nezávislé náhodné udalosti. Veta o násobení pravdepodobnosti. Závislé a nezávislé náhodné premenné. Zákony podmieneného rozdelenia a kovariancie diskrétnych RV Náhodné premenné sa nazývajú nezávislé ak

Žiadna z nich nezávisí od toho, aké hodnoty nadobudli (alebo budú mať) ostatné náhodné premenné.

Napríklad systém dvoch hracích kociek – je úplne jasné, že výsledok hodu jednou kockou nijako neovplyvňuje pravdepodobnosť vypadnutia tvárí inej kocky. Alebo tie isté nezávisle fungujúce hracie automaty. A pravdepodobne majú niektorí dojem, že každý SV je vo všeobecnosti nezávislý. Nie vždy to však platí.

Zvážte simultánne odhodením dvoch magnetických kociek, ktorých severné póly sú na strane 1-bodovej plochy a južné póly sú na protiľahlej 6-bodovej ploche. Budú podobné náhodné premenné nezávislé? Áno, oni budú. Pravdepodobnosť vypadnutia „1“ a „6“ sa jednoducho zníži a šanca na ďalšie tváre sa zvýši, pretože v dôsledku testu môžu byť kocky priťahované opačnými pólmi.

Teraz zvážte systém, v ktorom sú kocky odhodené postupne:

- počet bodov hodených na prvej kocke;

- počet bodov hodených na druhej kocke za predpokladu, že sa vždy odhodí na pravú (napríklad) stranu 1. kocky.

V tomto prípade platí distribučný zákon náhodnej premennej závisí o tom, ako sa nachádza 1. kocka. Druhá kosť môže byť buď pritiahnutá, alebo naopak - odskočiť (ak sa póly s rovnakým názvom „stretli“), alebo čiastočne alebo úplne ignorovať 1. kocku.

Druhý príklad: predpokladajme, že tie isté hracie automaty sú spojené do jednej siete a - existuje systém náhodných premenných - výhry na zodpovedajúcich automatoch. Neviem, či je táto schéma legálna, ale majiteľ herne môže vytvoriť sieť nasledujúcim spôsobom: keď dôjde k veľkej výhre na akomkoľvek automate, zákony o rozdelení výhier vo všeobecnosti na všetkých automatoch sa automaticky zmenia. Predovšetkým je vhodné na určitý čas vynulovať pravdepodobnosti veľkých výhier, aby inštitúcia nečelila nedostatku financií (v prípade, že zrazu niekto opäť vyhrá veľké sumy). Uvažovaný systém bude teda závislý.

Ako demonštračný príklad si predstavte balíček 8 kariet, nech sú to králi a kráľovné, a jednoduchú hru, v ktorej dvaja hráči po sebe (bez ohľadu na to, v akom poradí) ťahajú jednu kartu z balíčka. Predstavte si náhodnú premennú , ktorá symbolizuje jedného hráča a má nasledujúce hodnoty: 1 , ak si vytiahol srdcovú kartu, a 0 - ak je karta inej farby.

Podobne nech náhodná premenná symbolizuje iného hráča a má tiež hodnoty 0 alebo 1, ak nekreslil srdce a srdce.

je pravdepodobnosť, že obaja hráči vytiahnu červa,

je pravdepodobnosť opačnej udalosti a:

- pravdepodobnosť, že jeden vytiahne červa a druhý - nie; alebo naopak:

Zákon rozdelenia pravdepodobnosti závislého systému je teda:

ovládanie: , ktorá mala byť overená. ...Možno máte otázku, prečo zvažujem práve 8, a nie 36 kariet? Áno, len aby zlomky neboli také ťažkopádne.

Teraz poďme trochu analyzovať výsledky. Ak spočítame pravdepodobnosti riadok po riadku:, potom dostaneme presne distribučný zákon náhodnej premennej:

Je ľahké pochopiť, že toto rozdelenie zodpovedá situácii, keď hráč „X“ ťahá kartu sám, bez súdruha „G“ a jeho očakávaná hodnota:
- sa rovná pravdepodobnosti vytiahnutia sŕdc z našej paluby.

Podobne, ak spočítame pravdepodobnosti podľa stĺpcov, potom dostaneme zákon rozdelenia jednej hry druhého hráča:

s rovnakým očakávaním

V dôsledku „symetrie“ pravidiel hry sa ukázalo, že distribúcie sú rovnaké, ale vo všeobecnosti sú, samozrejme, odlišné.

Okrem toho je užitočné zvážiť podmienené zákony rozdelenia pravdepodobnosti . Toto je situácia, keď jedna z náhodných premenných už nejaké vzala špecifický význam, alebo to predpokladáme hypoteticky.

