Parametrisesti määritellyn käyrän rajoittaman kuvion alueen laskenta. Kuinka laskea kuvion pinta-ala ja kierroskappaleen tilavuus, jos viiva annetaan parametrisesti? Parametrisesti määritellyn funktion alue

Etsitään kappaleen tilavuus, joka syntyy sykloidikaaren pyörimisestä sen pohjan ympäri. Roberval löysi sen murtamalla tuloksena syntyneen munanmuotoisen kappaleen (kuva 5.1) äärettömän ohuiksi kerroksiksi, piirtämällä sylintereitä näihin kerroksiin ja laskemalla niiden tilavuudet yhteen. Todistus on pitkä, työläs eikä täysin tiukka. Siksi käännymme sen laskemiseksi korkeampi matematiikka. Asetetaan sykloidiyhtälö parametrisesti.

Integraalilaskennassa hän käyttää tilavuuksia tutkiessaan seuraavaa huomautusta:

Jos kaarevaa puolisuunnikasta rajoittava käyrä on annettu parametrisillä yhtälöillä ja näiden yhtälöiden funktiot täyttävät lauseen ehdot muuttujan muuttumisesta tietyssä integraalissa, niin puolisuunnikkaan kiertokappaleen tilavuus Ox-akselin ympäri lasketaan kaavalla:

Etsitään tämän kaavan avulla tarvitsemamme tilavuus.

Samalla tavalla laskemme tämän kappaleen pinnan.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - hinta), 0 ? t ? 2р)

Integraalilaskennassa on seuraava kaava kierroskappaleen pinta-alan löytämiseksi segmentille parametrisesti määritetyn käyrän x-akselin ympärillä (t 0 ?t ?t 1):

Soveltamalla tätä kaavaa sykloidiyhtälöihimme, saamme:

Tarkastellaan myös toista pintaa, joka syntyy sykloidikaaren pyörimisestä. Tätä varten rakennamme sykloidikaaresta peiliheijastuksen suhteessa sen pohjaan ja pyöritämme sykloidin ja sen heijastuksen muodostamaa soikeaa hahmoa KT-akselin ympäri (kuva 5.2).

Ensin selvitetään kappaleen tilavuus, joka muodostuu sykloidikaaren pyörimisestä KT-akselin ympäri. Sen tilavuus lasketaan kaavalla (*):

Näin ollen laskemme tämän naurisrungon puolen tilavuuden. Sitten kokonaismäärä on

Ennen kuin siirrymme pyörimispinnan pinta-alan kaavoihin, annamme lyhyen muotoilun itse kierrospinnasta. Kierrospinta tai, mikä on sama, kierroskappaleen pinta on segmentin kiertymisestä muodostuva tilahahmo AB käyrä akselin ympäri Härkä(kuva alla).

Kuvitellaan kaareva puolisuunnikkaan, jota ylhäältä rajoittaa mainittu käyrän segmentti. Runko, joka muodostuu tämän puolisuunnikkaan pyörimisestä saman akselin ympäri Härkä, ja siellä on vallankumous. Ja pyörimispinta-ala tai pyörimiskappaleen pinta on sen ulkokuori, ottamatta huomioon pyörimisen muodostamia ympyröitä linjojen akselin ympäri x = a Ja x = b .

Huomaa, että pyörimiskappale ja vastaavasti sen pinta voidaan muodostaa myös pyörittämällä kuviota ei akselin ympäri Härkä, ja akselin ympäri Oy.

Kierrospinnan pinta-alan laskeminen suorakaiteen muotoisina koordinaatteina

Päästä sisään suorakaiteen muotoiset koordinaatit tasoon yhtälön mukaan y = f(x) on annettu käyrä, jonka pyöriminen koordinaattiakselin ympäri muodostaa kierroskappaleen.

Kaava vallankumouksen pinta-alan laskemiseksi on seuraava:

(1).

Esimerkki 1 Etsi akselin ympäri kiertämällä muodostuneen paraboloidin pinta-ala Härkä muutosta vastaavan paraabelin kaari x alkaen x= 0 - x = a .

Ratkaisu. Ilmaisemme eksplisiittisesti funktion, joka määrittää paraabelin kaaren:

Etsitään tämän funktion johdannainen:

Ennen kuin käytät kaavaa kierrospinnan alueen löytämiseksi, kirjoitetaan sen integrandin osa, joka on juuri ja korvataan sieltä juuri löytämämme derivaatta:

Vastaus: Käyrän kaaren pituus on

.

