Jednotlivé prípady tepelnej rovnice. Problémy vedenia tepla v rôznych súradnicových systémoch. Kartézsky súradnicový systém Tepelná rovnica v pravouhlom súradnicovom systéme

Strana 4

. (2.24)

Rovnica (2.24) sa nazýva diferenciálna tepelná rovnica (alebo diferenciálna Fourierova rovnica) pre trojrozmerné nestacionárne teplotné pole v neprítomnosti vnútorných zdrojov tepla. Je hlavným pri štúdiu problematiky ohrevu a chladenia telies v procese prenosu tepla tepelnou vodivosťou a stanovuje vzťah medzi časovými a priestorovými zmenami teploty v ktoromkoľvek bode poľa. Otolaryngologická laserová aplikácia laserov.

Tepelná difúznosť je fyzikálny parameter látky a má jednotku m2/s. Pri nestacionárnych tepelných procesoch a charakterizuje rýchlosť zmeny teploty.

Z rovnice (2.24) vyplýva, že zmena teploty v čase pre ktorýkoľvek bod telesa je úmerná hodnote a. Preto za rovnakých podmienok rýchlejšie rastie teplota telesa, ktoré má väčšiu tepelnú difúznosť.

Diferenciálna rovnica vedenia tepla so zdrojom tepla vo vnútri tela má tvar:

, (2.25)

kde qV je špecifický výkon zdroja, to znamená množstvo tepla uvoľneného na jednotku objemu látky za jednotku času.

Táto rovnica je zapísaná v Kartézske súradnice. V iných súradniciach má Laplaceov operátor iný tvar, takže sa mení aj tvar rovnice. Napríklad v cylindrické súradnice diferenciálna rovnica pre vedenie tepla s vnútorným zdrojom tepla je:

, (2.26)

kde r je vektor polomeru vo valcovom súradnicovom systéme;

polárny uhol.

2.5 Okrajové podmienky

Výsledná diferenciálna Fourierova rovnica popisuje javy prenosu tepla vedením tepla v všeobecný pohľad. Aby sme to mohli aplikovať na konkrétny prípad, je potrebné poznať rozloženie teplôt v tele resp počiatočné podmienky. Okrem toho je potrebné vedieť:

geometrický tvar a rozmery tela,

fyzikálne parametre prostredia a tela,

· okrajové podmienky charakterizujúce rozloženie teplôt na povrchu telesa, prípadne interakciu skúmaného telesa s prostredím.

Všetky tieto konkrétne vlastnosti spolu s diferenciálnou rovnicou dávajú Celý popisšpecifický proces vedenia tepla a nazývajú sa podmienkami jedinečnosti alebo okrajovými podmienkami.

Obyčajne sú pre čas t = 0 dané počiatočné podmienky pre teplotné rozloženie.

Okrajové podmienky môžu byť špecifikované tromi spôsobmi.

Okrajová podmienka prvého druhu je daná rozložením teploty na povrchu telesa pre ľubovoľný časový okamih.

Okrajová podmienka druhého druhu je daná hustotou povrchového tepelného toku v každom bode povrchu tela v ľubovoľnom časovom okamihu.

Okrajová podmienka tretieho druhu je daná teplotou prostredia obklopujúceho teleso a zákonom prestupu tepla medzi povrchom telesa a prostredím.

Riešenie diferenciálnej rovnice vedenia tepla za daných podmienok jednoznačnosti umožňuje určiť teplotné pole v celom objeme telesa pre ľubovoľný časový okamih alebo nájsť funkciu .

2.6 Vedenie tepla guľovou stenou

S prihliadnutím na terminológiu opísanú v častiach 2.1 - 2.5 je úlohou tohto ročníková práca možno formulovať takto. Cez guľovú stenu smeruje konštantný tepelný tok a zdrojom tepla je vnútorná guľa s polomerom R1. Zdrojový výkon P je konštantný. Prostredie medzi hraničnými guľami je izotropné, preto jeho tepelná vodivosť c je funkciou jednej premennej - vzdialenosti od stredu gúľ (polomeru) r. Podľa zadania . Výsledkom je, že teplota média je aj v tomto prípade funkciou jednej premennej - polomeru r: T = T(r) a izotermické povrchy sú sústredné gule. Požadované teplotné pole je teda stacionárne a jednorozmerné a okrajovými podmienkami sú podmienky prvého druhu: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

Z jednorozmernosti teplotného poľa vyplýva, že hustota tepelného toku j, ako aj tepelná vodivosť a teplota sú v tomto prípade funkciami jednej premennej - polomeru r. Neznáme funkcie j(r) a T(r) možno určiť jedným z dvoch spôsobov: buď vyriešiť Fourierovu diferenciálnu rovnicu (2.25), alebo použiť Fourierov zákon (2.11). V tejto práci je zvolený druhý spôsob. Fourierov zákon pre skúmané jednorozmerné sféricky symetrické teplotné pole má tvar:1 4

1. Diferenciálna rovnica tepla bez vnútorných zdrojov tepla ( = 0) :

2. Diferenciálna rovnica tepla bez vnútorných zdrojov tepla vo valcových súradniciach.

Vo valcových súradniciach, kde r je vektor polomeru, je polárny uhol, rovnica bude vyzerať

Podmienky jedinečnosti pre procesy vedenia tepla. Diferenciálna rovnica vedenia tepla popisuje nie jeden, ale celú triedu javov vedenia tepla. Na získanie analytického popisu konkrétneho procesu je potrebné uviesť jeho konkrétne znaky, ktoré spolu s diferenciálnou rovnicou poskytujú úplný matematický popis konkrétneho procesu vedenia tepla a nazývajú sa podmienkami jedinečnosti alebo okrajovými podmienkami.

Podmienky jedinečnosti zahŕňajú:

Geometrické podmienky charakterizujúce tvar a rozmery telesa, v ktorom proces prebieha;

Fyzikálne podmienky charakterizujúce fyzikálne vlastnosti média a tela;

Časové alebo počiatočné podmienky charakterizujúce rozloženie teploty v tele v počiatočnom časovom okamihu;

Okrajové podmienky charakterizujúce podmienky interakcie medzi uvažovaným telesom a prostredím.

Okrajové podmienky môžu byť špecifikované niekoľkými spôsobmi.

Okrajové podmienky prvého druhu definujú rozloženie teploty na povrchu telesa pre každý časový okamih:

Okrajové podmienky druhého druhu nastavujú hodnoty tepelného toku pre každý bod povrchu tela a ľubovoľný časový okamih:

Okrajové podmienky tretieho druhu sú dané teplotou životné prostredie a zákon prenosu tepla medzi telom a prostredím, ktorý sa používa ako zákon prenosu tepla (Newton-Richmannova rovnica):

Podľa tohto zákona hustota tepelného toku na povrchu

telesa je úmerná teplotnému rozdielu medzi povrchom steny a prostredím. Faktor úmernosti v tejto rovnici sa nazýva súčiniteľ prestupu tepla a označuje sa a, [W / (m 2 × K)]. Charakterizuje intenzitu výmeny tepla medzi povrchom tela a prostredím.

