Distribučná funkcia diskrétnych a spojitých náhodných premenných. Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej. Príklad riešenia. Vlastnosti funkcie hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej

Náhodná premenná je premenná, ktorá môže nadobúdať určité hodnoty v závislosti od rôznych okolností a náhodná hodnota nazývaný nepretržitý , ak môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z nejakého ohraničeného alebo neohraničeného intervalu. Pre spojitú náhodnú premennú nie je možné špecifikovať všetky možné hodnoty, preto sú označené intervaly týchto hodnôt, ktoré sú spojené s určitými pravdepodobnosťami.

Príklady spojitých náhodných premenných sú: priemer časti otočenej na danú veľkosť, výška osoby, dosah strely atď.

Keďže pre spojité náhodné veličiny funkcia F(X), Na rozdiel od diskrétne náhodné premenné, nemá nikde žiadne skoky, potom sa pravdepodobnosť akejkoľvek jednej hodnoty spojitej náhodnej premennej rovná nule.

To znamená, že pre spojitú náhodnú premennú nemá zmysel hovoriť o rozdelení pravdepodobnosti medzi jej hodnotami: každá z nich má nulovú pravdepodobnosť. V určitom zmysle sú však medzi hodnotami spojitej náhodnej premennej „viac a menej pravdepodobné“. Napríklad je nepravdepodobné, že niekto bude pochybovať o tom, že hodnota náhodnej premennej - výška náhodne nájdenej osoby - 170 cm - je pravdepodobnejšia ako 220 cm, hoci jedna a druhá hodnota sa v praxi môže vyskytnúť.

Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej a hustota pravdepodobnosti

Ako distribučný zákon, ktorý má zmysel len pre spojité náhodné veličiny, sa zavádza pojem hustota rozdelenia alebo hustota pravdepodobnosti. Pristúpme k tomu porovnaním významu distribučnej funkcie pre spojitú náhodnú premennú a pre diskrétnu náhodnú premennú.

Čiže distribučná funkcia náhodnej premennej (diskrétnej aj spojitej) resp integrálna funkcia sa nazýva funkcia, ktorá určuje pravdepodobnosť, že hodnota náhodnej premennej X menšia alebo rovná limitnej hodnote X.

Pre diskrétnu náhodnú premennú v bodoch jej hodnôt X1 , X 2 , ..., X ja,... koncentrované masy pravdepodobností p1 , p 2 , ..., p ja,..., a súčet všetkých hmotností je rovný 1. Prenesme túto interpretáciu na prípad spojitej náhodnej veličiny. Predstavte si, že hmotnosť rovnajúca sa 1 nie je sústredená v samostatných bodoch, ale je nepretržite „rozmazaná“ pozdĺž osi x Vôl s nejakou nerovnomernou hustotou. Pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej na ľubovoľnom mieste Δ X sa bude interpretovať ako hmotnosť prisúditeľná tejto sekcii a priemerná hustota v tejto sekcii - ako pomer hmotnosti k dĺžke. Práve sme zaviedli dôležitý koncept v teórii pravdepodobnosti: hustotu distribúcie.

Hustota pravdepodobnosti f(X) spojitej náhodnej premennej je derivácia jej distribučnej funkcie:

Keď poznáme funkciu hustoty, môžeme nájsť pravdepodobnosť, že hodnota spojitej náhodnej premennej patrí do uzavretého intervalu [ a; b]:

pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X bude mať akúkoľvek hodnotu z intervalu [ a; b], sa rovná určitému integrálu jeho hustoty pravdepodobnosti v rozsahu od a predtým b:

V tomto prípade všeobecný vzorec funkcie F(X) rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej, ktoré možno použiť, ak je známa funkcia hustoty f(X) :

Graf hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny sa nazýva jej distribučná krivka (obr. nižšie).

Oblasť obrázku (na obrázku vytieňovaná), ohraničená krivkou, rovné čiary nakreslené z bodov a A b kolmá na os x a os Oh, graficky zobrazuje pravdepodobnosť, že hodnota spojitej náhodnej premennej X je v dosahu a predtým b.

