Satunnaisten vakioiden vaihtelumenetelmä. Esimerkkejä ratkaisuista Lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen vakiovariaatiomenetelmällä

Mielivaltaisen vakion variaatiomenetelmä tai Lagrangen menetelmä on toinen tapa ratkaista ensimmäisen asteen lineaarisia differentiaaliyhtälöitä ja Bernoullin yhtälöä.

Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt ovat muotoa y’+p(x)y=q(x) olevia yhtälöitä. Jos oikea puoli on nolla: y’+p(x)y=0, niin tämä on lineaarinen homogeeninen 1. kertaluvun yhtälö. Vastaavasti yhtälö, jonka oikea puoli on nollasta poikkeava, y’+p(x)y=q(x), — heterogeeninen ensimmäisen asteen lineaarinen yhtälö.

Mielivaltainen vakiomuutosmenetelmä (Lagrange-menetelmä) koostuu seuraavista:

1) Etsitään yhteinen päätös homogeeninen yhtälö y'+p(x)y=0: y=y*.

2) Yleisessä ratkaisussa C:tä ei pidetä vakiona, vaan x:n funktiona: C=C(x). Etsimme yleisen ratkaisun derivaatan (y*)' ja korvaamme tuloksena olevan lausekkeen y*:lla ja (y*)' alkuehtolla. Tuloksena olevasta yhtälöstä löydämme funktion С(x).

3) Homogeenisen yhtälön yleisessä ratkaisussa korvataan C:n sijaan löydetty lauseke C (x).

Harkitse esimerkkejä mielivaltaisen vakion vaihtelumenetelmästä. Otetaan samat tehtävät kuin kohdassa , verrataan ratkaisun kulkua ja varmistetaan, että saadut vastaukset ovat samat.

1) y'=3x-y/x

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen vakiomuotoon (toisin kuin Bernoullin menetelmässä, jossa tarvittiin merkintä vain nähdäksemme, että yhtälö on lineaarinen).

y'+y/x = 3x (I). Nyt mennään suunnitelmien mukaan.

1) Ratkaisemme homogeenisen yhtälön y’+y/x=0. Tämä on erotettava muuttujayhtälö. Esitä y’=dy/dx, korvaa: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Kerrotaan molemmat yhtälön osat dx:llä ja jaetaan xy≠0:lla: dy/y=-dx/x. Integroimme:

2) Saadussa homogeenisen yhtälön yleisratkaisussa С ei ole vakio, vaan x:n funktio: С=С(x). Täältä

Tuloksena olevat lausekkeet korvataan ehtoon (I):

Integroimme yhtälön molemmat puolet:

tässä C on jo uusi vakio.

3) Homogeenisen yhtälön y \u003d C / x yleisessä ratkaisussa, jossa tarkasteltiin C \u003d C (x), eli y \u003d C (x) / x, korvaamme C (x) sijasta löytyi lauseke x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x tai y=x²+C/x. Saimme saman vastauksen kuin Bernoulli-menetelmällä ratkaistaessa.

Vastaus: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Täällä yhtälö on jo kirjoitettu vakiomuodossa, ei tarvitse muuntaa.

1) Ratkaisemme homogeenisen lineaarisen yhtälön y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integroimme:

Saadaksemme kätevämmän merkinnän otamme eksponentin C:n potenssiin uutena C:nä:

Tämä muunnos suoritettiin, jotta derivaatan löytäminen olisi helpompaa.

2) Saadussa lineaarisen homogeenisen yhtälön yleisratkaisussa С ei katsota vakioksi, vaan x:n funktioksi: С=С(x). Tällä ehdolla

Tuloksena olevat lausekkeet y ja y' korvataan ehtoon:

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla

Integroimme yhtälön molemmat osat käyttämällä integrointi osilta -kaavaa, saamme:

Tässä C ei ole enää funktio, vaan tavallinen vakio.

3) Homogeenisen yhtälön yleiseen ratkaisuun

korvaamme löydetyn funktion С(x):

Saimme saman vastauksen kuin Bernoulli-menetelmällä ratkaistaessa.

Mielivaltaisen vakion variaatiomenetelmä soveltuu myös ratkaisemiseen.

y'x+y=-xy².

