Integrácia určitého integrálu. Určitý integrál. Príklady riešení. Metóda integrácie po častiach v určitom integráli

Určitý integrál. Príklady riešení

Ahoj zas. Zapnuté túto lekciu podrobne rozoberieme takú úžasnú vec, akou je určitý integrál. Tentoraz bude úvod krátky. Všetky. Lebo za oknom snehová búrka.

Aby ste sa naučili riešiť určité integrály, musíte:

1) byť schopný Nájsť neurčité integrály.

2) byť schopný vypočítať určitý integrál.

Ako vidíte, na zvládnutie určitého integrálu sa musíte pomerne dobre orientovať v „obyčajných“ neurčitých integráloch. Preto, ak sa práve začínate ponoriť do integrálneho počtu a kanvica ešte vôbec nevarila, je lepšie začať s lekciou Neurčitý integrál. Príklady riešení. Okrem toho existujú kurzy pdf pre ultrarýchly tréning- ak máte doslova deň, zostáva pol dňa.

IN všeobecný pohľad Určitý integrál sa zapisuje takto:

Čo sa zvýšilo v porovnaní s neurčitý integrál? pridané integračné limity.

Dolná hranica integrácie
Horná hranica integrácieštandardne sa označuje písmenom .
Segment sa nazýva segment integrácie.

Predtým, ako prejdeme k praktickým príkladom, malá často kladená otázka o určitom integráli.

Čo znamená vyriešiť určitý integrál? Riešenie určitého integrálu znamená nájsť číslo.

Ako vyriešiť určitý integrál? Pomocou vzorca Newton-Leibniz známeho zo školy:

Vzorec je lepšie prepísať na samostatný papier, mali by ste ho mať na očiach počas celej hodiny.

Kroky na riešenie určitého integrálu sú nasledovné:

1) Najprv nájdeme primitívna funkcia(neurčitý integrál). Všimnite si, že konštanta v určitom integráli nepridané. Označenie je čisto technické a zvislá tyč nenesie žiadny matematický význam, v skutočnosti je to len prečiarknutie. Prečo je záznam potrebný? Príprava na aplikáciu Newton-Leibnizovho vzorca.

2) Do priraďovacej funkcie dosadíme hodnotu hornej hranice: .

3) Do priraďovacej funkcie dosadíme hodnotu dolnej hranice: .

4) Vypočítame (bez chýb!) rozdiel, teda nájdeme číslo.

Existuje vždy určitý integrál? Nie vždy.

Napríklad integrál neexistuje, pretože integračný segment nie je zahrnutý v doméne definície integrandu (hodnoty pod odmocnina nemôže byť negatívny). Tu je menej zrejmý príklad: . Tu o integračnom intervale dotyčnica vydrží nekonečné prestávky v bodoch , , a preto takýto určitý integrál tiež neexistuje. Mimochodom, kto to ešte nečítal? metodický materiál Grafy a základné vlastnosti elementárnych funkcií- Teraz je čas to urobiť. Bude skvelé pomáhať počas celého kurzu vyššej matematiky.

Pre to aby určitý integrál vôbec existoval, stačí, že integrand bola spojitá na integračnom intervale.

Z vyššie uvedeného vyplýva prvé dôležité odporúčanie: pred pokračovaním v riešení AKÉHOKOĽVEK určitého integrálu sa musíte uistiť, že integrand spojité na integračnom intervale. Ako študent som mal opakovane príhodu, keď som dlho trpel hľadaním ťažkého primitíva, a keď som ho konečne našiel, lámal som si hlavu ešte nad jednou otázkou: „aký nezmysel sa ukázal?“. V zjednodušenej verzii vyzerá situácia asi takto:

???! Nemôžete nahradiť záporné čísla pod koreň! Čo do pekla?! počiatočná neopatrnosť.

Ak pre riešenie (v kontrolná práca, na teste, skúške) Je vám ponúknutý integrál typu alebo , potom musíte odpovedať, že tento určitý integrál neexistuje a zdôvodniť prečo.