Vlastnosti funkcie hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej

1. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu z intervalu (a oblasti obrázku, ktorá je obmedzená grafom funkcie f(X) a os Oh) sa rovná jednej:

2. Funkcia hustoty pravdepodobnosti nemôže nadobúdať záporné hodnoty:

a mimo existencie rozdelenia je jeho hodnota nula

Hustota distribúcie f(X), ako aj distribučnú funkciu F(X), je jednou z foriem distribučného zákona, ale na rozdiel od distribučnej funkcie nie je univerzálna: hustota distribúcie existuje len pre spojité náhodné premenné.

Spomeňme dva v praxi najdôležitejšie typy rozdelenia spojitej náhodnej premennej.

Ak funkcia hustoty distribúcie f(X) spojitá náhodná premenná v nejakom konečnom intervale [ a; b] nadobúda konštantnú hodnotu C, a mimo intervalu nadobudne hodnotu rovnajúcu sa nule, potom toto rozdelenie sa nazýva rovnomerné .

Ak je graf funkcie hustoty distribúcie symetrický okolo stredu, priemerné hodnoty sú sústredené blízko stredu a pri pohybe od stredu sa zhromažďujú viac odlišné od priemerov (graf funkcie sa podobá rezu zvonček), potom toto rozdelenie sa nazýva normálne .

Príklad 1 Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej je známa:

Nájdite funkciu f(X) hustota pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej. Nakreslite grafy pre obe funkcie. Nájdite pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v rozsahu od 4 do 8: .

Riešenie. Funkciu hustoty pravdepodobnosti získame nájdením derivácie funkcie rozdelenia pravdepodobnosti:

Graf funkcií F(X) - parabola:

Graf funkcií f(X) - priamka:

Nájdite pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v rozsahu od 4 do 8:

Príklad 2 Funkcia hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej je daná ako:

Vypočítajte faktor C. Nájdite funkciu F(X) rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej. Nakreslite grafy pre obe funkcie. Nájdite pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v rozsahu od 0 do 5: .

Riešenie. Koeficient C pomocou vlastnosti 1 funkcie hustoty pravdepodobnosti nájdeme:

Funkcia hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej je teda:

Integráciou nájdeme funkciu F(X) rozdelenia pravdepodobnosti. Ak X < 0 , то F(X) = 0. Ak 0< X < 10 , то

X Potom > 10 F(X) = 1 .

Úplný záznam funkcie rozdelenia pravdepodobnosti je teda:

Graf funkcií f(X) :

Graf funkcií F(X) :

Nájdite pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v rozsahu od 0 do 5:

Príklad 3 Hustota pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X je daný rovnosťou , pričom . Nájdite koeficient A, pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X nadobúda nejakú hodnotu z intervalu ]0, 5[, distribučnej funkcie spojitej náhodnej premennej X.

Riešenie. Podľa podmienok sa dostávame k rovnosti

Preto, odkiaľ. takže,

Teraz nájdeme pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X bude nadobúdať akúkoľvek hodnotu z intervalu ]0, 5[:

Teraz dostaneme distribučnú funkciu tejto náhodnej premennej:

Príklad 4 Nájdite hustotu pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X, ktorý nadobúda iba nezáporné hodnoty, a jeho distribučnú funkciu .

Obsah článku

DISTRIBUČNÁ FUNKCIA je hustota pravdepodobnosti rozloženia častíc makroskopického systému v súradniciach, momentoch alebo kvantových stavoch. Distribučná funkcia je hlavnou charakteristikou najrozmanitejších (nielen fyzikálnych) systémov, ktoré sa vyznačujú náhodným správaním, t.j. náhodná zmena stavu systému a podľa toho aj jeho parametrov. Aj pri stacionárnych vonkajších podmienkach môže byť samotný stav systému taký, že výsledkom merania niektorých jeho parametrov je náhodná veličina. Distribučná funkcia v drvivej väčšine prípadov obsahuje všetky možné a teda vyčerpávajúce informácie o vlastnostiach takýchto systémov.

