Príklady výpočtu trojného integrálu vo valcových súradniciach. Trojné integrály. Výpočet objemu telesa.Trojný integrál vo valcových súradniciach. II Trojný integrál vo valcových súradniciach

Postup výpočtu trojného integrálu je podobný zodpovedajúcej operácii pre dvojitý integrál. Aby sme to opísali, zavedieme koncept pravidelnej trojrozmernej domény:

Definícia 9.1. Trojrozmerná oblasť V ohraničená uzavretým povrchom S sa nazýva regulárna, ak:

1. akákoľvek priamka rovnobežná s osou Oz a vedená cez vnútorný bod oblasti pretína S v dvoch bodoch;
2. celá oblasť V je premietnutá do roviny Oxy do pravidelnej dvojrozmernej oblasti D;
3. akákoľvek časť oblasti V, odrezaná od nej rovinou rovnobežnou s niektorou zo súradnicových rovín, má vlastnosti 1) a 2).

Uvažujme pravidelnú oblasť V ohraničenú zhora a zdola plochami z=χ(x, y) a z=ψ(x, y) a premietnutú do roviny Oxy do pravidelnej oblasti D, vo vnútri ktorej sa x mení od a po b, ohraničené krivkami y=φ1(x) a y=φ2(x) (obr. 1). Definujme spojitú funkciu f(x, y, z) v oblasti V.

Definícia 9.2. Trojný integrál funkcie f(x, y, z) nad definičným oborom V nazývame výrazom v tvare:

Trojný integrál má rovnaké vlastnosti ako dvojitý integrál. Uvádzame ich bez dôkazu, keďže sa dokazujú podobne ako v prípade dvojitého integrálu.

Výpočet trojného integrálu.

Veta 9.1. Trojitý integrál funkcie f(x,y,z) v správnej oblasti V sa rovná trojnému integrálu v tej istej oblasti:

. (9.3)

Dôkaz.

Oblasť V rozdelíme rovinami rovnobežnými so súradnicovými rovinami na n pravidelných oblastí. Potom z vlastnosti 1 vyplýva, že

kde je trojný integrál funkcie f(x,y,z) v oblasti .

Pomocou vzorca (9.2) je možné predchádzajúcu rovnosť prepísať ako:

Z podmienky spojitosti pre funkciu f(x,y,z) vyplýva, že limita integrálneho súčtu na pravej strane tejto rovnosti existuje a rovná sa trojnému integrálu. Potom prejdením na limit v , získame:

Q.E.D.

Komentujte.

Podobne ako v prípade dvojitého integrálu sa dá dokázať, že zmena poradia integrácie nemení hodnotu trojného integrálu.

Príklad. Vypočítajme integrál, kde V je trojuholníková pyramída s vrcholmi v bodoch (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1). Jeho priemet na rovinu Oxy je trojuholník s vrcholmi (0, 0), (1, 0) a (0, 1). Zospodu je oblasť ohraničená rovinou z = 0 a zhora - rovinou x + y + z = 1. Prejdime k trojnému integrálu:

Faktory, ktoré nezávisia od integračnej premennej, možno odobrať zo znamienka príslušného integrálu:

Krivočiare súradnicové systémy v trojrozmernom priestore.

1. Cylindrický súradnicový systém.

Valcové súradnice bodu Р(ρ,φ,z) sú polárne súradnice ρ, φ priemetu tohto bodu do roviny Oxy a aplikácie tohto bodu z (obr. 2).

Vzorce na prevod z valcových na karteziánske súradnice môžu byť špecifikované takto:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Sférický súradnicový systém.

V guľových súradniciach je poloha bodu v priestore určená lineárnou súradnicou ρ - vzdialenosť od bodu k začiatku kartézskeho súradnicového systému (alebo pólu guľového systému), φ - polárny uhol medzi kladnými súradnicami. Ox poloos a priemet bodu do roviny Oxy a θ - uhol medzi kladnou poloosou osi Oz a segmentom OP (obr. 3). V čom

Nastavíme vzorce pre prechod z guľových do karteziánskych súradníc:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9,5)

Jakobián a jeho geometrický zmysel.

