Eksponentiaalisten ja logaritmien lausekkeiden identtiset muunnokset. Logaritmiset lausekkeet. esimerkkejä! Logaritmisten lausekkeiden identtiset muunnokset vaihtoehto 8

Esimerkki 1 . Laskea:

Jokaisen lausekkeen vieressä on identiteetti, jonka sykleissä ehdotetut tehtävät voivat olla läsnä. Näiden tehtävien tarkoituksena on hallita tietueiden ominaisuudet, mukaan lukien uusien operaatioiden ja toimintojen symbolit, sekä kehittää matemaattista puhetaitoa.

Merkittävä osa alkeisfunktioihin liittyvien identiteettimuunnosten käytöstä kuuluu irrationaalisten ja transsendenttisten yhtälöiden ratkaisuun. Identiteettien assimilaatioon liittyvät syklit sisältävät vain eniten yksinkertaiset yhtälöt, mutta jo täällä on suositeltavaa tehdä työtä tällaisten yhtälöiden ratkaisumenetelmän hallitsemiseksi: pienentämällä se korvaamalla tuntematon algebrallinen yhtälö.

Tämän ratkaisun vaiheiden järjestys on seuraava:

a) Etsi funktio

b) tehdä vaihto

c) ratkaise jokainen yhtälö

Kuvattua menetelmää käytettäessä vaihe b) suoritetaan usein implisiittisesti ilman merkintää varten

Esimerkki 2 . ratkaise yhtälö

Ensimmäinen tapa:

Toinen tapa:

Tästä voidaan nähdä, että vaihe a) on vaikeampi ensimmäisessä menetelmässä kuin toisessa. Ensimmäinen tapa on "vaikeampi aloittaa", vaikka ratkaisun jatkokulku on paljon helpompi. Toisaalta toisella menetelmällä on etuja, jotka koostuvat suuremmasta helppoudesta ja hienostuneemmasta opetuksessa pelkistystä algebralliseen yhtälöön.

varten koulun kurssi tyypillisiä ovat algebratehtävät, joissa siirtyminen algebralliseen yhtälöön on vielä helpompaa kuin tässä esimerkissä. Tällaisten tehtävien päätaakka liittyy vaiheen c) valintaan itsenäiseksi osaksi ratkaisuprosessia, joka liittyy tutkittavan alkeisfunktion ominaisuuksien käyttöön.

Esimerkki 3 . Ratkaise yhtälö:

Nämä yhtälöt pelkistetään yhtälöiksi: a)

Siten tulemme tehtävien luokitteluun sykleissä, jotka liittyvät transsendenttisten yhtälöiden ratkaisuun, mukaan lukien eksponentiaalinen funktio:

1) yhtälöt muodon yhtälöiksi

2) yhtälöt, jotka pelkistyvät yhtälöiksi

3) yhtälöt, jotka pelkistyvät yhtälöiksi

Samanlaisia ​​tehtäviä voidaan luokitella muille perusfunktioille.

Merkittävä osa algebran ja algebran kursseilla opituista identiteeteistä ja analyysin aluista on niissä todistettu tai ainakin selitetty. Tämä identiteettitutkimuksen puoli on hyvin tärkeä molemmille kursseille, koska demonstratiivinen päättely niillä suoritetaan mitä suurimmalla selkeydellä ja tarkkuudella juuri suhteessa identiteettiin. Tämän materiaalin ulkopuolella todisteet ovat yleensä vähemmän täydellisiä, niitä ei aina eroteta käytettyjen perustelukeinojen koostumuksesta.

Aritmeettisten operaatioiden ominaisuuksia käytetään tukena, jolle identiteetin todisteet rakennetaan.

Laskelmien ja identtisten muunnosten kasvatuksellinen vaikutus voidaan suunnata loogisen ajattelun kehittämiseen, jos vain opiskelijalta vaaditaan systemaattisesti perustelemaan laskelmia ja identtisiä muunnoksia, toiminnallisen ajattelun kehittämiseen, joka saavutetaan eri tavoin. Laskelmien ja identtisten muutosten merkitys tahdon, muistin, kekseliäisyyden, itsehillinnän ja luovan oma-aloitteisuuden kehittymisessä on ilmeinen.

Toiveet arjen, teollisen laskennan harjoittamiseen edellyttävät opiskelijoilta vahvan, automatisoidun rationaalisen laskennan ja identtisten muunnostaitojen muodostumista. Näitä taitoja kehitetään missä tahansa laskennallisessa työssä, mutta nopeissa laskelmissa ja muunnoksissa tarvitaan erityisharjoituksia.

Joten, jos oppitunti sisältää logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisen logaritmisen perusidentiteetin avulla

Identiteetin ja identtisen muunnoksen käsitteet esitellään eksplisiittisesti luokan VI algebran kurssilla. Itse identtisten lausekkeiden määritelmää ei voida käytännössä käyttää kahden lausekkeen identiteetin todistamiseen ja sen ymmärtämiseen, että identtisten muunnosten ydin on soveltaa lausekkeeseen niiden toimien määritelmiä ja ominaisuuksia, jotka on osoitettu lausekkeessa, tai lisätä sille lauseke, joka on identtisesti yhtä suuri kuin 0, tai kertomalla se lausekkeella, joka on identtisesti yhtä suuri kuin yksi. Mutta vaikka nämä säännökset hallittaisiinkin, opiskelijat eivät usein ymmärrä, miksi nämä muunnokset antavat meille mahdollisuuden väittää, että alkuperäinen ja tuloksena oleva ilmaisu ovat identtisiä, ts. ota samat arvot mille tahansa muuttujaarvojärjestelmälle (joukkoon).