V matematickej teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistiky distribučná funkcia a hustota pravdepodobnosti sa navzájom líšia, ale jednoznačne spolu súvisia. Ďalej sa budeme takmer výlučne zaoberať hustotou pravdepodobnosti, ktorá sa (podľa dlhej tradície uznávanej vo fyzike) nazýva hustota rozdelenia pravdepodobnosti alebo distribučná funkcia, pričom medzi tieto dva pojmy kladieme znamienko rovnosti.

Náhodné správanie je do určitej miery charakteristické pre všetky kvantové mechanické systémy: elementárne častice, atómy molekuly atď. Náhodné správanie však nie je špecifickou črtou iba kvantových mechanických systémov, mnohé sú čisto klasické systémy mať túto vlastnosť.

Príklady.

Pri hode mincou na tvrdý vodorovný povrch nie je jasné, ako padne: s číslom nahor alebo s erbom. Je známe, že pravdepodobnosti týchto udalostí sa za určitých podmienok rovnajú 1/2. Pri hode kockou nie je možné s istotou povedať, ktoré zo šiestich čísel bude na vrchnej strane. Pravdepodobnosť vypadnutia každého z čísel za určitých predpokladov (kosť - homogénna kocka bez odštiepených hrán a vrcholov dopadá na tvrdý, hladký vodorovný povrch) je 1/6.

Chaotický pohyb molekúl je najvýraznejší v plyne. Aj v stacionárnych vonkajších podmienkach presné hodnoty makroskopických parametrov kolíšu (menia sa náhodne) a iba ich priemerné hodnoty sú konštantné. Opis makroskopických systémov v jazyku priemerných hodnôt makroparametrov je podstatou termodynamického popisu ().

Nech existuje ideálny monatomický plyn a jeho tri (ešte nespriemerované) makroskopické parametre: N je počet atómov pohybujúcich sa vo vnútri nádoby obsadenej plynom; P je tlak plynu na stene nádoby, a vnútornej energie plynu. Plyn je ideálny a monatomický, takže jeho vnútorná energia je jednoducho súčtom kinetických energií translačného pohybu atómov plynu.

číslo N kolíše, prinajmenšom v dôsledku procesu sorpcie (prilepenie sa na stenu nádoby pri náraze na ňu) a desorpcie (proces oddeľovania, keď sa molekula oddelí od steny sama alebo v dôsledku nárazu inej molekuly ) a nakoniec proces tvorby klastrov - krátkodobých komplexov niekoľkých molekúl. Keby si vedel zmerať N okamžite a presne, potom výsledná závislosť N(t) by bol podobný tomu, ktorý je znázornený na obrázku.

Rozsah výkyvov na obrázku je kvôli prehľadnosti silne nadhodnotený, ale s malou priemernou hodnotou (b N c ~ 10 2) počet častíc v plyne, bude približne rovnaký.

Ak na meranie sily pôsobiacej na túto oblasť v dôsledku dopadov molekúl plynu v nádobe zvolíme malú oblasť na stene nádoby, potom pomer priemernej hodnoty zložky tejto normály k ploche k ploche oblasti sa bežne nazýva tlak. V rôznych časových okamihoch priletí na miesto rôzny počet molekúl a rôznou rýchlosťou. V dôsledku toho, ak by bolo možné túto silu zmerať okamžite a presne, bol by obrázok podobný tomu, ktorý je znázornený na obrázku, stačí zmeniť označenie pozdĺž zvislej osi:

N(t) YU P(t) a b N(t) s Yu b P(t)S.

Takmer všetko to isté platí pre vnútornú energiu plynu, len procesy vedúce k náhodným zmenám tohto množstva sú odlišné. Napríklad pri lete k stene nádoby sa molekula plynu nezrazí s abstraktnou absolútne elastickou a zrkadlovo odrážajúcou stenou, ale s jednou z častíc, ktoré tvoria materiál tejto steny. Nech je stena oceľová, potom sú to ióny železa oscilujúce okolo rovnovážnych polôh - uzlov kryštálovej mriežky. Ak molekula plynu letí k stene v tej fáze oscilácií iónov, keď sa pohybuje smerom k nej, potom v dôsledku zrážky molekula odletí od steny väčšou rýchlosťou, ako letela nahor. Spolu s energiou tejto molekuly sa zvyšuje aj vnútorná energia plynu. E. Ak sa molekula zrazí s iónom pohybujúcim sa v rovnakom smere ako ona, potom táto molekula odletí rýchlosťou nižšou ako tá, ktorou letela. Nakoniec sa molekula môže dostať do intersticiálneho priestoru (prázdneho priestoru medzi susednými uzlami kryštálovej mriežky) a uviaznuť tam, takže ani silné zahriatie ju odtiaľ nemôže odstrániť. V posledných dvoch prípadoch vnútorná energia plynu E znížiť. teda E(t) - Tiež náhodná funkciačas a je priemernou hodnotou tejto funkcie.

