Množinovo-teoretický význam rozdielu. Odčítanie celých čísel: pravidlá, príklady Odčítanie rovnakých celých čísel

Sekcie: Základná škola

Trieda: 2

Základné ciele:

1) vytvoriť si predstavu o vlastnosti odčítania súčtu od čísla, schopnosť použiť túto vlastnosť na racionalizáciu výpočtov;

2) trénovať zručnosti ústneho počítania, schopnosť samostatne analyzovať a riešiť zložité problémy;

3) kultivovať presnosť.

Demo materiál:

1) obraz Dunno. <Рисунок1 >

2) kartičky s výrokom: priať - štekať - úspech - hov.

3) presýpacie hodiny.

4) štandard na odčítanie súčtu od čísla.

a-(b+c) = (a-b)-c = (a-c)-b

5) štandard poradia úkonov. a-(b+c)

6) vzorka na autotest pre krok 6:

7) vzorka na samovyšetrenie pre 7. etapu.

1) 45 -15 = 30 (m) - zostalo s Denisom

2) 30 - 13 = 17 (m)

Odpoveď: Denisovi zostalo 17 známok.

Podklad:

1) béžová karta s individuálnou úlohou pre 2. etapu pre každého študenta:

2) karta Zelená farba s individuálnou úlohou pre 5. etapu.

3) samostatná práca pre etapu 6.

4) semafory: červená, žltá, zelená.

Počas tried:

I. Sebaurčenie k vzdelávacím aktivitám.

1) motivovať k aktivite na hodine predstavením rozprávkovej postavy;

2) určiť obsah lekcie: odpočítaním sumy od čísla.

Organizácia vzdelávací proces vo fáze I.

Čo ste robili na poslednej lekcii? (Pridané vlastnosti)

Aké vlastnosti sčítania sa opakovali? (posunovacie a asociatívne)

Prečo potrebujeme poznať vlastnosti sčítania? (Je pohodlnejšie riešiť príklady)

Dnes tu máme rozprávkového hrdinu Dunno .<Рисунок1 >

Pripravil veľa zaujímavých úloh a bude sledovať, ako pracujeme na hodine. pripravený?

II. Aktualizácia vedomostí a fixácia ťažkostí v činnosti.

1) vlaková duševná prevádzka – zovšeobecnenie;

2) zopakujte pravidlá poradia akcií vo výrazoch so zátvorkami;

3) organizovať náročnosť v individuálnej činnosti a jej fixáciu žiakmi hlasným prejavom.

Organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu na II.

1) Ústny účet.

Pozrite sa na tabuľu a vykonajte akcie ústne. <Приложение 1 >

Ak ich splníme správne, prečítame si želanie, ktoré nám Dunno zašifroval:

(Pripočítajte 19 k 27, dostanete 46;

Odčítaním 24 od 46 získate 22;

Pridajte 38 k 22, aby ste dostali 60;

Odčítajte 5 od 60 a dostanete 55)

Zvýšiť 55 o 200. (200+55=255)

Uveďte popis čísla 255. (255 je trojmiestne číslo, obsahuje dvesto, päť desiatok a päť jednotiek. Predchádzajúce číslo je 254, ďalšie je 256, súčet bitových členov je 200+50+5 , súčet číslic je 12).

Vyjadrite číslo 255 v rôznych účtovných jednotkách. (255 = 2 s 5 d 5 d = 25 d 5 d = 2 s 55 d)

Vyjadrite 255 cm v rôznych jednotkách. (255=2m 5dm 5cm=25dm 5cm=2m 55cm)

2) Opakovanie pravidla o poradí úkonov vo výrazoch so zátvorkami. <Приложение 2 >

V čom sú si výrazy podobné? (Podľa zložiek akcie, rovnaké poradie akcií)

Ako sa líšia výrazy? (Rôzne odpočítateľné položky)

Ako sú zastúpené subtrahendy? (Podtrahendy sú reprezentované súčtom dvoch čísel)

Čo sme si zopakovali, keď sme našli význam výrazov? (Postup).

Prečo opakovať postup?

Kde môžeme zopakovať pravidlo poradia operácií? (V učebnici alebo normách <Приложение 3 > )

3) Individuálna úloha.

Vezmite pero a kúsok béžového papiera. <Приложение 4 >

Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov. Na môj príkaz zastav svoje rozhodnutie.

Pozor! Začalo! …

Zdvihnite ruku, kto vyriešil všetky príklady?

Zdvihnite ruku, kto vyriešil jeden príklad?

Navrhnite štandard, podľa ktorého ste príklady vyriešili. (normu nepoznáme).

Kto nevyriešil príklady?

