Všeobecné riešenie nehomogénneho kalu. Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc, metódy riešenia, príklady. Kontrola vývoja preberaného materiálu

Riešenie nájsť pomocou kalkulačky. Algoritmus riešenia je rovnaký ako pre lineárne systémy homogénne rovnice.
Pri práci iba s riadkami nájdeme hodnosť matice, základnú minor; deklarujeme závislé a voľné neznáme a nájdeme všeobecné riešenie.

Príklad 2. Nájdite všeobecné riešenie a základný systém riešení systému
Riešenie.



,
z toho vyplýva, že poradie matice je 3 a sa rovná číslu neznámy. To znamená, že systém nemá žiadne voľné neznáme, a preto má unikátne riešenie – triviálne.

Cvičenie . Preskúmajte a riešte systém lineárne rovnice.
Príklad 4

Cvičenie . Nájdite všeobecné a konkrétne riešenia pre každý systém.
Riešenie. Napíšeme hlavnú maticu systému:

Úloha . Nájdite základnú množinu riešení homogénneho systému lineárnych rovníc.

Systém m lineárne rovnice c n sa volá neznámy lineárny homogénny systém rovnice, ak sa všetky voľné členy rovnajú nule. Takýto systém vyzerá takto:

Kde a ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - dané čísla; x i- neznámy.

Systém lineárnych homogénnych rovníc je vždy konzistentný, od r r(A) = r(). Vždy má aspoň nulu ( triviálne) roztok (0; 0; ...; 0).

Uvažujme, za akých podmienok majú homogénne systémy nenulové riešenia.

Veta 1. Systém lineárnych homogénnych rovníc má nenulové riešenia práve vtedy, ak má poradie hlavnej matice r menej ako číslo neznámy n, t.j. r < n.

□ 1). Nech má sústava lineárnych homogénnych rovníc nenulové riešenie. Keďže poradie nemôže presiahnuť veľkosť matice, je zrejmé, že r ≤ n. Nechaj r = n. Potom jeden z maloletých veľkosti n n odlišný od nuly. Preto má zodpovedajúci systém lineárnych rovníc jedinečné riešenie: , , . Preto neexistujú iné riešenia ako triviálne. Takže, ak existuje netriviálne riešenie, potom r < n.

2). Nechaj r < n. Potom je homogénny systém, ktorý je konzistentný, neurčitý. Má teda nekonečné množstvo riešení, t.j. má aj nenulové riešenia. ■

Predstavte si homogénny systém n lineárne rovnice c n neznámy:

(2)

Veta 2. homogénny systém n lineárne rovnice c n neznáma (2) má nenulové riešenia práve vtedy, ak sa jej determinant rovná nule: = 0.

□ Ak má systém (2) nenulové riešenie, potom = 0. Pre at má systém iba jedinečné nulové riešenie. Ak = 0, potom poradie r hlavná matica systému je menšia ako počet neznámych, t.j. r < n. A teda systém má nekonečné množstvo riešení, t.j. má aj nenulové riešenia. ■

Označte riešenie sústavy (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ako struna .

Riešenia sústavy lineárnych homogénnych rovníc majú nasledujúce vlastnosti:

1. Ak reťazec je riešením systému (1), potom reťazec je tiež riešením systému (1).

2. Ak linky a sú riešenia systému (1), potom pre ľubovoľné hodnoty s 1 a s 2 ich lineárna kombinácia je tiež riešením sústavy (1).

Platnosť týchto vlastností môžete skontrolovať ich priamym dosadením do rovníc systému.

Z formulovaných vlastností vyplýva, že každá lineárna kombinácia riešení sústavy lineárnych homogénnych rovníc je riešením aj tejto sústavy.

Systém lineárne nezávislých riešení e 1 , e 2 , …, e r volal zásadný, ak každé riešenie sústavy (1) je lineárnou kombináciou týchto riešení e 1 , e 2 , …, e r.

Veta 3. Ak hodnosť r matice koeficientov pre systémové premenné lineárnych homogénnych rovníc (1) je menší ako počet premenných n, potom každý základný systém riešení systému (1) pozostáva z n–r riešenia.