Nechajte hráča „hráča“ najprv vytiahnuť kartu a nie srdce. Pravdepodobnosť tejto udalosti je (súčet pravdepodobností za prvú stĺpec stoly - viď vyššie). Potom z toho istého násobiace vety pre pravdepodobnosti závislých udalostí dostaneme tieto podmienené pravdepodobnosti:
- pravdepodobnosť, že hráč „X“ nevytiahne srdce, za predpokladu, že „hrajúci“ hráč nevytiahne srdce;
- pravdepodobnosť, že hráč „X“ vytiahne srdce, za predpokladu, že hráč „hráča“ srdce nevytiahol.

... každý si pamätá, ako sa zbaviť štvorposchodové zlomky? A áno, formálne, ale veľmi pohodlné technické pravidlo na výpočet týchto pravdepodobností: prvá suma Všetky pravdepodobnosti podľa stĺpec a potom vydeľte každú pravdepodobnosť výsledným súčtom.

Takže v , bude podmienený zákon rozdelenia náhodnej premennej napísaný takto:

, OK. Vypočítajme podmienené matematické očakávanie:

Teraz zostavme zákon rozdelenia náhodnej premennej za podmienky, že náhodná premenná nadobudne hodnotu , t.j. Hráč „hráča“ si vytiahol kartu v tvare srdca. K tomu zhrnieme pravdepodobnosti 2 stĺpec tabuľky ( viď vyššie): a vypočítajte podmienené pravdepodobnosti:
- skutočnosť, že hráč "X" nevytiahne červa,
- a červ.
Požadovaný zákon podmieneného rozdelenia:

Kontrola: a podmienené očakávanie:
- samozrejme, že to bolo menej ako v predchádzajúcom prípade, keďže hráč "hráča" znížil počet sŕdc v balíčku.

"Zrkadlovým" spôsobom (práca s riadkami tabuľky) možno zložiť - zákon rozdelenia náhodnej premennej za predpokladu, že náhodná premenná nadobudne hodnotu , a podmienené rozdelenie, keď hráč "X" vezme červa. Je ľahké pochopiť, že vďaka „symetrii“ hry sa získajú rovnaké rozdelenia a rovnaké hodnoty.

Pre spojité náhodné premenné zaviesť rovnaké pojmy. podmienené distribúcie a matematické očakávania, ale ak ich nepotrebujete, je lepšie pokračovať v štúdiu tejto lekcie.

V praxi vám vo väčšine prípadov ponúkne hotový zákon o rozdelení systému náhodných premenných:

Príklad 4

Dvojrozmerná náhodná premenná je daná vlastným zákonom rozdelenia pravdepodobnosti:

... Chcel som uvažovať o väčšom stole, ale rozhodol som sa nebyť maniakálny, pretože hlavné je pochopiť samotný princíp riešenia.

Požadovaný:

1) Zostavte distribučné zákony a vypočítajte zodpovedajúce matematické očakávania. Urobte rozumný záver o závislosti alebo nezávislosti náhodných premenných .

Toto je úloha, ktorú musíte vyriešiť sami! Pripomínam, že v prípade samostatnosti SV zákon sa musia ukázať ako rovnaké a zhodovať sa so zákonom rozdelenia náhodnej premennej a zákony sa musia zhodovať s . Desatinné čísla, kto nevie alebo zabudol, je vhodné rozdeliť takto: .
Ukážku si môžete pozrieť v spodnej časti stránky.

2) Vypočítajte koeficient kovariancie.

Najprv sa pozrime na samotný pojem a na to, odkiaľ sa vôbec vzal: keď náhodná premenná nadobúda rôzne hodnoty, potom hovoria, že sa líši a kvantitatívne meranie tohto variácie, ako viete, je vyjadrená disperzia. Pomocou vzorca na výpočet rozptylu, ako aj vlastností očakávania a rozptylu je ľahké určiť, že:

to znamená, že pri pridávaní dvoch náhodných premenných sa ich rozptyly spočítajú a pridá sa ďalší člen, ktorý charakterizuje kĺbová variácia alebo zakrátko - kovariancia náhodné premenné.

kovariancia alebo korelačný moment - Toto miera variácie kĺbov náhodné premenné.

Označenie: alebo

Kovariancia diskrétnych náhodných premenných je definovaná, teraz „vyjadrím“ :), ako matematické očakávanie súčinu lineárne odchýlky z týchto náhodných premenných zo zodpovedajúcich matematických očakávaní:

Ak , potom náhodné premenné závislý. Obrazne povedané, nenulová hodnota nám hovorí o prirodzené"reakcie" jedného SW na zmenu iného SW.

Kovarianciu je možné vypočítať dvoma spôsobmi, pokryjem oba.

