Funkčné spojenie a stochastická závislosť. Závislosť je stochastická. Stochastický model literárneho diela

Medzi rôznymi javmi a ich znakmi je potrebné v prvom rade rozlišovať 2 typy vzťahov: funkčné (pevne určené) a štatistické (stochasticky určené).

V súlade s prísne deterministickou predstavou o fungovaní ekonomických systémov sa nevyhnutnosť a pravidelnosť jednoznačne prejavujú v každom jednotlivom fenoméne, to znamená, že akékoľvek konanie spôsobuje presne definovaný výsledok; náhodné (vopred nepredvídané) vplyvy sa zanedbávajú. Preto za dané počiatočné podmienky stav takéhoto systému možno určiť s pravdepodobnosťou rovnou 1. Obmenou tejto zákonitosti je funkčné spojenie.

Pripojenie funkcie pri so znakom X sa nazýva funkčný, ak každá možná hodnota nezávislého znaku X zodpovedá 1 alebo niekoľkým presne definovaným hodnotám závislej funkcie pri. Definíciu funkčného vzťahu možno ľahko zovšeobecniť na prípad mnohých znakov X 1 ,X 2 …X n .

Charakteristickým znakom funkčných vzťahov je, že v každom jednotlivom prípade je známy úplný zoznam faktorov, ktoré určujú hodnotu závislého (výsledného) atribútu, ako aj presný mechanizmus ich vplyvu, vyjadrený určitou rovnicou.

Funkčné spojenie môže byť vyjadrené rovnicou:

r i =  (X i ) ,

Kde r i- účinný znak ( i = 1, …, n);

f(x i ) - známa funkcia spojenia medzi efektívnym a faktorovým znakom;

X i- znak faktora.

V reálnom spoločenskom živote môže v dôsledku neúplnosti informácií rigidne určeného systému nastať neistota, kvôli ktorej je potrebné tento systém zo svojej podstaty považovať za pravdepodobnostný, pričom vzťah medzi znakmi sa stáva stochastickým.

Stochastické spojenie je vzťah medzi veličinami, v ktorých jedna z nich je náhodná veličina pri, reaguje na zmenu inej hodnoty X alebo iné hodnoty X 1 ,X 2 …X n(náhodné alebo nenáhodné) zmenou distribučného zákona. Je to spôsobené tým, že závislá premenná (výsledná vlastnosť) okrem uvažovaných nezávislých podlieha vplyvu množstva nezohľadnených alebo nekontrolovaných (náhodných) faktorov, ako aj niektorých nevyhnutných chýb v meraní. premenných. Keďže hodnoty závislej premennej podliehajú náhodným zmenám, nemožno ich predpovedať s dostatočnou presnosťou, ale iba s určitou pravdepodobnosťou.

Charakteristickou črtou stochastických spojení je, že sa vyskytujú v celej populácii, a nie v každej jej jednotke. Navyše nie je známy ani úplný zoznam faktorov, ktoré určujú hodnotu efektívnej funkcie, ani presný mechanizmus ich fungovania a interakcie s efektívnou vlastnosťou. Vždy je tu vplyv náhody. Zobrazenie rôznych hodnôt závislej premennej - realizácia náhodnej premennej.

Stochastický model pripojenia môže byť reprezentovaný vo všeobecnom tvare rovnicou:

ŷ i =  (X i ) +  i ,

Kde ŷ i- vypočítaná hodnota efektívneho znaku;

f(x i ) - časť efektívneho znaku, vytvorená pod vplyvom uvažovaných známych faktorových znakov (jedného alebo viacerých), ktoré sú v stochastickom spojení so znakom;

 i- časť efektívneho znaku, ktorá vznikla v dôsledku pôsobenia nekontrolovaných alebo nezohľadnených faktorov, ako aj merania znakov, čo je nevyhnutne sprevádzané niektorými náhodnými chybami.

