Definícia a príklady euklidovských priestorov. Euklidovské priestory. Prenasledovanie lineárnej algebry v euklidovskom priestore

Zodpovedá takémuto vektorovému priestoru. V tomto článku bude prvá definícia považovaná za počiatočnú.

$n$-rozmerný euklidovský priestor označujeme $\backslash mathbb\; E^n,$ aj bežne používaná notácia $\backslash mathbb\; R^n$(ak je z kontextu zrejmé, že priestor má euklidovskú štruktúru).

Formálna definícia

Na definovanie euklidovského priestoru je najjednoduchšie vziať ako základný koncept bodový súčin. Euklidovský vektorový priestor je definovaný ako konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom reálnych čísel, na ktorého vektoroch je daná funkcia skutočnej hodnoty. $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$ s týmito tromi vlastnosťami:

• Bilinearita: pre ľubovoľné vektory $u,v,w$ a pre akékoľvek reálne čísla $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$ A $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Symetria: pre ľubovoľné vektory $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• Pozitívna jednoznačnosť: pre akúkoľvek $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$ a $(u,u)=0\backslash šípka\; doprava\; u=0.$

Príklad euklidovského priestoru - súradnicový priestor $\backslash mathbb\; R^n,$ pozostávajúce zo všetkých možných n-tic reálnych čísel $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$ skalárny súčin, v ktorom je určený vzorcom $(x,y)\; =\; \backslash sum\_(i=1)^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

Dĺžky a uhly

Skalárny súčin daný na euklidovskom priestore je dostatočný na zavedenie geometrické pojmy dĺžka a uhol. Dĺžka vektora $u$ definovaný ako $\backslash sqrt((u,u))$ a označené $|u|.$ Pozitívna jednoznačnosť vnútorného súčinu zaručuje, že dĺžka nenulového vektora je nenulová a z bilinearity vyplýva, že $|au|=|a||u|,$ to znamená, že dĺžky proporcionálnych vektorov sú úmerné.

Uhol medzi vektormi $u$ A $v$ sa určuje podľa vzorca $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash vpravo).$ Z kosínusovej vety vyplýva, že pre dvojrozmerný euklidovský priestor ( euklidovská rovina) túto definíciu uhol sa zhoduje s obvyklým. Ortogonálne vektory, ako v trojrozmernom priestore, môžu byť definované ako vektory, ktorých uhol je rovný $\backslash frac(\backslash pi)(2).$

Cauchyho-Bunyakovského-Schwarzova nerovnosť a trojuholníková nerovnosť

Vo vyššie uvedenej definícii uhla zostala jedna medzera: aby $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right)$ bola definovaná, je potrebné, aby nerovnosť $\backslash left|\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$ Táto nerovnosť skutočne platí v ľubovoľnom euklidovskom priestore, nazýva sa to Cauchyho-Bunyakovského-Schwarzova nerovnosť. Táto nerovnosť zase implikuje trojuholníkovú nerovnosť: $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$ Trojuholníková nerovnosť spolu s dĺžkovými vlastnosťami uvedenými vyššie znamená, že dĺžka vektora je normou na euklidovskom vektorový priestor a funkciu $d(x,y)=|x-y|$ definuje štruktúru metrického priestoru na euklidovskom priestore (táto funkcia sa nazýva euklidovská metrika). Najmä vzdialenosť medzi prvkami (bodmi) $X$ A $r$ súradnicový priestor $\backslash mathbb\; R^n$ daný vzorcom $d(\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y))\; =\; \backslash |\backslash mathbf(x)\; -\; \backslash mathbf(y)\backslash |\; =\; \backslash sqrt(\backslash sum\_(i=1)^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2).$

Algebraické vlastnosti

Ortonormálne bázy

Dvojité priestory a operátori

Akýkoľvek vektor $X$ Euklidovský priestor definuje lineárny funkcionál $x^*$ na tomto priestore, vymedzenom ako $x^*(y)=(x,y).$ Toto porovnanie je izomorfizmom medzi euklidovským priestorom a jeho duálnym priestorom a umožňuje ich identifikáciu bez kompromisov vo výpočtoch. Najmä pridružené operátory možno považovať za operátory pôsobiace na pôvodný priestor, a nie na jeho duálny, a samoadjungované operátory možno definovať ako operátory zhodné s ich priľahlými. Na ortonormálnom základe je matica adjointovaného operátora transponovaná do matice pôvodného operátora a matica samoadjungovaného operátora je symetrická.