Metóda jedna. Autor: definícia matematického očakávania:

"Strašný" vzorec a vôbec nie hrozné výpočty. Najprv zostavíme zákony rozdelenia náhodných premenných a na to zhrnieme pravdepodobnosti v riadkoch (hodnota "X") a podľa stĺpcov (hodnota "hry"):

Pozrite sa na pôvodnú hornú tabuľku – chápe každý, ako dopadli distribúcie? Vypočítať očakávania:
A odchýlky hodnoty náhodných premenných zo zodpovedajúcich matematických očakávaní:

Výsledné odchýlky je vhodné umiestniť do dvojrozmernej tabuľky, do ktorej potom prepíšeme pravdepodobnosti z pôvodnej tabuľky:

Teraz musíte vypočítať všetky možné produkty, ako príklad som zdôraznil: (Červená farba) A (modrá farba). Je vhodné vykonávať výpočty v Exceli a všetko podrobne napísať na čistú kópiu. Som zvyknutý pracovať „riadok po riadku“ zľava doprava, a preto najprv uvediem všetky možné produkty s odchýlkou „X“ -1,6, potom s odchýlkou 0,4:

Metóda dva, jednoduchšie a bežnejšie. Podľa vzorca:

Očakávanie produktového SW je definované ako a technicky je všetko veľmi jednoduché: vezmeme pôvodnú tabuľku problému a nájdeme všetky možné produkty podľa zodpovedajúcich pravdepodobností; na obrázku nižšie som prácu zvýraznil červenou farbou a modrý produkt:

Najprv uvediem všetky produkty s hodnotou , potom s hodnotou , ale samozrejme môžete použiť iné poradie vymenovania - ako chcete:

Hodnoty už boli vypočítané (pozri metódu 1) a zostáva použiť vzorec:

Ako bolo uvedené vyššie, nenulová hodnota kovariancie nám hovorí o závislosti náhodných premenných a tým viac je modulo, tým väčšia je táto závislosť bližšie na funkčné lineárne závislosti. Pre to je určené prostredníctvom lineárnych odchýlok.

Definícia môže byť teda formulovaná presnejšie:

kovariancia je meradlom lineárne závislosti náhodných premenných.

S nulová hodnota stále viac zaneprázdnený. Ak sa zistí, že , potom sa náhodné premenné môžu ukázať ako nezávislé aj závislé(pretože závislosť môže byť nielen lineárna). teda túto skutočnosť nemožno vo všeobecnosti použiť na zdôvodnenie nezávislosti SV!

Ak je však známe, že sú nezávislé, tak . Dá sa to jednoducho analyticky overiť: keďže pre nezávislé náhodné premenné je vlastnosť ( pozri predchádzajúcu lekciu), potom podľa vzorca na výpočet kovariancie:

Aké hodnoty môže mať tento koeficient? Koeficient kovariancie nadobúda hodnoty nepresahujúce modulo- a čím viac, tým výraznejšie lineárna závislosť. A všetko sa zdá byť v poriadku, ale takéto opatrenie má značné nepríjemnosti:

Predpokladajme, že preskúmame dvojrozmerná spojitá náhodná premenná(mentálne sa pripravuje :)), ktorého komponenty sú merané v centimetroch a dostali hodnotu . Mimochodom, aký je rozmer kovariancie? Keďže, - centimetre, a - tiež centimetre, potom ich produkt a očakávanie tohto produktu – vyjadrené v centimetroch štvorcových, t.j. kovariancia, podobne ako rozptyl, je kvadratický hodnotu.

Teraz predpokladajme, že sa niekto naučil rovnaký systém, ale nepoužíval centimetre, ale milimetre. Pretože 1 cm = 10 mm, kovariancia sa zvýši 100-krát a bude sa rovnať !

Preto je vhodné zvážiť normalizované kovariančný koeficient, ktorý by nám dal rovnakú a bezrozmernú hodnotu. Tento koeficient sa nazýva, pokračujeme v našej úlohe:

3) Koeficient korelácie . Alebo presnejšie, koeficient lineárnej korelácie:

, Kde - štandardné odchýlky náhodné premenné.

Korelačný koeficient bezrozmerný a preberá hodnoty z rozsahu:

(ak máte v praxi niečo iné - hľadajte chybu).

Viac modulo k jednote, čím bližší je lineárny vzťah medzi hodnotami a čím bližšie k nule, tým je táto závislosť menej výrazná. Vzťah sa považuje za významný od približne . Extrémne hodnoty zodpovedajú prísnej funkčnej závislosti, ale v praxi samozrejme neexistujú žiadne „ideálne“ prípady.

