Как да изчислим определен интеграл. Интеграли - какво е това, как се решават, примери за решения и обяснение за манекени. Метод на интегриране по части в определен интеграл

Процесът на решаване на интеграли в науката, наречен "математика", се нарича интегриране. С помощта на интеграцията можете да намерите някои физически величини: площ, обем, маса на телата и много други.

Интегралите са неопределени и определени. Помислете за формата на определен интеграл и се опитайте да го разберете физически смисъл. Изглежда по следния начин: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Отличителна черта на записването на определен интеграл от неопределен е, че има граници на интегриране a и b. Сега ще разберем за какво служат и какво означава определен интеграл. IN геометричен смисълтакъв интеграл равна на площфигура, ограничена от кривата f(x), прави a и b и оста Ox.

От фиг. 1 може да се види, че определеният интеграл е същата област, която е защрихована в сиво. Нека го проверим с прост пример. Нека намерим площта на фигурата в изображението по-долу с помощта на интегриране и след това я изчислим по обичайния начин, като умножим дължината по ширината.

Фигура 2 показва, че $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Сега ги заместваме в дефиницията на интеграла, получаваме, че $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ Нека проверим по обичайния начин. В нашия случай дължина = 3, ширина на формата = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ Както можете да видите, всичко съвпадаше перфектно.

Възниква въпросът: как се решават неопределени интеграли и какъв е смисълът им? Решението на такива интеграли е намирането на първообразни функции. Този процес е обратен на намирането на производната. За да намерите първоизводната, можете да използвате нашата помощ при решаване на задачи по математика или трябва сами да запомните точно свойствата на интегралите и таблицата за интегриране на най-простите елементарни функции. Намирането изглежда така $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(където) F(x) $ е първоизводната на $ f(x), C = const $.

За да решите интеграла, трябва да интегрирате функцията $ f(x) $ по отношение на променливата. Ако функцията е таблична, тогава отговорът се записва в подходящата форма. Ако не, тогава процесът се свежда до получаване на таблична функция от функцията $ f(x) $ чрез трудни математически трансформации. Има различни методи и свойства за това, които ще разгледаме по-долу.

И така, нека сега направим алгоритъм за решаване на интеграли за манекени?

Алгоритъм за изчисляване на интеграли

1. Намерете определения интеграл или не.
2. Ако не е дефинирано, тогава намери противопроизводна функция$ F(x) $ от интегранта $ f(x) $ с помощта на математически трансформации, водещи до таблична форма на функцията $ f(x) $.
3. Ако е дефинирана, тогава трябва да се изпълни стъпка 2 и след това да се заменят границите на $a$ и $b$ в антипроизводната функция $F(x)$. По каква формула да направите това, ще научите в статията "Формулата на Нютон Лайбниц".

Примери за решения

И така, научихте как да решавате интеграли за манекени, примерите за решаване на интеграли са подредени по рафтовете. Научиха тяхното физическо и геометрично значение. Методите за решение ще бъдат обсъдени в други статии.

Ако определенията в учебниците са твърде сложни и неразбираеми, прочетете нашата статия. Ще се опитаме да обясним възможно най-просто, „на пръсти“, основните точки на такъв раздел от математиката като определени интеграли. Как да изчислите интеграла, прочетете в това ръководство.

Разбира се, тук се разглеждат само най-простите версии на интеграли - някои всъщност има много разновидности на интеграли, те се изучават в курса висша математика, математически анализИ диференциални уравненияв университети за студенти от технически специалности.

Решаването на интеграли е лесна задача, но само за елита. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интегралите, но знаят малко или нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво се определя и неопределен интегралс?

Ако единственото приложение на интеграла, което знаете, е да вземете нещо полезно от труднодостъпни места с кука във формата на интегрална икона, тогава добре дошли! Научете как да решавате прости и други интеграли и защо не можете без това в математиката.