Preto spoločné rozhodnutie sústava lineárnych homogénnych rovníc (1) má tvar:

Kde e 1 , e 2 , …, e r je akýkoľvek základný systém riešení systému (9), s 1 , s 2 , …, s p – ľubovoľné čísla, R = n–r.

Veta 4. Všeobecné systémové riešenie m lineárne rovnice c n neznámych sa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej sústavy lineárnych homogénnych rovníc (1) a ľubovoľného partikulárneho riešenia tejto sústavy (1).

Príklad. Vyriešte systém

Riešenie. Pre tento systém m = n= 3. Determinant

podľa vety 2 má systém iba triviálne riešenie: X = r = z = 0.

Príklad. 1) Nájdite všeobecné a konkrétne riešenia systému

2) Nájdite základný systém riešení.

Riešenie. 1) Pre tento systém m = n= 3. Determinant

podľa vety 2 má systém nenulové riešenia.

Pretože v systéme existuje iba jedna nezávislá rovnica

X + r – 4z = 0,

potom z neho vyjadrujeme X =4z- r. Odkiaľ dostaneme nekonečnú množinu riešení: (4 z- r, r, z) je všeobecným riešením systému.

O z= 1, r= -1, dostaneme jedno konkrétne riešenie: (5, -1, 1). Umiestňovanie z= 3, r= 2, dostaneme druhé konkrétne riešenie: (10, 2, 3) atď.

2) Vo všeobecnom riešení (4 z- r, r, z) premenné r A z sú zadarmo a variabilné X- na nich závislý. Aby sme našli základný systém riešení, priraďujeme hodnoty voľným premenným: najprv r = 1, z= 0 teda r = 0, z= 1. Získame partikulárne riešenia (-1, 1, 0), (4, 0, 1), ktoré tvoria základnú sústavu riešení.

Ilustrácie:

Ryža. 1 Klasifikácia sústav lineárnych rovníc

Ryža. 2 Štúdium sústav lineárnych rovníc

Prezentácie:

Riešenie metódy SLAE_matrix

Riešenie SLAU_Cramerova metóda

Riešenie SLAE_Gaussova metóda

・Balíky riešení matematické problémy Mathematica: vyhľadávanie analytických a numerické riešenie sústavy lineárnych rovníc

Kontrolné otázky:

1. Definujte lineárnu rovnicu

2. Aký druh systému robí m lineárne rovnice s n neznámy?

3. Ako sa nazýva riešenie sústav lineárnych rovníc?

4. Aké systémy sa nazývajú ekvivalentné?

5. Aký systém sa nazýva nekompatibilný?

6. Aký systém sa nazýva kĺb?

7. Aký systém sa nazýva definovaný?

8. Aký systém sa nazýva neurčitý

9. Vymenujte elementárne transformácie sústav lineárnych rovníc

10. Vymenujte elementárne transformácie matíc

11. Povedzte aplikačnú vetu elementárne transformácie do sústavy lineárnych rovníc

12. Aké sústavy je možné riešiť maticovou metódou?

13. Aké systémy je možné riešiť Cramerovou metódou?

14. Aké systémy možno riešiť Gaussovou metódou?

15. Uveďte 3 možné prípady, ktoré vznikajú pri riešení sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou

16. Opíšte maticovú metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

17. Opíšte Cramerovu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

18. Opíšte Gaussovu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

19. Aké systémy je možné riešiť pomocou inverzná matica?

20. Uveďte 3 možné prípady, ktoré vznikajú pri riešení sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou

Literatúra:

1. vyššia matematika pre ekonómov: Učebnica pre vysoké školy / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M. N. Fridman. Ed. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 s.

2. Všeobecný kurz vyššej matematiky pre ekonómov: Učebnica. / Ed. IN AND. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 s.

3. Zbierka úloh z vyššej matematiky pre ekonómov: Návod/ Pod redakciou V.I. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 s.

4. V. E. Gmurman, Sprievodca riešením problémov v teórii pravdepodobnosti a magmatickej štatistike. - M.: absolventská škola, 2005. - 400 s.

5. Gmurman. V.E. Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika. - M.: Vysoká škola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Koževniková T.Ya. Vyššia matematika v cvičeniach a úlohách. Časť 1, 2. - M .: Onyx 21. storočie: Svet a vzdelávanie, 2005. - 304 s. Časť 1; – 416 s. Časť 2

7. Matematika v ekonómii: Učebnica: Za 2 hodiny / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M.: Financie a štatistika, 2006.

