Krivkové integrály pre figuríny. Krivkový integrál prvého druhu (po dĺžke oblúka). Krivka je uvedená v karteziánskych pravouhlých súradniciach

Stolička" vyššia matematika»

Krivkové integrály

Smernice

Volgograd

MDT 517 373 (075)

Recenzent:

Docent Katedry aplikovanej matematiky N.I. Koltsová

Vydáva sa rozhodnutím redakčnej a vydavateľskej rady

Štátna technická univerzita vo Volgograde

Krivkové integrály: metóda. návod / komp. M.I.Andreeva,

O.E. Grigoriev; VolgGTU. - Volgograd, 2011. - 26 s.

Metodické pokyny sú návodom na realizáciu jednotlivých úloh na tému „Krivočiare integrály a ich aplikácie do teórie poľa“.

Prvá časť usmernenia obsahuje potrebný teoretický materiál na realizáciu jednotlivých úloh.

V druhej časti sú zvažované príklady realizácie všetkých typov úloh obsiahnutých v jednotlivých úlohách na danú tému, čo prispieva k lepšej organizácii. samostatná prácaštudentov a úspešné zvládnutie témy.

Metodické pokyny sú určené pre študentov prvého a druhého kurzu.

© Volgogradský štát

Technická univerzita, 2011

1. KRIVOVÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

Definícia krivočiareho integrálu 1. druhu

Nechajte È AB– oblúk rovinnej alebo priestorovej po častiach hladkej krivky L, f(P) - uvedené na tomto oblúku nepretržitá funkcia, A 0 = A, A 1 , A 2 , …, A n – 1 , A n = B AB A Pi sú ľubovoľné body na čiastkových oblúkoch È A i – 1 A i, ktorého dĺžky D l i (i = 1, 2, …, n

pri n® ¥ a max. D l i® 0, čo nezávisí od toho, ako oblúk È AB bodky A i, ani z výberu bodov Pi na čiastkových oblúkoch È A i – 1 A i (i = 1, 2, …, n). Táto limita sa nazýva krivočiary integrál prvého druhu funkcie f(P) pozdĺž krivky L a označené

Výpočet krivočiareho integrálu 1. druhu

Výpočet krivočiareho integrálu 1. druhu možno zredukovať na výpočet určitého integrálu pre rôzne cesty nastavenie integračnej krivky.

Ak je oblúk È AB rovinná krivka je daná parametricky rovnicami kde X(t) A r(t t, a X(t 1) = x A, X(t 2) = x B, To

Kde - rozdiel dĺžky oblúka krivky.

Podobný vzorec prebieha aj v prípade parametrickej špecifikácie priestorovej krivky L. Ak je oblúk È AB nepoctivý L dané rovnicami , a X(t), r(t), z(t) sú plynule diferencovateľné funkcie parametra t, To

kde je rozdiel dĺžky oblúka krivky.

V Kartézske súradnice

Ak je oblúk È AB plochá krivka L daný rovnicou Kde r(X

a vzorec na výpočet krivočiareho integrálu je:

Pri zadávaní oblúka È AB plochá krivka L ako X= X(r), r Î [ r 1 ; r 2 ],
Kde X(r) je plynule diferencovateľná funkcia,

A krivočiary integrál vypočítané podľa vzorca

(1.4)

Určenie integračnej krivky s polárnou rovnicou

Ak plochá krivka L daný rovnicou v polárny systém súradnice r = r(j), j О , kde r(j) je teda plynule diferencovateľná funkcia

A

(1.5)

Aplikácie krivočiareho integrálu 1. druhu

Pomocou krivočiareho integrálu 1. druhu sa vypočítajú: dĺžka oblúka krivky, plocha časti valcovej plochy, hmotnosť, statické momenty, momenty zotrvačnosti a súradnice ťažiska krivky materiálu s danou lineárnou hustotou.

1. Dĺžka l plochá alebo priestorová krivka L sa nachádza podľa vzorca

2. Plocha časti valcovej plochy s rovnobežnou osou oz tvoriaca čiara a nachádza sa v rovine XOY sprievodca L uzavretý medzi rovinou XOY a povrch daný rovnicou z = f(X; r) (f(P) ³ 0 za P Î L), rovná sa

(1.7)

3. Hmotnosť m materiálová krivka L s lineárnou hustotou m( P) sa určuje podľa vzorca

(1.8)

4. Statické momenty okolo osí Vôl A Oj a súradnice ťažiska rovinnej materiálovej krivky L s lineárnou hustotou m( X; r) sa rovnajú:

(1.9)

5. Statické momenty vzhľadom na roviny Oxy, Oxz, Oyz a súradnice ťažiska priestorovej materiálovej krivky s lineárnou hustotou m( X; r; z) sa určujú podľa vzorcov:

(1.11)

6. Pre plochú krivku materiálu L s lineárnou hustotou m( X; r) momenty zotrvačnosti okolo osí Vôl, Oj a počiatok súradníc sú:

(1.13)

7. Momenty zotrvačnosti priestorovej materiálovej krivky L s lineárnou hustotou m( X; r; z) vzhľadom na súradnicové roviny sa vypočítajú podľa vzorcov

(1.14)

a momenty zotrvačnosti okolo súradnicových osí sú:

(1.15)

2. KRIVOVÝ INTEGRÁL 2. DRUHU

Definícia krivočiareho integrálu 2. druhu

Nechajte È AB je oblúk po častiach hladkej orientovanej krivky L, = (a x(P); a y(P); a z(P)) je spojitý vektorová funkcia, A 0 = A, A 1 , A 2 , …, A n – 1 , A n = B– ľubovoľné štiepanie oblúka AB A Pi sú ľubovoľné body na čiastočných oblúkoch A i – 1 A i. Nech je vektor so súradnicami D x i, D y i, D z i(i = 1, 2, …, n) a je skalárnym súčinom vektorov a ( i = 1, 2, …, n). Potom existuje limit postupnosti integrálnych súčtov

pri n® ¥ a max ÷ ç ® 0, čo nezávisí od toho, ako je oblúk rozdelený AB bodky A i, ani z výberu bodov Pi na čiastkových oblúkoch È A i – 1 A i
(i = 1, 2, …, n). Táto limita sa nazýva krivočiary integrál 2. druhu funkcie ( P) pozdĺž krivky L a označené

V prípade, keď je vektorová funkcia daná na rovinnej krivke L, podobne máme:

Keď sa zmení smer integrácie, krivočiary integrál 2. druhu zmení znamienko.