Uvažujme všeobecný prípad zmeny premenných v dvojitom integráli. Nech je v rovine Oxy daný obor D ohraničený priamkou L. Predpokladajme, že x a y sú jednohodnotové a spojito diferencovateľné funkcie nových premenných u a v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9,6)

Uvažujme pravouhlý súradnicový systém Оuv, ktorého bod Р΄(u, v) zodpovedá bodu Р(х, y) z oblasti D. Všetky takéto body tvoria oblasť D΄ v rovine Оuv ohraničenej čiara L΄. Môžeme povedať, že vzorce (9.6) stanovujú vzájomnú zhodu medzi bodmi oblastí D a D΄. V tomto prípade sú priamky u = const a

v = const v rovine Ouv bude zodpovedať niektorým čiaram v rovine Oxy.

Uvažujme pravouhlú plochu ΔS΄ v rovine Оuv ohraničenú priamkami u = const, u+Δu = const, v = const av+Δv = const. Bude zodpovedať krivočiarej oblasti ΔS v rovine Oxy (obr. 4). Oblasti posudzovaných lokalít budú tiež označené ΔS΄ a ΔS. V tomto prípade ΔS΄ = Δu Δv. Nájdite oblasť ∆S. Označme vrcholy tohto krivočiareho štvoruholníka P1, P2, P3, P4, kde

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Nahradme malé prírastky Δu a Δv zodpovedajúcimi diferenciálmi. Potom

V tomto prípade možno štvoruholník P1 P2 P3 P4 považovať za rovnobežník a jeho plochu možno určiť pomocou vzorca z analytickej geometrie:

(9.7)

Definícia 9.3. Determinant sa nazýva funkčný determinant alebo jakobián funkcií φ(x, y) a ψ(x, y).

Prejdením k limitu v rovnosti (9.7) dostaneme geometrický význam jakobiánu:

to znamená, že Jacobiánsky modul je hranica pomeru plôch nekonečne malých plôch ΔS a ΔS΄.

Komentujte. Podobne je možné definovať pojem jakobiánu a jeho geometrický význam pre n-rozmerný priestor: ak x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un),…, xn = φ(u1 , u2,…, un), potom

(9.8)

V tomto prípade Jacobiánsky modul udáva limit pomeru „objemov“ malých oblastí priestorov x1, x2,…, xn a u1, u2,…, un.

Zmena premenných vo viacnásobných integráloch.

Pozrime sa na všeobecný prípad zmeny premenných pomocou dvojitého integrálu ako príkladu.

Nech je daná doména D nepretržitá funkcia z = f(x, y), ktorej každá hodnota zodpovedá rovnakej hodnote funkcie z = F(u, v) v oblasti D΄, kde

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9,9)

Zvážte integrálny súčet

kde integrálny súčet napravo preberá doménu D΄. Prechodom na limitu v , dostaneme vzorec transformácie súradníc v dvojitom integráli.