8. Šipačov V.S. Vyššia matematika: Učebnica pre študentov. univerzity - M .: Vyššia škola, 2007. - 479 s.

Podobné informácie.

6.3. HOMOGÉNNE SYSTÉMY LINEÁRNYCH ROVNIC

Pustite teraz do systému (6.1).

Homogénny systém je vždy konzistentný. Riešenie () sa nazýva nula, alebo triviálne.

Homogénny systém (6.1) má nenulové riešenie vtedy a len vtedy, ak jeho poradie ( ) je menší ako počet neznámych. Najmä homogénny systém, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych, má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jeho determinant nulový.

Pretože tentoraz všetko, namiesto vzorcov (6.6) dostaneme nasledovné:

(6.7)

Vzorce (6.7) obsahujú ľubovoľný roztok homogénneho systému (6.1).

1. Množina všetkých riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc (6.1) tvorí lineárny priestor.

2. Lineárny priestorRvšetkých riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc (6.1) snneznámych a hodnosť hlavnej matice rovnár, má rozmern–r.

Akákoľvek skupina (n–r) lineárne nezávislé riešenia homogénneho systému (6.1) tvoria základ v priestoreRvšetky rozhodnutia. To sa nazýva zásadný množina riešení homogénnej sústavy rovníc (6.1). Zlatý klinec "normálne" základná množina riešení homogénneho systému (6.1):

(6.8)

Podľa definície základu, akéhokoľvek riešenia X homogénny systém (6.1) môže byť znázornený vo forme

(6.9)

Kde sú ľubovoľné konštanty.

Keďže vzorec (6.9) obsahuje akýkoľvek roztok homogénnej sústavy (6.1), dáva spoločné rozhodnutie tento systém.

Príklad.

Najdôležitejšou témou kurzu je nepochybne riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE). lineárna algebra. Obrovské množstvo problémov zo všetkých odvetví matematiky sa redukuje na riešenie sústav lineárnych rovníc. Tieto faktory vysvetľujú dôvod vytvorenia tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli

• zvoliť optimálnu metódu riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
• študovať teóriu zvolenej metódy,
• vyriešte svoj systém lineárnych rovníc po podrobnom zvážení riešení typických príkladov a problémov.

Stručný popis materiálu článku.

Najprv uvedieme všetky potrebné definície, pojmy a zavedieme nejaký zápis.

Ďalej uvažujeme o metódach riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Najprv sa zameriame na Cramerovu metódu, po druhé si ukážeme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc a po tretie rozoberieme Gaussovu metódu (metóda postupnej eliminácie neznámych premenných). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.

Potom sa obraciame na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecný pohľad, v ktorom sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je hlavná matica systému degenerovaná. Formulujeme Kroneckerovu-Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (v prípade ich kompatibility) pomocou konceptu minoritnej bázy matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.

Nezabudnite sa pozastaviť nad štruktúrou všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako sa všeobecné riešenie SLAE zapisuje pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.

Na záver uvažujeme o sústavách rovníc, ktoré sa redukujú na lineárne, ako aj rôzne úlohy, ktorého riešením vznikajú SLAE.

Navigácia na stránke.

Definície, pojmy, označenia.

Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n ) tvaru

Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne resp komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).

Táto forma SLAE sa nazýva koordinovať.

IN matricový formulár tento systém rovníc má tvar,
Kde - hlavná matica systému, - matica-stĺpec neznámych premenných, - matica-stĺpec voľných členov.

Ak do matice A pridáme ako (n + 1)-tý stĺpec maticu-stĺpec voľných členov, tak dostaneme tzv. rozšírená matrica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných členov je oddelený zvislou čiarou od ostatných stĺpcov, tj.

Riešením sústavy lineárnych algebraických rovníc nazývaný súbor hodnôt neznámych premenných, ktorý mení všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež zmení na identitu.

Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.

Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nezlučiteľné.

Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - neistý.

Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule , potom sa systém zavolá homogénne, inak - heterogénne.

Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.

Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice sa nerovná nule, potom budeme takéto SLAE nazývať elementárne. Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénneho systému sú všetky neznáme premenné rovné nule.

Takéto SLAE sme začali študovať v r stredná škola. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, keďže ide v podstate o modifikácie Gaussovej metódy.

Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich roztriediť.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc

v ktorej sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly, teda .

Nech je determinant hlavnej matice systému a sú determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., …, n-tý stĺpec respektíve stĺpec voľných členov:

Pri takomto zápise sa neznáme premenné vypočítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as . Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Príklad.

Cramerova metóda .

Riešenie.

Hlavná matica systému má tvar . Vypočítajte jej determinant (ak je to potrebné, pozrite si článok):

Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.

Zostavte a vypočítajte potrebné determinanty (determinant sa získa nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant - nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov, - nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov ):

Hľadanie neznámych premenných pomocou vzorcov :

odpoveď:

Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov pri počte rovníc systému viac ako tri.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).

Nech je sústava lineárnych algebraických rovníc uvedená v maticovom tvare , kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.

Keďže , potom je matica A invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica . Ak obe časti rovnosti vynásobíme vľavo, dostaneme vzorec na nájdenie stĺpcovej matice neznámych premenných. Tak sme dostali riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.

Riešenie.

Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru:

Pretože

potom možno SLAE vyriešiť maticovou metódou. Pomocou inverznej matice možno nájsť riešenie tohto systému ako .

Zostavme inverznú maticu pomocou matice algebraických doplnkov prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok):

Zostáva vypočítať - maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice na maticovom stĺpci voľných členov (v prípade potreby pozri článok):

odpoveď:

alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavným problémom pri hľadaní riešení sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť nájdenia inverznej matice, najmä pre štvorcové matice vyššieho ako tretieho rádu.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovej metódy spočíva v postupnom vylúčení neznámych premenných: najprv sa x 1 vylúči zo všetkých rovníc systému počnúc druhou, potom sa x 2 vylúči zo všetkých rovníc počnúc treťou atď., až kým nebude známa iba neznáma premenná x n zostáva v poslednej rovnici. Takýto proces transformácie rovníc systému na postupnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení dopredného chodu Gaussovej metódy sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty sa z predposlednej rovnice vypočíta x n-1 atď., Z prvej rovnice sa zistí x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva reverzná Gaussova metóda.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Neznámu premennú x 1 vylúčime zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Ak to chcete urobiť, pridajte prvú rovnicu vynásobenú k druhej rovnici systému, pridajte prvú vynásobenú k tretej rovnici a tak ďalej, pridajte prvú vynásobenú k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výsledného systému, ktorý je vyznačený na obrázku

Ak to chcete urobiť, pridajte druhý vynásobený k tretej rovnici systému, pridajte druhý vynásobený k štvrtej rovnici a tak ďalej, pridajte druhý vynásobený k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde . Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom postupujeme podobne ako časť systému označená na obr.

Pokračujeme teda v priamom kurze Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname opačný priebeh Gaussovej metódy: x n vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty x n zistíme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Zistíme x 1 z prvej rovnica.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.

Riešenie.

Vylúčme neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice sústavy. Aby sme to dosiahli, k obom častiam druhej a tretej rovnice pridáme zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené a takto:

Teraz vylúčime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej časti pridáme ľavú a pravú časť druhej rovnice, vynásobené:

Týmto je dopredný kurz Gaussovej metódy dokončený, začíname opačný kurz.

Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3:

Z druhej rovnice dostaneme .

Z prvej rovnice nájdeme zostávajúcu neznámu premennú a tým sa dokončí opačný priebeh Gaussovej metódy.

odpoveď:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Vo všeobecnom prípade sa počet rovníc systému p nezhoduje s počtom neznámych premenných n:

Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre sústavy rovníc, ktorých hlavná matica je štvorcová a degenerovaná.

Kronecker-Capelliho veta.

Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekompatibilný, dáva Kroneckerova-Capelliho veta:
na konzistentnosť sústavy p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n ) je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, teda Rank( A) = Poradie (T) .

Uvažujme ako príklad aplikáciu Kronecker-Cappelliho vety na určenie kompatibility sústavy lineárnych rovníc.

Príklad.

Zistite, či má sústava lineárnych rovníc riešenia.

Riešenie.

. Využime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu odlišný od nuly. Poďme na neplnoletých tretieho rádu, ktorí to obklopujú:

Keďže všetky hraničiace maloleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice je dve.

Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice sa rovná trom, keďže moll tretieho rádu

odlišný od nuly.

teda Rang(A) , teda podľa Kronecker-Capelliho vety môžeme konštatovať, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.

odpoveď:

Neexistuje systém riešenia.

Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kronecker-Capelliho vety.

Ako však nájsť riešenie SLAE, ak je preukázaná jeho kompatibilita?

Na to potrebujeme koncept minoritnej bázy matice a vetu o hodnosti matice.

Menší najvyššieho rádu nazýva sa matica A, ktorá je nenulová základné.

Z definície základu minor vyplýva, že jeho poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko základných minorov, vždy je jeden základný minor.

Zoberme si napríklad maticu .

Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.

Nasledujúce neplnoleté osoby druhého rádu sú základné, pretože sú nenulové

maloletí nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.

Veta o poradí matice.

Ak je poradie matice rádu p x n r, potom všetky prvky riadkov (a stĺpcov) matice, ktoré netvoria zvolenú základňu minor, sú lineárne vyjadrené pomocou zodpovedajúcich prvkov riadkov (a stĺpcov). ), ktoré tvoria základ minor.

Čo nám dáva veta o poradí matice?

Ak sme Kroneckerovou-Capelliho vetou stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú základnú vedľajšiu hlavnú maticu systému (jej poradie sa rovná r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré tvoria zvolenú základnú moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).

Výsledkom je, že po vyradení nadmerných rovníc systému sú možné dva prípady.

Ak sa počet rovníc r vo výslednej sústave rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie možno nájsť Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Príklad.

.

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice systému sa rovná dvom, keďže moll druhého rádu odlišný od nuly. Rozšírená matica hodnosť sa tiež rovná dvom, pretože jediná vedľajšia skupina tretieho rádu sa rovná nule

a minor druhého rádu uvažovaného vyššie je iný ako nula. Na základe Kronecker-Capelliho vety je možné tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže Rank(A)=Rank(T)=2 .

Ako základ minor berieme . Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice:


Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju vylúčime zo systému na základe vety o poradí matice:


Takto sme získali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Vyriešime to Cramerovou metódou:


odpoveď:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ak je počet rovníc r vo výslednom SLAE menší ako počet neznámych premenných n , potom v ľavých častiach rovníc ponecháme členy, ktoré tvoria základnú moll, a zvyšné členy prenesieme do pravých častí rovníc. systému s opačným znamienkom.

Neznáme premenné (je ich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc, sa nazývajú Hlavná.

Volajú sa neznáme premenné (je ich n - r), ktoré skončili na pravej strane zadarmo.

Teraz predpokladáme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty, zatiaľ čo r hlavných neznámych premenných bude vyjadrené v termínoch voľných neznámych premenných jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením výsledného SLAE Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Vezmime si príklad.

Príklad.

Riešenie systému lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Nájdite poradie hlavnej matice systému metódou hraničiacich maloletých. Zoberme si a 1 1 = 1 ako nenulovú vedľajšiu hodnotu prvého poriadku. Začnime hľadať nenulového neplnoletého druhoradého okolo tohto maloletého:


Našli sme teda nenulovú moll druhého rádu. Začnime hľadať nenulový hraničný moll tretieho rádu:


Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Poradie rozšírenej matice sa tiež rovná trom, to znamená, že systém je konzistentný.

Ako základný sa bude brať nájdený nenulový moll tretieho rádu.

Pre prehľadnosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základ moll:


Pojmy, ktoré sa podieľajú na základnej moll, ponecháme na ľavej strane rovníc systému a zvyšok prenesieme s opačnými znamienkami na pravú stranu:


Voľným neznámym premenným x 2 a x 5 dávame ľubovoľné hodnoty, teda berieme , kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade má SLAE formu


Získanú elementárnu sústavu lineárnych algebraických rovníc riešime Cramerovou metódou:


Preto, .

V odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.

odpoveď:

Kde sú ľubovoľné čísla.

Zhrnúť.

Na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru najprv zistíme jej kompatibilitu pomocou Kroneckerovej-Capelliho vety. Ak sa poradie hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekonzistentný.

Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme základnú vedľajšiu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej základnej vedľajšej.

Ak sa poradie základnej minor rovná počtu neznámych premenných, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť akoukoľvek nám známou metódou.

Ak je poradie vedľajšej bázy menšie ako počet neznámych premenných, potom členy s hlavnými neznámymi premennými necháme na ľavej strane rovníc systému, zvyšné členy prenesieme na pravú stranu a priradíme ľubovoľné hodnoty ​na voľné neznáme premenné. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme hlavné neznáme premenné Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Pomocou Gaussovej metódy je možné riešiť sústavy lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez ich predbežného skúmania kompatibility. Proces postupnej eliminácie neznámych premenných umožňuje vyvodiť záver o kompatibilite aj nekonzistencii SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.

Z hľadiska výpočtovej práce je výhodnejšia Gaussova metóda.

Jej podrobný popis a analyzované príklady nájdete v článku Gaussova metóda riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Zaznamenávanie všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základnej sústavy riešení.

V tejto časti sa zameriame na spojené homogénne a nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc, ktoré majú nekonečný počet riešení.

Poďme sa najskôr zaoberať homogénnymi systémami.

Základný systém rozhodovania Homogénna sústava p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je množinou (n – r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád minoritnej bázy hlavnej matice sústavy.

Ak označíme lineárne nezávislé riešenia homogénneho SLAE ako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sú stĺpce matíc rozmeru n pomocou 1 ), potom môže byť všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované ako lineárna kombinácia vektory fundamentálnej sústavy riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi С 1 , С 2 , …, С (n-r) , teda .

Čo znamená všeobecné riešenie homogénneho systému lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec určuje všetko možné riešenia pôvodný SLAE, inými slovami, ak vezmeme ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt С 1, С 2, …, С (n-r), podľa vzorca dostaneme jedno z riešení pôvodného homogénneho SLAE.

Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, môžeme všetky riešenia tohto homogénneho SLAE nastaviť ako .

Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení pre homogénny SLAE.

Z pôvodného systému lineárnych rovníc zvolíme základnú moll, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a na pravú stranu rovníc systému prenesieme s opačnými znamienkami všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné. Dajme voľným neznámym premenným hodnoty 1,0,0,…,0 a vypočítajme hlavné neznáme riešením výslednej elementárnej sústavy lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad Cramerovou metódou. Tak dostaneme X (1) - prvé riešenie fundamentálnej sústavy. Ak dáme voľným neznámym hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (2) . A tak ďalej. Ak dáme voľným neznámym premenným hodnoty 0,0,…,0,1 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (n-r) . Takto bude skonštruovaný základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie je možné zapísať do tvaru .

Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované ako

Pozrime sa na príklady.

Príklad.

Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Nájdime hodnosť hlavnej matice metódou fringing minors. Ako nenulovú minoritu prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdite hraničnú nenulovú moll druhého rádu:

Nájde sa minor druhého rádu, odlišný od nuly. Poďme cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, pri hľadaní nenulovej jednotky:

Všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, preto je poradie hlavnej a rozšírenej matice dve. Vezmime si základnú mollovú. Kvôli prehľadnosti si všimneme prvky systému, ktoré ho tvoria:

Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť:

Ponecháme členy obsahujúce hlavné neznáme na pravej strane rovníc a prenesieme členy s voľnými neznámymi na pravú stranu:

Zostavme základnú sústavu riešení pôvodnej homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE sa skladá z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základnej minor je dve. Aby sme našli X (1), dáme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo systému rovníc
.

Homogénne systémy lineárne algebraické rovnice

V rámci lekcií Gaussova metóda A Nekompatibilné systémy/systémy so spoločným riešením zvažovali sme nehomogénne sústavy lineárnych rovníc, Kde voľný člen(ktorý je zvyčajne vpravo) aspoň jeden rovníc bola iná ako nula.
A teraz, po dobrej rozcvičke s maticová hodnosť, budeme pokračovať v leštení techniky elementárne transformácie na homogénna sústava lineárnych rovníc.
Materiál môže podľa prvých odstavcov pôsobiť nudne a obyčajne, no tento dojem klame. Okrem ďalšieho rozvíjania techník pribudne aj množstvo nových informácií, preto sa prosím snažte nezanedbávať príklady v tomto článku.