On myös tärkeää varmistaa, että opiskelijat ymmärtävät hyvin, että tällaiset identtisten muunnosten johtopäätökset ovat seurauksia vastaavien toimintojen määritelmistä ja ominaisuuksista.

Aiempina vuosina kertynyttä identtisten muunnosten koneistoa laajennetaan 6. luokalla. Tämä laajennus alkaa identiteetin käyttöönotolla, joka ilmaisee valtuuksien tuotteen ominaisuuden samalla pohjalla:

Tutkinnon käsite järkevä indikaattori. Irrationaalisten yhtälöiden ratkaisu. Eksponentiaalinen funktio, sen ominaisuudet ja kuvaaja. eksponentiaalisten lausekkeiden identtiset muunnokset. Eksponentiaalisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisu. Luvun logaritmi. Logaritmien perusominaisuudet. Logaritminen funktio, sen ominaisuudet ja kuvaaja. Logaritmisen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisu. Eksponentiaalifunktion johdannainen. Luku ja luonnollinen logaritmi. Tehofunktion johdannainen.

Eksponentiaalisia ja logaritmisia funktioita käsittelevän osan päätarkoituksena on perehdyttää opiskelijat eksponentiaali-, logaritmis- ja potenssifunktioihin; opettaa opiskelijoita ratkaisemaan eksponentiaalisia ja logaritmisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä.

Käsitteet th asteen juuri ja aste rationaalisen eksponentin kanssa ovat yleistys käsitteistä neliöjuuri ja aste kokonaislukueksponentilla. Opiskelijoiden tulee kiinnittää huomiota siihen, että tässä tarkastellun rationaalisen eksponentin mukaisten juurien ja asteiden ominaisuudet ovat samanlaisia ​​kuin aiemmin tutkitut ominaisuudet. neliöjuuret ja asteet kokonaislukueksponenteilla. On tarpeen käyttää riittävästi aikaa asteiden ominaisuuksien selvittämiseen ja taitojen muodostumiseen identtisiä muunnoksia varten. Asteen käsite irrationaalisella eksponentilla esitellään visuaalisesti intuitiivisesti. Tällä materiaalilla on apurooli, ja sitä käytetään eksponentiaalifunktion käyttöönotossa.

Eksponentiaali-, logaritmis- ja potenssifunktioiden ominaisuuksien tutkimus on rakennettu hyväksytyn yleisen funktioiden tutkimisen kaavion mukaisesti. Tässä tapauksessa ominaisuuksista annetaan yleiskuva parametriarvoista riippuen. Eksponentiaaliset ja logaritmiset epäyhtälöt ratkaistaan ​​tutkittujen funktioiden ominaisuuksien perusteella.

Kurssille on ominaista opiskelijoiden tiedon systematisointi ja yleistäminen, algebra-kurssilla hankittujen taitojen ja kykyjen lujittaminen ja kehittäminen, jota tehdään sekä uutta materiaalia opiskellessa että yleistävässä toistossa.

AVOIN ALGEBRA 11 "b"-LUOKASSA

TUNNIN AIHE

« LAUMAMUUNNOS,

SISÄLTÄÄ LOGARITMEJA"

Oppitunnin tavoitteet:

toista luvun logaritmin määritelmä, logaritminen perusidentiteetti;

vahvistaa logaritmien perusominaisuudet;

parantaa käytännöllinen suuntautuminen tämä aihe UNT:n korkealaatuiseen valmisteluun;

edistää materiaalin kiinteää assimilaatiota;

edistää opiskelijoiden itsehillintätaitojen kehittymistä.

Oppitunnin tyyppi: yhdistettynä interaktiivisen testin käyttöön.

Varusteet: projektori, valkokangas, julisteet tehtävissä, vastauslehti.

Tuntisuunnitelma:

Ajan järjestäminen.

Tiedon päivitys.

Interaktiivinen testi.

"Turnaus logaritmeilla"

Oppikirjaongelmien ratkaiseminen.

Yhteenveto. Täytä vastauslomake.

Arvostelu.

Tuntien aikana

1. Organisatorinen hetki.

2. Oppitunnin tavoitteiden määrittäminen.

Hei kaverit! Tänään meillä on epätavallinen oppitunti, oppitunti on peli, jota pelaamme turnauksen muodossa logaritmeilla.

Aloitetaan oppitunti interaktiivisella testillä.

3. Interaktiivinen testi:

4. Turnaus logaritmeilla:

Logaritmin määritelmä.

Logaritmiset identiteetit:

Yksinkertaistaa:

Etsi lausekkeen arvo:

Logaritmien ominaisuudet .

Muunnos:

Työskentele oppikirjan kanssa.

Yhteenveto.

Oppilaat täyttävät vastauslomakkeen itse.

Anna jokaisesta vastauksesta pisteet.

Arvostelu. Kotitehtävät. Liite 1.

Tänään syöksyit logaritmiin,

Ne on laskettava tarkasti.

Kokeessa tietysti tapaat heidät,

Ei muuta kuin toivottamaan menestystä!

minä vaihtoehto

a) 9 ½ =3; b) 7 0 =1.