Euklidovské pohyby v priestore

Príklady

Dobrými príkladmi euklidovských priestorov sú tieto priestory:

• $\backslash mathbb\; E^1$ rozmery $1$ (skutočná línia)
• $\backslash mathbb\; E^2$ rozmery $2$ (euklidovská rovina)
• $\backslash mathbb\; E^3$ rozmery $3$ (Euklidovský 3D priestor)

Abstraktnejší príklad:

• priestor reálnych polynómov $p(x)$ stupeň nepresahujúci $n$ s vnútorným súčinom definovaným ako integrál súčinu cez konečný segment (alebo cez celú čiaru, ale s rýchlo klesajúcou váhovou funkciou, napr. $e^(-x^2)$).

Príklady geometrických útvarov vo viacrozmernom euklidovskom priestore

• Pravidelné viacrozmerné mnohosteny (konkrétne N-rozmerná kocka, N-rozmerný oktaedrón, N-rozmerný štvorsten)

Súvisiace definície

• Pod euklidovská metrika metriku opísanú vyššie možno chápať rovnako ako zodpovedajúcu Riemannovu metriku.

• Miestna euklidovosť zvyčajne znamená, že každý dotyčnicový priestor Riemannovej variety je euklidovský priestor so všetkými nasledujúcimi vlastnosťami, napríklad možnosťou (v dôsledku hladkosti metriky) zaviesť súradnice do malého okolia bodu, v ktorom je vzdialenosť je vyjadrená (do určitého rádu), ako je opísané vyššie.

• Metrický priestor sa nazýva aj lokálne euklidovský, ak je možné naň zaviesť súradnice, v ktorých je metrika euklidovská (v zmysle druhej definície) všade (alebo aspoň v konečnej oblasti) - čo je napr. Riemannova varieta nulového zakrivenia.

Variácie a zovšeobecnenia

• Nahradením hlavného poľa z poľa reálnych čísel do poľa komplexných čísel sa získa definícia unitárneho (alebo hermitovského) priestoru.
• Odmietnutie požiadavky konečnej dimenzie dáva definíciu predHilbertovho priestoru.
• Odmietnutie požiadavky pozitívnej definitívnosti skalárneho súčinu vedie k definícii pseudoeuklidovského priestoru.

Napíšte recenziu na článok „Euklidovský priestor“

Poznámky

Literatúra

• Gelfand I. M. Prednášky z lineárnej algebry. - 5. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 s. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Lineárna algebra a geometria. - M .: Nauka, 1986. - 304 s.