Čo je homogénna sústava lineárnych rovníc?

Odpoveď sa ponúka sama. Sústava lineárnych rovníc je homogénna, ak je voľný člen každý systémová rovnica je nulová. Napríklad:

To je úplne jasné homogénny systém je vždy konzistentný, teda vždy má riešenie. A v prvom rade tzv triviálne Riešenie . Triviálne, pre tých, ktorí vôbec nerozumejú významu prídavného mena, znamená bespontovoe. Nie akademicky, samozrejme, ale zrozumiteľne =) ... Načo sa motať okolo, poďme zistiť, či má tento systém aj iné riešenia:

Príklad 1

Riešenie: na riešenie homogénnej sústavy je potrebné napísať systémová matica a pomocou elementárnych transformácií ho priviesť do stupňovitej podoby. Všimnite si, že tu nie je potrebné zapisovať zvislý pruh a nulový stĺpec voľných členov - koniec koncov, čokoľvek urobíte s nulami, zostanú nulové:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený -2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -3.

(2) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -1.

Deliť tretí riadok 3 nedáva veľký zmysel.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný homogénny systém a použitím spätného pohybu Gaussovej metódy je ľahké overiť, že riešenie je jedinečné.

Odpoveď:

Sformulujme jasné kritérium: homogénna sústava lineárnych rovníc má len triviálne riešenie, Ak systémová matica hodnosť(v tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade 3 ks).

Zahrievame a ladíme naše rádio na vlnu elementárnych premien:

Príklad 2

Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc

Z článku Ako zistiť hodnosť matice? pripomíname racionálnu metódu náhodného znižovania čísel matice. V opačnom prípade budete musieť poraziť veľké a často hryzavé ryby. Ukážka Ukážkaúloha na konci hodiny.

Nuly sú dobré a pohodlné, ale v praxi je oveľa bežnejší prípad, keď sú riadky matice systému lineárne závislé. A potom je nevyhnutný vzhľad všeobecného riešenia:

Príklad 3

Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: napíšeme maticu sústavy a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru. Prvá akcia je zameraná nielen na získanie jedinej hodnoty, ale aj na zníženie čísel v prvom stĺpci:

(1) Tretí riadok bol pridaný k prvému riadku, vynásobený -1. Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený -2. Vľavo hore som dostal jednotku s „mínusom“, čo je často oveľa pohodlnejšie pre ďalšie premeny.

(2) Prvé dva riadky sú rovnaké, jeden z nich bol odstránený. úprimne, neprispôsobil riešenie - stalo sa. Ak vykonávate transformácie v šablóne, potom lineárna závislosť riadky sa objavia o niečo neskôr.

(3) K tretiemu riadku pridajte druhý riadok vynásobený 3.

(4) Znamienko prvého riadku bolo zmenené.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný systém:

Algoritmus funguje presne rovnako ako pre heterogénne systémy. Premenné „sedí na schodoch“ sú hlavné, premenná, ktorá nedostala „kroky“, je voľná.

Základné premenné vyjadrujeme pomocou voľnej premennej:

Odpoveď: spoločné rozhodnutie:

Triviálne riešenie je zahrnuté vo všeobecnom vzorci a nie je potrebné ho písať samostatne.

Overenie sa tiež vykonáva podľa obvyklej schémy: výsledné všeobecné riešenie sa musí dosadiť na ľavú stranu každej rovnice systému a pre všetky substitúcie sa získa legitímna nula.

S tým by sa dalo pokojne skončiť, ale riešenie homogénnej sústavy rovníc je často potrebné znázorniť vo vektorovej forme používaním základný rozhodovací systém. Prosím, dočasne zabudnite analytická geometria, keďže teraz budeme hovoriť o vektoroch vo všeobecnom algebraickom zmysle, čo som mierne otvoril v článku o maticová hodnosť. Terminológiu nie je potrebné tieňovať, všetko je celkom jednoduché.