Funktion määrittäminen totuusvektorilla. Luennot skalaariargumentin vektorifunktio

Lataa talletustiedostoista

DIFFERENTIAALIGEOMETRIA

minä. SKALAARARGUMENTIN VEKTORIFUNKTIO

Vektorifunktio (määritelmä 1.1), tapoja määritellä se.

Sädevektori ja hodografi, hodografin parametrinen määritelmä.

Vektorifunktion derivaatta (määritelmä 1.6).

Vektorifunktion derivaatan geometrinen merkitys.

Säännöt vektorifunktioiden erottamiseksi.

1.1. VEKTORIN TOIMINNON MÄÄRITELMÄ

Määritelmä 1.1Jos jokainen skalaariargumentin arvokohdistettu vektori
kolmiulotteinen tila R3 , silloin sanomme, että skalaariargumentin vektorifunktio (tai vektorifunktio) on annettu joukossa Xt .

Jos avaruudessa R3 annettu suorakulmainen koordinaattijärjestelmäNOIN xyz , niin tehtävänä on vektorifunktiot
,
vastaa kolmen skalaarifunktion määrittämistäX( t ), y ( t ), z ( t ) - vektorin koordinaatit:

= { x ( t ), y ( t ), z ( t )} (1.1)

tai , (1.2)

Missä
ovat koordinaattivektorit.

1.2. TILAJÄRJÄ SÄTEVEKTORIN HODOGRAFIANA

Määritelmä 1.2 Jos kaikkien vektorien alku,sijoitetaan origoon, niitä kutsutaan sädevektoreiksi.

Määritelmä 1.3 Viivaa, joka on sädevektorien päiden paikka, kutsutaan vektorifunktion hodografiksi ja niiden yhteistä alkua kutsutaan hodografin napaksi.

Jos parametri t on aika, ja on liikkuvan pisteen sädevektori, niin funktion hodografi on liikkuvan pisteen liikerata.

Hodograph-yhtälö voidaan kirjoittaa vektorimuodossa (1.2) tai parametrimuodossa:

(1.3)

Erityisesti jos vektorifunktioargumentin muutoksella vain sen moduuli muuttuu ja suunta ei muutu (), niin tällaisen vektorifunktion hodografi on suoraviivainen säde, joka lähtee origosta; jos vain vektorin suunta muuttuu ja sen moduuli pysyy muuttumattomana (
), silloin vektorifunktion hodografi on käyrä, joka sijaitsee pallolla, jonka keskipiste on navassa ja jonka säde on yhtä suuri kuin vektorin vakiomoduuli.

Kuva 1.

1.3. VEKTORIN TOIMINNON RAJA, JATKUVUUS JA JOHDANNAISET

Määritelmä 1. 4 Vektori kutsutaan vektorifunktion rajaksiklo
, Jos

. (1.4)

Määritelmä 1.5 Vektorifunktiota kutsutaan jatkuva jossakin kohdassat 0, jos sillä on tässä kohdassa raja, joka on yhtä suuri kuin vektorifunktion arvo tässä pisteessä:

. (1.5)

Määritelmä 1.6Johdannainen vektorifunktio pisteessä t kutsutaan rajaksi vektorifunktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen
klo
:

(1.6)

1.4. ENSIMMÄISEN JOHDANNAISVEKTORITOIMINNON GEOMETRIINEN JA MEKAANINEN MERKITYS

Skalaariargumentin vektorifunktion ensimmäisen derivaatan geometrinen merkitys on, että tämä derivaatta on uusi vektori, joka on suunnattu tangentiaalisesti hodografiin:
. Näytä se.

Kuva 2

Oletetaan, että tarkasteltavan vektorifunktion hodografi on jatkuva viiva, jolla on tangentti missä tahansa pisteessään.

Esitetään argumentti t lisäys, sitten geometrisesti suhde
on jokin vektori
makaa sekantilla MM'. Tällä vektorilla pyörii ja muuttuu vektoriksi
, makaa tangentin päällä ja suunnattu kasvun suuntaant . Joten vektori

(1.7)

on tangentin yksikkövektori, joka on suunnattu kasvavan parametrin suuntaant .

Siksi vektori
voidaan ottaa käyrän tangentin suuntavektoriksi pisteessä ), (tai
), ja kirjoita tangenttiyhtälö seuraavasti:

(1.8)

Jos t – aika ja on pisteen sädevektori
liikkuvat kolmiulotteisessa avaruudessa, sitten noinsuhdetta kutsutaan janan pisteen keskinopeudeksi [t; t+t].

mekaaninen aistivektorifunktion ensimmäinen derivaatta on, että tämä derivaatta on pisteen M nopeus tällä hetkellät :

Säännöt vektorifunktioiden erottamiseksi

Todistamme säännön 1 käyttämällä vektorien vähennyssääntöjä ja vektorin jakamista luvulla:

Muiden sääntöjen todistus perustuu sääntöön 1 ja vektorioperaatioiden sääntöihin.

Esimerkki 1.1: Annettu vektorifunktio .Rakenna sen hodografi ja muotoile sen tangenttiyhtälö mielivaltaisessa pisteessä.