Nech je dané hmotné teleso, ktoré je priestorovou oblasťou P vyplnenou hmotou. Je potrebné nájsť hmotnosť m tohto telesa za podmienky, že v každom bode P € P je známa hustota rozloženia hmoty. Rozdeľme oblasť P na neprekrývajúce sa kubické (teda objemové) časti s objemami, resp. V každej z čiastkových oblastí ft* zvolíme ľubovoľný bod P*. Predpokladajme približne, že v medziach parciálnej oblasti ft* je hustota konštantná a rovná sa /*(P*). Potom hmotnosť Atk tejto časti telesa bude vyjadrená približnou rovnosťou Atpk a hmotnosť celého telesa bude približne rovná Trojitý integrál Vlastnosti trojných integrálov Výpočet trojného integrálu v karteziánskych súradniciach Výpočet trojného integrálu v cylindrické a sférické súradnice Nech d je najväčší z priemerov čiastkových oblastí Ak pre d - * 0 má súčet (1) konečnú hranicu, ktorá nezávisí od spôsobu rozdelenia domény ft na čiastkové subdomény, ani od výber bodov Р* € ft*, potom sa táto limita berie ako hmotnosť daného telesa m. Nech je ohraničená funkcia definovaná v uzavretej kubickej oblasti ft. ft na n nepretínajúcich sa kockových častí a ich objemy označme , resp. V každej parciálnej subdoméne P* si ľubovoľne zvolíme bod Pk(xk, yk, zk) a zostavíme integrálny súčet Nech d je najväčší z priemerov parciálnych domén Definícia. Ak pre d 0 majú integrálne súčty a hranicu, ktorá nezávisí ani od spôsobu rozdelenia oblasti A na čiastkové subdomény П*, ani od výberu bodov Pk ∈ П*, potom sa táto hranica nazýva trojica. integrálov funkcie f(x) y, z) vzhľadom na oblasť Q a označujeme ju symbolom Veta 6. Ak je funkcia f(x, y, z) spojitá v uzavretej kockovej oblasti Π, potom je integrovateľné v tejto doméne. Vlastnosti trojných integrálov Vlastnosti trojných integrálov sú podobné vlastnostiam dvojných integrálov, vymenujme tie hlavné. Nech sú funkcie integrovateľné v kockovej oblasti L. 1. Linearita. V tomto prípade sa funkcia nazýva integrovateľná v oblasti Q. Takže podľa definície máme Vráťme sa k problému výpočtu hmotnosti telesa, poznamenáme, že limita (2) je trojný integrál funkcie p( P) nad doménou P. Preto tu dx dy dz - objemový prvok dv in pravouhlé súradnice. kde a a (3 sú ľubovoľné reálne konštanty. všade v oblasti P, potom 3. Ak f(P) = 1 v oblasti P, potom n kde V je objem oblasti Q. Ak funkcia f(P) je spojitá v uzavretej kockovej oblasti f a M a t - jej najväčšia a najmenšia hodnota vo ft, potom kde V je objem plochy ft. 5. Aditívnosť. Ak je doména ft rozdelená do kubických domén bez spoločných vnútorných bodov a f(P) je integrovateľná do domény ft, potom je f(P) integrovateľná na každej z domén ft| a ft2 a 6. Veta o strednej hodnote. Veta 7 (o strednej hodnote). Ak je funkcia f(P) spojitá v uzavretej kockovej doméne ft, potom existuje tenká Pc ∈ ft taká, že vzorec platí, kde V je objem domény ft (pripomeňme, že doména je spojená množina). § 7. Výpočet trojného integrálu v karteziánskych súradniciach Tak ako pri výpočte dvojitých integrálov, záležitosť sa zredukuje na výpočet iterovaných integrálov. Predpokladajme, že funkcia je spojitá v nejakej doméne ft. 1. prípad. Plocha ft je pravouhlý rovnobežnosten premietnutý do roviny yOz do obdĺžnika i2; Potom dostaneme Nahradením dvojitého integrálu opakovaným integrálom nakoniec dostaneme Teda v prípade, že plocha П je pravouhlý rovnobežnosten, zredukovali sme výpočet trojného integrálu na sekvenčný výpočet troch obyčajných integrálov. Vzorec (2) je možné prepísať tak, ako kde je obdĺžnik ortogonálna projekcia rovnobežnosten P v rovine xOy. 2. prípad. Uvažujme teraz oblasť Q takú, že jej ohraničujúca plocha 5 pretína ľubovoľnú priamku rovnobežnú s osou Oz najviac v dvoch bodoch alebo pozdĺž celého segmentu (obr. 22). Nech z = tpi(x, y) je rovnica plochy 5 ohraničujúcej oblasť Π zdola a nech plocha S2 ohraničujúca oblasť Π zhora má rovnicu z = y). Nech obe plochy S1 a S2 premietnu do rovnakej oblasti roviny x0y. Označme ho D a krivku ohraničujúcu L. Zvyšok hranice 5 telesa Q leží na valcovej ploche s generátormi rovnobežnými s osou Oz as krivkou