Prejav stochastických vzťahov podlieha pôsobeniu zákon veľkých čísel: akurát dosť veľké čísla jednotky, vyhladia sa jednotlivé vlastnosti, vyrušia sa šance a závislosť, ak má výraznú silu, sa prejaví celkom zreteľne.

korelácia existuje tam, kde sú vzájomne súvisiace javy charakterizované iba náhodnými premennými. Pri takomto spojení priemerná hodnota (matematické očakávanie) náhodnej premennej efektívneho znaku pri sa prirodzene mení v závislosti od zmeny inej veličiny X alebo iné náhodné premenné X 1 ,X 2 …X n. Korelácia sa neobjavuje v každom jednotlivom prípade, ale v celej populácii ako celku. Len pri dostatočne veľkom počte prípadov je každá hodnota náhodného znaku X bude zodpovedať rozdeleniu stredných hodnôt náhodného prvku pri. Prítomnosť korelácií je vlastná mnohým spoločenským javom.

korelácia- pojem je užší ako stochastické spojenie. To sa môže prejaviť nielen v zmene priemernej hodnoty, ale aj vo variácii jedného atribútu v závislosti od druhého, teda akejkoľvek inej charakteristiky variácie. Korelačné spojenie je teda špeciálnym prípadom stochastického spojenia.

Priame a spätné odkazy. V závislosti od smeru pôsobenia môžu byť funkčné a stochastické vzťahy priame a reverzné. Pri priamom vzťahu sa smer zmeny výsledného atribútu zhoduje so smerom zmeny znaku-faktora, to znamená, že s nárastom znaku faktora rastie aj výsledné znamienko, a naopak, s poklesom znamienko faktora, výsledné znamienko tiež klesá. V opačnom prípade existujú spätné väzby medzi uvažovanými veličinami. Napríklad, čím vyššia je kvalifikácia pracovníka (rank), tým vyššia je úroveň produktivity práce - priamy vzťah. A čím vyššia je produktivita práce, tým nižšie sú jednotkové výrobné náklady – spätná väzba.

Priamočiare a krivočiare spojenia. Podľa analytického výrazu (formy) môžu byť spoje priamočiare a krivočiare. Pri priamočiarom vzťahu so zvyšovaním hodnoty atribútu faktora dochádza k nepretržitému zvyšovaniu (alebo znižovaniu) hodnôt výsledného atribútu. Matematicky je takýto vzťah reprezentovaný rovnicou priamky a graficky priamkou. Preto jeho kratší názov - lineárne spojenie. Pri krivočiarych vzťahoch s nárastom hodnoty faktora faktora dochádza k nárastu (alebo poklesu) efektívneho atribútu nerovnomerne, prípadne je smer jeho zmeny obrátený. Geometricky sú takéto spojenia znázornené zakrivenými čiarami (hyperbola, parabola atď.).

Jednofaktorové a viacfaktorové vzťahy. Podľa počtu faktorov pôsobiacich na efektívny atribút sa vzťahy líšia: jednofaktorové (jeden faktor) a viacfaktorové (dva a viac faktorov). Jednofaktorové (jednoduché) vzťahy sa zvyčajne nazývajú párové (keďže sa uvažuje o dvojici znakov). Napríklad korelácia medzi ziskom a produktivitou práce. V prípade multifaktoriálneho (viacnásobného) vzťahu znamenajú, že všetky faktory pôsobia komplexne, teda súčasne a vo vzájomnej súvislosti. Napríklad korelácia medzi produktivitou práce a úrovňou organizácie práce, automatizáciou výroby, kvalifikáciou pracovníkov, pracovnými skúsenosťami, prestojmi a ďalšími charakteristikami faktorov. Pomocou viacnásobnej korelácie je možné pokryť celý komplex faktorových charakteristík a objektívne reflektovať existujúce viacnásobné vzťahy.

Nech je potrebné vyšetriť závislosť a obe veličiny sa merajú v rovnakých experimentoch. Za týmto účelom séria experimentov rôzne významy pokúsiť sa zachovať ostatné podmienky experimentu nezmenené.

Meranie každej veličiny obsahuje náhodné chyby (systematické chyby sa tu nebudú brať do úvahy); preto sú tieto veličiny náhodné.

Pravidelné spojenie náhodných premenných sa nazýva stochastické. Budeme brať do úvahy dve úlohy:

a) zistiť, či existuje (s určitou pravdepodobnosťou) závislosť alebo či hodnota nezávisí od;

b) ak existuje závislosť, popíšte ju kvantitatívne.

Prvá úloha sa nazýva analýza rozptylu a ak sa uvažuje o funkcii mnohých premenných, potom viacrozmerná analýza rozptylu. Druhá úloha sa nazýva regresná analýza. Ak sú náhodné chyby veľké, potom môžu maskovať požadovanú závislosť a nie je ľahké ju identifikovať.

