Čo znamená počítať racionálne. Racionálne čísla, definícia, príklady. Definícia a príklady racionálnych čísel

V tomto článku začneme študovať racionálne čísla. Tu uvádzame definície racionálnych čísel, uvádzame potrebné vysvetlenia a uvádzame príklady racionálnych čísel. Potom sa zameriame na to, ako určiť, či je dané číslo racionálne alebo nie.

Navigácia na stránke.

Definícia a príklady racionálnych čísel

V tejto podkapitole uvádzame niekoľko definícií racionálnych čísel. Napriek rozdielom vo formulácii majú všetky tieto definície rovnaký význam: racionálne čísla spájajú celé čísla a zlomkové čísla, rovnako ako celé čísla spájajú prirodzené čísla, ich opačné čísla a číslo nula. Inými slovami, racionálne čísla zovšeobecňujú celé čísla a zlomkové čísla.

Začnime s definície racionálnych čísel ktorý je vnímaný ako najprirodzenejší.

Zo znejúcej definície vyplýva, že racionálne číslo je:

akýkoľvek prirodzené číslo n. Akékoľvek prirodzené číslo môže byť skutočne reprezentované ako obyčajný zlomok, napríklad 3=3/1.
Akékoľvek celé číslo, najmä číslo nula. Akékoľvek celé číslo možno v skutočnosti zapísať buď ako kladný spoločný zlomok, alebo ako záporný spoločný zlomok, alebo ako nulu. Napríklad 26=26/1 , .
Akýkoľvek obyčajný zlomok (kladný alebo záporný). Priamo to hovorí daná definícia racionálnych čísel.
Akékoľvek zmiešané číslo. V skutočnosti je vždy možné reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny spoločný zlomok. Napríklad a .
Akýkoľvek konečný desatinný alebo nekonečný periodický zlomok. Je to tak preto, že zadané desatinné zlomky sa prevedú na bežné zlomky. Napríklad , a 0, (3) = 1/3 .

Je tiež jasné, že žiadne nekonečné neopakujúce sa desatinné číslo NIE JE racionálne číslo, pretože ho nemožno reprezentovať ako spoločný zlomok.

Teraz môžeme ľahko priniesť príklady racionálnych čísel. Čísla 4, 903, 100 321 sú racionálne čísla, pretože sú to prirodzené čísla. Celé čísla 58 , −72 , 0 , −833 333 333 sú tiež príklady racionálnych čísel. Bežné zlomky 4/9, 99/3 sú tiež príklady racionálnych čísel. Racionálne čísla sú tiež čísla.

Vyššie uvedené príklady ukazujú, že existujú kladné aj záporné racionálne čísla a racionálne číslo nula nie je ani kladné, ani záporné.

Vyššie uvedená definícia racionálnych čísel môže byť formulovaná v kratšej forme.

Definícia.

Racionálne čísla volacie čísla, ktoré možno zapísať ako zlomok z/n, kde z je celé číslo a n je prirodzené číslo.

Dokážme, že táto definícia racionálnych čísel je ekvivalentná predchádzajúcej definícii. Vieme, že čiaru zlomku môžeme považovať za znak delenia, potom z vlastností delenia celých čísel a pravidiel delenia celých čísel vyplývajú nasledujúce rovnosti a . Čo je teda dôkazom.

Uveďme príklady racionálnych čísel na základe túto definíciu. Čísla −5 , 0 , 3 a sú racionálne čísla, pretože ich možno zapísať ako zlomky s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom tvaru resp.

Definíciu racionálnych čísel možno uviesť aj v nasledujúcej formulácii.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Táto definícia je tiež ekvivalentná prvej definícii, pretože každý obyčajný zlomok zodpovedá konečnému alebo periodickému desatinnému zlomku a naopak a môže byť spojené akékoľvek celé číslo. desiatkový s nulami za desatinnou čiarkou.

Napríklad čísla 5 , 0 , −13 , sú príklady racionálnych čísel, pretože ich možno zapísať ako nasledujúce desatinné miesta 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 a −7,(18) .

Teóriu tejto časti ukončíme nasledujúcimi tvrdeniami:

celé a zlomkové čísla (kladné a záporné) tvoria množinu racionálnych čísel;
každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom a každý takýto zlomok je racionálnym číslom;
každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok a každý takýto zlomok predstavuje nejaké racionálne číslo.

Je toto číslo racionálne?

V predchádzajúcom odseku sme zistili, že akékoľvek prirodzené číslo, akékoľvek celé číslo, akýkoľvek obyčajný zlomok, akékoľvek zmiešané číslo, akýkoľvek konečný desatinný zlomok a tiež akýkoľvek periodický desatinný zlomok je racionálne číslo. Táto znalosť nám umožňuje „rozpoznať“ racionálne čísla z množiny zapísaných čísel.

Ale čo ak je číslo dané ako nejaké , alebo ako , atď., ako odpovedať na otázku, je dané číslo racionálne? V mnohých prípadoch je veľmi ťažké na ňu odpovedať. Ukážme si niekoľko smerov myšlienkového smeru.

Ak je číslo špecifikované ako číselný výraz, ktorý obsahuje iba racionálne čísla a aritmetické znamienka (+, −, · a:), potom je hodnota tohto výrazu racionálne číslo. Vyplýva to z toho, ako sú definované operácie s racionálnymi číslami. Napríklad po vykonaní všetkých operácií vo výraze dostaneme racionálne číslo 18 .

Niekedy po zjednodušení výrazov a zložitejšej forme je možné určiť, či je dané číslo racionálne.

Poďme ďalej. Číslo 2 je racionálne číslo, pretože každé prirodzené číslo je racionálne. A čo číslo? Je to racionálne? Ukazuje sa, že nie - nie je to racionálne číslo, je to iracionálne číslo (dôkaz tejto skutočnosti protirečením je uvedený v učebnici algebry pre ročník 8, ktorá je uvedená nižšie v zozname odkazov). Aj to bolo dokázané Odmocnina z prirodzeného čísla je racionálne číslo len v tých prípadoch, keď je odmocninou číslo, ktoré je druhou mocninou nejakého prirodzeného čísla. Napríklad a sú racionálne čísla, pretože 81=9 2 a 1024=32 2 a čísla a nie sú racionálne, pretože čísla 7 a 199 nie sú dokonalé štvorce prirodzených čísel.

Je číslo racionálne alebo nie? V tomto prípade je ľahké vidieť, že preto je toto číslo racionálne. Je číslo racionálne? Je dokázané, že k-tá odmocnina z celého čísla je racionálne číslo iba vtedy, ak číslo pod znamienkom odmocniny je k-tou mocninou nejakého celého čísla. Preto to nie je racionálne číslo, pretože neexistuje celé číslo, ktorého piata mocnina je 121.

Metóda protirečenia nám umožňuje dokázať, že logaritmy niektorých čísel z nejakého dôvodu nie sú racionálne čísla. Napríklad, dokážme, že - nie je racionálne číslo.

Predpokladajme opak, teda predpokladajme, že ide o racionálne číslo a možno ho zapísať ako obyčajný zlomok m/n. Potom a dajte nasledujúce rovnosti: . Posledná rovnosť je nemožná, pretože na jej ľavej strane je nie párne číslo 5 n a na pravej strane je párne číslo 2 m . Preto je náš predpoklad nesprávny, teda nejde o racionálne číslo.

Na záver je vhodné zdôrazniť, že pri objasňovaní racionality alebo iracionality čísel sa treba zdržať náhlych záverov.

Napríklad by sme nemali hneď tvrdiť, že súčin iracionálnych čísel π a e je iracionálne číslo, je to „akoby zrejmé“, ale nie dokázané. To vyvoláva otázku: „Prečo by bol súčin racionálnym číslom“? A prečo nie, veď môžete uviesť príklad iracionálnych čísel, ktorých súčin dáva racionálne číslo:.

Nie je tiež známe, či čísla a mnohé ďalšie čísla sú racionálne alebo nie. Napríklad existujú iracionálne čísla, ktorého iracionálny stupeň je racionálne číslo. Pre ilustráciu uveďme stupeň tvaru , základ tohto stupňa a exponent nie sú racionálne čísla, ale , a 3 je racionálne číslo.

Bibliografia.

Matematika. 6. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [N. Ya, Vilenkin a ďalší]. - 22. vydanie, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Súčasná úroveň vývoja nástrojov na automatizáciu výpočtovej techniky vytvorila pre mnohých ilúziu, že rozvoj počítačových zručností nie je vôbec potrebný. To ovplyvnilo pripravenosť študentov. Pri absencii kalkulačky sa pre mnohých stávajú problémom aj jednoduché výpočtové úlohy.