! Poznámka : v druhom prípade nemožno vynechať slovo „istý“, pretože integrál s bodovými diskontinuitami je rozdelený na niekoľko, v tomto prípade na 3 nevlastné integrály a formulácia „tento integrál neexistuje“ sa stáva nesprávnou.

Môže sa určitý integrál rovnať? záporné číslo? Možno. A záporné číslo. A nula. Môže sa dokonca ukázať, že je to nekonečno, ale už bude nevlastný integrál, ktorej je venovaná samostatná prednáška.

Môže byť spodná hranica integrácie väčšia ako horná hranica integrácie? Možno takáto situácia v praxi skutočne nastáva.

- integrál sa pokojne vypočíta pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

Bez čoho sa nezaobíde vyššia matematika? Samozrejme, bez všemožných vlastností. Preto uvažujeme o niektorých vlastnostiach určitého integrálu.

V určitom integráli môžete zmeniť usporiadanie hornej a dolnej hranice a zároveň zmeniť znamienko:

Napríklad v určitom integráli pred integráciou je vhodné zmeniť hranice integrácie na „zvyčajné“ poradie:

- v tejto forme je integrácia oveľa pohodlnejšia.

- to platí nielen pre dve, ale aj pre ľubovoľný počet funkcií.

V určitom integráli je možné vykonať zmena integračnej premennej, ten má však v porovnaní s neurčitým integrálom svoje špecifiká, o ktorých si povieme neskôr.

Pre určitý integrál, vzorec pre integráciu po častiach:

Príklad 1

Riešenie:

(1) Vyberieme konštantu zo znamienka integrálu.

(2) Integrujeme cez tabuľku pomocou najobľúbenejšieho vzorca . Je vhodné oddeliť objavenú konštantu a vyložiť ju z držiaka. Nie je to potrebné, ale je to žiaduce - prečo ďalšie výpočty?

. Najprv dosadzujeme v hornej hranici, potom v dolnej hranici. Vykonáme ďalšie výpočty a získame konečnú odpoveď.

Príklad 2

Vypočítajte určitý integrál

Toto je príklad na samoriešenie, riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Urobme to trochu ťažšie:

Príklad 3

Vypočítajte určitý integrál

Riešenie:

(1) Používame vlastnosti linearity určitého integrálu.

(2) Integrujeme nad tabuľkou, pričom vyberieme všetky konštanty - nebudú sa podieľať na nahrádzaní hornej a dolnej hranice.

(3) Pre každý z troch výrazov použijeme Newtonov-Leibnizov vzorec:

SLABÝ ČLÁNOK v určitom integráli sú chyby vo výpočtoch a obyčajná ZMIEŇANIE ZNAKOV. Buď opatrný! Sústredím sa na tretí termín: - prvé miesto v hitparáde chýb z nepozornosti, veľmi často píšu automaticky (najmä keď zámena hornej a dolnej hranice sa vykonáva ústne a nie je tak podrobne podpísaná). Ešte raz si pozorne preštudujte vyššie uvedený príklad.

Treba poznamenať, že uvažovaný spôsob riešenia určitého integrálu nie je jediný. S určitými skúsenosťami môže byť riešenie výrazne znížené. Sám som napríklad riešil takéto integrály:

Tu som verbálne použil pravidlá linearity, ústne integrované nad stolom. Skončil som len s jednou zátvorkou s uvedenými limitmi: (na rozdiel od troch zátvoriek v prvej metóde). A v "celej" priraďovacej funkcii som najskôr nahradil 4, potom -2, pričom som znova robil všetky akcie v mojej mysli.

Aké sú nevýhody metódy krátkeho riešenia? Z hľadiska racionality výpočtov tu nie je všetko veľmi dobré, ale osobne mi je to jedno - počítam bežné zlomky na kalkulačke.
Navyše je tu zvýšené riziko, že sa vo výpočtoch pomýlite, preto je pre študenta-figuríny lepšie použiť prvú metódu, pri metóde „moje“ riešenie sa znamienko určite niekde stratí.

Nepochybnými výhodami druhého spôsobu je však rýchlosť riešenia, kompaktnosť zápisu a fakt, že primitív je v jednej zátvorke.

