Cum să înțelegeți funcțiile și graficele lor. Construirea graficelor de funcții. Proprietățile funcției cotangente

The material metodic are scop de referință și acoperă o gamă largă de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor principalelor funcții elementare și ia în considerare cea mai importantă întrebare – cum să construiți corect și RAPID un grafic. În timpul studiului matematica superioara fără a cunoaște graficele funcțiilor elementare de bază, va fi dificil, așa că este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc., pentru a reține unele valori ale funcției. Vom vorbi și despre câteva proprietăți ale principalelor funcții.

Nu pretind completitudinea și temeinicia științifică a materialelor, accentul va fi pus, în primul rând, pe practică - acele lucruri cu care trebuie să te confrunți literalmente la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? Se poate spune si asa.

La cererea populară din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultra-scurt pe această temă
– stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, chiar și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă nominală, o versiune demo poate fi vizualizată. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și începem imediat:

Cum să construiți corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna întocmite de către elevi în caiete separate, aliniate într-o cușcă. De ce ai nevoie de marcaje în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru designul de înaltă calitate și precis al desenelor.

Orice desen al unui grafic de funcții începe cu axe de coordonate.

Desenele sunt bidimensionale și tridimensionale.

Să luăm mai întâi în considerare cazul bidimensional carteziană sistem dreptunghiular coordonate:

1) Desenăm axe de coordonate. Axa se numește axa x , și axa axa y . Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă. De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele cu majuscule „x” și „y”. Nu uitați să semnați topoarele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trage zero și doi unu. Când faceți un desen, scara cea mai convenabilă și obișnuită este: 1 unitate = 2 celule (desenul din stânga) - rămâneți de ea dacă este posibil. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe o foaie de caiet - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Rareori, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU mâzgăliți dintr-o mitralieră... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Căci planul de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar elevul nu este un porumbel. Am pus zeroȘi două unități de-a lungul axelor. Uneori în loc de unități, este convenabil să „detecți” alte valori, de exemplu, „două” pe axa absciselor și „trei” pe axa ordonatelor - și acest sistem (0, 2 și 3) va seta, de asemenea, grila de coordonate în mod unic.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a fi desenat desenul.. Deci, de exemplu, dacă sarcina necesită desenarea unui triunghi cu vârfuri , , , atunci este destul de clar că scara populară 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la subiect - aici trebuie să măsori cincisprezece centimetri în jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că sunt 15 centimetri în 30 de celule de notebook? Măsurați într-un caiet pentru dobândă 15 centimetri cu o riglă. În URSS, poate că acest lucru a fost adevărat ... Este interesant de remarcat că, dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, atunci rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Poate părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de situații este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau o scurtă recomandare despre papetărie. Până în prezent, majoritatea caietelor puse în vânzare, fără a spune cuvinte rele, sunt complet spiriduși. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Economisiți pe hârtie. Pentru degajare lucrări de control Recomand să folosiți caietele fabricii de celuloză și hârtie din Arkhangelsk (18 coli, cușcă) sau Pyaterochka, deși este mai scump. Este indicat să alegeți un pix cu gel, chiar și cea mai ieftină reumplere chinezească cu gel este mult mai bună decât un pix, care fie untează, fie rupe hârtia. Singurul pix „competitiv” din memoria mea este Erich Krause. Ea scrie clar, frumos și stabil - fie cu tulpina plină, fie cu una aproape goală.

În plus: viziunea unui sistem de coordonate dreptunghiular prin ochii geometriei analitice este acoperită în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială, informații detaliate despre sferturile de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

carcasă 3D

Aici este aproape la fel.

1) Desenăm axe de coordonate. Standard: aplica axa – îndreptat în sus, ax – îndreptat spre dreapta, ax – în jos spre stânga strict la un unghi de 45 de grade.

2) Semnăm axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scala de-a lungul axei - de două ori mai mică decât scara de-a lungul celorlalte axe. De asemenea, rețineți că, în desenul din dreapta, am folosit un "serif" non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu trebuie să căutați mijlocul celulei la microscop și să „sculptați” unitatea până la origine.

Când faceți din nou un desen 3D - acordați prioritate scalei
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt acolo pentru a fi încălcate. Ce am de gând să fac acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorect din punct de vedere design corect. Aș putea desena toate graficele cu mâna, dar este foarte înfricoșător să le desenezi, deoarece Excel este reticent să le deseneze mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

Funcția liniară este dată de ecuația . Graficul funcției liniare este direct. Pentru a construi o linie dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Trasează funcția. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Daca atunci

Luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Daca atunci

La pregătirea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, calculator.

S-au găsit două puncte, să desenăm:

Când întocmim un desen, semnăm întotdeauna grafica.

Nu va fi de prisos să amintim cazuri speciale ale unei funcții liniare:

Observați cum am plasat legendele, semnăturile nu trebuie să fie ambigue atunci când studiați desenul. În acest caz, a fost foarte nedorit să se pună o semnătură lângă punctul de intersecție al liniilor sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Graficul de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construcția unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți un singur punct.

2) O ecuație de formă definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este construit imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, intrarea trebuie înțeleasă după cum urmează: „y este întotdeauna egal cu -4, pentru orice valoare a lui x”.

3) O ecuație de formă definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este de asemenea construit imediat. Intrarea ar trebui să fie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, egal cu 1”.

Unii se vor întreba, ei bine, de ce să-ți amintești de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa, doar în anii de practică am întâlnit o duzină bună de studenți care au fost derutați de sarcina de a construi un grafic ca sau .

Desenarea unei linii drepte este cea mai comună acțiune atunci când faceți desene.

Linia dreaptă este discutată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei care doresc pot consulta articolul Ecuația unei drepte pe un plan.

