste, sen lävistäjien leikkauspiste ja kantajen keskipisteet sijaitsevat yhdellä suoralla.

6. Satunnaisen puolisuunnikkaan lävistäjien neliöiden summa on yhtä suuri kuin sivujen neliöiden summa, joka on lisätty kaksinkertaiseen kantajen tuloon.

d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. Suorakaiteen muotoisessa puolisuunnikasessa lävistäjien neliöiden ero on yhtä suuri kuin kantajen neliöiden ero d 1 2 - d 2 2 = a 2 – b 2

8 . Kulman sivuja leikkaavat suorat leikkaavat suhteellisia segmenttejä kulman sivuilta.

9. Kantojen kanssa yhdensuuntainen ja diagonaalien leikkauspisteen kautta kulkeva segmentti jaetaan jälkimmäisellä puoliksi.

7. Trapetsin merkkejä

8. Lisärakenteet puolisuunnikkaan

1. Sivujen keskipisteitä yhdistävä jana on puolisuunnikkaan keskiviiva.

2
. Jana, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan toisen sivun kanssa, jonka toinen pää osuu toisen sivun keskipisteeseen, toinen kuuluu kantaa sisältävään suoraan.

3
. Kun otetaan huomioon puolisuunnikkaan kaikki sivut, pienemmän kannan kärjen läpi vedetään suora viiva, joka on yhdensuuntainen sivupuolen kanssa. Siitä tulee kolmio, jonka sivut ovat yhtä suuret kuin puolisuunnikkaan sivut ja kantajen ero. Heronin kaavan mukaan löydetään kolmion pinta-ala, sitten kolmion korkeus, joka on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan korkeus.

4

. Tasakylkisen puolisuunnikkaan korkeus, joka on vedetty pienemmän kannan kärjestä, jakaa suuremman kantaosan segmenteiksi, joista toinen on yhtä suuri kuin kantajen erotuksen puolikas ja toinen kantajen kantajen puolisumma. puolisuunnikas, eli puolisuunnikkaan keskiviiva.

5. Puolisuunnikkaan korkeudet, laskettuna yhden kannan huipuista, leikataan suoralle viivalle, joka sisältää toisen kannan, ensimmäisen kantaa vastaavan segmentin.

6
. Jana, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan lävistäjän kanssa, piirretään kärjen läpi - pisteen, joka on toisen diagonaalin loppu. Tuloksena on kolmio, jonka kaksi sivua on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan diagonaalit ja kolmas - yhtä suuri kuin kantojen summa

7
.Dagonaalien keskipisteitä yhdistävä jana on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan kantojen ero.

8. Puolisuunnikkaan yhden sivun viereisten kulmien puolittimet ovat kohtisuorassa ja leikkaavat pisteessä, joka sijaitsee puolisuunnikkaan keskiviivalla, eli kun ne leikkaavat, muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on yhtä suuri kuin puolella.

9. Puolisuunnikkaan kulman puolittaja katkaisee tasakylkisen kolmion.

1
0. Satunnaisen puolisuunnikkaan lävistäjät leikkauskohdassa muodostavat kaksi samanlaista kolmiota, joiden samankaltaisuuskerroin on yhtä suuri kuin kantaosien suhde, ja kaksi samanlaista kolmiota sivujen vieressä.

1
1. Satunnaisen puolisuunnikkaan lävistäjät leikkauspisteessä muodostavat kaksi samanlaista kolmiota, joiden samankaltaisuuskerroin on yhtä suuri kuin kantaosien suhde, ja kaksi samanlaista kolmiota sivujen vieressä.

1
2. Puolisuunnikkaan sivujen jatkaminen leikkauspisteeseen mahdollistaa samanlaisten kolmioiden tarkastelun.

13. Jos ympyrä on piirretty tasakylkiseen puolisuunnikkaan, piirretään puolisuunnikkaan korkeus - puolisuunnikkaan kantajen geometrinen keskitulo tai kaksinkertainen niiden sivuosien geometrisen keskiarvon tulo, joihin se on jaettu pisteellä ottaa yhteyttä.

9. Trapetsin pinta-ala

1 . Puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet kantojen ja korkeuden summasta S = ½( a + b) h tai

P

Puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan keskiviivan ja korkeuden tulo S = m h .

2. Puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin toisen sivun keskeltä ensimmäisen sivun sisältävään viivaan vedetyn sivun ja kohtisuoran tulo.

Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala, jonka ympyrän säde on yhtä suuri kuin rja kulma pohjassaα :

10. Johtopäätös

MISSÄ, MITEN JA MIHIN TRAPEZIA KÄYTETÄÄN?

Trapetsi urheilussa: Trapetsi on varmasti ihmiskunnan progressiivinen keksintö. Se on suunniteltu helpottamaan käsiämme, tekemään purjelaudalla kävelemisestä mukavaa ja helppoa. Lyhyellä laudalla käveleminen ei ole ollenkaan järkevää ilman puolisuunnikkaan, koska ilman sitä on mahdotonta jakaa oikein pitoa askelmien ja jalkojen välillä ja kiihdyttää tehokkaasti.

Trapetsi muodissa: Trapetsi vaatteissa oli suosittu keskiajalla, romaanisella aikakaudella 800-1100-luvuilla. Tuolloin naisten vaatteiden perustana olivat lattiapituiset tunikat, tunika laajeni suuresti alaspäin, mikä loi puolisuunnikkaan vaikutelman. Siluetin elpyminen tapahtui vuonna 1961, ja siitä tuli nuoruuden, itsenäisyyden ja hienostuneisuuden hymni. valtava rooli hauras malli Leslie Hornby, joka tunnetaan nimellä Twiggy, pelasi puolisuunnikkaan popularisoinnissa. Lyhyestä tytöstä, jolla oli anorektinen ruumiinrakenne ja suuret silmät, tuli aikakauden symboli, ja hänen suosikkiasujaan olivat lyhyet trapetsipuvut.