Esimerkki 2 Etsi pinta-ala, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympäri Härkä astroidit.

Ratkaisu. Riittää, kun lasketaan pinta-ala, joka syntyy astroidin yhden haaran pyörimisestä, joka sijaitsee ensimmäisellä neljänneksellä, ja kerrotaan se kahdella. Astroidiyhtälöstä ilmaistaan ​​eksplisiittisesti funktio, joka meidän on korvattava kaavassa löytääksesi pyörimispinnan:

.

Suoritamme integroinnin 0 - a:

Kierroksen pinta-alan laskeminen parametrisesti

Tarkastellaan tapausta, jossa kierrospinnan muodostava käyrä on annettu parametriyhtälöillä

Sitten kierrospinnan pinta-ala lasketaan kaavalla

(2).

Esimerkki 3 Etsi pyörimispinnan pinta-ala, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympäri Oy kuvio, jota rajoittavat sykloidi ja suora viiva y = a. Sykloidi saadaan parametriyhtälöistä

Ratkaisu. Etsi sykloidin ja suoran leikkauspisteet. Sykloidiyhtälön ja suoran yhtälön yhtälö y = a, löytö

Tästä seuraa, että integraation rajat vastaavat

Nyt voimme soveltaa kaavaa (2). Etsitään johdannaisia:

Kirjoitamme radikaalilausekkeen kaavaan korvaamalla löydetyt johdannaiset:

Etsitään tämän lausekkeen juuri:

.

Korvaa kaavassa (2) löydetty:

.

Tehdään vaihto:

Ja lopulta löydämme

Lausekkeiden muuntamisessa käytettiin trigonometrisiä kaavoja

Vastaus: Kierrospinnan pinta-ala on .

Kierrospinnan pinta-alan laskeminen napakoordinaateina

Olkoon käyrä, jonka pyöriminen muodostaa pinnan, polaarisina koordinaatteina.

Kuten alueen löytämisen ongelmassa, tarvitset varmoja piirustustaitoja - tämä on melkein tärkein asia (koska integraalit ovat usein helppoja). Opi osaava ja nopea tekniikka kaavio voidaan tehdä käyttämällä opetusmateriaaleja ja geometriset graafiset muunnokset. Mutta itse asiassa olen toistuvasti puhunut piirustusten tärkeydestä oppitunnilla.

Yleensä integraalilaskennassa on paljon mielenkiintoisia sovelluksia, kiinteän integraalin avulla voit laskea kuvion alueen, kierroskappaleen tilavuuden, kaaren pituuden, pinta-alan. kierto ja paljon muuta. Joten siitä tulee hauskaa, ole hyvä ja optimistinen!

Kuvittele jokin tasainen kuvio koordinaattitasolla. Edustettu? ... Ihmettelen kuka esitti mitä ... =))) Olemme jo löytäneet sen alueen. Mutta lisäksi tätä lukua voidaan myös kiertää ja kiertää kahdella tavalla:

- abskissa-akselin ympärillä;
- y-akselin ympäri.

Tässä artikkelissa käsitellään molempia tapauksia. Toinen kiertotapa on erityisen mielenkiintoinen, se aiheuttaa eniten hankaluuksia, mutta itse asiassa ratkaisu on lähes sama kuin yleisemmässä x-akselin ympäri kiertämässä. Bonuksena palaan asiaan hahmon alueen löytämisen ongelma, ja kertoa kuinka löytää alue toisella tavalla - akselia pitkin. Ei edes niinkään bonus, vaan materiaali sopii hyvin teemaan.

Aloitetaan suosituimmasta kiertotyypistä.

litteä hahmo akselin ympäri

Esimerkki 1

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä viivojen rajoittamaa kuvaa akselin ympäri.

Ratkaisu: Kuten alueongelmassa, ratkaisu alkaa litteän hahmon piirtämisestä. Toisin sanoen tasolle on tarpeen rakentaa kuvio, jota rajoittavat viivat , unohtamatta, että yhtälö määrittelee akselin . Sivuilta löytyy kuinka tehdä piirustus järkevämmin ja nopeammin Perusfunktioiden kaaviot ja ominaisuudet Ja Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala. Tämä on kiinalainen muistutus, enkä lopeta tähän kohtaan.

Piirustus tässä on melko yksinkertainen:

Haluttu litteä figuuri on varjostettu sinisellä ja juuri tämä hahmo pyörii akselin ympäri, pyörityksen tuloksena saadaan sellainen hieman munamainen lentävä lautanen, joka on symmetrinen akselin suhteen. Itse asiassa keholla on matemaattinen nimi, mutta se on liian laiska määrittelemään jotain viitekirjassa, joten siirrymme eteenpäin.