L ako vodidlom. Potom, analogicky so vzorcom (3), dostaneme Ak oblasť D roviny xOy je krivočiary lichobežník, ohraničený dvoma krivkami, potom možno dvojitý integrál vo vzorci (4) zredukovať na iterovaný a nakoniec dostaneme tento vzorec Tento vzorec je zovšeobecnením vzorca (2). Obr-23 Príklad. Vypočítajte objem štvorstenu ohraničeného rovinami Priemet štvorstenu do roviny xOy je trojuholník tvorený priamkami tak, že x sa mení z 0 na 6 a pri pevnom x (0 ^ x ^ 6) sa y mení z 0 do 3 - | (obr. 23). Ak sú x aj y pevné, potom sa bod môže pohybovať vertikálne z roviny do roviny a mení sa od 0 do 6 - x - 2y. Podľa vzorca získame §8. Výpočet trojného integrálu vo cylindrických a guľových súradniciach Otázka zmeny premenných v trojnom integráli je riešená rovnako ako v prípade dvojitého integrálu. Nech je funkcia /(x, y, z) spojitá v uzavretej kockovej doméne ft a nech sú funkcie spojité spolu s ich parciálnymi deriváciami prvého rádu v uzavretej kockovej doméne ft*. Predpokladajme, že funkcie (1) vytvárajú vzájomnú korešpondenciu medzi všetkými bodmi rj, () plochy ft* na jednej strane a všetkými bodmi (x, y, z) plochy ft, na ostatný. Potom platí vzorec pre zmenu premenných v trojnom integráli - kde je jakobián sústavy funkcií (1). V praxi sa pri výpočte trojných integrálov často používa nahradenie pravouhlých súradníc valcovými a sférickými súradnicami. 8.1. Trojitý integrál v cylindrické súradnice Vo valcovom súradnicovom systéme je poloha bodu P v priestore určená tromi číslami p, kde p a (p sú polárne súradnice priemetu P1 bodu P na rovinu xOy a z je aplikácia bod P (obr. 24).Čísla sa nazývajú valcové súradnice bodu P. Je zrejmé, že v sústave valcových súradníc, súradnicových plôch Trojitý integrál Vlastnosti trojných integrálov Výpočet trojného integrálu v karteziánskych súradniciach Výpočet trojného integrál vo valcových a guľových súradniciach popisuje: kruhový valec, ktorého os sa zhoduje s osou Oz, polrovinu susediacu s osou Oz a rovinu rovnobežnú s rovinou xOy Cylindrické súradnice súvisia s nasledujúcimi karteziánskymi vzorcami (pozri 24) 4) Výraz sa nazýva objemový prvok vo valcových súradniciach Tento výraz pre objemový prvok možno získať aj z geometrických úvah. Rozdeľme doménu П na elementárne subdomény súradnicovými plochami a vypočítajme objemy výsledných krivočiarych hranolov (obr. 25). Je vidieť, že Vypustenie nekonečne malej hodnoty viac vysoký poriadok, dostaneme To nám umožňuje získať nasledujúcu hodnotu pre objemový prvok vo valcových súradniciach Príklad 1. Nájdite objem telesa ohraničeného plochami 4 Vo valcových súradniciach budú mať dané plochy rovnice (pozri vzorce (3)). Tieto plochy sa pretínajú pozdĺž priamky r, ktorá je opísaná sústavou rovníc (valec), (rovina), obr.26 a jej premietnutím sústavou do roviny xOy.. Požadovaný objem sa teda vypočíta podľa vzorca (4). , v ktorom. Trojný integrál v sférických súradniciach V sférickom súradnicovom systéme je poloha bodu P(x, y, z) v priestore určená tromi číslami, kde r je vzdialenosť od začiatku k bodu uhol medzi osou Ox a priemet vektora polomeru OP bodu P na rovinu xOy a c je uhol medzi osou Oz a vektorom polomeru OP bodu P, počítaný od osi Oz (obr. 27). To je jasné. Súradnicové plochy v tomto súradnicovom systéme: r = const - gule so stredom v počiatku; ip = konštantné polroviny vychádzajúce z osi Oz; c = const - kruhové kužele s osou Oz. Ryža. 27 Z obrázku je vidieť, že sférické a karteziánske súradnice súvisia nasledujúcimi vzťahmi Vypočítajme jakobián funkcií (5). Máme Preto a vzorec (2) má tvar Objemový prvok v sférických súradniciach - Výraz pre objemový prvok možno získať aj z geometrických úvah. Uvažujme elementárnu oblasť v priestore ohraničenú sférami polomerov r a r + dr, kužeľmi β a β + d$ a polrovinami. kváder s meraniami. Potom Trojitý integrál Vlastnosti trojitých integrálov Výpočet trojného integrálu v karteziánskych súradniciach Výpočet trojného integrálu vo valcových a sférických súradniciach Z tretej rovnice nájdeme hranice zmeneného uhla 9: odkiaľ