Trapetsi luonnossa: Trapetsi löytyy myös luonnosta. Henkilöllä on puolisuunnikkaan lihas, joillain ihmisillä kasvot ovat puolisuunnikkaan muotoisia. Kukkien terälehdillä, tähtikuvioilla ja tietysti Kilimanjaro-vuorella on myös puolisuunnikkaan muotoinen.

Trapetsi jokapäiväisessä elämässä: Trapetsia käytetään myös jokapäiväisessä elämässä, koska sen muoto on käytännöllinen. Sitä löytyy sellaisista esineistä kuin: kaivinkoneen kauha, pöytä, ruuvi, kone.

Trapetsi on inka-arkkitehtuurin symboli. Inka-arkkitehtuurin hallitseva tyylimuoto on yksinkertainen mutta siro, trapetsi. Sillä ei ole vain toiminnallista arvoa, vaan myös tiukasti rajoitettu taiteellinen muotoilu. Puolisuunnikkaan muotoisia oviaukkoja, ikkunoita ja seinärakennuksia löytyy kaikenlaisista rakennuksista, sekä temppeleistä että vähemmän merkittävistä rakennuksista, niin sanotusti karkeammista rakennuksista. Trapetsi löytyy myös modernista arkkitehtuurista. Tämä rakennusmuoto on epätavallinen, joten tällaiset rakennukset houkuttelevat aina ohikulkijoiden katseita.

Trapetsi tekniikassa: Trapetsia käytetään osien suunnittelussa avaruustekniikassa ja ilmailussa. Esimerkiksi jotkut aurinkopaneelit avaruusasemia ovat puolisuunnikkaan muotoisia, koska niillä on suuri pinta-ala, mikä tarkoittaa, että ne keräävät enemmän aurinkoenergiaa

2000-luvulla ihmiset tuskin ajattelevat sen merkitystä geometriset kuviot heidän elämässään. He eivät välitä ollenkaan siitä, minkä muotoinen heidän pöytänsä, lasinsa tai puhelimensa on. He valitsevat vain käytännöllisen muodon. Mutta esineen käyttö, sen tarkoitus, työn tulos voivat riippua tämän tai tuon asian muodosta. Tänään esittelimme sinulle yhden ihmiskunnan suurimmista saavutuksista - puolisuunnikkaan. Avasimme oven sinulle mahtava maailma hahmoja, kertoi sinulle puolisuunnikkaan salaisuudet ja osoitti, että geometria on ympärillämme.

Bibliografia

Bolotov A.A., Prokhorenko V.I., Safonov V.F., Matematiikan teoria ja ongelmat. Kirja 1 Opastus hakijoille M.1998 MPEI Publishing House.

Bykov A.A., Malyshev G.Yu., Yliopistoa edeltävän koulutuksen tiedekunta. Matematiikka. Oppimateriaali 4 osa М2004

Gordin R.K. Planimetria. Tehtäväkirja.

Ivanov A.A.,. Ivanov A.P., Matematiikka: Opas valmistautumiseen yhtenäiseen valtionkokeeseen ja yliopistoon pääsyyn-M: MIPT Publishing House, 2003-288s. ISBN 5-89155-188-3

Pigolkina T.S., Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriön liittovaltion talousarvio oppilaitos lisäkoulutus lapset "ZFTSh Moskovan fysiikan ja teknologian instituutista ( valtion yliopisto)". Matematiikka. Planimetria. Tehtävät nro 2 10. luokille (2012-2013 lukuvuosi).

Pigolkina T.S., Planimetry (osa 1). Mathematical Encyclopedia of the Entrant. M., Venäjän avoimen yliopiston kustantamo 1992.

Sharygin I.F. Valitut ongelmat yliopistojen kilpailukokeiden geometriassa (1987-1990) Lvov Quantor -lehti 1991.

Tietosanakirja "Avanta plus", Mathematics M., World of Encyclopedias Avanta 2009.

Sovellus

1. Joidenkin puolisuunnikkaan ominaisuuksien todiste.

1. Suora viiva, joka kulkee puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteen kautta samansuuntaisena sen kantojen kanssa, leikkaa puolisuunnikkaan sivut pisteissäK Ja L . Todista, että jos puolisuunnikkaan kantat ovat yhtä suuret A Ja b , Tuo segmentin pituus KL yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan kantojen geometrinen keskiarvo. Todiste

AntaaNOIN - diagonaalien leikkauspiste,ILMOITUS = a, aurinko = b . Suoraan KL yhdensuuntainen pohjan kanssaILMOITUS , siis,K NOIN║ ILMOITUS , kolmiotSISÄÄN K NOIN Jahuono samanlainen siis

(1)

(2)

Korvaa (2) osaksi (1) , saamme KO=

samalla lailla LO= Sitten K L = KO + LO =

SISÄÄN missä tahansa puolisuunnikasessa kannan keskipisteet, diagonaalien leikkauspiste ja sivujen jatkeen leikkauspiste ovat samalla suoralla.

Todistus: Olkoon sivujen jatkeet leikkaavat pisteenTO. Pisteen kauttaTO ja kohtaNOIN diagonaaliset risteyksetpiirrä suora viiva KO.

K

Osoitetaan, että tämä viiva jakaa kannat kahtia.

NOIN nimetäVM = x, MS = y, AN = Ja, ND = v . Meillä on:

∆ VKM ~ ∆AKN →

M

x

B

C

Y

Tässä artikkelissa yritämme heijastaa puolisuunnikkaan ominaisuuksia mahdollisimman täydellisesti. Puhumme erityisesti yleiset piirteet ja puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän ominaisuudet, samoin kuin puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän ominaisuudet. Käsittelemme myös tasakylkisen ja suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuuksia.