III.Identifikácia príčin ťažkostí a stanovenie cieľa aktivity.

1) identifikovať a opraviť miesto a príčinu ťažkostí;

2) dohodnúť sa na účele a téme hodiny.

Organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu na III.

Opakujem, aká bola úloha?

Prečo sa vyskytol problém? (Málo času, žiadna vhodná vlastnosť)

Čo robiť? (Hádanie detí). Listy odložte bokom.

Pokúste sa sformulovať účel lekcie.

Formulujte tému lekcie.

Téma lekcie: Odčítanie súčtu od čísla. Hovorte si tému lekcie potichu. (Téma hodiny je napísaná na tabuli)

IV. Konštrukcia projektu výstupu z ťažkostí.

1) organizovať, aby deti vytvorili nový spôsob konania s využitím vedúceho dialógu;

2) zafixovať nový spôsob konania symbolicky a v reči.

Organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu na IV.

Pozrite sa a prečítajte si výraz: 87 - (7 + 15).

Ktorý výraz je vhodnejšie odčítať ako prvý? (Je vhodnejšie odčítať prvý výraz - 7)

Odčítali sme prvý člen a musíme odčítať dva členy. čo treba urobiť? (Odčítajte druhý výraz)

Učiteľ píše na tabuľu. <Приложение5 >

Pozri, ja nahradím číslo 87 písmenom a, číslo 7 písmenom b, číslo 15 písmenom c, dostaneme rovnosť. <Приложение 6 >

Poďme sa pozrieť. Prečítajte si výraz: 87 - (15 + 7)

Čo je pohodlnejšie odčítať výraz od čísla 87? (Je vhodnejšie odčítať druhý člen 7)

Učiteľ píše na tabuľu.

Odčítali sme druhý člen a musíme odpočítať dva členy. čo treba urobiť? (Odčítajte prvý výraz)

Učiteľ píše na tabuľu. <Приложение 7 >

Poďme sa pozrieť. Číslo 87 nahradím písmenom a, číslo 7 písmenom b, číslo 15 písmenom c, dostaneme rovnosť. <Приложение 8 >

Zistite, ako môžete odpočítať súčet od čísla. (Odpovede detí sú počuť)

Kde si môžeme overiť, či sme dospeli k správnym záverom? (v učebnici)

Otvorte si učebnicu na strane 44. Prečítajte si pravidlo. <Приложение 9 >

V. Primárna konsolidácia vo vonkajšej reči.

Účel: vytvoriť podmienky na upevnenie študovaného spôsobu konania vo vonkajšej reči.

Organizácia vzdelávacieho procesu na V. stupni.

Kto zopakuje pravidlo?

Prečo sa vyskytol problém? (nevedeli sme sa rýchlo rozhodnúť)

A teraz môžeme?

Čo nám pomohlo? (Pravidlo pre odčítanie súčtu od čísla)

Vezmite si zelený list a na môj príkaz vyriešte príklady. <Приложение10 >

Pozor! Začalo! Stop!

predný prieskum.

Koľko to vyšlo v prvom príklade?

Kto tak zdvihne ruku.

Kto má chybu?

Koľko to vyšlo v druhom príklade?

Kto tak zdvihne ruku.

Kto má chybu?

ako ste sa rozhodli? kde sa stala chyba? Aky je dôvod?

Dá sa povedať, že ste sa naučili riešiť? (Áno)

Čo pomohlo? (Poznáme pravidlo, rýchlosť riešenia sa zvýšila)

Kde môžeme uplatniť novú techniku? (Pri riešení úloh príklady).

Doma vyriešte na strane 44 úlohu číslo 4 nové pravidlo. Vymyslite a napíšte svoj príklad. (Úloha je napísaná na tabuli). <Приложение11 >

Kto si pamätá pravidlo?

VI. Samostatná práca so samokontrolou.

1) zorganizovať samostatné plnenie štandardných úloh študentmi pre nový spôsob konania so sebaskúškou podľa vzoru;

2) organizovať sebahodnotenie detí správnosti úlohy.

Organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu na VI.

A teraz sa neviem pozrieť na to, ako sme sa naučili uplatňovať nové pravidlo.

Samostatná práca. <Приложение12 >

Prečo robíme vlastnú prácu? (Zistite ťažkosti a prekonajte ich, otestujte svoju silu)

Aké sú spôsoby odčítania súčtu od čísla? (Je vhodné odčítať jeden výraz a potom druhý)

Vezmite si bielu plachtu. Na môj príkaz sa začneme rozhodovať.

Spustené...Stop.

Vezmite jednoduchú ceruzku a skontrolujte vzorku. <Приложение13 >

Kto áno, dajte „+“.

Kto má chybu, uveďte „-“.

Zdvihni ruku, kto to urobil?

Zdvihni ruku, kto má chrobáka? Kde vznikli ťažkosti? (Výpočtový príjem)

Odviedli ste skvelú prácu.

Čo ste sa naučili na lekcii? (naučili ste sa pohodlný spôsob odčítania sumy od čísla)

Urobte záver. (odpovede detí)

Fizminutka.

VII. Zaradenie do systému poznania a opakovania.

Účel: zopakovať riešenie problému, nájsť vhodný spôsob, ako ho vyriešiť.

Organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu na VII.

Kde môžete aplikovať naučené pravidlá? (Pri riešení problémov, príklady)

Pozrite sa a prečítajte si problém #3.

Vykonajte analýzu úloh. (V probléme je známe, že Denis mal 45 známok. Peťovi dal 15 známok a Koljovi 13 známok. Musíme zistiť, koľko známok mu zostalo.

Na zodpovedanie otázky problému je potrebné od celkového počtu pečiatok odpočítať počet pečiatok, ktoré Denis dal Peťovi a Koljovi. Nemôžeme okamžite odpovedať na otázku problému, pretože nevieme, koľko pečiatok dal Denis Peťovi a Kolju celkom. A zistíme to tak, že pripočítame počet známok, ktoré dal Peťovi, k počtu známok, ktoré dal Koljovi).

V prípade ťažkostí s analýzou problému učiteľ pomôže s otázkami, ktoré sú uvedené nižšie:

Čo je o probléme známe?

Čo potrebujete vedieť?

Ako odpovedať na otázku úlohy?

Dokážeme okamžite odpovedať na otázku problému? prečo?

Môžeme to zistiť? Ako?

Povedzte plán riešenia problému. (V prvom kroku zistíme, koľko pečiatok dal Denis celkovo, následne odpovieme na otázku problému). <Приложение 14 >

Kto vyriešil problém inak? (Na zodpovedanie otázky problému je potrebné odpočítať počet pečiatok, ktoré Denis dal Peťovi od celkového počtu pečiatok, a potom počet pečiatok, ktoré dal Koljovi)

Povedzte plán riešenia problému druhým spôsobom. (Prvým krokom je zistiť, koľko známok zostalo Denisovi po tom, čo dal Peťu, a potom zistíme, koľko známok mu zostalo po tom, čo dal Kolju 13 známok a odpovieme na otázku problému). <Приложение15 >

Aký je najlepší spôsob riešenia problému? prečo? (Po druhé, je pohodlnejšie odpočítať jednu časť od celku a potom ďalšiu časť)

Zapíšte si riešenie problému pohodlným spôsobom. Vzorový autotest. <Приложение16 >

VIII. Odraz činnosti.

1) opraviť v reči novú metódu konania študovanú v lekcii: odčítanie sumy od čísla;

2) opraviť ťažkosti, ktoré zostávajú, a spôsoby, ako ich prekonať;

3) hodnotiť vlastné aktivity na hodine, koordinovať domáce úlohy.

Organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu na VIII.

Takže dnes v lekcii pribudlo do našich vedomostí ešte jedno pravidlo, zapamätajte si ho. (Dnes v lekcii sme sa naučili, ako odpočítať sumu od čísla. Ak chcete odpočítať sumu od čísla, môžete najskôr odpočítať jeden výraz a potom ďalší)

Kto má problémy?

Podarilo sa vám ich prekonať? Ako?

Na čom ešte treba popracovať?

Hodnotenie učiteľom za prácu na hodine.

Domáca úloha: str.44, č.4. Vymyslite a vyriešte vlastný príklad na novú tému.

Literatúra

1) Učebnica „Matematika 2. ročník, 2. časť“; L.G. Peterson. Vydavateľstvo "Yuventa", 2008.

3) L.G. Peterson, I.G. Lipatnikova "Ústne cvičenia na hodinách matematiky 2. ročník". M.: „Škola 2000...“

Koncept odčítania najlepšie pochopíte na príklade. Rozhodnete sa piť čaj so sladkosťami. Vo váze bolo 10 cukríkov. Zjedol si 3 cukríky. Koľko cukríkov zostalo vo váze? Ak od 10 odpočítame 3, vo váze zostane 7 sladkostí. Napíšme problém matematicky:

Pozrime sa bližšie na vstup:
10 je číslo, od ktorého odčítame alebo ktoré znížime, preto sa volá znížený.
3 je číslo, ktoré odpočítavame. Preto sa nazýva odpočítateľné.
7 je výsledkom odčítania alebo je tiež tzv rozdiel. Rozdiel ukazuje, o koľko je prvé číslo (10) väčšie ako druhé číslo (3) alebo o koľko je druhé číslo (3) menšie ako prvé číslo (10).

Ak máte pochybnosti, či ste správne našli rozdiel, musíte to urobiť overenie. Pridajte k rozdielu druhé číslo: 7+3=10

Pri odčítaní l nemôže byť minuend menší ako subtrahend.

Z toho, čo bolo povedané, vyvodíme záver. Odčítanie- toto je akcia, pomocou ktorej sa druhý člen nájde súčtom a jedným z členov.

V doslovnej forme bude tento výraz vyzerať takto:

a -b=c

a - znížená,
b - odpočítané,
c je rozdiel.

Vlastnosti odčítania súčtu od čísla.

13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6

Príklad je možné vyriešiť dvoma spôsobmi. Prvým spôsobom je nájsť súčet čísel (3 + 4) a potom od neho odčítať celkový počet(13). Druhým spôsobom je odpočítať prvý člen (3) od celkového počtu (13) a potom odpočítať druhý člen (4) od výsledného rozdielu.

V doslovnej forme bude vlastnosť na odčítanie súčtu od čísla vyzerať takto:
a - (b + c) = a - b - c

Vlastnosť odčítania čísla od súčtu.

(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8

Ak chcete od súčtu odčítať číslo, môžete toto číslo odpočítať od jedného výrazu a potom k výsledku rozdielu pridať druhý výraz. Pod podmienkou bude člen väčší ako odčítané číslo.

V doslovnej forme bude vlastnosť na odčítanie čísla od súčtu vyzerať takto:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(a +b) —c=a + (b - c), za predpokladu, že b > c

(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) - c \u003d (a - c) + b, za predpokladu, že a > c

Vlastnosť odčítania s nulou.

10 — 0 = 10
a - 0 = a

Ak od čísla odčítate nulu potom to bude rovnaké číslo.

10 — 10 = 0
a -a = 0

Ak odpočítate rovnaké číslo od čísla potom to bude nula.

Súvisiace otázky:
V príklade 35 - 22 = 13 pomenujte minuend, subtrahend a rozdiel.
Odpoveď: 35 - znížené, 22 - odpočítané, 13 - rozdiel.

Ak sú čísla rovnaké, aký je ich rozdiel?
Odpoveď: nula.

Vykonajte kontrolu odčítania 24 - 16 = 8?
Odpoveď: 16 + 8 = 24

Tabuľka odčítania pre prirodzené čísla od 1 do 10.

Príklady úloh na tému "Odčítanie prirodzených čísel."
Príklad č. 1:
Doplňte chýbajúce číslo: a) 20 - ... = 20 b) 14 - ... + 5 = 14
Odpoveď: a) 0 b) 5

Príklad č. 2:
Je možné odpočítať: a) 0 - 3 b) 56 - 12 c) 3 - 0 d) 576 - 576 e) 8732 - 8734
Odpoveď: a) nie b) 56 - 12 = 44 c) 3 - 0 = 3 d) 576 - 576 = 0 e) nie

Príklad č. 3:
Prečítajte si výraz: 20 - 8
Odpoveď: „Odčítajte osem od dvadsiatich“ alebo „Odčítajte osem od dvadsiatich“. Vyslovujte slová správne

Rozdiel medzi nezápornými celými číslami a ab je počet prvkov v doplnku množiny B k množine A za predpokladu, žen(A)= a, n(B)= b, BA, t.j. A -b = n(A B). Je to spôsobené tým, že A \u003d B (AB), t.j.n(A)= n(B) + n(A B).

Poďme to dokázať. Keďže podľa stavu IN- vlastná podmnožina množiny A, potom môžu byť znázornené ako na obr. 3.

Odčítanie prirodzených (nezáporných celých) čísel je definované ako inverzná operácia sčítania: A -b = c () b + c = a.

Rozdiel AB tieňované na tomto obrázku. Vidíme, že súpravy IN A AB nepretínajú a ich spojenie sa rovná A. Preto počet prvkov v súprave A možno nájsť pomocou vzorca n(A)=n(B) + n(AB), odkiaľ podľa definície odčítania ako operácie inverznej k sčítaniu dostaneme n (AB) = A -b.

Podobný výklad sa podáva aj odčítaniu nuly, ako aj odčítania A od A. Pretože A = A AA=, To A - 0= a A a - a = 0.

Rozdiel A -b nezáporné celé čísla existujú vtedy a len vtedy, ak .

Činnosť, ktorou sa zistí rozdiel A -b, sa volá odčítanie, číslo A- znížený, b- odpočítateľný.

Pomocou definícií ukážeme, že 8 - 5 = 3 . Nech sú dané dve množiny také, že n(A) = 8, n(B) = 5. A nechajte množstvo IN je podmnožinou množiny A. Napríklad, A ={a, s, d, f, g, h, j, k} , B={a, s, d, f, g} .

Nájdite doplnok sady IN pre mnohých A: AB ={h, j, k). Chápeme to n(AB) = 3.

Preto , 8 - 5 = 3.

Vzťah medzi odčítaním čísel a odčítaním množín nám umožňuje zdôvodniť výber akcie pri riešení textových úloh Zistime, prečo sa pomocou odčítania rieši nasledujúca úloha a vyriešme ju: „Na škole rástlo 7 stromov, z toho 3 boli brezy, zvyšok tvorili lipy. Koľko líp vyrástlo pri škole?

Predstavme si stav problému vizuálne, pričom každý strom vysadený v blízkosti školy znázorni v kruhu (obr. 4). Medzi nimi sú 3 brezy - na obrázku ich zvýrazníme šrafovaním. Potom zvyšok stromov - nie tienené kruhy - sú lipy. To znamená, že ich je toľko, koľko ich bude odpočítať 3 od 7 , t.j. . 4.

Problém uvažuje tri množiny: množinu A všetky stromy, veľa IN- brezy, čo je podmnožina A a nastavte S lip - je doplnkom setu IN predtým A. Úlohou je nájsť počet prvkov v tomto sčítaní.

Podľa podmienok n(A) = 7, n(B)= 3 a BA. Nechaj A ={a, b, c, d, e, f, g} , B={a, b, c} . Nájdite doplnok sady A predtým IN: AB={d, e, f, g) A n(AB) = 4.

znamená, n(C) = n(AB) = n(A) - n(B)= 7 - 3 = 4.

V blízkosti školy následne vyrástli 4 lipy.

Uvažovaný prístup k sčítaniu a odčítaniu nezáporných celých čísel nám umožňuje interpretovať rôzne pravidlá z pozícií teórie množín.

Pravidlo na odčítanie čísla od súčtu: na odčítanie čísla od súčtu stačí odpočítať toto číslo od jedného z členov a k získanému výsledku pridať ďalší člen, t.j. pri eso to máme (a+b)-c=(a-c)+b; pri bc to máme (a+b)-c=a+(b-c); pri ac A bc možno použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov.

Poďme zistiť význam tohto pravidla: Nech A, B, C sú sady také, že n(A)=a, n(B)=b A AB= , SA(obr. 5).

Pomocou Eulerových kružníc je ľahké dokázať, že pre tieto množiny platí rovnosť.

Pravá strana rovnosti vyzerá takto:

Ľavá strana rovnosti má tvar: Preto (a + b) - c = (a - c) + b,at za predpokladu, že a>c.

Pravidlo pre odčítanie súčtu od čísla : na odčítanie súčtu čísel od čísla stačí od tohto čísla odčítať postupne každý člen za sebou, t.j. za predpokladu, že a b+c, máme A - (b + c) = (a - b) - c.

Poďme zistiť význam tohto pravidla. Pre tieto množiny platí rovnosť.

Potom dostaneme, že pravá strana rovnosti má tvar:. Ľavá strana rovnosti má tvar: .

Preto (a + b) - c = (a - c) + b, o za predpokladu, že a>c.

Pravidlo na odčítanie rozdielu od čísla: odčítať od A rozdiel b-c, k tomuto číslu stačí pripočítať podriadenec s a od výsledku odpočítajte minuend b; pri a > b je možné od čísla a odčítať redukované b a k získanému výsledku pripočítať odčítané c, t.j. A - (b - c) = (a + c) - b = (a - b) + c.

znamená, A(BC) = .

teda n(A(BC)) = n( ) A A - (b - c) = (a + c) - b.

Pravidlo na odčítanie čísla od rozdielu: odpočítať tretie číslo od rozdielu dvoch čísel, od redukovaného stačí odpočítať súčet dvoch ďalších čísel, t.j. (A -b) - c = a - (b + c). Dokazuje sa to podobne ako pravidlo pre odčítanie súčtu od čísla.

Príklad. Aké sú spôsoby, ako nájsť rozdiel: a) 15 - (5 + 6); b) (12 + 6) - 2?

Riešenie. a) Používame pravidlo na odčítanie súčtu od čísla: 15 - (5 + 6) \u003d (15 - 5) - 6 \u003d 10 - 6 \u003d 4.

Alebo 15 - (5 + 6) = (15 - 6) - 5 = 9 - 4 = 4.

Alebo 15 - (5 + 6) = 15 - 11 = 4 .

b) Na odčítanie čísla od súčtu použijeme pravidlo: (12 + 6) - 2 = (12 - 2) + 6 = 10 + 6 = 16.

Alebo (12 + 6) - 2 = 12 + (6 - 2) = 12 + 4 = 16 .

Alebo (12 + 6) - 2 = 18 - 2 = 16.

Tieto pravidlá zjednodušujú výpočty a sú široko používané primárny kurz matematiky.

Pre úplnú analýzu témy článku uvádzame pojmy a definície, označujeme význam akcie odčítania a odvodzujeme pravidlo, podľa ktorého môže akcia odčítania viesť k akcii sčítania. Pozrime sa na praktické príklady. A tiež zvážte pôsobenie odčítania v geometrickej interpretácii - na súradnicovej čiare.

Vo všeobecnosti sú základné pojmy používané na opis operácie odčítania rovnaké pre akýkoľvek typ čísla.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Minuend je celé číslo, od ktorého sa má odpočítať.

Subtrahend je celé číslo, ktoré sa má odpočítať.

Rozdiel je výsledkom vykonanej operácie odčítania.

Na označenie samotnej akcie sa používa znamienko mínus umiestnené medzi minuend a subtrahend. Všetky vyššie uvedené časti akcie sú napísané vo forme rovnosti. To znamená, že ak sú dané celé čísla a a b a pri odčítaní od prvej sekundy sa získa číslo c, zapíše sa akcia odčítania nasledujúcim spôsobom: a - b \u003d c.

Ako rozdiel budeme označovať aj výraz v tvare a - b, ako aj samotnú konečnú hodnotu tohto výrazu.

Význam odčítania celého čísla

V téme odčítania prirodzených čísel sa ustálil vzťah medzi operáciami sčítania a odčítania, čo umožnilo definovať odčítanie ako hľadanie jedného z pojmov známym súčtom a druhého člena. Predpokladáme, že odčítanie celých čísel má rovnaký význam: druhý člen je určený daným súčtom a jedným z členov.

Uvedený význam akcie odčítania celých čísel umožňuje tvrdiť, že c - b \u003d a a c - a \u003d b, ak a + b \u003d c, kde a, b, c sú celé čísla.

Zvážte jednoduché príklady na upevnenie teórie:

Dajte nám vedieť, že - 5 + 11 \u003d 6, potom je rozdiel 6 - 11 \u003d - 5;

Predpokladajme, že je známe, že - 13 + (- 5) \u003d - 18, potom - 18 - (- 5) \u003d - 13 a - 18 - (- 13) \u003d - 5.

Pravidlo odčítania celého čísla

Vyššie uvedený význam akcie odčítania pre nás nenaznačuje konkrétny spôsob výpočtu rozdielu. Tie. môžeme tvrdiť, že jeden zo známych členov je výsledkom odčítania iného známeho člena od súčtu. Ak sa však ukáže, že jeden z výrazov je neznámy, potom nemôžeme vedieť, aký bude rozdiel medzi súčtom a známym výrazom. Preto na vykonanie akcie odčítania potrebujeme pravidlo odčítania celého čísla:

Definícia 1

Na určenie rozdielu medzi dvoma číslami je potrebné pripočítať k minuendu číslo opačné k odčítanému, t.j. a - b = a + (- b), kde a a b sú celé čísla; b a – b sú opačné čísla.

Dokážme naznačené pravidlo odčítania, t.j. Dokážme platnosť rovnosti uvedenej v pravidle. Aby sme to urobili, podľa významu odčítania celých čísel pripočítame k a + (- b) odčítame b a uistíme sa, že vo výsledku dostaneme zmenšené a, t.j. skontrolujte platnosť rovnosti (a + (- b)) + b = a . Na základe vlastností sčítania celých čísel môžeme napísať reťaz rovnosti: (a + (- b)) + b = a + ((- b) + b) = a + 0 = a , bude to dôkaz pravidla na odčítanie celých čísel.

Zvážte použitie pravidla na odčítanie celých čísel na konkrétnych príkladoch.

Odčítanie kladného celého čísla, príklady

Od celého čísla 15 je potrebné odpočítať kladné celé číslo 45 .

Riešenie

Podľa pravidla na odčítanie celého čísla od daného čísla 15 kladné číslo 45, k zníženej 15-ke je potrebné pripočítať číslo - 45, t.j. oproti danému 45 . Požadovaný rozdiel sa teda bude rovnať súčtu celých čísel 15 a -45. Po vypočítaní požadovaného súčtu čísel s opačnými znamienkami dostaneme číslo - 30. Tie. výsledkom odčítania čísla 45 od čísla 15 bude číslo - 30. Celé riešenie napíšeme do jedného riadku: 15 - 45 = 15 + (- 45) = - 30 .

Odpoveď: 15 - 45 = - 30.

Príklad 2

Od záporného celého čísla - 150 je potrebné odpočítať kladné celé číslo 25 .

Riešenie

Podľa pravidla pripočítajme k klesajúcemu číslu - 150 číslo - 25 (teda opak daného odčítaného 25). Nájdite súčet záporných celých čísel: - 150 + (- 25) = - 175 . Požadovaný rozdiel sa teda rovná. Celé riešenie napíšeme takto: - 150 - 25 \u003d - 150 + (- 25) \u003d - 175.

Odpoveď: - 150 - 25 = - 175.

Príklady odčítania nuly

Pravidlo odčítania celého čísla umožňuje odvodiť princíp odčítania nuly od celého čísla - odčítaním nuly od akéhokoľvek celého čísla sa toto číslo nezmení, t.j. a - 0 = a, kde a je ľubovoľné celé číslo.

Poďme si to vysvetliť. Podľa pravidla odčítania je odčítanie nuly pripočítaním čísla opačného k nule k minuendu. Nula je číslo opačné voči sebe, t.j. odčítanie nuly je to isté ako pričítanie nuly. Na základe súvisiacej vlastnosti sčítania pridanie nuly k ľubovoľnému celému číslu toto číslo nezmení. teda

a - 0 = a + (- 0) = a + 0 = a.

Zvážte jednoduché príklady odčítania nuly od rôznych celých čísel. Napríklad rozdiel 61 – 0 je 61 . Ak odčítate nulu od záporného celého čísla - 874, dostanete - 874. Ak od nuly odpočítame nulu, dostaneme nulu.

Odčítanie záporného celého čísla, príklady

Je potrebné odpočítať celé číslo od celého čísla 0 záporné číslo - 324 .

Riešenie

Podľa pravidla odčítania sa rozdiel 0 - (- 324) musí určiť tak, že k klesajúcemu číslu 0 sa pripočíta číslo opačné k odčítanému - 324. Potom: 0 - (- 324) = 0 + 324 = 324

Odpoveď: 0 - (- 324) = 324

Príklad 4

Určte rozdiel - 6 - (- 13) .

Riešenie

Odčítajme od záporného celého čísla - 6 záporné celé číslo - 13 . Aby sme to urobili, vypočítame súčet dvoch čísel: redukovaného čísla - 6 a čísla 13 (teda opaku daného subtrahendu - 13). Získame: - 6 - (- 13) \u003d - 6 + 13 \u003d 7.

Odpoveď: - 6 - (- 13) = 7 .

Odčítanie rovnakých celých čísel

Ak sa daný minuend a subtrahend rovnajú, tak ich rozdiel bude rovný nule, t.j. a - a = 0 , kde a je ľubovoľné celé číslo.

Poďme si to vysvetliť. Podľa pravidla na odčítanie celých čísel a - a = a + (- a) = 0, čo znamená: ak chcete odčítať celé číslo, ktoré sa mu rovná, musíte k tomuto číslu pridať číslo, ktoré je k nemu opačné, čo výsledkom je nula.

Napríklad rozdiel rovnakých celých čísel - 54 a - 54 sa rovná nule; vykonaním akcie odčítania čísla 513 od čísla 513 dostaneme nulu; odpočítaním nuly od nuly dostaneme aj nulu.

Kontrola výsledku odčítania celých čísel

Potrebné overenie sa vykoná pomocou akcie sčítania. Aby sme to dosiahli, k výslednému rozdielu pridáme podstranu: v dôsledku toho by sme mali dostať číslo rovné tomu, ktoré sa znižuje.

Príklad 5

Celé číslo - 112 sa odpočítalo od celého čísla - 300 a získal sa rozdiel - 186. Bolo odčítanie správne?

Riešenie

Skontrolujme podľa vyššie uvedeného princípu. Pridajme k danému rozdielu subtrahend: - 186 + (- 112) \u003d - 298. Dostali sme iné číslo, ako je uvedené znížené, preto sa pri výpočte rozdielu stala chyba.

Odpoveď: Nie, odčítanie bolo vykonané nesprávne.

Na záver zvážte geometrickú interpretáciu akcie odčítania celých čísel. Nakreslíme vodorovnú súradnicovú čiaru smerujúcu doprava:

Vyššie sme odvodili pravidlo na vykonanie akcie odčítania, podľa toho: a - b \u003d a + (- b), potom sa geometrická interpretácia odčítania čísel a a b bude zhodovať s geometrický zmysel sčítanie celých čísel a a - b. Z toho vyplýva, že na odčítanie celého čísla b od celého čísla a je potrebné:

Presuňte sa z bodu so súradnicou a po b jednotkových segmentoch doľava, ak b je kladné číslo;

Presuňte sa z bodu so súradnicou a do | b | (modul čísla b) jednotkové segmenty vpravo, ak b je záporné číslo;

Zostaňte v bode so súradnicou a, ak b = 0.

Zvážte príklad s použitím grafického obrázka:

Nech je potrebné odčítať od celého čísla - 2 kladné celé číslo 2 . Ak to chcete urobiť, podľa vyššie uvedenej schémy sa posuňte doľava o 2 jeden segment, čím sa dostaneme k bodu so súradnicou - 4 , t.j. - 2 - 2 = - 4 .

Ďalší príklad: od celého čísla 2 odčítame záporné celé číslo - 3 . Potom sa podľa schémy posuňte doprava o | - 3 | = 3 jednotkové segmenty, čím sa dostaneme k bodu so súradnicou 5 . Dostaneme rovnosť: 2 - (- 3) = 5 a ilustráciu k nej:

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Zavolá sa číslo, od ktorého sa má odpočítať minend a číslo, ktoré sa má odpočítať, je subtrahend. Výsledok operácií odčítania sa nazýva rozdiel.

Dajte nám vedieť: súčet 2 čísel c A b rovná sa a, takže rozdiel a-c bude b a rozdiel a-b bude c.

Najpohodlnejšie je odpočítať pomocou metódy „v stĺpci“.

tabuľka odčítania.

Pre jednoduchšie a rýchlejšie zvládnutie procesu odčítania si prezrite a zapamätajte si tabuľku odčítania až do desať pre stupeň 2:

Vlastnosti odčítania prirodzených čísel.

• Odčítanie ako proces NEMÁ komutatívnu vlastnosť: a-b≠b-a.
• Rozdiel rovnakých čísel sa rovná nule: a-a=0.
• Odčítanie súčtu 2 celých čísel od celého čísla: a−(b+c)=(a−b)−c.
• Odčítanie čísla od súčtu 2 čísel: (a+b)-c=(a-c)+b=a+(b-c).
• Distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na odčítanie: a (b-c)=ab-ac a (a-b)c=ac-bc.
• A všetky ostatné vlastnosti odčítania celých čísel (prirodzených čísel).

Uvažujme o niektorých z nich:

Vlastnosť odčítania dvoch rovnakých prirodzených čísel.

Rozdiel 2 rovnakých prirodzených čísel sa rovná nule.

a-a=0,

Kde a- ľubovoľné prirodzené číslo.

Odčítanie prirodzených čísel NEMÁ komutatívnu vlastnosť.

Z vlastnosti opísanej vyššie je vidieť, že pre 2 rovnaké prirodzené čísla funguje komutatívna vlastnosť odčítania. Vo všetkých ostatných prípadoch (ak minuend ≠ subtrahend) odčítanie prirodzených čísel nemá komutatívnu vlastnosť. Alebo, inak povedané, minuend a subtrahend nie sú zamenené.

Keď je minuend väčší ako subtrahend a rozhodneme sa ich zameniť, potom od prirodzeného čísla, ktoré je menšie, odpočítame prirodzené číslo, ktoré je väčšie. Tento systém nezodpovedá podstate odčítania prirodzených čísel.

Ak a A b nerovný celé čísla, To a-b≠b-a. Napríklad 45–21≠21–45.

Vlastnosť odčítania súčtu dvoch čísel od prirodzeného čísla.

Na odčítanie od uvedeného prirodzeného čísla je potrebný súčet 2 prirodzených čísel rovnaký, ak sa od uvedeného prirodzeného čísla odpočíta 1. člen požadovaného súčtu, od vypočítaného rozdielu sa odpočíta 2. člen.

Dá sa vyjadriť takto:

a−(b+c)=(a−b)−c,

Kde a, b A c- prirodzené čísla, musia byť splnené podmienky a>b+c alebo a=b+c.

Vlastnosť odčítania prirodzeného čísla od súčtu dvoch čísel.

Odčítanie prirodzeného čísla od súčtu 2 čísel je rovnaké ako odčítanie čísla od jedného z členov a následné sčítanie rozdielu a druhého člena. Odčítané číslo NEMÔŽE byť väčšie ako člen, od ktorého sa toto číslo odpočítava.

Nechaj a, b A c- celé čísla. Ak teda a viac alebo rovné c, rovnosť (a+b)-c=(a-c)+b bude pravda, a ak b viac alebo rovné c, To: (a+b)-c=a+(b-c). Kedy a a A b viac alebo rovné c, takže obe posledné rovnosti platia a možno ich zapísať takto:

(a+b)-c=(a-c)+b= a+(b-c).