Ako vypočítať určitý integrál. Integrály - čo to je, ako to riešiť, príklady riešení a vysvetlenie pre figuríny. Metóda integrácie po častiach v určitom integráli

Proces riešenia integrálov vo vede nazývaný „matematika“ sa nazýva integrácia. Pomocou integrácie môžete nájsť niektoré fyzikálne veličiny: plochu, objem, hmotnosť telies a oveľa viac.

Integrály sú neurčité a určité. Zvážte tvar určitého integrálu a pokúste sa ho pochopiť fyzický význam. Vyzerá to takto: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Charakteristickým znakom zápisu určitého integrálu od neurčitého je, že existujú hranice integrácie a a b. Teraz zistíme, na čo slúžia a čo znamená určitý integrál. IN geometrický zmysel taký integrál rovná ploche obrazec ohraničený krivkou f(x), priamkami aab a osou Ox.

Z obr. 1 je vidieť, že určitý integrál je tá istá plocha, ktorá je vytieňovaná v šedej farbe. Pozrime sa na to na jednoduchom príklade. Nájdite oblasť obrázku na obrázku nižšie pomocou integrácie a potom ju vypočítajte obvyklým spôsobom vynásobením dĺžky šírkou.

Obrázok 2 ukazuje, že $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Teraz ich dosadíme do definície integrálu, dostaneme, že $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(jednotka)^2 $$ Skontrolujeme obvyklým spôsobom. V našom prípade dĺžka = 3, šírka tvaru = 1. $$ S = \text(dĺžka) \cdot \text(šírka) = 3 \cdot 1 = 3 \text(jednotka)^2 $$ Ako vidíte, všetko dokonale ladilo.

Vzniká otázka: ako riešiť neurčité integrály a aký je ich význam? Riešením takýchto integrálov je nájdenie primitívnych funkcií. Tento proces je opakom hľadania derivátu. Aby ste našli primitívnu deriváciu, môžete využiť našu pomoc pri riešení úloh z matematiky, alebo si musíte sami presne zapamätať vlastnosti integrálov a integračnú tabuľku najjednoduchších elementárnych funkcií. Hľadanie vyzerá takto $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(kde) F(x) $ je primitívnym derivátom $ f(x), C = const $.

Na vyriešenie integrálu je potrebné integrovať funkciu $ f(x) $ vzhľadom na premennú. Ak je funkcia tabuľková, potom je odpoveď napísaná v príslušnom tvare. Ak nie, potom sa proces zredukuje na získanie tabuľkovej funkcie z funkcie $ f(x) $ pomocou zložitých matematických transformácií. Na to existujú rôzne metódy a vlastnosti, o ktorých budeme diskutovať nižšie.

Takže teraz urobme algoritmus, ako vyriešiť integrály pre figuríny?

Algoritmus na výpočet integrálov

1. Zistite určitý integrál alebo nie.
2. Ak nie je definované, potom nájdite primitívna funkcia$ F(x) $ z integrandu $ f(x) $ pomocou matematických transformácií, ktorých výsledkom je tabuľkový tvar funkcie $ f(x) $.
3. Ak je definovaný, potom sa musí vykonať krok 2 a potom nahradiť limity $a$ a $b$ do primitívnej funkcie $F(x)$. Podľa akého vzorca to urobiť, sa dozviete v článku "Formula Newtona Leibniza".

Príklady riešení

Takže ste sa naučili, ako riešiť integrály pre figuríny, príklady riešenia integrálov boli roztriedené na poličkách. Naučili sa ich fyzikálny a geometrický význam. Metódy riešenia budú diskutované v iných článkoch.

Ak sú učebnicové definície príliš komplikované a nezrozumiteľné, prečítajte si náš článok. Pokúsime sa čo najjednoduchšie vysvetliť „na prstoch“ hlavné body takej časti matematiky, ako sú určité integrály. Ako vypočítať integrál, prečítajte si tento návod.