Krivočiare integrály prvého a druhého druhu sú spojené vzťahom

(2.2)

kde je jednotkový vektor dotyčnice k orientovanej krivke.

Pomocou krivočiareho integrálu 2. druhu môžete vypočítať prácu sily pri pohybe hmotný bod pozdĺž oblúka krivky L:

Pozitívny smer okolo uzavretej krivky S, ohraničujúce jednoducho spojený región G, uvažuje sa proti smeru hodinových ručičiek.

Krivkový integrál 2. druhu nad uzavretou krivkou S sa nazýva obeh a označuje sa

(2.4)

Výpočet krivočiareho integrálu 2. druhu

Výpočet krivočiareho integrálu 2. druhu sa redukuje na výpočet určitého integrálu.

Parametrická špecifikácia integračnej krivky

Ak È AB orientovaná rovinná krivka je daná parametricky rovnicami , kde X(t) A r(t) sú plynule diferencovateľné funkcie parametra t, a potom

Podobný vzorec prebieha aj v prípade parametrickej špecifikácie priestorovo orientovanej krivky L. Ak je oblúk È AB nepoctivý L dané rovnicami , a sú plynule diferencovateľné funkcie parametra t, To

Explicitná špecifikácia plochej integračnej krivky

Ak je oblúk È AB L je daný v karteziánskych súradniciach rovnicou kde r(X) je teda plynule diferencovateľná funkcia

(2.7)

Pri zadávaní oblúka È AB plocho orientovaná krivka L ako
X= X(r), r Î [ r 1 ; r 2], kde X(r) je plynule diferencovateľná funkcia, vzorec

(2.8)

Nechajte funkcie sú spojité spolu s ich derivátmi

v rovinatom uzavretom priestore G, ohraničený po častiach hladkou uzavretou samodisjunktnou pozitívne orientovanou krivkou S+ . Potom Greenov vzorec platí:

Nechaj G je povrchovo jednoducho spojená oblasť a

= (a x(P); a y(P); a z(P))

je vektorové pole špecifikované v tejto oblasti. Lúka ( P) sa nazýva potenciál, ak takáto funkcia existuje U(P), Čo

(P) = grad U(P),

Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre potenciál vektorového poľa ( P) vyzerá ako:

hniť ( P) = , kde (2,10)

(2.11)

Ak je vektorové pole potenciálne, potom krivočiary integrál 2. druhu nezávisí od integračnej krivky, ale závisí len od súradníc začiatku a konca oblúka. M 0 M. Potenciál U(M) vektorového poľa je určený až do konštantného člena a nachádza sa podľa vzorca

(2.12)

Kde M 0 M je ľubovoľná krivka spájajúca pevný bod M 0 a variabilný bod M. Pre zjednodušenie výpočtov je možné ako integračnú cestu zvoliť prerušovanú čiaru M 0 M 1 M 2 M s prepojeniami rovnobežnými so súradnicovými osami, napríklad:

3. príklady úloh

Cvičenie 1

Vypočítajte krivočiary integrál prvého druhu

kde L je oblúk krivky , 0 ≤ X ≤ 1.

Riešenie. Podľa vzorca (1.3) redukcia krivočiareho integrálu prvého druhu na určitý integrál v prípade hladkej roviny explicitne danej krivky:

Kde r = r(X), X 0 ≤ X ≤ X 1 - oblúková rovnica L integračná krivka. V tomto príklade Nájdeme deriváciu tejto funkcie

a diferenciál dĺžky oblúka krivky L

potom dosadením do tohto výrazu namiesto r, dostaneme

Transformujeme krivočiary integrál na určitý:

Tento integrál vypočítame pomocou substitúcie . Potom
t 2 = 1 + X, X = t 2 – 1, dx = 2t dt; pri x= 0 t= 1; A X= 1 zápas. Po transformáciách dostaneme

Úloha 2

Vypočítajte krivočiary integrál 1. druhu v oblúku L nepoctivý L:X= čo 3 t, r= hriech 3 t, .

Riešenie. Pretože L je oblúk hladkej rovinnej krivky zadaný v parametrickom tvare, potom použijeme vzorec (1.1) na redukciu krivočiareho integrálu 1. druhu na určitý:

.

V tomto príklade

Nájdite diferenciál dĺžky oblúka

Nájdené výrazy dosadíme do vzorca (1.1) a vypočítame:

Úloha 3

Nájdite hmotnosť oblúka priamky L s lineárnou rovinou m.

Riešenie. Hmotnosť m oblúky L s hustotou m( P) sa vypočíta podľa vzorca (1.8)

Ide o krivočiary integrál 1. druhu nad parametricky daným hladkým oblúkom krivky v priestore, preto sa vypočíta podľa vzorca (1.2) redukcie krivočiareho integrálu 1. druhu na určitý integrál:

Poďme nájsť deriváty

a diferenciál dĺžky oblúka

Vo vzorci pre hmotnosť nahradíme tieto výrazy:

Úloha 4

Príklad 1 Vypočítajte krivočiary integrál 2. druhu

v oblúku L krivka 4 X + r 2 = 4 z bodu A(1; 0) do bodky B(0; 2).

Riešenie. plochý oblúk L nastaviť implicitne. Na výpočet integrálu je vhodnejšie vyjadriť X cez r:

a nájdite integrál podľa vzorca (2.8) transformácie krivočiareho integrálu 2. druhu na určitý integrál vzhľadom na premennú r:

Kde a x(X; r) = xy – 1, a y(X; r) = xy 2 .

Berúc do úvahy nastavenie krivky

Podľa vzorca (2.8) dostaneme

Príklad 2. Vypočítajte krivočiary integrál 2. druhu

Kde L- prerušovaná čiara ABC, A(1; 2), B(3; 2), C(2; 1).

Riešenie. Aditívnou vlastnosťou krivočiareho integrálu

Každý z integrálnych členov sa vypočíta podľa vzorca (2.7)

Kde a x(X; r) = X 2 + r, a y(X; r) = –3xy.

Rovnica úsečky AB: r = 2, r¢ = 0, X 1 = 1, X 2 = 3. Dosadením týchto výrazov do vzorca (2.7) dostaneme:

Na výpočet integrálu

napíšte rovnicu priamky BC podľa vzorca

Kde x B, y B, x C, y C– súradnice bodu B A S. Dostaneme

r – 2 = X – 3, r = X – 1, r¢ = 1.

Získané výrazy dosadíme do vzorca (2.7):

Úloha 5

Vypočítajte krivočiary integrál 2. druhu cez oblúk L

0 ≤ t ≤ 1.

Riešenie. Keďže integračná krivka je daná parametricky rovnicami x = x(t), y=y(t), t Î [ t 1 ; t 2], kde X(t) A r(t) sú plynule diferencovateľné funkcie t pri t Î [ t 1 ; t 2], potom na výpočet krivočiareho integrálu druhého druhu použijeme vzorec (2.5) na zníženie krivočiareho integrálu na ten, ktorý je definovaný pre rovinnú parametricky danú krivku.

V tomto príklade a x(X; r) = r; a y(X; r) = –2X.

Berúc do úvahy nastavenie krivky L dostaneme:

Nájdené výrazy dosadíme do vzorca (2.5) a vypočítame určitý integrál:

Úloha 6

Príklad 1 C + Kde S : r 2 = 2X, r = X – 4.

Riešenie. Označenie C+ označuje, že obrys sa prechádza v kladnom smere, teda proti smeru hodinových ručičiek.

Overme si, že na vyriešenie problému možno použiť Greenov vzorec (2.9).

Keďže funkcie a x (X; r) = 2r – X 2 ; a y (X; r) = 3X + r a ich parciálne deriváty súvislý v plochom uzavretom regióne G, ohraničený obrysom C, potom je použiteľný Greenov vzorec.

Ak chcete vypočítať dvojitý integrál, nakreslite plochu G, ktorý predtým určil priesečníky oblúkov kriviek r 2 = 2X A
r = X- 4 tvoriaci obrys C.

Priesečníky nájdeme riešením sústavy rovníc:

Druhá rovnica systému je ekvivalentná rovnici X 2 – 10X+ 16 = 0, odkiaľ X 1 = 2, X 2 = 8, r 1 = –2, r 2 = 4.

Takže priesečníky kriviek: A(2; –2), B(8; 4).

Od oblasti G– správne v smere osi Vôl, potom, aby sme znížili dvojitý integrál na opakovaný, navrhneme doménu G na nápravu OY a použite vzorec

.

Pretože a = –2, b = 4, X 2 (r) = 4+r, To

Príklad 2 Vypočítajte krivočiary integrál 2. druhu nad uzavretým obrysom Kde S- obrys trojuholníka s vrcholmi A(0; 0), B(1; 2), C(3; 1).

Riešenie. Zápis znamená, že obrys trojuholníka sa prechádza v smere hodinových ručičiek. V prípade, že krivočiary integrál je braný pozdĺž uzavretého obrysu, Greenov vzorec má formu

Nakreslite oblasť G ohraničený daným obrysom.

Funkcie a parciálne deriváty a v regióne nepretržite G, takže je možné použiť Greenov vzorec. Potom

región G nie je správny v smere žiadnej z osí. Nakreslite úsečku X= 1 a predstavte si G ako G = G 1 È G 2, kde G 1 a G 2 oblasti správne v smere osi Oj.

Potom

Znížiť každý z dvojitých integrálov G 1 a G 2 na opätovné použitie použijeme vzorec

Kde [ a; b] – plošná projekcia D na nápravu Vôl,

r = r 1 (X) je rovnica dolnej ohraničujúcej krivky,

r = r 2 (X) je rovnica hornej ohraničujúcej krivky.

Napíšme rovnice pre hranice regiónu G 1 a nájsť

AB: r = 2X, 0 ≤ X ≤ 1; AD: , 0 ≤ X ≤ 1.

Zostavte rovnicu hranice BC oblasti G 2 pomocou vzorca

BC: kde 1 ≤ X ≤ 3.

DC: 1 ≤ X ≤ 3.

Úloha 7

Príklad 1 Nájdite si pracovnú silu L: r = X 3 z bodu M(0; 0) do bodu N(1; 1).

Riešenie. Práca premenlivej sily pri pohybe hmotného bodu po oblúku krivky L je určená vzorcom (2.3) (ako krivočiary integrál druhého druhu funkcie pozdĺž krivky L) .

Pretože vektorová funkcia je daná rovnicou a oblúk rovinne orientovanej krivky je explicitne definovaný rovnicou r = r(X), X Î [ X 1 ; X 2], kde r(X) je plynule diferencovateľná funkcia, potom podľa vzorca (2.7)

V tomto príklade r = X 3 , , X 1 = x M = 0, X 2 = x N= 1. Preto

Príklad 2. Nájdite si pracovnú silu pri pohybe hmotného bodu po priamke L: X 2 + r 2 = 4 z bodu M(0; 2) do bodu N(–2; 0).

Riešenie. Pomocou vzorca (2.3) dostaneme

.

V tomto príklade oblúk krivky L(È MN) je štvrtina kruhu daného kanonickou rovnicou X 2 + r 2 = 4.

Na výpočet krivočiareho integrálu druhého druhu je vhodnejšie prejsť na parametrickú špecifikáciu kruhu: X = R cos t, r = R hriech t a použite vzorec (2.5)

Pretože X= 2 cos t, r= 2 hriechy t, , , dostaneme

Úloha 8

Príklad 1. Vypočítajte cirkulačný modul vektorového poľa pozdĺž obrysu G:

Riešenie. Na výpočet cirkulácie vektorového poľa pozdĺž uzavretého obrysu G používame vzorec (2.4)

Keďže je dané priestorové vektorové pole a priestorový uzavretý obrys G, potom prechodom z vektorového tvaru zápisu krivočiareho integrálu do súradnicového tvaru dostaneme

Krivka G je definovaný ako priesečník dvoch plôch: hyperbolický paraboloid z=x 2 – r 2 + 2 a valec X 2 + r 2 = 1. Na výpočet krivočiareho integrálu je vhodné prejsť na parametrické rovnice krivky G.

Rovnicu valcového povrchu možno zapísať ako:
X= cos t, r= hriech t, z = z. Výraz pre z v parametrických rovniciach sa krivka získa dosadením X= cos t, r= hriech t do rovnice hyperbolického paraboloidu z= 2 + cos2 t- hriech 2 t= 2 + cos2 t. takže, G: X= cos t,
r= hriech t, z= 2 + cos2 t, 0 ≤ t≤ 2p.

Keďže sú zahrnuté v parametrické rovnice nepoctivý G funkcie
X(t) = cos t, r(t) = hriech t, z(t) = 2 + cos 2 t sú plynule diferencovateľné funkcie parametra t pri tн , potom nájdeme krivočiary integrál podľa vzorca (2.6)

Pre prípad, keď je oblasť integrácie segmentom nejakej krivky ležiacej v rovine. Všeobecný zápis krivočiareho integrálu je nasledujúci:

Kde f(X, r) je funkciou dvoch premenných a L- krivka, podľa segmentu AB v ktorom sa integrácia uskutočňuje. Ak sa integrand rovná jednote, potom krivočiary integrál rovná dĺžke oblúky AB .

Ako vždy v integrálnom počte, krivočiary integrál sa chápe ako limit integrálnych súčtov niektorých veľmi malých častí niečoho veľmi veľkého. Čo je zhrnuté v prípade krivočiarych integrálov?

Nech je na rovine segment AB nejaká krivka L a funkcie dvoch premenných f(X, r) definované v bodoch krivky L. S týmto segmentom krivky vykonajte nasledujúci algoritmus.

1. Delená krivka AB na časti s bodkami (obrázky nižšie).
2. V každej časti si voľne vyberte bod M.
3. Nájdite hodnotu funkcie vo vybraných bodoch.
4. Vynásobte funkčné hodnoty podľa
   • dĺžka dielov v prípade krivočiary integrál prvého druhu ;
   • priemety dielov na súradnicovú os v prípade krivočiary integrál druhého druhu .
5. Nájdite súčet všetkých produktov.
6. Nájdite limit nájdeného integrálneho súčtu za podmienky, že dĺžka najdlhšej časti krivky má tendenciu k nule.

Ak existuje tento limit, potom toto limita integrálneho súčtu a nazýva sa krivočiary integrál funkcie f(X, r) pozdĺž krivky AB .

prvý druh

Krivočiary integrálny prípad
druhý druh

Uveďme si nasledujúci zápis.

Mja ( ζ ja; η i)- bod so súradnicami vybranými na každom úseku.

fja ( ζ ja; η i)- funkčná hodnota f(X, r) vo zvolenom bode.

Δ si- dĺžka časti úseku krivky (pri krivočiarom integráli prvého druhu).

Δ Xi- priemet časti výseku krivky na os Vôl(v prípade krivočiareho integrálu druhého druhu).

d= maxΔ s i je dĺžka najdlhšej časti úseku krivky.

Krivkové integrály prvého druhu

Na základe vyššie uvedeného o limite integrálnych súčtov sa krivočiary integrál prvého druhu zapíše takto:

.

Krivkový integrál prvého druhu má všetky vlastnosti, ktoré určitý integrál. Je tu však jeden dôležitý rozdiel. Pre určitý integrál, keď sú hranice integrácie zamenené, znamienko sa zmení na opačné:

V prípade krivočiareho integrálu prvého druhu je jedno, ktorý z bodov krivky AB (A alebo B) zvážte začiatok segmentu a ktorý koniec, tj

.

Krivkové integrály druhého druhu

Na základe toho, čo bolo povedané o limite integrálnych súčtov, je krivočiary integrál druhého druhu napísaný takto:

.

V prípade krivočiareho integrálu druhého druhu, keď sa obráti začiatok a koniec segmentu krivky, znamienko integrálu sa zmení:

.

Pri zostavovaní integrálneho súčtu krivočiareho integrálu druhého druhu, hodnoty funkcie fja ( ζ ja; η i) možno vynásobiť aj priemetom častí oblúkového segmentu na os Oj. Potom dostaneme integrál

.

V praxi sa zvyčajne používa spojenie krivočiarych integrálov druhého druhu, teda dvoch funkcií f = P(X, r) A f = Q(X, r) a integrály

,

a súčet týchto integrálov

volal všeobecný krivočiary integrál druhého druhu .

Výpočet krivočiarych integrálov prvého druhu

Výpočet krivočiarych integrálov prvého druhu sa redukuje na výpočet určitých integrálov. Zoberme si dva prípady.

Nech je na rovine daná krivka r = r(X) a oblúkový segment AB zodpovedá zmene premennej X od a predtým b. Potom v bodoch krivky integrand f(X, r) = f(X, r(X)) ("y" musí byť vyjadrené pomocou "x") a diferenciálneho oblúka a krivočiary integrál možno vypočítať podľa vzorca

.

Ak sa integrál ľahšie integruje r, potom z rovnice krivky je potrebné vyjadriť X = X(r) ("x" až "y"), kde a integrál sa vypočíta podľa vzorca

.

Príklad 1

Kde AB- úsečka medzi bodmi A(1; -1) a B(2; 1) .

Riešenie. Zostavte rovnicu priamky AB pomocou vzorca (rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body A(X1 ; r 1 ) A B(X2 ; r 2 ) ):

Z rovnice priamky vyjadríme r cez X :

Potom a teraz môžeme vypočítať integrál, pretože nám zostalo iba „x“:

Nech je daná krivka v priestore

Potom v bodoch krivky musí byť funkcia vyjadrená pomocou parametra t() a oblúkový diferenciál , takže krivočiary integrál možno vypočítať podľa vzorca

Podobne, ak je na rovine daná krivka

,

potom sa krivočiary integrál vypočíta podľa vzorca

.

Príklad 2 Vypočítajte krivočiary integrál

Kde L- časť kruhovej čiary

nachádza v prvom oktante.

Riešenie. Táto krivka je štvrtinou kruhovej čiary umiestnenej v rovine z= 3. Zodpovedá hodnotám parametrov. Pretože

potom diferenciál oblúka

Vyjadrime integrand pomocou parametra t :

Teraz, keď máme všetko vyjadrené cez parameter t, môžeme zredukovať výpočet tohto krivočiareho integrálu na určitý integrál:

Výpočet krivočiarych integrálov druhého druhu

Tak ako v prípade krivočiarych integrálov prvého druhu, aj výpočet integrálov druhého druhu je zredukovaný na výpočet určitých integrálov.

Krivka je uvedená v karteziánskych pravouhlých súradniciach

Nech je krivka v rovine daná rovnicou funkcie „y“, vyjadrenou pomocou „x“: r = r(X) a oblúkom krivky AB zodpovedá zmene X od a predtým b. Potom do integrandu dosadíme výraz „y“ až „x“ a určíme diferenciál tohto výrazu „y“ vzhľadom na „x“: . Teraz, keď je všetko vyjadrené pomocou "x", krivočiary integrál druhého druhu sa vypočíta ako určitý integrál:

Podobne sa vypočíta krivočiary integrál druhého druhu, keď je krivka daná rovnicou funkcie "x", vyjadrenou pomocou "y": X = X(r) , . V tomto prípade je vzorec na výpočet integrálu nasledujúci:

Príklad 3 Vypočítajte krivočiary integrál

, Ak

A) L- priamka úsečka OA, Kde O(0; 0) , A(1; −1) ;

b) L- oblúk paraboly r = X² od O(0; 0) až A(1; −1) .

a) Vypočítajte krivočiary integrál na priamke (na obrázku je modrá). Napíšme rovnicu priamky a vyjadrime „Y“ cez „X“:

.

Dostaneme D Y = dx. Riešime tento krivočiary integrál:

b) ak L- oblúk paraboly r = X², dostaneme D Y = 2xdx. Vypočítame integrál:

V práve vyriešenom príklade sme v dvoch prípadoch dostali rovnaký výsledok. A to nie je náhoda, ale výsledok vzoru, pretože tento integrál spĺňa podmienky nasledujúcej vety.

Veta. Ak funkcie P(X,r) , Q(X,r) a ich parciálne deriváty , - spojité v regióne D funkcií a v bodoch tejto oblasti sú parciálne derivácie rovnaké, potom krivočiary integrál nezávisí od dráhy integrácie pozdĺž priamky L nachádza v oblasti D .

Krivka je daná v parametrickej forme

Nech je daná krivka v priestore

.

a v integrandové funkcie náhrada

vyjadrenia týchto funkcií prostredníctvom parametra t. Dostaneme vzorec na výpočet krivočiareho integrálu:

Príklad 4 Vypočítajte krivočiary integrál

,

Ak L- časť elipsy

splnenie podmienky r ≥ 0 .

Riešenie. Táto krivka je časťou elipsy, ktorá je v rovine z= 2. Zodpovedá hodnote parametra.

môžeme reprezentovať krivočiary integrál ako určitý integrál a vypočítať ho:

Daný krivočiary integrál a L- uzavretá čiara, potom sa takýto integrál nazýva integrál nad uzavretým obrysom a je jednoduchšie ho vypočítať pomocou Greenov vzorec .

Ďalšie príklady výpočtu krivočiarych integrálov

Príklad 5 Vypočítajte krivočiary integrál

Kde L- úsečka medzi bodmi jej priesečníka so súradnicovými osami.

Riešenie. Určme priesečníky priamky so súradnicovými osami. Dosadenie priamky do rovnice r= 0 , dostaneme , . Nahrádzanie X= 0 , dostaneme , . Teda priesečník s osou Vôl - A(2; 0), s os Oj - B(0; −3) .

Z rovnice priamky vyjadríme r :

.

, .

Teraz môžeme reprezentovať krivočiary integrál ako určitý integrál a začať ho počítať:

V integrande vyberieme faktor , vyberieme ho zo znamienka integrálu. Vo výslednom integrande použijeme uvedenie pod znamenie diferenciálu a nakoniec dostaneme.

5. prednáška Krivkové integrály 1. a 2. druhu, ich vlastnosti ..

Problém hmotnosti krivky. Krivkový integrál 1. druhu.

Problém hmotnosti krivky. Nech je v každom bode hladkej materiálovej krivky L: (AB) uvedená jeho hustota. Určte hmotnosť krivky.

Postupujeme rovnako ako pri určovaní hmotnosti plochej oblasti ( dvojitý integrál) a priestorové teleso (trojný integrál).

1. Rozdeľte oblasť oblúka L na prvky - elementárne oblúky tak, aby tieto prvky nemali spoločné vnútorné body a ( podmienka A )

3. Zostrojme integrálny súčet , kde je dĺžka oblúka (zvyčajne sa rovnaké označenie používa pre oblúk a jeho dĺžku). Toto je približná hodnota hmotnosti krivky. Zjednodušenie je, že sme predpokladali, že hustota oblúka je konštantná na každom prvku a vzali sme konečný počet prvkov.

Prechod na limit pod podmienkou (stav B ), získame krivočiary integrál prvého druhu ako limitu integrálnych súčtov:

.

Existenčná veta.

Nech je funkcia spojitá na hladkom oblúku L po častiach. Potom krivočiary integrál prvého druhu existuje ako limita integrálnych súčtov.

Komentujte. Táto hranica nezávisí od

Vlastnosti krivočiareho integrálu prvého druhu.

1. Linearita
a) vlastnosť superpozície

b) vlastnosť homogenity .

Dôkaz. Zapíšme si integrálne súčty pre integrály na ľavej strane rovnosti. Keďže počet členov v integrálnom súčte je konečný, prejdime k integrálnym súčtom pre pravé strany rovnosti. Potom prejdeme na limitu, podľa vety o prechode na limitu v rovnosti dostaneme požadovaný výsledok.

2. Aditívnosť.
Ak , To = +

3. .Tu je dĺžka oblúka .

4. Ak je nerovnosť splnená na oblúku, potom

Dôkaz. Zapíšme si nerovnosť pre celé súčty a prejdeme k limite.

Všimnite si, že je to najmä možné

5. Veta o odhade.

Ak existujú také konštanty, že , potom

Dôkaz. Integrácia nerovnosti (vlastnosť 4), dostaneme . Vlastnosťou 1 môžu byť konštanty vyňaté spod integrálov. Pomocou vlastnosti 3 dostaneme požadovaný výsledok.

6. Priemerná veta(hodnota integrálu).

Je tu pointa , Čo

Dôkaz. Keďže funkcia je spojitá na uzavretej ohraničenej množine , existuje jej infimum a horný okraj . Nerovnosť je splnená. Vydelením oboch strán L dostaneme . Ale číslo uzavretý medzi dolnou a hornou hranicou funkcie. Keďže funkcia je spojitá na uzavretej ohraničenej množine L, funkcia musí v určitom bode nadobudnúť túto hodnotu. teda .

Výpočet krivočiareho integrálu prvého druhu.

Oblúk L parametrizujeme: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Nech t 0 zodpovedá bodu A a t 1 zodpovedá bodu B. Potom sa krivočiary integrál prvého druhu redukuje na určitý integrál ( - vzorec známy z 1. semestra na výpočet diferenciálu dĺžky oblúka):

Príklad. Vypočítajte hmotnosť jedného závitu homogénnej (hustota rovná k) skrutkovice: .

Krivkový integrál 2. druhu.

Problém práce sily.

1. Usporiadajte rozdelenie oblasti-oblúka AB na prvky - elementárne oblúky tak, aby tieto prvky nemali spoločné vnútorné body a ( podmienka A )

2. Označíme na prvkoch oddielu „označené body“ M i a vypočítame hodnoty funkcie v nich

3. Zostrojte integrálny súčet , kde je vektor nasmerovaný pozdĺž akordu, ktorý pretína -arc .

4. Prechod na limit pod podmienkou (stav B ), získame krivočiary integrál druhého druhu ako limitu integrálnych súčtov (a práce sily):

. Často uvádzané

Existenčná veta.

Nech je vektorová funkcia spojitá na hladkom oblúku L po častiach. Potom existuje krivočiary integrál druhého druhu ako limita integrálnych súčtov.

.

Komentujte. Táto hranica nezávisí od

Spôsob výberu oddielu, pokiaľ je splnená podmienka A

Výber "označených bodov" na prvkoch oddielu,

Spôsob spresnenia oddielu, pokiaľ je splnená podmienka B

Vlastnosti krivočiareho integrálu 2. druhu.

1. Linearita
a) vlastnosť superpozície

b) vlastnosť homogenity .

Dôkaz. Zapíšme si integrálne súčty pre integrály na ľavej strane rovnosti. Keďže počet členov v integrálnom súčte je konečný, pomocou vlastnosti skalárneho súčinu prejdeme k integrálnym súčtom pre pravé strany rovnosti. Potom prejdeme na limitu, podľa vety o prechode na limitu v rovnosti dostaneme požadovaný výsledok.

2. Aditívnosť.
Ak , To = + .

Dôkaz. Zvoľme rozdelenie oblasti L tak, aby žiadny z prvkov oddielu (na začiatku a pri spresnení oddielu) neobsahoval súčasne prvky L 1 aj prvky L 2. Dá sa to urobiť pomocou vety o existencii (poznámka k vete). Dôkaz sa ďalej vykonáva z hľadiska celých súčtov, ako je uvedené v časti 1.

3. Orientovateľnosť.

= -

Dôkaz. Oblúkový integrál –L, t.j. v negatívnom smere obchádzania oblúka existuje hranica integrálnych súčtov, v zmysle ktorej je namiesto toho (). Vybratím "mínusu" zo skalárneho súčinu a zo súčtu konečného počtu členov, prechádzajúceho do limity, dostaneme požadovaný výsledok.

16.3.2.1. Definícia krivočiareho integrálu prvého druhu. Vpustite priestor premenných x,y,z je daná po častiach hladká krivka, na ktorej je funkcia definovaná f (X ,r ,z Rozdeľme krivku s bodmi na časti, vyberieme si ľubovoľný bod na každom z oblúkov, nájdime dĺžku oblúka a vytvorme celý súčet. Ak existuje hranica postupnosti integrálnych súčtov pre , ktorá nezávisí od spôsobu rozdelenia krivky na oblúky ani od výberu bodov, potom funkcia f (X ,r ,z ) sa nazýva integrovateľná krivka a hodnota tohto limitu sa nazýva krivočiary integrál prvého druhu alebo krivočiary integrál po dĺžke oblúka funkcie f (X ,r ,z ) pozdĺž krivky a je označený (alebo ).

Existenčná veta. Ak funkcia f (X ,r ,z ) je spojitá na hladkej krivke po častiach , potom je integrovateľná vzhľadom na túto krivku.

Prípad uzavretej krivky. V tomto prípade môže byť za začiatočný a koncový bod braný ľubovoľný bod krivky. Uzavretá krivka sa bude odteraz nazývať obrys a označené S . Skutočnosť, že krivka, podľa ktorej sa vypočítava integrál, je uzavretá, sa zvyčajne označuje krúžkom na znamienku integrálu: .

16.3.2.2. Vlastnosti krivočiareho integrálu prvého druhu. Pre tento integrál platí všetkých šesť vlastností pre určitý, dvojitý, trojný integrál, od linearita predtým teorémy o strednej hodnote. Formulujte ich a dokážte ich sám za seba. Pre tento integrál však platí aj siedme osobné vlastníctvo:

Nezávislosť krivočiareho integrálu prvého druhu na smere krivky:.

Dôkaz. Integrálne súčty pre integrály na pravej a ľavej strane tejto rovnosti, pre ľubovoľné rozdelenie krivky a výber bodov sú rovnaké (vždy dĺžka oblúka), preto sú ich limity rovnaké v .

16.3.2.3. Výpočet krivočiareho integrálu prvého druhu. Príklady. Krivka nech je daná parametrickými rovnicami, kde sú plynule diferencovateľné funkcie a body, ktoré definujú rozdelenie krivky, nech zodpovedajú hodnotám parametra, t.j. . Potom (pozri časť 13.3. Výpočet dĺžok kriviek) . Podľa vety o strednej hodnote existuje taký bod, že . Vyberme body vyplývajúce z tejto hodnoty parametra: . Potom sa integrálny súčet pre krivočiary integrál bude rovnať integrálnemu súčtu pre určitý integrál. Vzhľadom k tomu , Potom prechádzajúc na limit v rovnosti , Získame

Výpočet krivočiareho integrálu prvého druhu sa teda redukuje na výpočet určitého integrálu nad parametrom. Ak je krivka daná parametricky, potom tento prechod nespôsobuje ťažkosti; ak je daná kvalita slovný popis krivka, potom môže byť hlavným problémom zavedenie parametra na krivke. Ešte raz to zdôrazňujeme integrácia sa vždy vykonáva v smere rastúceho parametra.

Príklady. 1. Vypočítajte, kde je jedna otáčka špirály

Tu prechod na určitý integrál nespôsobuje problémy: nájdeme , a .

2. Vypočítajte rovnaký integrál cez úsečku spájajúcu body a .

Tu neexistuje priama parametrická definícia krivky a tak ďalej AB musí byť zadaný parameter. Parametrické rovnice priamky majú tvar kde je smerovací vektor, je bod priamky. Ako bod berieme bod , ako smerovací vektor vektor : . Je ľahké vidieť, že bodka zodpovedá hodnote, teda bodka zodpovedá hodnote.

3. Zistite, kde je časť rezu valca rovinou z =X +1, ležiace v prvom oktante.

Riešenie: Parametrické rovnice kružnice - vedenia valca majú tvar X =2cosj, r =2sinj, a odvtedy z=x +1 teda z = 2cosj+1. takže,

Preto

16.3.2.3.1. Výpočet krivočiareho integrálu prvého druhu. Ploché puzdro. Ak krivka leží na nejakej súradnicovej rovine, napríklad rovine Oh , a je daný funkciou , potom, s ohľadom X ako parameter získame vzorec na výpočet integrálu: . Podobne, ak je krivka daná rovnicou , potom .

Príklad. Vypočítajte , kde je štvrtina kruhu ležiaceho v štvrtom kvadrante.

Riešenie. 1. Zvažovanie X ako parameter dostaneme , teda

2. Ak zoberieme premennú ako parameter pri , potom a .

3. Prirodzene, môžeme použiť obvyklé parametrické rovnice kruhu: .

Ak je krivka uvedená v polárnych súradniciach , potom , a .

1. druhu.

1.1.1. Definícia krivočiareho integrálu 1. druhu

Pustite do lietadla Oxy daná krivka (L). Dovoľte pre ľubovoľný bod krivky (L) je definovaná spojitá funkcia f(x;y). Prelomme oblúk AB linky (L) bodky A \u003d P 0, P 1, P n \u003d B na nľubovoľné oblúky Pj-1P i s dĺžkami ( i = 1, 2, n) (obr.27)

Vyberáme na každom oblúku Pj-1P iľubovoľný bod Mi (x i; y i), vypočítajte hodnotu funkcie f(x;y) v bode M i. Urobme integrálny súčet

Nechaj, kde.