Úryvok charakterizujúci euklidovský priestor

„Stáva sa ti,“ povedala Nataša svojmu bratovi, keď si sadli do rozkladacej miestnosti, „stane sa ti, že sa ti zdá, že sa nič nestane – nič; že všetko, čo bolo dobré, bolo? A nielen nudné, ale aj smutné?
- A ako! - povedal. - Stávalo sa mi, že bolo všetko v poriadku, všetci boli veselí, ale prišlo by mi, že toto všetko je už unavené a každý potrebuje zomrieť. Raz som nešiel k pluku na prechádzku a hrala hudba ... a zrazu som sa nudil ...
"Ach, to viem. Ja viem, ja viem, - zdvihla Natasha. „Bol som ešte malý, tak sa mi to stalo. Pamätáš si, odkedy ma potrestali za slivky a všetci ste tancovali, a ja som sedel v triede a vzlykal, nikdy nezabudnem: bolo mi smutno a ľutoval som všetkých, aj seba, a ľutoval som všetkých. A čo je najdôležitejšie, ja som za to nemohla, - povedala Nataša, - pamätáš sa?
"Pamätám si," povedal Nikolaj. - Pamätám si, že som k vám prišiel neskôr a chcel som vás utešiť a, viete, hanbil som sa. Boli sme strašne vtipní. Mal som vtedy brmbolcovú hračku a chcel som ti ju dať. Pamätáš si?
„Pamätáš sa,“ povedala Nataša so zamysleným úsmevom, ako dávno, veľmi dávno sme boli ešte veľmi mladí, náš strýko nás zavolal do kancelárie, späť do starého domu, a bola tma – prišli sme a zrazu bolo stáť tam...
„Arap,“ dokončil Nikolaj s radostným úsmevom, „ako si nemôžeš spomenúť? Ani teraz neviem, že to bol černoch, alebo sme to videli vo sne, alebo nám to bolo povedané.
- Bol sivý, pamätajte, a biele zuby - stojí a pozerá sa na nás ...
Pamätáš si na Sonyu? Mikuláš sa spýtal...
"Áno, áno, tiež si niečo pamätám," odpovedala Sonya nesmelo ...
"Pýtala som sa svojho otca a matky na tento arap," povedala Natasha. „Hovoria, že tam nebol žiadny arap. Ale pamätáš si!
- Ako, ako teraz si pamätám jeho zuby.
Aké zvláštne, bolo to ako sen. Páči sa mi to.
- Pamätáš si, ako sme v predsieni gúľali vajíčka a zrazu sa na koberci začali točiť dve starenky. Bolo alebo nebolo? Pamätáte si, aké to bolo dobré?
- Áno. Pamätáš si, ako ocko v modrom kabáte na verande strieľal z pištole. - Pretriedili spomienky, s potešením sa usmievali, nie smutné staré, ale poetické mladícke spomienky, tie dojmy z najvzdialenejšej minulosti, kde sa sen spája s realitou, a ticho sa smiali, radujúc sa z niečoho.
Sonya, ako vždy, za nimi zaostávala, hoci ich spomienky boli spoločné.
Sonya si veľa z toho, čo si pamätali, nepamätala a to, čo si pamätala, v nej nevzbudzovalo ten poetický pocit, ktorý zažili. Užívala si len ich radosť a snažila sa ju napodobniť.
Zúčastnila sa, až keď si spomenuli na Sonyinu prvú návštevu. Sonya rozprávala, ako sa Nikolaja bála, pretože mal na bunde šnúry a jej opatrovateľka jej povedala, že aj ju zašijú do šnúr.
"Ale pamätám si: povedali mi, že si sa narodil pod kapustou," povedala Natasha, "a pamätám si, že som sa neodvážila neveriť, ale vedela som, že to nie je pravda, a bola som tak v rozpakoch.
Počas tohto rozhovoru zo zadných dverí divánu vystrčila hlava slúžky. - Mladá pani, priniesli kohúta, - povedalo dievča šeptom.
"Nehovor, Polya, povedz im, aby to vzali," povedala Natasha.
Uprostred rozhovorov prebiehajúcich v rozkladacej miestnosti vstúpil Dimmler do miestnosti a pristúpil k harfe v rohu. Vyzliekol látku a harfa vydala falošný zvuk.
„Eduard Karlych, pustite, prosím, moju obľúbenú Nocturiénu monsieur Filda,“ ozval sa hlas starej grófky zo salónu.
Dimmler vzal akord a obrátil sa k Natashe, Nikolai a Sonya a povedal: - Mladí ľudia, ako ticho sedia!
„Áno, filozofujeme,“ povedala Natasha, chvíľu sa obzerala a pokračovala v rozhovore. Rozhovor bol teraz o snoch.
Dimmler začal hrať. Natasha nepočuteľne, na špičkách, pristúpila k stolu, vzala sviečku, vyniesla ju a po návrate sa ticho posadila na svoje miesto. V izbe bola tma, najmä na pohovke, na ktorej sedeli, no cez veľké okná dopadalo na podlahu strieborné svetlo mesiaca v splne.