Samozrejme, tu sa berú do úvahy iba najjednoduchšie verzie integrálov - v skutočnosti existuje veľa druhov integrálov, ktoré sa študujú v kurze vyššia matematika, matematická analýza A diferenciálne rovnice na vysokých školách pre študentov technických odborov.

Riešenie integrálov je ľahká úloha, ale len pre elitu. Tento článok je pre tých, ktorí sa chcú naučiť chápať integrály, ale vedia o nich málo alebo vôbec nič. Integrálna... Prečo je to potrebné? Ako to vypočítať? Čo je definované a neurčitý integrál s?

Ak jediné využitie integrálu, ktoré poznáte, je získať niečo užitočné z ťažko dostupných miest pomocou háčika v tvare integrálnej ikony, potom vitajte! Naučte sa riešiť jednoduché a iné integrály a prečo sa bez toho v matematike nezaobídete.

Študujeme koncept « integrálne »

Integrácia bola známa už v r Staroveký Egypt. Samozrejme nie in moderná forma, ale aj tak. Odvtedy matematici napísali na túto tému veľké množstvo kníh. Zvlášť odlíšené newton A Leibniz ale podstata veci sa nezmenila.

Ako pochopiť integrály od začiatku? V žiadnom prípade! Na pochopenie tejto témy budete stále potrebovať základné znalosti základov matematickej analýzy. Informácie o limitách a deriváciách, ktoré sú potrebné na pochopenie integrálov, už máme na našom blogu.

Neurčitý integrál

Dajme si nejakú funkciu f(x) .

Neurčitý integrál funkcie f(x) takáto funkcia sa nazýva F(x) , ktorého derivácia sa rovná funkcii f(x) .

Inými slovami, integrál je reverzná derivácia alebo primitívna derivácia. Mimochodom, prečítajte si náš článok o tom, ako vypočítať deriváty.

Primitív existuje pre každého spojité funkcie. K primitívnej derivácii sa často pridáva aj konštantné znamienko, pretože deriváty funkcií, ktoré sa líšia konštantou, sa zhodujú. Proces hľadania integrálu sa nazýva integrácia.

Jednoduchý príklad:

Aby sme neustále nepočítali primitívne derivácie elementárnych funkcií, je vhodné ich preniesť do tabuľky a použiť hotové hodnoty.

Kompletná tabuľka integrálov pre študentov

Určitý integrál

Keď sa zaoberáme pojmom integrál, máme do činenia s nekonečne malými veličinami. Integrál pomôže vypočítať plochu obrázku, hmotnosť nehomogénneho telesa, ktoré prešlo nerovnomerný pohyb cesta a ďalšie. Malo by sa pamätať na to, že integrál je súčet nekonečna Vysoké číslo nekonečne malé pojmy.

Ako príklad si predstavte graf nejakej funkcie.

Ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú grafom funkcie? S pomocou integrálu! Rozložme krivočiary lichobežník, ohraničený súradnicovými osami a grafom funkcie, na nekonečne malé segmenty. Obrázok bude teda rozdelený do tenkých stĺpcov. Súčet plôch stĺpcov bude plocha lichobežníka. Pamätajte však, že takýto výpočet poskytne približný výsledok. Čím sú však segmenty menšie a užšie, tým presnejší bude výpočet. Ak ich znížime do takej miery, že dĺžka bude mať tendenciu k nule, potom súčet plôch segmentov bude mať tendenciu k ploche obrázku. Toto je určitý integrál, ktorý je napísaný takto:

Body a a b sa nazývajú hranice integrácie.

« Integrálne »

Mimochodom! Pre našich čitateľov je teraz zľava 10 %. akýkoľvek druh práce

Pravidlá pre výpočet integrálov pre figuríny

Vlastnosti neurčitého integrálu

Ako vyriešiť neurčitý integrál? Tu zvážime vlastnosti neurčitého integrálu, ktoré budú užitočné pri riešení príkladov.

• Derivácia integrálu je integrand:

• Konštantu je možné vybrať pod znakom integrálu:

• Integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov. Platí to aj pre rozdiel:

Vlastnosti určitého integrálu

• Linearita:

• Znamienko integrálu sa zmení, ak sa obrátia hranice integrácie:

• O akýkoľvek bodov a, b A s:

Už sme zistili, že určitý integrál je limita súčtu. Ale ako sa dostať špecifický význam pri riešení príkladu? Na tento účel existuje Newtonov-Leibnizov vzorec:

Príklady riešenia integrálov

Nižšie uvažujeme o neurčitom integráli a príkladoch s riešeniami. Ponúkame vám, aby ste nezávisle porozumeli zložitosti riešenia, a ak niečo nie je jasné, položte otázky v komentároch.

Na upevnenie materiálu si pozrite video o tom, ako sa integrály riešia v praxi. Nezúfajte, ak sa integrál neuvedie okamžite. Obráťte sa na profesionálny študentský servis, a akýkoľvek trojitý resp krivočiary integrál na uzavretom povrchu bude vo vašej moci.

>> >> >> Integračné metódy

Základné metódy integrácie

Definícia integrálu, určitý a neurčitý, tabuľka integrálov, Newton-Leibnizov vzorec, integrácia po častiach, príklady na výpočet integrálov.

Neurčitý integrál

Nech u = f(x) av = g(x) sú funkcie so spojitým . Potom, podľa prác,

d(uv))= udv + vdu alebo udv = d(uv) - vdu.

Pre výraz d(uv) bude priradená očividne uv, takže vzorec platí:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Tento vzorec vyjadruje pravidlo integrácia po častiach. Prináša integráciu výrazu udv=uv"dx do integrácie výrazu vdu=vu"dx.

Nech je napríklad potrebné nájsť ∫xcosx dx. Nech u = x, dv = cosxdx, teda du=dx, v=sinx. Potom

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Pravidlo integrácie po častiach má obmedzenejší rozsah ako zmena premennej. Existujú však celé triedy integrálov, napríklad ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax a ďalšie, ktoré sa počítajú pomocou integrácie po častiach.

Určitý integrál

Integračné metódy, zavádza sa pojem určitého integrálu nasledujúcim spôsobom. Nech je funkcia f(x) definovaná na intervale. Rozdeľme segment [ a,b] na n častí bodmi a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Súčet tvaru f(ξ i)Δ x i sa nazýva integrálny súčet a jeho limita pri λ = maxΔx i → 0, ak existuje a je konečná, sa nazýva určitý integrál funkcie f(x) od a do b a označuje sa:

F(ξi)Axi (8,5).

Funkcia f(x) sa v tomto prípade volá integrovateľné do segmentu, volajú sa čísla a a b dolná a horná hranica integrálu.

Integračné metódy majú nasledujúce vlastnosti:

Posledná vlastnosť je tzv teorém o strednej hodnote.

Nech f(x) je spojité na . Potom na tomto segmente existuje neurčitý integrál

∫f(x)dx = F(x) + C

a koná sa Newtonov-Leibnizov vzorec, ktorý spája určitý integrál s neurčitým:

F(b) - F(a). (8,6)

Geometrická interpretácia: predstavuje oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného zhora krivkou y=f(x), priamkami x = a a x = b a segmentom osi Ox.

Nesprávne integrály

Integrály s nekonečnými limitami a integrály nespojitých (neohraničených) funkcií sa nazývajú nevlastné. Nesprávne integrály prvého druhu - toto sú integrály v nekonečnom intervale, definované takto:

(8.7)

Ak táto limita existuje a je konečná, potom sa nazýva konvergentný nevlastný integrál f(x) na intervale [а,+ ∞ a funkcia f(x) sa nazýva integrovateľná na nekonečnom intervale [а,+ ∞ ). V opačnom prípade sa hovorí, že integrál neexistuje alebo diverguje.

Nevlastné integrály na intervaloch (-∞,b] a (-∞, + ∞) sú definované podobne:

Definujme pojem integrálu neobmedzenej funkcie. Ak je f(x) spojité pre všetky hodnoty x segmentu okrem c, kde f(x) má nekonečnú diskontinuitu, potom nevlastný integrál druhého druhu f(x) v rozsahu od a do b nazývaná suma:

ak tieto limity existujú a sú konečné. Označenie:

Príklady výpočtu integrálov

Príklad 3.30. Vypočítajte ∫dx/(x+2).

Riešenie. Označme t = x+2, potom dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Príklad 3.31. Nájdite ∫ tgxdx.

Riešenie.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Nech t=cosx, potom ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Príklad3.33. Nájsť .

Riešenie. =

.

Príklad3.34 . Nájdite ∫arctgxdx.

Riešenie. Integrujeme po častiach. Označte u=arctgx, dv=dx. Potom du = dx/(x 2 +1), v=x, odkiaľ ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; pretože
∫xdx/(x2+1) = 1/2 ∫d(x2+1)/(x2+1) = 1/2 ln(x2+1) +C.

Príklad3.35 . Vypočítajte ∫lnxdx.

Riešenie. Použitím vzorca integrácie po častiach dostaneme:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Potom ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.

Príklad3.36 . Vypočítajte ∫e x sinxdx.

Riešenie. Aplikujeme vzorec na integráciu po častiach. Označme u = e x, dv = sinxdx, potom du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx je tiež integrovateľné po častiach: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Máme:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dostali sme vzťah ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, odkiaľ 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Príklad 3.37. Vypočítajte J = ∫cos(lnx)dx/x.

Riešenie: Keďže dx/x = dlnx, potom J= ∫cos(lnx)d(lnx). Nahradením lnx cez t sa dostaneme k tabuľkovému integrálu J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Príklad 3.38 . Vypočítajte J =.

Riešenie. Berúc do úvahy, že = d(lnx), vykonáme substitúciu lnx = t. Potom J = .

Príklad 3.39 . Vypočítajte J = .

Riešenie. Máme: . Preto =

Na čo sú integrály? Skúste si na túto otázku odpovedať sami.

Pri vysvetľovaní témy integrálov učitelia uvádzajú oblasti použitia, ktoré sú pre školy málo užitočné. Medzi nimi:

• výpočet plochy postavy.
• výpočet telesnej hmotnosti s nerovnomernou hustotou.
• určenie prejdenej vzdialenosti pri pohybe premenlivou rýchlosťou.
• atď.

Nie vždy je možné všetky tieto procesy prepojiť, takže mnohí študenti sú zmätení, aj keď majú všetky základné vedomosti na pochopenie integrálu.

Hlavný dôvod nevedomosti– nepochopenie praktického významu integrálov.

Integrál - čo to je?

Predpoklady. Potreba integrácie vznikla v starovekom Grécku. V tom čase začal Archimedes na nájdenie oblasti kruhu používať metódy v podstate podobné modernému integrálnemu počtu. Hlavným prístupom k určovaniu oblasti nerovnomerných čísel bola „metóda vyčerpania“, ktorá je celkom ľahko pochopiteľná.

Podstata metódy. Do tohto obrázku je vpísaná monotónna postupnosť ďalších útvarov a potom je vypočítaná hranica postupnosti ich plôch. Tento limit bol braný ako plocha daného čísla.

V tejto metóde sa dá ľahko vysledovať myšlienka integrálneho počtu, ktorým je nájsť limit nekonečného súčtu. Neskôr túto myšlienku aplikovali vedci na riešenie aplikované úlohy astronautika, ekonómia, mechanika atď.

Moderný integrál. Klasickú teóriu integrácie vo všeobecnosti sformulovali Newton a Leibniz. Opieralo sa o vtedy existujúce zákony diferenciálneho počtu. Aby ste to pochopili, musíte mať nejaké základné znalosti, ktoré vám pomôžu opísať vizuálne a intuitívne predstavy o integráloch v matematickom jazyku.

Vysvetlite pojem „integrálny“

Proces hľadania derivátu je tzv diferenciácie a nájdenie primitívneho derivátu - integrácia.

Integrálne matematický jazyk je primitívna derivácia funkcie (čo bolo pred deriváciou) + konštanta „C“.

Integrálne jednoduchými slovami je oblasť zakrivenej postavy. Neurčitý integrál je celá plocha. Určitý integrál je plocha v danej oblasti.

Integrál je napísaný takto:

Každý integrand je vynásobený komponentom "dx". Ukazuje, ktorá premenná sa integruje. "dx" je prírastok argumentu. Namiesto X môže byť akýkoľvek iný argument, napríklad t (čas).

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál nemá hranice integrácie.

Na riešenie neurčitých integrálov stačí nájsť primitívnu deriváciu integrandu a pridať k nej „C“.

Určitý integrál

IN určitý integrál na znak integrácie napíšte obmedzenia "a" a "b". Sú vyznačené na osi x v nižšie uvedenom grafe.

Ak chcete vypočítať určitý integrál, musíte nájsť primitívny prvok, nahradiť do neho hodnoty „a“ ​​a „b“ a nájsť rozdiel. V matematike sa tomu hovorí Newtonov-Leibnizov vzorec:

Tabuľka integrálov pre študentov (základné vzorce)

Stiahnite si vzorce integrálov, stále sa vám budú hodiť

Ako správne vypočítať integrál

Existuje niekoľko jednoduchých operácií na transformáciu integrálov. Tu sú tie hlavné:

Odstránenie konštanty spod znamienka integrálu

Rozklad súčtu integrálu na súčet integrálov

Ak vymeníte a a b, znamienko sa zmení

Integrál môžete rozdeliť na intervaly nasledovne

Toto sú najjednoduchšie vlastnosti, na základe ktorých sa neskôr formulujú zložitejšie vety a metódy počtu.

Príklady výpočtu integrálov

Riešenie neurčitého integrálu

Riešenie určitého integrálu

Základné pojmy pre pochopenie témy

Aby ste pochopili podstatu integrácie a nezatvárali stránku pred nedorozumením, vysvetlíme si niekoľko základných pojmov. Čo je funkcia, derivácia, limita a primitívna derivácia.

Funkcia- pravidlo, podľa ktorého všetky prvky z jednej množiny súvisia so všetkými prvkami z inej množiny.

Derivát je funkcia, ktorá popisuje rýchlosť zmeny inej funkcie v každom konkrétnom bode. Presne povedané, toto je hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu. Počíta sa ručne, ale jednoduchšie je použiť tabuľku derivátov, ktorá obsahuje väčšinu štandardných funkcií.

Prírastok- kvantitatívna zmena funkcie s určitou zmenou argumentu.

Limit- hodnota, ku ktorej smeruje hodnota funkcie, keď argument smeruje k určitej hodnote.

Príklad limity: povedzme, že pre X rovné 1 sa Y bude rovnať 2. Čo ak sa však X nerovná 1, ale smeruje k 1, to znamená, že ju nikdy nedosiahne? V tomto prípade y nikdy nedosiahne 2, ale bude smerovať iba k tejto hodnote. V matematickom jazyku sa to píše takto: limY (X), pričom X –> 1 = 2. Číta sa: limita funkcie Y (X), pričom x smeruje k 1, je 2.

Ako už bolo spomenuté, derivácia je funkcia, ktorá popisuje inú funkciu. Pôvodná funkcia môže byť odvodená z nejakej inej funkcie. Táto ďalšia funkcia sa nazýva primitívny.

Záver

Nie je ťažké nájsť integrály. Ak nerozumiete, ako na to, . Od druhého razu je to už jasnejšie. Pamätajte! Riešenie integrálov je redukované na jednoduché transformácie integrandu a jeho hľadanie v .

Ak vám textové vysvetlenie nefunguje, pozrite si video o význame integrálu a derivácie:

Integrály - čo to je, ako to riešiť, príklady riešení a vysvetlenie pre figuríny aktualizované: 22. novembra 2019 používateľom: Vedecké články.Ru