Tip: pred použitím Newtonovho-Leibnizovho vzorca je užitočné skontrolovať: či bol samotný primitívny derivát nájdený správne?

Takže vo vzťahu k uvažovanému príkladu: pred dosadením hornej a dolnej hranice do primitívnej funkcie je vhodné skontrolovať na návrhu, či bol neurčitý integrál vôbec nájdený správne? Rozlíšiť:

Bol získaný pôvodný integrand, čo znamená, že neurčitý integrál bol nájdený správne. Teraz môžete použiť vzorec Newton-Leibniz.

Takáto kontrola nebude zbytočná pri výpočte akéhokoľvek určitého integrálu.

Príklad 4

Vypočítajte určitý integrál

Toto je príklad samoriešenia. Skúste to vyriešiť krátkym a podrobným spôsobom.

Zmena premennej v určitom integráli

Pre určitý integrál platia všetky typy substitúcií, rovnako ako pre neurčitý integrál. Preto, ak nie ste veľmi dobrí v suplovaní, mali by ste si pozorne prečítať lekciu. Náhradná metóda v neurčitom integráli.

V tomto odseku nie je nič strašidelné ani zložité. Novinka spočíva v otázke ako zmeniť hranice integrácie pri výmene.

V príkladoch sa pokúsim uviesť také typy náhrad, ktoré ešte nikde na stránke nebolo vidieť.

Príklad 5

Vypočítajte určitý integrál

Hlavná otázka tu vôbec nie je v určitom integráli, ale ako správne vykonať výmenu. Pozeráme sa dovnútra integrálny stôl a prídeme na to, ako vyzerá náš integrand? Je zrejmé, že v dlhom logaritme: . Existuje však jedna nezrovnalosť, v tabuľkovom integráli pod koreňom a v našom - "x" do štvrtého stupňa. Myšlienka nahradenia vyplýva z úvahy - bolo by pekné nejako premeniť našu štvrtú mocnosť na štvorec. To je skutočné.

Najprv pripravíme náš integrál na výmenu:

Z vyššie uvedených úvah sa náhrada prirodzene navrhuje:
V menovateli teda bude všetko v poriadku: .
Zisťujeme, na čo sa zmení zvyšok integrandu, preto nájdeme diferenciál:

V porovnaní s náhradou v neurčitom integráli pridávame krok navyše.

Hľadanie nových hraníc integrácie.

Je to dosť jednoduché. Pozeráme sa na našu náhradu a staré limity integrácie, .

Najprv do náhradného výrazu dosadíme dolnú hranicu integrácie, teda nulu:

Potom dosadíme hornú hranicu integrácie do náhradného výrazu, teda koreň troch:

Pripravený. A len niečo…

Pokračujme v riešení.

(1) Podľa nahradenia napísať nový integrál s novými hranicami integrácie.

(2) Toto je najjednoduchší tabuľkový integrál, ktorý integrujeme cez tabuľku. Je lepšie ponechať konštantu mimo zátvoriek (nemôžete to urobiť), aby nezasahovala do ďalších výpočtov. Vpravo nakreslíme čiaru označujúcu nové hranice integrácie - toto je príprava na aplikáciu Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

(3) Používame Newtonov-Leibnizov vzorec .

Odpoveď sa snažíme napísať v čo najkompaktnejšej forme, tu som použil vlastnosti logaritmov.

Ďalším rozdielom od neurčitého integrálu je, že po vykonaní substitúcie nie sú potrebné žiadne náhrady.

A teraz pár príkladov pre nezávislé riešenie. Aké náhrady vykonať - skúste uhádnuť sami.

Príklad 6

Vypočítajte určitý integrál

Príklad 7

Vypočítajte určitý integrál

Toto sú príklady svojpomoci. Riešenia a odpovede na konci hodiny.

A na konci odseku niekoľko dôležitých bodov, ktorých analýza sa objavila vďaka návštevníkom stránky. Prvý sa týka oprávnenosť nahradenia. V niektorých prípadoch to nie je možné! Zdá sa teda, že príklad 6 sa dá vyriešiť pomocou univerzálna trigonometrická substitúcia, ale horná hranica integrácie ("pi") nie sú zahrnuté v domény táto dotyčnica a teda táto zámena je nezákonná! teda funkcia „náhrada“ musí byť nepretržitá vo všetkom body segmentu integrácie.