Brownov pohyb.

Po určení polohy Brownovej častice v určitom časovom bode t 1, je možné presne predpovedať iba jeho polohu v nasledujúcom časovom bode t 2 nepresahuje ( t 2 –t 1)· c, Kde c je rýchlosť svetla vo vákuu.

Existujú prípady diskrétneho a spojitého spektra stavov a podľa toho aj premennej X. Spektrum hodnôt nejakej premennej sa chápe ako celý súbor jej možných hodnôt.

V prípade diskrétneho spektra stavov je na špecifikáciu rozdelenia pravdepodobnosti potrebné najprv uviesť celý súbor možných hodnôt náhodnej premennej

X 1, X 2, X 3,…X k,… (1)

a po druhé, ich pravdepodobnosti:

W 1, W 2, W 3,…W k,… (2)

Súčet pravdepodobností všetkých možných udalostí sa musí rovnať jednej (normalizačná podmienka)

Opis rozdelenia pravdepodobnosti vzťahmi (1) - (3) je nemožný v prípade spojitého spektra stavov a teda súvislého spektra možných hodnôt premennej. X. Nechaj X berie všetky možné reálne hodnoty v intervale

X O [ a, b] (4)

Kde a A b nie nevyhnutne konečný. Napríklad pre modul vektora rýchlosti molekuly plynu VО ležiace v celom rozsahu možných hodnôt, t.j. X O [ X,X+ D X] O [ a, b] (5)

Potom pravdepodobnosť D W(X, D X) hity X v intervale (5) sa rovná

Tu N je celkový počet meraní X a D n(X, D X) je počet výsledkov, ktoré spadajú do intervalu (5).

Pravdepodobnosť D W prirodzene závisí od dvoch argumentov: X– polohy intervalu vo vnútri [ a, b] a D X je jeho dĺžka (predpokladá sa, hoci to vôbec nie je potrebné, že D X> 0). Napríklad pravdepodobnosť získania presnej hodnoty X, inými slovami, pravdepodobnosť zásahu X do intervalu nulovej dĺžky je pravdepodobnosť nemožnej udalosti, a preto sa rovná nule: D W(X, 0) = 0

Na druhej strane pravdepodobnosť získania hodnoty X niekde (nezáleží kde) v rámci celého intervalu [ a, b] je pravdepodobnosť určitej udalosti (vždy sa niečo stane), a preto sa rovná jednej (predpokladá sa, že b > a):D W(a, b – a) = 1.

Nechaj D X málo. Kritérium dostatočnej malosti závisí od špecifických vlastností systému opísaných rozdelením pravdepodobnosti D W(X, D X). Ak D X malá, potom funkcia D W(X, D X) možno rozšíriť v sérii v mocninách D X:

Ak nakreslíme graf závislosti D W(X, D X) z druhého argumentu D X, potom nahradenie presnej závislosti približným výrazom (7) znamená nahradenie (na malej ploche) presnej krivky kúskom paraboly (7).

V (7) sa prvý člen presne rovná nule, tretí a ďalšie členy, ak je D dostatočne malé, X možno vynechať. Zavedenie notácie

dáva dôležitý výsledok D W(X, D X) » r( X) D X (8)

Vzťah (8), ktorý je presnejší, čím menšie D X znamená, že pre krátky interval je pravdepodobnosť pádu do tohto intervalu úmerná jeho dĺžke.