Na druhej strane, rovnakú hustotu tepelného toku možno nájsť z rovnice:

kde index "c" označuje, že teplotný gradient sa počíta na povrchu telesa. Získame analytický výraz pre okrajové podmienky tretieho druhu:

Okrajové podmienky štvrtého druhu uvažujú prípad, keď sú dve alebo viac telies vo vzájomnom tesnom kontakte. V tomto prípade tepelný tok, ktorý prešiel povrchom jedného telesa, prejde aj povrchom druhého telesa (v mieste dotyku nedochádza k tepelným stratám).

Prednáška 2. Sekcia 2. Tepelná vodivosť v stacionárnom režime

Šírenie tepla tepelným vedením v plochých a valcových stenách v stacionárnom režime (okrajové podmienky prvého druhu)

Homogénna jednovrstvová plochá stena. Uvažujme o šírení tepla vedením tepla v homogénnej jednovrstvovej plochej stene hrúbky 8 s jej neobmedzenou šírkou a dĺžkou.

Os X nasmerujte ho kolmo na stenu (obr. 7.4). Na oboch plochách steny ako v smere osi y, ako aj v smere osi G vďaka rovnomernému prívodu a odvodu tepla sú teploty rovnomerne rozložené.

Keďže stena v smere týchto osí má nekonečne veľké rozmery, zodpovedajú tomu teplotné gradienty W / yu \u003d (k / (k= = 0, a teda nie je ovplyvnený proces tepelnej vodivosti koncových plôch steny. Za týchto zjednodušujúcich podmienok je stacionárne teplotné pole funkciou iba súradníc X, tie. uvažuje sa o jednorozmernom probléme. V tomto prípade bude mať diferenciálna rovnica vedenia tepla tvar (at d^dh = 0)

Okrajové podmienky prvého druhu sú dané:

Ryža. 7.4.

Nájdite rovnicu teplotného poľa a určte tepelný tok Ф prechádzajúci prierezom steny s plochou A(na obr. 1 l stena nie je označená, pretože je umiestnená v rovine kolmej na rovinu obrázku). Prvá integrácia dáva

tie. teplotný gradient je konštantný v celej hrúbke steny.

Po druhej integrácii získame požadovanú rovnicu teplotného poľa

Kde A A b - integračné konštanty.

Nasleduje teda zmena teploty pozdĺž hrúbky steny lineárny zákon a izotermické povrchy sú roviny rovnobežné s plochami steny.

Na určenie ľubovoľných integračných konštánt používame okrajové podmienky:

Pretože? > ? CT2 , potom projekcia gradientu na os X rovnako negatívne ako

to sa dalo očakávať pre zvolený smer osi, ktorý sa zhoduje so smerom vektora hustoty povrchového tepelného toku.

Dosadením hodnoty konštánt v (7.24) dostaneme konečný výraz pre teplotnú nulu

Linka a-b na obr. 7.4, tzv teplotná krivka, ukazuje zmenu teploty oproti hrúbke steny.

Pri znalosti teplotného gradientu je možné pomocou Fourierovej rovnice (7.10) nájsť množstvo tepla 8 () prechádzajúceho prvkom plochy povrchu 4 kolmo na os T.

a pre plochu A

Vzorec (7.28) pre tepelný tok a hustotu povrchového tepelného toku má tvar

Uvažujme šírenie tepla vedením tepla vo viacvrstvovej plochej stene pozostávajúcej z niekoľkých (napríklad troch) tesne susediacich vrstiev (pozri obr. 7.5).

Ryža. 7.5.

Je zrejmé, že v prípade stacionárneho teplotného poľa tepelný tok prechádzajúci povrchmi tej istej oblasti A, bude rovnaký pre všetky vrstvy. Preto je možné pre každú z vrstiev použiť rovnicu (7.29).

Pre prvú vrstvu

pre druhú a tretiu vrstvu

Kde X 2, A 3 - tepelná vodivosť vrstiev; 8 1? 8 2 , 8 3 - hrúbka vrstvy.

Sú teploty na vonkajších hraniciach trojvrstvovej steny považované za známe? St1 a? ST4. Teploty sú nastavené pozdĺž rozhraní vrstiev? ST2 a? STZ, ktoré sa považujú za neznáme. Rovnice (7.31) - (7.33) budú riešené s ohľadom na teplotné rozdiely:

a potom pridajte člen po člene a tým odstráňte neznáme stredné teploty:

Zovšeobecnením (7.36) pre stenu z vrstvy dostaneme

Na určenie stredných teplôt? ST2, ? STz na rovinách oddelenia vrstiev používame vzorce (7.34):

Nakoniec, zovšeobecnením odvodenia na stenu vrstvy v tvare U, získame vzorec pre teplotu na rozhraní i-tej a (r + 1) vrstvy:

Niekedy používajú pojem ekvivalentná tepelná vodivosť R ekv. Pre povrchovú hustotu tepelného toku prechádzajúceho cez plochú viacvrstvovú stenu,

kde je celková hrúbka všetkých vrstiev viacvrstvovej steny. Porovnaním výrazov (7.37) a (7.40) sme dospeli k záveru, že

Na obr. 7.5 vo forme prerušovanej čiary znázorňuje graf teplotných zmien naprieč hrúbkou viacvrstvovej steny. Vo vrstve, ako bolo dokázané vyššie, sa zmena teploty riadi lineárnym zákonom. Tangenta sklonu cp, teplotná priamka k horizontále

tie. rovná absolútnej hodnote teplotného gradientu ^1 "ac1 Teda podľa sklonu priamych čiar ab, bc a s

teda

tie. teplotné gradienty pre jednotlivé vrstvy viacvrstvovej plochej steny sú nepriamo úmerné tepelným vodivostiam týchto vrstiev.

To znamená, že na získanie veľkých teplotných gradientov (čo je potrebné napríklad pri izolácii parovodov a pod.) sú potrebné materiály s nízkymi hodnotami tepelnej vodivosti.

Homogénna jednovrstvová valcová stena. Nájdite teplotné pole a hustotu povrchového tepelného toku pre stacionárny spôsob vedenia tepla pre homogénnu jednovrstvovú valcovú stenu (obr. 7.6). Na vyriešenie úlohy používame diferenciálnu rovnicu vedenia tepla vo valcových súradniciach.