V inom e-maile sme dostali nasledujúcu otázku: „Musíme zmeniť hranice integrácie, keď funkciu uvedieme pod diferenciálne znamienko?“. Najprv som chcel „oprášiť nezmysly“ a automaticky odpovedať „samozrejme, že nie“, ale potom som sa zamyslel nad dôvodom takejto otázky a zrazu som zistil, že informácie chýba. Ale je to, aj keď zrejmé, ale veľmi dôležité:

Ak funkciu privedieme pod znamienko diferenciálu, potom nie je potrebné meniť hranice integrácie! prečo? Pretože v tomto prípade žiadny skutočný prechod na novú premennú. Napríklad:

A tu je sčítanie oveľa pohodlnejšie ako akademická náhrada s následným „vymaľovaním“ nových limitov integrácie. teda ak určitý integrál nie je príliš zložitý, vždy sa snažte uviesť funkciu pod znamienko diferenciálu! Je to rýchlejšie, je to kompaktnejšie a je to bežné - ako uvidíte desiatkykrát!

Ďakujem veľmi pekne za vaše listy!

Metóda integrácie po častiach v určitom integráli

Noviniek je tu ešte menej. Všetky príspevky v článku Integrácia po častiach v neurčitom integráli sú plne platné aj pre určitý integrál.
Navyše je tu len jeden detail, vo vzorci pre integráciu po častiach sú pridané limity integrácie:

Newtonov-Leibnizov vzorec sa tu musí použiť dvakrát: pre súčin a potom, čo vezmeme integrál.

Napríklad som opäť zvolil typ integrálu, ktorý som nikde inde na stránke nevidel. Príklad nie je najjednoduchší, ale veľmi, veľmi poučný.

Príklad 8

Vypočítajte určitý integrál

My rozhodujeme.

Integrácia podľa častí:

Kto mal ťažkosti s integrálom, pozrite sa na lekciu Integrály goniometrických funkcií, kde sa o tom podrobne diskutuje.

(1) Riešenie zapíšeme v súlade so vzorcom pre integráciu po častiach.

(2) Pre produkt používame Newtonov-Leibnizov vzorec. Pre zostávajúci integrál použijeme vlastnosti linearity a rozdelíme ho na dva integrály. Nenechajte sa zmiasť znakmi!

(4) Na nájdené dva primitívne deriváty použijeme Newtonov-Leibnizov vzorec.

Aby som bol úprimný, ten vzorec sa mi nepáči a ak je to možné, ... zaobísť sa bez nej! Zvážte druhý spôsob riešenia, z môjho pohľadu je racionálnejší.

Vypočítajte určitý integrál

V prvom kroku nájdem neurčitý integrál:

Integrácia podľa častí:

Bola nájdená primitívna funkcia. V tomto prípade nemá zmysel pridávať konštantu.

Aká je výhoda takéhoto výletu? Nie je potrebné „ťahať“ hranice integrácie, skutočne vás môže potrápiť desaťkrát písaním malých ikoniek hraníc integrácie

V druhom kroku kontrolujem(zvyčajne na návrh).

Je to aj logické. Ak som nesprávne našiel primitívnu funkciu, potom nesprávne vyriešim aj určitý integrál. Je lepšie to zistiť okamžite, rozlíšme odpoveď:

Bol získaný pôvodný integrand, čo znamená, že priraďovacia funkcia bola nájdená správne.

Treťou etapou je aplikácia Newton-Leibnizovho vzorca:

A tu je významný prínos! Pri „mojom“ spôsobe riešenia je oveľa menšie riziko zmätku pri dosadzovaní a výpočtoch – Newtonov-Leibnizov vzorec sa použije iba raz. Ak kanvica rieši podobný integrál pomocou vzorca (prvá cesta), potom stopudovo urobí niekde chybu.

Uvažovaný algoritmus riešenia možno použiť na akýkoľvek určitý integrál.