Skúškové úlohy a materiály ku skúške zároveň obsahujú množstvo úloh, ktorých riešenie si vyžaduje schopnosť testovaných osôb racionálne organizovať výpočty.

V tomto článku sa budeme zaoberať niektorými metódami optimalizácie výpočtov a ich aplikáciou na konkurenčné úlohy.

Metódy na optimalizáciu výpočtov sú najčastejšie spojené s aplikáciou základných zákonov na vykonávanie aritmetických operácií.

Napríklad:

125 24 = 125 8 3 = 1 000 3 = 3 000; alebo

98 16(100 - 2) 16 = 100 16 - 2 16 = 1600 - 32 = 1568 atď.

Iný smer - používanie skrátených vzorcov na násobenie.

96 104 \u003d (100 - 4) (100 + 4) \u003d 100 2 - 4 2 \u003d 10 000 - 16 \u003d 9984; alebo

115 2 = (100 + 15) 2 = 10 000 + 2 15 100 + 225 = 10 525.

Nasledujúci príklad je zaujímavý pre výpočty.

Vypočítať:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Toto sú takmer štandardné spôsoby optimalizácie výpočtov. Niekedy sa ponúkajú aj exotickejšie. Ako príklad zvážte metódu násobenia dvojciferných čísel, ktorých súčet jednotiek je 10.

54 26 \u003d 50 30 + 4 (26 - 50) \u003d 1500 - 96 \u003d 1404 alebo

43 87 = 40 90 + 3 (87 - 40) = 3 600 + 141 = 3 741.

Schéma násobenia je možné pochopiť z obrázku.

Odkiaľ pochádza takáto schéma násobenia?

Naše čísla podľa podmienky majú tvar: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Vytvorme dielo:

MK = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100mk + 100m - 10mn + 10nk + 10n - n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10m) (10 (k + 1)) + n (K – 10m) a metóda je odôvodnená.

Existuje mnoho dômyselných spôsobov, ako premeniť pomerne zložité výpočty na mentálne úlohy. Ale nemôžete si myslieť, že každý si musí pamätať tieto a množstvo ďalších dômyselných spôsobov, ako zjednodušiť výpočty. Dôležité je naučiť sa len niektoré základné. Analýza druhých má zmysel len pre rozvoj zručností pri uplatňovaní základných metód. Je to ich kreatívna aplikácia, ktorá umožňuje rýchlo a správne riešiť výpočtové problémy.

Niekedy je vhodné pri riešení príkladov na výpočet prejsť z transformácie výrazu s číslami na transformáciu polynómov. Zvážte nasledujúci príklad.

Vypočítajte najracionálnejším spôsobom:

3 1 / 117 4 1 / 110 -1 110 / 117 5 118 / 119 - 5 / 119

Riešenie.

Nech a = 1/117 a b = 1/119. Potom 3 1 / 117 = 3 + a, 4 1 / 119 = 4 + b, 1 116 / 117 = 2 - a, 5 118 / 119 = 6 - b.

Daný výraz teda môžeme zapísať ako (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b.

Po vykonaní jednoduchých transformácií polynómu dostaneme 10a alebo 10/117 .

Tu sme získali, že hodnota nášho vyjadrenia nezávisí od b. A to znamená, že sme vypočítali nielen hodnotu tohto výrazu, ale aj akúkoľvek inú získanú z (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b dosadením hodnôt z a a b. Ak je napríklad a = 5/329, potom v odpovedi dostaneme 50 / 329 , čokoľvek b.

Zoberme si ďalší príklad, ktorý je takmer nemožné vyriešiť pomocou kalkulačky a odpoveď je celkom jednoduchá, ak poznáte prístup k riešeniu príkladov tohto typu.

Vypočítajte

1 / 6 7 1024 – (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ( 7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1)

Riešenie.

Poďme transformovať stav

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1 ) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1) (7 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 2 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 4 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 8 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 +1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) · (7 16 – 1) = … =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 512 - 1) = 1/6 7 1024 - 1/6 (7 1024 - 1) = 1/6

Zvážte jeden z príkladov, ktorý sa už stal učebnice v skúšobných materiáloch pre kurz základnej školy.

Vypočítajte súčet:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + ... + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

To znamená, že metóda nahradenia každého zlomku rozdielom dvoch zlomkov nám umožnila vyriešiť tento problém. Ukázalo sa, že súčet sú páry opačných čísel, okrem prvého a posledného.

Ale tento príklad možno zovšeobecniť. Zvážte súčet:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n + ( m – 1)k) (n + mk))

Pre to sú platné všetky rovnaké úvahy, ktoré boli vykonané v predchádzajúcom príklade. Naozaj:

1/n – 1/(n + k) = k/(n (n + k));

1/((n+k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) atď.

Potom zostrojíme odpoveď podľa rovnakej schémy: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

A viac o „dlhých“ sumách.

Suma

X \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

možno vypočítať ako súčet 11 členov geometrickej postupnosti s menovateľom 1/2 a prvým členom 1. Ale rovnaký súčet môže vypočítať aj žiak 5. ročníka, ktorý o postupnosti nemá ani potuchy. K tomu stačí úspešne zvoliť číslo, ktoré pripočítame k súčtu X. Toto číslo tu bude 1/1024.

Vypočítať

X + 1/1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Teraz je zrejmé, že X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

Druhá metóda nie je o nič menej sľubná. S ním môžete vypočítať súčet:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 999 999 999.

Tu je „šťastné“ číslo 11. Pripočítajte ho k S a rovnomerne ho rozdeľte medzi všetkých 11 výrazov. Každý z nich potom dostane 1. Potom máme:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + ... + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Preto S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

V dávnej minulosti, keď ešte nebol vynájdený matematický systém, ľudia počítali všetko na prstoch. S príchodom aritmetiky a základov matematiky sa stalo oveľa jednoduchšie a praktickejšie viesť záznamy o tovare, výrobkoch a domácich veciach. Ako to však vyzerá moderný systém počet: na aké typy sa delia existujúce čísla a čo znamená „racionálna forma čísel“? Poďme na to.

Koľko typov čísel existuje v matematike?

Samotný pojem „číslo“ označuje určitú jednotku akéhokoľvek objektu, ktorá charakterizuje jeho kvantitatívne, porovnávacie alebo ordinálne ukazovatele. Aby ste správne vypočítali počet určitých vecí alebo vykonali určité matematické operácie s číslami (sčítanie, násobenie atď.), Najprv by ste sa mali zoznámiť s rôznymi druhmi rovnakých čísel.

Existujúce čísla teda možno rozdeliť do nasledujúcich kategórií:

Prirodzené čísla sú tie čísla, s ktorými počítame počet predmetov (najmenšie prirodzené číslo je 1, je logické, že rad prirodzených čísel je nekonečný, to znamená, že neexistuje najväčšie prirodzené číslo). Množina prirodzených čísel sa zvyčajne označuje písmenom N.
Celé čísla. Táto sada obsahuje všetky, pričom je pridaná a záporné hodnoty, vrátane čísla „nula“. Označenie množiny celých čísel sa píše vo forme latinského písmena Z.
Racionálne čísla sú tie, ktoré vieme mentálne previesť na zlomok, ktorého čitateľ bude patriť množine celých čísel a menovateľ prirodzeným číslam. Nižšie podrobnejšie rozoberieme, čo znamená „racionálne číslo“, a uvedieme niekoľko príkladov.
- množina, ktorá zahŕňa všetky racionálne a Táto množina sa označuje písmenom R.
Komplexné čísla obsahujú časť reálnej a časť premennej. Používajú sa pri riešení rôznych kubických rovníc, ktoré zase môžu mať vo vzorcoch záporné vyjadrenie (i 2 = -1).

Čo znamená „racionálne“: analyzujeme to na príkladoch

Ak tie čísla, ktoré môžeme reprezentovať ako spoločný zlomok, považujeme za racionálne, potom sa ukáže, že do množiny racionálnych sú zahrnuté aj všetky kladné a záporné celé čísla. Koniec koncov, akékoľvek celé číslo, napríklad 3 alebo 15, môže byť reprezentované ako zlomok, kde menovateľ bude jedna.

Zlomky: -9/3; 7/5, 6/55 sú príklady racionálnych čísel.

Čo znamená „racionálne vyjadrenie“?

Pokračuj. Už sme diskutovali o tom, čo znamená racionálny tvar čísel. Teraz si to predstavme matematický výraz, ktorý pozostáva zo súčtu, rozdielu, súčinu alebo kvocientu rôznych čísel a premenných. Tu je príklad: zlomok, v čitateľovi ktorého je súčet dvoch alebo viacerých celých čísel a menovateľ obsahuje celé číslo aj nejakú premennú. Práve tento výraz sa nazýva racionálny. Na základe pravidla „nulou sa nedá deliť“ môžete uhádnuť, že hodnota tejto premennej nemôže byť taká, aby sa hodnota menovateľa stala nulou. Preto pri riešení racionálneho výrazu musíte najskôr určiť rozsah premennej. Napríklad, ak menovateľ obsahuje nasledujúci výraz: x+5-2, potom sa ukáže, že "x" sa nemôže rovnať -3. V tomto prípade sa totiž celý výraz zmení na nulu, preto je pri riešení potrebné pre túto premennú vylúčiť celé číslo -3.