Stiahnite si z Depositfiles

Trojitý integrál.

Kontrolné otázky.

Trojný integrál, jeho vlastnosti.

Zmena premenných v trojnom integráli. Výpočet trojného integrálu vo valcových súradniciach.

Výpočet trojného integrálu v sférických súradniciach.

Nechajte funkciu u= f(x, y,z) je definovaný v ohraničenej uzavretej doméne V priestor R 3. Rozdelíme oblasť V náhodne na n elementárne uzavreté oblasti V 1 , … ,V n majúci objemy  V 1 , …,  V n resp. Označiť d je najväčší z priemerov oblasti V 1 , … ,V n. V každej oblasti V k vyberte ľubovoľný bod P k (X k ,y k ,z k) a skladať integrálny súčet funkcie f(X, r,z)

S =

Definícia.trojný integrál z funkcie f(X, r,z) podľa oblasti V sa nazýva limita integrálneho súčtu
ak existuje.

teda

(1)

Komentujte. Integrálny súčet S závisí od toho, ako je región rozdelený V a výber bodu P k (k=1, …, n). Ak však existuje limit, potom nezávisí od toho, ako je región rozdelený V a výber bodu P k. Ak porovnáme definície dvojitých a trojitých integrálov, potom je ľahké v nich vidieť úplnú analógiu.

Postačujúca podmienka pre existenciu trojného integrálu. Trojný integrál (13) existuje, ak funkcia f(X, r,z) je obmedzený na V a nepretržite v V, s výnimkou konečného počtu po častiach hladkých povrchov umiestnených v V.

Niektoré vlastnosti trojného integrálu.

1) Ak S je teda číselná konštanta

3) Aditívnosť na ploche. Ak oblasť V rozdelené do oblastí V 1 A V 2, potom

4) Objem tela V rovná sa

(2 )

Výpočet trojného integrálu v karteziánskych súradniciach.

Nechaj D projekcia tela V do lietadla xOy, povrchy z=φ 1 (X,r),z=φ 2 (X, r) obmedziť telo V nižšie a vyššie. Znamená to, že

V = {(X, r, z): (X, r)D , φ 1 (X,r)≤ z ≤ φ 2 (X,r)}.

Takéto telo nazveme z- valcový. Trojný integrál (1) nad z- valcové telo V sa vypočíta prechodom na iterovaný integrál pozostávajúci z dvojitého a určitého integrálu:

(3 )

V tomto iterovanom integráli je vnútorný určitý integrál podľa premennej z, kde X, r sa považujú za trvalé. Potom sa vypočíta dvojitý integrál výslednej funkcie na ploche D.

Ak V X- valcové resp y- valcového telesa, potom sú vzorce správne, resp

V prvom vzorci D  projekcia tela V do súradnicovej roviny yOz, a v druhom - v lietadle xOz

Príklady. 1) Vypočítajte objem tela V ohraničené plochami z = 0, X 2 + r 2 = 4, z = X 2 + r 2 .

Riešenie. Vypočítajte objem pomocou trojného integrálu podľa vzorca (2)

Prejdime k iterovanému integrálu podľa vzorca (3).

Nechaj D kruh X 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (X , r ) = 0, φ 2 (X , r )= X 2 +y 2. Potom podľa vzorca (3) dostaneme

Na výpočet tohto integrálu prejdeme k polárnym súradniciam. Zároveň kruh D prevedené na súpravu

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Telo V obmedzené na povrchy z=y , z= -y , x= 0 , x= 2, y= 1. Vypočítajte

lietadlá z=y , z = -y obmedziť telo, respektíve zospodu a zhora, roviny x= 0 , x= 2 obmedzujú telo, v tomto poradí, za a vpredu a rovinu y= 1 limity vpravo. V-z- valcové teleso, jeho priemet D do lietadla ahoj je obdĺžnik OABC. Položme φ 1 (X , r ) = -y

Nech máme dva pravouhlé súradnicové systémy v priestore a
a systém funkcií

(1)

ktoré stanovujú vzájomnú korešpondenciu medzi bodmi niektorých oblastí
A
v týchto súradnicových systémoch. Predpokladajme, že funkcie systému (1) majú in
spojité parciálne derivácie. Determinant tvorený týmito parciálnymi derivátmi

,

sa nazýva jakobínsky (alebo Jacobiho determinant) systému funkcií (1). Budeme to predpokladať
V
.