Vážený študent, vytlačte a uložte:

Čo robiť, ak je daný určitý integrál, ktorý sa zdá komplikovaný alebo nie je hneď jasné, ako ho vyriešiť?

1) Najprv nájdeme neurčitý integrál (antiderivačná funkcia). Ak bol v prvej fáze problém, je zbytočné rozkolísať loď s Newtonom a Leibnizom. Je len jedna cesta – zvýšiť si úroveň vedomostí a zručností pri riešení neurčité integrály.

2) Nájdenú primitívnu funkciu skontrolujeme diferenciáciou. Ak sa nájde nesprávne, tretí krok bude stratou času.

3) Používame Newtonov-Leibnizov vzorec. Všetky výpočty vykonávame VEĽMI POZORNE - tu je najslabší článok úlohy.

A na občerstvenie integrál pre nezávislé riešenie.

Príklad 9

Vypočítajte určitý integrál

Riešenie a odpoveď sú niekde blízko.

Nasledujúci odporúčaný návod na túto tému je − Ako vypočítať plochu obrázku pomocou určitého integrálu?
Integrácia podľa častí:

Určite ste ich vyriešili a dostali takéto odpovede? ;-) A na starkej je porno.

Proces riešenia integrálov vo vede nazývaný „matematika“ sa nazýva integrácia. Pomocou integrácie môžete nájsť niektoré fyzikálne veličiny: plochu, objem, hmotnosť telies a oveľa viac.

Integrály sú neurčité a určité. Zvážte tvar určitého integrálu a pokúste sa ho pochopiť fyzický význam. Vyzerá to takto: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Charakteristickým znakom zápisu určitého integrálu od neurčitého je, že existujú hranice integrácie a a b. Teraz zistíme, na čo slúžia a čo znamená určitý integrál. V geometrickom zmysle taký integrál rovná ploche obrazec ohraničený krivkou f(x), priamkami aab a osou Ox.

Z obr. 1 je vidieť, že určitý integrál je tá istá plocha, ktorá je vytieňovaná v šedej farbe. Pozrime sa na to na jednoduchom príklade. Nájdite oblasť obrázku na obrázku nižšie pomocou integrácie a potom ju vypočítajte obvyklým spôsobom vynásobením dĺžky šírkou.

Obrázok 2 ukazuje, že $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Teraz ich dosadíme do definície integrálu, dostaneme, že $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(jednotka)^2 $$ Skontrolujeme obvyklým spôsobom. V našom prípade dĺžka = 3, šírka tvaru = 1. $$ S = \text(dĺžka) \cdot \text(šírka) = 3 \cdot 1 = 3 \text(jednotka)^2 $$ Ako vidíte, všetko dokonale ladilo.

Vzniká otázka: ako riešiť neurčité integrály a aký je ich význam? Riešením takýchto integrálov je nájdenie primitívnych funkcií. Tento proces je opakom hľadania derivátu. Na nájdenie primitívnej funkcie môžete využiť našu pomoc pri riešení úloh z matematiky, alebo si musíte sami presne zapamätať vlastnosti integrálov a integračnú tabuľku najjednoduchších elementárnych funkcií. Hľadanie vyzerá takto $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(kde) F(x) $ je primitívnym derivátom $ f(x), C = const $.

Na vyriešenie integrálu je potrebné integrovať funkciu $ f(x) $ vzhľadom na premennú. Ak je funkcia tabuľková, potom je odpoveď napísaná v príslušnom tvare. Ak nie, potom sa proces zredukuje na získanie tabuľkovej funkcie z funkcie $ f(x) $ pomocou zložitých matematických transformácií. Na to existujú rôzne metódy a vlastnosti, o ktorých budeme diskutovať nižšie.

Takže teraz urobme algoritmus, ako vyriešiť integrály pre figuríny?

Algoritmus na výpočet integrálov

Zistite určitý integrál alebo nie.
Ak nie je definovaná, potom musíte nájsť primitívnu funkciu $ F(x) $ integrandu $ f(x) $ pomocou matematických transformácií, ktoré prinesú funkciu $ f(x) $ do tabuľkového tvaru.
Ak je definovaný, potom sa musí vykonať krok 2 a potom nahradiť limity $a$ a $b$ do primitívnej funkcie $F(x)$. Podľa akého vzorca to urobiť, sa dozviete v článku "Formula Newtona Leibniza".