Kuinka laskea kierroskappaleen tilavuus?

Kierroskappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla:

Kaavassa tulee olla luku ennen integraalia. Se vain tapahtui - kaikki mikä elämässä pyörii, liittyy tähän vakioon.

Miten integroinnin "a" ja "be" rajat asetetaan, on mielestäni helppo arvata valmiista piirroksesta.

Toiminto... mikä tämä toiminto on? Katsotaanpa piirustusta. Tasaista kuvaa rajoittaa paraabelikuvaaja ylhäältä. Tämä on funktio, joka sisältyy kaavaan.

SISÄÄN käytännön tehtäviä litteä hahmo voi joskus sijaita akselin alapuolella. Tämä ei muuta mitään - kaavan integrandi on neliö: , siis integraali on aina ei-negatiivinen, mikä on varsin loogista.

Laske pyörimiskappaleen tilavuus käyttämällä tätä kaavaa:

Kuten jo totesin, integraali osoittautuu melkein aina yksinkertaiseksi, tärkeintä on olla varovainen.

Vastaus:

Vastauksessa on ilmoitettava mitat - kuutioyksiköt. Eli pyörimiskappaleessamme on noin 3,35 "kuutiota". Miksi juuri kuutio yksiköitä? Koska yleisin muotoilu. Saattaa olla kuutiosenttiä, voi olla kuutiometriä, voi olla kuutiokilometriä jne., niin monta pientä vihreää miehiä mielikuvituksesi mahtuu lentävään lautaseen.

Esimerkki 2

Selvitä kappaleen tilavuus, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympärillä, jota rajoittavat viivat , ,

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Tarkastellaan kahta monimutkaisempaa ongelmaa, joita myös usein kohdataan käytännössä.

Esimerkki 3

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä kuvion abskissa-akselin ympäri, jota rajoittavat viivat , ja

Ratkaisu: Piirrä piirustukseen litteä kuvio, jota rajoittavat viivat , , , , unohtamatta, että yhtälö määrittää akselin:

Haluttu hahmo on varjostettu sinisellä. Kun se pyörii akselin ympäri, saadaan sellainen surrealistinen munkki, jossa on neljä kulmaa.

Kierroskappaleen tilavuus lasketaan seuraavasti kehon tilavuuden ero.

Katsotaanpa ensin punaisella ympyröityä kuvaa. Kun se pyörii akselin ympäri, saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämän katkaistun kartion tilavuus muodossa .

Harkitse kuviota, joka on ympyröity vihreässä. Jos käännät tätä lukua akselin ympäri, saat myös katkaistun kartion, vain hieman pienemmän. Merkitään sen tilavuus .

Ja ilmeisestikin tilavuusero on täsmälleen "donitsimme" tilavuus.

Käytämme vakiokaavaa kierroskappaleen tilavuuden selvittämiseen:

1) Punaisella ympyröityä kuvaa ylhäältä rajoittaa suora viiva, joten:

2) Vihreällä ympyröityä kuvaa ylhäältä rajoittaa suora viiva, joten:

3) Halutun kierrosluvun tilavuus:

Vastaus:

On uteliasta, että tässä tapauksessa ratkaisu voidaan tarkistaa käyttämällä koulukaavaa katkaistun kartion tilavuuden laskemiseksi.

Itse päätös tehdään usein lyhyemmäksi, vaikkapa näin:

Otetaan nyt tauko ja puhutaan geometrisista illuusioista.

Ihmisillä on usein volyymiin liittyviä illuusioita, jotka Perelman (toinen) huomasi kirjassa Mielenkiintoinen geometria. Katso litteää kuvaa ratkaistussa ongelmassa - se näyttää olevan pieni pinta-ala ja kierrosluvun tilavuus on hieman yli 50 kuutioyksikköä, mikä näyttää liian suurelta. Muuten, keskivertoihminen juo koko elämänsä aikana nestettä, jonka tilavuus on 18 neliömetriä, mikä päinvastoin näyttää olevan liian pieni tilavuus.

Yleisesti ottaen koulutusjärjestelmä Neuvostoliitossa oli todella paras. Sama Perelmanin vuonna 1950 julkaistu kirja kehittää erittäin hyvin, kuten humoristi sanoi, päättelyä ja opettaa etsimään alkuperäisiä epätyypillisiä ratkaisuja ongelmiin. Äskettäin luin uudelleen joitain lukuja suurella mielenkiinnolla, suosittelen sitä, se on myös humanitaaristen saatavilla. Ei, sinun ei tarvitse hymyillä, että ehdotin bespontovea ajanvietettä, eruditio ja laaja näkemys kommunikaatiosta on hieno asia.