Stačí teda zvážiť náhodnú premennú v závislosti od ako parameter. Matematické očakávanie tejto hodnoty závisí od toho, či je táto závislosť požadovaná a nazýva sa regresný zákon.

Disperzná analýza. Vykonajte malú sériu meraní pri každej hodnote a určte.

V prvej metóde sa štandardy odberu vzoriek jedného merania vypočítajú pre každú sériu samostatne a pre celý súbor meraní:

kde je celkový počet dimenzií a

sú priemerné hodnoty pre každú sériu a pre celý súbor meraní.

Porovnajme rozptyl súboru meraní s rozptylmi jednotlivých sérií. Ak sa ukáže, že pri zvolenej úrovni spoľahlivosti je možné počítať pre všetky i, potom existuje závislosť z na.

Ak nedôjde k výraznému prekročeniu, tak závislosť nemožno zistiť (pri danej presnosti experimentu a akceptovanom spôsobe spracovania).

Disperzie sa porovnávajú Fisherovým testom (30). Keďže štandard s je určený celkovým počtom rozmerov N, ktorý je zvyčajne dosť veľký, je takmer vždy možné použiť Fisherove koeficienty uvedené v tabuľke 25.

Druhou metódou analýzy je porovnanie priemerov pri rôznych hodnotách navzájom. Hodnoty sú náhodné a nezávislé, pričom ich vlastné vzorkovacie štandardy sa rovnajú

Preto sa porovnávajú podľa schémy nezávislých meraní opísanej v odseku 3. Ak sú rozdiely významné, t. j. prekračujú interval spoľahlivosti, potom sa zistí skutočnosť závislosti od; ak sú rozdiely všetkých 2 nevýznamné, potom závislosť nie je zistiteľná.

Multivariačná analýza má určité zvláštnosti. Odporúča sa merať hodnotu v uzloch pravouhlej mriežky, aby bolo pohodlnejšie skúmať závislosť na jednom argumente a fixovať druhý argument. Je príliš pracné vykonávať sériu meraní v každom uzle viacrozmernej siete. Na odhadnutie rozptylu jedného merania stačí vykonať sériu meraní v niekoľkých uzloch siete; v iných uzloch sa možno obmedziť na jednotlivé merania. Analýza rozptylu sa uskutočňuje podľa prvej metódy.

Poznámka 1. Ak je meraní veľa, potom sa pri oboch metódach môžu jednotlivé merania alebo série značne odchyľovať od svojich vlastných s výraznou pravdepodobnosťou. matematické očakávanie. Toto sa musí vziať do úvahy pri výbere pravdepodobnosti spoľahlivosti dostatočne blízkej 1 (ako sa to urobilo pri stanovení limitov oddeľujúcich prípustné náhodné chyby od hrubých).

Regresná analýza. Nech analýza rozptylu naznačuje, že existuje závislosť z. Ako to vyčísliť?

Aby sme to dosiahli, aproximujeme požadovanú závislosť nejakou funkciou. Nájdeme optimálne hodnoty parametrov metódou najmenších štvorcov, čím sa problém vyrieši

kde sú váhy merania zvolené v nepriamom pomere k druhej mocnine chyby merania v danom bode (t.j. ). Týmto problémom sme sa zaoberali v kapitole II, § 2. Tu sa budeme venovať iba tým vlastnostiam, ktoré sú spôsobené prítomnosťou veľkých náhodných chýb.

Typ sa vyberá buď z teoretických úvah o povahe závislosti alebo formálne, porovnaním grafu s grafmi známych funkcií. Ak je vzorec vybraný z teoretických úvah a správne (z hľadiska teórie) vyjadruje asymptotiku, potom zvyčajne umožňuje nielen dobre aproximovať súbor experimentálnych údajov, ale aj extrapolovať zistenú závislosť na iné rozsahy hodnôt. Formálne vybraná funkcia môže uspokojivo opísať experiment, ale zriedka je vhodná na extrapoláciu.

Problém (34) je najľahšie vyriešiť, ak ide o algebraický polynóm, ale takýto formálny výber funkcie je málokedy uspokojivý. Zvyčajne dobré vzorce závisia od parametrov nelineárne (transcendentálna regresia). Najvhodnejšie je postaviť transcendentálnu regresiu výberom takej vyrovnávacej zmeny premenných, aby závislosť bola takmer lineárna (pozri kapitolu II, § 1, bod 8). Potom je ľahké ho aproximovať pomocou algebraického polynómu: .