Os 2 bude smerovať pozdĺž osi potrubia. Predpokladajme, že dĺžka potrubia je v porovnaní s priemerom nekonečne veľká. V tomto prípade môžeme zanedbať vplyv koncov rúr na rozloženie teploty pozdĺž osi 2. Predpokladáme, že vďaka rovnomernému prívodu a odvodu tepla je teplota na vnútornom povrchu všade ST1 a na vonkajšom povrchu -? ST2 (okrajové podmienky prvého druhu). S týmito zjednodušeniami (k/ = 0 a vzhľadom na symetriu teplotného poľa vzhľadom na akýkoľvek priemer (d), kde G- prúdový polomer valcovej steny.

Ryža. 7.6.

Diferenciálna rovnica vedenia tepla (7.19) za podmienky dt/d m = 0 má tvar

Predstavme si novú premennú

čo je teplotný gradient (grad ?).

Nahradenie premennej A v (7.43) dostaneme diferenciálnu rovnicu prvého rádu so separovateľnými premennými

alebo

Integrácia, chápeme

Pre valcovú stenu je teplotný gradient premennou veličinou, ktorá sa zvyšuje so zmenšujúcim sa polomerom G. Preto je teplotný gradient na vnútornom povrchu väčší ako na vonkajšom.

Náhradná hodnota A od (7.44) do (7.45), dostaneme A

Kde b- integračné konštanty.

Preto je krivka rozloženia teploty po hrúbke steny logaritmickou krivkou (krivka a-b na obr. 7.6).

Definujme konštanty A A b, zahrnuté v rovnici teplotného poľa, založené na okrajových podmienkach prvého druhu. Označujeme vnútorný polomer plochy r x, vonku - g 2. Označujeme zodpovedajúce priemery (1 l A (1 2 . Potom máme systém rovníc

Vyriešením tohto systému rovníc dostaneme

Rovnica teplotnej nuly bude mať tvar Teplotný gradient je určený vzorcom (7.45):

Pretože? ST1 > ? CT2, a r, r 2, potom projekcia grad? na vektore polomeru má zápornú hodnotu.

Ten ukazuje, že v tomto prípade je tepelný tok nasmerovaný zo stredu na okraj.

Na určenie tepelného toku prechádzajúceho cez časť valcovej plochy s dĺ b, použite rovnicu

Z (7.46) vyplýva, že tepelný tok prechádzajúci valcovou plochou závisí od pomeru vonkajšieho a vnútorného polomeru r 2 / g x(alebo priemery c1 2 / (1 {), nie hrúbka steny.

Hustota povrchového tepelného toku pre valcový povrch sa dá nájsť odkazom na tepelný tok Ф k ploche vnútorného povrchu A vp alebo do oblasti vonkajšieho povrchu A np. Vo výpočtoch sa niekedy používa lineárna hustota tepelného toku:

Z (7.47)-(7.49) vyplýva

Viacvrstvová valcová stena. Uvažujme šírenie tepla tepelnou vodivosťou v trojvrstvovej valcovej stene (rúre) dĺžky A (obr. 7.7) s vnútorným priemerom c1 x a vonkajší priemer (1 l. Medzipriemery jednotlivých vrstiev - c1 2 a X2, X3.

Ryža. 7.7.

Sú známe teploty? st) vnútorná a teplota? Vonkajší povrch CT4. Je potrebné určiť tepelný tok Ф a teplotu? ST2 a? STz na hraniciach vrstiev. Zostavme rovnicu tvaru (7.46) pre každú vrstvu:

Vyriešením (7.51)-(7.53) s ohľadom na teplotné rozdiely a následným pridávaním členov po členoch dostaneme

Z (7.54) máme výpočtový výraz na určenie tepelného toku pre trojvrstvovú stenu:

Zovšeobecnme vzorec (7.55) na stenu potrubia v tvare U:
Kde i- poradové číslo vrstvy.

Z (7.51)-(7.53) nájdeme výraz na určenie teploty na hraniciach medzivrstiev:

teplota? čl. +) na hranici?-tej a (G+ 1)-tá vrstva môže byť určená podobným vzorcom

Literatúra obsahuje riešenia diferenciálnej tepelnej rovnice pre dutú guľu za okrajových podmienok prvého druhu, ako aj riešenia pre všetky uvažované telesá za okrajových podmienok tretieho druhu. Tieto otázky nezohľadňujeme. Mimo rozsahu nášho kurzu zostala aj problematika stacionárnej tepelnej vodivosti v tyčiach (rebrách) konštantných a premenných prierezov, ako aj problematika nestacionárnej tepelnej vodivosti.

z
X
PREDNÁŠKA 4
Problémy vedenia tepla v rôznych súradnicových systémoch.
Kartézsky súradnicový systém
T
T
T
q
i
j
k
T T x, y, z, t
r
X
X
r
T
T T T
c
qV
t x x y y z z
c
T T
qV
t x x
(1)
(2)
(3)
V praxi sa často vyskytujú také podmienky, ktoré vedú k potrebe napísať rovnicu
tepelná vodivosť v inej forme, vhodnejšej na znázornenie riešenia a jeho fyziky
výklady.
Závislosť typu rovnice
z použitého systému
súradnice možno vylúčiť,
pomocou notácie operátora
1T
q
T V
a t
2
X
2
2
r
2
2
z2
a c
T
c
div gradT qV
t
alebo
c
T
TqV
t
(4)
Pojmy vyjadrujúce uvoľňovanie tepla a skladovanie energie sú vzhľadom na
súradnicové systémy (t. j. nezmenené); ale pojmy vyjadrujúce výsledný vodivý
tepelný tok závisí od geometrie a následne od súradnicového systému.

Cylindrický súradnicový systém
z
c
DR
r
dz
r, z
z
X
T
divq q
t
q T
x r cos
r
r, z
(5)
y r hriech
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
r r r
z
d
r
DR
d
D Y
dx
z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r 2 2 2
a t r r r
z
X
1 T 1 T
r
qV
a t r r
T
1T
T
; q
; qz
r
r
z
a
(9)
T Ts
c
(8)

r ,
Sférický súradnicový systém
z
DR
r ,
r
d
X
1T
divq q
a t
q T
r
1 2
1
1
2
2r
2
hriech
2
r hriech 2
r r r r hriech
T
1T
1T
; q
; q
r
r
r hriech
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2T qV
2r
2
hriech 2
2
a t r r r r hriech
r hriech
(11)
d
qr
1 T 1 2 T qV
2r
a t r r
x r sin cos
y r hriech hriech
z
(12)
z r cos
r
X

Rovnice vedenia tepla pre telesá kanonického tvaru
Písanie rovníc v rôznych súradnicových systémoch je obzvlášť pohodlné,
keď potrebujete nájsť rozloženie teploty v telesách kanonického
formy - vo valci alebo guli. V týchto prípadoch sú rovnice v podstate
sú zjednodušené pri špecifikácii špeciálnych podmienok, kedy teplotné pole
závisí len od jednej súradnice.
rovnobežnosten
tanier
valec
guľa
c
T T T T
qV
t x x y y z z
1 T 2T qV
2
a t x
qe
1 T 1 T qV
r
a t r r
1 T 1 2 T qV
r
2
a t r r
T Ts
z
r
X