A)Hirsi8 = 6; b)Hirsi9=-2.

a) 1.7 Hirsi 1,7 2 ; b) 2 Hirsi 2 5 .

4. Laske:

A) lg8+lg125;

b) Hirsi 2 7 loki 2 7/16

V)Hirsi 3 16/loki 3 4.

II vaihtoehto

1. Etsi logaritmi luvun a kantaan a, joka esitetään potenssina kantaluvulla a:

a) 32 1/5 =2; b) 3 -1 =1/3.

2. Tarkista tasa-arvon pätevyys:

A)Hirsi27 = -6; b)Hirsi 0,5 4=-2.

3. Yksinkertaista lauseke käyttämällä logaritmisia perusidentiteettejä:

a) 5 1+ Hirsi 5 3 ; b) 10 1- lg 2

4. Laske:

A) Hirsi 12 4+ tukki 12 36;

b)lg13-lg130;

V) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).

III vaihtoehto

1. Etsi logaritmi luvun a kantaan a, joka esitetään potenssina kantaluvulla a:

a) 27 2/3 =9; b) 32 3/5 =8.

2. Tarkista tasa-arvon pätevyys:

A)Hirsi 2 128=;

b)Hirsi 0,2 0,008=3.

3. Yksinkertaista lauseke käyttämällä logaritmisia perusidentiteettejä:

a) 4 2 Hirsi 4 3 ;

b) 5 -3 Hirsi 5 1/2 .

4. Laske:

A) Hirsi 6 12+ tukki 6 18;

b) Hirsi 7 14 loki 7 6+ tukki 7 21;

V) (Hirsi 7 3/ Hirsi 7 13)∙ Hirsi 3 169.

IV vaihtoehto

1. Etsi logaritmi luvun a kantaan a, joka esitetään potenssina kantaluvulla a:

a) 81 3/4 =27; b) 125 2/3 =25.

2. Tarkista tasa-arvon pätevyys:

A)Hirsi √5 0,2=-2;

b)Hirsi 0,2 125=-3.

3. Yksinkertaista lauseke käyttämällä logaritmisia perusidentiteettejä:

a) (1/2) 4 Hirsi 1/2 3 ;

b) 6 -2 Hirsi 6 5 .

4. Laske:

A) Hirsi 14 42 log 14 3;

b) Hirsi 2 20-loginen 2 25+tuki 2 80;

V) Hirsi 7 48/ Hirsi 7 4- 0,5 Hirsi 2 3.

Tehtävät, joiden ratkaisu on logaritmisen lausekkeiden muuntaminen, joka löytyy melko usein kokeesta.

Jotta pystyt selviytymään niistä onnistuneesti minimaalisella ajankäytöllä, on logaritmisen perusidentiteetin lisäksi tiedettävä ja käytettävä oikein joitain muita kaavoja.

Tämä on: a log a b = b, missä a, b > 0, a ≠ 1 (Se seuraa suoraan logaritmin määritelmästä).

log a b = log c b / log c a tai log a b = 1/log b a
jossa a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
missä a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
jossa a, b, c > 0 ja a, b, c ≠ 1

Neljännen yhtälön pätevyyden osoittamiseksi otamme a-kannan vasemman ja oikean puolen logaritmin. Saamme log a (a log c b) = log a (b log c a) tai log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); loki b:llä = log b:llä.

Olemme todistaneet logaritmien yhtäläisyyden, mikä tarkoittaa, että myös logaritmien alla olevat lausekkeet ovat yhtä suuret. Formula 4 on todistettu.

Esimerkki 1

Laske 81 log 27 5 log 5 4 .

Ratkaisu.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5.

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Sitten 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Voit suorittaa seuraavan tehtävän itse.

Laske (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Vihjeenä 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

Vastaus: 5.

Esimerkki 2

Laske (√11) Hirsi √3 9 log 121 81 .

Ratkaisu.

Korvataan lausekkeet: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (käytettiin kaavaa 3).

Sitten (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Esimerkki 3

Laske log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Ratkaisu.

Korvaamme esimerkin logaritmit logaritmeilla, joiden kanta on 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Sitten log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).

Sulujen avaamisen ja samankaltaisten termien pienentämisen jälkeen saadaan luku 3. (Kun lauseketta yksinkertaistetaan, log 2 3 voidaan merkitä n:llä ja yksinkertaistaa lauseketta

(3 + n) (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Vastaus: 3.

Voit tehdä seuraavat toimet itse:

Laske (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Tässä on tarpeen siirtyä logaritmeihin kannassa 3 ja hajotella suurten lukujen alkutekijöiksi.

Vastaus: 1/2

Esimerkki 4

Kolme numeroa annetaan A \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Järjestä ne nousevaan järjestykseen.

Ratkaisu.

Muunnetaan luvut A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Verrataanpa niitä

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 ja log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Tai 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Vastaus. Siksi numeroiden järjestys: C; A; SISÄÄN.

Esimerkki 5

Kuinka monta kokonaislukua välissä on (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Ratkaisu.

Selvitetään, minkä potenssien välillä luvun 3 on luku 1/16. Saamme 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Koska funktio y \u003d log 3 x kasvaa, niin log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Vertaa log 6 (4/3) ja 1/5. Ja tätä varten vertaamme numeroita 4/3 ja 6 1/5. Nosta molemmat luvut viidenteen potenssiin. Saamme (4/3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

loki 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Siksi väli (log 3 1 / 16 ; log 6 48) sisältää intervallin [-2; 4] ja siihen asetetaan kokonaisluvut -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Vastaus: 7 kokonaislukua.