Príklady riešení

Takže ste sa naučili, ako riešiť integrály pre figuríny, príklady riešenia integrálov boli roztriedené na poličkách. Naučili sa ich fyzikálny a geometrický význam. Metódy riešenia budú diskutované v iných článkoch.

Táto kalkulačka vám umožňuje riešiť určitý integrál online. V skutočnosti, výpočet určitého integrálu- ide o nájdenie čísla, ktoré sa rovná ploche pod grafom funkcie. Pre riešenie je potrebné nastaviť hranice integrácie a integrovanej funkcie. Po integrácii systém nájde primitívny prvok pre danú funkciu, vypočítajte jeho hodnoty v bodoch integračných hraníc, nájdite ich rozdiel, ktorý bude riešením určitého integrálu. Ak chcete vyriešiť neurčitý integrál, musíte použiť podobný online kalkulačka, ktorý sa nachádza na našej stránke na odkaze - Vyriešte neurčitý integrál.

povoľujeme vypočítajte určitý integrál online rýchlo a spoľahlivo. Vždy dostanete správne riešenie. Navyše, pre tabuľkové integrály bude odpoveď prezentovaná v klasickej forme, to znamená vyjadrená prostredníctvom známych konštánt, ako je číslo "pi", "exponent" atď. Všetky výpočty sú úplne zadarmo a nevyžadujú registráciu. Riešením určitého integrálu s nami si ušetríte časovo náročné a zložité výpočty, prípadne riešením integrálu sami budete môcť svoje riešenie skontrolovať.

Riešenie integrálov je ľahká úloha, ale len pre elitu. Tento článok je pre tých, ktorí sa chcú naučiť chápať integrály, ale vedia o nich málo alebo vôbec nič. Integrálna... Prečo je to potrebné? Ako to vypočítať? Čo sú to určité a neurčité integrály?

Ak jediné využitie integrálu, ktoré poznáte, je získať niečo užitočné z ťažko dostupných miest pomocou háčika v tvare integrálnej ikony, potom vitajte! Naučte sa riešiť jednoduché a iné integrály a prečo sa bez toho v matematike nezaobídete.

Študujeme koncept « integrálne »

Integrácia bola známa už v r Staroveký Egypt. Samozrejme nie in moderná forma, ale aj tak. Odvtedy matematici napísali na túto tému veľké množstvo kníh. Zvlášť odlíšené newton A Leibniz ale podstata veci sa nezmenila.

Ako pochopiť integrály od začiatku? V žiadnom prípade! Na pochopenie tejto témy budete stále potrebovať základné znalosti. matematická analýza. Informácie o limitách a deriváciách, ktoré sú potrebné na pochopenie integrálov, už máme na našom blogu.

Neurčitý integrál

Dajme si nejakú funkciu f(x) .

Neurčitý integrál funkcie f(x) takáto funkcia sa nazýva F(x) , ktorého derivácia sa rovná funkcii f(x) .

Inými slovami, integrál je reverzná derivácia alebo primitívna derivácia. Mimochodom, prečítajte si náš článok o tom, ako vypočítať deriváty.

Primitív existuje pre každého spojité funkcie. K primitívnej derivácii sa často pridáva aj konštantné znamienko, pretože deriváty funkcií, ktoré sa líšia konštantou, sa zhodujú. Proces hľadania integrálu sa nazýva integrácia.

Jednoduchý príklad:

Aby sa neustále nepočítali primitívne derivácie elementárnych funkcií, je vhodné ich preniesť do tabuľky a použiť hotové hodnoty.

Kompletná tabuľka integrálov pre študentov

Určitý integrál

Keď sa zaoberáme pojmom integrál, máme do činenia s nekonečne malými veličinami. Integrál pomôže vypočítať plochu obrázku, hmotnosť nehomogénneho telesa, ktoré prešlo nerovnomerný pohyb cesta a ďalšie. Malo by sa pamätať na to, že integrál je súčet nekonečna Vysoké číslo nekonečne malé pojmy.

