Funkcia normálneho rozdelenia pravdepodobnosti. Normálny zákon rozdelenia pravdepodobnosti. Lineárne kombinácie normálne rozdelených náhodných premenných

V praxi väčšina náhodné premenné ktoré sú ovplyvnené veľké množstvo náhodné faktory, riadiť sa normálnym zákonom rozdelenia pravdepodobnosti. Preto v rôznych aplikáciách teórie pravdepodobnosti má tento zákon mimoriadny význam.

Náhodná premenná $X$ sa riadi zákonom normálneho rozdelenia pravdepodobnosti, ak má hustota rozdelenia pravdepodobnosti nasledujúci tvar

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Schematicky je na obrázku znázornený graf funkcie $f\left(x\right)$ a má názov „Gaussova krivka“. Napravo od tohto obrázka je nemecká 10-marková bankovka, ktorá sa používala ešte pred zavedením eura. Ak sa pozriete pozorne, potom na tejto bankovke môžete vidieť Gaussovu krivku a jej objaviteľa, najväčšieho matematika Carla Friedricha Gaussa.

Vráťme sa k našej funkcii hustoty $f\left(x\right)$ a vysvetlime si parametre rozdelenia $a,\ (\sigma )^2$. Parameter $a$ charakterizuje stred rozptylu hodnôt náhodnej premennej, to znamená, že má význam matematického očakávania. Keď sa zmení parameter $a$ a parameter $(\sigma )^2$ zostane nezmenený, môžeme pozorovať posun grafu funkcie $f\left(x\right)$ po vodorovnej osi, pričom hustota samotný graf nemení svoj tvar.

Parameter $(\sigma )^2$ je rozptyl a charakterizuje tvar krivky hustoty $f\left(x\right)$. Pri zmene parametra $(\sigma )^2$ s nezmeneným parametrom $a$ môžeme pozorovať, ako graf hustoty mení svoj tvar, zmenšuje sa alebo naťahuje, pričom sa neposúva pozdĺž úsečky.

Pravdepodobnosť normálne rozloženej náhodnej premennej spadajúcej do daného intervalu

Ako je známe, pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ spadá do intervalu $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, sa dá vypočítať $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\vľavo(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Tu je funkcia $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ Laplaceova funkcia. Hodnoty tejto funkcie sú prevzaté z . Môžete poznamenať nasledujúce vlastnosti funkcie $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, teda funkcia $\Phi \left(x\right)$ je nepárna.

2 . $\Phi \left(x\right)$ je monotónne rastúca funkcia.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ vľavo(x\vpravo)\ )=-0,5 $.

Na výpočet hodnôt funkcie $\Phi \left(x\right)$ môžete použiť aj sprievodcu funkciou $f_x$ balíka Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\vpravo )-0,5 $. Napríklad vypočítajme hodnoty funkcie $\Phi \left(x\right)$ pre $x=2$.

Pravdepodobnosť, že normálne rozdelená náhodná premenná $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ spadá do intervalu symetrického vzhľadom na očakávanie $a$, sa dá vypočítať pomocou vzorca

$$P\vľavo(\vľavo|X-a\vpravo|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Pravidlo troch sigma. Je prakticky isté, že normálne rozdelená náhodná premenná $X$ spadá do intervalu $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Príklad 1 . Náhodná premenná $X$ podlieha zákonu normálneho rozdelenia pravdepodobnosti s parametrami $a=2,\ \sigma =3$. Nájdite pravdepodobnosť, že $X$ spadá do intervalu $\left(0,5;1\right)$ a pravdepodobnosť, že nerovnosť $\left|X-a\right|< 0,2$.

Pomocou vzorca

$$P\vľavo(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

nájsť $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ nad (3))\vpravo)=\Phi \vľavo(-0,33\vpravo)-\Phi \vľavo(-0,5\vpravo)=\Phi \ľavo(0,5\vpravo)-\Phi \ vľavo (0,33\vpravo) =0,191-0,129=0,062 USD.

$$P\vľavo(\vľavo|X-a\vpravo|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Príklad 2 . Predpokladajme, že v priebehu roka je cena akcií určitej spoločnosti náhodnou premennou rozloženou podľa bežného zákona s matematickým očakávaním rovným 50 konvenčným peňažným jednotkám a štandardnou odchýlkou ​​rovnou 10. Aká je pravdepodobnosť, že na náhodne vybranom v deň prejednávaného obdobia bude cena za akciu:

a) viac ako 70 konvenčných peňažných jednotiek?

b) menej ako 50 na akciu?

c) medzi 45 a 58 konvenčnými peňažnými jednotkami na akciu?

Nech je náhodná premenná $X$ cena akcií nejakej spoločnosti. Podľa podmienky podlieha $X$ zákonu normálneho rozdelenia s parametrami $a=50$ - očakávaná hodnota, $\sigma =10 $ - smerodajná odchýlka. Pravdepodobnosť $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\vľavo(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ viac ako (10)\vpravo)=0,5-\Phi \ľavo(2\vpravo)=0,5-0,4772=0,0228,$$

$$b)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$c)\ P\vľavo(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Náhodné premenné sú spojené s náhodnými udalosťami. O náhodných udalostiach sa hovorí vtedy, keď nie je možné jednoznačne predpovedať výsledok, ktorý možno za určitých podmienok dosiahnuť.

Predpokladajme, že si hodíme obyčajnú mincu. Výsledok tohto postupu zvyčajne nie je jednoznačne istý. S istotou sa dá povedať len to, že sa stane jedna z dvoch vecí: vypadnú hlavy alebo chvosty. Každá z týchto udalostí bude náhodná. Môžete zadať premennú, ktorá bude popisovať výsledok tohto náhodná udalosť. Je zrejmé, že táto premenná bude nadobúdať dve diskrétne hodnoty: hlavy a chvosty. Keďže nemôžeme vopred presne predpovedať, ktorú z dvoch možných hodnôt táto premenná nadobudne, možno tvrdiť, že v tomto prípade ide o náhodné premenné.

Predpokladajme teraz, že v experimente hodnotíme reakčný čas subjektu pri prezentácii nejakého podnetu. Spravidla sa ukazuje, že aj keď experimentátor urobí všetky opatrenia na štandardizáciu experimentálnych podmienok, minimalizuje alebo dokonca eliminuje možné odchýlky v prezentácii podnetu, namerané hodnoty reakčného času subjektu sa budú stále líšiť. V tomto prípade hovoria, že reakčný čas subjektu je opísaný náhodnou premennou. Pretože v zásade môžeme v experimente získať akúkoľvek hodnotu reakčného času - množina možných hodnôt reakčného času, ktorú možno získať ako výsledok meraní, sa ukazuje ako nekonečná - hovoria o kontinuita túto náhodnú premennú.

Vynára sa otázka: existujú nejaké zákonitosti v správaní náhodných premenných? Odpoveď na túto otázku sa ukazuje ako kladná.

Ak teda míňate neobmedzene veľké číslo hodením tou istou mincou zistíte, že počet výskytov na každej z dvoch strán mince bude približne rovnaký, pokiaľ, samozrejme, minca nie je falošná a nie je ohnutá. Na zdôraznenie tohto vzoru je zavedený koncept pravdepodobnosti náhodnej udalosti. Je jasné, že v prípade hodu mincou nastane jedna z dvoch možných udalostí. Je to spôsobené tým, že celková pravdepodobnosť týchto dvoch udalostí, inak nazývaná celková pravdepodobnosť, je 100 %. Ak predpokladáme, že obe udalosti spojené s testovaním mince sa vyskytujú s rovnakou pravdepodobnosťou, potom sa pravdepodobnosť každého výsledku samostatne, samozrejme, ukáže ako 50%. Teoretické úvahy nám teda umožňujú popísať správanie danej náhodnej premennej. Takýto popis v matematickej štatistiky označené pojmom "distribúcia náhodnej premennej".

Zložitejšia situácia je pri náhodnej premennej, ktorá nemá presne definovaný súbor hodnôt, t.j. sa ukazuje ako kontinuálne. Ale aj v tomto prípade možno zaznamenať niektoré dôležité zákonitosti jeho správania. Takže pri vykonávaní experimentu s meraním reakčného času subjektu je možné poznamenať, že rôzne intervaly trvania reakcie subjektu sa odhadujú s rôznymi stupňami pravdepodobnosti. Je pravdepodobné, že subjekt bude reagovať príliš rýchlo. Napríklad v úlohách sémantického rozhodovania subjekty prakticky nedokážu viac či menej presne reagovať pri rýchlosti menšej ako 500 ms (1/2 s). Podobne je nepravdepodobné, že subjekt, ktorý verne dodržiava pokyny experimentátora, výrazne oneskorí jeho reakciu. V problémoch sémantického rozhodovania sa napríklad odpovede odhadované na viac ako 5 s zvyčajne považujú za nespoľahlivé. Napriek tomu sa so 100% istotou dá predpokladať, že reakčný čas subjektu sa bude pohybovať v rozmedzí od 0 do + ko. Ale táto pravdepodobnosť je súčtom pravdepodobností každej jednotlivej hodnoty náhodnej premennej. Preto rozdelenie spojitej náhodnej premennej možno opísať ako nepretržitá funkcia y = f (X ).

Ak máme čo do činenia s diskrétnou náhodnou premennou, keď sú vopred známe všetky jej možné hodnoty, ako v príklade s mincou, zvyčajne nie je veľmi ťažké zostaviť model jej distribúcie. Stačí uviesť len niektoré rozumné predpoklady, ako sme to urobili v uvažovanom príklade. Situácia je komplikovanejšia s rozložením spojitých veličín, ktoré nadobudnú vopred neznámy počet hodnôt. Samozrejme, ak by sme napríklad vyvinuli teoretický model, ktorý popisuje správanie subjektu v experimente s meraním reakčného času pri riešení sémantického rozhodovacieho problému, mohli by sme sa pokúsiť opísať teoretické rozdelenie na základe tohto modelu konkrétne hodnoty reakčný čas toho istého subjektu pri podaní toho istého podnetu. Nie vždy je to však možné. Preto môže byť experimentátor nútený predpokladať, že rozdelenie náhodnej premennej, ktorá ho zaujíma, je opísané nejakým zákonom, ktorý už bol vopred preštudovaný. Najčastejšie, aj keď to nemusí byť vždy úplne správne, sa na tieto účely používa takzvané normálne rozdelenie, ktoré funguje ako štandard pre rozdelenie akejkoľvek náhodnej veličiny bez ohľadu na jej charakter. Toto rozdelenie bolo prvýkrát popísané matematicky v prvej polovici 18. storočia. de Moivre.

Normálne rozdelenie nastáva vtedy, keď fenomén, ktorý nás zaujíma, podlieha vplyvu nekonečného množstva náhodných faktorov, ktoré sa navzájom vyrovnávajú. Formálne možno normálne rozdelenie, ako ukázal de Moivre, opísať nasledujúcim vzťahom:

Kde X predstavuje pre nás zaujímavú náhodnú premennú, ktorej správanie skúmame; R je hodnota pravdepodobnosti spojená s touto náhodnou premennou; π a e - dobre známe matematické konštanty popisujúce pomer obvodu k priemeru a základne prirodzeného logaritmu; μ a σ2 sú parametre normálneho rozdelenia náhodnej premennej, respektíve matematického očakávania a rozptylu náhodnej premennej X.

Pre popis normálneho rozdelenia sa ukazuje ako nevyhnutné a postačujúce definovať len parametre μ a σ2.

Ak teda máme náhodnú premennú, ktorej správanie je opísané rovnicou (1.1) s ľubovoľnými hodnotami μ a σ2, môžeme ju označiť ako Ν (μ, σ2) bez zapamätania si všetkých podrobností tejto rovnice.

Ryža. 1.1.

Akékoľvek rozdelenie môže byť znázornené vizuálne vo forme grafu. Graficky má normálne rozdelenie podobu zvonovitej krivky, ktorej presný tvar určujú parametre rozloženia, t.j. matematické očakávanie a rozptyl. Parametre normálneho rozdelenia môžu nadobúdať takmer ľubovoľné hodnoty, ktoré sú obmedzené len meracou stupnicou používanou experimentátorom. Teoreticky môže byť hodnota matematického očakávania akékoľvek číslo z rozsahu čísel od -∞ do +∞ a rozptyl môže byť akékoľvek nezáporné číslo. Preto existuje nekonečné množstvo rôznych typov normálneho rozdelenia a teda aj nekonečný počet kriviek, ktoré ho reprezentujú (majú však podobný zvonovitý tvar). Je jasné, že nie je možné opísať všetky. Ak sú však známe parametre konkrétneho normálneho rozdelenia, možno ho previesť na tzv normálne rozdelenie jednotiek, matematické očakávanie sa rovná nule a rozptyl sa rovná jednej. Toto normálne rozdelenie je tiež tzv štandardné alebo z-distribúcia. Graf jednotkového normálneho rozdelenia je znázornený na obr. 1.1, z čoho je zrejmé, že vrchol zvonovitej krivky normálneho rozdelenia charakterizuje hodnotu matematického očakávania. Ďalší parameter normálneho rozdelenia - disperzia - charakterizuje stupeň "rozloženia" zvonovitej krivky vzhľadom na horizontálu (os x).

Definícia 1

Náhodná premenná $X$ má normálne rozdelenie (Gaussovo rozdelenie), ak je hustota jej rozloženia určená vzorcom:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)(2(\sigma )^ 2))\]

Tu je $aϵR$ matematické očakávanie a $\sigma >0$ je štandardná odchýlka.

Hustota normálneho rozdelenia.

Ukážme, že toto funkciu je skutočne hustota distribúcie. Ak to chcete urobiť, skontrolujte nasledujúcu podmienku:

Zvážte nesprávny integrál$\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)( 2(\sigma )^2))dx)$.

Urobme substitúciu: $\frac(x-a)(\sigma )=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$.

Keďže $f\left(t\right)=e^(\frac(-t^2)(2))$ je párna funkcia, potom

Rovnosť platí, takže funkcia $\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)( 2 (\sigma )^2))$ je skutočne hustota distribúcie nejakej náhodnej premennej.

Zvážte niektoré z najjednoduchších vlastností funkcie hustoty pravdepodobnosti normálneho rozdelenia $\varphi \left(x\right)$:

1. Graf funkcie hustoty pravdepodobnosti normálneho rozdelenia je symetrický vzhľadom na priamku $x=a$.
2. Funkcia $\varphi \left(x\right)$ dosahuje svoje maximum pri $x=a$, zatiaľ čo $\varphi \left(a\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma ) e^(\frac(-((a-a))^2)(2(\sigma )^2))=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )$
3. Funkcia $\varphi \left(x\right)$ klesá ako $x>a$ a zvyšuje sa ako $x
4. Funkcia $\varphi \left(x\right)$ má inflexné body v $x=a+\sigma $ a $x=a-\sigma $.
5. Funkcia $\varphi \left(x\right)$ sa asymptoticky približuje k osi $Ox$ ako $x\to \pm \infty $.
6. Schematický graf vyzerá takto nasledujúcim spôsobom(obr. 1).

postava 1 1. Graf hustoty normálneho rozdelenia

Všimnite si, že ak $a=0$, potom graf funkcie je symetrický vzhľadom na os $Oy$. Preto je funkcia $\varphi \left(x\right)$ párna.

Funkcia normálneho rozdelenia pravdepodobnosti.

Na nájdenie funkcie rozdelenia pravdepodobnosti pre normálne rozdelenie použijeme nasledujúci vzorec:

teda

Definícia 2

Funkcia $F(x)$ sa nazýva štandardné normálne rozdelenie, ak $a=0,\ \sigma =1$, teda:

Tu $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ je Laplaceova funkcia.

Definícia 3

Funkcia $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ sa nazýva integrál pravdepodobnosti.

Číselné charakteristiky normálneho rozdelenia.

Matematické očakávanie: $M\vľavo(X\vpravo)=a$.

Disperzia: $D\vľavo(X\vpravo)=(\sigma )^2$.

Stredná štvorcová distribúcia: $\sigma \left(X\right)=\sigma $.

Príklad 1

Príklad riešenie problémov na koncepte normálneho rozdelenia.

Úloha 1: Dĺžka cesty $X$ je náhodná spojitá hodnota. $ X $ sa rozdeľuje podľa zákona o normálnom rozdelení, ktorého priemerná hodnota je $ 4 $ kilometrov a štandardná odchýlka je $ 100 $ metrov.

1. Nájdite funkciu hustoty rozdelenia $X$.
2. Zostrojte schematický graf hustoty distribúcie.
3. Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej $X$.
4. Nájdite rozptyl.

1. Na začiatok si predstavme všetky veličiny v jednom rozmere: 100m = 0,1km

Z definície 1 dostaneme:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(0,1\sqrt(2\pi ))e^(\frac(-((x-4))^2)(0,02 ))\]

(pretože $a=4\ km,\ \sigma =0,1\ km)$

1. Pomocou vlastností funkcie hustoty rozdelenia máme, že graf funkcie $\varphi \left(x\right)$ je symetrický vzhľadom na priamku $x=4$.

Funkcia dosiahne maximum v bode $\left(a,\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\right)=(4,\ \frac(1)(0,1\sqrt( 2\pi )))$

Schematický graf vyzerá takto:

Obrázok 2

1. Autor: definícia funkcie distribúcie $F\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\int\limits^x_(-\infty )(e^(\frac(-((t-a)) )^2)(2(\sigma )^2))dt)$, máme:

1. $D\left(X\right)=(\sigma )^2=0,01$.