Stále môžete ísť z malého, ale konečného D X na formálne nekonečne malé dx, so súčasným nahradením D W(X, D X) zapnuté dW(X). Potom sa približná rovnosť (8) zmení na presnú dW(X) = r( X)· dx(9)

Koeficient proporcionality r( X) má jednoduchý význam. Ako je možné vidieť z (8) a (9), r( X) sa číselne rovná pravdepodobnosti zásahu X do intervalu jednotkovej dĺžky. Preto jeden z názvov funkcie r( X) je hustota rozdelenia pravdepodobnosti pre premennú X.

Funkcia r( X) obsahuje všetky informácie o tom, ako je pravdepodobnosť dW(X) hity X v intervale danej dĺžky dx závisí od polohy tohto intervalu, t.j. ukazuje, ako je rozložená pravdepodobnosť X. Preto funkcia r( X) sa bežne nazýva distribučná funkcia pre premennú X a teda distribučná funkcia pre tento fyzikálny systém, kvôli popisu spektra stavov, do ktorých bola premenná zavedená X. Pojmy „hustota pravdepodobnosti“ a „funkcia rozdelenia“ sa v štatistickej fyzike používajú zameniteľne.

Môžeme uvažovať o zovšeobecnení definície pravdepodobnosti (6) a distribučnej funkcie (9) napríklad na prípad troch premenných. Zovšeobecnenie na prípad svojvoľne Vysoké číslo premenných sa robí presne rovnakým spôsobom.

Nech je stav fyzického systému náhodne sa meniaci v čase určený hodnotami troch premenných X, r A z so spojitým spektrom:

X O [ a, b]

r O [ c, d]

z O [ e, f] (10)

Kde a, b,…, f, ako predtým, nie sú nevyhnutne konečné. Premenné X, r A z môžu byť napríklad súradnice ťažiska molekuly plynu, zložky jej vektora rýchlosti X YU Vx, r YU V y A z YU Vz alebo impulz atď. Udalosťou sa rozumie súčasný výskyt všetkých troch premenných v intervaloch dĺžky D X, D r a D z respektíve, t.j.:

X O [ X, X+ D X]

r O [ r, r+ D r]

z O [ z, z+ D z] (11)

Pravdepodobnosť udalosti (11) sa dá určiť podobne ako (6)

s tým rozdielom, že teraz D n– počet meraní X, r A z, ktorého výsledky súčasne spĺňajú vzťahy (11). Použitie rozšírenia radu podobného ako (7) dáva

dW(X, r, z) = r( X, r, z)· dx dy dz(13)

kde r( X, r, z) je distribučná funkcia pre tri premenné naraz X, r A z.

V matematickej teórii pravdepodobnosti sa pojem „distribučná funkcia“ používa na označenie množstva odlišného od r( X), a to: nech x je nejaká hodnota náhodnej premennej X. Funkcia Ф(x), ktorá dáva pravdepodobnosť, že X nadobúda hodnotu nie väčšiu ako x a nazýva sa distribučná funkcia. Funkcie r a Ф majú rôzne významy, ale súvisia. Použitie vety o sčítaní pravdepodobnosti dáva (tu A je ľavý koniec rozsahu možných hodnôt X (cm. TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI: , (14) odkiaľ

Použitím približného vzťahu (8) dostaneme D W(X, D X) » r( X) D X.

Porovnanie s presným výrazom (15) ukazuje, že použitie (8) je ekvivalentné nahradeniu integrálu v (16) súčinom integrandu r( X) dĺžkou integračného intervalu D X:

Vzťah (17) bude presný, ak r = konšt, preto chyba pri výmene (16) za (17) bude malá, keď integrand sa mierne mení počas dĺžky integračného intervalu D X.

Môžete zadať D x ef je dĺžka intervalu, na ktorom je distribučná funkcia r( X) sa výrazne mení, t.j. o hodnotu rádu samotnej funkcie, alebo o veličinu Dr eff modulo objednávka r. Pomocou Lagrangeovho vzorca môžeme napísať:

z čoho vyplýva, že D x ef pre akúkoľvek funkciu r

Distribučnú funkciu možno považovať za "takmer konštantnú" počas určitého intervalu zmeny argumentu, ak jej prírastok |Dr| na tomto intervale je absolútna hodnota oveľa menšia ako samotná funkcia v bodoch tohto intervalu. Požiadavka |Dr| eff| ~ r (distribučná funkcia r і 0) dáva

D X x eff (20)

dĺžka integračného intervalu by mala byť malá v porovnaní s tým, na ktorom sa integrand výrazne mení. Ilustrácia je na obr. 1.