„Vieš, myslím si,“ povedala Natasha šeptom a priblížila sa k Nikolajovi a Sonye, ​​keď Dimmler už skončil a stále sedel, slabo brnkal na struny, zjavne v nerozhodnosti odísť alebo začať niečo nové, „že keď pamätaj si to, pamätáš, pamätáš si všetko, kým si nezapamätáš, že si pamätáš, čo bolo ešte predtým, ako som bol na svete ...
"Toto je metampsikova," povedala Sonya, ktorá sa vždy dobre učila a všetko si pamätala. „Egypťania verili, že naše duše sú v zvieratách a vrátia sa späť medzi zvieratá.
"Nie, vieš, neverím, že sme boli zvieratá," povedala Natasha tým istým šepotom, hoci hudba skončila, "ale viem určite, že sme tam niekde a tu boli anjeli, a z toho si pamätáme všetko." .”…
- Môžem sa pridať? - povedal Dimmler ticho pristúpil a sadol si k nim.
- Ak sme boli anjeli, prečo sme sa dostali nižšie? povedal Nikolaj. - Nie, to nemôže byť!
"Nie nižšie, kto ti povedal, že to bolo nižšie? ... Prečo viem, čím som bola predtým," namietala Natasha presvedčivo. - Veď duša je nesmrteľná ... preto, ak žijem večne, tak som žil predtým, žil pre večnosť.
"Áno, ale je pre nás ťažké predstaviť si večnosť," povedal Dimmler, ktorý sa k mladým ľuďom priblížil s pokorným, pohŕdavým úsmevom, ale teraz hovoril tak ticho a vážne ako oni.
Prečo je také ťažké predstaviť si večnosť? povedala Natasha. "Bude to dnes, bude to zajtra, bude to vždy a včera bolo a bol tretí deň ...
- Natasha! Teraz si na rade ty. Zaspievaj mi niečo, - ozval sa hlas grófky. - Prečo sedíte ako sprisahanci.
- Matka! Nechce sa mi,“ povedala Natasha, no zároveň vstala.
Všetci, dokonca ani Dimmler v strednom veku, nechceli prerušiť rozhovor a odísť z rohu pohovky, ale Nataša vstala a Nikolaj si sadol ku klavichordu. Ako vždy, keď Natasha stála uprostred sály a vybrala si najvýhodnejšie miesto pre rezonanciu, začala spievať obľúbenú hru svojej matky.
Povedala, že sa jej nechce spievať, ale dlho nespievala predtým a dlho potom, ako spievala v ten večer. Gróf Iľja Andrejevič z pracovne, kde sa rozprával s Mitinkou, počul jej spev a ako žiak, ktorý sa ponáhľa hrať, končiac hodinu, zmiatol sa v slovách, dával príkazy vedúcemu a nakoniec stíchol. a Mitinka, tiež počúvajúca, ticho s úsmevom sa postavila pred grófa. Nikolai nespustil oči zo svojej sestry a nadýchol sa s ňou. Sonya, ktorá počúvala, premýšľala o tom, aký obrovský rozdiel je medzi ňou a jej priateľkou a aké je pre ňu nemožné, aby bola akýmkoľvek spôsobom taká očarujúca ako jej sesternica. Stará grófka sedela s šťastne smutným úsmevom a slzami v očiach a občas pokrútila hlavou. Premýšľala o Natashe, o svojej mladosti a o tom, aké je niečo neprirodzené a hrozné v tomto nadchádzajúcom manželstve Natashe s princom Andrejom.
Dimmler, ktorý si sadol vedľa grófky a zavrel oči, počúval.
„Nie, grófka,“ povedal nakoniec, „toto je európsky talent, nemá sa čo učiť, táto jemnosť, neha, sila...
– Ach! ako sa o ňu bojím, ako sa bojím,“ povedala grófka a nepamätala si, s kým sa rozprávala. Jej materinský inštinkt jej povedal, že v Natashe je toho príliš veľa a že z toho nebude šťastná. Nataša ešte nedospievala, keď do izby vbehla nadšená štrnásťročná Peťa so správou, že prišli mumraj.
Natasha zrazu prestala.
- Blázon! kričala na brata, pribehla k stoličke, spadla na ňu a vzlykala, že potom dlho nemohla prestať.
"Nič, mami, naozaj nič, takže: Peťa ma vystrašila," povedala a pokúsila sa o úsmev, no slzy jej tiekli a hrdlo sa jej tlačili vzlyky.
Vystrojení sluhovia, medvede, Turci, krčmári, paničky, hrozné i smiešne, prinášajúce so sebou chlad i zábavu, najprv nesmelo schúlené na chodbe; potom, schovaní jeden za druhým, boli prinútení do siene; a spočiatku ostýchavo, ale potom čoraz veselšie a priateľskejšie začali piesne, tance, zborové a vianočné hry. Grófka, ktorá spoznala tváre a vysmiata oblečeným, vošla do obývačky. Gróf Iľja Andrej sedel v sále so žiarivým úsmevom a schvaľoval hráčov. Mládež zmizla.

Definícia euklidovského priestoru

Definícia 1. Reálny lineárny priestor sa nazýva euklidovský, Ak definuje operáciu, ktorá spája ľubovoľné dva vektory X A r odtiaľto priestorové číslo, nazývané skalárny súčin vektorov X A r a označené(x,y), pre ktoré sú splnené tieto podmienky:

1. (x, y) = (y, x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z), kde z- ľubovoľný vektor patriaci do daného lineárneho priestoru;

3. (?x,y) = ? (x,y), kde ? - ľubovoľné číslo;

4. (x,x) ? 0 a (x,x) = 0 x = 0.

Napríklad v lineárnom priestore jednostĺpcových matíc skalárny súčin vektorov

môže byť definovaná vzorcom

Euklidovský priestor dimenzií n označujú En. Všimni si existujú konečne-dimenzionálne aj nekonečne-dimenzionálne euklidovské priestory.

Definícia 2. Dĺžka (modul) vektora x v euklidovskom priestore En volal (xx) a označte to takto: |x| = (xx). Pre ľubovoľný vektor v euklidovskom priestoreexistuje dĺžka a pre nulový vektor sa rovná nule.

Násobenie nie nulový vektor X za číslo , dostaneme vektor, dĺžka čo sa rovná jednej. Táto operácia sa nazýva prídelový vektor X.

Napríklad v priestore jednostĺpcových matíc dĺžka vektora možno definovať podľa vzorca:

Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť

Nechať x? En a y? En sú ľubovoľné dva vektory. Dokážme, že pre nich platí nasledujúca nerovnosť:

(Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť)

Dôkaz. Nechať byť? - akékoľvek skutočné číslo. To je zrejmé (?x ? y,?x ? y) ? 0. Na druhej strane vďaka vlastnostiam skalárneho súčinu môžeme písať

Mám to

Diskriminant tejto štvorcovej trojčlenky nemôže byť kladný, t.j. , z ktorého vyplýva:

Nerovnosť bola preukázaná.

trojuholníková nerovnosť

Nechaj X A r sú ľubovoľné vektory euklidovského priestoru En , t.j. X? en a r? en.

Dokážme to . (Trojuholníková nerovnosť).

Dôkaz. To je zrejmé Na druhej strane,. Ak vezmeme do úvahy Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť, získame

Trojuholníková nerovnosť je dokázaná.

Euklidovská vesmírna norma

Definícia 1 . lineárny priestor?volal metrický, Ak nejaký dva prvky tohto priestoru X A r priradené nezápornéčíslo? (x,y), nazývaná vzdialenosť medzi X A r , (? (x,y)? 0) apodmienky (axiómy):

1) ? (x,y) = 0 X = r

2) ? (x,y) = ? (y,x)(symetria);

3) pre ľubovoľné tri vektory X, r A z tento priestor? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y).

Komentujte. Prvky metrického priestoru sa zvyčajne nazývajú body.

Euklidovský priestor En je navyše metrický ako vzdialenosť medzi nimi vektory x? en a y? En je možné vziať X ? r.

Čiže napríklad v priestore jednostĺpcových matíc, kde

teda

Definícia 2 . lineárny priestor?volal normalizované, Ak každý vektor X z tohto priestoru, nezáporné volalo mu číslo normou X. V tomto prípade sú splnené tieto axiómy:

Je ľahké vidieť, že normovaný priestor je metrický priestor. nehnuteľnosť. Vskutku, ako vzdialenosť medzi X A r môže vziať. V euklidovčinepriestor En ako norma ľubovoľného vektora x? En sa berie ako jeho dĺžka, tie. .

Euklidovský priestor En je teda metrický priestor a navyše, euklidovský priestor En je normovaný priestor.

Uhol medzi vektormi

Definícia 1 . Uhol medzi nenulovými vektormi a A b euklidovský priestorE n pomenujte číslo, pre ktoré

Definícia 2 . vektory X A r Euklidovský priestor En volal ortogonálnyľan, ak spĺňajú rovnosť (x,y) = 0.

Ak X A r sú nenulové, potom z definície vyplýva, že uhol medzi nimi je rovný

Všimnite si, že nulový vektor je podľa definície považovaný za ortogonálny k akémukoľvek vektoru.

Príklad . V geometrickom (súradnicovom) priestore?3, ktorý je špeciálny prípad euklidovského priestoru, orts i, j A k vzájomne ortogonálne.

Ortonormálny základ

Definícia 1 . Základ e1,e2 ,...,en euklidovského priestoru sa nazýva En ortogonálnyľan, ak sú vektory tejto bázy párovo ortogonálne, t.j. Ak

Definícia 2 . Ak sú všetky vektory ortogonálnej bázy e1, e2 ,...,en sú slobodné, t.j. e i = 1 (i = 1,2,...,n) , potom sa volá základ ortonormálny, t.j. Preortonormálny základ

Veta. (na konštrukcii ortonormálneho základu)

Každý euklidovský priestor E n má ortonormálne bázy.

Dôkaz . Dokážme vetu pre tento prípad n = 3.

Nech E1 ,E2 ,E3 je nejaký ľubovoľný základ euklidovského priestoru E3 Postavme si nejaký ortonormálny základv tomto priestore.Dajme kde ? - nejaké reálne číslo, ktoré si vyberiemetakže (e1 ,e2 ) = 0, potom dostaneme

a jasne co? = 0, ak E1 a E2 sú ortogonálne, t.j. v tomto prípade e2 = E2 a , pretože toto je základný vektor.

Ak vezmeme do úvahy, že (e1 ,e2 ) = 0, dostaneme

Je zrejmé, že ak sú el a e2 ortogonálne s vektorom E3, t.j. v tomto prípade treba brať e3 = E3 . Vektor E3? 0, pretože E1, E2 a E3 sú lineárne nezávislé,teda e3? 0.

Z vyššie uvedenej úvahy navyše vyplýva, že e3 nemôže byť zastúpené vo formulári lineárna kombinácia vektory e1 a e2 , teda vektory e1 , e2 , e3 sú lineárne nezávislésims a sú párovo ortogonálne, preto ich možno považovať za základ euklidovskéhopriestory E3. Zostáva len normalizovať vybudovaný základ, na ktorý to stačívydeľte každý zo zostrojených vektorov jeho dĺžkou. Potom dostaneme

Postavili sme teda základ je ortonormálny základ. Veta bola dokázaná.

Použitá metóda konštrukcie ortonormálneho základu z ľubovoľného základ je tzv ortogonalizačný proces . Všimnite si, že počas dôkazuteorém, zistili sme, že párové ortogonálne vektory sú lineárne nezávislé. Okrem ak je ortonormálny základ v En , potom pre ľubovoľný vektor x? Enexistuje len jeden rozklad

kde x1 , x2 ,..., xn sú súradnice vektora x v tejto ortonormálnej báze.

Pretože

potom vynásobením skalárnej rovnosti (*)., dostaneme .

V nasledujúcom budeme uvažovať iba o ortonormálnych základoch, a preto pre uľahčenie ich zapisovania, nuly na vrchole základných vektorovvypadneme.

Zodpovedá takémuto vektorovému priestoru. V tomto článku bude prvá definícia považovaná za počiatočnú.

N (\displaystyle n)-rozmerný euklidovský priestor označujeme E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)často sa používa aj zápis (ak je z kontextu zrejmé, že priestor má euklidovskú štruktúru).

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ 04 - Lineárna algebra. Euklidovský priestor

✪ Neeuklidovská geometria. Časť prvá.

✪ Neeuklidovská geometria. Druhá časť

✪ 01 - Lineárna algebra. Lineárny (vektorový) priestor

✪ 8. Euklidovské priestory

titulky

Formálna definícia

Na definovanie euklidovského priestoru je najjednoduchšie brať ako základný koncept skalárneho produktu. Euklidovský vektorový priestor je definovaný ako konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom reálnych čísel, na ktorého vektoroch je daná funkcia skutočnej hodnoty. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) s týmito tromi vlastnosťami:

Príklad euklidovského priestoru - súradnicový priestor R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) pozostávajúce zo všetkých možných n-tic reálnych čísel (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),) skalárny súčin, v ktorom je určený vzorcom (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Dĺžky a uhly

Skalárny súčin uvedený v euklidovskom priestore je dostatočný na zavedenie geometrických pojmov dĺžky a uhla. Dĺžka vektora u (\displaystyle u) definovaný ako (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) a označené | u | . (\displaystyle |u|.) Pozitívna jednoznačnosť vnútorného súčinu zaručuje, že dĺžka nenulového vektora je nenulová a z bilinearity vyplýva, že | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) to znamená, že dĺžky proporcionálnych vektorov sú úmerné.

Uhol medzi vektormi u (\displaystyle u) A v (\displaystyle v) sa určuje podľa vzorca φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).) Z kosínusovej vety vyplýva, že pre dvojrozmerný euklidovský priestor ( euklidovská rovina) táto definícia uhla sa zhoduje s obvyklou. Ortogonálne vektory, ako v trojrozmernom priestore, môžu byť definované ako vektory, ktorých uhol je rovný π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Cauchyho-Bunyakovského-Schwarzova nerovnosť a trojuholníková nerovnosť

Vo vyššie uvedenej definícii uhla zostala jedna medzera: aby arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\vpravo)) bola definovaná, je potrebné, aby nerovnosť | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Táto nerovnosť je skutočne splnená v ľubovoľnom euklidovskom priestore, nazýva sa to  Cauchyho - Bunyakovského - Schwarzova nerovnosť. Z tejto nerovnosti zase vyplýva trojuholníková nerovnosť: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Trojuholníková nerovnosť spolu s vlastnosťami dĺžky uvedenými vyššie znamená, že dĺžka vektora je normou v euklidovskom vektorovom priestore a funkcia d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) definuje štruktúru metrického priestoru na euklidovskom priestore (táto funkcia sa nazýva euklidovská metrika). Najmä vzdialenosť medzi prvkami (bodmi) x (\displaystyle x) A y (\displaystyle y) súradnicový priestor R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) daný vzorcom d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Algebraické vlastnosti

Ortonormálne bázy

Dvojité priestory a operátori

Akýkoľvek vektor x (\displaystyle x) Euklidovský priestor definuje lineárny funkcionál x ∗ (\displaystyle x^(*)) na tomto priestore, vymedzenom ako x ∗ (y) = (x, y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Toto zobrazenie je izomorfizmus medzi euklidovským priestorom a

§3. Rozmer a základ vektorového priestoru

Lineárna kombinácia vektorov

Triviálna a netriviálna lineárna kombinácia

Lineárne závislé a lineárne nezávislé vektory

Vlastnosti vektorového priestoru spojené s lineárna závislosť vektory

P-rozmerný vektorový priestor

Rozmer vektorového priestoru

Rozklad vektora z hľadiska bázy

§4. Prechod na nový základ

Matica prechodu zo starého základu na nový

Vektorové súradnice na novom základe

§5. Euklidovský priestor

Skalárny súčin

Euklidovský priestor

Dĺžka (norma) vektora

Vlastnosti dĺžky vektora

Uhol medzi vektormi

Ortogonálne vektory

Ortonormálny základ

§ 3. Rozmer a základ vektorového priestoru

Uvažujme nejaký vektorový priestor (V, M, ∘) nad poľom R. Nech sú niektoré prvky množiny V, t.j. vektory.

Lineárna kombinácia vektory je ľubovoľný vektor rovný súčtu súčinov týchto vektorov ľubovoľnými prvkami poľa R(t.j. na skaláre):

Ak sú všetky skaláre rovné nule, potom sa takáto lineárna kombinácia nazýva triviálne(najjednoduchšie) a .

Ak je aspoň jeden skalár nenulový, volá sa lineárna kombinácia netriviálne.

Vektory sú tzv lineárne nezávislé, pokiaľ triviálna lineárna kombinácia týchto vektorov nie je:

Vektory sú tzv lineárne závislé, ak existuje aspoň jedna netriviálna lineárna kombinácia týchto vektorov rovná .

Príklad. Uvažujme množinu usporiadaných množín štvoríc reálne čísla je vektorový priestor nad poľom reálnych čísel. Úloha: zistiť, či sú vektory , A lineárne závislé.

Riešenie.

Zostavme lineárnu kombináciu týchto vektorov: , kde sú neznáme čísla. Požadujeme, aby sa táto lineárna kombinácia rovnala nulovému vektoru: .

V tejto rovnosti zapíšeme vektory ako stĺpce čísel:

Ak existujú čísla, pri ktorých platí táto rovnosť, a aspoň jedno z čísel sa nerovná nule, potom ide o netriviálnu lineárnu kombináciu a vektory sú lineárne závislé.

Urobme nasledovné:

Problém sa teda redukuje na vyriešenie systému lineárne rovnice:

Keď to vyriešime, dostaneme:

Hodnoty rozšírených a základných matíc systému sú rovnaké a menej ako číslo neznáme, preto má systém nekonečné množstvo riešení.

Nechajte , potom a .

Takže pre tieto vektory existuje netriviálna lineárna kombinácia, napríklad at , ktorá sa rovná nulovému vektoru, čo znamená, že tieto vektory sú lineárne závislé.

Niektoré si všimneme vlastnosti vektorového priestoru súvisiace s lineárnou závislosťou vektorov:

1. Ak sú vektory lineárne závislé, potom aspoň jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných.

2. Ak je medzi vektormi nulový vektor , potom sú tieto vektory lineárne závislé.

3. Ak sú niektoré z vektorov lineárne závislé, potom všetky tieto vektory sú lineárne závislé.

Vektorový priestor V sa nazýva P-rozmerný vektorový priestor ak obsahuje P lineárne nezávislé vektory a ľubovoľná množina ( P+ 1) vektorov je lineárne závislý.

číslo P volal vektorový priestorový rozmer, a je označený tlmené (V) z anglického "dimension" - rozmer (miera, veľkosť, veľkosť, veľkosť, dĺžka atď.).

Agregátne P lineárne nezávislé vektory P-rozmerný vektorový priestor sa nazýva základ.

Nazýva sa vzorec (*). vektorový rozklad základ a čísla – vektorové súradnice v tomto základe .

Vo vektorovom priestore môže byť viac ako jedna alebo dokonca nekonečne veľa báz. V každom novom základe bude mať ten istý vektor rôzne súradnice.

§ 4. Prechod na nový základ

V lineárnej algebre často vzniká problém nájsť súradnice vektora v novej báze, ak sú známe jeho súradnice v starej báze.

Zvážte niektoré P-rozmerný vektorový priestor (V, +, ) nad poľom R. Nech sú v tomto priestore dve základne: stará a nová .

Úloha: nájdite súradnice vektora v novom základe.

Nech vektory novej bázy v starej báze majú rozklad:

,

Vypíšme súradnice vektorov v matici nie do riadkov, ako sú zapísané v systéme, ale do stĺpcov:

Výsledná matica je tzv prechodová matica zo starej základne do novej.

Matica prechodu spája súradnice ľubovoľného vektora na starej a novej báze nasledujúcim vzťahom:

,

kde sú požadované súradnice vektora v novom základe.

Problém hľadania súradníc vektora v novom základe sa teda redukuje na riešenie maticová rovnica: , Kde X– maticový stĺpec vektorových súradníc v starom základe, A je prechodová matica zo starého základu na nový, X* je požadovaný maticový stĺpec vektorových súradníc v novom základe. Z maticovej rovnice dostaneme:

takže, vektorové súradnice v novom základe sa zisťujú z rovnosti:

.

Príklad. Na niektorých základoch sú uvedené expanzie vektorov:

Nájdite súradnice vektora v základe .

Riešenie.

1. Vypíšte maticu prechodu na nový základ, t.j. súradnice vektorov v starom základe zapíšeme do stĺpcov:

2. Nájdite maticu A –1:

3. Vykonajte násobenie, kde sú súradnice vektora:

Odpoveď: .

§ 5. Euklidovský priestor

Zvážte niektoré P-rozmerný vektorový priestor (V, +, ) nad poľom reálnych čísel R. Nech je nejakým základom tohto priestoru.

Predstavme si tento vektorový priestor metrický, t.j. Definujme metódu merania dĺžok a uhlov. Aby sme to dosiahli, definujeme pojem skalárneho súčinu.