Lyyrisen poikkeaman jälkeen on vain sopivaa ratkaista luova tehtävä:

Esimerkki 4

Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympäri litteän kuvion rajaaman viivojen , , jossa .

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Huomaa, että bändissä tapahtuu kaikkea, toisin sanoen valmiit integraatiorajat ovat itse asiassa annettuja. Suunnittele grafiikka oikein trigonometriset funktiot, muista oppitunnin materiaali graafien geometriset muunnokset: jos argumentti on jaollinen kahdella: , kaavioita venytetään akselia pitkin kahdesti. On toivottavaa löytää vähintään 3-4 pistettä trigonometristen taulukoiden mukaan täydentääksesi piirustuksen tarkemmin. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Muuten, tehtävä voidaan ratkaista järkevästi eikä kovin järkevästi.

Pyörimällä muodostuvan kappaleen tilavuuden laskeminen
litteä hahmo akselin ympäri

Toinen kappale on vielä mielenkiintoisempi kuin ensimmäinen. Myös y-akselin ympäri kiertävän kappaleen tilavuuden laskeminen on melko yleinen vieras valvoa työtä. Ohessa huomioidaan ongelma hahmon alueen löytämisessä toinen tapa - integrointi akselia pitkin, tämän avulla voit paitsi parantaa taitojasi, myös opettaa sinua löytämään kannattavin ratkaisu. Sillä on myös käytännön merkitys! Kuten matematiikan opetusmenetelmien opettajani hymyillen muisteli, monet valmistuneet kiittivät häntä sanoilla: "Aineenne auttoi meitä paljon, nyt olemme tehokkaita johtajia ja ohjaamme henkilökuntaamme optimaalisesti." Käytän tätä tilaisuutta hyväkseni, ilmaisen hänelle myös suuren kiitokseni, varsinkin kun käytän hankittua tietoa aiottuun tarkoitukseen =).

Suosittelen sitä kaikkien luettavaksi, jopa täydellisille nukkeille. Lisäksi toisen kappaleen assimiloitu materiaali on korvaamaton apu kaksoisintegraalien laskennassa.

Esimerkki 5

Annettu litteä figuuri viivojen rajaama , , .

1) Etsi näiden viivojen rajaama tasaisen hahmon pinta-ala.
2) Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä näiden viivojen rajoittamaa litteää kuviota akselin ympäri.

Huomio! Vaikka haluat lukea vain toisen kappaleen, ensin Välttämättä lue ensimmäinen!

Ratkaisu: Tehtävä koostuu kahdesta osasta. Aloitetaan neliöstä.

1) Suoritetaan piirustus:

On helppo nähdä, että funktio määrittelee paraabelin ylemmän haaran ja funktio määrittelee paraabelin alahaaran. Edessämme on triviaali paraabeli, joka "makaa kyljellään".

Haluttu hahmo, jonka alue on löydettävä, on varjostettu sinisellä.

Kuinka löytää hahmon pinta-ala? Se löytyy "tavanomaisella" tavalla, jota käsiteltiin oppitunnilla. Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala. Lisäksi luvun pinta-ala löytyy alueiden summana:
- segmentillä ;
- segmentillä.

Siksi:

Mitä vikaa tavallisessa ratkaisussa on tässä tapauksessa? Ensinnäkin on kaksi integraalia. Toiseksi juuret integraalien alla ja juuret integraaleissa eivät ole lahja, ja lisäksi voi hämmentyä integraation rajojen korvaamisessa. Itse asiassa integraalit eivät tietenkään ole tappavia, mutta käytännössä kaikki on paljon surullisempaa, otin vain "parempia" toimintoja tehtävään.

On olemassa järkevämpi ratkaisu: se koostuu siirtymisestä käänteiset funktiot ja integrointi akselia pitkin.

Kuinka siirtyä käänteisfunktioihin? Karkeasti sanottuna sinun on ilmaistava "x" - "y". Ensin käsitellään paraabelia:

Tämä riittää, mutta varmistetaan, että sama funktio voidaan johtaa alahaaraan:

Suoralla viivalla kaikki on helpompaa:

Katso nyt akselia: kallista päätäsi säännöllisesti 90 astetta oikealle selittäessäsi (tämä ei ole vitsi!). Tarvittava luku sijaitsee segmentillä, joka on merkitty punaisella katkoviivalla. Lisäksi segmentillä suora sijaitsee paraabelin yläpuolella, mikä tarkoittaa, että hahmon pinta-ala on löydettävä sinulle jo tutulla kaavalla: . Mikä kaavassa on muuttunut? Vain kirje, ei mitään muuta.