Integrálna na ľavej strane (17) rovná ploche pod krivkou. Produkt na pravej strane (17) je oblasť vytieňovanej na obr. 1 stĺpec. Kritériom nepatrnosti rozdielu medzi príslušnými oblasťami je splnenie nerovnosti (20). Dá sa to overiť tak, že do integrálu (17) dosadíme prvé členy rozšírenia funkcie r( X) v rade v mocninách

Požiadavka, aby korekcia (druhý člen na pravej strane (21) bola porovnaná s prvým, bol malý, dáva nerovnosť (20) s D x ef od (19).

Príklady množstva distribučných funkcií, ktoré hrajú dôležitú úlohu v štatistickej fyzike.

Maxwellova distribúcia pre projekciu vektora rýchlosti molekuly do daného smeru (napríklad toto je smer osi VÔL).

Tu m je hmotnosť molekuly plynu, T- jeho teplota k je Boltzmannova konštanta.

Maxwellovo rozdelenie pre modul vektora rýchlosti:

Maxwellovo rozdelenie pre energiu translačného pohybu molekúl e = mV 2/2

Boltzmannovo rozdelenie, presnejšie takzvaný barometrický vzorec, ktorý určuje rozdelenie koncentrácie molekúl alebo tlaku vzduchu vo výške h z nejakej „nulovej hladiny“ za predpokladu, že teplota vzduchu nezávisí od výšky (izotermický model atmosféry). V skutočnosti teplota v nižších vrstvách atmosféry s narastajúcou výškou výrazne klesá.

Výsledok akéhokoľvek náhodného experimentu možno charakterizovať kvalitatívne aj kvantitatívne. Kvalitatívne výsledok náhodného experimentu - náhodný udalosť. akýkoľvek kvantitatívna charakteristika, ktorá v dôsledku náhodného experimentu môže nadobudnúť jednu z určitého súboru hodnôt, - náhodná hodnota. Náhodná hodnota je jedným z ústredných pojmov teórie pravdepodobnosti.

Nech je ľubovoľný pravdepodobnostný priestor. Náhodná premenná je reálna číselná funkcia x \u003d x (w), w W , taká, že pre akúkoľvek reálnu X .

Udalosť zvyčajne sa píše ako x< X. V nasledujúcom texte budú náhodné premenné označované malými gréckymi písmenami x, h, z, …

Náhodná veličina je počet bodov, ktoré padli pri hode kockou, alebo výška študenta náhodne vybraného zo študijnej skupiny. V prvom prípade máme do činenia s diskrétne náhodná premenná(preberá hodnoty zo sady diskrétnych čísel M=(1, 2, 3, 4, 5, 6); v druhom prípade s nepretržitý náhodná premenná(preberá hodnoty zo súvislej množiny čísel - z intervalu číselnej osi ja=).

Každá náhodná premenná je úplne určená svojím distribučná funkcia.

Ak x je náhodná premenná, potom funkcia F(X) = Fx(X) = P(X< X) sa nazýva distribučná funkcia náhodná premenná x. Tu P(X<X) - pravdepodobnosť, že náhodná premenná x nadobudne hodnotu menšiu ako X.

Je dôležité pochopiť, že distribučná funkcia je „pas“ náhodnej premennej: obsahuje všetky informácie o náhodnej premennej, a preto štúdium náhodnej premennej spočíva v štúdiu jej distribučné funkcie,často označované jednoducho distribúcia.

Distribučná funkcia ľubovoľnej náhodnej premennej má nasledujúce vlastnosti:

Ak x je diskrétna náhodná premenná nadobúdajúca hodnoty X 1 <X 2 < … <x i < … с вероятностями p 1 <p 2 < … <pi < …, то таблица вида

X 1	X 2	…	x i	…
p 1	p 2	…	pi	…

volal rozdelenie diskrétnej náhodnej premennej.