Za vyššie uvedených predpokladov platí všeobecný vzorec pre zmenu premenných v trojnom integráli:

Rovnako ako v prípade dvojitého integrálu, jednotnosť systému (1) a podmienka
môžu byť porušené na jednotlivých bodoch, na jednotlivých líniách a na jednotlivých plochách.

Systém funkcií (1) pre každý bod
zodpovedá jedinému bodu
. Tieto tri čísla
sa nazývajú krivočiare súradnice bodu . Body priestoru
, pre ktoré zostáva jedna z týchto súradníc konštantná, tvoria tzv. súradnicový povrch.

II Trojný integrál vo valcových súradniciach

Cylindrický súradnicový systém (CCS) je definovaný rovinou
, v ktorom je polárny súradnicový systém a os
kolmo na túto rovinu. Súradnice valcového bodu
, Kde
– polárne súradnice bodu – projekcie t okuliare do lietadla
, A sú projekčné súradnice bodu na nápravu
alebo
.

V lietadle
karteziánske súradnice zavedieme zvyčajným spôsobom, os aplikácie smerujeme pozdĺž osi
CSK. Teraz nie je ťažké získať vzorce týkajúce sa valcových súradníc s karteziánskymi súradnicami:

(3)

Tieto vzorce mapujú oblasť na celý priestor
.

Súradnicové plochy v tomto prípade budú:

1)
- valcové plochy s generátormi rovnobežnými s osou
, ktorého vodidlami sú kruhy v rovine
so stredom v bode ;

2)

;

3)
- roviny rovnobežné s rovinami
.

Jakobiánsky systém (3):

.

Všeobecný vzorec v prípade CSC má tvar:

Poznámka 1 . Prechod na valcové súradnice sa odporúča, ak je oblasťou integrácie kruhový valec alebo kužeľ alebo paraboloid otáčania (alebo jeho časti) a os tohto telesa sa zhoduje s osou aplikácie.
.

Poznámka 2. Cylindrické súradnice možno zovšeobecniť rovnakým spôsobom ako polárne súradnice v rovine.

Príklad 1 Vypočítajte trojný integrál funkcie

podľa regiónu
, čo je vnútro valca
, ohraničený kužeľom
a paraboloid
.

Riešenie. Túto oblasť sme už zvážili v §2, príklad 6, a získali sme štandardný zápis v DPSC. Výpočet integrálu v tejto oblasti je však náročný. Poďme do CSK:

.

Projekcia
telo
do lietadla
je kruh
. Preto súradnica sa mení z 0 na
, A – od 0 do R. Prostredníctvom ľubovoľného bodu
nakreslite čiaru rovnobežnú s osou
. Priamy vstup
na kužeľ, ale vyjde na paraboloid. Ale ten kužeľ
má rovnicu v CSK
a paraboloid
- rovnica
. Takže máme

III Trojný integrál v sférických súradniciach

Sférický súradnicový systém (SCS) je definovaný rovinou
, v ktorom je zadaný USS, a os
, kolmo na rovinu
.

Súradnice sférických bodov priestor sa nazýva trojica čísel
, Kde je polárny uhol priemetu bodu do roviny
,- uhol medzi osou
a vektor
A
.

V lietadle
zaviesť karteziánske súradnicové osi
A
obvyklým spôsobom a os aplikácie je kompatibilná s osou
. Vzorce spájajúce sférické súradnice s karteziánskymi sú:

(4)

Tieto vzorce mapujú oblasť na celý priestor
.

Jakobián systému funkcií (4):

.

Súradnicové plochy tvoria tri rodiny:

1)
– sústredné gule so stredom v počiatku;

2)
- polroviny prechádzajúce osou
;

3)
sú kruhové kužele s vrcholom v počiatku, ktorého osou je os
.

Vzorec na prechod na SSC v trojnom integráli:

Poznámka 3. Prechod na SSC sa odporúča, ak je oblasťou integrácie guľa alebo jej časť. V tomto prípade rovnica gule
Ide do. Rovnako ako CSC diskutované vyššie, CSC je „priviazaný“ k osi
. Ak je stred gule posunutý o polomer pozdĺž osi súradníc, získame najjednoduchšiu sférickú rovnicu s posunutím pozdĺž osi
:

Poznámka 4. SSC je možné zovšeobecniť:

s Jacobian
. Tento systém funkcií preloží elipsoid

do rovnobežnostenu

Príklad 2 Nájdite priemernú vzdialenosť bodov gule s polomerom z jej stredu.