Tuomme yhtälön vakionäkymä: y'+y/x=-y² (II).

1) Ratkaisemme homogeenisen yhtälön y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Kerro yhtälön molemmat puolet dx:llä ja jaa y:llä: dy/y=-dx/x. Nyt integroidaan:

Korvaamme saadut lausekkeet ehtoon (II):

Yksinkertaistaminen:

Saimme yhtälön erotettavilla muuttujilla C:lle ja x:lle:

Tässä C on jo tavallinen vakio. Integrointiprosessissa C(x) sijasta kirjoitimme yksinkertaisesti C:n, jotta merkintä ei ylikuormittaisi. Ja lopuksi palasimme C(x):ään, jotta emme sekoittaisi C(x):ää uuteen C:hen.

3) Korvataan löydetty funktio С(x) homogeenisen yhtälön y=C(x)/x yleiseen ratkaisuun:

Saimme saman vastauksen kuin Bernoulli-menetelmällä ratkaistaessa.

Esimerkkejä itsetestauksesta:

1. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen vakiomuotoon: y'-2y=x.

1) Ratkaisemme homogeenisen yhtälön y'-2y=0. y’=dy/dx, joten dy/dx=2y, kerro yhtälön molemmat puolet dx:llä, jaa y:llä ja integroi:

Täältä löydämme y:

Korvaamme y:n ja y:n lausekkeet ehtoon (lyhyyden vuoksi syötämme C:n C:n (x) sijaan ja C':n C:n "(x) sijaan):

Löytääksemme integraalin oikealta puolelta, käytämme integrointi-osien kaavaa:

Nyt korvaamme u, du ja v kaavaan:

Tässä C = vakio.

3) Nyt korvaamme homogeenisen liuoksen

Teoreettinen minimi

Differentiaaliyhtälöiden teoriassa on menetelmä, joka väittää olevansa riittävän korkea universaali tälle teorialle.
Puhumme mielivaltaisen vakion variaatiomenetelmästä, jota voidaan soveltaa erilaisten differentiaaliyhtälöluokkien ja niiden ratkaisuun.
järjestelmät. Näin on juuri silloin, kun teoria - jos otat väitteiden todisteet pois suluista - on minimaalinen, mutta antaa sinun saavuttaa
merkittäviä tuloksia, joten pääpaino on esimerkeissä.

Menetelmän yleinen idea on melko yksinkertainen muotoilla. Olkoon annettu yhtälö (yhtälöjärjestelmä) vaikea ratkaista tai jopa käsittämätön,
kuinka ratkaista se. Voidaan kuitenkin nähdä, että kun jotkut termit jätetään pois yhtälöstä, se on ratkaistu. Sitten he ratkaisevat juuri tällaisen yksinkertaistetun
yhtälö (järjestelmä), saada ratkaisu, joka sisältää tietyn määrän mielivaltaisia ​​vakioita - riippuen yhtälön järjestyksestä (luku
yhtälöt järjestelmässä). Tällöin oletetaan, että löydetyn ratkaisun vakiot eivät ole varsinaisia ​​vakioita, löydetty ratkaisu
Korvataan alkuperäiseen yhtälöön (järjestelmään), saadaan differentiaaliyhtälö (tai yhtälöjärjestelmä) "vakioiden" määrittämiseksi.
Mielivaltaisen vakion variaatiomenetelmän soveltamisessa erilaisiin ongelmiin on tiettyä spesifisyyttä, mutta nämä ovat jo yksityiskohtia, jotka
esitetty esimerkein.

Tarkastellaan erikseen korkeamman asteen lineaaristen epähomogeenisten yhtälöiden ratkaisua, ts. muodon yhtälöt
.
Lineaarisen epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleisratkaisun ja tietyn ratkaisun summa
annettu yhtälö. Oletetaan, että homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on jo löydetty, eli perusratkaisujärjestelmä (FSR) on rakennettu
. Silloin homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on .
On tarpeen löytää jokin tietty ratkaisu epähomogeeniselle yhtälölle. Tätä varten vakioiden katsotaan olevan riippuvaisia ​​muuttujasta.
Seuraavaksi sinun on ratkaistava yhtälöjärjestelmä
.
Teoria takaa tämän järjestelmän algebralliset yhtälöt funktioiden derivaattojen suhteen on vain yksi ratkaisu.
Itse funktioita löydettäessä integrointivakiot eivät esiinny: kaiketi etsitään yhtä ainoaa ratkaisua.