Ние изучаваме концепцията « интегрална »

Интеграцията вече беше известна в Древен Египет. Разбира се, не в модерна форма, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по темата. Особено отличен Нютон И Лайбниц но същността на нещата не се е променила.

Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви трябват основни познания за основите на математическия анализ. Информация за граници и производни, необходими за разбиране на интегралите, вече имаме в нашия блог.

Неопределен интеграл

Нека имаме някаква функция f(x) .

Неопределеният интеграл на функцията f(x) се нарича такава функция F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .

С други думи, интегралът е обратна производна или антипроизводна. Между другото, прочетете нашата статия за това как да изчислявате производни.

Примитивното съществува за всички непрекъснати функции. Също така към антипроизводното често се добавя постоянен знак, тъй като производните на функции, които се различават по константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграл се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не се изчисляват постоянно антипроизводните на елементарни функции, е удобно да ги поставите в таблица и да използвате готови стойности.

Пълна таблица на интегралите за ученици

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигурата, масата на нехомогенно тяло, преминало през неравномерно движениепът и др. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайното Голям бройбезкрайно малки термини.

Като пример, представете си графика на някаква функция.

Как да намерим площта на фигура, ограничена от графика на функция? С помощта на интеграл! Нека разделим криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. Така фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сумата от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определеният интеграл, който се записва по следния начин:

Точките a и b се наричат ​​граници на интегриране.

« Интеграл »

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от всякакъв вид работа

Правила за изчисляване на интеграли за манекени

Свойства на неопределения интеграл

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще бъдат полезни при решаването на примери.

• Производната на интеграла е интегрант:

• Константата може да бъде извадена от знака за интеграл:

• Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Също вярно за разликата:

Свойства на определения интеграл

• Линейност:

• Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране са обърнати:

• При всякаквиточки а, bИ с:

Вече разбрахме, че определеният интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретно значениепри решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за решаване на интеграли

По-долу разглеждаме неопределения интеграл и примери с решения. Предлагаме ви самостоятелно да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задавайте въпроси в коментарите.

За затвърждаване на материала гледайте видео как се решават на практика интеграли. Не се отчайвайте, ако интегралът не бъде даден веднага. Свържете се с професионален студентски сервиз и всяка тройна или криволинейни интегралина затворена повърхност ще бъде по силите ви.

>> >> >> Интеграционни методи

Основни методи на интегриране

Дефиниция на интеграл, определен и неопределен, таблица на интегралите, формула на Нютон-Лайбниц, интегриране по части, примери за изчисляване на интеграли.

Неопределен интеграл

Нека u = f(x) и v = g(x) са функции с непрекъснато . Тогава, според произведенията,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.

За израза d(uv), антипроизводното очевидно ще бъде uv, така че формулата се изпълнява:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Тази формула изразява правилото интеграция по части. Той води интегрирането на израза udv=uv"dx към интегрирането на израза vdu=vu"dx.

Нека, например, е необходимо да се намери ∫xcosx dx. Нека u = x, dv = cosxdx, така че du=dx, v=sinx. Тогава

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правилото за интегриране по части има по-ограничен обхват от промяната на променливата. Но има цели класове интеграли, например ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и други, които се изчисляват чрез интегриране по части.

Определен интеграл

Интеграционни методи, се въвежда понятието определен интеграл по следния начин. Нека функция f(x) е дефинирана на интервал. Нека разделим отсечката [ a,b] на n части с точки a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Сумата на формата f(ξ i)Δ x i се нарича интегрална сума, а нейната граница при λ = maxΔx i → 0, ако съществува и е крайна, се нарича определен интегралфункции f(x) от a до b и се означава:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функцията f(x) в този случай се извиква интегрируем на сегмент, се наричат ​​числата a и b долна и горна граница на интеграла.

Интеграционни методиимат следните свойства:

Последното свойство се нарича теорема за средната стойност.