Ratkaisu. Mihin tahansa kohtaan ( x , y , z ) hodograph vector - toiminnot meillä:x = kustannus ; y = asint ; z = bt ja siksi mille tahansa
tasa-arvox 2 + y 2 = a 2 , ja generatrix on yhdensuuntainen akselin kanssa Oz. Jos parametri t tulkitaan ajalla, sitten tasaisella liikkeellä sädevektorin pään projektion kehän ympäri tasolleOxy sen projektio akselilleOz liikkuu tasaisesti ja suoraviivaisesti suurella nopeudellab . Toisin sanoen vektorifunktion hodografipisteen aplikaatio kasvaa suhteessa sen projektion kiertokulmaan tasoonOxy . Siksi halutulla hodografilla on kuvan 3 mukainen muoto ja sitä kutsutaan heliksiksi. Löytääksemme hodografin (heliksi) tangentit, löydämme vektorifunktion derivaatan.

Ratkaisu. Koska, sitten ja

Olkoon skalaariargumentin vektorifunktion arvojen joukko yhteiseen origoon pisteessä 0. Olkoon origo yhteensopiva tämän pisteen kanssa Karteesinen järjestelmä koordinaatit. Sitten mitä tahansa vektoria voidaan laajentaa orttien suhteen

Siten skalaariargumentin vektorifunktion määrittäminen tarkoittaa kolmen skalaarifunktion määrittämistä Kun argumentin arvo muuttuu, vektorin loppu kuvaa avaruudessa käyrää, jota kutsutaan vektorin hodografiksi

Olkoon lähellä arvoa Sitten kutsutaan vektorifunktion derivaatta skalaariargumentille

№17 Kaarevassa liikkeessä olevan pisteen nopeus ja kiihtyvyys

Nopeus

Nopeus syötetään aineellisen pisteen liikkeen ominaisuutena. Nopeus on vektorisuure, jolle on ominaista sekä liikkeen nopeus (nopeusvektorin moduuli) että sen suunta (nopeusvektorin suunta) tietyllä hetkellä. Antaa aineellinen kohta liikkuu jotakin kaarevaa liikerataa pitkin, ja hetkellä t se vastaa sädevektoria r0 (kuva 1). Pienellä aikavälillä Δt piste tekee polun Δs ja vastaanottaa samalla alkeellisen (äärettömän pienen) siirtymän Δr.

Keskinopeusvektori on pisteen sädevektorin lisäyksen Δr suhde aikaväliin Δt:

Keskinopeusvektorin suunta osuu yhteen Δr:n suunnan kanssa. Kun Δt pienenee äärettömästi, keskinopeus pyrkii arvoon, jota kutsutaan hetkelliseksi nopeudeksi v:

Näin ollen hetkellinen nopeus v on vektorisuure, joka on yhtä suuri kuin liikkuvan pisteen sädevektorin ensimmäinen derivaatta ajan suhteen. Koska rajassa sekantti osuu tangentin kanssa, jolloin nopeusvektori v suuntautuu tangentiaalisesti liikeradan suuntaan (kuva 2).

Kuva 2

Kun Δt pienenee, Δs lähestyy yhä enemmän |Δr|, joten hetkellinen nopeusmoduuli

Tämä tarkoittaa, että hetkellisen nopeuden moduuli on yhtä suuri kuin reitin ensimmäinen derivaatta ajan suhteen:

Epätasaisessa liikkeessä hetkellinen nopeusmoduuli on erilainen eri aikoina. Tässä tapauksessa käytetään skalaariarvoa - epätasaisen liikkeen keskinopeus:

Jos integroimme ajassa välillä t - t + Δt lausekkeen ds=vdt (katso kaava (2)), niin löydämme pisteen kulkeman polun pituuden ajan Δt aikana:

Tasaisen liikkeen tapauksessa hetkellisen nopeuden numeerinen arvo on vakio; Sitten lauseke (3) saa muodon

Pisteen kulkeman reitin pituus aikavälillä t1 - t2 saadaan integraalilla

KIIHDYTYS

Epätasaisessa liikkeessä on usein tarpeen tietää, kuinka nopeasti nopeus muuttuu ajan myötä. Fysikaalista määrää, joka luonnehtii nopeuden muutosnopeutta absoluuttisessa arvossa ja suunnassa, kutsutaan kiihtyvyydeksi. Tarkastellaan tasoliikettä - liikettä, jossa tarkasteltavan järjestelmän kunkin pisteen liikeradat ovat samassa tasossa. Olkoon vektori v pisteen A nopeus hetkellä t. Ajan Δt aikana piste siirtyi asemaan B ja sai nopeuden, joka poikkeaa v:stä sekä moduulissa että suunnassa ja yhtä suuri kuin v1 + Δv. Siirrämme vektorin v1 pisteeseen A ja löydämme Δv (kuva 1).

Epätasaisen liikkeen keskikiihtyvyys välillä t - t + Δt on vektorisuure, joka on yhtä suuri kuin nopeuden muutoksen Δv suhde aikaväliin Δt:

Aineellisen pisteen hetkellinen kiihtyvyys a (kiihtyvyys) hetkellä t on vektorisuure:

yhtä suuri kuin nopeuden ensimmäinen derivaatta ajan suhteen.

Jaetaan vektori Δv kahdeksi komponentiksi. Tätä varten asetamme pisteestä A (kuva 1) nopeuden v suunnassa sivuun vektorin AD, modulo yhtä suuri kuin v1. Ilmeisesti vektori CD, joka on yhtä suuri kuin Δvτ, määrittää nopeuden muutoksen ajan myötä Δt modulo: Δvτ=v1-v. Vektorin Δv toinen komponentti Δvn kuvaa nopeuden muutosta ajan Δt suunnassa.