Pomocou teoretických úvah a s prihliadnutím na asymptotiku sa hľadá vyrovnávacia zmena premenných, ďalej budeme predpokladať, že takáto zmena už bola vykonaná.

Poznámka 2. Pri prechode na nové premenné má problém najmenších štvorcov (34) formu

kde nové váhy súvisia s pôvodnými vzťahmi

Preto, aj keď v pôvodnom vyhlásení (34) mali všetky merania rovnakú presnosť, potom váhy pre vyrovnávacie premenné nebudú rovnaké.

Korelačná analýza. Je potrebné skontrolovať, či zmena premenných bola skutočne nivelačná, t.j. či sa závislosť blíži k lineárnej. Dá sa to urobiť výpočtom párového korelačného koeficientu

Je ľahké ukázať, že vzťah vždy platí

Ak je závislosť striktne lineárna (a neobsahuje náhodné chyby), potom alebo v závislosti od znamienka sklonu priamky. Čím menšia, tým menšia závislosť je podobná lineárnej. Preto, ak je počet meraní N dostatočne veľký, potom sú vyrovnávacie premenné zvolené uspokojivo.

Takéto závery o povahe závislosti od korelačných koeficientov sa nazývajú korelačná analýza.

Korelačná analýza nevyžaduje vykonanie série meraní v každom bode. Stačí urobiť jedno meranie v každom bode, ale potom zobrať viac bodov na skúmanej krivke, čo sa často robí pri fyzikálnych experimentoch.

Poznámka 3. Existujú kritériá blízkosti, ktoré umožňujú určiť, či je závislosť prakticky lineárna. Nebudeme sa nimi zaoberať, pretože výber stupňa aproximačného polynómu bude zvážený nižšie.

Poznámka 4. Vzťah označuje neprítomnosť lineárna závislosť ale neznamená absenciu akejkoľvek závislosti. Takže, ak na segmente - potom

Optimálny stupeň polynómu a. Dosaďte do problému (35) aproximačný polynóm stupňa:

Potom optimálne hodnoty parametrov uspokoja systém lineárne rovnice (2.43):

a je ľahké ich nájsť. Ale ako zvoliť stupeň polynómu?

Aby sme na túto otázku odpovedali, vráťme sa k pôvodným premenným a vypočítajme rozptyl aproximačného vzorca s nájdenými koeficientmi. Nezaujatý odhad tohto rozptylu je

Je zrejmé, že so zvyšujúcim sa stupňom polynómu sa bude disperzia (40) znižovať: čím viac koeficientov sa vezme, tým presnejšie je možné aproximovať experimentálne body.

Stochastická empirická závislosť

Vzťah medzi náhodné premenné sa nazýva stochastická závislosť. Prejavuje sa zmenou distribučného zákona jedného z nich (závislá premenná), keď sa menia ostatné (argumenty).

Graficky stochastická empirická závislosť v súradnicovom systéme závislá premenná - argumenty, je množina náhodne rozdelených bodov, ktorá odráža všeobecný trend správania sa závislej premennej pri zmene argumentov.

Stochastická empirická závislosť na jednom argumente sa nazýva párová závislosť, ak existuje viac ako jeden argument - viacrozmerná závislosť. Príklad párovej lineárnej závislosti je na obr. 1.()

Ryža. 1.

Na rozdiel od bežnej funkčnej závislosti, pri ktorej zmeny hodnoty argumentu (alebo viacerých argumentov) zodpovedajú zmene deterministickej závislej premennej, v stochastickej závislosti dochádza k zmene štatistické rozdelenie náhodná závislá premenná, najmä matematické očakávanie.

Úloha matematického modelovania(približné údaje)

Konštrukcia stochastickej závislosti sa inak nazýva matematické modelovanie (aproximácia) alebo aproximácia a spočíva v nájdení jej matematického vyjadrenia (vzorca).

Za matematický model sa považuje empiricky stanovený vzorec (funkcia), ktorý odráža nie vždy známu, ale objektívne existujúcu skutočnú závislosť a zodpovedá základnému, stabilnému, opakujúcemu sa vzťahu medzi objektmi, javmi alebo ich vlastnosťami.