Distribučná funkcia náhodnej premennej s takýmto rozdelením má tvar

Diskrétna náhodná premenná má funkciu postupného rozdeľovania. Napríklad pre náhodný počet bodov, ktoré vypadli pri jednom hode kockou, vyzerá graf rozdelenia, distribučnej funkcie a distribučnej funkcie takto:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Ak je distribučná funkcia Fx(X) je spojitá, potom sa volá náhodná premenná x spojitá náhodná premenná.

Ak je distribučná funkcia spojitej náhodnej veličiny diferencovateľné, potom poskytuje viac vizuálne znázornenie náhodnej premennej hustota pravdepodobnosti náhodnej veličiny p x(X), čo súvisí s distribučnou funkciou Fx(X) vzorce

A .

Z toho najmä vyplýva, že pre akúkoľvek náhodnú premennú .

Pri riešení praktických problémov je často potrebné nájsť hodnotu X, pri ktorej funguje distribučná funkcia Fx(X) náhodná premenná x nadobúda danú hodnotu p, t.j. musíte vyriešiť rovnicu Fx(X) = p. Riešenia takejto rovnice (zodpovedajúce hodnoty X) v teórii pravdepodobnosti sa nazývajú kvantily.

Kvantil x p ( p-kvantil, úrovňový kvantil p) náhodná premenná s distribučnou funkciou Fx(X), sa nazýva riešenie xp rovnice Fx(X) = p, p(0, 1). Pre niektoré p rovnica Fx(X) = p môže mať niekoľko riešení, pre niekoho - žiadne. To znamená, že pre zodpovedajúcu náhodnú premennú nie sú niektoré kvantily jednoznačne definované a niektoré kvantily neexistujú.

Nech je ľubovoľný pravdepodobnostný priestor. Náhodná premenná je reálna číselná funkcia x \u003d x (w), w W , taká, že pre akúkoľvek reálnu X .

Udalosť zvyčajne sa píše ako x< X. V nasledujúcom texte budú náhodné premenné označované malými gréckymi písmenami x, h, z, …

Každá náhodná premenná je úplne určená svojím distribučná funkcia.

Distribučná funkcia ľubovoľnej náhodnej premennej má nasledujúce vlastnosti:

Ak x je diskrétna náhodná premenná nadobúdajúca hodnoty X 1 <X 2 < … <x i < … с вероятностями p 1 <p 2 < … <pi < …, то таблица вида

X 1	X 2	…	x i	…
p 1	p 2	…	pi	…

volal rozdelenie diskrétnej náhodnej premennej.

Distribučná funkcia náhodnej premennej s takýmto rozdelením má tvar

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Ak je distribučná funkcia Fx(X) je spojitá, potom sa volá náhodná premenná x spojitá náhodná premenná.

A .

Z toho najmä vyplýva, že pre akúkoľvek náhodnú premennú .

Rozdeľovacia funkcia je najvšeobecnejšou formou stanovenia distribučného zákona. Používa sa na špecifikáciu diskrétnych aj spojitých náhodných premenných. Zvyčajne sa označuje ako . distribučná funkcia určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne hodnoty menšie ako pevné reálne číslo, t.j. . Distribučná funkcia úplne charakterizuje náhodnú premennú z pravdepodobnostného hľadiska. Nazýva sa aj integrálna distribučná funkcia.

Geometrická interpretácia distribučnej funkcie je veľmi jednoduchá. Ak sa náhodná premenná považuje za náhodný bod osi (obr. 6), ktorý v dôsledku testu môže zaujať jednu alebo druhú polohu na tejto osi, potom je distribučnou funkciou pravdepodobnosť, že náhodný bod, ako výsledok testu padne naľavo od bodu.