Riešenie. Pripomeňme, že stredná hodnota funkcie
v oblasti
je trojný integrál funkcie na ploche vydelený objemom plochy. V našom prípade

Takže máme

Príklady riešení ľubovoľných trojných integrálov.
Fyzikálne aplikácie trojného integrálu

V 2. časti hodiny vypracujeme techniku ​​riešenia ľubovoľných trojných integrálov , ktorej integrand funkcia troch premenných vo všeobecnom prípade sa líši od konštanty a spojitej v oblasti; a tiež sa zoznámiť s fyzikálnymi aplikáciami trojného integrálu

Novo prichádzajúcim návštevníkom odporúčam začať 1. dielom, kde sme si zopakovali základné pojmy a problém nájsť objem telesa pomocou trojného integrálu. Pre zvyšok navrhujem trochu zopakovať derivačné funkcie troch premenných, pretože v príkladoch tohto článku budeme používať inverznú operáciu - čiastočná integrácia funkcie .

Okrem toho je tu ďalší dôležitý bod: ak sa necítite dobre, potom je lepšie odložiť čítanie tejto stránky, ak je to možné. A nejde len o to, že zložitosť výpočtov sa teraz zvýši - väčšina trojných integrálov nemá spoľahlivé metódy manuálneho overovania, preto je veľmi nežiaduce začať ich riešiť v unavenom stave. Vhodné pre nízky tón riešiť niečo skôr alebo si len oddýchnite (som trpezlivý, počkám =)), aby som inokedy s čerstvou hlavou pokračoval v masakre trojitých integrálov:

Príklad 13

Vypočítajte trojitý integrál

V praxi je telo tiež označené písmenom , ale to nie je veľmi dobrá voľba, pretože "ve" je "vyhradené" pre označenie objemu.

Poviem vám, čo NEROBIŤ. Netreba používať vlastnosti linearity a reprezentujú integrál ako . Hoci ak naozaj chcete, môžete. Na záver ešte malé plus – nahrávka bude dlhá, no menej neprehľadná. Tento prístup však stále nie je štandardný.

V algoritme riešenia bude malá novinka. Najprv sa musíte zaoberať oblasťou integrácie. Projekcia tela do roviny je bolestne známy trojuholník:

Telo obmedzené zhora lietadlo, ktorý prechádza počiatkom. Vopred, mimochodom, potrebujete určite skontrolujte(mentálne alebo na koncepte)či táto rovina „odreže“ časť trojuholníka. Na to nájdeme jej priesečník so súradnicovou rovinou, t.j. rozhodnúť najjednoduchší systém: - nie, dané rovno (nie na výkrese)"prechádza" a projekcia telesa do roviny je skutočne trojuholník.

Priestorová kresba tu tiež nie je komplikovaná:

V skutočnosti by sa človek mohol obmedziť len na ne, keďže projekcia je veľmi jednoduchá. ...No, alebo len nakresliť projekciu, keďže telo je tiež jednoduché =) Nekresliť však vôbec nič, pripomínam, je zlá voľba.

A, samozrejme, nemôžem si pomôcť, ale potešiť vás záverečnou úlohou:

Príklad 19

Nájdite ťažisko homogénneho telesa ohraničeného plochami, . Urobte nákresy daného telesa a jeho priemetu do roviny.

Riešenie: požadované teleso je obmedzené súradnicovými rovinami a rovinou , čo je vhodné pre následnú konštrukciu prítomný v segmentoch: . Vyberme si "a" ako jednotku mierky a urobme trojrozmerný výkres:

Nákres už stanovil hotový bod ťažiska, zatiaľ ho však nepoznáme.

Projekcia telesa do roviny je zrejmá, ale dovoľte mi pripomenúť vám, ako ju nájsť analyticky - napokon, takéto jednoduché prípady sa zďaleka nestretávajú. Ak chcete nájsť čiaru, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, musíte vyriešiť systém:

Dosadíme hodnotu v 1. rovnici: a dostaneme rovnicu „plochý“ rovný:

Vypočítajte súradnice ťažiska telesa podľa vzorcov
, kde je objem telesa.