Kun kyseessä on muodon ensimmäisen kertaluvun lineaaristen epähomogeenisten yhtälöiden ratkaisujärjestelmä

Algoritmi pysyy lähes ennallaan. Ensin sinun on löydettävä vastaavan homogeenisen yhtälöjärjestelmän FSR, laadittava perusmatriisi
järjestelmä, jonka sarakkeet ovat FSR:n elementtejä. Seuraavaksi yhtälö
.
Ratkaisemalla järjestelmän määritämme funktiot ja löydämme siten tietyn ratkaisun alkuperäiseen järjestelmään
(perusmatriisi kerrotaan löydetyllä ominaisuussarakkeella).
Lisäämme sen vastaavan homogeenisen yhtälöjärjestelmän yleiseen ratkaisuun, joka on rakennettu jo löydetyn FSR:n perusteella.
Saadaan alkuperäisen järjestelmän yleinen ratkaisu.

Esimerkkejä.

Esimerkki 1 Ensimmäisen kertaluvun lineaariset epähomogeeniset yhtälöt.

Tarkastellaan vastaavaa homogeenista yhtälöä (merkitsimme vaadittua funktiota:lla):
.
Tämä yhtälö on helppo ratkaista erottamalla muuttujat:

.
Nyt edustamme alkuperäisen yhtälön ratkaisua muodossa , jossa toimintoa ei ole vielä löydetty.
Korvaamme tämän tyyppisen ratkaisun alkuperäiseen yhtälöön:
.
Kuten näet, vasemman puolen toinen ja kolmas termi kumoavat toisensa - tämä on ominaisuus mielivaltaisen vakion vaihtelumenetelmä.

Tässä jo - todellakin mielivaltainen vakio. Täten,
.

Esimerkki 2 Bernoullin yhtälö.

Toimimme samalla tavalla kuin ensimmäisessä esimerkissä - ratkaisemme yhtälön

muuttujien erottelumenetelmä. Se osoittautuu , joten etsimme alkuperäisen yhtälön ratkaisua muodossa
.
Korvaamme tämän funktion alkuperäiseen yhtälöön:
.
Ja taas on leikkauksia:
.
Tässä on muistettava varmistaa, että jakamalla ratkaisu ei häviä. Ja tapaus vastaa alkuperäisen ratkaisua
yhtälöt. Muistakaamme häntä. Niin,
.
Kirjoitetaan .
Tämä on ratkaisu. Vastausta kirjoitettaessa tulee ilmoittaa myös aiemmin löydetty ratkaisu, koska se ei vastaa mitään lopullista arvoa
vakiot.

Esimerkki 3 Korkeamman asteen lineaariset epähomogeeniset yhtälöt.

Huomaamme heti, että tämä yhtälö voidaan ratkaista yksinkertaisemmin, mutta on kätevää näyttää menetelmä siinä. Vaikka joitain etuja
mielivaltaisen vakion variaatiomenetelmällä on se myös tässä esimerkissä.
Joten sinun on aloitettava vastaavan homogeenisen yhtälön FSR:stä. Muista, että FSR:n, ominaisuuden löytämiseksi
yhtälö
.
Siten homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu
.
Tässä mukana olevia vakioita on vaihdettava. Järjestelmän kokoaminen

Luento 44. Toisen asteen lineaariset epähomogeeniset yhtälöt. Satunnaisten vakioiden vaihtelumenetelmä. Toisen asteen lineaariset epähomogeeniset yhtälöt vakiokertoimilla. (erityinen oikea puoli).

Yhteiskunnalliset muutokset. Valtio ja kirkko.