! Huomautus: Integrointirajat akselia pitkin tulee asettaa tiukasti alhaalta ylös!

Alueen löytäminen:

Segmentillä siis:

Huomaa, kuinka tein integroinnin, tämä on eniten järkevä tapa, ja tehtävän seuraavassa kappaleessa selviää miksi.

Lukijoille, jotka epäilevät integroinnin oikeellisuutta, löydän johdannaisia:

Alkuperäinen integrandi saadaan, mikä tarkoittaa, että integrointi suoritetaan oikein.

Vastaus:

2) Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu tämän kuvion pyörimisestä akselin ympäri.

Piirrän piirustuksen uudelleen hieman eri malliin:

Joten sinisellä varjostettu kuva pyörii akselin ympäri. Tuloksena on "leikuva perhonen", joka pyörii akselinsa ympäri.

Kierroskappaleen tilavuuden löytämiseksi integroimme akselia pitkin. Ensin meidän on siirryttävä käänteisfunktioihin. Tämä on jo tehty ja kuvattu yksityiskohtaisesti edellisessä kappaleessa.

Nyt kallistamme päämme jälleen oikealle ja tutkimme vartaloamme. Ilmeisesti kierroskappaleen tilavuus pitäisi löytää tilavuuksien erona.

Kierrämme punaisella ympyröityä kuvaa akselin ympäri, jolloin saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämä tilavuus .

Pyöritämme vihreällä ympyröityä kuvaa akselin ympäri ja merkitsemme sitä tuloksena olevan kierroskappaleen tilavuuden läpi.

Perhosemme tilavuus on yhtä suuri kuin tilavuusero.

Käytämme kaavaa löytääksemme kierroskappaleen tilavuuden:

Miten se eroaa edellisen kappaleen kaavasta? Vain kirjaimin.

Ja tässä on integraation etu, josta puhuin jokin aika sitten, se on paljon helpompi löytää kuin valmiiksi pystytettynä integrand 4 asteeseen asti.

Vastaus:

Kuitenkin sairas perhonen.

Huomaa, että jos samaa litteää hahmoa kierretään akselin ympäri, syntyy täysin erilainen kierrosluku, jonka tilavuus on luonnollisesti erilainen.

Esimerkki 6

Annettu tasainen kuvio, jota rajoittavat viivat ja akseli .

1) Siirry käänteisfunktioihin ja etsi näiden viivojen rajaama litteän hahmon alue integroimalla muuttujan yli.
2) Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä näiden viivojen rajoittamaa litteää hahmoa akselin ympäri.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Halukkaat voivat myös löytää hahmon alueen "tavanomaisella" tavalla ja suorittaa siten kohdan 1) testin. Mutta jos, toistan, pyörität litteää hahmoa akselin ympäri, saat täysin erilaisen kiertokappaleen eri tilavuudella, muuten, oikean vastauksen (myös niille, jotka haluavat ratkaista).

Tehtävän kahden ehdotetun kohdan täydellinen ratkaisu oppitunnin lopussa.

Voi, ja älä unohda kallistaa päätäsi oikealle ymmärtääksesi rotaatiokappaleita ja integraation sisällä!

Luennot 8. Määrällisen integraalin sovellukset.

Integraalin soveltaminen fysikaalisiin ongelmiin perustuu integraalin joukon additiivisuuden ominaisuuteen. Siksi integraalin avulla voidaan laskea sellaiset suuret, jotka ovat itse joukossa additiivisia. Esimerkiksi kuvion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen osien pinta-alojen summa. Kaaren pituudella, pinta-alalla, kappaleen tilavuudella ja kappaleen massalla on sama ominaisuus. Siksi kaikki nämä suuret voidaan laskea käyttämällä tiettyä integraalia.

On kaksi tapaa ratkaista ongelmia: integraalisummien menetelmä ja differentiaalien menetelmä.

Integraalisummien menetelmä toistaa määrätyn integraalin rakentamisen: muodostetaan osio, merkitään pisteet, lasketaan niihin funktio, lasketaan integraalisumma ja suoritetaan ylitys rajaan. Tässä menetelmässä suurin vaikeus on todistaa, että rajalla saadaan juuri se, mitä ongelmassa tarvitaan.