Graficul funcției patratice, graficul funcției cubice, graficul polinomial

Parabolă. Graficul unei funcții pătratice () este o parabolă. Luați în considerare celebrul caz:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: - în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa poate fi învățat din articolul teoretic despre derivată și din lecția despre extremele funcției. Între timp, calculăm valoarea corespunzătoare a lui „y”:

Deci vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm de construcție poate fi numit în mod figurat „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Hai sa facem un desen:

Din graficele luate în considerare, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoașterea aprofundată a curbei poate fi obținută la lecția Hiperbola și parabolă.

Parabola cubică este dată de funcția . Iată un desen cunoscut de la școală:

Enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul funcției

Reprezintă una dintre ramurile parabolei. Hai sa facem un desen:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul hiperbolei la .

Va fi o MARE greșeală dacă, la întocmirea unui desen, din neglijență, vei permite graficului să se intersecteze cu asimptota.

De asemenea, limite unilaterale, spune-ne că o hiperbolă nelimitat de susȘi nelimitat de jos.

Să explorăm funcția la infinit: , adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi un pas subțire infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul funcției, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, ceea ce înseamnă că hiperbola este simetrică față de origine. Acest fapt este evident din desen, în plus, poate fi ușor verificat analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă , atunci hiperbola este situată în primul și al treilea cadran de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă , atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea cadran de coordonate.

Nu este dificil de analizat regularitatea specificată a locului de reședință al hiperbolei din punctul de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punctual, în timp ce este avantajos să selectăm valorile astfel încât să se împartă complet:

Hai sa facem un desen:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei, aici ciudatenia funcției va ajuta doar. În linii mari, în tabelul de construcție punctual, adăugați mental un minus fiecărui număr, puneți punctele corespunzătoare și desenați a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia considerată pot fi găsite în articolul Hiperbolă și parabolă.

Graficul unei funcții exponențiale

În acest paragraf, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri este exponentul care apare.

Vă reamintesc că - acesta este un număr irațional: , acesta va fi necesar la construirea unui grafic, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte sunt probabil suficiente:

Să lăsăm graficul funcției deocamdată, despre asta mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

În principiu, graficele funcțiilor arată la fel etc.

Trebuie să spun că al doilea caz este mai puțin frecvent în practică, dar apare, așa că am simțit că este necesar să îl includ în acest articol.

Graficul unei funcții logaritmice

Se consideră o funcție cu logaritm natural.
Să facem un desen în linie:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniu:

Interval de valori: .

Funcția nu este limitată de sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Investigam comportamentul functiei aproape de zero din dreapta: . Deci axa este asimptotă verticală pentru graficul funcției cu „x” tinde spre zero în dreapta.

Asigurați-vă că cunoașteți și rețineți valoarea tipică a logaritmului: .

În mod fundamental, graficul logaritmului de la bază arată la fel: , , (logaritmul zecimal la baza 10), etc. În același timp, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul, ceva ce nu-mi amintesc când am construit ultima dată un grafic pe o astfel de bază. Da, iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

În încheierea paragrafului, voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcția logaritmicăsunt două reciproce funcții inverse . Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice

Cum începe chinul trigonometric la școală? Dreapta. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie se numește sinusoid.

Vă reamintesc că „pi” este un număr irațional, iar în trigonometrie orbiește în ochi.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct. Ce înseamnă? Să ne uităm la tăietură. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniu: , adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Interval de valori: . Funcția este limitat: , adică toate „jocurile” stau strict în segmentul .
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai exact, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au o soluție.

Universitatea Nationala de Cercetare

Departamentul de Geologie Aplicată

Eseu despre matematica superioara

La subiect: „Funcții elementare de bază,

proprietățile și graficele lor"

Efectuat:

Verificat:

profesor

Definiție. Funcția dată de formula y=a x (unde a>0, a≠1) se numește funcție exponențială cu baza a.

Să formulăm principalele proprietăți functie exponentiala:

1. Domeniul definiției este mulțimea (R) a tuturor numere reale.

2. Gama de valori este mulțimea (R+) a tuturor numerelor reale pozitive.

3. Când a > 1, funcția crește pe întreaga linie reală; la 0<а<1 функция убывает.

4. Este o funcție vedere generala.

, pe intervalul xО [-3;3] , pe intervalul xО [-3;3]

O funcție de forma y(х)=х n , unde n este numărul ОR, se numește funcție de putere. Numărul n poate lua diferite valori: atât întreg cât și fracționar, atât par cât și impar. În funcție de aceasta, funcția de putere va avea o formă diferită. Luați în considerare cazuri speciale care sunt funcții de putere și reflectă principalele proprietăți ale acestui tip de curbe în următoarea ordine: funcție de putere y \u003d x² (o funcție cu exponent par - o parabolă), o funcție de putere y \u003d x³ (o funcție cu un exponent impar - o parabolă cubică) și funcția y \u003d √ x (x la puterea lui ½) (funcție cu un exponent fracționar), o funcție cu un exponent întreg negativ (hiperbolă).

Funcția de putere y=x²

1. D(x)=R – funcția este definită pe toată axa numerică;

2. E(y)= și crește pe interval

Funcția de putere y=x³

1. Graficul funcției y \u003d x³ se numește parabolă cubică. Funcția de putere y=x³ are următoarele proprietăți:

2. D(x)=R – funcția este definită pe toată axa numerică;

3. E(y)=(-∞;∞) – funcția ia toate valorile din domeniul său de definiție;

4. Când x=0 y=0 – funcția trece prin originea O(0;0).

5. Funcția crește pe întregul domeniu de definire.

6. Funcția este impară (simetrică față de origine).

, pe intervalul xн [-3;3]

În funcție de factorul numeric din fața lui x³, funcția poate fi abruptă / plată și crește / descrește.