Naozaj chcem uviesť veľa zaujímavých príkladov, ale korelácia je v kurze relevantnejšia matematickej štatistiky a tak si ich odložím do budúcna. Teraz nájdime korelačný koeficient v našom probléme. Takže. Zákony distribúcie sú už známe, skopírujem zhora:

Očakávania sa nachádzajú: , a zostáva vypočítať štandardné odchýlky. znamenie Nebudem to kresliť, rýchlejšie je to počítať s riadkom:

Kovariancia zistená v predchádzajúcom odseku a zostáva vypočítať korelačný koeficient:
medzi hodnotami je teda lineárna závislosť priemernej tesnosti.

Štvrtá úloha je opäť typická skôr pre úlohy matematickej štatistiky, ale pre každý prípad to zvážte tu:

4) Napíšte lineárnu regresnú rovnicu pre .

Rovnica lineárna regresia je funkcia , ktorý najlepšia cesta aproximuje hodnoty náhodnej premennej . Pre najlepšie priblíženie sa zvyčajne používa metóda najmenších štvorcov a potom sa regresné koeficienty môžu vypočítať podľa vzorcov:
, to sú zázraky a 2. koeficient:

Závislé a nezávislé náhodné premenné

Pri štúdiu systémov náhodných veličín treba vždy venovať pozornosť stupňu a povahe ich závislosti. Táto závislosť môže byť viac či menej výrazná, viac či menej blízka. V niektorých prípadoch môže byť vzťah medzi náhodnými premennými taký blízky, že ak poznáte hodnotu jednej náhodnej premennej, môžete presne určiť hodnotu inej. V druhom extrémnom prípade je závislosť medzi náhodnými premennými taká slabá a vzdialená, že ich možno prakticky považovať za nezávislé.
Pojem nezávislých náhodných premenných je jedným z dôležitých konceptov teórie pravdepodobnosti.
O náhodnej premennej $Y$ sa hovorí, že je nezávislá od náhodnej premennej $X$, ak zákon o rozdelení hodnoty $Y$ nezávisí od hodnoty $X$.
Pre spojité náhodné premenné možno podmienku, že $Y$ je nezávislé od $X$, zapísať ako: $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ pre ľubovoľné $y $.
Naopak, ak $Y$ závisí od $X$, potom $$f(y\mid x) \neq f_(2)(y)$$ Dokážeme, že závislosť alebo nezávislosť náhodných veličín je vždy vzájomná: ak hodnota $Y$ nezávisí od $X$, potom hodnota $X$ nezávisí od $Y$.
V skutočnosti nech je $Y$ nezávislé od $X$: $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ máme: $$f_(1)(x)f( y \mid x)=f_(2)(y)f(x\mid y)$$ odkiaľ, dostaneme: $$f_(1)(x)=f(x\mid y)$$ čo malo byť dokázal.
Keďže závislosť a nezávislosť náhodných premenných sú vždy vzájomné, môžeme uviesť novú definíciu nezávislých náhodných premenných.
Náhodné premenné $X$ a $Y$ sa nazývajú nezávislé, ak zákon rozdelenia každej z nich nezávisí od hodnoty tej druhej. V opačnom prípade sa volajú veličiny $X$ a $Y$. závislý.
Pre nezávislé spojité náhodné premenné má teorém o násobení distribučného zákona formu rozdelenia jednotlivých veličín zahrnutých v systéme.
Často už samotným tvarom funkcie $f(x, y)$ možno dospieť k záveru, že náhodné premenné $X, Y$ sú nezávislé, a to ak hustota distribúcie $f(x, y) $ rozloží na súčin dve funkcie, z ktorých jedna závisí iba od $x$, druhá iba od $y$, potom sú náhodné veličiny nezávislé.
Príklad 1 Hustota rozdelenia systému $(X, Y)$ má tvar: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi ^(2)(x^(2)+y^( 2)+x ^(2)y^(2)+1))$$ Určte, či sú náhodné premenné $X$ a $Y$ závislé alebo nezávislé.
Riešenie. Pri faktorizácii menovateľa máme: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\frac(1)(\pi (y^(2)+1 ))$$ Zo skutočnosti, že funkcia $f(x, y)$ sa rozdelila na súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna závisí iba od $x$ a druhá iba od $y\ ), dospejeme k záveru, že veličiny \(X$ a $Y$ musia byť nezávislé. Ak použijeme vzorce, máme: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\int_(-\infty)^(\infty)(\ frac( dy)(\pi (y^(2)+1)))=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))$$ podobne ako $$f(x, y)= (\frac (1)(\pi (y^(2)+1)))$$, čím sa uistíme, že $$f(x, y)=f_(1)(x)f_(2)(y) $$ a teda množstvá $X$ a $Y$ sú nezávislé.

Podmienečné zákony distribúcia. Regresia.