Esimerkki ongelman ratkaisemisesta harkittujen ominaisuuksien avulla auttaa sinua selvittämään asiat päässäsi ja muistamaan materiaalin paremmin.

Trapetsi ja kaikki-kaikki

Aluksi muistellaan lyhyesti, mikä puolisuunnikkaan on ja mitä muita käsitteitä siihen liittyy.

Joten puolisuunnikkaan on nelikulmainen kuvio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia ​​​​toistensa kanssa (nämä ovat kannat). Ja kaksi eivät ole yhdensuuntaisia ​​- nämä ovat sivut.

Puolisuunnikkaan korkeus voidaan jättää pois - kohtisuorassa pohjaan nähden. Keskiviiva ja diagonaalit piirretään. Ja myös mistä tahansa puolisuunnikkaan kulmasta on mahdollista piirtää puolittaja.

Puhumme nyt kaikkiin näihin elementteihin liittyvistä erilaisista ominaisuuksista ja niiden yhdistelmistä.

Puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuudet

Selvittääksesi, piirrä ACME-suunnikkaan lukemisen aikana paperille ja piirrä siihen diagonaalit.

1. Jos löydät kunkin lävistäjän keskipisteet (kutsutaanko näitä pisteitä X ja T) ja yhdistät ne, saat janan. Yksi puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista on, että jana XT on keskiviivalla. Ja sen pituus voidaan saada jakamalla emästen ero kahdella: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Edessämme on sama ACME trapetsi. Lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Tarkastellaan kolmioita AOE ja IOC, jotka muodostuvat lävistäjien segmenteistä yhdessä puolisuunnikkaan kantojen kanssa. Nämä kolmiot ovat samanlaisia. K kolmion samankaltaisuuskerroin ilmaistaan ​​puolisuunnikkaan kantaosien suhteena: k = AE/KM.
   Kolmioiden AOE ja IOC pinta-alojen suhdetta kuvaa kerroin k 2 .
3. Kaikki samat puolisuunnikkaan, samat lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Vain tällä kertaa tarkastellaan kolmioita, jotka lävistäjäsegmentit muodostivat yhdessä puolisuunnikkaan sivujen kanssa. Kolmioiden AKO ja EMO pinta-alat ovat yhtä suuret - niiden pinta-alat ovat samat.
4. Toinen puolisuunnikkaan ominaisuus sisältää diagonaalien rakentamisen. Joten jos jatkamme AK:n ja ME:n sivuja pienemmän kannan suuntaan, niin ennemmin tai myöhemmin ne leikkaavat jossain vaiheessa. Piirrä seuraavaksi suora viiva puolisuunnikkaan kannan keskipisteiden läpi. Se leikkaa kantat pisteissä X ja T.
   Jos nyt pidennetään suoraa XT, niin se liittää yhteen puolisuunnikkaan O diagonaalien leikkauspisteen, pisteen, jossa X:n ja T:n kantojen sivujen jatkeet ja keskipisteet leikkaavat.
5. Piirrämme lävistäjien leikkauspisteen kautta segmentin, joka yhdistää puolisuunnikkaan kantat (T sijaitsee KM:n pienemmällä pohjalla, X - suuremmalla AE:llä). Diagonaalien leikkauspiste jakaa tämän segmentin seuraavassa suhteessa: TO/OH = KM/AE.
6. Ja nyt diagonaalien leikkauspisteen kautta piirretään segmentti, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen (a ja b) kanssa. Leikkauspiste jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan. Voit selvittää janan pituuden käyttämällä kaavaa 2ab/(a + b).

Trapetsin keskiviivan ominaisuudet

Piirrä puolisuunnikkaan keskiviiva samansuuntaisesti sen kantaan nähden.

1. Puolisuunnikkaan keskiviivan pituus voidaan laskea laskemalla yhteen jalkojen pituudet ja jakamalla ne kahtia: m = (a + b)/2.
2. Jos piirrät minkä tahansa janan (esimerkiksi korkeuden) puolisuunnikkaan molempien kannan läpi, keskiviiva jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan.

Puolisuunnikkaan puolittajan ominaisuus

Valitse mikä tahansa puolisuunnikkaan kulma ja piirrä puolittaja. Otetaan esimerkiksi puolisuunnikkaan ACME kulma KAE. Kun rakentaminen on valmis, voit helposti nähdä, että puolittaja katkaisee alustasta (tai sen jatkeesta suoralla viivalla itse kuvan ulkopuolella) sivun kanssa samanpituisen segmentin.

Puolisuunnikkaan kulman ominaisuudet

1. Kumman kahdesta valitsemasi sivun viereisestä kulmaparista tahansa, parin kulmien summa on aina 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0 .
2. Yhdistä puolisuunnikkaan kantajen keskipisteet janalla TX. Katsotaanpa nyt puolisuunnikkaan pohjien kulmia. Jos kulmien summa jollekin niistä on 90 0, TX-segmentin pituus on helppo laskea kannan pituuksien eron perusteella jaettuna puoliksi: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Jos puolisuunnikkaan kulman sivujen läpi vedetään yhdensuuntaisia ​​viivoja, ne jakavat kulman sivut suhteellisiksi segmenteiksi.