Esimerkki 6

Laske 3 lglg 2 / lg 3 - lg20.

Ratkaisu.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 log g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Sitten 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

Vastaus: -1.

Esimerkki 7

Tiedetään, että log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Etsi log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

Ratkaisu.

Numerot (√3 + 1) ja (√3 - 1); (√6 - 2) ja (√6 + 2) ovat konjugoituja.

Suoritetaan seuraava lausekkeiden muunnos

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Sitten log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

Vastaus: 2-A.

Esimerkki 8.

Yksinkertaista ja löydä lausekkeen likimääräinen arvo (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Ratkaisu.

Vähennämme kaikki logaritmit yhteiseen kantaan 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010. (Lg 2:n likimääräinen arvo löytyy taulukon, diaviivan tai laskimen avulla).

Vastaus: 0,3010.

Esimerkki 9.

Laske log a 2 b 3 √(a 11 b -3), jos log √ a b 3 = 1. (Tässä esimerkissä a 2 b 3 on logaritmin kanta).

Ratkaisu.

Jos log √ a b 3 = 1, niin 3/(0,5 log a b = 1. Ja log a b = 1/6.

Sitten log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)), että log ja b = 1/6 saamme (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Vastaus: 2.1.

Voit tehdä seuraavat toimet itse:

Laske log √3 6 √2.1 jos log 0.7 27 = a.

Vastaus: (3 + a) / (3a).

Esimerkki 10

Laske 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Ratkaisu.

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2) /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (kaava 4))

Saamme 9 + 6 = 15.

Vastaus: 15.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö ole varma, kuinka löytää logaritmisen lausekkeen arvon?
Saadaksesi tutorin apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Transnistrian valtion yliopisto

niitä. T.G. Shevchenko

Fysiikan ja matematiikan tiedekunta

Tuoli matemaattinen analyysi

ja matematiikan opetusmenetelmiä

KURSSITYÖT

"Identiteettimuutokset

eksponentiaalinen ja logaritminen

ilmaisuja"

Työ valmistui:

______-ryhmän opiskelija

Fysiikan ja matematiikan tiedekunta

_________________________

Tarkistettu työ:

_________________________

Tiraspol, 2003

Johdanto…………………………………………………………………………2

Luku 1

§1. Taitojen muodostuminen tietyntyyppisten muunnosten soveltamiseen……………………………………………………………………………………….4

§2. Tietojärjestelmän organisoinnin piirteet identtisten muunnosten tutkimisessa.…….…………………………….………..…………….5

§3. Matematiikan ohjelma ………………………………………….11

kappale 2

§1. Tutkinnon käsitteen yleistäminen………………………………………..13

§2. Eksponentiaalinen funktio……………………………………………..15

§3. Logaritminen funktio………………………………………….16

Luku 3. Eksponentiaalisten ja logaritmien lausekkeiden identtiset muunnokset käytännössä ................................................ ......................................19

Johtopäätös…………………………………………………………………..24

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta……………………………………….25
Johdanto

Tässä tutkielma tarkastellaan eksponentiaalisen ja logaritmisen funktion identtisiä muunnoksia, pohditaan niiden opettamisen metodologiaa algebran koulukurssilla ja analyysin alkua.

Tämän työn ensimmäisessä luvussa kuvataan metodologiaa identtisten muunnosten opettamiseen koulumatematiikan kurssilla, ja se sisältää myös matematiikan ohjelman kurssilla "Algebra ja analyysin alku", jossa tutkitaan eksponentiaalisia ja logaritmisia funktioita.

Toisessa luvussa käsitellään suoraan itse eksponentiaalisia ja logaritmisia funktioita, niiden pääominaisuuksia, joita käytetään identtisissä muunnoksissa.

Kolmas luku on esimerkkien ja ongelmien ratkaisu käyttäen identtisiä eksponentti- ja logaritmisfunktioiden muunnoksia.

Erilaisten lausekkeiden ja kaavojen muunnosten opiskelu vie koulumatematiikan kurssissa merkittävän osan opiskeluajasta. Yksinkertaisimmat aritmeettisten operaatioiden ominaisuuksiin perustuvat muunnokset on jo tehty ala-aste ja luokilla IV-V. Mutta suurin taakka taitojen ja kykyjen muodostumisesta muutosten suorittamiseen kuuluu koulun algebran kurssille. Tämä liittyy sekä suoritettujen muunnosten lukumäärän ja monimuotoisuuden jyrkkään kasvuun että niiden perustelemiseen ja sovellettavuuden edellytysten selventämiseen liittyvien toimien monimutkaisuuteen, yleistettyjen identiteetin, identtisen muunnoksen, ekvivalentin muunnoskäsitteiden tunnistamiseen ja tutkimiseen, looginen seuraus.

Identtisten muunnosten suorituskulttuuri kehittyy samalla tavalla kuin laskentakulttuuri, joka perustuu vankkaan kohteiden (lukujen, vektorien, polynomien jne.) toimintojen ominaisuuksien ja niiden toteuttamisalgoritmien tuntemiseen. Se ei ilmene ainoastaan ​​kyvyssä perustella muunnoksia oikein, vaan myös kyvyssä löytää lyhin polku siirtymiseen alkuperäisestä analyyttisestä lausekkeesta muunnoksen tarkoitukseen parhaiten sopivaan lausekkeeseen, kyvyssä seurata muutoksia analyyttisten lausekkeiden määrittelyalue identtisten muunnosten ketjussa, muunnosten nopeudessa ja virheettömyydessä.