Definícia. Zákon podmieneného rozdelenia jednej z jednorozmerných zložiek dvojrozmernej náhodnej premennej (X, Y) je jej distribučný zákon, vypočítaný za podmienky, že druhá zložka nadobudla určitú hodnotu (alebo spadala do nejakého intervalu). V predchádzajúcej prednáške sa uvažovalo o hľadaní podmienených rozdelení pre diskrétne náhodné premenné. Existujú aj vzorce pre podmienené pravdepodobnosti:

V prípade spojitých náhodných veličín je potrebné určiť hustoty pravdepodobnosti podmienených rozdelení j y (x) a j X (y). Na tento účel vo vyššie uvedených vzorcoch nahradíme pravdepodobnosti udalostí ich „prvkami pravdepodobnosti“!

po zmenšení o dx a dy dostaneme:

tie. podmienená hustota pravdepodobnosti jednej z jednorozmerných zložiek dvojrozmernej náhodnej premennej sa rovná pomeru jej spoločnej hustoty k hustote pravdepodobnosti druhej zložky. Tieto pomery sú zapísané vo forme

sa nazývajú teorém (pravidlo) násobenia distribučných hustôt.

Podmienené hustoty j y (x) a j X (y). majú všetky vlastnosti "bezpodmienečnej" hustoty.

Pri štúdiu dvojrozmerných náhodných premenných uvažujeme číselné charakteristiky jednorozmerné komponenty X a Y - matematické očakávania a rozptyly. Pre spojitú náhodnú premennú (X, Y) sú určené vzorcami:

Spolu s nimi sa zvažujú aj číselné charakteristiky podmienených rozdelení: podmienené matematické očakávania M x (Y) a M y (X) a podmienené rozptyly D x (Y) a D Y (X). Tieto charakteristiky sa nachádzajú pomocou obvyklých vzorcov matematického očakávania a rozptylu, v ktorých sa namiesto pravdepodobností udalostí alebo hustoty pravdepodobnosti používajú podmienené pravdepodobnosti alebo podmienené hustoty pravdepodobnosti.

Podmienené matematické očakávanie náhodnej premennej Y pre X = x, t.j. M x (Y), existuje funkcia x, nazývaná regresná funkcia alebo jednoducho regresia Y na X. Podobne sa M Y (X) nazýva regresná funkcia alebo jednoducho regresia X na Y. Grafy týchto funkcií sa nazývajú resp. regresné priamky (alebo regresné krivky) Y x X alebo X x Y.

Závislé a nezávislé náhodné premenné.

Definícia. Náhodné veličiny X a Y sa nazývajú nezávislé, ak ich spoločná distribučná funkcia F(x,y) je reprezentovaná ako súčin distribučných funkcií F 1 (x) a F 2 (y) týchto náhodných veličín, t.j.

V opačnom prípade sa náhodné premenné X a Y nazývajú závislé.

Dvojnásobným derivovaním rovnosti vzhľadom na argumenty x a y dostaneme

tie. pre nezávislé spojité náhodné premenné X a Y je ich spoločná hustota j(x, y) rovná súčinu hustôt pravdepodobnosti j 1 (x) a j 2 (y) týchto náhodných premenných.

Doteraz sme sa zaoberali konceptom funkčná závislosť medzi premennými X a Y, keď každá hodnota x v jednej premennej zodpovedala presne definovanej hodnote v druhej. Funkčný je napríklad vzťah medzi dvoma náhodnými premennými – počtom zlyhaných kusov zariadení za určité časové obdobie a ich nákladmi.

Vo všeobecnosti sa človek stretáva s iným typom závislosti, menej rigidným ako funkčná závislosť.

Definícia. Vzťah medzi dvoma náhodnými premennými sa nazýva pravdepodobnostný (stochastický alebo štatistický), ak každá hodnota jednej z nich zodpovedá určitému (podmienenému) rozdeleniu druhej.

V prípade pravdepodobnostnej (stochastickej) závislosti nie je možné pri znalosti hodnoty jednej z nich presne určiť hodnotu druhej, ale možno naznačiť iba rozdelenie druhej veličiny. Napríklad vzťah medzi počtom porúch zariadenia a nákladmi na jeho preventívnu údržbu, hmotnosťou a výškou človeka, časom, ktorý školák strávi sledovaním televíznych programov a čítaním kníh atď. sú pravdepodobnostné (stochastické).

Na obr. 5.10 sú uvedené príklady závislých a nezávislých náhodných premenných X a Y.

Náhodné udalosti sa nazývajú nezávislé, ak výskyt jednej z nich neovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu iných udalostí.

Príklad 1 . Ak sú dve alebo viac urien s farebnými loptičkami, potom vytiahnutie ľubovoľnej gule z jednej urny neovplyvní pravdepodobnosť vytiahnutia ďalších loptičiek zo zvyšných urien.