Bolshevikkien yhteiskuntapolitiikkaa saneli pitkälti heidän luokkalähestymistapansa. Marraskuun 10. päivänä 1917 annetulla asetuksella lakkautettiin kartanojärjestelmä, vallankumousta edeltäneet arvot, arvonimet ja palkinnot lakkautettiin. Tuomareiden valinta on aloitettu; siviilivaltioiden maallistuminen toteutettiin. Perustettiin ilmainen koulutus ja sairaanhoito (asetus 31. lokakuuta 1918). Naiset tasa-arvoistettiin oikeuksiltaan miesten kanssa (säädökset 16. ja 18. joulukuuta 1917). Avioliittoasetuksella otettiin käyttöön siviiliavioliitto.

Kansankomissaarien neuvoston 20. tammikuuta 1918 antamalla asetuksella kirkko erotettiin valtiosta ja koulutusjärjestelmästä. Suurin osa Kirkon omaisuus takavarikoitiin. Moskovan ja koko Venäjän patriarkka Tikhon (valittu 5. marraskuuta 1917) antematisoitiin 19. tammikuuta 1918 Neuvostoliiton valta ja vaati taistelua bolshevikkeja vastaan.

Tarkastellaan lineaarista epähomogeenistä toisen asteen yhtälöä

Tällaisen yhtälön yleisen ratkaisun rakenne määräytyy seuraavalla lauseella:

Lause 1. Epähomogeenisen yhtälön (1) yleinen ratkaisu esitetään tämän yhtälön jonkin tietyn ratkaisun ja vastaavan homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun summana

Todiste. Meidän on todistettava, että summa

on yhtälön (1) yleinen ratkaisu. Todistetaan ensin, että funktio (3) on yhtälön (1) ratkaisu.

Korvaa summa yhtälöön (1) sen sijaan klo, tulee olemaan

Koska yhtälölle (2) on ratkaisu, ensimmäisissä suluissa oleva lauseke on identtisesti nolla. Koska yhtälölle (1) on ratkaisu, toisissa suluissa oleva lauseke on yhtä suuri kuin f(x). Siksi tasa-arvo (4) on identiteetti. Näin ollen lauseen ensimmäinen osa on todistettu.

Todistakaamme toinen väite: lauseke (3) on yleistä yhtälön (1) ratkaisu. Meidän on todistettava, että tähän lausekkeeseen sisältyvät mielivaltaiset vakiot voidaan valita siten, että alkuehdot täyttyvät:

olivat numerot mitä tahansa x 0, y 0 ja (jos vain x 0 otettiin alueelta, jossa toimintoja a 1, a 2 Ja f(x) jatkuva).

Huomaa, että on mahdollista esittää muodossa . Sitten ehtojen (5) perusteella meillä on

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä ja etsitään Alkaen 1 Ja Alkaen 2. Kirjoitetaan järjestelmä uudelleen seuraavasti:

Huomaa, että tämän järjestelmän determinantti on funktioiden Wronsky-determinantti 1 Ja klo 2 pisteessä x=x 0. Koska nämä funktiot ovat oletuksena lineaarisesti riippumattomia, Wronsky-determinantti ei ole yhtä suuri kuin nolla; siten järjestelmällä (6) on varma päätös Alkaen 1 Ja Alkaen 2, eli sellaisia ​​arvoja on Alkaen 1 Ja Alkaen 2, jolle kaava (3) määrittää yhtälön (1) ratkaisun, joka tyydyttää tiedot alkuolosuhteet. Q.E.D.

Siirrytään yleiseen menetelmään epähomogeenisen yhtälön yksittäisten ratkaisujen löytämiseksi.

Kirjoitetaan homogeenisen yhtälön (2) yleinen ratkaisu

Etsimme tiettyä ratkaisua epähomogeeniselle yhtälölle (1) muodossa (7) ottaen huomioon Alkaen 1 Ja Alkaen 2 kuten joitakin vielä tuntemattomia ominaisuuksia X.

Erotetaan tasa-arvo (7):

Valitsemme haluamasi toiminnot Alkaen 1 Ja Alkaen 2 niin että tasa-arvo

Jos tämä lisäehto otetaan huomioon, ensimmäinen johdannainen saa muodon

Nyt erottamalla tämä ilmaus, löydämme:

Korvaamalla yhtälön (1), saamme

Kahdessa ensimmäisessä sulussa olevat lausekkeet katoavat, koska v 1 Ja y2 ovat homogeenisen yhtälön ratkaisuja. Siksi viimeinen tasa-arvo saa muodon

Siten funktio (7) on ratkaisu epähomogeeniseen yhtälöön (1), jos funktiot Alkaen 1 Ja Alkaen 2 täyttävät yhtälöt (8) ja (9). Tehdään yhtälöjärjestelmä yhtälöistä (8) ja (9).