Нека f(x) е непрекъснато върху . Тогава на този сегмент съществува неопределен интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и се провежда Формула на Нютон-Лайбниц, който свързва определения интеграл с неопределения:

F(b) - F(a). (8,6)

Геометрична интерпретация: представлява площта на криволинейния трапец, ограничен отгоре от кривата y=f(x), правите x = a и x = b и сегмента на оста Ox.

Неправилни интеграли

Интеграли с безкрайни граници и интеграли на прекъснати (неограничени) функции се наричат ​​неправилни. Неправилни интеграли от първи род -това са интеграли върху безкраен интервал, дефиниран както следва:

(8.7)

Ако тази граница съществува и е крайна, тогава тя се нарича конвергентен несобствен интеграл на f(x) в интервала [а,+ ∞), а функцията f(x) се нарича интегрируема в безкрайния интервал [а,+ ∞ ). В противен случай се казва, че интегралът не съществува или се разминава.

Неправилните интеграли върху интервалите (-∞,b] и (-∞, + ∞) се дефинират по подобен начин:

Нека дефинираме понятието интеграл на неограничена функция. Ако f(x) е непрекъснато за всички x стойности на сегмента с изключение на c, където f(x) има безкрайно прекъсване, тогава неправилен интеграл от втория вид f(x) вариращи от a до bнарече сумата:

ако тези граници съществуват и са крайни. Обозначаване:

Примери за изчисляване на интеграли

Пример 3.30.Изчислете ∫dx/(x+2).

Решение. Означаваме t = x+2, тогава dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Пример 3.31. Намерете ∫ tgxdx.

Решение.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Нека t=cosx, тогава ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример3.33. Намирам .

Решение. =

.

Пример3.34 . Намерете ∫arctgxdx.

Решение. Интегрираме по части. Означаваме u=arctgx, dv=dx. Тогава du = dx/(x 2 +1), v=x, откъдето ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; защото
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример3.35 . Изчислете ∫lnxdx.

Решение.Прилагайки формулата за интегриране по части, получаваме:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогава ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Пример3.36 . Изчислете ∫e x sinxdx.

Решение. Прилагаме формулата за интегриране по части. Означаваме u = e x, dv = sinxdx, тогава du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx също може да се интегрира по части: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ние имаме:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Получаваме връзката ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, откъдето 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Пример 3.37. Изчислете J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение Тъй като dx/x = dlnx, тогава J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяйки lnx с t, стигаме до интеграла на таблицата J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38 . Изчислете J = .

Решение. Като вземем предвид, че = d(lnx), правим заместването lnx = t. Тогава J = .

Пример 3.39 . Изчислете J = .

Решение. Ние имаме: . Ето защо =

За какво са интегралите? Опитайте се сами да отговорите на този въпрос.

Обяснявайки темата за интегралите, учителите изброяват области на приложение, които са малко полезни за училищните умове. Между тях:

• изчисляване на площта на фигура.
• изчисляване на телесна маса с неравномерна плътност.
• определяне на изминатото разстояние при движение с променлива скорост.
• и т.н.

Не винаги е възможно да се свържат всички тези процеси, така че много ученици се объркват, дори ако имат всички основни познания, за да разберат интеграла.

Основната причина за невежеството– неразбиране на практическото значение на интегралите.

Интеграл - какво е това?

Предпоставки. Необходимостта от интеграция възниква в древна Гърция. По това време Архимед започва да използва методи, подобни по същество на съвременното интегрално смятане, за да намери площта на кръг. Основният подход за определяне на площта на неравномерните фигури тогава беше "Методът на изчерпване", който е доста лесен за разбиране.

Същността на метода. В тази фигура се вписва монотонна последователност от други фигури и след това се изчислява границата на последователността на техните области. Тази граница беше взета като площ на дадената фигура.

В този метод лесно се проследява идеята за интегрално смятане, която е да се намери границата на безкрайна сума. По-късно тази идея е приложена от учените за решаване приложни задачиастронавтика, икономика, механика и др.