Tasakylkinen (tasakylkinen) puolisuunnikkaan ominaisuudet

1. Tasakylkisessä puolisuunnikkaan kulmat missä tahansa kantapäässä ovat yhtä suuret.
2. Rakenna nyt trapetsi uudelleen, jotta on helpompi kuvitella, mistä on kyse. Katso tarkkaan AE:n kantaa - M:n vastakkaisen kannan kärki projisoidaan tiettyyn pisteeseen viivalla, joka sisältää AE:n. Etäisyys kärjestä A kärjen M projektiopisteeseen ja tasakylkisen puolisuunnikkaan keskiviiva ovat yhtä suuret.
3. Muutama sana tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista - niiden pituudet ovat yhtä suuret. Ja myös näiden diagonaalien kaltevuuskulmat puolisuunnikkaan pohjaan nähden ovat samat.
4. Ympyrä voidaan kuvata vain tasakylkisen puolisuunnikkaan lähellä, koska nelikulmion vastakkaisten kulmien summa 180 0 on tämän edellytys.
5. Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuus seuraa edellisestä kappaleesta - jos ympyrä voidaan kuvata lähellä puolisuunnikasta, se on tasakylkinen.
6. Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuksista seuraa puolisuunnikkaan korkeuden ominaisuus: jos sen lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa, niin korkeuden pituus on yhtä suuri kuin puolet kantajen summasta: h = (a + b)/2.
7. Piirrä viiva TX uudelleen puolisuunnikkaan kantajen keskipisteiden läpi - tasakylkisessä puolisuunnikkaan se on kohtisuorassa kantaan nähden. Ja samaan aikaan TX on tasakylkisen puolisuunnikkaan symmetria-akseli.
8. Tällä kertaa alemmaksi suurempaan kantaan (kutsutaanko sitä a) korkeudelle puolisuunnikkaan vastakkaisesta kärjestä. Saat kaksi leikkausta. Yhden pituus löytyy, jos pohjan pituudet lasketaan yhteen ja jaetaan kahtia: (a+b)/2. Toisen saamme, kun vähennämme pienemmän suuremmasta kannasta ja jaamme tuloksena saadun eron kahdella: (a–b)/2.

Ympyrään piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Koska puhumme jo ympyrään kirjoitetusta puolisuunnikasta, katsotaanpa tätä asiaa yksityiskohtaisemmin. Erityisesti missä on ympyrän keskipiste suhteessa puolisuunnikkaan. Myös tässä on suositeltavaa olla liian laiska ottamaan kynän ja piirtämään mitä alla käsitellään. Joten ymmärrät nopeammin ja muistat paremmin.

1. Ympyrän keskipisteen sijainti määräytyy puolisuunnikkaan diagonaalin kaltevuuskulman mukaan sivulle. Esimerkiksi lävistäjä voi nousta puolisuunnikkaan yläreunasta suorassa kulmassa sivuun nähden. Tässä tapauksessa suurempi kanta leikkaa rajatun ympyrän keskipisteen tarkalleen keskeltä (R = ½AE).
2. Diagonaali ja sivu voivat kohdata alla terävä kulma- silloin ympyrän keskipiste on puolisuunnikkaan sisällä.
3. Piirretyn ympyrän keskipiste voi olla puolisuunnikkaan ulkopuolella, sen suuren pohjan ulkopuolella, jos puolisuunnikkaan lävistäjän ja sivusivun välillä on tylppä kulma.
4. ACME-suunnikkaan diagonaalin ja suuren pohjan muodostama kulma (kirjoitettu kulma) on puolet sitä vastaavasta keskikulmasta: MAE = ½ MY.
5. Lyhyesti kahdesta tavasta löytää rajatun ympyrän säde. Tapa yksi: katso tarkasti piirustustasi - mitä näet? Huomaat helposti, että diagonaali jakaa puolisuunnikkaan kahdeksi kolmioksi. Säde löytyy kolmion sivun suhteesta vastakkaisen kulman siniin kerrottuna kahdella. Esimerkiksi, R \u003d AE / 2 * sinAME. Vastaavasti kaava voidaan kirjoittaa kummankin kolmion mille tahansa sivulle.
6. Tapa kaksi: löydämme rajatun ympyrän säteen kolmion alueen läpi, jonka muodostavat puolisuunnikkaan lävistäjä, sivu ja kanta: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Voit piirtää ympyrän puolisuunnikkaan, jos yksi ehto täyttyy. Siitä lisää alla. Ja yhdessä tällä lukuyhdistelmällä on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

1. Jos ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, sen keskiviivan pituus saadaan helposti selville lisäämällä sivujen pituudet ja jakamalla saatu summa puoliksi: m = (c + d)/2.
2. Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ACME:n kannan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa: AK + ME = KM + AE.
3. Tästä puolisuunnikkaan kantojen ominaisuudesta seuraa käänteinen väite: tuohon puolisuunnikkaan voidaan kirjoittaa ympyrä, jonka kantojen summa on yhtä suuri kuin sivujen summa.
4. Ympyrän, jonka säde on r, tangenttipiste, joka on piirretty puolisuunnikkaan, jakaa sivupuolen kahdeksi segmentiksi, kutsutaan niitä a:ksi ja b:ksi. Ympyrän säde voidaan laskea kaavalla: r = √ab.
5. Ja vielä yksi omaisuus. Piirrä tämä esimerkki itse, jotta et joutuisi hämmennyksiin. Meillä on vanha kunnon ACME puolisuunnikkaan ympyrän ympärille piirretty. Siihen piirretään diagonaalit, jotka leikkaavat pisteessä O. Kolmiot AOK ja EOM, jotka muodostuvat lävistäjien ja sivujen segmenteistä, ovat suorakaiteen muotoisia.
   Näiden kolmioiden korkeudet laskettuna hypotenuusille (eli puolisuunnikkaan sivuille) osuvat yhteen piirretyn ympyrän säteiden kanssa. Ja puolisuunnikkaan korkeus on sama kuin piirretyn ympyrän halkaisija.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuudet

Puolisuunnikasta kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jonka yksi kulmista on oikea. Ja sen ominaisuudet johtuvat tästä seikasta.

1. Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan yksi sivuista on kohtisuorassa kantaan nähden.
2. Oikean kulman vieressä olevan puolisuunnikkaan korkeus ja sivu ovat yhtä suuret. Tämän avulla voit laskea suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan alueen (yleinen kaava S = (a + b) * h/2) ei vain korkeuden, vaan myös oikean kulman vieressä olevan sivun kautta.
3. Suorakaiteen muotoiselle puolisuunnikkaan edellä kuvatut puolisuunnikkaan diagonaalien yleiset ominaisuudet ovat merkityksellisiä.