Ako správne riešiť racionálne rovnice?

Racionálne výrazy môžu obsahovať pomerne veľa veľké množstvočísla a dokonca 2 premenné, takže niekedy sa ich riešenie stáva zložitým. Na uľahčenie riešenia takéhoto výrazu sa odporúča vykonávať určité operácie racionálnym spôsobom. Čo teda znamená „racionálne“ a aké pravidlá by sa mali pri rozhodovaní uplatňovať?

Prvý typ, kedy stačí len zjednodušiť výraz. Ak to chcete urobiť, môžete sa uchýliť k operácii zníženia čitateľa a menovateľa na neredukovateľnú hodnotu. Napríklad, ak čitateľ obsahuje výraz 18x a menovateľ 9x, potom zmenšením oboch ukazovateľov 9x dostaneme len celé číslo rovné 2.
Druhý spôsob je praktický, keď máme v čitateli jednočlen a v menovateli mnohočlen. Pozrime sa na príklad: v čitateli máme 5x a v menovateli - 5x + 20x 2 . V tomto prípade je najlepšie vyňať premennú v menovateli zo zátvoriek, dostaneme nasledujúci tvar menovateľa: 5x(1+4x). A teraz môžete použiť prvé pravidlo a zjednodušiť výraz znížením 5x v čitateli a menovateli. V dôsledku toho dostaneme zlomok tvaru 1/1+4x.

Aké operácie možno vykonať s racionálnymi číslami?

Množina racionálnych čísel má množstvo vlastných zvláštností. Mnohé z nich sú veľmi podobné charakteristike, ktorá je prítomná v celých a prirodzených číslach, vzhľadom na skutočnosť, že tieto sú vždy zahrnuté v racionálnej množine. Tu je niekoľko vlastností racionálnych čísel, ak viete, ktoré, môžete ľahko vyriešiť akýkoľvek racionálny výraz.

Vlastnosť komutativity umožňuje sčítať dve alebo viac čísel bez ohľadu na ich poradie. Zjednodušene povedané, súčet sa nemení zmenou miesta pojmov.
Vlastnosť distributivity umožňuje riešiť problémy pomocou distributívneho zákona.
A nakoniec operácie sčítania a odčítania.

Aj školáci vedia, čo znamenajú „racionálne čísla“ a ako na základe takýchto výrazov riešiť problémy, takže dospelý vzdelaný človek len si treba zapamätať aspoň základy množiny racionálnych čísel.

Kožinová Anastasia

NETYPICKÝ ROZPOČET OBCE

VŠEOBECNÁ VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA

"LYCEUM №76"

V ČOM JE TAJOMSTVO RACIONÁLNEHO POČÍTANIA?

Vykonané:

Žiak 5 „B“ triedy

Kožinová Anastasia

vedúci:

Učiteľ matematiky

Šiklina Tatiana

Nikolajevna

Novokuzneck 2013

Úvod ………………………………………………………… 3

Hlavná časť....……………………………………………….. 5-13

Záver a závery……………………………………………………… 13-14

Referencie……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….

Aplikácie …………………………………………………………. 16-31

ja. Úvod

Problém: nájdenie hodnôt číselných výrazov

Cieľ práce: vyhľadávanie, štúdium existujúcich metód a techník racionálneho počítania, ich aplikácia v praxi.

Úlohy:

1. Vykonajte mini prieskum vo forme dotazníka medzi paralelnými triedami.

2. Analyzujte na tému výskumu: literatúru dostupnú v školskej knižnici, informácie v učebnici matematiky pre 5. ročník, na internete.

3.Vyberte najviac efektívne metódy a prostriedky racionálneho účtovníctva.

4. Vykonajte klasifikáciu existujúcich metód rýchleho ústneho a písomného počítania.

5. Vytvorte poznámky obsahujúce techniky racionálneho počítania na použitie v paralelných 5 triedach.

Predmet štúdia: racionálny účet.

Predmet štúdia: spôsoby racionálneho počítania.

Pre efektivitu výskumná práca Použil som tieto techniky: analýza informácií získaných z rôznych zdrojov, syntéza, zovšeobecnenie; prieskum verejnej mienky formou dotazníka. Dotazník som vypracoval v súlade s účelom a cieľmi štúdie, vekom respondentov a je uvedený v hlavnej časti práce.

V priebehu výskumnej práce sa zvažovali otázky súvisiace s metódami a technikami racionálneho počítania a boli poskytnuté odporúčania na odstránenie problémov s výpočtovou zručnosťou, na formovanie výpočtovej kultúry.

II. Hlavná časť

Formovanie počítačovej kultúry študentov

5-6 tried.

Je zrejmé, že metódy racionálneho počítania sú nevyhnutným prvkom výpočtovej kultúry v živote každého človeka predovšetkým pre ich praktický význam a žiaci ich potrebujú takmer na každej vyučovacej hodine.

Výpočtová kultúra je základom štúdia matematiky a iných akademických disciplín, pretože okrem toho, že výpočty aktivizujú pamäť, pozornosť, pomáhajú racionálne organizovať činnosti a výrazne ovplyvňujú vývoj človeka.

IN Každodenný život, na školenia Keď sa cení každá minúta, je veľmi dôležité rýchlo a racionálne vykonávať ústne a písomné výpočty bez chýb a bez použitia akýchkoľvek ďalších výpočtových nástrojov.

My, školáci, sa s týmto problémom stretávame všade: v triede, doma, v obchode atď. Navyše po 9. a 11. ročníku nás čakajú skúšky vo forme IGA a Jednotnej štátnej skúšky, kde nie je povolené používanie mikrokalkulačky. Preto sa problém formovania výpočtovej kultúry u každého človeka, ktorého prvkom je zvládnutie metód racionálneho počítania, stáva mimoriadne dôležitým.

Potrebné je najmä zvládnuť metódy racionálneho počítania.

pri štúdiu takých predmetov ako matematika, dejepis, technika, informatika atď., čiže racionálne počítanie pomáha osvojiť si príbuzné predmety, lepšie sa orientovať v preberanej látke, v životných situáciách. Na čo teda čakáme? Poďme do sveta tajomstiev Racionálnych metód počítania!!!

Aké problémy majú študenti pri výpočtoch?

Vrstovníci v mojom veku majú často problémy pri vykonávaní rôznych úloh, pri ktorých je potrebné vykonávať výpočty rýchlym a pohodlným spôsobom. . Prečo???

Tu je niekoľko dohadov:

1. Žiak nezvládol dobre preberanú tému

2. Žiak učivo neopakuje

3. Študent má slabé matematické schopnosti

4. Žiak nechce študovať túto tému

5. Žiak sa domnieva, že to pre neho nebude užitočné.

Všetky tieto domnienky som prevzal zo svojich skúseností a skúseností mojich spolužiakov a rovesníkov. Racionálne počítanie však hrá dôležitú úlohu vo výpočtových cvičeniach, preto som študoval, aplikoval a chcem vám predstaviť niektoré techniky racionálneho počítania.

Racionálne metódy ústnych a písomných výpočtov.

V práci aj doma je neustála potreba iný druh výpočtový. Používanie najjednoduchších metód duševného počítania znižuje únavu, rozvíja pozornosť a pamäť. Použitie racionálnych výpočtových metód je nevyhnutné na zvýšenie prácnosti, presnosti a rýchlosti výpočtov. Rýchlosť a presnosť výpočtov je možné dosiahnuť len pri racionálnom využívaní metód a prostriedkov mechanizácie výpočtov, ako aj pri správnom používaní metód mentálneho počítania.

ja. Zjednodušené techniky pridávania čísel

Existujú štyri spôsoby sčítania, ktoré umožňujú urýchliť výpočty.

Metóda postupného bitového sčítania používa sa v mentálnych výpočtoch, pretože zjednodušuje a urýchľuje sčítanie pojmov. Pri použití tejto metódy sa sčítanie začína najvyššími číslicami: zodpovedajúce číslice druhého termínu sa pridajú k prvému termínu.

Príklad. Nájdime súčet čísel 5287 a 3564 metódou postupného bitového sčítania.