Differentiaalien menetelmää käytetään epämääräinen integraali ja Newton-Leibnizin kaava. Määritettävän arvon ero lasketaan ja tämän erotuksen integroimalla saadaan tarvittava arvo Newton-Leibnizin kaavalla. Tässä menetelmässä suurin vaikeus on todistaa, että halutun arvon ero lasketaan, ei jotain muuta.

Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen.

1. Kuva on rajoitettu kohdassa määritellyn funktion kuvaajaan Karteesinen järjestelmä koordinaatit.

Olemme päässeet alueongelmasta käsitteeseen määrätty integraali kaareva trapetsi(itse asiassa integraalisummien menetelmää käyttäen). Jos funktio hyväksyy vain ei negatiiviset arvot, niin janan funktion kaavion alla oleva pinta-ala voidaan laskea käyttämällä määrättyä integraalia. huomaa, että joten tässä voit nähdä differentiaalien menetelmän.

Mutta funktio voi myös ottaa negatiivisia arvoja tietyllä segmentillä, niin tämän segmentin integraali antaa negatiivisen alueen, mikä on ristiriidassa alueen määritelmän kanssa.

Voit laskea alueen kaavan avullaS=. Tämä vastaa funktion etumerkin muuttamista niillä alueilla, joilla se saa negatiivisia arvoja.

Jos sinun on laskettava funktion kuvaajalla ylhäältä ja alhaalta funktion kuvaajalla rajatun kuvan pinta-ala, niin voit käyttää kaavaaS= , koska .

Esimerkki. Laske suorien x=0, x=2 ja funktioiden y=x 2, y=x 3 kuvaajien rajaama kuvion pinta-ala.

Huomaa, että välillä (0,1) epäyhtälö x 2 > x 3 ja x >1 epäyhtälö x 3 > x 2 täyttyy. Siksi

2. Kuva on rajoitettu kohdassa määritellyn funktion kuvaajaan napajärjestelmä koordinaatit.

Olkoon funktion kuvaaja annettu napakoordinaatistossa ja haluamme laskea kahden säteen rajoittaman kaarevan sektorin alueen ja funktion kaavion napakoordinaatistossa.

Tässä voit käyttää integraalisummien menetelmää laskemalla kaarevan sektorin pinta-alan rajana alkeissektorien pinta-alojen summalle, joissa funktion kuvaaja korvataan ympyrän kaarella .

Voit myös käyttää differentiaalimenetelmää: .

Voit perustella näin. Korvaamalla keskikulmaa vastaavan kaarevan sektorin pyöreällä sektorilla saadaan suhde . Täältä . Integroimalla ja käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa saamme .

Esimerkki. Laske ympyrän pinta-ala (tarkista kaava). Me uskomme . Ympyrän pinta-ala on .

Esimerkki. Laske kardioidin rajaama alue .

3 Kuva on rajoitettu parametrisesti määritellyn funktion kuvaajaan.

Funktio voidaan määrittää parametrisesti muodossa . Käytämme kaavaa S= , korvaamalla siihen integroinnin rajat suhteessa uuteen muuttujaan . . Yleensä integraalia laskettaessa erotetaan ne alueet, joissa integrandilla on tietty etumerkki ja vastaava alue jollakin merkillä otetaan huomioon.

Esimerkki. Laske ellipsin ympäröimä pinta-ala.

Ellipsin symmetrian avulla laskemme ellipsin neljänneksen pinta-alan, joka sijaitsee ensimmäisessä kvadrantissa. tässä kvadrantissa. Siksi .

Kappaleiden tilavuuksien laskeminen.

1. Kappaleiden tilavuuksien laskeminen yhdensuuntaisten poikkileikkausten pinta-aloista.

Olkoon tarpeen laskea jonkin kappaleen V tilavuus tämän kappaleen osien tunnetuista alueista tasoilla, jotka ovat kohtisuorassa janan OX minkä tahansa pisteen x läpi vedetyn suoraa OX vastaan.

Käytämme differentiaalien menetelmää. Kun otetaan huomioon alkeistilavuus , segmentin yläpuolella oikeanpuoleisen pyöreän sylinterin tilavuudeksi , jonka pinta - ala ja korkeus , saadaan . Integroimalla ja soveltamalla Newton-Leibnizin kaavaa saamme

2. Kierroskappaleiden tilavuuksien laskeminen.

Olkoon se vaadittu laskemaan HÄRKÄ.

Sitten .