Todisteet joistakin puolisuunnikkaan ominaisuuksista

Kulmien yhtäläisyys tasakylkisen puolisuunnikkaan pohjassa:

• Luultavasti jo arvasit, että täällä tarvitaan jälleen ACME-pukupuolisuunnikasta - piirrä tasakylkinen puolisuunnikkaan. Piirrä kärjestä M viiva MT, joka on yhdensuuntainen AK:n sivun kanssa (MT || AK).

Tuloksena oleva nelikulmio AKMT on suunnikas (AK || MT, KM || AT). Koska ME = KA = MT, ∆ MTE on tasakylkinen ja MET = MTE.

AK || MT, joten MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Missä AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Todistamme nyt tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuden (lävistäjän yhtäläisyys) perusteella, että trapetsium ACME on tasakylkinen:

• Piirretään aluksi suora МХ – МХ || KE. Saamme suuntaviivan KMHE (kanta - MX || KE ja KM || EX).

∆AMH on tasakylkinen, koska AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, joten MAE = MXE.

Kävi ilmi, että kolmiot AKE ja EMA ovat yhtä suuret toistensa kanssa, koska AM \u003d KE ja AE on kahden kolmion yhteinen puoli. Ja myös MAE \u003d MXE. Voimme päätellä, että AK = ME, ja tästä seuraa, että puolisuunnikkaan AKME on tasakylkinen.

Toistettava tehtävä

Puolisuunnikkaan ACME pohjat ovat 9 cm ja 21 cm, KA:n sivu, joka on 8 cm, muodostaa 150 0 kulman pienemmän pohjan kanssa. Sinun on löydettävä puolisuunnikkaan pinta-ala.

Ratkaisu: Huipulta K lasketaan korkeus puolisuunnikkaan suurempaan kantaan. Ja aloitetaan katsomaan puolisuunnikkaan kulmia.

Kulmat AEM ja KAN ovat yksipuolisia. Tämä tarkoittaa, että niiden summa on 1800. Siksi KAN = 30 0 (perustuen puolisuunnikkaan kulmien ominaisuuksiin).

Harkitse nyt suorakaiteen muotoista ∆ANK:ta (luulen, että tämä kohta on ilmeinen lukijoille ilman lisätodisteita). Siitä löydämme puolisuunnikkaan KH korkeuden - kolmiossa se on jalka, joka sijaitsee vastapäätä kulmaa 30 0. Siksi KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Puolisuunnikkaan pinta-ala saadaan kaavasta: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Jälkisana

Jos tutkit tätä artikkelia huolellisesti ja harkiten, etkä ollut liian laiska piirtämään puolisuunnikkaita kaikille ylläoleville ominaisuuksille kynällä käsissäsi ja analysoimaan niitä käytännössä, sinun olisi pitänyt hallita materiaali hyvin.

Tietenkin täällä on paljon tietoa, vaihtelevaa ja joskus jopa hämmentävää: ei ole niin vaikeaa sekoittaa kuvatun puolisuunnikkaan ominaisuuksia piirretyn ominaisuuksiin. Mutta huomasit itse, että ero on valtava.

Nyt sinulla on yksityiskohtainen yhteenveto kaikesta yhteisiä ominaisuuksia puolisuunnikkaan muotoinen. Sekä tasakylkisten ja suorakaiteen muotoisten puolisuunnikkaan erityiset ominaisuudet ja piirteet. Se on erittäin kätevä käyttää kokeisiin ja kokeisiin valmistautumiseen. Kokeile itse ja jaa linkki ystävillesi!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Siksi kutsumme yhdelle niistä iso , toinen - pieni pohja puolisuunnikkaan muotoinen. Korkeus puolisuunnikkaan voidaan kutsua mitä tahansa kohtisuoran segmenttiä, joka on vedetty pisteistä vastaavalle vastakkaiselle puolelle (jokaiselle kärkipisteelle on kaksi vastakkaista puolta), joka on otetun kärjen ja vastakkaisen puolen välissä. Mutta on mahdollista erottaa "erityinen" korkeus.
Määritelmä 8. Puolisuunnikkaan pohjan korkeus on kannan väliin suljetun suoran jakson, joka on kohtisuorassa kantaan nähden.
Lause 7 . Puolisuunnikkaan keskiviiva on yhdensuuntainen kantaan nähden ja on yhtä suuri kuin niiden puolisumma.
Todiste. Olkoon puolisuunnikkaan ABCD ja mediaaniviiva KM annettu. Piirrä viiva pisteiden B ja M kautta. Jatkamme sivua AD pisteen D läpi, kunnes se leikkaa BM:n kanssa. Kolmiot BCm ja MPD ovat yhtä suuria sivuiltaan ja kahdella kulmalla (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - limitys, ∠ BMC=∠ DMP - pystysuora), joten VM=MP tai piste M on BP:n keskipiste. KM on kolmion ABP keskiviiva. Kolmion keskiviivan ominaisuuden mukaan KM on yhdensuuntainen AP:n ja erityisesti AD:n kanssa ja on yhtä suuri kuin puolet AP:stä:

Lause 8 . Diagonaalit jakavat puolisuunnikkaan neljään osaan, joista kaksi sivujen vieressä ovat yhtä suuret.
Haluan muistuttaa, että lukuja kutsutaan yhtäläisiksi, jos niillä on sama pinta-ala. Kolmiot ABD ja ACD ovat samankokoisia ja niillä on yhtä korkeita(merkitty keltaisella) ja yhteinen pohja. Näillä kolmioilla on yhteinen osa AOD. Niiden aluetta voidaan laajentaa seuraavasti:

Trapetsiumtyypit:
Määritelmä 9. (Kuva 1) Teräväkulmainen puolisuunnikas on puolisuunnikkaan, jossa suuremman kannan vieressä olevat kulmat ovat teräviä.
Määritelmä 10. (Kuva 2) Tylsä puolisuunnikas on puolisuunnikkaan, jossa yksi suuremman kannan vieressä olevista kulmista on tylppä.
Määritelmä 11. (Kuva 4) Puolisuunnikasta kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jonka toinen sivu on kohtisuorassa kantaan nähden.
Määritelmä 12. (Kuva 3) Tasakylkinen (tasokylkinen, tasakylkinen) on puolisuunnikkaan, jonka sivut ovat yhtä suuret.

Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuudet:
Lause 10 . Tasakylkisen puolisuunnikkaan kunkin kannan vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret.
Todiste. Todistetaan esimerkiksi kulmien A ja D yhtäläisyys tasakylkisen puolisuunnikkaan ABCD suuremmalla kantalla AD. Tätä tarkoitusta varten vedetään pisteen C läpi suora viiva, joka on yhdensuuntainen sivusivun AB kanssa. Se leikkaa suuren kannan pisteessä M. Nelikulma ABCM on suunnikas, koska rakenteeltaan siinä on kaksi paria yhdensuuntaisia ​​sivuja. Tästä syystä puolisuunnikkaan sisälle suljetun sekanttiviivan segmentti CM on yhtä suuri kuin sen sivusivu: CM=AB. Tästä on selvää, että CM=CD, kolmio CMD on tasakylkinen, ∠CMD=∠CDM ja näin ollen ∠A=∠D. Myös pienemmän kannan vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret, koska ovat sisäisiä yksipuolisia ja niiden summa on kaksi riviä.
Lause 11 . Tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalit ovat yhtä suuret.
Todiste. Tarkastellaan kolmioita ABD ja ACD. Se on yhtä suuri kahdella sivulla ja niiden välinen kulma (AB=CD, AD on yhteinen, kulmat A ja D ovat yhtä suuret Lauseen 10 mukaan). Siksi AC=BD.

Lause 13 . Tasakylkisen puolisuunnikkaan lävistäjät jaetaan leikkauspisteen toimesta vastaavasti yhtä suuriin segmentteihin. Tarkastellaan kolmioita ABD ja ACD. Se on yhtä suuri kahdella sivulla ja niiden välinen kulma (AB=CD, AD on yhteinen, kulmat A ja D ovat yhtä suuret Lauseen 10 mukaan). Siksi ∠ ОАD=∠ ОDA, joten kulmat ОВС ja OSV ovat yhtä suuret kuin vastaavasti limittyvät kulmat ODA ja ОАD. Muista lause: jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin se on tasakylkinen, joten kolmiot ОВС ja ОAD ovat tasakylkisiä, mikä tarkoittaa OS=OB ja ОА=OD jne.
Tasakylkinen puolisuunnikas on symmetrinen kuvio.
Määritelmä 13. Tasakylkisen puolisuunnikkaan symmetria-akselia kutsutaan suoraksi, joka kulkee sen kantajen keskipisteiden kautta.
Lause 14 . Tasakylkisen puolisuunnikkaan symmetria-akseli on kohtisuorassa kantaansa nähden.
Lauseessa 9 todettiin, että puolisuunnikkaan kantakohtien keskipisteitä yhdistävä suora kulkee lävistäjien leikkauspisteen kautta. Seuraavaksi (Lause 13) todettiin, että kolmiot AOD ja BOC ovat tasakylkisiä. OM ja OK ovat näiden kolmioiden mediaanit, vastaavasti, määritelmän mukaan. Muista tasakylkisen kolmion ominaisuus: tasakylkisen kolmion mediaani kantaan laskettuna on myös kolmion korkeus. Suoran KM osien kantojen kohtisuorasta johtuen symmetria-akseli on kohtisuorassa kantaan nähden.
Merkit, jotka erottavat tasakylkisen puolisuunnikkaan kaikista trapetseista:
Lause 15 . Jos puolisuunnikkaan yhden kantan vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret, niin puolisuunnikkaan on tasakylkinen.
Lause 16 . Jos puolisuunnikkaan lävistäjät ovat yhtä suuret, niin puolisuunnikkaan on tasakylkinen.
Lause 17 . Jos puolisuunnikkaan leikkaukseen ulottuvat sivut muodostavat tasakylkisen kolmion suuren kantansa kanssa, niin puolisuunnikkaan on tasakylkinen.
Lause 18 . Jos puolisuunnikkaan voidaan piirtää ympyrään, niin se on tasakylkinen.
Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan merkki:
Lause 19 . Mikä tahansa nelikulmio, jolla on vain kaksi suoraa kulmaa vierekkäisissä huipuissa, on suorakulmainen puolisuunnikkaan (on selvää, että molemmat sivut ovat yhdensuuntaiset, koska yksipuoliset ovat yhtä suuret. siinä tapauksessa, että kolme suoraa kulmaa on suorakulmio)
Lause 20 . Puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri kuin puolet pohjan korkeudesta.
Tämän lauseen todisteena on selittää, että kantaan vedetyt säteet ovat puolisuunnikkaan korkeudella. Pisteestä O - tähän puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän ABCD keskipisteestä piirrämme säteet kosketuspisteisiin sen puolisuunnikkaan kantojen kanssa. Kuten tiedät, kosketuspisteeseen piirretty säde on kohtisuorassa tangenttia vastaan, joten OK ^ BC ja OM ^ AD. Muista lause: jos suora on kohtisuorassa yhden rinnakkaisen suoran kanssa, se on myös kohtisuorassa toiseen. Siten suora OK on myös kohtisuorassa AD:hen nähden. Siten kaksi suoraa AD vastaan ​​kohtisuoraa suoraa kulkee pisteen O läpi, joka ei voi olla, joten nämä suorat osuvat yhteen ja muodostavat yhteisen kohtisuoran KM, joka on yhtä suuri kuin kahden säteen summa ja on piirretyn ympyrän halkaisija. r = KM/2 tai r = h/2.
Lause 21 . Puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet kantojen summasta ja kantajen korkeudesta.