Riešenie. Vypočítame v nasledujúcom poradí:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Odpoveď: 8 851

Ďalší spôsob postupného bitového sčítania spočíva v tom, že k najvyššej číslici prvého termínu sa pripočíta najvyššia hodnosť druhého termínu, k ďalšej číslici prvého termínu sa pridá ďalšia číslica druhého termínu atď.

Zoberme si toto riešenie v danom príklade, dostaneme:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Odpoveď: 8851.

metóda okrúhleho čísla . Číslo, ktoré má jednu platnú číslicu a končí jednou alebo viacerými nulami, sa nazýva okrúhle číslo. Táto metóda sa používa, keď je možné vybrať dva alebo viac výrazov, ktoré možno doplniť do okrúhleho čísla. Rozdiel medzi okrúhlym číslom a číslom uvedeným v podmienke výpočtu sa nazýva doplnok. Napríklad 1000 – 978 = 22. V tomto prípade je číslo 22 aritmetickým súčtom čísla 978 k 1000.

Na sčítanie metódou zaokrúhlených čísel je potrebné zaokrúhliť jeden alebo viacero výrazov blízkych zaokrúhleným číslam, pridať zaokrúhlené čísla a od výsledného súčtu odpočítať aritmetické súčty.

Príklad. Nájdite súčet čísel 1238 a 193 pomocou metódy zaokrúhlených čísel.

Riešenie. Zaokrúhlite číslo 193 na 200 a pridajte takto: 1 238 + 193 \u003d (1 238 + 200) - 7 \u003d 1 431. (asociačný zákon)

Spôsob zoskupovania pojmov . Táto metóda sa používa, keď výrazy, keď sú zoskupené, dávajú okrúhle čísla, ktoré sa potom sčítajú.

Príklad. Nájdite súčet čísel 74, 32, 67, 48, 33 a 26.

Riešenie. Sčítajme čísla zoskupené takto: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(asociatívno-posunovací zákon)

alebo ak výsledkom zoskupovania čísel sú rovnaké súčty:

Príklad: 1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(asociatívno-posunovací zákon)

II. Techniky na zjednodušené odčítanie čísel

Metóda postupného bitového odčítania. Táto metóda postupne odpočítava každú odpočítanú číslicu od redukovanej. Používa sa, keď čísla nemožno zaokrúhliť.

Príklad. Nájdite rozdiel medzi číslami 721 a 398.

Riešenie. Vykonajte akcie na nájdenie rozdielu daných čísel v nasledujúcom poradí:

predstavujú číslo 398 ako súčet: 300 + 90 + 8 = 398;

vykonajte bitové odčítanie:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

metóda okrúhleho čísla . Táto metóda sa používa, keď je podradník blízko okrúhleho čísla. Na výpočet je potrebné od redukovaného odpočítať odpočet, braný ako zaokrúhlené číslo, a k výslednému rozdielu pripočítať aritmetický súčet.

Príklad. Vypočítajme rozdiel medzi číslami 235 a 197 metódou okrúhlych čísel.

Riešenie. 235 – 197 = 235 – 200 + 3 = 38.

III. Techniky na zjednodušené násobenie čísel

Násobenie jednotkou nasledované nulami. Pri násobení čísla číslom, ktoré obsahuje jednotku, za ktorou nasledujú nuly (10; 100; 1 000 atď.), sa k nemu vpravo priradí toľko núl, koľko je v násobiteľi za jednotkou.

Príklad. Nájdite súčin čísel 568 a 100.

Riešenie. 568 x 100 = 56 800.

metóda bitového násobenia . Táto metóda sa používa pri násobení čísla ľubovoľným jednociferným číslom. Ak potrebujete vynásobiť dvojciferné (troj, štvorciferné, atď.) číslo jednociferným, tak sa najprv jednociferný násobiteľ vynásobí desiatkami ďalšieho koeficientu, potom jeho jednotkami a výsledný produkty sú zhrnuté.

Príklad. Nájdite súčin čísel 39 a 7.

Riešenie. 39 x 7 \u003d (30 + 9) x 7 \u003d (30 x 7) + (9 x 7) \u003d 210 + 63 \u003d 273. (distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie)

metóda okrúhleho čísla . Táto metóda sa používa iba vtedy, keď je jeden z faktorov blízky okrúhlemu číslu. Násobiteľ sa vynásobí okrúhlym číslom a potom aritmetickým sčítaním a na konci sa druhý odčíta od prvého súčinu.

Príklad. Nájdite súčin čísel 174 a 69.

174 x 69 \u003d 174 x (70-1) \u003d 174 x 70 - 174 x 1 \u003d 12 180 - 174 \u003d 12 006. (distribučný zákon násobenia vzhľadom na odčítanie)

Spôsob, ako rozšíriť jeden z faktorov. Pri tejto metóde sa jeden z faktorov najprv rozloží na časti (termíny), potom sa druhý faktor postupne vynásobí každou časťou prvého faktora a výsledné produkty sa spočítajú.

Príklad. Nájdite súčin čísel 13 a 325.

Rozložme číslo 13 na výrazy: 13 \u003d 10 + 3. Vynásobme každý zo získaných výrazov číslom 325: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975. Sčítanie výsledných produktov: 3250 + 975 = 4225

Osvojenie si zručností racionálneho mentálneho počítania zefektívni vašu prácu. To je možné len s dobrým zvládnutím všetkých vyššie uvedených aritmetických operácií. Použitie racionálnych metód počítania urýchľuje výpočty a poskytuje potrebnú presnosť. Ale musíte vedieť nielen počítať, ale musíte poznať aj tabuľku násobenia, zákony aritmetických operácií, triedy a číslice.

Existujú mentálne počítacie systémy, ktoré vám umožňujú počítať rýchlo a racionálne ústne. Pozrieme sa na niektoré z najčastejšie používaných techník.

Vynásobenie dvojciferného čísla 11.

Študovali sme túto metódu, ale neštudovali sme ju až do konca. tajomstvom tejto metódy je, že ju možno považovať za zákony aritmetických operácií.

Príklady:

23x11 \u003d 23x (10 + 1) \u003d 23x10 + 23x1 \u003d 253 (distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (distributívny zákon a metóda zaokrúhlených čísel)

Túto metódu sme študovali, no inú sme nepoznali. Tajomstvo násobenia dvojciferných čísel 11.

Pozorovaním výsledkov získaných pri vynásobení dvojciferných čísel 11 som si všimol, že odpoveď môžete získať pohodlnejšie. : pri vynásobení dvojciferného čísla 11 sa číslice tohto čísla odsunú a súčet týchto číslic sa umiestni do stredu.

a) 23 11=253, pretože 2+3=5;

b) 45 11=495, pretože 4+5=9;

c) 57 11=627, pretože 5+7=12, dva boli umiestnené v strede a jeden bol pridaný na miesto stoviek;

d) 78 11=858, keďže 7+8=15, potom sa počet desiatok bude rovnať 5 a počet stoviek sa zvýši o jednu a bude sa rovnať 8.

Na internete som našiel potvrdenie tejto metódy.

2) Súčin dvojciferných čísel, ktoré majú rovnaký počet desiatok, a súčet jednotiek je 10, teda 23 27; 34 36; 52 58 atď.

pravidlo: číslica desiatok sa vynásobí ďalšou číslicou v prirodzenom rade, zaznamená sa výsledok a priradí sa mu súčin jednotiek.

a) 23 27 = 621. Ako ste dostali 621? Číslo 2 vynásobíme 3 (po „dvoch“ nasleduje „tri“), bude to 6 a potom priradíme súčin jednotiek: 3 7 \u003d 21, ukáže sa 621.

b) 34 36 = 1224, keďže 3 4 = 12, číslu 12 priradíme 24, ide o súčin jednotiek týchto čísel: 4 6.

c) 52 58 \u003d 3016, keďže vynásobíme desiatky číslo 5 6, bude to 30, priradíme súčin 2 a 8, t.j. 16.

d) 6169=4209. Je jasné, že 6 bolo vynásobené 7 a dostal 42. A odkiaľ pochádza nula? Vynásobili sme jednotky a dostali sme: 1 9 \u003d 9, ale výsledok musí byť dvojciferný, takže vezmeme 09.

3) Trojciferné čísla, ktoré majú rovnaké číslice, vydeľte číslom 37. Výsledkom je súčet týchto rovnakých číslic trojciferného čísla (alebo čísla, ktoré sa rovná trojnásobku číslice trojciferného čísla).

Príklady: a) 222:37=6. Toto je súčet 2+2+2=6; b) 333:37=9, pretože 3+3+3=9.

c) 777:37=21, t.j. do 7+7+7=21.

d) 888:37=24, pretože 8+8+8=24.

Berieme do úvahy aj fakt, že 888:24=37.