1 T 1 n T qV
r
n
a t r r
Posledné tri
rovnice spolu:
n 0
n 2
n 1 valec
lietadlo
T T0
T* T0
t
t*
(13)
guľa
r
r*
11n
qV
n
Fo
Na stole
Fourierovo číslo
v*
Za 2
r*
qV1:
v*
pri
1: 2
2
r*
r*
(14)
qV r*2
qV
T* T0
q
T* T0 V r*2
1n
1
n
Fo

Stacionárne problémy vedenia tepla v rôznych súradnicových systémoch
Valcová stena: stacionárny proces vedenia tepla v
valcová stena (rúrka) s vnútorným polomerom r1;
d1 2r1
r1
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r
a r r r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
u
DR
du 1
ty 0
Dr-r
T C1 log r C2
q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
DR
r
d 2T
1dT
0
2 dr
DR
(15)
V ln u ln r ln C1
(16)
Špecifický tepelný tok nie je
konštantná v hrúbke a zmenšujúca sa v
smerom k vonkajšiemu povrchu
V stacionárnych podmienkach celkový tepelný tok prechádzajúci
úsek valcového potrubia s dĺžkou l a rovnou
Q q F q 2 rl
Špecifický tepelný tok
klesajúci s polomerom
!!!
(19)
Plocha povrchu
rastie s polomerom
Teplota cez hrúbku potrubia sa mení nelineárne aj pri konštante
tepelná vodivosť
Integračné konštanty možno zistiť z okrajových podmienok.

rr1: TI; r r2: T T2
T1 C1 log r1 C2 ,
Lineárny systém
rovnice
T2 C1 log r2 C2 ,
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
q
Q
Lineárny tepelný tok
qp
(20)
dT
C
1
DR
r
dT
T
l 2 r
2 l,
DR
log r2 r1
Ut
Q
2
T, T T1 T2
l ln r2 r1
(21)
(22)

(teplota stien nie je známa)
T C1 log r C2
Môžeme urobiť to isté:
r r1:
Urobme to inak:
(23)
T
T
le TTe1; r r2:
2e Te2 T
r
r
Konvekčný tepelný tok na jednotku dĺžky
potrubia by sa mali rovnať lineárnemu tepelnému toku
kvôli tepelnej vodivosti:
qp 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qp
log r2 r1
qp Kc Te1 Te2
1
Kc
, W/(M K)
1
1r
1
V 2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qp 2e T2 Te2 2 r2
Súčiniteľ prestupu tepla pre
valcová stena
Rc
1
1
1r
1
V 2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
plochá stena
R
1 l 1
1 2
1 l 1
K
1
2
1
W/(M2 K)
Zo sústavy rovníc (23) môžeme nájsť
a teplotu steny a nahraďte do (20)
Plná termálna
odpor potrubia
(24)
(25)
(26)
Rozmer
sa líši od
rozmer K pre
plochá stena!
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
Môcť
Na stole

V bezrozmerných premenných
r1
d2
d
r2
2
1d
0
d
(27)
d
Bi
d
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
Cvičenie
na dome:
1:
T Te 2
r
; r* r2
Te1 Te2
r2
d
Bi 1
d
(29)
2er2 1e
Bi
2e
C1 log C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
A) Opatrne prejdite na bezrozmerné premenné
B) Nájdite integračné konštanty zo systému (30)
B) stavať pre rôzne hodnoty parametre

10.

Princípy
konzistentné
A
paralelný
spojenie tepelných odporov v obvode,
platí pre rovnú stenu v obdĺžniku
súradnicový systém, možno použiť aj na problém
vedenie tepla v dutom valci.
Elektrická analógia
2
Q
1
Q
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ts
RT
log r2 r1
2l
Kvapalina prúdi v potrubí, R 1 1
0
F 2 r1l
pokrytý izoláciou
materiál
dT
T
l 2 r
2l,
DR
log r2 r1
T
Q
,
poleno r2 r1 2 l
V tvare
Ohmov zákon
Tepelná odolnosť
dutý valec
konvekčné tepelné
odolnosť voči tekutinám
Máme sériové spojenie konvekčného odporu kvapaliny s dvoma
vodivé tepelné odpory. Ak je daná teplota kvapaliny a teplota
vonkajší povrch:
T0 Ts
T
Q
A)
R
plný
r
r
1
1
1
V 2
V 3
2 1r1l 2 l 1 r1 2 l 2 r2
(31)
Odpor
izolácia
Ak sú uvedené teploty vnútorného a vonkajšieho povrchu
B)
T
Q
Rfull
T1 Ts
r
r
1
1
V 2
V 3
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)

11.

Príklad
1 185
V hliníkovom potrubí s tepelnou vodivosťou
W/(m K), prúdenie vodnej pary
◦
pri teplote 110 C. Vnútorný priemer rúry je 10 cm, vonkajší priemer je 12
Te
pozri Potrubie sa nachádza v miestnosti s teplotou
30◦С; koeficient
e
konvekčný prenos tepla z potrubia
do vzduchu
rovná 15 W/(m2K). 1) Povinné
nájdite tepelný tok na jednotku dĺžky potrubia, ak potrubie nie je tepelne izolované.
2) Pre zníženie tepelných strát z potrubia bolo prekryté vrstvou tepelnej izolácie
(2 0,2 W / (m K)) Hrúbka 5 cm Nájdite tepelný tok na jednotku dĺžky z
tepelne izolované potrubie. Predpokladajme, že konvekčné tepelné
odolnosť voči parám je zanedbateľná.
Riešenie. Pre potrubie bez tepelnej izolácie sú najvýznamnejšie
vodivý tepelný odpor samotného potrubia a konvekčný tepelný
odpor vzduchu v miestnosti. Od konvekčnej term
odpor pary možno zanedbať, teplotu vnútorného povrchu
potrubia sa rovná teplote pary. Tepelný tok na jednotku dĺžky potrubia vyplýva z
vzťahy T T
110 30
80
q
0
e
log r2 r1
1
2 1
2 r2 e
V 65
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 W/m.
Pre potrubie s tepelnou izoláciou je potrebné pridať tepelný odpor
tepelná izolácia a pomer pre tepelný tok nadobúda tvar
q
T0 Te
80
138
ln r3 r2 1,57 10 4 0,096 0,482
log r2 r1
1
2 1
2 r3 e
2 2
W/m

12.