Модерен интеграл. Класическата теория на интеграцията е формулирана в общи линии от Нютон и Лайбниц. Той се основава на съществуващите тогава закони на диференциалното смятане. За да го разберете, трябва да имате някои основни познания, които ще ви помогнат да опишете визуални и интуитивни идеи за интегралите на математически език.

Обяснете понятието "интеграл"

Процесът на намиране на производната се нарича диференциацияи намиране на антипроизводното - интеграция.

Интеграл математически езике антипроизводната на функцията (това, което беше преди производната) + константата "C".

Интеграл с прости думие площта на извитата фигура. Неопределеният интеграл е цялата област. Определеният интеграл е площта в дадена област.

Интегралът се записва така:

Всеки интегранд се умножава по компонента "dx". Показва коя променлива се интегрира. "dx" е нарастването на аргумента. Вместо X може да има всеки друг аргумент, като t (време).

Неопределен интеграл

Неопределеният интеграл няма граници на интегриране.

За решаване на неопределени интеграли е достатъчно да се намери първоизводната на интегралната функция и да се добави "C" към нея.

Определен интеграл

IN определен интегралвърху знака за интеграция напишете ограничения "а" и "б". Те са посочени на оста x на графиката по-долу.

За да изчислите определен интеграл, трябва да намерите антипроизводното, да замените стойностите на „a“ и „b“ в него и да намерите разликата. В математиката това се нарича Формула на Нютон-Лайбниц:

Таблица с интеграли за ученици (основни формули)

Изтеглете формулите на интегралите, пак ще са ви полезни

Как да изчислим правилно интеграла

Има няколко прости операции за трансформиране на интеграли. Ето основните от тях:

Премахване на константа от знака за интеграл

Разлагане на сборния интеграл в сбора на интегралите

Ако размените a и b, знакът ще се промени

Можете да разделите интеграла на интервали, както следва

Това са най-простите свойства, въз основа на които по-късно ще бъдат формулирани по-сложни теореми и методи на смятане.

Примери за изчисляване на интеграли

Решаване на неопределен интеграл

Решаване на определен интеграл

Основни понятия за разбиране на темата

За да разберете същността на интеграцията и да не затваряте страницата от неразбиране, ще ви обясним няколко основни понятия. Какво е функция, производна, граница и първоизводна.

функция- правило, според което всички елементи от едно множество са свързани с всички елементи от друго.

Производнае функция, която описва скоростта на промяна на друга функция във всяка конкретна точка. Строго казано, това е границата на съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента. Изчислява се ръчно, но е по-лесно да се използва таблицата с производни, която съдържа повечето от стандартните функции.

Увеличаване- количествена промяна на функцията с известна промяна в аргумента.

Лимит- стойността, към която клони стойността на функцията, когато аргументът клони към определена стойност.

Пример за граница: да кажем, че за X равно на 1, Y ще бъде равно на 2. Но какво ще стане, ако X не е равно на 1, а клони към 1, тоест никога не го достига? В този случай y никога няма да достигне 2, а само ще клони към тази стойност. На математически език това се изписва по следния начин: limY (X), с X –> 1 = 2. Чете се: границата на функцията Y (X), с x клонящо към 1, е 2.

Както вече споменахме, производната е функция, която описва друга функция. Оригиналната функция може да бъде получена от друга функция. Тази друга функция се нарича примитивен.

Заключение

Не е трудно да се намерят интеграли. Ако не разбирате как да го направите,. От втория път става по-ясно. Помня!Решаването на интегралите се свежда до прости трансформации на интегралната функция и търсенето й в .

Ако текстовото обяснение не работи за вас, гледайте видеото за значението на интеграла и производната:

Интеграли - какво е това, как се решават, примери за решения и обяснение за манекениактуализиран: 22 ноември 2019 г. от: Научни статии.Ru