Tangentiaalinen kiihtyvyyskomponentti:

eli yhtä suuri kuin nopeusmoduulin ensimmäinen aikaderivaata, mikä siten määrittää nopeusmoduulin muutosnopeuden.

Etsimme kiihtyvyyden toista komponenttia. Oletetaan, että piste B on hyvin lähellä pistettä A, joten Δs voidaan katsoa ympyrän kaareksi, jonka säde on r ja joka poikkeaa hieman jänteestä AB. Kolmio AOB on samanlainen kuin kolmio EAD, mikä tarkoittaa Δvn/AB=v1/r, mutta koska AB=vΔt, niin

Rajassa kohdassa Δt→0 saamme v1→v.

Koska v1→v, kulma EAD pyrkii nollaan, ja koska kolmio EAD on tasakylkinen, silloin v:n ja Δvn:n välinen kulma ADE pyrkii suorakulmaiseen kulmaan. Siksi vektoreista Δvn ja v tulee keskenään kohtisuorassa muodossa Δt→0. Koska nopeusvektori suunnataan tangentiaalisesti lentoradalle, sitten nopeusvektoriin nähden kohtisuorassa oleva vektori Δvn suunnataan pisteradan kaarevuuskeskipisteeseen. Kiihtyvyyden toinen komponentti, yhtä suuri kuin

kutsutaan kiihtyvyyden normaalikomponentiksi ja se on suunnattu suoraa linjaa pitkin, joka on kohtisuorassa liikeradan tangentin kanssa (kutsutaan normaaliksi) sen kaarevuuden keskipisteeseen (siksi sitä kutsutaan myös keskikiihtyvyydeksi).

Kappaleen kokonaiskiihtyvyys on tangentiaali- ja normaalikomponenttien geometrinen summa (kuva 2):

Tämä tarkoittaa, että kiihtyvyyden tangentiaalinen komponentti on nopeuden muutosnopeuden ominaisuus itseisarvossa (suuntautunut tangentiaalisesti lentoradalle) ja kiihtyvyyden normaalikomponentti on nopeuden suunnanmuutosnopeuden ominaisuus (suuntautunut liikeradan kaarevuuskeskus). Liike voidaan luokitella kiihtyvyyden tangentiaalisista ja normaalikomponenteista riippuen seuraavalla tavalla:

1)aτ=0, an=0 - suoraviivainen yhtenäinen liike;

2) aτ=an=const, аn=0 - suoraviivainen tasainen liike. Tällä liikkeellä

Jos alkuajan hetki t1 = 0 ja alkunopeus v1 = v0, niin t2=t ja v2 = v merkitsevät saamme a=(v-v0)/t, mistä

Integroimalla tämä kaava nollasta mielivaltaiseen aikaan t, huomaamme, että pisteen kulkeman reitin pituus tasaisesti muuttuvan liikkeen tapauksessa

3)aτ=f(t), an=0 - suoraviivaista liikettä muuttuvalla kiihtyvyydellä;

4)aτ=0, an=vakio. Kun aτ=0, modulonopeus ei muutu, vaan muuttuu suuntaan. Kaavasta an=v2/r seuraa, että kaarevuussäteen tulee olla vakio. Siksi pyöreä liike on tasaista, tasainen kaareva liike;

5)aτ=0, an≠0 tasainen kaareva liike;

6)aτ=const, an≠0 - kaareva tasainen liike;

7)aτ=f(t), an≠0 - kaareva liike muuttuvalla kiihtyvyydellä.

#18 Tangentin taso- ja pintanormaaliyhtälöt

Määritelmä. Olkoon kahden muuttujan funktio z =f(х,у), M0(x0;y0) D:n sisäpiste, M(x0+Δx;y+Δy) piste D:stä "naapuri" M0:aan.

Harkitse funktion koko lisäystä:

Jos Δz esitetään seuraavasti:

missä A, B ovat vakioita (riippumattomia arvoista Δx, Δy), - M:n ja M0:n välinen etäisyys, α(Δx,Δy) - äärettömän pieni kohdassa Δx 0, Δy 0; silloin funktiota z = f(x, y) kutsutaan differentioituvaksi pisteessä M0, ja lauseke

kutsutaan funktion z = f(x; y) kokonaisdifferentiaaliksi pisteessä M0.

Lause 1.1. Jos z =f(x;y) on differentioituva pisteessä M0, niin

Todiste

Koska kohdassa (1.16) Δx, Δy ovat mielivaltaisia ​​infinitesimaalisia, voimme ottaa Δy =0, Δx≠0, Δx 0, niin

jonka jälkeen se seuraa kohdasta (1.16)

Samoin se on todistettu

ja Lause 1.1. todistettu.

Huomautus: z = f(x, y) pisteen M0 differentiaatio viittaa osittaisten derivaattojen olemassaoloon. Päinvastoin ei pidä paikkaansa (osittaisderivaataiden olemassaolo pisteessä M0 ei tarkoita differentiaatiota pisteessä M0).

Tämän seurauksena, kun otetaan huomioon Lause 1.1, kaava (1.18) saa muotoa:

Seuraus. Pisteessä M0 differentioituva funktio on jatkuva tässä pisteessä (koska (1.17) tarkoittaa, että Δx 0, Δy 0: Δz 0, z(M) z(M0)).