Viacvrstvová valcová stena
qc
Tn T1 1
n
d
1
prihlásiť sa 1
2 i
di
, d i 2r1
qc
ja 1
Koncept zostáva platný.
ekvivalentný koeficient
tepelná vodivosť
ekv
log d n 1 d1
n
ja 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d i 1
ln
ja di
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
n
Tn 1
r2 d2 2
Teplota Ti 1
Ti 1 Ti
2 ekv. T1 Tn 1
log d n 1 d1
na rozhraní i-tej a i+1-vrstvy
qc 1 d 2 1 d3
1d
V ln ... ln i 1
2 1 d1 2 d 2
i
di
(35)
Koeficient prestupu tepla:
Kc
1
1
1d1
n
ja 1
1 z 1
1
ln
2 i alebo 2 d 2
(36)

13.

r1
Radiálny tepelný tok v potrubí je nepriamo úmerný logaritmu
vonkajší polomer (zvyšuje sa odpor radiálneho vedenia);
r2
Odvod tepla z vonkajšieho povrchu je tomu priamo úmerný
polomer (plocha chladiacej plochy sa zväčšuje)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Preto existuje určitý polomer, pri
kde sú tepelné straty najväčšie.
Ak pre pevný (malý) vnútorný polomer zväčšite
hrúbka steny rúry (t.j. zväčšiť vonkajší polomer r2), potom pôsobenie
logaritmus vo vzorci pre tepelný odpor bude viac
pevnejšie ako s väčším vnútorným polomerom

14.

Kritický priemer tepelnej izolácie
qc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Extrémny stav:
dáva
r2*1
2
Kritický polomer
Špeciálny prípad nulového vnútorného odporu, 1 1 0
r
q
2 Te1 Te 2
1
r
,x2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 Vonkajší odpor je tiež nulový
r1 r2
Hrúbka steny je 0
1:x2r2
Pre daný vnútorný polomer hodnota kritického
vonkajší polomer sa zväčší, ak sa zväčší
tepelná vodivosť potrubia alebo ak sa koeficient zníži
prenos tepla na vonkajšom povrchu
(37)
Bi 1

15.

izolácia
Existencia kritického vonkajšieho polomeru vedie k tomu, že pri
niektoré skutočné podmienky, na rozdiel od bežných predstáv,
tepelné straty izolovaného potrubia možno skutočne znížiť
znížením hrúbky izolácie
d1
d2
Celkový tepelný odpor pre dvojvrstvové potrubie, ktorého prierez
znázornený na obrázku, je určený vzorcom
d3
Rc
1 2
rúra
Podmienka
extrém:
d2 d3*
d3 d2
(39)
- hrúbka izolácie
Tepelný odpor tepelnej vodivosti izolácie (I) sa zväčšuje
hrúbka izolačného povlaku; tepelný odpor tepelnej izolácie
(II) - padá (keďže teplovýmenná plocha sa zväčšuje)
dRC
1
1
0
dd3 2 2 d3 2 d 32
Rc
d2 d3*
1
1
1d2
1d3
1
ln
ln
K c 1d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d3
II
(ja)
d3*
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
nezávisí od
d2
(40)
(t. j. nezávisí od priemeru samotného potrubia)
IN kritický bod plná termika
odpor je minimálny.
zväčšenie hrúbky izolácie znižuje prestup tepla
aplikácia zvoleného náteru bude mať spočiatku za následok zvýšenie
prenos tepla a tepelný tok dôjde až po dosiahnutí kritického priemeru
zníženie; potom dosiahne hodnotu, ktorá bola bez izolácie a až potom
povedie k požadovanému efektu.

16.

Problém pre dutú guľu
(guľová stena)
d 2T
DR
2
2dT
0
r dr
(41)
Uvažujeme o priestorovo jednorozmernom stacionárnom
problém vedenia tepla v guľovej stene s daným
polomery vnútorných a vonkajších plôch. Jednorozmernosť
problém znamená, že rozloženie teploty v stene
závisí len od polomeru
Nahradením
premenných
r1
dT
u
DR
du
2u
Spoločné rozhodnutie
DR
r
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; u 21; Tr1C2;
2
r
Dr-r
r
r2
Hraničné podmienky prvého druhu
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
T r 1
1 r1 1 r2
r r2: T T2
(42)
Hustota tepelného toku
Celkový tok tepla
Q
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
q
2C1
DR
1 r1 1 r2
r
(45)
dT
4
T1 T2
4 r 2 4 C1
DR
1 r1 1 r2
(46)

17.

Okrajové podmienky tretieho druhu
T r
Spoločné rozhodnutie
nemení
C1
C2
r
T
r r1: -
1TTe1
r
T
r r2: -
2 Te2 T
r
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2 r22
2r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Te 2 Te1
dT C1
2
Dr-r
C2
(48)
Celkový tepelný tok Q nie je
závisí od aktuálneho polomeru
1r1 T 1r12 T
2 r2 e 2 2 r22 e1
1r1 1r12
2 r2 2 r22
(49)
V hranici ideálneho prestupu tepla médií s danými teplotami a
guľová stena (t.j. pri nekonečných koeficientoch prestupu tepla) riešenie problému s
okrajové podmienky tretieho druhu prechádzajú do riešenia úlohy s okrajovými podmienkami
podmienky prvého druhu.
4
Q
T T
1 1 1 2
r1 r2
=
tepelný tok,
4 r1 2 1 Te1 T
prichádza do
vnútorná stena
=
tepelný tok,
4 r 2 2 2 T Te 2
opúšťať
vonkajšia stena

18.

Rozloženie teploty v guľovej stene
pre okrajové podmienky tretieho druhu
Doma:
hrať všetky
Riešenie
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
T r
1 1
r1 r2
Teploty steny:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2Te1
r2 2
r12 1
s 1 2 r12 1
r
2 2
r12 1
r12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 1 2
s 1 2 r1 1
r
2 2
r12 1Te 2
T2
Vodivosť steny lopty:
s
1 1
r1 r2
r1r2
r 2 r1

19.

Riešenia najjednoduchších úloh v bezrozmernej forme
Zozbierajme riešenia stacionárnych úloh pre telesá kanonického tvaru s
hraničné podmienky prvého druhu spolu
T p T1 T1 T2
r
r2
Domov: Hrajte!
Tc
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
Ts
1 1
r1 r2
T1 log r 2 r T 2 log r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T2
r
r2
0,8
p1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
c
p
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
V rovnej stene kvalitatívne rozdelenie
teplota (lineárna) nezávisí od jej
hrúbka. Ale vo valcovom a guľovom -
mení sa nelineárne s polomerom;
charakter
rozdelenie (zakrivenie krivky) závisí od
pomer vonkajšieho a vnútorného polomeru.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Rozloženie teploty v byte
(1), valcový (2) a guľový (3)
stena. plné čiary
;
10
bodkované čiary - . 5

20.