Korkean laskentakulttuurin ja identtisten muunnosten varmistaminen on tärkeä ongelma matematiikan opetuksessa. Tämä ongelma ei kuitenkaan ole vielä kaukana tyydyttävästä ratkaisusta. Tästä todisteena ovat julkisten koulutusviranomaisten tilastotiedot, joissa todetaan vuosittain eri luokkien opiskelijoiden suorittamia virheitä ja irrationaalisia laskenta- ja muunnosmenetelmiä. ohjaus toimii. Tämän vahvistavat korkeampien näkemykset koulutusinstituutiot hakijoiden matemaattisten tietojen ja taitojen laadusta. Ei voi kuin yhtyä julkisten koulutusviranomaisten ja yliopistojen johtopäätöksiin, että se ei riitä korkeatasoinen tietojenkäsittelykulttuuri ja identtiset muunnokset lukio on seurausta opiskelijoiden tiedon formalismista, teorian erottamisesta käytännöstä.

Identiteettimuutokset ja opetusmenetelmät

koulun algebran kurssilla ja analyysin alussa.

§1. Sovellustaitojen muodostuminen

tietyntyyppisiä muunnoksia.

Algebran alkuvaiheessa käytetyllä muunnosten suorittamisen tekniikoilla ja säännöillä on erittäin laaja sovellusalue: sitä käytetään koko matematiikan kurssin tutkimisessa. Kuitenkin juuri sen alhaisen spesifisyyden vuoksi tämä järjestelmä tarvitsee lisämuunnoksia, jotka ottavat huomioon muunnettujen lausekkeiden rakenteen erityispiirteet sekä vasta käyttöön otettujen operaatioiden ja funktioiden ominaisuudet. Vastaavien muunnostyyppien kehittäminen alkaa lyhennettyjen kertolaskujen käyttöönotolla. Sitten tarkastellaan muunnoksia, jotka liittyvät potenssiin nostamiseen, erilaisilla perusfunktioiden luokilla - eksponentiaalinen, potenssi, logaritminen, trigonometrinen. Jokainen tämäntyyppinen muunnos käy läpi tutkimusvaiheen, jossa huomio keskittyy niiden ominaispiirteiden assimilaatioon.

Materiaalin kertymisen myötä on mahdollista erottaa kaikkien tarkasteltavien muunnosten yhteiset piirteet ja tältä pohjalta ottaa käyttöön identtisten ja vastaavien muunnosten käsitteet.

On huomattava, että identtisen muunnoksen käsite annetaan algebran koulukurssissa ei täysin yleisenä, vaan vain lausekkeita sovellettaessa. Muunnokset jaetaan kahteen luokkaan: identtiset muunnokset ovat lausekkeiden muunnoksia ja vastaavat muunnokset kaavojen muunnoksia. Siinä tapauksessa, että yhtä kaavan osaa on yksinkertaistettava, tässä kaavassa korostetaan lauseke, joka toimii argumenttina käytetylle identtiselle muunnokselle. Vastaavaa predikaattia pidetään muuttumattomana.

Mitä tulee integroidun muunnosjärjestelmän (synteesi) järjestämiseen, sen päätavoitteena on muodostaa joustava ja tehokas; erilaisten opetustehtävien ratkaisemiseen soveltuvat laitteet.

Algebran aikana ja analyysin alussa täydellinen järjestelmä Yleisesti jo syntyneitä muutoksia jatketaan asteittain parantamista. Siihen lisätään myös joitain uudentyyppisiä muunnoksia, mutta ne vain rikastavat sitä, laajentavat sen ominaisuuksia, mutta eivät muuta sen rakennetta. Metodologia näiden uusien muunnosten tutkimiseksi ei käytännössä poikkea algebran aikana käytetystä.

§2. Tehtäväjärjestelmän organisoinnin piirteet

identtisten muunnosten tutkimuksessa.

Minkä tahansa tehtäväjärjestelmän järjestämisen perusperiaate on esittää ne yksinkertaisista monimutkaisiin, ottaen huomioon opiskelijoiden tarve voittaa mahdolliset vaikeudet ja luoda ongelmatilanteita. Määritetty perusperiaate vaatii konkretisoimista tämän oppimateriaalin ominaisuuksien suhteen. Kuvaus erilaisia ​​järjestelmiä matematiikan metodologian tehtäviä käytetään harjoitussyklin käsitettä. Harjoitusjaksolle on ominaista useiden opiskelun näkökohtien ja materiaalin järjestämismenetelmien yhdistelmä harjoitussarjassa. Identtisten muunnosten suhteen voidaan antaa ajatus syklistä seuraavalla tavalla.

Harjoituskierros liittyy yhden identiteetin tutkimiseen, jonka ympärille ryhmitellään muita identiteettejä, jotka ovat luonnollisessa yhteydessä siihen. Syklin kokoonpano sisältää toimeenpanotehtävien ohella tehtäviä, jotka edellyttävät tarkasteltavan identiteetin soveltuvuuden tunnistamista. Tutkittavaa identiteettiä käytetään laskelmien suorittamiseen eri numeerisilla aloilla. Henkilöllisyyden erityisyys otetaan huomioon; erityisesti siihen liittyviä puheenvuoroja järjestetään.