Huomautus: Samoin kolmen tai useamman muuttujan tapauksessa. Lauseke (1.17) on muodossa:

Käyttämällä geometrinen tunne(Kuva 1.3) osittaisderivaataista ja saat seuraavan yhtälön (1.24) tangenttitason πcass pintaan: z = f (x, y) pisteessä C0 (x0, y0, z0), z0 = z (M):

Vertaamalla (1.24) ja (1.21) saadaan kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalin geometrinen merkitys:

Sovelluksen z lisäys pisteen C liikkeen aikana tangenttitasoa pitkin pisteestä C0 pisteeseen

mistä on (1.24).

Pintaan nähden normaalin Ln:n yhtälö: z \u003d f (x, y) pisteessä C0 saadaan yhtälönä suorasta, joka kulkee C0:n kautta kohtisuorassa tangenttitasoon nähden:

Nro 19 Johdannainen suunnassa. Kaltevuus

Anna toiminnon ja piste . Piirretään pisteestä vektori, jonka suuntakosinit . Tarkastellaan vektorissa etäisyyttä sen origosta pistettä , ts. .

Oletetaan, että funktio ja sen ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ovat jatkuvia alueella.

Relaation rajaa at kutsutaan funktion derivaatiksi pisteessä vektorin suunnassa ja sitä merkitään , ts. .

Löytää funktion derivaatan tietyssä pisteessä vektorin suuntaan käytä kaavaa:

Missä ovat vektorin suuntakosinit , jotka lasketaan kaavoilla:
.

Anna toiminnon .

Vektoria, jonka projektiot koordinaattiakseleilla ovat tämän funktion osittaisten derivaattojen arvoja vastaavassa pisteessä, kutsutaan funktion gradientiksi ja on merkitty tai (lue "nabla u"): .

Tässä tapauksessa sanomme, että alueella on määritelty gradienttien vektorikenttä.

Funktion gradientin löytäminen tietyssä pisteessä käytä kaavaa: .

Nro 22 tärkeimmät ominaisuudet eivät ole selvä integraali

Epämääräinen integraali

missä F - funktion antijohdannainen f (välillä); C on mielivaltainen vakio.

Perusominaisuudet

1.

2.

3. Jos Että

24)

25)

28)

Tätä menetelmää käytetään tapauksissa, joissa integrandi on heterogeenisten funktioiden tulo tai osamäärä. Tässä tapauksessa V'(x) on helposti integroitava osa.

29)

32) Rationaalisen murtoluvun hajottaminen yksinkertaisiksi murtoluvuiksi.

Jokainen oikea rationaalinen murto-osa
voidaan esittää äärellisen määrän ensimmäisen - neljännen tyypin yksinkertaisten rationaalisten murtolukujen summana. Hajoamista varten
nimittäjä on jaettava yksinkertaisiksi murtoluvuiksi Q m (x) lineaarisiin ja neliötekijöihin, joita varten sinun on ratkaistava yhtälö:

- (5)

Lause.Oikea rationaalinen murtoluku
, Missä
, voidaan laajentaa ainutlaatuisella tavalla yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

- (6)

(A1, A2, …, Ak, B1, B2, …, B1, M1, N1, M2, M2, …, Ms, Ns ovat joitain reaalilukuja).

33) Oikean murto-osan hajoaminen yksinkertaisemmiksi jakeiksi, joilla on monimutkaiset nimittäjäjuuret

Ongelman muotoilu. Etsi epämääräinen integraali

1 . Otetaan käyttöön merkintä:

Vertaa osoittajan ja nimittäjän potenssia.

Jos integrandi on väärä rationaalinen murtoluku, ts. osoittajan tutkinton suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjän potenssim , sitten valitsemme ensin rationaalisen funktion kokonaislukuosan jakamalla osoittajan nimittäjällä:

Tässä polynomi on jaon ja asteen loppuosapk(x) vähemmän tutkintoaQm

2 . Kunnollisen rationaalisen murto-osan laajentaminen

päällä alkeismurtoluvut.

Jos sen nimittäjä on alkuluku monimutkaiset juuret nuo.

silloin hajoamisella on muoto

3 . Laskeaksesi epävarmoja kertoimia,A1,A2,A3...B1,B1,B3... johtaa yhteinen nimittäjä murto-osat identiteetin oikealla puolella, minkä jälkeen yhtälöimme kertoimet samoilla potenssillaX vasemmalla ja oikealla olevissa osoittajissa. Otetaan systeemi 2 S yhtälöt kanssa 2 S tuntematon, jolla on ainutlaatuinen ratkaisu.

4 Integroimme lomakkeen alkeisosia

47) Jos integraalisummalla on äärellinen raja I kuten λ → 0, eikä se riipu tavasta, jolla pisteet ξ i valitaan, miten jana jaetaan, niin tätä rajaa kutsutaan funktion f määrätyksi integraaliksi. (x) segmentin päällä ja se merkitään seuraavasti:

Tässä tapauksessa funktiota f (x) kutsutaan integroitavaksi . Lukuja a ja b kutsutaan integroinnin ala- ja ylärajaksi, vastaavasti, f (x) - integrand, х – integrointimuuttuja. On huomattava, että sillä ei ole väliä, mikä kirjain tarkoittaa määrätyn integraalin integrointimuuttujaa

koska tällaisen merkinnän muuttaminen ei vaikuta integraalisumman käyttäytymiseen millään tavalla. Huolimatta samankaltaisuuksista merkinnöissä ja terminologiassa, tietty ja määrittelemättömät integraalit eri

48) Lause määrätyn integraalin olemassaolosta

Jaetaan jana osiin pisteillä x1,x2,x3... niin että

Merkitse deltaX:llä i:nnen palan pituus ja näiden pituuksien maksimi.