Stabilný vzťah vecí a ich skutočná závislosť. či je modelovaný alebo nie, existuje objektívne, má matematický výraz, a považuje sa za zákon alebo jeho následok.

Ak je známy vhodný zákon alebo dôsledok z neho, potom je prirodzené považovať ich za požadovanú analytickú závislosť. Napríklad empirická závislosť sily prúdu ja v obvode od napätia U a odolnosťou voči zaťaženiu R vyplýva z Ohmovho zákona:

Žiaľ, skutočná závislosť premenných je v drvivej väčšine prípadov a priori neznáma, preto je potrebné ju zisťovať na základe všeobecných úvah a teoretických konceptov, teda vybudovaním matematického modelu uvažovanej pravidelnosti. Toto berie do úvahy, že dané premenné a ich prírastky na pozadí náhodných fluktuácií odrážajú matematické vlastnosti požadovanej skutočnej závislosti (správanie dotyčníc, extrémov, koreňov, asymptot atď.)

Tak či onak zvolená aproximačná funkcia vyhladzuje (spriemeruje) náhodné fluktuácie počiatočných empirických hodnôt závislej premennej, a tým potláča náhodnú zložku, je aproximáciou k regulárnej zložke, a teda k požadovanej skutočnej závislosti. .

Matematický model empirickej závislosti má teoretickú a praktickú hodnotu:

umožňuje určiť primeranosť experimentálnych údajov k jednému alebo druhému známemu zákonu a identifikovať nové vzory;

· rieši pre závislú premennú problém interpolácie v rámci daného intervalu hodnôt argumentov a prognózovania (extrapolácie) mimo intervalu.

Napriek veľkému teoretickému záujmu o hľadanie matematického vzorca pre závislosť veličín však v praxi často stačí len zistiť, či medzi nimi existuje súvislosť a v čom spočíva jej sila.

Úloha korelačná analýza

Metódou štúdia vzťahu medzi meniacimi sa veličinami je korelačná analýza.

Kľúčovým pojmom korelačnej analýzy, ktorý popisuje vzťah medzi premennými, je korelácia (z angl korelácia – zhoda, súvislosť, vzťah, pomer, vzájomná závislosť).

Korelačná analýza sa používa na zistenie stochastickej závislosti a vyhodnotenie jej sily (významnosti) pomocou veľkosti korelačných koeficientov a korelačného pomeru.

Ak sa nájde vzťah medzi premennými, potom sa hovorí, že existuje korelácia alebo že premenné sú korelované.

Indikátory tesnosti spojenia (korelačný koeficient, korelačný pomer) modulo sa menia z 0 (pri absencii spojenia) na 1 (keď stochastická závislosť degeneruje na funkčnú).

Stochastický vzťah sa považuje za významný (reálny), ak je absolútny odhad korelačného koeficientu (korelačný pomer) významný, to znamená, že presahuje 2-3 smerodajná odchýlka odhady koeficientov.

Všimnite si, že v niektorých prípadoch možno nájsť vzťah medzi javmi, ktoré nie sú v zjavných vzťahoch príčina-následok.

Napríklad pre niektorých vidiecke oblasti medzi počtom hniezdiacich bocianov a narodenými deťmi bola zistená priama stochastická súvislosť. Jarný počet bocianov vám umožňuje predpovedať, koľko detí sa tento rok narodí, ale závislosť, samozrejme, nedokazuje známe presvedčenie a vysvetľuje sa paralelnými procesmi:

Narodeniu detí zvyčajne predchádza zakladanie a usporiadanie nových rodín so získaním vidieckych domov a usadlostí;

· Zvýšené možnosti hniezdenia prilákajú vtáky a zvýšia ich počet.

Takáto korelácia medzi znakmi sa nazýva falošná (imaginárna) korelácia, hoci môže mať praktický význam.

Teória pravdepodobnosti je často vnímaná ako odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá „výpočtom pravdepodobností“.

A celý tento počet sa v skutočnosti scvrkáva na jednoduchý vzorec:

« Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti sa rovná súčtu pravdepodobností jej elementárnych udalostí". V praxi tento vzorec opakuje „kúzlo“ známe z detstva:

« Hmotnosť objektu sa rovná súčtu hmotností jeho jednotlivých častí».