Na nezávislé podujatia, veta o násobení pravdepodobnosti: pravdepodobnostný spoj(simultánne)výskyt niekoľkých nezávislých náhodných udalostí sa rovná súčinu ich pravdepodobnosti:

P (A 1 a A 2 a A 3 ... a Ak) \u003d P (A 1) ∙ P (A 2) ∙ ... ∙ P (A k). (7)

Spoločný (súčasný) výskyt udalostí znamená, že udalosti sa vyskytujú a A 1, A A 2, A A 3… A A k.

Príklad 2 . Sú tam dve urny. Jedna obsahuje 2 čierne a 8 bielych loptičiek, druhá obsahuje 6 čiernych a 4 biele. Nechajte udalosť A- náhodný výber bielej gule z prvej urny, IN- od druhého. Aká je pravdepodobnosť náhodného výberu z týchto urien bielu guľu, t.j. čo sa rovná R (A A IN)?

Riešenie: pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule z prvej urny
R(A) = = 0,8 od druhého – R(IN) = = 0,4. Pravdepodobnosť získania bielej gule z oboch urien súčasne je
R(A A IN) = R(A)· R(IN) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Príklad 3 Diéta so zníženým obsahom jódu spôsobuje zväčšenie štítnej žľazy u 60 % zvierat vo veľkej populácii. Na experiment sú potrebné 4 zväčšené žľazy. Nájdite pravdepodobnosť, že 4 náhodne vybrané zvieratá budú mať zväčšenú štítnu žľazu.

Riešenie:Náhodná udalosť A- náhodný výber zvieraťa so zväčšenou štítnou žľazou. Podľa stavu problému, pravdepodobnosti tejto udalosti R(A) = 0,6 = 60 %. Potom sa pravdepodobnosť spoločného výskytu štyroch nezávislých udalostí - náhodný výber 4 zvierat so zväčšenou štítnou žľazou - bude rovnať:

R(A 1 a A 2 a A 3 a A 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6) 4 ≈ 0,13 = 13%.

závislé udalosti. Veta o násobení pravdepodobnosti pre závislé udalosti

Náhodné udalosti A a B sa nazývajú závislé, ak výskyt jednej z nich, napríklad A, zmení pravdepodobnosť výskytu druhej udalosti - B. Preto sa pre závislé udalosti používajú dve hodnoty pravdepodobnosti: nepodmienené a podmienené pravdepodobnosti .

Ak A A IN závislé udalosti, potom pravdepodobnosť výskytu udalosti IN najprv (t.j. pred udalosťou A) sa nazýva bezpodmienečná pravdepodobnosť tohto podujatia a je určený R(IN).Pravdepodobnosť udalosti IN za predpokladu, že udalosť A už sa stalo, je tzv podmienená pravdepodobnosť diania IN a označené R(IN/A) alebo R A(IN).

Bezpodmienečné - R(A) a podmienené - R(A/B) pravdepodobnosti udalosti A.

Veta o násobení pravdepodobností pre dve závislé udalosti: pravdepodobnosť súčasného výskytu dvoch závislých udalostí A a B sa rovná súčinu nepodmienenej pravdepodobnosti prvej udalosti a podmienenej pravdepodobnosti druhej:

R(A a B)= P(A)∙P(B/A) , (8)

A, alebo

R(A a B)= P(IN)∙P(A/B), (9)

ak udalosť nastane ako prvá IN.

Príklad 1. V urne sú 3 čierne loptičky a 7 bielych loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že sa z tejto urny postupne vyberú 2 biele gule (a prvá sa do urny nevráti).

Riešenie: pravdepodobnosť vytiahnutia prvej bielej gule (udal A) sa rovná 7/10. Po jej vytiahnutí zostane v urne 9 loptičiek, z toho 6 bielych. Potom pravdepodobnosť výskytu druhej bielej gule (udalosť IN) rovná sa R(IN/A) = 6/9 a pravdepodobnosť získania dvoch bielych gúľ za sebou je

R(A A IN) = R(A)∙R(IN/A) = = 0,47 = 47%.

Danú vetu o násobení pravdepodobnosti pre závislé udalosti možno zovšeobecniť na ľubovoľný počet udalostí. Najmä pre tri navzájom súvisiace udalosti:

R(A A IN A S)= P(A)∙ P(B/A)∙ P(TAXÍK). (10)

Príklad 2. V dvoch materských školách, každú navštevuje 100 detí, prepukla infekčná choroba. Podiel prípadov je 1/5 a 1/4 av prvom zariadení 70% av druhom - 60% prípadov sú deti do 3 rokov. Jedno dieťa je vybrané náhodne. Určte pravdepodobnosť, že:

1) vybrané dieťa patrí do prvej materskej školy (pod A) a chorí (udalosť IN).

2) dieťa sa vyberie z druhého MATERSKÁ ŠKOLA(udalosť S), chorý (udalosť D) a staršie ako 3 roky (event E).

Riešenie. 1) požadovaná pravdepodobnosť -

R(A A IN) = R(A) ∙ R(IN/A) = = 0,1 = 10%.

2) požadovaná pravdepodobnosť:

R(S A D A E) = R(S) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = = 5%.

Bayesov vzorec

= (12)

Príklad 1. Pri vstupnom vyšetrení pacienta sa predpokladajú 3 diagnózy H 1 , H 2 , H 3. Ich pravdepodobnosti sú podľa lekára rozdelené takto: R(H 1) = 0,5; R(H 2) = 0,17; R(H 3) = 0,33. Preto sa prvá diagnóza zdá predbežne najpravdepodobnejšia. Na objasnenie je napríklad predpísaný krvný test, pri ktorom sa očakáva zvýšenie ESR (príp A). Vopred je známe (na základe výsledkov výskumu), že pravdepodobnosti zvýšenia ESR pri suspektných ochoreniach sa rovnajú:

R(A/H 1) = 0,1; R(A/H 2) = 0,2; R(A/H 3) = 0,9.

V získanej analýze bolo zaznamenané zvýšenie ESR (príp A Stalo). Potom výpočet podľa Bayesovho vzorca (12) dáva hodnoty pravdepodobnosti údajných chorôb so zvýšenou hodnotou ESR: R(H 1 /A) = 0,13; R(H 2 /A) = 0,09;
R(H 3 /A) = 0,78. Tieto čísla ukazujú, že pri zohľadnení laboratórnych údajov nie je prvá, ale tretia diagnóza, ktorej pravdepodobnosť sa teraz ukázala ako dosť vysoká, najreálnejšia.

Príklad 2. Určte pravdepodobnosť, ktorá hodnotí mieru rizika perinatálnej* smrti dieťaťa u žien s anatomicky úzkou panvou.

Riešenie: nech event H 1 - bezpečné doručenie. Podľa klinických správ, R(H 1) = 0,975 = 97,5 %, potom ak H 2- fakt perinatálnej úmrtnosti teda R(H 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Označiť A- skutočnosť prítomnosti úzkej panvy u rodiacej ženy. Z uskutočnených štúdií je známe: a) R(A/H 1) - pravdepodobnosť úzkej panvy s priaznivým pôrodom, R(A/H 1) = 0,029, b) R(A/H 2) - pravdepodobnosť úzkej panvy pri perinatálnej úmrtnosti,
R(A/H 2) = 0,051. Potom sa požadovaná pravdepodobnosť perinatálnej úmrtnosti v úzkej panve u rodiacej ženy vypočíta podľa Baysovho vzorca (12) a rovná sa:

Riziko perinatálnej mortality v anatomicky úzkej panve je teda výrazne vyššie (takmer dvakrát) ako priemerné riziko (4,4 % vs. 2,5 %).

Dve náhodné premenné $X$ a $Y$ sa nazývajú nezávislé, ak sa distribučný zákon jednej náhodnej premennej nemení v závislosti od možných hodnôt, ktoré má druhá náhodná premenná. To znamená, že pre ľubovoľné $x$ a $y$ sú udalosti $X=x$ a $Y=y$ nezávislé. Keďže udalosti $X=x$ a $Y=y$ sú nezávislé, potom podľa vety o súčine pravdepodobností nezávislých udalostí $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ vpravo)\vpravo)=P \vľavo(X=x\vpravo)P\vľavo(Y=y\vpravo)$.

Príklad 1 . Nech náhodná premenná $X$ vyjadruje peňažné výhry z tiketov jednej lotérie „Ruské Lotto“ a náhodná premenná $Y$ vyjadruje peňažné výhry z tiketov inej lotérie „Zlatý kľúč“. Je zrejmé, že náhodné premenné $X,\Y$ budú nezávislé, keďže výhry z tiketov jednej lotérie nezávisia od zákona o rozdelení výhier z tiketov inej lotérie. V prípade, že by náhodné premenné $X,\Y$ vyjadrovali výhru v tej istej lotérii, potom by tieto náhodné premenné boli samozrejme závislé.

Príklad 2 . Dvaja pracovníci pracujú v rôznych dielňach a vyrábajú rôzne produkty, ktoré spolu nesúvisia výrobnými technológiami a použitými surovinami. Zákon o rozdelení počtu chybných výrobkov vyrobených prvým pracovníkom za zmenu má nasledujúcu podobu:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
Počet \ chybných \ produktov \ x & 0 & 1 \\
\hline
Pravdepodobnosť & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(pole)$

Počet chybných výrobkov vyrobených druhým pracovníkom za zmenu podlieha nasledujúcemu distribučnému zákonu.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
Počet \ chybných \ produktov \ y & 0 & 1 \\
\hline
Pravdepodobnosť & 0,7 a 0,3 \\
\hline
\end(pole)$

Nájdime zákon rozdelenia počtu chybných výrobkov vyrobených dvoma pracovníkmi za zmenu.

Nech náhodná premenná $X$ je počet chybných položiek vyrobených prvým pracovníkom za zmenu a $Y$ je počet chybných položiek vyrobených druhým pracovníkom za zmenu. Podľa predpokladu sú náhodné premenné $X,\Y$ nezávislé.

Počet chybných položiek vyrobených dvomi pracovníkmi za zmenu je náhodná premenná $X+Y$. Jeho možné hodnoty sú $0,\ 1$ a $2$. Poďme nájsť pravdepodobnosti, s ktorými náhodná premenná $X+Y$ nadobúda svoje hodnoty.

$P\vľavo(X+Y=0\vpravo)=P\vľavo (X=0,\Y=0\vpravo)=P\vľavo (X=0\vpravo)P\vľavo (Y=0\vpravo) =0,8\cdot 0,7=0,56,$

$P\vľavo(X+Y=1\vpravo)=P\vľavo(X=0,\Y=1\ alebo\ X=1,\Y=0\vpravo)=P\vľavo(X=0\vpravo )P\vľavo(Y=1\vpravo)+P\vľavo(X=1\vpravo)P\vľavo (Y=0\vpravo)=0,8\cbodka 0,3+0,2\bodka 0,7 =0,38,$

$P\vľavo(X+Y=2\vpravo)=P\vľavo (X=1,\Y=1\vpravo)=P\vľavo (X=1\vpravo)P\vľavo (Y=1\vpravo) =0,2\cdot 0,3=0,06,$

Potom zákon o distribúcii počtu chybných výrobkov vyrobených dvoma pracovníkmi za zmenu:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
Počet \ chybných \ položiek & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Pravdepodobnosť & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end(pole)$

V predchádzajúcom príklade sme vykonali operáciu s náhodnými premennými $X,\ Y$, konkrétne sme našli ich súčet $X+Y$. Uveďme teraz presnejšiu definíciu operácií (sčítanie, rozdiel, násobenie) s náhodnými premennými a uveďme príklady riešení.

Definícia 1. Súčin $kX$ náhodnej premennej $X$ a konštanty $k$ je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty $kx_i$ s rovnakými pravdepodobnosťami $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \bodky ,\ n\ vpravo)$.

Definícia 2. Súčet (rozdiel alebo súčin) náhodných premenných $X$ a $Y$ je náhodná premenná, ktorá nadobúda všetky možné hodnoty v tvare $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ alebo $x_i\cdot y_i$) , kde $i=1 ,\ 2,\bodky ,\ n$, s pravdepodobnosťou $p_(ij)$, že náhodná premenná $X$ nadobúda hodnotu $x_i$ a $Y$ hodnotu $y_j$:

$$p_(ij)=P\vľavo[\vľavo(X=x_i\vpravo)\vľavo(Y=y_j\vpravo)\vpravo].$$

Keďže náhodné premenné $X,\Y$ sú nezávislé, potom podľa vety o násobení pravdepodobnosti pre nezávislé udalosti: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right )= p_i\cdot p_j$.

Príklad 3 . Nezávislé náhodné premenné $X,\ Y$ sú dané vlastnými zákonmi rozdelenia pravdepodobnosti.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(pole)$

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(pole)$

Zostavme zákon rozdelenia náhodnej premennej $Z=2X+Y$. Súčet náhodných premenných $X$ a $Y$, t.j. $X+Y$, je náhodná premenná, ktorá nadobúda všetky možné hodnoty v tvare $x_i+y_j$, kde $i=1,\ 2,\ bodky ,\ n$ , s pravdepodobnosťou $p_(ij)$, že náhodná premenná $X$ nadobúda hodnotu $x_i$ a $Y$ hodnotu $y_j$: $p_(ij)=P\left[\left( X=x_i\vpravo )\vľavo(Y=y_j\vpravo)\vpravo]$. Keďže náhodné premenné $X,\Y$ sú nezávislé, potom podľa vety o násobení pravdepodobnosti pre nezávislé udalosti: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right )= p_i\cdot p_j$.

Takže má distribučné zákony pre náhodné premenné $2X$ a $Y$.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(pole)$

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(pole)$

Pre pohodlie nájdenia všetkých hodnôt súčtu $Z=2X+Y$ a ich pravdepodobností zostavíme pomocnú tabuľku, do ktorej každej bunky umiestnime do ľavého rohu hodnoty súčtu $ Z = 2X + Y $ a v pravom rohu - pravdepodobnosti týchto hodnôt získané ako výsledok vynásobením pravdepodobností zodpovedajúcich hodnôt náhodných premenných $ 2X $ a $ Y $.

Výsledkom je rozdelenie $Z=2X+Y$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(pole)$