Ako príklad si predstavte graf nejakej funkcie.

Ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú grafom funkcie? S pomocou integrálu! Rozložme krivočiary lichobežník, ohraničený súradnicovými osami a grafom funkcie, na nekonečne malé segmenty. Obrázok bude teda rozdelený do tenkých stĺpcov. Súčet plôch stĺpcov bude plocha lichobežníka. Pamätajte však, že takýto výpočet poskytne približný výsledok. Čím sú však segmenty menšie a užšie, tým presnejší bude výpočet. Ak ich zmenšíme do takej miery, že dĺžka bude mať tendenciu k nule, potom bude súčet plôch segmentov smerovať k ploche obrázku. Toto je určitý integrál, ktorý je napísaný takto:

Body a a b sa nazývajú hranice integrácie.

« Integrálne »

Mimochodom! Pre našich čitateľov je teraz zľava 10 %. akýkoľvek druh práce

Pravidlá pre výpočet integrálov pre figuríny

Vlastnosti neurčitého integrálu

Ako vyriešiť neurčitý integrál? Tu zvážime vlastnosti neurčitého integrálu, ktoré budú užitočné pri riešení príkladov.

Derivácia integrálu sa rovná integrandu:

Konštantu je možné vybrať pod znakom integrálu:

Integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov. Platí to aj pre rozdiel:

Vlastnosti určitého integrálu

Linearita:

Znamienko integrálu sa zmení, ak sa obrátia hranice integrácie:

O akýkoľvek bodov a, b A s:

Už sme zistili, že určitý integrál je limita súčtu. Ale ako sa dostať špecifický význam pri riešení príkladu? Na tento účel existuje Newtonov-Leibnizov vzorec:

Príklady riešenia integrálov

Nižšie uvažujeme o neurčitom integráli a príkladoch s riešeniami. Ponúkame vám, aby ste nezávisle porozumeli zložitosti riešenia, a ak niečo nie je jasné, položte otázky v komentároch.

Na upevnenie materiálu si pozrite video o tom, ako sa integrály riešia v praxi. Nezúfajte, ak sa integrál neuvedie okamžite. Obráťte sa na profesionálny študentský servis, a akýkoľvek trojitý resp krivočiary integrál na uzavretom povrchu bude vo vašej moci.

Aby ste sa naučili riešiť určité integrály, musíte:

1) byť schopný Nájsť neurčité integrály.

2) byť schopný vypočítať určitý integrál.

Vo všeobecnosti sa určitý integrál píše takto:

Čo bolo pridané v porovnaní s neurčitým integrálom? pridané integračné limity.

Dolná hranica integrácie
Horná hranica integrácieštandardne sa označuje písmenom .
Segment sa nazýva segment integrácie.

Predtým, než prejdeme k praktickým príkladom, trochu sa „vyserte“ na určitý integrál.

Čo je to určitý integrál? Mohol by som vám povedať o priemere delenia úsečky, hranici integrálnych súčtov atď., ale lekcia má praktický charakter. Preto poviem, že určitý integrál je ČÍSLO. Áno, áno, najčastejšie číslo.

Má určitý integrál geometrický význam? Jedzte. A veľmi dobre. Najobľúbenejšia úloha výpočet plochy pomocou určitého integrálu.

Čo znamená vyriešiť určitý integrál? Riešenie určitého integrálu znamená nájsť číslo.

Ako vyriešiť určitý integrál? Pomocou vzorca Newton-Leibniz známeho zo školy:

Vzorec je lepšie prepísať na samostatný papier, mali by ste ho mať na očiach počas celej hodiny.

Kroky na riešenie určitého integrálu sú nasledovné:

1) Najprv nájdeme primitívnu funkciu (neurčitý integrál). Všimnite si, že konštanta v určitom integráli nikdy nepridané. Označenie je čisto technické a zvislá tyč nenesie žiadny matematický význam, v skutočnosti je to len prečiarknutie. Prečo je záznam potrebný? Príprava na aplikáciu Newton-Leibnizovho vzorca.