V prípade okrajových podmienok tretieho druhu riešenia najjednoduchších problémov
závisí od parametrov charakterizujúcich prenos tepla.
Pre rovnaké koeficienty prestupu tepla.
T Te 2
Te1 Te2
r
r2
1 2
0,8
pre tanier
1
p 1 1 2
1 1
2 Bi
2
1
2 Bi
pre valec:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 log 2 log
ln
1 1
2
1 mld
1 mld
c
pre sféru:
s
1
1 1 1 2
1
1 Bi 1
1 1 Bi
2
Bi
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Rozloženie teploty
pozdĺž súradnice v rovine (1),
cylindrické (2) a guľové
(3) steny za podmienok
konvekčný prenos tepla.
Plné čiary - Bi 2 ;
bodkované - Bi 1 0

21.

Príklady: Dewarova fľaša
Kovová častica potiahnutá oxidovým filmom
Domáca úloha:
1. Formulujte problém rozloženia teploty v dvojvrstve
guľový plášť pri jeho konvekčnom chladení s použitím materiálu
prednášky. Predpokladá sa, že tepelný kontakt medzi vrstvami je ideálny. Viesť
problém do bezrozmernej podoby. Vytvorte presné analytické riešenie
túto úlohu.
2.*Vypočítajte teplotu vnútorného a vonkajšieho povrchu gule
škrupiny v probléme 1, ako aj teplota pri kontakte; určiť plnú
tepelný tok opúšťajúci povrch gule za predpokladu, že teploty
prostredie vo vnútri plášťa - 175 C, teplota okolia - 25 C;
koeficienty prestupu tepla sú rovnaké a rovnaké - 28,8 kcal / (m2 hod. stupňa);
vnútorný a vonkajší polomer plášťa - 3 cm a 5 cm, hrúbka
vnútorný plášť - 25 mm. Vnútorný plášť je vyrobený z
materiál s tepelnou vodivosťou 1,45 kcal/(m hod. stupňa); vonkajší z
materiál s koeficientom tepelnej vodivosti 0,137 kcal/(m h deg). Ako
tepelný tok sa bude meniť so zmenou hrúbky vonkajšieho
škrupiny v rozmedzí od 25 mm do 300 mm?

22.

d 2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
G.u. prvý druh: r r1:
qV konšt
TI;
(1)
r r2:
T T2 (2)
G.u. tretí druh:
r r1:
-
T
1 T Te1;
r
r r2:
-
T
2 Te2 T
r
Prvý "spôsob" riešenia:
Problém je vyriešený elementárnou integráciou:
qV x 2
T x
C1xC2
2
dT
q
V x Cl;
dx
(4)
Nahrádzanie spoločné rozhodnutie v g.c., nájdeme konštanty integrácie.
Maximum je v určitej vzdialenosti od povrchov.
Maximálnu polohu možno zistiť z podmienky (extrémny stav)
dT
q x
V C1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)

23.

Úlohy s vnútornými zdrojmi tepla
TEPELNÁ PLOCHÁ STENA S OBJEMOVÝM ODVODOM TEPLA
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Poďme na to trochu inak. (Druhý spôsob
riešenia)
qV x 2
T x
C1xC2
všeobecný
Riešenie
2
(4)
Počiatok súradníc umiestnime do bodu, kde
teplota je maximálna
T2
1; 2
- vzdialenosť od maxima k okrajom taniera
0
C10
Okrajovú podmienku vpravo prepíšeme takto:
x2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
q
V
2
2 C2
Te 2 qV 2
2
(6)
Keďže rovinu x=0 možno považovať za tepelne izolovanú, všetko teplo sa uvoľní
platňa vpravo za jednotku času musí byť odklonená do prostredia
prenosom tepla z pravej steny. V opačnom prípade bude podmienka porušená
stacionárnosť
qV 2 - množstvo tepla uvoľneného v objeme dosky s hrúbkou \u003d 1 za jednotku času
Vľavo - výraz pre tok prenosu tepla na jednotku plochy povrchu dosky

24.

Podobné zdôvodnenie pre ľavú vrstvu dosky s hrúbkou
1 2
viesť k výrazu
2
q
V
2
1 C2
Te1 qV 2
2
(7)
Pomocou rovnosti (6), (7) nájdeme polohu
maximálne
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2qV 1 2 1 2
(8)
Určením konštanty C2 (ktorákoľvek z rovníc je vhodná) nájdeme všeobecné riešenie.
Najjednoduchšiu formu má, ak
12;Te1Te2Te
1 2 2
Potom
qV qV 2
C2
Te
2
8
A
2
q
qV
2
T x
x V Te
2 2
2
(9)
(10)
qV 2 qV
Čím nižšia, tým vyššia je tepelná vodivosť dosky
Tmax T x 0
Te
8
2
q
Teplota steny Ts T1 T2 V Te sa zvyšuje so zhoršovaním prestupu tepla
2

25.

Hraničné podmienky prvého druhu
T1
2
1
T2
0
qv 22
C2 T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
qV 2
(11)
qV 2 2
C2 T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
T x T2
X
1
2
2 2
qV
Pre veľmi vysoké hodnoty
x2:
qV x 2
T x
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Okrajové podmienky tretieho druhu sa transformujú na okrajové podmienky
podmienky prvého druhu. Preto máme rovnaké riešenie
použite predchádzajúce riešenie
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
Následne zo symetrického problému s okrajovými podmienkami tretieho druhu (10) nájdeme
2
qV
2
T x
x Ts
2 2
Tmax T x 0
q
V Ts
8
2
Teplota
steny
(14)
Rovnaká rovnosť vyplýva z predchádzajúceho riešenia za predpokladu, že teploty stien sú rovnaké

26.

Uvažujme nekonečný pevný valec rovnomerne vyhrievaný (alebo
chladené) z bočného povrchu. Zdroj tepla je umiestnený v objeme valca
konštantná intenzita. Je potrebné nájsť teplotné rozloženie pre
zavedený režim.
d 2T 1 dT q
DR
u dT dr
2
r dr
q r
du
r
u V 0
DR
V
alebo
0
(1)
d ru qV r
0
DR
qV r 2
en
C1
2
q r C
dT
V 1
DR
2
r
Spoločné rozhodnutie
najprv
integrálne
(3)
qV r 2
T
C1 log r C2
4
Stav v strede pre
pevný valec
dTdr0; r0
(2)
(4)
C10

27.