Valitaan jokaiselle segmentille mielivaltaisesti jokin piste niin (tätä kutsutaan "keskipisteeksi") ja laaditaan

määrä, jota kutsutaan integraalisummaksi

Etsitään raja

Määritelmä. Jos se on olemassa ja se ei riipu

a) menetelmä segmentin jakamiseksi osiin ja niistä

b) tapa valita keskipiste,

on funktion f(x) määrätty integraali segmentin yli.

Funktiota f(x) kutsutaan tässä tapauksessa integroitavaksi väliin . Arvoja a ja b kutsutaan integroinnin ala- ja ylärajaksi.

50) Määrätyn integraalin perusominaisuudet

1) Jos integrointiväli jaetaan äärelliseen määrään osittaisvälejä, niin väliin otettu määrällinen integraali on yhtä suuri kuin sen kaikkien osavälejen otetut määrälliset integraalit.

2) keskiarvon lause.

Olkoon funktio y = f(x) integroitavissa segmentillä ,m=min f(x) ja M=max f(x) , silloin on olemassa sellainen luku

Seuraus.

Jos funktio y = f(x) on jatkuva janalla , niin siellä on sellainen luku, että.

3) Kun integroinnin rajat järjestetään uudelleen, määrätty integraali muuttaa etumerkkinsä päinvastaiseksi.

4) Määrätty integraali, jolla on samat integrointirajat, on yhtä suuri kuin nolla.

5) Toimintomoduulien integrointi

Jos funktio f(x) on integroitavissa, niin sen moduuli on myös integroitavissa väliin.

6) Epätasa-arvointegraatio

Jos f(x) ja q(x) ovat integroitavissa väliin ja x kuuluu

Että

7) Lineaarisuus

Jatkuva kerroin voidaan ottaa pois määrätyn integraalin merkistä

jos f(x) on olemassa ja on integroitavissa väliin , A=const

Jos funktio y=f(x) on jatkuva välissä ja F(x) on mikä tahansa sen antiderivaata (F’(x)=f(x)), niin kaava

Lasketaan integraali jatkuva toiminto tehdään substituutio x=a(t).

1) Funktio x=α(t) ja sen derivaatta x’=α’(t) ovat jatkuvia t:lle kuuluvalle

2) Funktion x=α(t) arvojoukko, johon t kuuluu, on segmentti

3) A a(c)=a ja a(v)=b

Olkoon funktio f(x) jatkuva alueella ja sillä on ääretön epäjatkuvuus kohdassa x=b. Jos raja on olemassa, sitä kutsutaan toisen tyyppiseksi vääräksi integraaliksi ja merkitään .

Siis määritelmän mukaan

Jos oikealla puolella oleva raja on olemassa, niin väärä integraali lähentyy. Jos ilmoitettua rajaa ei ole olemassa tai se on ääretön, niin integraalin sanotaan olevan poikkeaa.