Tu si rozoberieme nie až tak triviálne fakty z teórie pravdepodobnosti. V prvom rade si povieme o závislý A nezávislý diania.

Je dôležité pochopiť, že rovnaké pojmy v rôznych odvetviach matematiky môžu mať úplne odlišný význam.

Napríklad, keď hovoria, že oblasť kruhu S závisí od jeho polomeru R, potom máme samozrejme na mysli funkčnú závislosť

Pojmy závislosť a nezávislosť majú v teórii pravdepodobnosti úplne iný význam.

Začnime jednoduchým príkladom na zoznámenie sa s týmito pojmami.

Predstavte si, že v tejto miestnosti robíte pokus s hádzaním kocky a váš kolega vo vedľajšej miestnosti si tiež hádže mincou. Nech vás zaujme udalosť A – strata „dvojky“ pre vás a udalosť B – strata „chvostíkov“ pre vášho kolegu. Zdravý rozum velí: tieto udalosti sú nezávislé!

Hoci sme ešte nezaviedli pojem závislosť/nezávislosť, je intuitívne jasné, že každá rozumná definícia nezávislosti musí byť usporiadaná tak, aby tieto udalosti boli definované ako nezávislé.

Teraz prejdime k ďalšiemu experimentu. Hodí sa kocka, udalosť A – strata „dvojky“, udalosť B – strata nepárneho počtu bodov. Za predpokladu, že kosť je symetrická, môžeme okamžite povedať, že P(A) = 1/6. Teraz si predstavte, že vám bolo povedané: „V dôsledku experimentu nastala udalosť B, nepárne číslo bodov." Čo možno povedať o pravdepodobnosti udalosti A? Je jasné, že teraz sa táto pravdepodobnosť rovná nule.

Pre nás je to najdôležitejšie zmenila.

Ak sa vrátime k prvému príkladu, môžeme povedať, informácie skutočnosť, že udalosť B sa stala vo vedľajšej miestnosti, neovplyvní vaše predstavy o pravdepodobnosti udalosti A. Táto pravdepodobnosť nezmení sa z toho, že ste sa dozvedeli niečo o udalosti B.

Dospeli sme k prirodzenému a mimoriadne dôležitému záveru -

ak informácie o tejto udalosti IN sa stalo mení pravdepodobnosť udalosti A , potom udalosti A A IN treba považovať za závislého a ak sa nezmení, tak za nezávislého.

Tieto úvahy by mali dostať matematickú formu, závislosť a nezávislosť udalostí by sa mala určiť pomocou vzorcov.

Budeme vychádzať z nasledujúcej tézy: „Ak A a B sú závislé udalosti, potom udalosť A obsahuje informáciu o udalosti B a udalosť B obsahuje informáciu o udalosti A“. Ako viete, či je zahrnutá alebo nie? Odpoveď na túto otázku je teória informácie.

Z teórie informácie potrebujeme iba jeden vzorec, ktorý nám umožňuje vypočítať množstvo vzájomnej informácie I(A, B) pre udalosti A a B

Nebudeme kalkulovať množstvo informácií pre rôzne udalosti a ani tento vzorec podrobne rozoberať.

Pre nás je dôležité, že ak

potom sa množstvo vzájomnej informácie medzi udalosťami A a B rovná nule – udalosti A a B nezávislý. Ak

potom množstvo vzájomnej informácie sú udalosti A a B závislý.

Odvolávanie sa na pojem informácie má tu pomocný charakter a zdá sa nám, že nám umožňuje uchopiť pojmy závislosti a nezávislosti udalostí.

V teórii pravdepodobnosti je závislosť a nezávislosť udalostí popísaná formálnejšie.

V prvom rade potrebujeme koncept podmienená pravdepodobnosť.

Podmienená pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že nastala udalosť B (P(B) ≠ 0), sa nazýva hodnota P(A|B) vypočítaná podľa vzorca

.

Podľa ducha nášho prístupu k pochopeniu závislosti a nezávislosti udalostí môžeme očakávať, že podmienená pravdepodobnosť bude mať ďalšia nehnuteľnosť: ak udalosti A a B nezávislý , To

To znamená, že informácia o tom, že sa stala udalosť B, neovplyvňuje pravdepodobnosť udalosti A.

Ako to je!

Ak sú udalosti A a B nezávislé, potom

Máme pre nezávislé udalosti A a B

A