Koska tämän järjestelmän determinantti on Vronsky-determinantti lineaarisesti riippumattomille ratkaisuille v 1 Ja y2 yhtälö (2), silloin se ei ole nolla. Siksi, ratkaisemalla järjestelmän, löydämme molemmat tietyt toiminnot X:

Ratkaisemalla tämän järjestelmän löydämme , josta integroinnin tuloksena saamme . Seuraavaksi korvataan löydetyt funktiot kaavaan , saadaan epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu, jossa on mielivaltaisia ​​vakioita.

Mielivaltaisten vakioiden vaihtelumenetelmä

Satunnaisten vakioiden vaihtelumenetelmä lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisun muodostamiseksi

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

koostuu mielivaltaisten vakioiden muuttamisesta c k yleisessä päätöksessä

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

vastaava homogeeninen yhtälö

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

aputoimintoihin c k (t) , jonka derivaatat täyttävät lineaarisen algebrallisen järjestelmän

Järjestelmän (1) determinantti on funktioiden Wronski z 1 ,z 2 ,...,z n , mikä varmistaa sen ainutlaatuisen ratkaistavuuden suhteessa .

Jos antiderivaatat otetaan integroinnin vakioiden kiinteillä arvoilla, niin funktio

on ratkaisu alkuperäiseen lineaariseen epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön. Epähomogeenisen yhtälön integrointi vastaavan homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun läsnä ollessa pelkistyy siten kvadratuureiksi.

Satunnaisten vakioiden vaihtelumenetelmä ratkaisujen muodostamiseksi lineaaristen differentiaaliyhtälöiden järjestelmän vektorinormaalimuodossa

koostuu tietyn ratkaisun (1) rakentamisesta muotoon

Missä Z(t) on vastaavan matriisina kirjoitetun homogeenisen yhtälön ratkaisujen perusta ja vektorifunktio, joka korvasi mielivaltaisten vakioiden vektorin, määritellään relaatiolla . Haluttu tietty ratkaisu (nolla alkuarvolla klo t = t 0:lla on muoto

Järjestelmässä, jossa on vakiokertoimet, viimeinen lauseke on yksinkertaistettu:

Matriisi Z(t)Z− 1 (τ) nimeltään Cauchy-matriisi operaattori L = A(t) .

Tarkastellaan menetelmää korkeamman asteen lineaaristen epähomogeenisten, vakiokertoimisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi Lagrangen vakioiden variaatiomenetelmällä. Lagrangen menetelmää voidaan soveltaa myös minkä tahansa lineaarisen epähomogeenisen yhtälön ratkaisemiseen, jos homogeenisen yhtälön perusratkaisujärjestelmä tunnetaan.

Katso myös:

Lagrangen menetelmä (vakioiden vaihtelu)

Tarkastellaan lineaarista epähomogeenistä differentiaaliyhtälöä, jolla on mielivaltaisen n:nnen kertaluvun vakiokertoimet:
(1) .
Vakiovariaatiomenetelmä, jota tarkastelimme ensimmäisen kertaluvun yhtälölle, soveltuu myös korkeamman kertaluvun yhtälöihin.

Ratkaisu suoritetaan kahdessa vaiheessa. Ensimmäisessä vaiheessa hylkäämme oikean puolen ja ratkaisemme homogeenisen yhtälön. Tuloksena saadaan ratkaisu, joka sisältää n mielivaltaista vakiota. Toisessa vaiheessa muutamme vakioita. Toisin sanoen katsomme, että nämä vakiot ovat riippumattoman muuttujan x funktioita ja löydämme näiden funktioiden muodon.

Vaikka harkitsemme tässä yhtälöitä, joissa on vakiokertoimet, mutta Lagrangen menetelmää voidaan soveltaa myös minkä tahansa lineaarisen epähomogeenisen yhtälön ratkaisemiseen. Tätä varten on kuitenkin tunnettava homogeenisen yhtälön perusratkaisujärjestelmä.

Vaihe 1. Homogeenisen yhtälön ratkaisu

Kuten ensimmäisen kertaluvun yhtälöiden tapauksessa, etsimme ensin homogeenisen yhtälön yleistä ratkaisua, joka rinnastaa oikean epähomogeenisen osan nollaan:
(2) .
Tällaisen yhtälön yleinen ratkaisu on muotoa:
(3) .
Tässä on mielivaltaisia ​​vakioita; - n lineaarisesti riippumatonta homogeenisen yhtälön (2) ratkaisua, jotka muodostavat tämän yhtälön perusratkaisujärjestelmän.

Vaihe 2. Vakioiden muuttaminen - Vakioiden korvaaminen funktioilla

Toisessa vaiheessa käsittelemme vakioiden vaihtelua. Toisin sanoen korvaamme vakiot riippumattoman muuttujan x funktioilla:
.
Eli etsimme ratkaisua alkuperäiseen yhtälöön (1) seuraavassa muodossa:
(4) .

Jos korvaamme (4):n (1), saamme yhden differentiaaliyhtälön n funktiolle. Tässä tapauksessa voimme yhdistää nämä funktiot lisäyhtälöillä. Sitten saat n yhtälöä, joista voit määrittää n funktiota. Lisäyhtälöitä voidaan tehdä eri tavoilla. Mutta teemme sen niin, että ratkaisulla on yksinkertaisin muoto. Tätä varten sinun on erotettava funktioiden johdannaisia ​​sisältävien termien nolla. Osoitetaan tämä.

Korvataksemme ehdotetun ratkaisun (4) alkuperäiseen yhtälöön (1), meidän on löydettävä muotoon (4) kirjoitetun funktion n:n ensimmäisen kertaluvun derivaatat. Erottele (4) soveltamalla summan ja tuotteen erottelusääntöjä:
.
Ryhmitetään jäsenet. Ensin kirjoitetaan termit johdannaisilla ja sitten termit johdannaisilla:

.
Asetamme funktioille ensimmäisen ehdon:
(5.1) .
Tällöin ensimmäisen derivaatan lausekkeella suhteessa kohtaan on yksinkertaisempi muoto:
(6.1) .

Samalla tavalla löydämme toisen derivaatan:

.
Asetamme funktioille toisen ehdon:
(5.2) .
Sitten
(6.2) .
Ja niin edelleen. Lisäehdoissa funktioiden derivaatat sisältävät termit rinnastetaan nollaan.

Jos siis valitsemme funktioille seuraavat lisäyhtälöt:
(5.k) ,
niin ensimmäisillä johdannaisilla suhteessa kohtaan on yksinkertaisin muoto:
(6.k) .
täällä .

Löydämme n:nnen derivaatan:
(6.n)
.

Korvataan alkuperäiseen yhtälöön (1):
(1) ;






.
Otamme huomioon, että kaikki funktiot täyttävät yhtälön (2):
.
Sitten sisältävien termien summa antaa nollan. Tuloksena saamme:
(7) .

Tuloksena saimme lineaarisen yhtälöjärjestelmän johdannaisille:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Ratkaisemalla tämän järjestelmän, löydämme lausekkeita derivaateille x:n funktioina. Integroimalla saamme:
.
Tässä ovat vakiot, jotka eivät enää riipu x:stä. Korvaamalla (4) saamme alkuperäisen yhtälön yleisratkaisun.

Huomaa, että emme koskaan käyttäneet sitä tosiasiaa, että kertoimet a i ovat vakioita derivaattojen arvojen määrittämiseen. Siksi Lagrangen menetelmää voidaan käyttää kaikkien lineaaristen epähomogeenisten yhtälöiden ratkaisemiseen, jos homogeenisen yhtälön (2) perusratkaisujärjestelmä tunnetaan.

Esimerkkejä

Ratkaise yhtälöt vakioiden variaatiomenetelmällä (Lagrange).


Esimerkkien ratkaisu >>>