Samoin akselin ympäri kiertävän kappaleen tilavuusOY, jos funktio on annettu muodossa , voidaan laskea kaavalla .

Jos funktio on annettu muodossa ja sen on määritettävä pyörimiskappaleen tilavuus akselin ympäriOY, niin kaava tilavuuden laskemiseksi voidaan saada seuraavalla tavalla.

Siirtyen differentiaaliin ja jättäen huomiotta neliölliset termit, meillä on . Integroimalla ja soveltamalla Newton-Leibnizin kaavaa meillä on .

Esimerkki. Laske pallon tilavuus.

Esimerkki. Laske oikeanpuoleisen ympyränmuotoisen kartion tilavuus, jota rajaavat pinta ja taso.

Lasketaan tilavuus kiertokappaleen tilavuudeksi, joka muodostuu pyörittämällä OZ-akselin ympäri OXZ-tasossa suorakulmaista kolmiota, jonka haarat ovat OZ-akselilla ja linjalla z \u003d H, ja hypotenuusa on linjalla.

Ilmaisemalla x:n z:llä saamme .

Kaaren pituuden laskeminen.

Saadaksemme kaavoja kaaren pituuden laskemiseen, muistetaan 1. lukukaudella johdetut kaavat kaaren pituuden differentiaalille.

Jos kaari on jatkuvasti differentioituvan funktion kuvaaja, kaaren pituusero voidaan laskea kaavalla

. Siksi

Jos tasainen kaari on määritetty parametrisesti, Tuo

. Siksi .

Jos kaari on napakoordinaateissa, Tuo

. Siksi .

Esimerkki. Laske funktiokaavion kaaren pituus, . .

Kun tajusimme geometrinen merkitys määrätty integraali, meillä on kaava, jolla voit löytää kaarevan puolisuunnikkaan alueen, jota rajoittaa x-akseli, suorat viivat x=a, x=b, sekä jatkuva (ei-negatiivinen tai ei-positiivinen) funktio y = f(x) . Joskus on kätevämpää asettaa kuviota rajoittava funktio parametriseen muotoon, ts. ilmaista toiminnallinen riippuvuus t-parametrin kautta. Tämän materiaalin puitteissa näytämme, kuinka voit löytää kuvion alueen, jos sitä rajoittaa parametrisesti annettu käyrä.

Teorian selittämisen ja kaavan johtamisen jälkeen analysoimme useita tyypillisiä esimerkkejä tällaisten kuvioiden alueen löytämiseksi.

Laskennan peruskaava

Oletetaan, että meillä on kaareva puolisuunnikas, jonka rajat ovat suorat x = a, x = b, akseli O x ja parametrisesti määritelty käyrä x = φ (t) y = ψ (t) sekä funktiot x = φ (t) ja y = ψ (t) ovat jatkuvia välillä α ; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Määritelmä 1

Puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi tällaisissa olosuhteissa sinun on käytettävä kaavaa S (G) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t .

Johdimme sen kaavasta kaarevasta puolisuunnikkaan pinta-alasta S (G) = ∫ a b f (x) d x käyttämällä x = φ (t) y = ψ (t) substituutiomenetelmää:

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Määritelmä 2

Kun otetaan huomioon funktion x = φ (t) monotoninen väheneminen välillä β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Jos funktio x = φ (t) ei kuulu perusalkeisiin, niin meidän on muistettava perussäännöt funktion suurentamisesta ja pienentämisestä välissä, jotta voimme määrittää, onko se kasvava vai laskeva.

Tässä kappaleessa analysoimme useita edellä johdetun kaavan soveltamiseen liittyviä ongelmia.

Esimerkki 1

Kunto: etsi muodon x = 2 cos t y = 3 sin t yhtälöiden antaman suoran muodostaman kuvan pinta-ala.

Ratkaisu

Meillä on parametrisesti määritelty viiva. Graafisesti se voidaan esittää ellipsinä, jossa on kaksi puoliakselia 2 ja 3 . Katso kuva:

Yritetään löytää tuloksena olevan kuvion alue 1 4, joka sijaitsee ensimmäisen neljänneksen. Alue on välissä x ∈ a ; b = 0 2. Seuraavaksi kerrotaan saatu arvo 4:llä ja etsitään koko kuvion pinta-ala.

Tässä on laskelmiemme kulku:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b β = 2 cos 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Kun k on 0, saadaan väli β; a = 0; π2. Funktio x = φ (t) = 2 cos t pienenee siinä monotonisesti (katso lisätietoa perusfunktioita ja niiden ominaisuuksia käsittelevästä artikkelista). Joten voit soveltaa pinta-alakaavaa ja löytää varman integraalin käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 2 \u003d 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 \u003d 3 π 2

Tämä tarkoittaa, että alkuperäisen käyrän antaman kuvan pinta-ala on yhtä suuri kuin S (G) \u003d 4 3 π 2 \u003d 6 π.