Todiste: Olkoot ABCD annettu puolisuunnikkaan ja AB ja CD sen kantapäät. Olkoon myös AH pisteestä A suoralle CD pudonnut korkeus. Sitten S ABCD = S ACD + S ABC .
Mutta S ACD = 1/2AH CD ja S ABC = 1/2AH AB.
Siksi S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

Toinen kaava on siirtynyt nelikulmiosta.

Takaisin eteenpäin

Huomio! Dian esikatselu on tarkoitettu vain tiedoksi, eikä se välttämättä edusta esityksen koko laajuutta. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Oppitunnin tarkoitus:

• koulutuksellinen- esitellä puolisuunnikkaan käsite, tutustua puolisuunnikkaan tyyppeihin, tutkia puolisuunnikkaan ominaisuuksia, opettaa opiskelijoita soveltamaan hankittua tietoa ongelmien ratkaisuprosessissa;
• kehittymässä- opiskelijoiden kommunikatiivisten ominaisuuksien kehittäminen, kyvyn suorittaa kokeilu, yleistäminen, johtopäätösten kehittäminen, kiinnostuksen kehittäminen aihetta kohtaan.
• koulutuksellinen- kasvattaa huomiota, luoda onnistumistilannetta, iloa vaikeuksien voittamisesta omatoimisesti, kehittää opiskelijoissa itseilmaisun tarvetta erilaisten töiden kautta.

Työmuodot: etuosa, höyrysauna, ryhmä.

Lasten toiminnan järjestämismuoto: kyky kuunnella, rakentaa keskustelua, ilmaista ajatus, kysymys, lisäys.

Laitteet: tietokone, multimediaprojektori, näyttö. Oppilaspöydillä: leikkausmateriaalia puolisuunnikkaan tekemiseen jokaiselle pöydällä olevalle opiskelijalle; tehtäväkortit (piirustusten ja tehtävien tulosteet oppitunnin yhteenvedosta).

TUTKIEN AIKANA

I. Organisatorinen hetki

Tervehditään, tarkistetaan työpaikan valmius oppitunnille.

II. Tiedon päivitys

• esineiden luokittelutaitojen kehittäminen;
• korostaa luokituksen pää- ja toissijaisia ​​piirteitä.

Kuvaa nro 1 tarkastellaan.

Seuraavassa on keskustelu piirroksesta.
Mistä tämä geometrinen kuvio on tehty? Kaverit löytävät vastauksen kuvista: [suorakulmiosta ja kolmioista].
Mitä kolmioiden tulisi olla puolisuunnikkaan?
Kaikki mielipiteet kuullaan ja niistä keskustellaan, valitaan yksi vaihtoehto: [kolmioiden on oltava suorakaiteen muotoisia].
Miten kolmiot ja suorakulmiot muodostetaan? [Niin, että suorakulmion vastakkaiset sivut osuvat yhteen kunkin kolmion jalan kanssa].
Mitä tiedät suorakulmion vastakkaisista puolista? [Ne ovat rinnakkaisia].
- Joten tässä nelikulmiossa tulee olemaan yhdensuuntaiset sivut? [Joo].
- Kuinka monta siellä on? [Kaksi].
Keskustelun jälkeen opettaja näyttää "oppitunnin kuningattaren" - puolisuunnikkaan.

III. Uuden materiaalin selitys

1. Trapetsin määritelmä, puolisuunnikkaan elementit

• opettaa oppilaita määrittelemään puolisuunnikkaan;
• nimeä sen elementit;
• assosiatiivisen muistin kehittäminen.

- Yritä nyt antaa täydellinen määritelmä puolisuunnikkaan. Jokainen oppilas miettii vastausta kysymykseen. He vaihtavat mielipiteitä pareittain, valmistelevat yhden vastauksen kysymykseen. Suullisen vastauksen antaa yksi opiskelija 2-3 parista.
[Puunnikas on nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia ​​ja kaksi muuta sivua eivät ole yhdensuuntaisia].

Mitä kutsutaan puolisuunnikkaan sivuiksi? [Yhdensuuntaisia ​​sivuja kutsutaan puolisuunnikkaan kantaviksi ja kahta muuta sivuiksi].

Opettaja tarjoutuu taittamaan puolisuunnikkaan leikatuista hahmoista. Oppilaat työskentelevät pareittain ja yhdistävät palat. No, jos opiskelijaparit ovat eri tasoisia, niin yksi opiskelijoista on konsultti ja auttaa ystävää vaikeuksissa.

- Rakenna puolisuunnikkaan vihkoihin, kirjoita puolisuunnikkaan sivujen nimet. Esitä piirustuksesta kysymyksiä naapurillesi, kuuntele hänen vastauksiaan, kerro vastauksesi.

Historiallinen viittaus

"Trapetsi"- kreikkalainen sana, joka muinaisina aikoina merkitsi "pöytää" (kreikaksi "trapedzion" tarkoittaa pöytää, ruokapöytää. Geometrinen hahmo on nimetty sellaiseksi sen muistuttamisesta pientä pöytää).
"Aluissa" (kreikaksi Στοιχεῖα, latinaksi Elementa) on Eukleideen pääteos, joka on kirjoitettu noin vuonna 300 eaa. e. ja omistettu geometrian systemaattiselle rakentamiselle) termiä "suunnikkaan" ei käytetä nykyaikaisessa, vaan eri merkityksessä: mikä tahansa nelikulmio (ei suunnikas). "Trapetsium" meidän merkityksessämme löytyy ensimmäistä kertaa antiikin kreikkalaisesta matemaatikko Posidonius (IV.). Keskiajalla Eukleideen mukaan mitä tahansa nelikulmiota (ei suunnikasta) kutsuttiin puolisuunnikkaan; vasta XVIII vuosisadalla. sana saa modernin merkityksen.