Pre diskrétnu náhodnú premennú, ktorá môže nadobúdať hodnoty,, …,, má distribučná funkcia tvar

kde nerovnosť pod znamienkom súčtu znamená, že súčet sa vzťahuje na všetky hodnoty, ktorých veľkosť je menšia. Z tohto vzorca vyplýva, že distribučná funkcia diskrétnej náhodnej veličiny je nespojitá a skokovo narastá pri prechode bodmi,, …,, a skok sa rovná pravdepodobnosti zodpovedajúcej hodnoty (obr. 7). Súčet všetkých skokov v distribučnej funkcii sa rovná jednej.

Spojitá náhodná veličina má spojitú distribučnú funkciu, graf tejto funkcie má tvar hladkej krivky (obr. 8).

Ryža. 7. Obr. 8.

Zvážte všeobecné vlastnosti distribučných funkcií.

Nehnuteľnosť 1. Distribučná funkcia je nezáporná funkcia uzavretá medzi nulou a jednotkou:

Platnosť tejto vlastnosti vyplýva zo skutočnosti, že distribučná funkcia je definovaná ako pravdepodobnosť náhodnej udalosti spočívajúcej v tom.

Nehnuteľnosť 2. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná spadne do intervalu, sa rovná rozdielu medzi hodnotami distribučnej funkcie na koncoch tohto intervalu, t.j.

Z toho vyplýva, že pravdepodobnosť akejkoľvek jednotlivej hodnoty spojitej náhodnej premennej je nulová.

Nehnuteľnosť 3. Distribučná funkcia náhodnej veličiny je neklesajúca funkcia, teda pre .

Nehnuteľnosť 4. V mínus nekonečne je distribučná funkcia nula a v plus nekonečne sa distribučná funkcia rovná jednote, t.j.

Príklad 1 Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej je daná výrazom

Nájdite koeficient a vytvorte graf. Určte pravdepodobnosť, že náhodná premenná v dôsledku experimentu nadobudne hodnotu na intervale.

Riešenie. Keďže distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej je spojitá, dostaneme: . Odtiaľ. Graf funkcie je znázornený na obr. 9.

Na základe druhej vlastnosti distribučnej funkcie máme:

4. Hustota rozdelenia pravdepodobnosti a jej vlastnosti.

Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej je jej pravdepodobnostnou charakteristikou. Má to však nevýhodu, ktorá spočíva v tom, že je ťažké posúdiť povahu rozloženia náhodnej premennej v malom okolí jedného alebo druhého bodu číselnej osi. Vizuálnejšie znázornenie povahy rozdelenia spojitej náhodnej premennej poskytuje funkcia nazývaná hustota rozdelenia pravdepodobnosti alebo funkcia diferenciálneho rozdelenia náhodnej premennej.

Hustota distribúcie sa rovná derivácii distribučnej funkcie, t.j.

Význam hustoty distribúcie je, že udáva, ako často sa náhodná premenná objavuje v určitom okolí bodu, keď sa experimenty opakujú. Krivka predstavujúca hustotu distribúcie náhodnej premennej sa nazýva distribučná krivka.

Zvážte vlastnosti distribučnej hustoty.

Nehnuteľnosť 1. Distribučná hustota je nezáporná, t.j.

Nehnuteľnosť 2. Distribučná funkcia náhodnej veličiny sa rovná integrálu hustoty v intervale od do, t.j.

Nehnuteľnosť 3. Pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná zasiahne segment, sa rovná integrálu hustoty distribúcie prevzatej z tohto segmentu, t.j.

Nehnuteľnosť 4. Integrál v nekonečných hraniciach hustoty distribúcie sa rovná jednote:

Príklad 2 Náhodná veličina podlieha distribučnému zákonu s hustotou

určiť koeficient; zostavte graf hustoty distribúcie; nájsť pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej v segmente od do; určiť distribučnú funkciu a nakresliť jej graf.

Riešenie. Plocha ohraničená distribučnou krivkou sa číselne rovná

Ak vezmeme do úvahy vlastnosť 4 hustoty distribúcie, zistíme: . Preto je možné hustotu distribúcie vyjadriť takto:

Graf hustoty distribúcie je znázornený na obr. 10. Podľa vlastnosti 3 máme

Na určenie distribučnej funkcie používame vlastnosť 2:

Teda máme

Graf distribučnej funkcie je znázornený na obr. jedenásť.