III. Záver

Aby som odhalil hlavné tajomstvo v téme mojej práce, musel som tvrdo pracovať - hľadať, analyzovať informácie, pýtať sa spolužiakov, opakovať známe metódy a nájsť veľa neznámych metód racionálneho počítania a nakoniec pochopiť aké je jeho tajomstvo? A uvedomil som si, že hlavné je poznať a vedieť aplikovať tie známe, nájsť nové racionálne metódy počítania, násobilku, zloženie čísla (triedy a číslice), zákony aritmetických operácií. okrem toho

hľadajte nové spôsoby, ako to urobiť:

- Zjednodušené techniky pridávania čísel: (metóda postupného bitového sčítania; metóda zaokrúhleného čísla; metóda rozkladu jedného z faktorov na pojmy);

-Techniky na zjednodušené odčítanie čísel(metóda postupného bitového odčítania; metóda zaokrúhleného čísla);

-Techniky na zjednodušené násobenie čísel(násobenie jednotkou nasledované nulami; metóda bitového násobenia; metóda zaokrúhlenia; metóda rozšírenia jedného z faktorov ;

- Tajomstvo rýchleho mentálneho počítania(vynásobenie dvojciferného čísla 11: pri vynásobení dvojciferného čísla 11 sa číslice tohto čísla odsunú a súčet týchto číslic sa umiestni do stredu; súčin dvojciferných čísel, ktoré majú rovnaký počet desiatok a súčet jednotiek je 10. Delenie trojciferných čísel skladajúcich sa z rovnakých číslic na číslo 37. Takýchto spôsobov je zrejme oveľa viac, preto sa tejto téme budem venovať aj budúci rok.

IV. Bibliografia

Savin A. P. Matematické miniatúry / A. P. Savin. - M .: Detská literatúra, 1991

2. Zubareva I.I., Matematika, ročník 5: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / I.I. Zubareva, A.G. Mordkovič. – M.: Mnemosyne, 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http://www. biografia.ru

6. http://www. Matematika-opakovanie. en

V. Aplikácie

Miništúdia (prieskum vo forme dotazníka)

Na zistenie vedomostí žiakov o racionálnom počítaní som uskutočnil prieskum formou dotazníka na tieto otázky:

* Viete, čo sú racionálne metódy počítania?

* Ak áno, kde a ak nie, prečo nie?

* Koľko spôsobov racionálneho počítania poznáte?

* Máte problémy s mentálnym počítaním?

* Ako sa vám učí matematika? a) na "5"; b) na "4"; c) na "3"

* Čo ťa na matematike najviac baví?

a) príklady; b) úlohy; c) zlomky

* Čo si myslíte, kde môže byť mentálne počítanie užitočné, okrem matematiky? * Pamätáte si zákony aritmetických operácií, ak áno, ktoré?

Po vykonaní prieskumu som si uvedomil, že moji spolužiaci dostatočne nepoznajú zákony počtových operácií, väčšina z nich má problémy s racionálnym počítaním, veľa žiakov počíta pomaly a s chybami a každý sa chce naučiť počítať rýchlo, správne a v pohodlný spôsob. Preto je téma mojej výskumnej práce mimoriadne dôležitá pre všetkých študentov a nielen.

1. Zaujímavé ústne a písomné metódy výpočtov, ktoré sme študovali na hodinách matematiky na príkladoch učebnice „matematika, ročník 5“:

Tu sú niektoré z nich:

rýchlo vynásobiť číslo 5, stačí poznamenať, že 5=10:2.

Napríklad 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

Vynásobiť číslo 50 , môžete ho vynásobiť 100 a vydeliť 2.

Napríklad: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Ak chcete vynásobiť číslo 25 , môžete to vynásobiť 100 a deliť 4,

Napríklad 32x25=(32x100):4=3200:4=800

Vynásobte číslo číslom 125 , môžete to vynásobiť 1000 a vydeliť 8,

Napríklad: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Ak chcete urobiť okrúhle číslo končiace dvoma 0 delené 25 , môžete ho vydeliť 100 a vynásobiť 4.

Napríklad: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Vydeliť okrúhle číslo 50 , možno vydeliť 100 a vynásobiť 2

Napríklad: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Ale nielen musíte vedieť počítať, ale musíte poznať aj násobilku, zákony aritmetických operácií, zloženie čísla (triedy a číslice) a mať zručnosti na ich používanie.

Zákony aritmetických operácií.

a + b = b + a

Komutatívny zákon sčítania

(a + b) + c = a + (b + c)

Asociačný zákon sčítania

a · b = b · a

Komutatívny zákon násobenia

(a · b) · c = a · (b · c)

Asociačný zákon násobenia

(a = b) · c = a · c = b · c

Distribučný zákon násobenia (vzhľadom na sčítanie)

Násobiteľská tabuľka.

Čo je to násobenie?

Toto je šikovný doplnok.

Koniec koncov, je múdrejšie násobiť časy,

Než na hodinu všetko zrátať.

Násobiteľská tabuľka

Všetci to v živote potrebujeme.

A nie bez dôvodu menoval

VYNÁSOBTE to!

Hodnosti a triedy

Aby bolo pohodlné čítanie a zapamätanie si čísel s veľkými hodnotami, mali by byť rozdelené do takzvaných „tried“: počnúc sprava je číslo rozdelené medzerou na tri číslice „prvá trieda“, potom tri je zvolených viac číslic, „druhá trieda“ atď. V závislosti od hodnoty čísla, posledná trieda môže končiť tromi, dvoma alebo jednou číslicou.

Napríklad číslo 35461298 je napísané takto:

Toto číslo je rozdelené do tried:

482 - prvá trieda (trieda jednotiek)

630 - druhá trieda (trieda tisícov)

35 - tretia trieda (trieda miliónov)

Vypúšťanie

Každá z číslic, ktoré tvoria triedu, sa nazýva jej kategória, ktorej odpočítavanie ide tiež doprava.

Napríklad číslo 35 630 482 možno rozložiť na triedy a číslice:

482 - prvá trieda

2 - prvá číslica (číslica jednotky)

8 - druhá číslica (desiatky)

4 - tretia číslica (stovky číslic)

630 - druhá trieda

0 - prvá číslica (tisíce číslic)

3 - druhá číslica (číslica desiatok tisíc)

6 – tretia číslica (stotisíc číslic)

35 - tretia trieda

5 – prvá číslica (číslica jednotiek miliónov)

3 - druhá číslica (číslica desiatok miliónov)

Číslo 35 630 482 znie:

Tridsaťpäť miliónov šesťsto tridsaťtisíc štyristo osemdesiatdva.

Problémy s racionálnym počítaním a ako ich opraviť

Racionálne metódy memorovania.

Výsledkom prieskumu a postrehov z hodín som si všimol, že niektorí žiaci neriešia dobre rôzne úlohy a cvičenia, pretože nepoznajú racionálne metódy výpočtu.

1. Jednou z metód je preniesť naštudovaný materiál do systému, ktorý je vhodný na zapamätanie a uloženie do pamäte.

2. Aby mohol byť zapamätaný materiál uložený pamäťou v určitom systéme, je potrebné vykonať nejakú prácu na jeho obsahu.

3. Potom môžete začať ovládať každú jednotlivú časť textu, znova si ju prečítať a pokúsiť sa okamžite reprodukovať (opakovať pre seba alebo nahlas), čo čítate.

4. Veľký význam pre zapamätanie má opakovanie učiva. Aj toto sa hovorí ľudové príslovie: "Opakovanie je matkou učenia." Ale treba to aj rozumne a správne opakovať.

Práca na opakovaní musí byť oživená kresbou na ilustráciách alebo príkladoch, ktoré predtým neexistovali alebo sú už zabudnuté.

Na základe vyššie uvedeného môžeme stručne sformulovať nasledujúce odporúčania pre úspešnú asimiláciu vzdelávacieho materiálu:

1. Stanovte si úlohu, rýchlo a pevne si ju zapamätajte vzdelávací materiál na dlhú dobu.

2. Sústreďte sa na to, čo sa treba naučiť.

3. Dobre porozumieť študijnému materiálu.

4. Urobte si plán zapamätaného textu, zvýraznite v ňom hlavné myšlienky, rozdeľte text na časti.

5. Ak je materiál veľký, postupne asimilujte jednu časť po druhej a potom uveďte všetko ako celok.

6. Po prečítaní materiálu je potrebné ho reprodukovať (povedzte, čo bolo prečítané).

7. Opakujte látku, kým na ňu nezabudnete.

8. Rozložte opakovanie na dlhší čas.

9. Pri zapamätávaní používajte rôzne typy pamäte (predovšetkým sémantickú) a niekt individuálnych charakteristík pamäť (vizuálna, sluchová alebo motorická).

10. Ťažký materiál by sa mal opakovať pred spaním a potom ráno, "pre čerstvú pamäť."