Valec s objemovým odvodom tepla
dT
T Te
r R
DR
qV 2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
r
Te
C2
Te
4
2
2
4
q
qR
qR
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Vonkajší stav:
hustota tepelného toku na povrchu valca:
celkový tepelný tok z povrchu valca:
q Ts Te
QqF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Problém chladenia valca s objemovým uvoľňovaním tepla je v
najmä zaujímavé pre zistenie rozloženia teploty v katódach,
používané v plazmových horákoch na generovanie tokov iónov. V praktickom
aplikáciu možno tento problém preformulovať nasledovne: nájdite silu
zdroj dostatočný na rozprašovanie katódy za predpokladu, že si to vyžaduje
dosiahnuť bod topenia katódového materiálu
Pomocou všeobecného riešenia (4) je možné nájsť rozloženie teploty v hrúbke
steny dutého valca alebo podľa hrúbky valca pokrytého ochrannou vrstvou
(budeme zvažovať ďalej). V prvom prípade musíte nastaviť podmienky na vnútornom povrchu
valec. V druhom prípade sa na rozhraní vyžaduje ďalšia podmienka
dva materiály s rôznymi vlastnosťami, t.j. hraničná podmienka štvrtého druhu.

28.

Guľa s objemovým odvodom tepla
qV r 2 C1
Doma: ukáž
T
C2(2)
(1)
aké je všeobecné riešenie
6
r1
dr2
(1) má tvar (2)
dT
Podmienky:
dTdr0; r° a dr TTe; r R
q
q
dať C1 0 a
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV 2 r (3)
T Te
R
R1
3
6
R
q
q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Maximálna teplota
3
6
q
q
Povrchová teplota
Ts Te V R VR R 2 (5)
3
6
R2dT
1
Celkový tepelný tok cez povrch
Q
R 3qV
4 dr r R 3
loptu
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
valec
s
2
4
2
Porovnaj
d 2T
2 dT qV
0
r dr
Plochá vrstva Tmax
qV qV 2
Te
2
8
q
T s V Te
2
s (4), (5)

29.

Príklad 1. Nájdite maximálny prúd, ktorým môže prejsť
hliníkový drôt (λ = 204 W / (m K)) s priemerom 1 mm tak, aby
teplota nepresiahla 200 C. Drôt je zavesený na vzduchu s
teplota 25 C. Súčiniteľ prestupu tepla konvekciou z drôtu do
vzduchu je 10 W/(m2 K). Elektrický odpor Re/l na jednotku
dĺžka vodiča je 0,037 ohm/m.
Riešenie. Použime vzorec (66), z ktorého vyplýva
qV
Re I 2
R2l
Tmax
qV R R
I 2 Re
Te
1
Te
2
2
2Rl
R
1 2
Dané hodnoty fyzikálnych veličín dosadíme:
200 25
ja
2
2 1 0 3
Odtiaľ nájdeme aktuálnu silu:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
I 12,2A

30.

Drôt s izoláciou
Presná matematická formulácia problému:
d 2T1
DR
2
d 2T2
Prvou podmienkou je podmienka symetrie;
druhá hovorí, že term
kontakt medzi drôtom a izoláciou
perfektné a tretiemu zodpovedá
konvekčné teplovýmenné drôty s
izolácia od okolia.
DR
2
1dT2
0
r dr
r0: dT dr0
R R: 1
r R
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2; T1 T2
DR
DR
R R: 2
Všeobecné riešenie problému:
1 dT1 qV
0
r dr
1
dT2
T2 Te
DR
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
Doma: ukáž
spravodlivosti

31.

Drôt s izoláciou
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
Všeobecné riešenie problému:
T2 C3 l n r C 4
Z podmienky (3) máme:
C10
q R
C
1 V 2 3
R
2 1
Podmienky (4) dávajú:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
Podmienka (5) znamená:
qV R 2
C3 2 qV R 2
2
ln R C 4 Te
R
R22
2 2
Nájdeme:
qV R 2
qR
C4Te
l n R V
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C2Te
ln
1
4 1 R 2 2
R

32.

Preto rozloženie teploty v drôte s izoláciou
je opísaná vzorcami
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R41
A
qV R 2 2 qV R 2 R
T2 Te
ln
2 2 R
2 2
r
Konečné riešenie uvádzame vo forme:
T Te
ja i
T Te
qV R 2
T Te
1
r
R
1
Bi K
2
1 1 2
denník 1
4
K2
4
2
K K 1
ln
2Bi
2
Určte tepelný tok z povrchu
vodič
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Choď domov
bezrozmerné premenné
0 1
Bi
1 1
K
Q
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Bi
- izolácia neodvádza teplo z vodiča s prúdom
- možné ochladenie vodiča v dôsledku tepelných strát v
životné prostredie
R

33.

Príklad 2. Navlečte dlhý hliníkový drôt s priemerom 1 cm
tečúcou elektriny prúdová sila 1000 A. Drôt je pokrytý vrstvou
gumová izolácia s hrúbkou 3 mm (λ2=0,15 W/(m K)). Teplota
vonkajší povrch izolácie 30 C. Zistite teplotu vnútorného
izolačný povrch. Ohmický odpor drôtu na jednotku
dĺžka 3,7 10-4 Ohm/m.
Riešenie. Na vyriešenie tohto problému používame druhý vzorec pre Т2
považovaný za vedľajší problém. Vzhľadom na to, že teplota je nastavená
2
vonkajší povrch izolácie, t.j.
Re I 2
Re I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
Rl
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Pomocou hodnoty tepelnej vodivosti hliníkového drôtu
1 232 W / (m K) a vzorca pre T môžeme vypočítať teplotu v strede
1
drôty. Za uvažovaných podmienok máme
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 r R
l 2 2 R l 4 1
l 4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2

34.

Domáca úloha.
1. Prúd s výkonom I \u003d 200A prechádza drôtom z nehrdzavejúcej ocele
s priemerom 2mm a dĺžkou 1m Elektrický odpor drôtu je
0,125 Ohm, tepelná vodivosť 17W/(m K). Teplota
povrch drôtu 150 C. Je potrebné vypočítať teplotu na osi
drôt.
2. Predpokladajme v rovnakom probléme, že drôt je pokrytý vrstvou izolácie
(súčiniteľ tepelnej vodivosti izolácie 0,15 W/(m K)), a súčiniteľ
prestup tepla na povrchu izolácie je 60 W/(m2K). Podľa potreby
zmeniť silu prúdu (zvýšiť alebo znížiť) tak, aby teplota
povrch drôtu zostal rovný 150 C.

35.