Määritelmä 1. Vektoria r kutsutaan skalaariargumentin t vektorifunktioksi, jos jokainen skalaarin arvo hyväksyttävien arvojen alueelta vastaa tiettyä vektorin r arvoa. Kirjoitetaan se seuraavasti: Jos vektori r on skalaariargumentin t funktio, silloin vektorin r x, y, z koordinaatit ovat argumentin t funktioita: Skalaariargumentin vektorifunktio. Hodografi. Skalaariargumentin vektorifunktion raja ja jatkuvuus Kääntäen, jos vektorin r koordinaatit ovat t%:n funktioita, itse vektori r on myös t:n funktio: Siten vektorifunktion r(f) määrittäminen on vastaa kolmen skalaarifunktion määrittämistä y(t), z(t). Määritelmä 2. Skalaariargumentin vektorifunktion r(t) hodografi on pisteen paikka, joka kuvaa vektorin r(*) loppua skalaarin t muuttuessa, kun vektorin r(f) alkua. on sijoitettu kiinteään pisteeseen O avaruudessa (kuva I ). Sädevektorin r = r(*) hodografi liikkuu Kosketuspisteen 1 on itse tämän pisteen liikerata L. Tämän pisteen nopeuden v = v(J) hodografi on jokin muu suora L\ (kuva 2). Eli jos materiaalipiste liikkuu ympyrää pitkin vakionopeudella |v| = const, silloin sen nopeushodografi on myös ympyrä, jonka keskipiste on 0\ ja jonka säde on |v|. Esimerkki 1. Muodosta vektorin r = ti + t\ + t\ hodografi. Ratkaisu. 1. Tämä rakenne voidaan punnita pisteillä tekemällä taulukko: Kuva 3 2i Voit myös tehdä tämän. Merkitsemällä vektorin V koordinaatit x:llä, y:llä, z:llä saadaan Hc Ja näiden yhtälöiden avain, parametri 1U, saadaan yhtälöt pinnoille y - z = x1, joiden leikkausviiva L määrittää vektorin r() hodografin (kuva 3). D> Tehtävät itsenäistä päätöstä varten. Muodosta vektorien hodografit: Määrittele skalaariargumentin t vektorifunktio r = jossain argumentin t arvon to läheisyydessä, paitsi ehkä laajennuksen 1 arvolle. Vakiovektoria A kutsutaan rajaksi. vektorista r(t) at, jos millä tahansa e > 0:lla on b > 0 siten, että kaikilla t φ:llä ehdon 11 täyttymiseen - epäyhtälö täyttyy Kuten tavallisessa analyysissä, ne kirjoittavat limr(0=A. Ja molemmat pituudessa ja suunnassa (kuva 4). määritelmä 2. Vektorin a(t) sanotaan olevan äärettömän pieni kuin t -> to, jos a(t):lla on raja t -* to ja tämä raja on yhtä suuri kuin nolla: Skalaariargumentin vektorifunktio. Hodografi. Skalaariargumentin vektorifunktion raja ja jatkuvuus, tai, joka on sama, mille tahansa e:lle on olemassa 6 > 0 siten, että kaikilla t ↦ ehdon täyttyessä epäyhtälö |a(t)| esimerkki 1. Osoita, että vektori on äärettömän helakanpunainen vektori arvolle t -* 0. Ratkaisu. Meillä on kohta, jossa on selvää, että jos jollekin e 0:lle otamme 6 = ~, niin -0|:ssa merkitsemme |. Määritelmän mukaan tämä tarkoittaa, että a(t) on äärettömän helakanpunainen vektori muodossa t 0. 1> tehtävät r:n riippumattomalle ratkaisulle. Osoita, että vektorin moduulin raja on yhtä suuri kuin sen rajan moduuli, jos jälkimmäinen raja on olemassa. . Osoita, että jotta vektorifunktiolla r(*) olisi raja A:lle to, on välttämätöntä ja riittävää, että r( voidaan esittää muodossa t) on loputtomasti vektori t -* t0:lle 14. Vektorifunktio a + b(*) on jatkuva kun t = t0 Seuraako tästä, että vektorit a(t) ja b(J) ovat jatkuvia myös arvolla t - arvoon 15. Osoita, että jos a( ovat jatkuvia vektorifunktioita, niin niiden skalaaritulo (a(*),b(f)) ja vektoritulo |a(f),b(t)] ovat myös jatkuvia.

ja sen erilaistuminen.

Yksi yksinkertaisimmista tavoista määrittää avaruuskäyrä on määrittää vektoriyhtälö:

Missä on käyrän pisteen sädevektori ja - parametri, joka määrittää pisteen sijainnin.

Että. muuttuva vektori on skalaarifunktio . Tällaisia ​​funktioita kutsutaan matemaattisessa analyysissä skalaariargumentin vektorifunktioiksi.

hajoavaa vektorien suhteen yhtälö (1) voidaan antaa muodossa:

Tämä jaottelu mahdollistaa siirtymisen käyrän parametriseen yhtälöön:

Toisin sanoen vektorifunktion määrittäminen vastaa kolme skalaari.

Mitä tulee vektorifunktioon (1), joka määrittää annetun käyrän, itse käyrää kutsutaan tämän funktion hodografiksi. Koordinaattien origoa kutsutaan tässä tapauksessa hodografin napaksi.

Anna nyt
Ja
- yhtälön (1) määrittelemät käyrän pisteet. Ja
, A
Näiden pisteiden sädevektorit ovat

Ja
.

Vektori
kutsutaan vektorifunktion inkrementiksi
lisäystä vastaavasti
sen argumentti ja merkitty
,

vektorifunktio
tulee olemaan jatkuva toiminto , Jos

.

Löytääksesi johdannaisen
tehdään se näin -

.

Aseta suunta nyt
. Se on selvää kollineaarinen kanssa
ja klo
suunnattu samaan suuntaan kuin
ja klo
- vastakkaiseen suuntaan. Mutta ensimmäisessä tapauksessa
ja toisessa
Että. vektori aina suunnattu hodografin sekanttia pitkin
ylöspäin .

Jos käytämme laajennusta Ja ortsilla siis

Tästä jakamalla (*) luvulla
ja menee äärirajoille
varten
saamme

Kohdan (4) perusteella voidaan osoittaa, että seuraavat kaavat ovat voimassa:

(5)

(6)

on skalaarifunktio.

Todiste (7).

Tutkimme nyt joitain ominaisuuksia
. Ensinnäkin, etsitään sen moduuli:

.

Koska katsomme hodografin kaaren oikaistavaksi
on sointujen pituus ja
- kaaren pituus. Siksi

Että. skalaariargumentin vektorifunktion derivaatan moduuli on yhtä suuri kuin hodograafin kaaren derivaatta suhteessa samaan argumenttiin.

Seuraus 1. Jos - yksikkövektori, joka on suunnattu tangentiaalisesti hodografiin kasvusuunnassa , Tuo

Johtopäätös 2. Jos hodografin kaaren pituus otetaan vektorifunktion argumentiksi , Tuo

(koska
)

Että. vektorifunktion derivaatta pitkin hodografin kaaren pituutta on yhtä suuri kuin hodografin tangentin yksikkövektori, joka on suunnattu kaaren pituuden kasvun suuntaan.

Seuraus 3. Jos vektorifunktion hodografia pidetään pisteen liikeradana, ja - liikkumisaikana, jostain laskettuna , Tuo
suuruus ja suunta ovat samat nopeusvektorin kanssa
.