Jokaisen syklin tehtävät on jaettu kahteen ryhmään. Ensimmäinen sisältää tehtäviä, jotka suoritetaan identiteettiin tutustumisen aikana. He palvelevat koulutusmateriaalia useita peräkkäisiä oppitunteja, joita yhdistää yksi aihe. Toinen harjoitusryhmä liittää tutkittavan identiteetin erilaisiin sovelluksiin. Tämä ryhmä ei muodosta sävellystä yhtenäisyyttä - harjoitukset ovat hajallaan eri aiheiden kesken.

Kuvattu syklin rakenne viittaa tietyntyyppisten muunnosten soveltamiseen tarvittavien taitojen muodostumisvaiheeseen. Viimeisessä vaiheessa - synteesivaiheessa - sykliä muutetaan. Ensinnäkin molemmat tehtäväryhmät yhdistetään muodostaen "avoitetun" syklin, ja sanamuodon tai tehtävän suorittamisen monimutkaisuuden kannalta yksinkertaisimmat jätetään ensimmäisen ryhmän ulkopuolelle. Muut tehtävätyypit vaikeutuvat. Toiseksi tapahtuu eri identiteeteihin liittyvien syklien yhteensulautumista, jonka seurauksena toimintojen rooli yhden tai toisen identiteetin soveltuvuuden tunnistamisessa kasvaa.

Huomioimme perusfunktioiden identiteeteihin liittyvät tehtäväsyklien piirteet. Nämä ominaisuudet johtuvat siitä, että ensinnäkin vastaavia identiteettejä tutkitaan toiminnallisen materiaalin tutkimuksen yhteydessä ja toiseksi ne ilmenevät myöhemmin kuin ensimmäisen ryhmän identiteetit ja niitä tutkitaan käyttämällä jo muodostuneita taitoja identtisten muunnosten suorittamiseen. .

Jokainen äskettäin esitelty perusfunktio laajentaa jyrkästi numerovalikoimaa, joka voidaan nimetä ja nimetä erikseen. Siksi syklien ensimmäisen tehtäväryhmän tulisi sisältää tehtäviä, joilla luodaan yhteys näiden uusien numeeristen alueiden välille alkuperäisen alueen kanssa. rationaalisia lukuja. Annamme esimerkkejä tällaisista tehtävistä.

Esimerkki 1 Laske:

Jokaisen lausekkeen vieressä on identiteetti, jonka sykleissä ehdotetut tehtävät voivat olla läsnä. Näiden tehtävien tarkoituksena on hallita tietueiden ominaisuudet, mukaan lukien uusien operaatioiden ja toimintojen symbolit, sekä kehittää matemaattista puhetaitoa.

Merkittävä osa alkeisfunktioihin liittyvien identiteettimuunnosten käytöstä kuuluu irrationaalisten ja transsendenttisten yhtälöiden ratkaisuun. Identiteettien assimilaatioon liittyvät syklit sisältävät vain yksinkertaisimmat yhtälöt, mutta jo tässä on suositeltavaa tehdä töitä tällaisten yhtälöiden ratkaisumenetelmän hallitsemiseksi: pelkistämällä se korvaamalla tuntematon algebrallisella yhtälöllä.

Tämän ratkaisun vaiheiden järjestys on seuraava:

a) Etsi funktio, jolle tämä yhtälö voidaan esittää muodossa ;

b) tee substituutio ja ratkaise yhtälö;

c) ratkaise jokainen yhtälö , jossa on yhtälön juurten joukko.

Kuvattua menetelmää käytettäessä vaihe b) suoritetaan usein implisiittisesti ilman merkintää . Lisäksi opiskelijat usein valitsevat useista vastauksen löytämiseen johtavista poluista valitakseen sen, joka johtaa algebralliseen yhtälöön nopeammin ja helpommin.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö.

Ensimmäinen tapa:

Toinen tapa:

A)

b)

Tästä voidaan nähdä, että vaihe a) on vaikeampi ensimmäisessä menetelmässä kuin toisessa. Ensimmäinen tapa on "vaikeampi aloittaa", vaikka ratkaisun jatkokulku on paljon helpompi. Toisaalta toisella menetelmällä on etuja, jotka koostuvat suuremmasta helppoudesta ja hienostuneemmasta opetuksessa pelkistystä algebralliseen yhtälöön.

Algebran koulukurssille ovat tyypillisiä tehtäviä, joissa siirtyminen algebralliseen yhtälöön on vielä helpompaa kuin tässä esimerkissä. Tällaisten tehtävien päätaakka liittyy vaiheen c) valintaan itsenäiseksi osaksi ratkaisuprosessia, joka liittyy tutkittavan alkeisfunktion ominaisuuksien käyttöön.

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö:

A) ; b) .

Nämä yhtälöt pelkistetään yhtälöiksi: a) tai ; b) tai. Näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi tarvitaan tietoa vain yksinkertaisimmista eksponentiaalifunktiosta: sen monotonisuudesta, arvoalueista. Kuten edellisessä esimerkissä, yhtälöt a) ja b) voidaan katsoa kuuluvan toisen asteen eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen tarkoitettujen harjoitusten syklin ensimmäiseen ryhmään.