2) Do priraďovacej funkcie dosadíme hodnotu hornej hranice: .

3) Do priraďovacej funkcie dosadíme hodnotu dolnej hranice: .

4) Vypočítame (bez chýb!) rozdiel, teda nájdeme číslo.

Existuje vždy určitý integrál? Nie vždy.

Napríklad integrál neexistuje, pretože integračný interval nie je zahrnutý v doméne integrandu (hodnoty pod druhou odmocninou nemôžu byť záporné). Tu je menej zrejmý príklad: . Takýto integrál tiež neexistuje, pretože v bodoch segmentu nie je žiadna dotyčnica. Mimochodom, kto ešte nečítal metodický materiál Grafy a základné vlastnosti elementárnych funkcií- Teraz je čas to urobiť. Bude skvelé pomáhať počas celého kurzu vyššej matematiky.

Aby mohol určitý integrál vôbec existovať, je potrebné, aby bol integrand na integračnom intervale spojitý.

???!!!

Nemôžete nahradiť záporné čísla pod koreň!

Ak vám za riešenie (v teste, v teste, skúške) ponúknu neexistujúci integrál like

potom treba dať odpoveď, že integrál neexistuje a zdôvodniť prečo.

Môže sa určitý integrál rovnať zápornému číslu? Možno. A záporné číslo. A nula. Môže sa dokonca ukázať, že je to nekonečno, ale už bude nevlastný integrál , ktorej je venovaná samostatná prednáška.

Môže byť spodná hranica integrácie väčšia ako horná hranica integrácie? Možno takáto situácia v praxi skutočne nastáva.

- integrál sa pokojne vypočíta pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

Bez čoho sa nezaobíde vyššia matematika? Samozrejme, bez všemožných vlastností. Preto uvažujeme o niektorých vlastnostiach určitého integrálu.

V určitom integráli môžete zmeniť usporiadanie hornej a dolnej hranice a zároveň zmeniť znamienko:

Napríklad v určitom integráli pred integráciou je vhodné zmeniť hranice integrácie na „zvyčajné“ poradie:

- v tejto forme je integrácia oveľa pohodlnejšia.

Pokiaľ ide o neurčitý integrál, vlastnosti linearity platia pre určitý integrál:

- to platí nielen pre dve, ale aj pre ľubovoľný počet funkcií.

V určitom integráli je možné vykonať zmena integračnej premennej, ten má však v porovnaní s neurčitým integrálom svoje špecifiká, o ktorých si povieme neskôr.

Pre určitý integrál, vzorec pre integráciu po častiach:

Príklad 1

Riešenie:

(1) Vyberieme konštantu zo znamienka integrálu.

(3) Používame Newtonov-Leibnizov vzorec

Najprv dosadzujeme v hornej hranici, potom v dolnej hranici. Vykonáme ďalšie výpočty a získame konečnú odpoveď.

Príklad 2

Vypočítajte určitý integrál

Toto je príklad na samoriešenie, riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Urobme to trochu ťažšie:

Príklad 3

Vypočítajte určitý integrál

Riešenie:

(1) Používame vlastnosti linearity určitého integrálu.

(2) Integrujeme nad tabuľkou, pričom vyberieme všetky konštanty - nebudú sa podieľať na nahrádzaní hornej a dolnej hranice.

- prvé miesto v hitparáde chýb z nepozornosti, veľmi často píšu automaticky

(najmä keď zámena hornej a dolnej hranice sa vykonáva ústne a nie je tak podrobne podpísaná). Ešte raz si pozorne preštudujte vyššie uvedený príklad.

Tu som verbálne použil pravidlá linearity, ústne integrované nad stolom. Skončil som len s jednou zátvorkou s uvedenými limitmi:

(na rozdiel od troch zátvoriek v prvej metóde). A v "celej" priraďovacej funkcii som najskôr nahradil 4, potom -2, pričom som znova robil všetky akcie v mojej mysli.

Nepochybnými výhodami druhej metódy sú rýchlosť riešenia, kompaktnosť zápisu a skutočnosť, že primitívna

je v jednej zátvorke.