Itse asiassa nopeuden skalaariarvo on yhtä suuri kuin reitin derivaatta ajan suhteen:

Lisäksi vektori suunnattu tangentiaalisesti liikeradalle, joka vastaa kasvusuuntaa , eli vastaa suuntaa .

Että.
.

Harkitse nyt
, jonka pituus on vakio,
, eli

(*)
Missä

Erottelemalla (*) löydämme:

Nuo.

Erityisesti minkä tahansa muuttujan johdettu vektori yksikön suunnassa Aina
.

Anna nyt
pisteisiin piirretyn yksikköpallon säteiden välinen kulma
Ja
hodografi
. Sitten sointujen pituus
kolmiosta
tulee olemaan yhtä suuri kuin

Yksikkömuuttujavektorin derivaatan moduuli on yhtä suuri kuin tämän vektorin pyörimiskulmanopeus.

Mitä tulee skalaarifunktioihin, vektorifunktion differentiaali kirjoitetaan muodossa

Mutta silloinkin

Tilakäyrän kaarevuus.

Mukana oleva kolmiokolmio.

Seurauksen 2 mukaan for voit kirjoittaa kaavan:

Suunnanmuutos , joka liittyy spatiaalisen käyrän tangentin muutokseen, luonnehtii käyrän kaarevuutta. Tilakäyrän, kuten tasaisen, kaarevuuden mittaamiseksi ne ottavat rajan läheisyyskulman ja kaaren pituuden suhteen, kun

kaarevuus,
vierekkäisyyskulma,
kaaren pituus.

Toisella puolella,
yksikkövektori ja sen johdannaisvektori kohtisuorassa siihen nähden, ja sen moduuli
erottava Tekijä: ja esittelyssä
yksikkövektori suunnan kanssa , löydämme:

Vektori
avaruuskäyrän kaarevuusvektori. Sen suunta, kohtisuorassa tangentin suuntaan, on avaruuskäyrän normaalin suunta. Mutta avaruuskäyrällä on missä tahansa pisteessä lukematon joukko normaaleja, jotka kaikki sijaitsevat tasossa, joka kulkee käyrän tietyn pisteen läpi ja on kohtisuorassa tangenttia vastaan ​​tietyssä pisteessä. Tätä tasoa kutsutaan spatiaalisen käyrän normaalitasoksi.

Määritelmä. Käyrän normaali, jota pitkin käyrän kaarevuusvektori on suunnattu tiettyyn pisteeseen, on spatiaalisen käyrän päänormaali. Että.
päänormaalin yksikkövektori.

Muodostetaan nyt kolmas yksikkövektori yhtä suuri kuin vektoritulo Ja

Vektori , Kuten myös kohtisuorassa nuo. piilee normaali lentokone. Sen suuntaa kutsutaan avaruuskäyrän binormaalin suunnaksi annetussa pisteessä. Vektori
Ja muodostavat kolminkertaiset keskenään kohtisuorat yksikkövektorit, joiden suunta riippuu pisteen sijainnista spatiaalisella käyrällä ja vaihtelee pisteestä toiseen. Nämä vektorit muodostavat ns. spatiaalisen käyrän mukana oleva kolmiokolmio (Frenet-kolmio). Vektori
Ja muodostavat oikean kolmion, kuten yksikkövektorit
oikeassa koordinaattijärjestelmässä.

Pareittain otettu
määrittää kolme saman käyrän pisteen kautta kulkevaa tasoa ja muodostaa mukana olevan kolmikon pinnat. Jossa Ja määrittää kosketustaso (b.m. käyrän kaari tietyn pisteen läheisyydessä on tasaisen käyrän kaari vierekkäisessä tasossa korkeamman asteen b.m:iin asti);

Ja - suoristustaso;

Ja on normaali lentokone.

Tangentti-, normaali- ja binormaaliyhtälöt.

Mukana olevan kolmion tasojen yhtälöt.

Tietäen
Ja , tai mitkä tahansa niille kollineaariset yksikkövektorit T, N Ja B johdamme tässä osiossa nimetyt yhtälöt.

Tätä varten sisään kanoninen yhtälö suoraan

ja annetun pisteen läpi kulkevan tason yhtälössä

vallata
käyrältä valitun pisteen koordinaatit takana
tai vastaavasti varten
hyväksyä vektorien koordinaatit
tai
, joka määrittää halutun linjan tai normaalin suunnan haluttuun tasoon:

tai - tangentille tai normaalille tasolle,

tai - päänormaalille ja tasasuuntaiselle tasolle,

tai - binormaalille ja vierekkäiselle tasolle.

Jos käyrä on annettu vektoriyhtälöllä
tai
sitten vektorille
tangentin suunta voidaan ottaa

Löytämiseen
Ja Etsitään ensin laajennus
vektorien mukaan
Aiemmin (seuraus 1) havaitsimme sen
Erottaminen suhteessa , saamme:

Mutta koska

Kerro nyt vektori Ja

(*)

Perustuu (*) per vektori , jolla on binormaalin suunta, voimme ottaa vektorin

Mutta sitten, varten
voit ottaa näiden jälkimmäisten vektoritulon:

Että. missä tahansa mielivaltaisen käyrän pisteessä voimme määrittää kaikki mukana olevan kolmikon elementit.