Funcția de putere cu exponent negativ întreg:

Dacă exponentul n este impar, atunci graficul unei astfel de funcții de putere se numește hiperbolă. O funcție de putere cu un exponent întreg negativ are următoarele proprietăți:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) pentru orice n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) dacă n este un număr impar; E(y)=(0;∞) dacă n este un număr par;

3. Funcția scade pe întregul domeniu de definiție dacă n este un număr impar; funcția crește pe intervalul (-∞;0) și scade pe intervalul (0;∞) dacă n este un număr par.

4. Funcția este impară (simetrică față de origine) dacă n este un număr impar; o funcție este par dacă n este un număr par.

5. Funcția trece prin punctele (1;1) și (-1;-1) dacă n este un număr impar și prin punctele (1;1) și (-1;1) dacă n este un număr par.

, pe intervalul xн [-3;3]

Funcția de putere cu exponent fracționar

O funcție de putere cu un exponent fracționar al formei (imagine) are un grafic al funcției prezentate în figură. O funcție de putere cu un exponent fracționar are următoarele proprietăți: (imagine)

1. D(x) ОR, dacă n este un număr impar și D(x)= , pe intervalul xО , pe intervalul xО [-3;3]

Funcția logaritmică y \u003d log a x are următoarele proprietăți:

1. Domeniul definiției D(x)н (0; + ∞).

2. Interval de valori E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funcția nu este nici pară, nici impară (generală).

4. Funcția crește pe intervalul (0; + ∞) pentru a > 1, scade pe (0; + ∞) pentru 0< а < 1.

Graficul funcției y = log a x poate fi obținut din graficul funcției y = a x folosind o transformare de simetrie în jurul dreptei y = x. În Figura 9, este reprezentat un grafic al funcției logaritmice pentru a > 1, iar în Figura 10 - pentru 0< a < 1.

; pe intervalul xн ; pe intervalul xО

Funcțiile y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x se numesc funcții trigonometrice.

Funcțiile y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x sunt impare, iar funcția y \u003d cos x este pară.

Funcția y \u003d sin (x).

1. Domeniul definiției D(x) ОR.

2. Interval de valori E(y) О [ - 1; 1].

3. Funcția este periodică; perioada principală este 2π.

4. Funcția este impară.

5. Funcția crește pe intervalele [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] și scade pe intervalele [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Graficul funcției y \u003d sin (x) este prezentat în Figura 11.

Funcțiile elementare de bază, proprietățile lor inerente și graficele corespunzătoare sunt unul dintre bazele cunoștințelor matematice, similare ca importanță cu tabla înmulțirii. Funcțiile elementare sunt baza, suportul pentru studiul tuturor problemelor teoretice.

Articolul de mai jos oferă material cheie pe tema funcțiilor elementare de bază. Vom introduce termeni, le vom da definiții; Să studiem în detaliu fiecare tip de funcții elementare și să le analizăm proprietățile.

Se disting următoarele tipuri de funcții elementare de bază:

Definiția 1

funcție constantă (constant);
rădăcina gradului al n-lea;
funcția de putere;
functie exponentiala;
funcția logaritmică;
funcții trigonometrice;
funcţii trigonometrice fraterne.

O funcție constantă este definită prin formula: y = C (C este un număr real) și are, de asemenea, un nume: constantă. Această funcție determină dacă orice valoare reală a variabilei independente x corespunde aceleiași valori a variabilei y – valoarea C .

Graficul unei constante este o dreaptă care este paralelă cu axa x și trece printr-un punct având coordonatele (0, C). Pentru claritate, prezentăm grafice ale funcțiilor constante y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (marcate cu negru, roșu și, respectiv, albastru în desen).

Definiția 2

Această funcție elementară este definită de formula y = x n (n - numar natural mai mult de o).

Să luăm în considerare două variante ale funcției.

Rădăcina de gradul al n-lea, n este un număr par

Pentru claritate, indicăm desenul, care arată graficele unor astfel de funcții: y = x , y = x 4 și y = x 8 . Aceste funcții sunt codate pe culori: negru, roșu și, respectiv, albastru.

O vedere similară a graficelor funcției de un grad par pentru alte valori ale indicatorului.

Definiția 3

Proprietăți ale funcției rădăcină de gradul al n-lea, n este un număr par

domeniul de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale nenegative [ 0 , + ∞) ;
când x = 0, funcția y = x n are o valoare egală cu zero;
dat function - function forma generala (nu este nici par, nici impar);
interval: [ 0 , + ∞) ;
această funcție y = x n cu exponenți pari ai rădăcinii crește pe întregul domeniu de definiție;
funcția are o convexitate cu direcție ascendentă pe întregul domeniu de definiție;
nu există puncte de inflexiune;
nu există asimptote;
graficul funcției pentru n par trece prin punctele (0 ; 0) și (1 ; 1) .

Rădăcina de gradul al n-lea, n este un număr impar

O astfel de funcție este definită pe întregul set de numere reale. Pentru claritate, luați în considerare graficele funcțiilor y = x 3 , y = x 5 și x 9 . În desen, acestea sunt indicate prin culori: culorile negru, roșu și albastru ale curbelor, respectiv.

Alte valori impare ale exponentului rădăcinii funcției y = x n vor da un grafic de formă similară.

Definiția 4

Proprietăți ale funcției rădăcină de gradul al n-lea, n este un număr impar

domeniul definiției este mulțimea tuturor numerelor reale;
această funcție este impară;
intervalul de valori este mulțimea tuturor numerelor reale;
funcția y = x n cu exponenți impari ai rădăcinii crește pe întregul domeniu de definiție;
funcția are concavitate pe intervalul (- ∞ ; 0 ] și convexitate pe intervalul [ 0 , + ∞) ;
punctul de inflexiune are coordonatele (0 ; 0) ;
nu există asimptote;
graficul funcției pentru n impar trece prin punctele (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) și (1 ; 1) .

Funcția de putere

Definiția 5

Funcția de putere este definită de formula y = x a .

Tipul de grafice și proprietățile funcției depind de valoarea exponentului.

când o funcție de putere are un exponent întreg a, atunci forma graficului funcției de putere și proprietățile acesteia depind de dacă exponentul este par sau impar și, de asemenea, de semnul exponentului. Să luăm în considerare toate aceste cazuri speciale mai detaliat mai jos;
exponentul poate fi fracționar sau irațional - în funcție de aceasta, variază și tipul de grafice și proprietățile funcției. Vom analiza cazuri speciale prin stabilirea mai multor condiții: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
o funcție de putere poate avea un exponent zero, vom analiza și acest caz mai detaliat mai jos.

Să analizăm funcția de putere y = x a când a este impar număr pozitiv, de exemplu, a = 1 , 3 , 5 ...

Pentru claritate, indicăm graficele unor astfel de funcții de putere: y = x (culoarea neagră a graficului), y = x 3 (culoarea albastră a graficului), y = x 5 (culoarea roșie a graficului), y = x 7 (graficul verde). Când a = 1, obținem funcție liniară y=x.

Definiția 6

Proprietățile unei funcții de putere atunci când exponentul este un pozitiv impar

funcția este crescătoare pentru x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funcția este convexă pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] și concavă pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) (excluzând funcția liniară);
punctul de inflexiune are coordonate (0 ; 0) (excluzând funcția liniară);
nu există asimptote;
funcția puncte de trecere: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Să analizăm funcția de putere y = x a când a este un număr pozitiv par, de exemplu, a = 2 , 4 , 6 ...

Pentru claritate, indicăm graficele unor astfel de funcții de putere: y \u003d x 2 (culoarea neagră a graficului), y = x 4 (culoarea albastră a graficului), y = x 8 (culoarea roșie a graficului). Când a = 2, obținem o funcție pătratică al cărei grafic este o parabolă pătratică.

Definiția 7

Proprietățile unei funcții de putere atunci când exponentul este chiar pozitiv:

domeniu de definiție: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
descrescătoare pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funcția este concavă pentru x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
nu există puncte de inflexiune;
nu există asimptote;
funcția puncte de trecere: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Figura de mai jos prezintă exemple de grafice cu funcții exponențiale y = x a când a este impar un număr negativ: y = x - 9 (culoarea neagră a diagramei); y = x - 5 (culoarea albastră a diagramei); y = x - 3 (culoarea roșie a diagramei); y = x - 1 (graficul verde). Când a \u003d - 1, obținem o proporționalitate inversă, al cărei grafic este o hiperbolă.

Definiția 8

Proprietățile funcției de putere atunci când exponentul este impar negativ:

Când x \u003d 0, obținem o discontinuitate de al doilea fel, deoarece lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ pentru a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Astfel, linia dreaptă x = 0 este o asimptotă verticală;

interval: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funcția este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
funcţia este descrescătoare pentru x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
funcția este convexă pentru x ∈ (- ∞ ; 0) și concavă pentru x ∈ (0 ; + ∞) ;
nu există puncte de inflexiune;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 când a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

funcția puncte de trecere: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Figura de mai jos prezintă exemple de grafice ale funcției de putere y = x a când a este un număr negativ par: y = x - 8 (diagrama cu negru); y = x - 4 (culoarea albastră a graficului); y = x - 2 (culoarea roșie a graficului).

Definiția 9

Proprietățile funcției de putere atunci când exponentul este chiar negativ:

domeniu de definiție: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Când x \u003d 0, obținem o discontinuitate de al doilea fel, deoarece lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ pentru a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Astfel, linia dreaptă x = 0 este o asimptotă verticală;

funcția este pare deoarece y (- x) = y (x) ;
funcția este crescătoare pentru x ∈ (- ∞ ; 0) și descrescătoare pentru x ∈ 0 ; +∞ ;
funcția este concavă pentru x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
nu există puncte de inflexiune;
asimptota orizontală este o linie dreaptă y = 0 deoarece:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 când a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

funcția puncte de trecere: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Încă de la început, atenție la următorul aspect: în cazul în care a este o fracție pozitivă cu numitor impar, unii autori iau intervalul - ∞ ca domeniu de definiție al acestei funcții de putere; + ∞ , stipulând că exponentul a este o fracție ireductibilă. În prezent, autorii multor publicații educaționale despre algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcțiile de putere, unde exponentul este o fracție cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Mai departe, vom adera la o astfel de poziție: luăm setul [ 0 ; +∞). Recomandare pentru elevi: aflați punctul de vedere al profesorului în acest moment pentru a evita neînțelegerile.

Deci, să aruncăm o privire la funcția de putere y = x a când exponentul este un număr rațional sau irațional cu condiția ca 0< a < 1 .

Să ilustrăm cu grafice funcțiile de putere y = x a când a = 11 12 (diagrama cu negru); a = 5 7 (culoarea roșie a graficului); a = 1 3 (culoarea albastră a graficului); a = 2 5 (culoarea verde a graficului).

Alte valori ale exponentului a (presupunând 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definiția 10

Proprietățile funcției de putere la 0< a < 1:

interval: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
funcţia este crescătoare pentru x ∈ [ 0 ; +∞) ;
funcția are convexitate pentru x ∈ (0 ; + ∞) ;
nu există puncte de inflexiune;
nu există asimptote;

Să analizăm funcția de putere y = x a când exponentul este un număr rațional sau irațional neîntreg cu condiția ca a > 1 .

Ilustram graficele functiei putere y \u003d x a în condiții date folosind următoarele funcții ca exemplu: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (negru, roșu, albastru, verde grafice, respectiv).

Alte valori ale exponentului a cu condiția a > 1 vor oferi o vedere similară a graficului.

Definiția 11

Proprietățile funcției de putere pentru a > 1:

domeniu de definire: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
interval: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
funcţia este crescătoare pentru x ∈ [ 0 ; +∞) ;
funcția este concavă pentru x ∈ (0 ; + ∞) (când 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
nu există puncte de inflexiune;
nu există asimptote;
funcția puncte de trecere: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Vă atragem atenția! Când a este o fracție negativă cu numitor impar, în lucrările unor autori există opinia că domeniul de definiție în acest caz este intervalul - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) cu condiția ca exponentul a să fie o fracție ireductibilă. În acest moment autorii materiale didactice conform algebrei și începuturilor analizei, funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu numitor impar cu valori negative ale argumentului NU sunt DEFINITE. Mai mult, aderăm doar la o astfel de vedere: luăm mulțimea (0 ; + ∞) ca domeniu al funcțiilor de putere cu exponenți negativi fracționari. Sugestie pentru elevi: clarificați viziunea profesorului în acest moment pentru a evita dezacordul.

Continuăm subiectul și analizăm funcția de putere y = x a cu condiția: - 1< a < 0 .

Iată un desen de grafice ale următoarelor funcții: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (linii negre, roșii, albastre, verzi, respectiv ).

Definiția 12

Proprietățile funcției de putere la - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ când - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

interval: y ∈ 0 ; +∞ ;
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
nu există puncte de inflexiune;

Desenul de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor de putere y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (negru, roșu, albastru, culori verzi curbe, respectiv).

Definiția 13

Proprietățile funcției de putere pentru a< - 1:

domeniu de definire: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ când a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

interval: y ∈ (0 ; + ∞) ;
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
funcția este descrescătoare pentru x ∈ 0; +∞ ;
funcția este concavă pentru x ∈ 0; +∞ ;
nu există puncte de inflexiune;
asimptotă orizontală - linie dreaptă y = 0 ;
punct de trecere a funcției: (1 ; 1) .

Când a \u003d 0 și x ≠ 0, obținem funcția y \u003d x 0 \u003d 1, care determină linia din care este exclus punctul (0; 1) (am convenit că expresia 0 0 nu va fi dată orice valoare).

Funcția exponențială are forma y = a x , unde a > 0 și a ≠ 1 , iar graficul acestei funcții arată diferit în funcție de valoarea bazei a . Să luăm în considerare cazurile speciale.

Mai întâi, să analizăm situația în care baza funcției exponențiale are o valoare de la zero la unu (0< a < 1) . Un exemplu ilustrativ sunt graficele funcțiilor pentru a = 1 2 (culoarea albastră a curbei) și a = 5 6 (culoarea roșie a curbei).

Graficele funcției exponențiale vor avea o formă similară pentru alte valori ale bazei, cu condiția ca 0< a < 1 .

Definiția 14

Proprietățile unei funcții exponențiale când baza este mai mică de unu:

interval: y ∈ (0 ; + ∞) ;
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
o funcție exponențială a cărei bază este mai mică de unu este în scădere pe întregul domeniu de definiție;
nu există puncte de inflexiune;
asimptota orizontală este dreapta y = 0 cu variabila x tinde spre + ∞ ;

Acum luați în considerare cazul în care baza funcției exponențiale este mai mare decât unu (a > 1).

Să ilustrăm acest caz special cu graficul funcțiilor exponențiale y = 3 2 x (culoarea albastră a curbei) și y = e x (culoarea roșie a graficului).

Alte valori ale bazei, mai mari decât unu, vor oferi o vedere similară a graficului funcției exponențiale.

Definiția 15

Proprietățile funcției exponențiale când baza este mai mare decât unu:

domeniul de definiție este întregul set de numere reale;
interval: y ∈ (0 ; + ∞) ;
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
o funcţie exponenţială a cărei bază este mai mare decât unu este crescătoare pentru x ∈ - ∞ ; +∞ ;
funcţia este concavă pentru x ∈ - ∞ ; +∞ ;
nu există puncte de inflexiune;
asimptotă orizontală - dreaptă y = 0 cu variabila x tinde spre - ∞ ;
punct de trecere a funcției: (0 ; 1) .

Funcția logaritmică are forma y = log a (x) , unde a > 0 , a ≠ 1 .

O astfel de funcție este definită numai pentru valorile pozitive ale argumentului: pentru x ∈ 0 ; +∞ .

Graficul funcției logaritmice are o formă diferită, în funcție de valoarea bazei a.

Luați în considerare mai întâi situația când 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Alte valori ale bazei, nu mai mari de unu, vor oferi o vedere similară a graficului.

Definiția 16

Proprietățile unei funcții logaritmice când baza este mai mică de unu:

domeniu de definire: x ∈ 0 ; +∞ . Deoarece x tinde spre zero din dreapta, valorile funcției tind spre + ∞;
interval: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
logaritmică
funcția este concavă pentru x ∈ 0; +∞ ;
nu există puncte de inflexiune;
nu există asimptote;

Acum să analizăm un caz special când baza funcției logaritmice este mai mare decât unu: a > 1 . În desenul de mai jos, există grafice ale funcțiilor logaritmice y = log 3 2 x și y = ln x (culorile albastru și, respectiv, roșu ale graficelor).

Alte valori ale bazei mai mari decât unu vor oferi o vedere similară a graficului.

Definiția 17

Proprietățile unei funcții logaritmice când baza este mai mare decât unu:

domeniu de definire: x ∈ 0 ; +∞ . Deoarece x tinde spre zero din dreapta, valorile funcției tind spre - ∞;
interval: y ∈ - ∞ ; + ∞ (întregul set de numere reale);
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
funcția logaritmică este crescătoare pentru x ∈ 0; +∞ ;
funcția are convexitate pentru x ∈ 0; +∞ ;
nu există puncte de inflexiune;
nu există asimptote;
punct de trecere a funcției: (1 ; 0) .

Funcțiile trigonometrice sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Să analizăm proprietățile fiecăruia dintre ele și graficele corespunzătoare.

În general, toate funcțiile trigonometrice sunt caracterizate de proprietatea periodicității, adică. când valorile funcției se repetă la sensuri diferite argument, care diferă unul de celălalt prin valoarea perioadei f (x + T) = f (x) (T este perioada). Astfel, elementul „perioada cea mai mică pozitivă” este adăugat la lista de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice. În plus, vom indica astfel de valori ale argumentului pentru care funcția corespunzătoare dispare.

Funcția sinus: y = sin(x)

Graficul acestei funcții se numește undă sinusoidală.

Definiția 18

Proprietățile funcției sinus:

domeniu de definiție: întreaga mulțime de numere reale x ∈ - ∞ ; +∞ ;
funcția dispare când x = π k , unde k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
funcția este crescătoare pentru x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z și descrescătoare pentru x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
functia sinus are maxime localeîn punctele π 2 + 2 π · k ; 1 și minime locale în punctele - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
funcția sinus este concavă când x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z și convex când x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
nu există asimptote.

functia cosinus: y=cos(x)

Graficul acestei funcții se numește undă cosinus.

Definiția 19

Proprietățile funcției cosinus:

domeniu de definire: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
cea mai mică perioadă pozitivă: T \u003d 2 π;
interval: y ∈ - 1 ; 1;
această funcție este pară, deoarece y (- x) = y (x) ;
funcția este crescătoare pentru x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z și descrescătoare pentru x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
funcţia cosinus are maxime locale în punctele 2 π · k ; 1 , k ∈ Z și minime locale în punctele π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
funcția cosinus este concavă când x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z și convex când x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
punctele de inflexiune au coordonatele π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
nu există asimptote.

Funcția tangentă: y = t g (x)

Graficul acestei funcții se numește tangentoid.

Definiția 20

Proprietățile funcției tangente:

domeniu de definiție: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , unde k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
Comportarea funcției tangente la limita domeniului de definiție lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Astfel, dreptele x = π 2 + π · k k ∈ Z sunt asimptote verticale;
funcția dispare când x = π k pentru k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
interval: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
această funcție este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
funcţia este în creştere la - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
funcţia tangentă este concavă pentru x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z și convex pentru x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
punctele de inflexiune au coordonatele π k; 0 , k ∈ Z ;

Funcția cotangentă: y = c t g (x)

Graficul acestei funcții se numește cotangentoid. .

Definiția 21

Proprietățile funcției cotangente:

domeniu de definiție: x ∈ (π k ; π + π k) , unde k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);

Comportarea funcției cotangente la limita domeniului de definiție lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Astfel, dreptele x = π k k ∈ Z sunt asimptote verticale;

cea mai mică perioadă pozitivă: T \u003d π;
funcția dispare când x = π 2 + π k pentru k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
interval: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
această funcție este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
funcţia este descrescătoare pentru x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
funcția cotangentă este concavă pentru x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z și convexă pentru x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
punctele de inflexiune au coordonatele π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
nu există asimptote oblice și orizontale.

Funcțiile trigonometrice inverse sunt arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Adesea, datorită prezenței prefixului „arc” în nume, funcțiile trigonometrice inverse sunt numite funcții arc. .

Funcția arcsinus: y = a r c sin (x)

Definiția 22

Proprietățile funcției arcsinus:

această funcție este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
funcția arcsinus este concavă pentru x ∈ 0; 1 și convexitatea pentru x ∈ - 1 ; 0;
punctele de inflexiune au coordonatele (0 ; 0) , este si zeroul functiei;
nu există asimptote.

Funcția arccosin: y = a r c cos (x)

Definiția 23

Proprietățile funcției arccosin:

domeniu de definire: x ∈ - 1 ; 1;
interval: y ∈ 0 ; π;
această funcție este de formă generală (nici par, nici impar);
funcția este în scădere pe întregul domeniu de definire;
funcţia arccosinus este concavă pentru x ∈ - 1 ; 0 și convexitatea pentru x ∈ 0 ; 1;
punctele de inflexiune au coordonatele 0 ; π2;
nu există asimptote.

Funcția arctangentă: y = a r c t g (x)

Definiția 24

Proprietățile funcției arctangente:

domeniu de definire: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
interval: y ∈ - π 2 ; π2;
această funcție este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
funcția este în creștere pe întregul domeniu de definire;
funcția arctangentă este concavă pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] și convexă pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
punctul de inflexiune are coordonatele (0; 0), este si zero al functiei;
Asimptotele orizontale sunt drepte y = - π 2 pentru x → - ∞ și y = π 2 pentru x → + ∞ (asimptotele din figură sunt linii verzi).

Funcția cotangentă a arcului: y = a r c c t g (x)

Definiția 25

Proprietățile funcției arc cotangent:

domeniu de definire: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
interval: y ∈ (0 ; π) ;
această funcție este de tip general;
funcția este în scădere pe întregul domeniu de definire;
funcţia arc cotangentă este concavă pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) și convexitatea pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
punctul de inflexiune are coordonatele 0 ; π2;
Asimptotele orizontale sunt drepte y = π la x → - ∞ (linia verde în desen) și y = 0 la x → + ∞.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Cunoştinţe funcții elementare de bază, proprietățile și graficele lor nu mai puțin important decât cunoașterea tablei înmulțirii. Sunt ca o fundație, totul se bazează pe ele, totul este construit din ele și totul se reduce la ei.

În acest articol, enumerăm toate funcțiile elementare principale, le dăm graficele și le dăm fără derivații și dovezi. proprietăţile funcţiilor elementare de bază conform schemei:

comportamentul funcției la limitele domeniului de definiție, asimptote verticale (dacă este necesar, vezi articolul clasificarea punctelor de întrerupere a unei funcții);
par si impar;
intervale de convexitate (convexitate în sus) și concavitate (convexitate în jos), puncte de inflexiune (dacă este necesar, vezi funcția articolului convexitate, direcție de convexitate, puncte de inflexiune, convexitate și condiții de inflexiune);
asimptote oblice și orizontale;
puncte speciale funcții;
proprietăți speciale ale unor funcții (de exemplu, cea mai mică perioadă pozitivă pentru funcțiile trigonometrice).

Dacă sunteți interesat de sau, atunci puteți merge la aceste secțiuni ale teoriei.

Funcții elementare de bază sunt: funcția constantă (constantă), rădăcina gradului al n-lea, funcția de putere, funcția exponențială, funcția logaritmică, funcțiile trigonometrice și trigonometrice inverse.

Navigare în pagină.

Funcție permanentă.

O funcție constantă este dată pe mulțimea tuturor numerelor reale prin formula , unde C este un număr real. Funcția constantă atribuie fiecărei valori reale a variabilei independente x aceeași valoare a variabilei dependente y - valoarea С. O funcție constantă se mai numește și constantă.

Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa x și care trece printr-un punct cu coordonatele (0,C) . De exemplu, să arătăm grafice ale funcțiilor constante y=5 , y=-2 și , care în figura de mai jos corespund liniilor negre, roșii și, respectiv, albastre.

Proprietățile unei funcții constante.

Domeniul definiției: întregul set de numere reale.
Funcția constantă este pară.
Interval de valori: set format dintr-un singur număr C .
O funcție constantă este necrescătoare și nedescrescătoare (de aceea este constantă).
Nu are sens să vorbim despre convexitatea și concavitatea constantei.
Nu există asimptotă.
Funcția trece prin punctul (0,C) al planului de coordonate.

Rădăcina gradului al n-lea.

Luați în considerare funcția elementară de bază, care este dată de formula , unde n este un număr natural mai mare decât unu.

Rădăcina gradului al n-lea, n este un număr par.

Să începem cu a n-a funcție rădăcină pentru valorile pare ale exponentului rădăcină n .

De exemplu, oferim o imagine cu imagini cu grafice ale funcțiilor și , acestea corespund liniilor negre, roșii și albastre.

Graficele funcțiilor rădăcinii unui grad par au o formă similară pentru alte valori ale indicatorului.

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea pentru n chiar.

Rădăcina gradului al n-lea, n este un număr impar.

Funcția rădăcină de gradul al n-lea cu un exponent impar al rădăcinii n este definită pe întregul set de numere reale. De exemplu, prezentăm grafice ale funcțiilor și , curbele negre, roșii și albastre le corespund.

Pentru alte valori impare ale exponentului rădăcină, graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietăți ale funcției rădăcină de gradul al n-lea pentru n impar.

Funcția de putere.

Funcția putere este dată de o formulă de forma .

Luați în considerare tipul de grafice ale unei funcții de putere și proprietățile unei funcții de putere în funcție de valoarea exponentului.

Să începem cu o funcție de putere cu un exponent întreg a . În acest caz, forma graficelor funcțiilor de putere și proprietățile funcțiilor depind de exponentul par sau impar, precum și de semnul acestuia. Prin urmare, luăm în considerare mai întâi funcțiile de putere pentru valorile pozitive impare ale exponentului a , apoi pentru cele par pozitive, apoi pentru exponenții negativi impari și, în final, pentru negativul par a .

Proprietățile funcțiilor de putere cu exponenți fracționali și iraționali (precum și tipul de grafice ale unor astfel de funcții de putere) depind de valoarea exponentului a. Le vom lua în considerare, în primul rând, când a este de la zero la unu, în al doilea rând, când a este mai mare decât unu, în al treilea rând, când a este de la minus unu la zero și, în al patrulea rând, când a este mai mic decât minus unu.

În încheierea acestei subsecțiuni, de dragul completității, descriem o funcție de putere cu exponent zero.

Funcția de putere cu exponent pozitiv impar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv impar, adică cu a=1,3,5,... .

Figura de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=1 avem funcție liniară y=x.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent pozitiv impar.

Funcția de putere cu exponent pozitiv chiar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv par, adică pentru a=2,4,6,… .

Ca exemplu, să luăm grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie. Pentru a=2 avem o funcție pătratică al cărei grafic este parabolă pătratică.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent pozitiv egal.

Funcția de putere cu un exponent negativ impar.

Priviți graficele funcției exponențiale pentru valori negative impare ale exponentului, adică pentru un \u003d -1, -3, -5, ....

Figura prezintă grafice ale funcțiilor exponențiale ca exemple - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=-1 avem proporționalitate inversă, al cărui grafic este hiperbolă.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ impar.

Funcția de putere cu exponent chiar negativ.

Să trecem la funcția de putere la a=-2,-4,-6,….

Figura prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent negativ par.

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional a cărui valoare este mai mare decât zero și mai mică de unu.

Notă! Dacă a este o fracție pozitivă cu un numitor impar, atunci unii autori consideră intervalul ca fiind domeniul funcției de putere. În același timp, se prevede că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcții de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera la o astfel de vedere, adică vom considera că domeniile funcțiilor de putere cu exponenți pozitivi fracționali sunt mulțimea . Încurajăm studenții să obțină perspectiva profesorului dvs. asupra acestui punct subtil pentru a evita dezacordul.

Se consideră o funcție de putere cu exponent rațional sau irațional a și .

Prezentăm grafice ale funcțiilor de putere pentru a=11/12 (linia neagră), a=5/7 (linia roșie), (linia albastră), a=2/5 (linia verde).

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional non-întreg mai mare decât unu.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional neîntreg a și .

Să prezentăm graficele funcțiilor de putere date de formule (linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi).

Pentru alte valori ale exponentului a , graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile funcției de putere pentru .

O funcție de putere cu un exponent real care este mai mare decât minus unu și mai mic decât zero.

Notă! Dacă a este o fracție negativă cu un numitor impar, atunci unii autori iau în considerare intervalul . În același timp, se prevede că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcții de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera la o astfel de vedere, adică vom considera că domeniile funcțiilor de putere cu exponenți negativi fracționari sunt, respectiv, mulțimea. Încurajăm studenții să obțină perspectiva profesorului dvs. asupra acestui punct subtil pentru a evita dezacordul.

Trecem la funcția de putere , unde .

Pentru a avea o idee bună despre tipul de grafice ale funcțiilor de putere pentru , dăm exemple de grafice ale funcțiilor (curbe negru, roșu, albastru și, respectiv, verde).

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent a , .

O funcție de putere cu un exponent real neîntreger care este mai mic de minus unu.

Să dăm exemple de grafice ale funcțiilor de putere pentru , ele sunt reprezentate în linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ non-întreg mai mic decât minus unu.

Când a=0 și avem o funcție - aceasta este o dreaptă de la care punctul (0; 1) este exclus (expresia 0 0 a fost de acord să nu acorde nicio importanță).

Functie exponentiala.

Una dintre funcțiile elementare de bază este funcția exponențială.

Graficul funcției exponențiale, unde și ia o formă diferită în funcție de valoarea bazei a. Să ne dăm seama.

În primul rând, luați în considerare cazul în care baza funcției exponențiale ia o valoare de la zero la unu, adică .

De exemplu, prezentăm graficele funcției exponențiale pentru a = 1/2 - linia albastră, a = 5/6 - linia roșie. Graficele funcției exponențiale au un aspect similar pentru alte valori ale bazei din intervalul .

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mică de unu.

Ne întoarcem la cazul când baza funcției exponențiale este mai mare decât unu, adică .

Ca o ilustrare, prezentăm grafice ale funcțiilor exponențiale - linia albastră și - linia roșie. Pentru alte valori ale bazei, mai mari decât unu, graficele funcției exponențiale vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mare decât unu.

Funcția logaritmică.

Următoarea funcție elementară de bază este funcția logaritmică, unde , . Funcția logaritmică este definită numai pentru valori pozitive argument, adică pentru .

Graficul funcției logaritmice ia o formă diferită în funcție de valoarea bazei a.

Să începem cu cazul când .

De exemplu, prezentăm graficele funcției logaritmice pentru a = 1/2 - linia albastră, a = 5/6 - linia roșie. Pentru alte valori ale bazei, care nu depășesc unu, graficele funcției logaritmice vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții logaritmice cu o bază mai mică de unu.

Să trecem la cazul când baza funcției logaritmice este mai mare decât unu ().

Să arătăm grafice ale funcțiilor logaritmice - linie albastră, - linie roșie. Pentru alte valori ale bazei, mai mari decât unu, graficele funcției logaritmice vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții logaritmice cu o bază mai mare de unu.

Funcții trigonometrice, proprietățile lor și grafice.

Toate funcțiile trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă și cotangentă) sunt funcții elementare de bază. Acum vom lua în considerare graficele lor și vom enumera proprietățile lor.

Funcțiile trigonometrice au conceptul periodicitate(recurența valorilor funcției pentru diferite valori ale argumentului care diferă unele de altele prin valoarea perioadei , unde T este perioada), prin urmare, un element a fost adăugat la lista de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice „cea mai mică perioadă pozitivă”. De asemenea, pentru fiecare funcție trigonometrică, vom indica valorile argumentului la care dispare funcția corespunzătoare.

Acum să ne ocupăm de toate funcțiile trigonometrice în ordine.

Funcția sinus y = sin(x) .

Să desenăm un grafic al funcției sinus, se numește „sinusoid”.

Proprietățile funcției sinus y = sinx .

Funcția cosinus y = cos(x) .

Graficul funcției cosinus (se numește „cosinus”) arată astfel:

Proprietățile funcției cosinus y = cosx .

Funcția tangentă y = tg(x) .

Graficul funcției tangente (se numește „tangentoid”) arată astfel:

Proprietățile funcției tangentă y = tgx .

Funcția cotangentă y = ctg(x) .

Să desenăm un grafic al funcției cotangente (se numește „cotangentoid”):

Proprietățile funcției cotangente y = ctgx .

Funcții trigonometrice inverse, proprietățile și graficele lor.

Funcțiile trigonometrice inverse (arcsin, arccosinus, arctangent și arccotangent) sunt funcțiile elementare de bază. Adesea, din cauza prefixului „arc”, funcțiile trigonometrice inverse sunt numite funcții arc. Acum vom lua în considerare graficele lor și vom enumera proprietățile lor.

Funcția arcsin y = arcsin(x) .

Să diagramăm funcția arcsinus:

Proprietățile funcției arccotangent y = arcctg(x) .

Bibliografie.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra și începuturile analizei: Proc. pentru 10-11 celule. institutii de invatamant.
Vygodsky M.Ya. Manual de matematică elementară.
Novoselov S.I. Algebră și funcții elementare.
Tumanov S.I. Algebră elementară. Un ghid pentru auto-educare.