Puolisuunnikkaan rakentaminen annettujen elementtien mukaan. Kaverit suorittavat kortin numero 1 tehtävät.

Opiskelijoiden on rakennettava trapetsioita eri paikoissa ja tyyleissä. Vaiheessa 1 sinun on rakennettava suorakaiteen muotoinen puolisuunnikas. Kohdassa 2 on mahdollista rakentaa tasakylkinen puolisuunnikkaan. Kohdassa 3 puolisuunnikkaan tulee "makaa kyljellään". Kohdassa 4 piirustuksessa säädetään tällaisen puolisuunnikkaan rakentamisesta, jossa yksi pohjasta osoittautuu epätavallisen pieneksi.
Oppilaat "yllättävät" opettajan erilaisilla hahmoilla, joilla on yksi yleinen nimi - puolisuunnikas. Opettaja esittelee mahdollisia vaihtoehtoja puolisuunnikkaan rakentamiseen.

Tehtävä 1. Ovatko kaksi puolisuunnikasta yhtä suuret, jos toinen kanta ja kaksi sivua ovat vastaavasti yhtä suuret?
Keskustele ongelman ratkaisusta ryhmissä, todista päättelyn oikeellisuus.
Yksi opiskelija ryhmästä piirtää taululle, selittää päättelyn kulkua.

2. Trapetsityypit

• motorisen muistin kehittäminen, kyky murtaa puolisuunnikkaan tunnetuiksi hahmoiksi, jotka ovat välttämättömiä ongelmien ratkaisemiseksi;
• yleistää, vertailla, määritellä analogisesti, esittää hypoteeseja taitojen kehittäminen.

Harkitse kuviota:

- Mitä eroa on kuvassa näkyvän puolisuunnikkaan välillä?
Kaverit huomasivat, että puolisuunnikkaan tyyppi riippuu vasemmalla olevan kolmion tyypistä.
- Täydennä lause:

Puolisuunnikkaan kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos...
Puolisuunnikkaan kutsutaan tasakylkiseksi, jos...

3. Puolisuunnikkaan ominaisuudet. Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuudet.

• esittää, analogisesti tasakylkisen kolmion kanssa, hypoteesi tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuudesta;
• analyyttisten taitojen kehittäminen (vertaa, olettaa, todistaa, rakentaa).

• Diagonaalien keskipisteitä yhdistävä jana on yhtä suuri kuin kantajen erotuksen puolikas.
• Tasakylkisellä puolisuunnikkaalla on yhtäläiset kulmat mille tahansa kannalle.
• Tasakylkisellä puolisuunnikkaalla on yhtäläiset lävistäjät.
• Tasakylkisessä puolisuunnikkaan ylhäältä suurempaan kantaan laskettu korkeus jakaa sen kahteen segmenttiin, joista toinen on yhtä suuri kuin puolet kantojen summasta, toinen on puolet kantojen erosta.

Tehtävä 2. Osoita, että tasakylkisessä puolisuunnikkaan: a) kulmat kummassakin kannassa ovat yhtä suuret; b) diagonaalit ovat yhtä suuret. Todistaaksemme nämä tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuudet muistamme kolmioiden yhtäläisyyden merkit. Oppilaat suorittavat tehtävän ryhmissä, keskustelevat, kirjoittavat ratkaisun muistivihkoon.
Yksi oppilas kustakin ryhmästä tekee todistuksen taululle.

4. Huomioharjoitus

5. Esimerkkejä puolisuunnikkaan muotojen käytöstä jokapäiväisessä elämässä:

• sisätiloissa (sohvat, seinät, alakatot);
• maisemasuunnittelussa (nurmikon rajat, keinotekoiset säiliöt, kivet);
• muotiteollisuudessa (vaatteet, kengät, asusteet);
• jokapäiväisten esineiden suunnittelussa (lamput, astiat, käyttämällä puolisuunnikkaan muotoja);
• arkkitehtuurissa.

Käytännön työ(vaihtoehtojen mukaan).

– Rakenna yhdessä koordinaattijärjestelmässä tasakylkisiä puolisuunnikkaita käyttämällä annettuja kolmea kärkeä.

Vaihtoehto 1: (0; 1), (0; 6), (- 4; 2), (...; ...) ja (- 6; - 5), (4; - 5), (- 4) ; - 3) , (…;…).
Vaihtoehto 2: (- 1; 0), (4; 0), (6; 5), (...; ...) ja (1; - 2), (4; - 3), (4; - 7), (…; …).

– Määritä neljännen kärjen koordinaatit.
Päätöksen tarkistaa ja kommentoi koko luokka. Oppilaat osoittavat neljännen löydetyn pisteen koordinaatit ja yrittävät suullisesti selittää, miksi annetut ehdot määräävät vain yhden pisteen.

Mielenkiintoinen tehtävä. Taita puolisuunnikkaan: a) neljästä suorakulmaisesta kolmiosta; b) kolmesta suorakulmaisesta kolmiosta; c) kaksi suorakulmaista kolmiota.

IV. Kotitehtävät

• oikean itsetunnon koulutus;
• "menestystilanteen" luominen jokaiselle opiskelijalle.

kohta 44, tuntee puolisuunnikkaan määritelmän, elementit, tyypit, tuntee puolisuunnikkaan ominaisuudet, osaa todistaa ne, nro 388, nro 390.

v. Yhteenveto oppitunnista. Oppitunnin lopussa lapsille annetaan profiili, jonka avulla voit suorittaa itseanalyysin, antaa laadullisen ja määrällisen arvion oppitunnista .