11. Pokúste sa aplikovať získané poznatky v praxi. Toto Najlepšia cesta ich uchovávanie v pamäti (nie nadarmo sa hovorí: „Skutočnou matkou náuky nie je opakovanie, ale aplikácia“).

12. Je potrebné získať viac vedomostí, naučiť sa niečo nové.

Teraz ste sa naučili, ako rýchlo a správne zapamätať študovaný materiál.

Zaujímavá technika násobenia niektorých čísel číslom 9 v kombinácii so sčítaním po sebe idúcich prirodzených čísel od 2 do 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Zaujímavá hra „Hádaj číslo“

Hrali ste hru Uhádni číslo? Toto je veľmi jednoduchá hra. Povedzme, že myslím na prirodzené číslo menšie ako 100, napíšete si ho na papier (aby nebolo možné podvádzať) a pokúsite sa ho uhádnuť kladením otázok, na ktoré možno odpovedať iba „áno“ alebo „nie“. . Potom uhádnete číslo a ja sa ho pokúsim uhádnuť. Kto môže hádať menší počet vyhral otázky.

Koľko otázok potrebujete, aby ste uhádli moje číslo? Neviem? Zaväzujem sa uhádnuť vaše číslo tak, že položím iba sedem otázok. Ako? Ale napríklad ako. Nechajte si uhádnuť číslo. Pýtam sa: "Je to menej ako 64?" - "Áno". - "Menej ako 32?" - "Áno". - "Menej ako 16?" - "Áno". - "Menej ako 8?" - "Nie". - "Menej ako 12?" - "Nie". - "Menej ako 14?" - "Áno". - "Menej ako 13?" - "Nie". - "Číslo 13 je počaté."

To je jasné? Množinu možných čísel rozdelím na polovicu, potom zvyšnú polovicu znova na polovicu a tak ďalej, až kým zvyšok nebude jedno číslo.

Ak sa vám hra páčila alebo naopak chcete viac, choďte do knižnice a vezmite si knihu „A. P. Savin (Matematické miniatúry). V tejto knihe nájdete veľa zaujímavých a vzrušujúcich vecí. Obrázok knihy:

Ďakujem vám všetkým za pozornosť

A prajem veľa úspechov!!!

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Aké je tajomstvo racionálneho počítania?

Cieľ práce: vyhľadávanie informácií, štúdium existujúcich metód a techník racionálneho počítania, ich aplikácia v praxi.

Úlohy: 1. Vykonajte mini prieskum vo forme dotazníka medzi paralelnými triedami. 2. Analyzujte na tému výskumu: literatúru dostupnú v školskej knižnici, informácie v učebnici matematiky pre 5. ročník, ako aj na internete. 3. Vyberte najefektívnejšie metódy a prostriedky racionálneho počítania. 4. Vykonajte klasifikáciu existujúcich metód rýchleho ústneho a písomného počítania. 5. Vytvorte poznámky obsahujúce techniky racionálneho počítania na použitie v paralelných 5 triedach.

Ako som už povedal, téma racionálneho počítania je aktuálna nielen pre žiakov, ale pre každého človeka, aby som sa o tom uistil, urobil som prieskum medzi žiakmi 5. ročníka. Otázky a odpovede prieskumu sú vám prezentované v aplikácii.

Čo je racionálny účet? Racionálny účet je pohodlný účet (slovo racionálne znamená pohodlný, správny)

Prečo majú študenti ťažkosti?

Tu sú niektoré predpoklady: Žiak: 1. nezvládol dobre preberanú tému; 2. neopakuje látku; 3. má slabé počítacie schopnosti; 4. si myslí, že to nebude potrebovať.

Racionálne metódy ústnych a písomných výpočtov. V práci a živote neustále vyvstáva potreba rôznych druhov výpočtov. Používanie najjednoduchších metód duševného počítania znižuje únavu, rozvíja pozornosť a pamäť.

Existujú štyri spôsoby sčítania, ktoré umožňujú urýchliť výpočty. I. Techniky na zjednodušené sčítanie čísel

Metóda postupného bitového sčítania sa používa v mentálnych výpočtoch, pretože zjednodušuje a urýchľuje sčítanie pojmov. Pri použití tejto metódy sa sčítanie začína najvyššími číslicami: zodpovedajúce číslice druhého termínu sa pridajú k prvému termínu. Príklad. Nájdite súčet čísel 5287 a 3564 pomocou tejto metódy. Riešenie. Budeme počítať v nasledujúcom poradí: 5 287 + 3 000 = 8 287; 8287 + 500 = 8787; 8787 + 60 = 8847; 8847 + 4 = 8851. Odpoveď: 8 851.

Ďalším spôsobom postupného bitového sčítania je, že najvyššia číslica druhého členu sa pridá k najvyššej číslici prvého členu, potom sa ďalšia číslica druhého členu pridá k ďalšej číslici prvého členu atď. Uvažujme toto riešenie v danom príklade, dostaneme: 5 000 + 3 000 = 8 000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Odpoveď: 8851.

metóda okrúhleho čísla. Číslo, ktoré končí jednou alebo viacerými nulami, sa nazýva okrúhle číslo. Táto metóda sa používa, keď je možné vybrať dva alebo viac výrazov, ktoré možno doplniť do okrúhleho čísla. Rozdiel medzi okrúhlym číslom a číslom uvedeným v podmienke výpočtu sa nazýva doplnok. Napríklad 1000 – 978 = 22. V tomto prípade je číslo 22 aritmetickým doplnkom čísla 978 až 1000. Na sčítanie metódou zaokrúhlených čísel je potrebné zaokrúhliť jeden alebo viacero výrazov blízkych zaokrúhleným číslam, pridať zaokrúhlené čísla a od výsledného súčtu odpočítať aritmetické súčty. Príklad. Nájdite súčet čísel 1238 a 193 pomocou metódy zaokrúhlených čísel. Riešenie. Zaokrúhlite číslo 193 na 200 a pridajte takto: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431.

Metóda zoskupovania výrazov. Táto metóda sa používa, keď výrazy, keď sú zoskupené, dávajú okrúhle čísla, ktoré sa potom sčítajú. Príklad. Nájdite súčet čísel 74, 32, 67, 48, 33 a 26. Riešenie. Sčítajme čísla zoskupené takto: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Metóda sčítania založená na zoskupení pojmov. Príklad: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101 x 50 = 5 050.

II. Techniky na zjednodušené odčítanie čísel

Metóda postupného bitového odčítania. Táto metóda postupne odpočítava každú odpočítanú číslicu od redukovanej. Používa sa, keď čísla nemožno zaokrúhliť. Príklad. Nájdite rozdiel medzi číslami 721 a 398 . Vykonajte akcie na nájdenie rozdielu daných čísel v nasledujúcom poradí: reprezentujte číslo 398 ako súčet: 300 + 90 + 8 = 398; vykonať bitové odčítanie: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 – 8 = 323.

metóda okrúhleho čísla. Táto metóda sa používa, keď je podradník blízko okrúhleho čísla. Na výpočet je potrebné od redukovaného odpočítať odpočet, braný ako zaokrúhlené číslo, a k výslednému rozdielu pripočítať aritmetický súčet. Príklad. Vypočítajme rozdiel medzi číslami 235 a 197 metódou okrúhlych čísel. Riešenie. 235 – 197 = 235 – 200 + 3 = 38.

III. Techniky na zjednodušené násobenie čísel

Násobenie jednotkou nasledované nulami. Pri násobení čísla číslom, ktoré obsahuje jednotku, za ktorou nasledujú nuly (10; 100; 1 000 atď.), sa k nemu vpravo priradí toľko núl, koľko je v násobiteľi za jednotkou. Príklad. Nájdite súčin čísel 568 a 100. Riešenie. 568 x 100 = 56 800.

Metóda postupného bitového násobenia. Táto metóda sa používa pri násobení čísla ľubovoľným jednociferným číslom. Ak potrebujete vynásobiť dvojciferné (troj, štvormiestne, atď.) číslo jedným, potom sa najprv jeden z faktorov vynásobí desiatkami druhého faktora, potom jeho jednotkami a výsledné produkty sú zhrnul. Príklad. Nájdite súčin čísel 39 a 7. Riešenie. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

metóda okrúhleho čísla. Táto metóda sa používa iba vtedy, keď je jeden z faktorov blízky okrúhlemu číslu. Násobiteľ sa vynásobí okrúhlym číslom a potom aritmetickým sčítaním a na konci sa druhý odčíta od prvého súčinu. Príklad. Nájdite súčin čísel 174 a 69. Riešenie. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12 180 - 174 = 12 006.

Spôsob, ako rozšíriť jeden z faktorov. Pri tejto metóde sa jeden z faktorov najprv rozloží na časti (termíny), potom sa druhý faktor postupne vynásobí každou časťou prvého faktora a výsledné produkty sa spočítajú. Príklad. Nájdite súčin čísel 13 a 325. Riešenie. Rozložme číslo na výrazy: 13 \u003d 10 + 3. Vynásobme každý zo získaných výrazov číslom 325: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975 Získané produkty spočítame: 3 250 + 975 = 4 225.

Tajomstvo rýchleho mentálneho počítania. Existujú mentálne počítacie systémy, ktoré vám umožňujú počítať rýchlo a racionálne ústne. Pozrieme sa na niektoré z najčastejšie používaných techník.

Vynásobenie dvojciferného čísla 11.

Príklady: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (distributívny zákon a metóda zaokrúhleného čísla) študovali túto metódu, ale nepoznali sme ďalšie tajomstvo násobenia dvojciferných čísel 11.

Pri sledovaní výsledkov získaných pri vynásobení dvojciferných čísel 11 som si všimol, že odpoveď môžete získať pohodlnejšie: pri vynásobení dvojciferného čísla 11 sa číslice tohto čísla od seba vzdialia a ich súčet číslice sú umiestnené v strede. Príklady. a) 23 11=253, pretože 2+3=5; b) 45 11=495, pretože 4+5=9; c) 57 11=627, pretože 5+7=12, dva boli umiestnené v strede a jeden bol pridaný na miesto stoviek; Na internete som našiel potvrdenie tejto metódy.

2) Súčin dvojciferných čísel, ktoré majú rovnaký počet desiatok a súčet jednotiek je 10, t.j. 23 27; 34 36; 52 58 atď. Pravidlo: číslica desiatok sa vynásobí ďalšou číslicou prirodzeného radu, zapíše sa výsledok a priradí sa súčin jednotiek. Príklady. a) 23 27 = 621. Ako ste dostali 621? Číslo 2 vynásobíme 3 (po „dvoch“ nasleduje „tri“), bude to 6 a potom priradíme súčin jednotiek: 3 7 \u003d 21, ukáže sa 621. b) 34 36 = 1224, keďže 3 4 = 12, číslu 12 priradíme 24, ide o súčin jednotiek týchto čísel: 4 6.

3) Delenie trojciferných čísel pozostávajúcich z rovnakých číslic číslom 37. Výsledok sa rovná súčtu týchto zhodných číslic trojciferného čísla (alebo čísla rovnajúcemu sa trojnásobku číslice trojciferného čísla). ). Príklady. a) 222:37 = 6. Toto je súčet 2+2+2=6. b) 333:37=9, pretože 3+3+3=9. c) 777:37=21, pretože 7+7+7=21. d) 888:37=24, pretože 8+8+8=24. Berieme do úvahy aj fakt, že 888:24=37.

Záver Aby som odhalil hlavné tajomstvo v téme mojej práce, musel som tvrdo pracovať - hľadať, analyzovať informácie, pýtať sa spolužiakov, opakovať známe metódy a nájsť veľa neznámych metód racionálneho počítania a nakoniec pochopiť, čo je jeho tajomstvo? A uvedomil som si, že hlavné je poznať a vedieť aplikovať tie známe, nájsť nové racionálne metódy počítania, poznať násobilku, zloženie čísla (triedy a číslice), zákony aritmetických operácií. Okrem toho hľadajte nové spôsoby, ako to urobiť:

Techniky zjednodušeného sčítania čísel: (metóda postupného bitového sčítania; metóda zaokrúhleného čísla; metóda rozkladu jedného z faktorov na pojmy); - Techniky zjednodušeného odčítania čísel (metóda postupného bitového odčítania; metóda zaokrúhleného čísla); - Techniky zjednodušeného násobenia čísel (násobenie jednotkou nasledovanou nulami; metóda postupného bitového násobenia; metóda okrúhleho čísla; metóda rozšírenia jedného z faktorov; - Tajomstvá rýchleho mentálneho počítania (násobenie dvojciferného čísla 11: pri vynásobení dvojciferného čísla 11 sa číslice tohto čísla odsunú a do stredu dajú súčet týchto číslic; súčin dvojciferných čísel, ktoré majú rovnaký počet desiatok, a súčet jednotiek je 10. Delenie trojciferných čísel skladajúcich sa z rovnakých číslic číslom 37. Takýchto spôsobov je zrejme ešte veľa, preto sa tejto téme budem venovať aj budúci rok.

Na záver by som chcel svoj prejav ukončiť nasledujúcimi slovami:

Ďakujem vám všetkým za pozornosť, prajem veľa úspechov!!!

IN túto lekciu uvažuje sa sčítanie a odčítanie racionálnych čísel. Téma je klasifikovaná ako komplexná. Tu je potrebné využiť celý arzenál predtým nadobudnutých vedomostí.

Pravidlá pre sčítanie a odčítanie celých čísel platia aj pre racionálne čísla. Pripomeňme, že racionálne čísla sú čísla, ktoré možno znázorniť ako zlomok, kde a - je čitateľ zlomku b je menovateľ zlomku. pričom b by nemalo byť nulové.

V tejto lekcii budeme čoraz častejšie označovať zlomky a zmiešané čísla ako jednu spoločnú frázu - racionálne čísla.

Navigácia v lekcii:

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu:

Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že plus, ktoré je uvedené vo výraze, je znamienkom operácie a neplatí pre zlomky. Tento zlomok má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:

Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Ak chcete pridať racionálne čísla s rôznymi znamienkami, musíte odčítať menší modul od väčšieho modulu a pred odpoveď vložiť znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší. A aby ste pochopili, ktorý modul je väčší a ktorý je menší, musíte byť schopní porovnať moduly týchto zlomkov pred ich výpočtom:

Modul racionálneho čísla je väčší ako modul racionálneho čísla. Preto sme odpočítali od . Dostal som odpoveď. Potom, znížením tohto zlomku o 2, sme dostali konečnú odpoveď.

Niektoré primitívne akcie, ako je vkladanie čísel do zátvoriek a odkladanie modulov, je možné preskočiť. Tento príklad možno napísať kratšie:

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu:

Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že mínus medzi racionálnymi číslami a je znakom operácie a neplatí pre zlomky. Tento zlomok má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:

Odčítanie nahradíme sčítaním. Pripomeňme si, že na tento účel musíte k minuendu pridať číslo opačné k subtrahendu:

Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Ak chcete pridať záporné racionálne čísla, musíte pridať ich moduly a pred odpoveď dať mínus:

Poznámka. Nie je potrebné uzatvárať každé racionálne číslo do zátvoriek. Toto sa robí pre pohodlie, aby bolo jasné, aké znaky majú racionálne čísla.

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu:

V tomto výraze zlomky rôznych menovateľov. Aby sme si veci uľahčili, zredukujeme tieto zlomky na spoločný menovateľ. Nebudeme sa podrobne venovať tomu, ako to urobiť. Ak máte ťažkosti, lekciu zopakujte.

Po zredukovaní zlomkov na spoločného menovateľa bude mať výraz nasledujúcu formu:

Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Menší modul odčítame od väčšieho modulu a pred prijatú odpoveď vložíme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:

Zapíšme si riešenie tohto príkladu kratšie:

Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu

Tento výraz vypočítame nasledujúcim spôsobom: sčítame racionálne čísla a potom od získaného výsledku odčítame racionálne číslo.

Prvá akcia:

Druhá akcia:

Príklad 5. Nájdite hodnotu výrazu:

Predstavme si celé číslo −1 ako zlomok a preložme zmiešané číslo na nesprávny zlomok:

Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:

Získali sme sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Menší modul odčítame od väčšieho modulu a pred prijatú odpoveď vložíme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:

Dostal som odpoveď.

Existuje aj druhé riešenie. Spočíva v zložení celých častí samostatne.

Takže späť k pôvodnému výrazu:

Každé číslo uzavrite do zátvoriek. Pre toto zmiešané číslo dočasne:

Vypočítajme časti celého čísla:

(−1) + (+2) = 1

V hlavnom výraze namiesto (−1) + (+2) napíšeme výslednú jednotku:

Výsledný výraz. Za týmto účelom napíšte jednotku a zlomok spolu:

Napíšme riešenie týmto spôsobom kratšie:

Príklad 6 Nájdite hodnotu výrazu

Preveďte zmiešané číslo na nesprávny zlomok. Zvyšok prepíšeme bez zmeny:

Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:

Nahraďte odčítanie sčítaním:

Zapíšme si riešenie tohto príkladu kratšie:

Príklad 7 Nájdite výraz hodnoty

Predstavme si celé číslo −5 ako zlomok a preložme zmiešané číslo na nesprávny zlomok:

Priveďme tieto zlomky k spoločnému menovateľovi. Po ich privedení k spoločnému menovateľovi budú mať nasledujúcu podobu:

Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:

Nahraďte odčítanie sčítaním:

Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme moduly týchto čísel a pred prijatú odpoveď dáme mínus:

Hodnota výrazu je teda .