λ→0 (n→∞), nezávisle od toho, ako je krivka rozdelená ( L) na elementárne časti, ani z výberu bodov M i krivočiary integrál 1. druhu z funkcie f(x;y)(krivkový integrál po dĺžke oblúka) a označujú:

Komentujte. Podobne zavedieme definíciu krivočiareho integrálu funkcie f(x;y;z) pozdĺž priestorovej krivky (L).

fyzický význam krivočiary integrál 1. druhu:

Ak (L)- rovinná krivka s lineárnou rovinou, potom hmotnosť krivky nájdeme podľa vzorca:

1.1.2. Hlavné vlastnosti krivočiareho integrálu 1. druhu:

3. Ak je cesta integrácie je rozdelená na časti tak, že , a majú jeden spoločný bod, potom .

4. Krivkový integrál 1. druhu nezávisí od smeru integrácie:

5. , kde je dĺžka krivky.

1.1.3. Výpočet krivočiareho integrálu 1. druhu.

Výpočet krivočiareho integrálu sa redukuje na výpočet určitého integrálu.

1. Nechajte krivku (L) daný rovnicou . Potom

To znamená, že diferenciálny oblúk sa vypočíta podľa vzorca.

Príklad

Vypočítajte hmotnosť úsečky z bodu A(1;1) k veci B(2;4), Ak .

Riešenie

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi: .

Potom rovnica priamky ( AB): , .

Poďme nájsť derivát.

Potom . = .

2. Nechajte krivku (L) nastaviť parametricky: .

Potom sa diferenciál oblúka vypočíta podľa vzorca .

Pre priestorový prípad nastavenia krivky: .Potom

To znamená, že diferenciálny oblúk sa vypočíta podľa vzorca.

Príklad

Nájdite dĺžku oblúka krivky, .

Riešenie

Dĺžku oblúka nájdeme podľa vzorca: .

Aby sme to dosiahli, nájdeme diferenciál oblúka.

Nájdite deriváty , , , Potom dĺžka oblúka: .

3. Nechajte krivku (L) sa udáva v polárnom súradnicovom systéme: . Potom

To znamená, že diferenciálny oblúk sa vypočíta podľa vzorca.

Príklad

Vypočítajte hmotnosť oblúka priamky 0≤ ≤ , ak .

Riešenie

Hmotnosť oblúka nájdeme podľa vzorca:

Aby sme to dosiahli, nájdeme diferenciál oblúka.

Poďme nájsť derivát.

1.2. Krivkový integrál 2. druhu

1.2.1. Definícia krivočiareho integrálu 2. druhu

Pustite do lietadla Oxy daná krivka (L). Nechaj tak (L) daná nepretržitá funkcia f(x;y). Prelomme oblúk AB linky (L) bodky A \u003d P 0, P 1, P n \u003d B v smere od bodu A k veci IN na nľubovoľné oblúky Pj-1P i s dĺžkami ( i = 1, 2, n) (obr. 28).

Vyberáme na každom oblúku Pj-1P iľubovoľný bod Mi (x i ; y i), vypočítajte hodnotu funkcie f(x;y) v bode M i. Urobme integrálny súčet, kde - dĺžka premietania oblúka P i -1 P i na nápravu Vôl. Ak sa smer pohybu pozdĺž projekcie zhoduje s kladným smerom osi Vôl, potom sa uvažuje s projekciou oblúkov pozitívne, inak - negatívne.

Nechaj, kde.

Ak existuje hranica integrálneho súčtu pri λ→0 (n→∞), čo nezávisí od toho, ako je krivka rozdelená (L) do elementárnych častí, ani z výberu bodov M i v každej elementárnej časti sa potom táto hranica nazýva krivočiary integrál 2. druhu z funkcie f(x;y)(krivkový integrál nad súradnicou X) a označujú:

Komentujte. Krivočiary integrál nad súradnicou y sa zavedie podobne:

Komentujte. Ak (L) je uzavretá krivka, potom sa označuje integrál nad ňou

Komentujte. Ak je zapnuté ( L) sú dané tri funkcie naraz a existujú integrály týchto funkcií , , ,

potom výraz: ++ tzv všeobecný krivočiary integrál 2. druhu a napíš:

1.2.2. Hlavné vlastnosti krivočiareho integrálu 2. druhu:

3. Pri zmene smeru integrácie krivočiary integrál 2. druhu zmení svoje znamienko.

4. Ak je integračná cesta rozdelená na časti tak, že , a majú jeden spoločný bod, potom

5. Ak krivka ( L) leží v rovine:

Kolmá os Oh, potom =0;

Kolmá os Oj, To ;

Kolmá os Oz, potom =0.

6. Krivkový integrál 2. druhu nad uzavretou krivkou nezávisí od voľby začiatočného bodu (závisí len od smeru krivky).

1.2.3. Fyzikálny význam krivočiareho integrálu 2. druhu.

Job A sily pri pohybe hmotného bodu jednotkovej hmotnosti z bodu M presne tak N pozdĺž ( MN) rovná sa:

1.2.4. Výpočet krivočiareho integrálu 2. druhu.

Výpočet krivočiareho integrálu 2. druhu sa redukuje na výpočet určitého integrálu.

1. Nechajte krivku ( L) je daná rovnicou .

Príklad

Vypočítajte kde ( L) - prerušovaná čiara OAB: 0(0;0), A(0;2), B(2;4).

Riešenie

Keďže (obr. 29), teda

1) Rovnica (OA): , ,

2) Rovnica s priamkou (AB): .

2. Nechajte krivku (L) nastaviť parametricky: .

Komentujte. V priestorovom prípade:

Príklad

Vypočítajte

Kde ( AB)- segment od A(0;0;1) predtým B(2;-2;3).

Riešenie

Nájdite rovnicu priamky ( AB):

Prejdime k parametrickému znázorneniu rovnice priamky (AB). Potom .

Bod A(0;0;1) parameter zhody t rovný: teda t = 0.

Bod B(2;-2;3) parameter zhody t, rovná sa: teda, t = 1.

Pri presune z A Komu IN,parameter t sa mení z 0 na 1.

1.3. Greenov vzorec. L ) vrátane M(x; y; z) s osami Ox, Oy, Oz