Siten tulemme tehtävien luokitteluun sykleissä, jotka liittyvät transsendenttisten yhtälöiden ratkaisuun, mukaan lukien eksponentiaalinen funktio:

1) yhtälöt, jotka on pelkistetty muodon yhtälöiksi ja joilla on yksinkertainen vastaus, yleinen muoto: ;

2) yhtälöt, jotka pelkistyvät yhtälöiksi , jossa on kokonaisluku tai , missä ;

3) yhtälöt, jotka pelkistyvät yhtälöiksi ja edellyttävät nimenomaista analyysiä siitä, missä muodossa luku kirjoitetaan.

Samanlaisia ​​tehtäviä voidaan luokitella muille perusfunktioille.

Merkittävä osa algebran ja algebran kursseilla opituista identiteeteistä ja analyysin aluista on niissä todistettu tai ainakin selitetty. Tällä identiteettien tutkimuksen puolella on suuri merkitys molemmille kursseille, koska niillä todistusvoimainen päättely tehdään mitä suurimmalla selkeydellä ja tarkkuudella juuri identiteettien suhteen. Tämän materiaalin ulkopuolella todisteet ovat yleensä vähemmän täydellisiä, niitä ei aina eroteta käytettyjen perustelukeinojen koostumuksesta.

Aritmeettisten operaatioiden ominaisuuksia käytetään tukena, jolle identiteetin todisteet rakennetaan.

Laskelmien ja identtisten muunnosten kasvatuksellinen vaikutus voidaan suunnata loogisen ajattelun kehittämiseen, jos vain opiskelijalta vaaditaan systemaattisesti perustelemaan laskelmia ja identtisiä muunnoksia, toiminnallisen ajattelun kehittämiseen, joka saavutetaan eri tavoin. Laskelmien ja identtisten muutosten merkitys tahdon, muistin, kekseliäisyyden, itsehillinnän ja luovan oma-aloitteisuuden kehittymisessä on ilmeinen.

Toiveet arjen, teollisen laskennan harjoittamiseen edellyttävät opiskelijoilta vahvan, automatisoidun rationaalisen laskennan ja identtisten muunnostaitojen muodostumista. Näitä taitoja kehitetään missä tahansa laskennallisessa työssä, mutta nopeissa laskelmissa ja muunnoksissa tarvitaan erityisharjoituksia.

Joten jos oppitunti sisältää logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisen logaritmisen perusidentiteetin avulla, on hyödyllistä sisällyttää tuntisuunnitelmaan suullisia harjoituksia lausekkeiden arvojen yksinkertaistamiseksi tai laskemiseksi: , , . Harjoitusten tarkoitus kerrotaan aina opiskelijoille. Harjoituksen aikana voi olla tarpeen vaatia opiskelijoita perustelemaan yksittäisiä muutoksia, toimia tai ratkaisemaan koko ongelman, vaikka sitä ei olisi suunniteltu. Kun ongelman eri ratkaisutavat ovat mahdollisia, on aina toivottavaa esittää kysymyksiä: "Millä tavalla ongelma ratkaistiin?", "Kuka ratkaisi ongelman eri tavalla?"

Identiteetin ja identtisen muunnoksen käsitteet esitellään eksplisiittisesti luokan VI algebran kurssilla. Itse identtisten lausekkeiden määritelmää ei voida käytännössä käyttää kahden lausekkeen identiteetin todistamiseen ja sen ymmärtämiseen, että identtisten muunnosten ydin on soveltaa lausekkeeseen niiden toimien määritelmiä ja ominaisuuksia, jotka on osoitettu lausekkeessa, tai lisätä sille lauseke, joka on identtisesti yhtä suuri kuin 0, tai kertomalla se lausekkeella, joka on identtisesti yhtä suuri kuin yksi. Mutta vaikka nämä säännökset hallittaisiinkin, opiskelijat eivät usein ymmärrä, miksi nämä muunnokset antavat meille mahdollisuuden väittää, että alkuperäinen ja tuloksena oleva ilmaisu ovat identtisiä, ts. ota samat arvot mille tahansa muuttujaarvojärjestelmälle (joukkoon).

On myös tärkeää varmistaa, että opiskelijat ymmärtävät hyvin, että tällaiset identtisten muunnosten johtopäätökset ovat seurauksia vastaavien toimintojen määritelmistä ja ominaisuuksista.

Aiempina vuosina kertynyttä identtisten muunnosten koneistoa laajennetaan 6. luokalla. Tämä laajennus alkaa identiteetillä, joka ilmaisee samoilla perusteilla olevien potenssien tuotteen ominaisuuden: , jossa , ovat kokonaislukuja.