Vastaus: S (G) = 6 π

Selvennetään, että yllä olevaa ongelmaa ratkaistaessa oli mahdollista ottaa paitsi neljännes ellipsistä, myös sen puolisko - ylempi tai alempi. Yksi puolisko sijoittuu väliin x ∈ a ; b = -2; 2. Tässä tapauksessa meillä olisi:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ ( β ) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Siten, kun k on yhtä suuri kuin 0 , saamme β ; a = 0; π . Funktio x = φ (t) = 2 cos t pienenee monotonisesti tällä aikavälillä.

Sen jälkeen laskemme ellipsin puolen alueen:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

On tärkeää huomata, että voit ottaa vain ylä- tai alaosan, et oikeaa tai vasenta.

Voidaan koota parametrinen yhtälö annettu ellipsi, jonka keskipiste sijaitsee origossa. Se näyttää tältä x = a cos t y = b sin t . Toimimalla samalla tavalla kuin yllä olevassa esimerkissä, saamme kaavan ellipsin S e l ja p alueen laskemiseksi \u003d πab:lla.

Voit määrittää ympyrän, jonka keskipiste sijaitsee origossa, käyttämällä yhtälöä x = R cos t y = R sin t , jossa t on parametri ja R on annetun ympyrän säde. Jos käytämme välittömästi ellipsin pinta-alan kaavaa, saamme kaavan, jolla voimme laskea ympyrän alueen, jonka säde on R: S pyöreä a = πR 2.

Tarkastellaanpa vielä yhtä ongelmaa.

Esimerkki 2

Kunto: selvitä mikä on parametrisesti annetun käyrän x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t rajoittaman kuvion pinta-ala.

Ratkaisu

Selvennetään heti, että tämä käyrä on pitkänomainen astroidi. Yleensä astroidi ilmaistaan ​​yhtälöllä, jonka muoto on x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

Nyt analysoimme yksityiskohtaisesti, kuinka tällainen käyrä rakennetaan. Rakennetaan erillisistä kohdista. Tämä on yleisin menetelmä ja soveltuu useimpiin tehtäviin. Lisää monimutkaisia ​​esimerkkejä vaatia differentiaalilaskua parametrisesti annetun funktion paljastamiseksi.

Meillä on x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t.

Nämä funktiot on määritelty kaikille t:n todellisille arvoille. Sinin ja cosin osalta tiedetään, että ne ovat jaksollisia ja niiden jakso on 2 pi. Laskemalla funktioiden arvot x = φ (t) = 3 cos 3 t , y = ψ (t) = 2 sin 3 t jollekin t = t 0 ∈ 0 ; 2ππ8, π4, 3π8, π2, . . . , 15 π 8 , saamme pisteet x 0 ; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)).

Tehdään taulukko kokonaisarvoista:

Merkitse sen jälkeen halutut pisteet tasoon ja yhdistä ne yhdellä viivalla.

Nyt meidän on löydettävä kuvion sen osan alue, joka on ensimmäisessä koordinaattineljänneksessä. Hänen x ∈ a ; b = 0 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk Z, k ∈

Jos k on 0, saadaan väli β; a = 0; π 2 , ja funktio x = φ (t) = 3 cos 3 t pienenee monotonisesti siinä. Otetaan nyt pinta-alakaava ja lasketaan:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) 108 d t = 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Saimme kiinteät integraalit, joka voidaan laskea käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa. Tämän kaavan primitiivit löytyvät käyttämällä rekursiivista kaavaa J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , missä J n (x) = ∫ sin n x d x .

∫ sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos 3 t 4 - 3 kustannukset sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 kustannukset sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π ∫ sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 0 6 ∫ π 5 t 2 6 3 π 16 = 15 π 96

Olemme laskeneet alueen neljänneksen luvusta. Se on yhtä suuri kuin 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Jos kerromme tämän arvon 4:llä, saadaan koko kuvion pinta-ala - 9 π 4.

Täsmälleen samalla tavalla voimme todistaa, että yhtälöiden x \u200b\u003d a cos 3 t y \u003d a sin 3 t antama astroidin pinta-ala löytyy kaavasta , jota viiva rajoittaa x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , lasketaan kaavalla S = 3 πab 8 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter