Funcția f x se numește continuă. Continuitatea unei funcții într-un punct. Punctele de întrerupere a funcției și clasificarea lor

Este dată definiția continuității unei funcții într-un punct. Sunt luate în considerare definițiile echivalente după Heine, după Cauchy și în ceea ce privește incrementele. Definiția continuității unilaterale la capetele unui segment. Declarație de discontinuitate. Sunt analizate exemple în care se solicită demonstrarea continuității unei funcții folosind definițiile Heine și Cauchy.

Vezi si: Limita unei funcții - definiții, teoreme și proprietăți

Continuitate la un punct

Determinarea continuității unei funcții într-un punct
funcția f (X) numit continuă la x 0 Cartierul U (x0) acest punct și dacă limita ca x tinde spre x 0 există și este egală cu valoarea funcției din x 0 :
.

Aici se presupune că x 0 este punctul final. Valoarea unei funcții din ea poate fi doar un număr finit.

Definiția continuității dreapta (stânga)
funcția f (X) numit continuă în dreapta (stânga) în punctul x 0 , dacă este definită într-o vecinătate dreptaci (stângaci) a acestui punct și dacă limita dreaptă (stânga) în punctul x 0 este egală cu valoarea funcției din x 0 :
.

Exemple

Exemplul 1

Folosind definițiile Heine și Cauchy, demonstrați că funcția este continuă pentru tot x .

Să fie un număr arbitrar. Să demonstrăm asta funcţie dată este continuă în punctul . Funcția este definită pentru toate x. Prin urmare, este definită într-un punct și în oricare dintre cartierele sale.

Folosim definiția lui Heine

Folosim . Să existe o secvență arbitrară care converge către : . Aplicând proprietatea limită a produsului de secvențe, avem:
.
Deoarece există o secvență arbitrară care converge către , atunci
.
Continuitatea a fost dovedită.

Folosim definiția Cauchy

Folosim .
Să luăm în considerare cazul. Avem dreptul să luăm în considerare o funcție pe orice vecinătate a punctului. Prin urmare, vom presupune că
(P1.1) .

Să aplicăm formula:
.
Având în vedere (A1.1), să estimăm:

;
(P1.2) .

Aplicând (A1.2), estimăm valoarea absolută a diferenței:
;
(P1.3) .
.
Conform proprietăților inegalităților, dacă (A1.3) este valabilă, dacă și dacă , atunci .

.

Acum luați în considerare un punct. În acest caz
.
.

.
Aceasta înseamnă că funcția este continuă în punctul .

Într-un mod similar, se poate demonstra că funcția , unde n - numar natural, este continuă pe toată axa reală.

Exemplul 2

Folosind demonstrați că funcția este continuă pentru toate .

Funcția dată este definită la . Să demonstrăm că este continuă în punctul .

Să luăm în considerare cazul.
Avem dreptul să luăm în considerare o funcție pe orice vecinătate a punctului. Prin urmare, vom presupune că
(P2.1) .

Să aplicăm formula:
(P2.2) .
Lăsa . Apoi
.

Ținând cont de (A2.1), facem o estimare:


.
Asa de,
.

Aplicând această inegalitate și folosind (A2.2), estimăm diferența:

.
Asa de,
(P2.3) .

Introducem numere pozitive și , legându-le cu relații:
.
Conform proprietăților inegalităților, dacă (A2.3) este valabilă, dacă și dacă , atunci .

Aceasta înseamnă că pentru orice pozitiv există întotdeauna . Atunci pentru tot x care satisface inegalitatea , următoarea inegalitate este satisfăcută automat:
.
Aceasta înseamnă că funcția este continuă în punctul .

Acum luați în considerare un punct. Trebuie să arătăm că funcția dată este continuă în acest punct din dreapta. În acest caz
.
Introducem numere pozitive și:
.

Acest lucru arată că pentru orice pozitiv există întotdeauna . Atunci pentru tot x astfel încât , este valabilă următoarea inegalitate:
.
Înseamnă că . Adică, funcția este dreaptă-continuă în punctul .

În mod similar, se poate demonstra că funcția , unde n este un număr natural, este continuă pentru .

Referinte:
O.I. demonii. Prelegeri de analiză matematică. Partea 1. Moscova, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.

Sunt date definiții și formulări ale principalelor teoreme și proprietăți ale unei funcții continue a unei variabile. Sunt luate în considerare proprietățile unei funcții continue într-un punct, pe un segment, limita și continuitatea unei funcții complexe și clasificarea punctelor de discontinuitate. Sunt date definiții și teoreme legate de funcția inversă. Sunt enunțate proprietățile funcțiilor elementare.

Se poate formula conceptul de continuitate în termenii majorărilor. Pentru a face acest lucru, introducem o nouă variabilă, care se numește incrementul variabilei x în punctul. Atunci funcția este continuă în punctul dacă
.
Să introducem o nouă funcție:
.
Ei o sună creșterea funcției la punctul . Atunci funcția este continuă în punctul dacă
.

Definiția continuității dreapta (stânga)
funcția f (X) numit continuă în dreapta (stânga) în punctul x 0 , dacă este definită într-o vecinătate dreptaci (stângaci) a acestui punct și dacă limita dreaptă (stânga) în punctul x 0 este egală cu valoarea funcției din x 0 :
.

Teorema de limite pentru o funcție continuă
Fie funcția f (X) continuă la x 0 . Apoi există un cartier U (x0) asupra căruia funcţia este limitată.

Teoremă privind conservarea semnului unei funcții continue
Fie funcția continuă în punctul . Și lăsați-l să aibă o valoare pozitivă (negativă) în acest moment:
.
Atunci există o astfel de vecinătate a punctului în care funcția are o valoare pozitivă (negativă):
la .

Proprietățile aritmetice ale funcțiilor continue
Lăsați funcțiile și să fie continuu în punctul .
Apoi funcțiile și sunt continue în punctul .
Dacă , atunci funcția este de asemenea continuă în punctul .

Proprietatea de continuitate stânga și dreapta
O funcție este continuă într-un punct dacă și numai dacă este continuă la dreapta și la stânga.

Dovezile proprietăților sunt date în pagina „Proprietăți ale funcțiilor continue într-un punct”.

Continuitatea unei funcții complexe

Teorema de continuitate a funcțiilor complexe
Fie funcția continuă în punctul . Și lasă funcția să fie continuă în punctul .
Atunci funcția complexă este continuă în punctul .

Limită de funcție complexă

Teoremă asupra limitei unei funcții continue a unei funcții
Să existe o limită a funcției la , și este egală cu:
.
Aici punctul t 0 poate fi finit sau la infinit: .
Și lasă funcția să fie continuă în punctul .
Atunci există o limită a funcției complexe și este egală cu:
.

Teorema limitei funcției complexe
Fie ca funcția să aibă o limită și mapați vecinătatea punctată a punctului pe vecinătatea punctată a punctului. Lăsați funcția să fie definită pe această vecinătate și aveți o limită asupra acesteia.
Aici - puncte finale sau infinit îndepărtate: . Vecinătățile și limitele lor corespunzătoare pot fi fie cu două laturi, fie unilaterale.
Atunci există o limită a funcției complexe și este egală cu:
.

puncte de pauză

Determinarea punctului de întrerupere
Fie definită funcția pe o vecinătate perforată a punctului. Punctul se numește punctul de întrerupere a funcției dacă una dintre cele două condiții este îndeplinită:
1) nedefinit în ;
2) este definit la , dar nu este în acel punct.

Determinarea punctului de rupere de primul fel
Punctul se numește punct de rupere de primul fel, dacă este un punct de întrerupere și există limite unilaterale finite în stânga și în dreapta:
.

Definirea săriturii funcției
Funcția de salt Δîntr-un punct se numeşte diferenţa dintre limitele din dreapta şi din stânga
.

Determinarea unui punct de pauză
Punctul se numește punct de rupere dacă există o limită
,
dar funcţia în punct fie nu este definită, fie nu este egală cu valoarea limită: .

Astfel, un punct de discontinuitate este un punct de discontinuitate de primul fel, la care saltul funcției este egal cu zero.

Determinarea punctului de rupere de al 2-lea fel
Punctul se numește punct de rupere de al doilea fel, dacă nu este un punct de discontinuitate de primul fel. Adică, dacă nu există cel puțin o limită unilaterală sau cel puțin o limită unilaterală într-un punct este egală cu infinitul.

Proprietățile funcțiilor continue pe un interval

Definirea unei funcții continue pe un segment
O funcție se numește continuă pe un segment (la ) dacă este continuă în toate punctele intervalului deschis (la ) și, respectiv, în punctele a și b .

Prima teoremă a lui Weierstrass asupra mărginirii unei funcții continue pe un interval
Dacă o funcție este continuă pe un segment, atunci este mărginită pe acest segment.