§3. Matematiikan ohjelma. Koulukurssilla "Algebra ja analyysin alkua" opiskelijat tutkivat systemaattisesti eksponentiaalisia ja logaritmisia funktioita ja niiden ominaisuuksia, logaritmisen ja eksponentiaalisen lausekkeen identtisiä muunnoksia ja niiden soveltamista vastaavien yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen, tutustuvat peruskäsitteisiin, lauseisiin. . 11. luokalla algebratunnit kestävät 3 tuntia viikossa, yhteensä 102 tuntia vuodessa. Eksponentiaalisten, logaritmien ja potenssifunktioiden tutkiminen ohjelman mukaan kestää 36 tuntia. Ohjelmaan sisältyy seuraavien asioiden pohtiminen ja tutkiminen: Tutkinnon käsite rationaalisella indikaattorilla. Irrationaalisten yhtälöiden ratkaisu. Eksponentiaalinen funktio, sen ominaisuudet ja kuvaaja. eksponentiaalisten lausekkeiden identtiset muunnokset. Eksponentiaalisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisu. Luvun logaritmi. Logaritmien perusominaisuudet. Logaritminen funktio, sen ominaisuudet ja kuvaaja. Logaritmisen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisu. Eksponentiaalifunktion johdannainen. Luku ja luonnollinen logaritmi. Tehofunktion johdannainen. Eksponentiaalisia ja logaritmisia funktioita käsittelevän osan päätarkoituksena on perehdyttää opiskelijat eksponentiaali-, logaritmis- ja potenssifunktioihin; opettaa opiskelijoita ratkaisemaan eksponentiaalisia ja logaritmiset yhtälöt ja eriarvoisuudet. Käsitteet th asteen juuri ja aste rationaalisen eksponentin kanssa ovat yleistys käsitteistä neliöjuuri ja aste kokonaislukueksponentilla. Opiskelijoiden tulee kiinnittää huomiota siihen, että tässä tarkastellun rationaalisen eksponentin juurien ja asteiden ominaisuudet ovat samanlaisia ​​kuin aiemmin tutkituilla neliöjuurilla ja kokonaislukueksponenteilla asteilla. On tarpeen käyttää riittävästi aikaa asteiden ominaisuuksien selvittämiseen ja taitojen muodostumiseen identtisiä muunnoksia varten. Asteen käsite irrationaalisella eksponentilla esitellään visuaalisesti intuitiivisesti. Tällä materiaalilla on apurooli, ja sitä käytetään eksponentiaalifunktion käyttöönotossa. Eksponentiaali-, logaritmis- ja potenssifunktioiden ominaisuuksien tutkimus on rakennettu hyväksytyn yleisen funktioiden tutkimisen kaavion mukaisesti. Tässä tapauksessa ominaisuuksista annetaan yleiskuva parametriarvoista riippuen. Eksponentiaaliset ja logaritmiset epäyhtälöt ratkaistaan ​​tutkittujen funktioiden ominaisuuksien perusteella. Kurssille on ominaista opiskelijoiden tiedon systematisointi ja yleistäminen, algebra-kurssilla hankittujen taitojen ja kykyjen lujittaminen ja kehittäminen, jota tehdään sekä uutta materiaalia opiskellessa että yleistävässä toistossa.
kappale 2

§1. Tutkinnon käsitteen yleistäminen.

Määritelmä: Puhtausasteen th juuri on sellainen luku, jonka th on yhtä suuri kuin.

Mukaan tämä määritelmä luvun :nnen asteen juuri on yhtälön ratkaisu. Tämän yhtälön juurten lukumäärä riippuu ja . Tarkastellaan funktiota. Kuten tiedetään, intervallilla tämä funktio kasvaa millä tahansa ja ottaa kaikki arvot väliltä. Juurilauseen mukaan minkä tahansa yhtälöllä on ei-negatiivinen juuri, ja lisäksi vain yksi. Sitä kutsutaan luvun th asteen aritmeettiseksi juureksi ja merkitään; lukua kutsutaan juuren indeksiksi, ja itse lukua kutsutaan radikaalilausekkeeksi. Merkkiä kutsutaan myös radikaaliksi.

Määritelmä: Luvun th asteen aritmeettinen juuri on ei-negatiivinen luku, jonka aste on .

Tasaiselle funktio on parillinen. Tästä seuraa, että jos , niin yhtälöllä on juuren lisäksi myös juuri. Jos , silloin on vain yksi juuri: ; jos , niin tällä yhtälöllä ei ole juuria, koska minkä tahansa luvun parillinen voima on ei-negatiivinen.

Parittomille arvoille funktio kasvaa koko lukuviivaa pitkin; sen arvoalue on kaikkien joukko todellisia lukuja. Soveltamalla juurilausetta huomaamme, että yhtälöllä on yksi juuri mille tahansa ja erityisesti :lle. Tämä minkä tahansa arvon juuri on merkitty .

Parittoman asteen juurille tasa-arvo on totta. Todellakin, ts. numero on :n juuri. Mutta tällainen pariton juuri on ainutlaatuinen. Siksi,.

Huomautus 1: Ihan oikeasti

Muista th:n asteen aritmeettisten juurien tunnetut ominaisuudet.

Kaikille luonnollisille , kokonaisluvut ja kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut ja yhtäläisyydet ovat tosia:

1.

2.

3.

4.

Aste rationaalisen eksponentin kanssa.

Lauseke määritellään kaikille ja -painikkeille, paitsi silloin, kun . Muista tällaisten voimien ominaisuudet.

Kaikille luvuille ja mitkä tahansa kokonaisluvut ja yhtälöt ovat tosia:

Huomaa myös, että jos , sitten for ja for .. and

Yhdistettyä valtionkoetta varten opiskeleville opiskelijoille Jakutskin lukion 26 matematiikan opettajat käyttävät koulun matematiikan kurssin sisältökysymysten luetteloa (kodifiointia), jonka assimilaatio tarkistetaan läpäistäessä yhtenäinen valtiokoe vuonna 2007 . valinnainen kurssi Unifiedin valmistelussa Valtion tentti perustuu aiemmin hankitun tiedon toistamiseen, systematisointiin ja syventämiseen. Kurssit pidetään maksuttomana...