Efektívne (ekvivalentné) termofyzikálne vlastnosti
Naozaj sa používa v strojárstve a materiáloch okolo nás
sú viaczložkové a viacfázové. To platí pre oceľ
zliatiny, intermetalické kompozity, spekané materiály,
vláknité kompozity, kompozity na báze polymérov, zmesi,
riešenia atď.
Ak ide o počiatočné zložky (z ktorých sa syntetizujú kompozity
rôzne technológie) alebo dané použité materiály s vlastnosťami všetkých
viac-menej jasné, potom pre novo vyvinuté materiály
Definovanie vlastností je hlavným problémom.
Štandardné experimentálne metódy nemusia fungovať alebo sa stať
drahé alebo náročné na prácu
Pre výpočet je potrebné poznať vlastnosti komponentov, štruktúru a vzájomné
vplyv fyzikálnych javov Navzájom.
Žiadne údaje zapnuté fyzikálne vlastnosti aha ziadna vedecka nie je mozna
alebo inžinierskym výpočtom
Dulnev G.N., Zarinchak Yu.P. Tepelná vodivosť zmesí a kompozitov
materiálov

36.

Modely na výpočet vlastností:
korpuskulárne (molekulárne), kontinuum a kombinované
V korpuskulárnych modeloch sa vlastnosti študujú na základe poznania prírody,
štruktúra a charakter interakcie častíc. Výpočet fyzikálnych vlastností v
V tomto prípade je to možné len s využitím údajov o iných vlastnostiach.
Klasifikácia heterogénnych štruktúr:
Dulnev, s. 10-52 (otvorená)
Kompozity: s.106-130

37.

Existuje mnoho spôsobov, ako vypočítať efektívne koeficienty
tepelná vodivosť heterogénnych a poréznych materiálov
V najjednoduchšom priblížení pre proces vedenia tepla v samostatnom
mikrodoména (ktorá sa považuje za reprezentatívny objem)
fyzikálne rovnice platia
JT ,k k grad Tk , div JT ,k 0
Okrajové podmienky na rozhraniach regiónov s ideálom
tepelný kontakt má tvar:
T
T
k k k 1 k 1; Tk Tk 1
n
n
Na určenie efektívnej tepelnej vodivosti materiálu (pozostávajúceho z
rôznych fáz), je potrebné určiť rozloženie fyzikálnych polí počas
všetky mikrodomény, a potom prejsť do kvázi homogénneho prostredia, napr
ktoré vzťahy
JT*T
1
Jk dV;
V
1
Tk d
T
V
V
Stanovenie typu tohto
Efektívny koeficient: f k , k ;
závislosti a je
Hlavná úloha
- fázové frakcie
rôzne teórie.
JT
T

38.

Dvojfázový systém
1
J
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
V
V2
V1
1 V1 V, 2 V2 V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
k
T1 T1
2T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
Vyplýva z
predchádzajúce
, k 1,2
- objemový priemerný gradient
Sústava dvoch rovníc (1) obsahuje tri neznáme. Pre e uzáver
požadovaný Ďalšie informácie napríklad informácie o štruktúre
heterogénny systém, údaje zo špeciálne navrhnutého experimentu.
Riešenie problému uzavretia takýchto systémov viedlo k objaveniu sa všetkých
rôzne metódy na určenie koeficientov prenosu (nielen
koeficient tepelnej vodivosti), ktorý je známy z literatúry

39.

1. V prípade najjednoduchšej štruktúry, ktorou je systém
neobmedzené dosky rovnobežné s tokom J
1 2 1
A
1 1 2 2
2. Ak sú vrstvy kolmé na tok
1 T12 T2;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
Typy štruktúr nehomogénnych médií sú veľmi rôznorodé. Takže v prípade
dvojfázové médiá, do ktorých fázy (mikroregióny obsahujúce rôzne fázy)
môžu byť distribuované v priestore náhodne aj usporiadaným spôsobom,
je možné rozlíšiť štruktúry obsahujúce jednu z fáz vo forme izolovaných
izomérne (1) alebo anizotropne orientované (2) inklúzie v
kontinuálna ďalšia fáza, granulárne systémy s kontinuálnou kostrou (3) a
póry (4), vláknité systémy vlákien (5) a póry (6), štatisticky
nehomogénne (mikroinhomogénne) systémy podobných veľkostí
komponenty (7), vrstvené sústavy rovnobežné (8) a kolmé
(9) prietokové vrstvy. Možno si predstaviť systémy pozostávajúce z jednotlivcov
subsystémy s rôznymi štruktúrami opísaného typu. Okrem toho
každá z fáz obsiahnutých v štruktúrach môže byť viaczložková aj
a jednozložkový. V každom prípade je potrebné vypočítať vlastnosti každej z fáz
alebo ich experimentálna definícia.

40.

Kondorského rovnica
3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Odelevsky (metóda
1
efektívne prostredie)
4
16
2
2 1
1 V1 V, 2 V2 V
13
2 1
1 2
integrálna metóda
Bilaterálne odhady (odhady
Hashin-Shtrikhman)
Shermergaard:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
Index 1 sa týka matice a "2" sa týka inklúzií
Napriek zjednodušeným mediálnym modelom niektoré zo známych vzorcov
umožňujú vykonávať celkom spoľahlivé odhady, hoci počet vzorcov pre
rôznych špeciálnych prípadov médií rýchlo pribúda so zvyšujúcim sa počtom fáz.

41.

Doma:
Existuje kompozit. Matrica je zliatina na báze volfrámu (uvažujeme ju
tepelná vodivosť rovná tepelnej vodivosti volfrámu).
Častice (inklúzie) karbid titánu.
Pomocou vyššie uvedených vzorcov vypočítajte závislosti
efektívne koeficienty tepelnej vodivosti kompozitu na frakciu
inklúzie (ξ= od 0 do 0,75). Nakreslite na jeden graf.
Aký záver možno vyvodiť?

42.

Vlastnosti zrnitých a poréznych materiálov
Pokiaľ ide o efektívnu tepelnú vodivosť poréznych materiálov, ostatné veci sú rovnaké
podmienky ovplyvňuje tepelná vodivosť tuhej fázy. Zároveň za
pre niektoré porézne materiály (na základe A12O3, BeO, MgO atď.) koeficient
tepelná vodivosť klesá so zvyšujúcou sa teplotou, kým pre
iné, vyrobené na báze SiO2, ZrO2, - zvyšuje. Rozhodujúce
pórovitosť má vplyv na efektívnu tepelnú vodivosť, keďže
samotné póry sú vďaka nízkej vodivosti plynu účinné
bariéra šírenia tepla. Existujú však aj iné
mechanizmy prenosu tepla (konvekcia, žiarenie).
Najjednoduchšie modely sú založené na znázornení poréznej resp
rozptýlený materiál vo forme plochých striedajúcich sa vrstiev, zložených a
pevný rám (jadro) a vzduch.
1
1
2
2
1
1 1 2
- podiel pórov; pórovitosť
- tepelná vodivosť náplne vzduchu alebo inej látky
pórovitý priestor

43.

Modely na obrázku v strede sú spojené s menami
Maxwell–Eucken (Maxwell-Aiken). Výsledok vyzerá takto
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
pevný rám je súvislý
spojitý je porézny
priestor
model efektívnej teórie médií