Vyriešme tento príklad druhým spôsobom. Vráťme sa k pôvodnému výrazu:

Napíšme zmiešané číslo v rozšírenom tvare. Zvyšok prepíšeme bez zmien:

Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:

Vypočítajme časti celého čísla:

V hlavnom výraze namiesto písania výsledného čísla −7

Výraz je rozšírená forma zápisu zmiešaného čísla. Napíšme spolu číslo −7 a zlomok, čím vznikne konečná odpoveď:

V krátkosti napíšeme toto riešenie:

Príklad 8 Nájdite hodnotu výrazu

Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:

Nahraďte odčítanie sčítaním:

Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme moduly týchto čísel a pred prijatú odpoveď dáme mínus:

Hodnota výrazu je teda

Tento príklad možno vyriešiť druhým spôsobom. Spočíva v pridávaní celku a zlomkových častí oddelene. Vráťme sa k pôvodnému výrazu:

Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:

Nahraďte odčítanie sčítaním:

Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme moduly týchto čísel a pred prijatú odpoveď dáme mínus. Ale tentoraz pridávame oddelene celočíselné časti (−1 a −2) a zlomkové a

V krátkosti napíšeme toto riešenie:

Príklad 9 Nájdite výrazy

Previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:

Racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkom. Racionálne číslo nemusí byť uzavreté v zátvorkách, pretože je už v zátvorkách:

Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme moduly týchto čísel a pred prijatú odpoveď dáme mínus:

Hodnota výrazu je teda

Teraz skúsme vyriešiť ten istý príklad druhým spôsobom, a to pridaním celočíselnej a zlomkovej časti oddelene.

Tentoraz, aby sme získali krátke riešenie, skúsme preskočiť niektoré akcie, ako je písanie zmiešaného čísla v rozšírenej forme a nahradenie odčítania sčítaním:

Všimnite si, že zlomkové časti boli zredukované na spoločného menovateľa.

Príklad 10 Nájdite hodnotu výrazu

Nahraďte odčítanie sčítaním:

Výsledný výraz nie záporné čísla ktoré sú hlavnou príčinou chýb. A keďže neexistujú žiadne záporné čísla, môžeme odstrániť plus pred subtrahendom a tiež odstrániť zátvorky:

Výsledkom je jednoduchý výraz, ktorý sa dá ľahko vypočítať. Vypočítajme to akýmkoľvek spôsobom, ktorý nám vyhovuje:

Príklad 11. Nájdite hodnotu výrazu

Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Odčítajme menší modul od väčšieho modulu a pred prijaté odpovede dáme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:

Príklad 12. Nájdite hodnotu výrazu

Výraz sa skladá z niekoľkých racionálnych čísel. Podľa toho musíte v prvom rade vykonať akcie v zátvorkách.

Najprv vypočítame výraz , potom výraz Pridáme získané výsledky.

Prvá akcia:

Druhá akcia:

Tretia akcia:

odpoveď: hodnota výrazu rovná sa

Príklad 13 Nájdite hodnotu výrazu

Previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:

Racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkom. Racionálne číslo nemusí byť uzavreté v zátvorkách, pretože je už v zátvorkách:

Dajme tieto zlomky v spoločnom menovateli. Po ich privedení k spoločnému menovateľovi budú mať nasledujúcu podobu:

Nahraďte odčítanie sčítaním:

Získali sme sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Odčítajme menší modul od väčšieho modulu a pred prijaté odpovede dáme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:

Teda hodnota výrazu rovná sa

Zvážte sčítanie a odčítanie desatinných zlomkov, ktoré sú tiež racionálnymi číslami a ktoré môžu byť kladné aj záporné.

Príklad 14 Nájdite hodnotu výrazu −3,2 + 4,3

Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že plus, ktoré je uvedené vo výraze, je znamienkom operácie a neplatí pre desatinný zlomok 4.3. Táto desatinná čiarka má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:

(−3,2) + (+4,3)

Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Ak chcete pridať racionálne čísla s rôznymi znamienkami, musíte odčítať menší modul od väčšieho modulu a pred odpoveď vložiť znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší. A aby ste pochopili, ktorý modul je väčší a ktorý menší, musíte byť schopní porovnať moduly týchto desatinných zlomkov pred ich výpočtom:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Modul 4,3 je väčší ako modul -3,2, preto sme od 4,3 odpočítali 3,2. Dostal som odpoveď 1.1. Odpoveď je áno, pretože pred odpoveďou musí byť znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší. A modul 4,3 je väčší ako modul -3,2

Hodnota výrazu −3,2 + (+4,3) je teda 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Príklad 15 Nájdite hodnotu výrazu 3,5 + (-8,3)

Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade odčítame menší od väčšieho modulu a pred odpoveď vložíme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Hodnota výrazu 3,5 + (−8,3) sa teda rovná −4,8

Tento príklad možno napísať kratšie:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Príklad 16 Nájdite hodnotu výrazu −7,2 + (−3,11)

Ide o sčítanie záporných racionálnych čísel. Ak chcete pridať záporné racionálne čísla, musíte pridať ich moduly a pred odpoveď dať mínus.

Záznam s modulmi môžete preskočiť, aby ste sa vyhli preplneniu výrazu:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Hodnota výrazu −7,2 + (−3,11) sa teda rovná −10,31

Tento príklad možno napísať kratšie:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Príklad 17. Nájdite hodnotu výrazu −0,48 + (−2,7)

Ide o sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme ich moduly a pred prijatú odpoveď dáme mínus. Záznam s modulmi môžete preskočiť, aby ste sa vyhli preplneniu výrazu:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Príklad 18. Nájdite hodnotu výrazu −4,9 − 5,9

Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že mínus, ktoré sa nachádza medzi racionálnymi číslami −4,9 a 5,9, je znamienkom operácie a neplatí pre číslo 5,9. Toto racionálne číslo má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné kvôli tomu, že nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:

(−4,9) − (+5,9)

Nahraďte odčítanie sčítaním:

(−4,9) + (−5,9)

Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme ich moduly a pred prijatú odpoveď dáme mínus:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Hodnota výrazu −4,9 − 5,9 sa teda rovná −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Príklad 19. Nájdite hodnotu výrazu 7 − 9.3

Každé číslo spolu s jeho znamienkami uzavrite do zátvoriek

(+7) − (+9,3)

Odčítanie nahradíme sčítaním

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Hodnota výrazu 7 − 9,3 je teda −2,3

Zapíšme si riešenie tohto príkladu kratšie:

7 − 9,3 = −2,3

Príklad 20. Nájdite hodnotu výrazu −0,25 − (−1,2)

Nahraďte odčítanie sčítaním:

−0,25 + (+1,2)

Získali sme sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Menší modul odčítame od väčšieho modulu a pred odpoveď dáme znamienko čísla, ktorého modul je väčší:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Zapíšme si riešenie tohto príkladu kratšie:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Príklad 21. Nájdite hodnotu výrazu -3,5 + (4,1 - 7,1)

Vykonajte činnosti v zátvorkách a potom pridajte prijatú odpoveď s číslom −3,5

Prvá akcia:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Druhá akcia:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

odpoveď: hodnota výrazu −3,5 + (4,1 − 7,1) je −6,5.

Príklad 22. Nájdite hodnotu výrazu (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1)

Urobme zátvorky. Potom od čísla, ktoré je výsledkom vykonania prvých zátvoriek, odčítajte číslo, ktoré je výsledkom vykonania druhých zátvoriek:

Prvá akcia:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Druhá akcia:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Tretie dejstvo

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

odpoveď: hodnota výrazu (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1) je 6.

Príklad 23. Nájdite hodnotu výrazu −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Do zátvoriek uzatvorte každé racionálne číslo spolu s jeho znamienkami

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Kde je to možné, nahraďme odčítanie sčítaním:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Výraz sa skladá z niekoľkých pojmov. Podľa asociatívneho zákona sčítania, ak výraz pozostáva z niekoľkých pojmov, potom súčet nebude závisieť od poradia akcií. To znamená, že výrazy môžu byť pridané v akomkoľvek poradí.

Nebudeme znovu objavovať koleso, ale pridáme všetky výrazy zľava doprava v poradí, v akom sa objavujú:

Prvá akcia:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Druhá akcia:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Tretia akcia:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

odpoveď: hodnota výrazu −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 sa rovná 1.

Príklad 24. Nájdite hodnotu výrazu

Preveďme desatinný zlomok -1,8 na zmiešané číslo. Zvyšok prepíšeme bez zmeny: