Termodynamické základy termoelasticity. Okrajové a počiatočné podmienky Okrajové a počiatočné podmienky diferenciálnej rovnice

posudzované územie, resp.

Diferenciálna rovnica zvyčajne nemá jedno riešenie, ale celú rodinu. Počiatočné a okrajové podmienky vám umožňujú vybrať si z nej takú, ktorá zodpovedá skutočnému fyzikálnemu procesu alebo javu. V teórii obyčajných diferenciálnych rovníc je dokázaná veta o existencii a jednoznačnosti riešenia úlohy s počiatočnou podmienkou (tzv. Cauchyho úloha). Pre parciálne diferenciálne rovnice sa získajú niektoré vety o existencii a jedinečnosti pre riešenia pre určité triedy počiatočných a okrajových úloh.

Terminológia

Niekedy sa počiatočné podmienky v nestacionárnych úlohách, ako je riešenie hyperbolických alebo parabolických rovníc, označujú aj ako okrajové podmienky.

Pre stacionárne úlohy existuje rozdelenie okrajových podmienok na Hlavná A prirodzené.

Hlavné podmienky majú zvyčajne tvar , kde je hranica regiónu.

Prirodzené podmienky obsahujú aj deriváciu riešenia vzhľadom na normálu k hranici.

Príklad

Rovnica popisuje pohyb telesa v gravitačnom poli Zeme. Je splnená ľubovoľnou kvadratickou funkciou formy, kde - ľubovoľné čísla. Na izolovanie konkrétneho zákona pohybu je potrebné uviesť počiatočné súradnice tela a jeho rýchlosť, teda počiatočné podmienky.

Správnosť nastavenia okrajových podmienok

Úlohy matematickej fyziky opisujú skutočné fyzikálne procesy, a preto ich vyjadrenie musí spĺňať tieto prirodzené požiadavky:

Rozhodnutie by malo existujú v akejkoľvek triede funkcií;
Riešenie musí byť jediný v akejkoľvek triede funkcií;
Rozhodnutie by malo neustále závislé od údajov(počiatočné a okrajové podmienky, voľný termín, koeficienty a pod.).

Požiadavka na spojitú závislosť riešenia je daná tým, že fyzikálne dáta sú spravidla určené približne z experimentu, a preto si treba byť istý, že riešenie úlohy v rámci zvoleného matematického modelu bude významne nezávisí od chyby merania. Matematicky možno túto požiadavku zapísať napríklad takto (pre nezávislosť od voľného termínu):

Nechajte dvoch diferenciálne rovnice: s rovnakými diferenciálnymi operátormi a rovnakými okrajovými podmienkami, ich riešenia budú nepretržite závisieť od voľného termínu, ak:

riešenia zodpovedajúcich rovníc.

Zavolá sa množina funkcií, pre ktoré sú splnené uvedené požiadavky trieda správnosti. Nesprávne nastavenie okrajových podmienok dobre ilustruje Hadamardov príklad.

pozri tiež

Okrajové podmienky 1. druhu (Dirichletov problém), en:Dirichletova okrajová podmienka
Okrajové podmienky 2. druhu (Neumannov problém), en:Neumannova okrajová podmienka
Okrajové podmienky 3. druhu (Robinov problém), en:Robinova okrajová podmienka
Podmienky pre dokonalý tepelný kontakt, en: Perfektný tepelný kontakt

Literatúra

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite si, čo sú „počiatočné a okrajové podmienky“ v iných slovníkoch:

V teórii diferenciálnych rovníc sú počiatočné a okrajové podmienky doplnením hlavnej diferenciálnej rovnice (obyčajné alebo parciálne derivácie), ktoré špecifikujú jej správanie v počiatočnom časovom okamihu alebo na hranici uvažovaného ... ... Wikipedia

Neumannova úloha v diferenciálnych rovniciach je okrajová úloha s danými okrajovými podmienkami pre deriváciu požadovanej funkcie na hranici oblasti, takzvané okrajové podmienky druhého druhu. Podľa typu oblasti možno Neumannov problém rozdeliť na dva ... Wikipedia

hraničné podmienky- formalizované fyzikálne podmienky na hranici deformačnej zóny alebo ich matematický model, ktoré spolu s inými umožňujú získať jedinečné riešenie problémov tlakového spracovania. Okrajové podmienky sa delia na…

počiatočné podmienky- popis stavu telesa pred deformáciou. Zvyčajne sú v počiatočnom momente uvedené Eulerove súradnice bodov xi0 povrchu telesa, napätie, rýchlosť, hustota, teplota v ktoromkoľvek bode M telesa. Diya oblasť vesmíru, ...... encyklopedický slovník v hutníctve

podmienky odchytu- určitý pomer pri valcovaní, ktorý súvisí s uhlom zovretia a koeficientom alebo uhlom trenia, pri ktorom je zaistené primárne zovretie kovu valcami a vyplnenie deformačnej zóny; Pozri tiež: pracovné podmienky... Encyklopedický slovník hutníctva

Podmienky- : Pozri tiež: pracovné podmienky diferenčné podmienky rovnováhy technické podmienky (TS) počiatočné podmienky ... Encyklopedický slovník hutníctva

pracovné podmienky- súbor sanitárnych a hygienických charakteristík vonkajšieho prostredia (teplota a vlhkosť, prašnosť, hluk a pod.), v ktorom sa uskutočňujú technologické procesy; regulované v Rusku pracovnou silou ... ... Encyklopedický slovník hutníctva

knihy

Numerické metódy na riešenie inverzných problémov matematickej fyziky, Samarskiy A.A. Tradičné kurzy metód na riešenie problémov matematickej fyziky sa zaoberajú priamymi problémami. V tomto prípade je riešenie určené z parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré sú doplnené o ...

Ako bolo uvedené v úvode, parciálne diferenciálne rovnice druhého rádu majú nekonečný počet riešení v závislosti od dvoch ľubovoľných funkcií. Aby sme určili tieto ľubovoľné funkcie, alebo inými slovami, aby sme izolovali konkrétne riešenie, ktoré potrebujeme, musíme na požadovanú funkciu uložiť ďalšie podmienky. S podobným javom sa už čitateľ stretol pri riešení obyčajných diferenciálnych rovníc, keď výber spoločného riešenia zo všeobecného spočíval v procese hľadania ľubovoľných konštánt podľa daných počiatočných podmienok.

Pri zvažovaní problému vibrácií strún môžu byť dodatočné podmienky dvoch typov: počiatočné a hraničné (alebo hraničné).

Počiatočné podmienky ukazujú, v akom stave bola struna v momente, keď začala oscilácia. Najvhodnejšie je uvažovať o tom, že struna začala kmitať v okamihu času. Počiatočná poloha bodov reťazca je daná podmienkou

a počiatočná rýchlosť

kde sú dané funkcie.

Zápis a znamená, že funkcia sa berie na ľubovoľnú hodnotu a na , t.j. podobne. Táto forma záznamu sa v budúcnosti neustále používa; takze napriklad atd.

Podmienky (1.13) a (1.14) sú podobné počiatočným podmienkam v najjednoduchšom probléme dynamiky hmotný bod. Tam, aby ste určili pohybový zákon bodu, okrem diferenciálnej rovnice potrebujete poznať počiatočnú polohu bodu a jeho počiatočnú rýchlosť.

Okrajové podmienky majú iný charakter. Ukazujú, čo sa deje na koncoch struny počas celej doby vibrácie. V najjednoduchšom prípade, keď sú konce reťazca pevné (začiatok reťazca je v počiatku a koniec je v bode, funkcia bude spĺňať podmienky

S presne rovnakými podmienkami sa čitateľ stretol v kurze o pevnosti materiálov pri štúdiu ohybu nosníka ležiaceho na dvoch podperách pri pôsobení statického zaťaženia.

Fyzikálny význam skutočnosti, že nastavenie počiatočných a okrajových podmienok úplne určuje proces, možno najľahšie vysledovať pre prípad voľné vibrácie struny.

Nech sa napríklad reťazec upevnený na koncoch nejako stiahne, t.j. nastaví sa funkcia - rovnica počiatočná forma struny a uvoľnené bez počiatočnej rýchlosti (to znamená, že ) homogénna rovnica za vhodných podmienok. Strunu môžete rozkmitať aj iným spôsobom, a to tak, že hrotom struny udelíte počiatočnú rýchlosť. Je fyzikálne jasné, že v tomto prípade bude ďalší proces oscilácií úplne určený. Uvedenie bodov počiatočnej rýchlosti struny je možné vykonať úderom na strunu (ako je to v prípade hry na klavír); prvý spôsob vybudenia struny sa používa pri hre na brnkacie nástroje (napríklad gitara).

Poďme teraz dokončiť matematický problém, čo vedie k štúdiu voľných vibrácií struny upevnenej na oboch koncoch.

Je potrebné vyriešiť homogénnu lineárnu parciálnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientmi

), ktorý špecifikuje jeho správanie v počiatočnom časovom okamihu alebo na hranici uvažovaného regiónu, resp.

Terminológia

Niekedy sa počiatočné podmienky v nestacionárnych úlohách, ako je riešenie hyperbolických alebo parabolických rovníc, označujú aj ako okrajové podmienky.

Pre stacionárne úlohy existuje rozdelenie okrajových podmienok na Hlavná A prirodzené.

Hlavné podmienky majú zvyčajne formu u (∂ Ω) = g (\displaystyle u(\čiastočné \Omega)=g), Kde ∂ Ω (\displaystyle \partial \Omega )- hranica oblasti Ω (\displaystyle \Omega ).

Prirodzené podmienky obsahujú aj deriváciu riešenia vzhľadom na normálu k hranici.

Príklad

Rovnica d 2 y d t 2 = − g (\displaystyle (\frac (d^(2)y)(dt^(2)))=-g) opisuje pohyb telesa v gravitačnom poli Zeme. Je splnená ľubovoľnou kvadratickou funkciou formy y (t) = − g t 2 / 2 + a t + b, (\displaystyle y(t)=-gt^(2)/2+at+b,) Kde a , b (\displaystyle a,b)- ľubovoľné čísla. Na izolovanie konkrétneho zákona pohybu je potrebné uviesť počiatočné súradnice tela a jeho rýchlosť, teda počiatočné podmienky.

Správnosť nastavenia okrajových podmienok

Úlohy matematickej fyziky opisujú skutočné fyzikálne procesy, a preto ich vyjadrenie musí spĺňať tieto prirodzené požiadavky:

Rozhodnutie by malo existujú v akejkoľvek triede funkcií;
Riešenie musí byť jediný v akejkoľvek triede funkcií;
Rozhodnutie by malo neustále závislé od údajov(počiatočné a okrajové podmienky, voľný termín, koeficienty a pod.).

Dajme dve diferenciálne rovnice: Lu = F 1, Lu = F 2 (\displaystyle Lu=F_(1),~Lu=F_(2)) s rovnakými diferenciálnymi operátormi a rovnakými okrajovými podmienkami, ich riešenia budú nepretržite závisieť od voľného termínu, ak:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0: (‖ F 1 − F 2 ‖< δ) ⇒ (‖ u 1 − u 2 ‖ < ε) {\displaystyle \forall \varepsilon >0~\existuje \delta >0:~\left(\|F_(1)-F_(2)\|<\delta \right)\Rightarrow \left(\|u_{1}-u_{2}\|<\varepsilon \right)} , Kde u 1 (\displaystyle u_(1)), u 2 (\displaystyle u_(2))- riešenia zodpovedajúcich rovníc.

Zavolá sa množina funkcií, pre ktoré sú splnené uvedené požiadavky trieda správnosti. Nesprávne nastavenie okrajových podmienok dobre ilustruje napr

Jedna pohybová rovnica (1.116) nestačí na matematický popis fyzikálneho procesu. Je potrebné sformulovať podmienky postačujúce na jednoznačnú definíciu procesu. Pri zvažovaní problému vibrácií strún môžu byť dodatočné podmienky dvoch typov: počiatočné a hraničné (hraničné).

Sformulujme ďalšie podmienky pre reťazec s pevnými koncami. Keďže konce reťazca dĺžky sú pevné, ich odchýlky v bodoch a musia byť rovné nule pre všetky:

, .

(1.119)

Vyvolajú sa podmienky (1.119). hranica podmienky; ukazujú, čo sa deje na koncoch struny počas procesu vibrácie.

Je zrejmé, že proces oscilácie bude závisieť od toho, ako sa struna dostane z rovnováhy. Je vhodnejšie uvažovať, že struna začala kmitať v okamihu času. V počiatočnom okamihu majú všetky body struny určité posuny a rýchlosti:

(1.120)

kde a sú dané funkcie.

Vyvolajú sa podmienky (1.120). počiatočné podmienky.

Fyzikálny problém vibrácií strún bol teda zredukovaný na nasledujúci matematický problém: nájsť riešenie rovnice (1.116) (alebo (1.117) alebo (1.118)), ktoré by spĺňalo okrajové podmienky (1.119) a počiatočné podmienky ( 1,120). Tento problém sa nazýva problém zmiešaných okrajových hodnôt, pretože zahŕňa okrajové aj počiatočné podmienky. Je dokázané, že za určitých obmedzení uložených na funkcie a , má zmiešaný problém jedinečné riešenie.

Ukazuje sa, že okrem problému vibrácií strún možno na problém zredukovať aj mnohé ďalšie fyzikálne problémy (1.116), (1.119), (1.120): pozdĺžne vibrácie pružnej tyče, torzné vibrácie hriadeľa, vibrácie kvapaliny a plyny v potrubí atď.

Okrem okrajových podmienok (1.119) sú možné aj iné typy okrajových podmienok. Najbežnejšie sú nasledujúce:

ja , ;

II. , ;

III. , ,

kde , sú známe funkcie a , sú známe konštanty.

Dané okrajové podmienky sa nazývajú okrajové podmienky prvého, druhého a tretieho druhu. Podmienky I nastávajú, ak sa konce predmetu (struna, tyč atď.) pohybujú podľa daného zákona; podmienky II - ak sú na konce aplikované špecifikované sily; podmienky III - v prípade elastickej fixácie koncov.

Ak sa funkcie uvedené na pravej strane rovníc rovnajú nule, potom sa zavolajú okrajové podmienky homogénne. Okrajové podmienky (1.119) sú teda homogénne.

Kombináciou rôznych uvedených typov okrajových podmienok získame šesť typov najjednoduchších okrajových úloh.

Pre rovnicu (1.116) môže vzniknúť aj ďalší problém. Nech je struna dostatočne dlhá a zaujíma nás kmitanie jej hrotov dostatočne vzdialených od koncov a na krátky časový úsek. V tomto prípade režim na koncoch nebude mať významný vplyv, a preto sa neberie do úvahy; predpokladá sa, že reťazec je nekonečný. Namiesto úplného problému dali limitný problém s počiatočnými podmienkami pre neohraničenú oblasť: nájdite riešenie rovnice (1.116), ktorá spĺňa počiatočné podmienky:

, .

Počiatočné podmienky odpovedajú na otázku, aké bolo teplotné pole v čase, ktorý sa považoval za východiskový. Sú opísané výrazom . Veľmi často môže byť teplota komponentov technologických subsystémov v počiatočnom okamihu rovná teplote okolia, t.j. V tomto prípade je vhodné, ako je uvedené vyššie, vykonať výpočet v takzvaných nadmerných teplotách, bežne za predpokladu, že , a potom pridať k výsledku na konci výpočtu. Okrajové podmienky sú podmienky interakcie povrchov telies s prostredím alebo inými telesami. Existuje niekoľko typov okrajových podmienok. Pri okrajových podmienkach prvého druhu (GU1) sa predpokladá, že je známy zákon rozloženia teploty na hraničných plochách telesa. . Povedzme napríklad, že je potrebné určiť teplotné pole vo vnútri nejakej časti alebo nástroja. Je dosť ťažké to urobiť experimentálne bez zničenia predmetu merania, ale oveľa jednoduchšie je experimentálne zmerať teplotu na povrchu dielu, nástroja alebo iného pevného telesa, dá sa to urobiť bez poškodenia predmetu. Ak poznáme GU1 vo forme zákona o rozdelení teplôt na povrchoch telesa, potom vyriešením diferenciálnej rovnice vedenia tepla vieme vypočítať teplotné pole vo vnútri súčiastky, nástroja atď. Špeciálnym prípadom GU1 je podmienka izotermie povrchov tela, t.j. .

Okrajové podmienky druhého druhu (BC2) zabezpečujú, že je známy distribučný zákon hustoty tepelného toku prechádzajúce cez hraničné plochy. V konkrétnom prípade. To znamená, že uvažovaný povrch si nevymieňa teplo s okolím, t.j. je adiabatický. Pri tepelných výpočtoch súvisiacich s technologickými subsystémami možno v mnohých prípadoch s dostatočnou presnosťou pre prax zanedbať tepelnú výmenu konkrétneho povrchu (alebo jeho úseku) s okolím, t.j. akceptovať, čo zjednodušuje výpočet.

Okrajové podmienky tretieho druhu (GUZ) sa používajú vtedy, keď nemožno zanedbať výmenu tepla medzi povrchom a prostredím. V tomto prípade musí byť teplota média, s ktorým je dané teleso v kontakte, a takzvaný súčiniteľ prestupu tepla W / (m 2 × ° C), charakterizujúci prestup tepla medzi médiom a povrchom. daný.

Hustota tepelného toku je podľa Newton-Richmannovho zákona úmerná teplotnému rozdielu medzi povrchom a jeho prostredím, t.j.

Vzorec (2.1) umožňuje určiť množstvo tepla , W/m 2, ktorý sa za jednotku času vypustí z jednotkovej plochy do okolia. Ako vyplýva z Fourierovho zákona, na povrch telesa sa privádza prúdenie

teda

alebo . (2.2)

Výraz (2.2) je matematický popis okrajových podmienok tretieho druhu.

Okrajové podmienky štvrtého druhu (BC4) vznikajú, keď uvažované pevné teleso je v bezmedzerovom kontakte s iným pevným telesom a dochádza medzi nimi k výmene tepla. Tento variant okrajových podmienok je v tepelnej fyzike technologických procesov celkom bežný. Napríklad pri spracovaní tlakom sú detaily razidla v takmer bezmedzerovom kontakte so spracovávaným obrobkom; pri rezaní kovu je povrch nástroja v určitých oblastiach v kontakte s trieskami a obrobkom. Pri okrajových podmienkach štvrtého druhu, kedy je styk medzi telesami ideálny, je teplota v ktoromkoľvek bode dotykovej plochy, ako zo strany jedného, tak aj zo strany druhého telesa, rovnaká, t.j.

Aby sa zjednodušili výpočty, namiesto rovnosti teplôt v každom bode kontaktu sa rovnosť priemerných teplôt na kontaktnej ploche často považuje za GU4, t.j. namiesto vzorca (2.3) predpokladáme

Okrajové podmienky štvrtého druhu sa používajú pri riešení problémov rovnováhy, t. j. pri analýze rozloženia tepla medzi telesami, ktoré sú v kontakte. Po rozdelení tepla generovaného na kontaktnom povrchu medzi kontaktujúce telesá a po vypočítaní hustoty tepelného toku v každom z telies sa použijú okrajové podmienky druhého druhu.

Na záver úvahy o problematike okrajových podmienok poznamenávame, že rôzne úseky reálnych telies môžu mať rôzne okrajové podmienky. Uvažujme napríklad o procese povrchového brúsenia obrobku s čelnou plochou miskovitého kotúča (pozri obr. 2.5). Ak je vyriešený problém distribúcie brúsneho tepla medzi kotúčom a obrobkom, tak vo vzťahu k obrobku máme tieto okrajové podmienky: GU3 - na povrchu kontaktu s kvapalinou; GU2 - na kontaktnej ploche s kruhom, kde je známa hustota tepelného toku, a na konci obrobku, ktorý možno považovať za adiabatický, ak sa zanedbá jeho prenos tepla do vzduchu; GU4 - na povrchu, kde je obrobok v kontakte s magnetickým stolom stroja.