Esimerkki. Oikean kierteen tangentin, normaalin ja binormaalin yhtälö missä tahansa pisteessä.

Tangentti

pääasiallinen normaali

Binormaali

Esimerkki 2 Tarkastellaan esimerkiksi kolmen muuttujan funktiota f(X,klo,z), jolla on seuraava totuustaulukko:

Matriisimenetelmä

Se tarkoittaa, että monia muuttujia  X n jakautuu kahteen osaan  klo m Ja  z n-m siten, että vektorin kaikki mahdolliset totuusarvot  klo m piirretään matriisin rivejä pitkin ja vektorin kaikki mahdolliset totuusarvot  z n-m- sarakkeiden mukaan. Toiminnan totuusarvot f jokaisessa setissä   n = ( 1 , ...,  m ,  m+ 1 ,...,  n) sijoitetaan soluihin, jotka muodostuvat suoran leikkauspisteestä ( 1 , ...,  m) ja sarake ( m+ 1 ,...,  n).

Yllä käsitellyssä esimerkissä 2 muuttujien jakamisen tapauksessa ( x, y, z) osajoukkoon ( X) Ja ( y, z) matriisi saa muodon:

Matriisiasetusmenetelmän olennainen piirre on, että muuttujien kokonaiset joukot  X n, jotka vastaavat vierekkäisiä (sekä pysty- että vaakasuuntaisia) soluja, eroavat yhdellä koordinaatilla.

Tehtävä käyttämällä täydellistä binääripuuta

Kuvaus n-paikallinen toiminto f( X n) käyttää korkeusbinääripuuominaisuutta n, joka koostuu siitä, että jokainen riippuva kärki siinä yksi yhteen vastaa tiettyä vektorin arvojoukkoa  X n. Vastaavasti tälle riippuvalle pisteelle voidaan antaa sama totuusarvo, joka funktiolla on tässä joukossa f. Esimerkkinä (kuva 1.3) esitetään tehtävä yllä tarkastellun kolmipaikkafunktion binääripuun avulla. f=(10110110).

Ensimmäinen numerorivi, joka on määritetty puun riippuviin kärkipisteisiin, ilmaisee joukon leksikografista numeroa, toinen on itse joukko ja kolmas on siinä olevan funktion arvo.

Työn kanssan - mittayksikkökuutioSISÄÄN n

Koska topit SISÄÄN n voidaan myös yhdistää yksitellen kaikkien joukkojen joukkoon  X n, Tuo n-paikallinen toiminto f(X n) voidaan määrittää antamalla sen totuusarvot kuution vastaaville kärkipisteille SISÄÄN n . Kuvassa 1.4 on esitetty funktion tehtävä f= (10110110) Kuubassa SISÄÄN 3. Totuusarvot on määritetty kuution huipuille.

Määritelmä . Logiikan algebra nimeä joukko Boolen vakioita ja muuttujia sekä niihin lisätyt loogiset konnektiivit.

kaavatehtävä

Loogiset algebran funktiot voidaan antaa analyyttisinä lausekkeina.

Määritelmä. Antaa X― muuttujien ja vakioiden aakkoset, joita käytetään logiikan algebrassa, F― kaikkien perusfunktioiden merkintäjoukko ja niiden yleistykset yli 2:n muuttujien lukumäärälle.

Kaava yli X, F(looginen algebran kaava) nimetään kaikki lomakkeen tietueet:

A) X, Missä X X;

b)  F 1 , F 1 &F 2 ,F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1  F 2 , F 1 F 2 ,F 1 F 2 ,F 1 F 2 , Missä F 1 , F 2 ovat kaavat ohi X, F;

V) h(F 1 , … ,F n ), Missä n > 2, F 1 ,… ,F n ovat kaavat ohi X,F, h ― yleisen kynnysfunktion merkintä alkaen F .

Kuten määritelmästä seuraa, binäärisille perusfunktioille käytetään infix-muotoa, jossa funktiosymboli sijoitetaan argumenttien väliin, negatiivisille ja yleistetyille funktioille käytetään etuliitemuotoa, jossa funktiosymboli sijoitetaan argumentin eteen. lista.

Esimerkki 3

1. Ilmaisut X(kloz); ( x, y, z  u) ovat logiikan algebran kaavoja, koska ne täyttävät yllä annetun määritelmän.

2. Ilmaisu  X (klo z) ei ole logiikan algebran kaava, koska operaatiota sovelletaan väärin  .

Määritelmä. Kaavalla F toteutettu funktio, on funktio, joka saadaan korvaamalla muuttujien arvot F. Merkitään se f(F).

Esimerkki 4 Harkitse kaavaa F=hu (Xz). Toteutetun funktion totuustaulukon rakentamiseksi on tarpeen suorittaa peräkkäinen looginen kertolasku ottaen huomioon loogisten konnektioiden vahvuus hu, sitten implikaatio ( Xz), lisää sitten saadut totuusarvot modulo 2. Toimintojen tulos näkyy taulukossa:

Funktioiden kaavaesitys mahdollistaa monien funktioiden ominaisuuksien ennakkoarvioinnin. Siirtyminen kaavatehtävästä totuustaulukkoon voidaan aina suorittaa korvaamalla totuusarvot peräkkäin kaavan sisältämiin perusfunktioihin. Käänteinen siirtymä on moniselitteinen, koska sama funktio voidaan esittää eri kaavoilla. Se vaatii erillistä harkintaa.