Determinarea accesibilității maximului (minimului)
Funcția își atinge maximul (minimul) pe set dacă există un argument pentru care
pentru toți .

Determinarea accesibilității limitei superioare (inferioare).
O funcție își atinge limita superioară (inferioară) pe mulțime dacă există un argument pentru care
.

A doua teoremă a lui Weierstrass asupra maximului și minimului unei funcții continue
O funcție continuă pe un segment își atinge limitele superioare și inferioare pe acesta sau, ceea ce este același lucru, atinge maximul și minimul ei pe segment.

Teorema valorii intermediare Bolzano-Cauchy
Fie funcția continuă pe intervalul . Și să fie C un număr arbitrar între valorile funcției de la capetele segmentului: și . Apoi există un punct pentru care
.

Corolarul 1
Fie funcția continuă pe intervalul . Și lasă valorile funcției de la capetele segmentului să aibă semne diferite: sau . Apoi există un punct în care valoarea funcției este egală cu zero:
.

Consecința 2
Fie funcția continuă pe intervalul . Lăsați-l să plece . Apoi funcția preia pe segment toate valorile de la și numai aceste valori:
la .

Funcții inverse

Definiția funcției inverse
Fie ca o funcție să aibă un domeniu X și un set de valori Y. Și lăsați-l să aibă proprietatea:
pentru toți .
Atunci pentru orice element din mulțimea Y ​​se poate asocia un singur element din mulțimea X, pentru care . Această corespondență definește o funcție numită funcție inversă La . Funcția inversă se notează după cum urmează:
.

Din definiţie rezultă că
;
pentru toți ;
pentru toți .

Lema privind monotonitatea reciprocă a funcțiilor directe și inverse
Dacă funcția este strict în creștere (scădere), atunci există funcție inversă, care este de asemenea strict în creștere (în scădere).

Proprietate despre simetria graficelor funcțiilor directe și inverse
Graficele funcțiilor directe și inverse sunt simetrice față de linia directă.

Teoremă privind existența și continuitatea funcției inverse pe un segment
Lăsați funcția să fie continuă și strict crescătoare (descrescătoare) pe intervalul . Apoi pe interval este definită și continuă funcția inversă, care este strict crescătoare (descrescătoare).

Pentru o funcție crescătoare . Pentru coborare - .

Teorema privind existența și continuitatea funcției inverse pe un interval
Fie ca funcția să fie continuă și strict crescătoare (descrescătoare) pe un interval deschis finit sau infinit. Apoi funcția inversă este definită și continuă pe interval, care este strict crescător (descrescător).

Pentru o funcție crescătoare .
Pentru coborare: .

În mod similar, se poate formula o teoremă privind existența și continuitatea unei funcții inverse pe un semiinterval.

Proprietăţile şi continuitatea funcţiilor elementare

Funcțiile elementare și inversele lor sunt continue pe domeniul lor de definire. În cele ce urmează, dăm formulări ale teoremelor corespunzătoare și dăm referințe la demonstrațiile lor.

Functie exponentiala

funcția exponențială f (x) = x, cu baza a > 0 este limita succesiunii
,
unde este o succesiune arbitrară numere rationale tind spre x:
.

Teorema. Proprietăți functie exponentiala
O funcție exponențială are următoarele proprietăți:
(P.0) este definit, pentru , pentru toti ;
(P.1) când a ≠ 1 are multe semnificații;
(P.2) strict creste la , strict scade la , este constanta la ;
(P.3) ;
(P.3*) ;
(P.4) ;
(pag. 5) ;
(pag. 6) ;
(pag. 7) ;
(pag. 8) este continuu pentru toti;
(pag. 9) la ;
la .

Logaritm

Funcție logaritmică, sau logaritm, y = log x, cu baza a este inversul funcției exponențiale cu baza a.

Teorema. Proprietățile logaritmului
Funcție logaritmică cu baza a, y = log x, are următoarele proprietăți:
(L.1) este definită și continuă, pentru și , pentru valori pozitive argument;
(L.2) are multe semnificații;
(L.3) strict creste la , strict scade la ;
(L.4) la ;
la ;
(L.5) ;
(L.6) la ;
(L.7) la ;
(L.8) la ;
(L.9) la .

Exponent și logaritm natural

În definițiile funcției exponențiale și ale logaritmului apare constanta a, care se numește baza gradului sau baza logaritmului. În analiza matematică, în marea majoritate a cazurilor, se obțin calcule mai simple dacă se folosește ca bază numărul e:
.
O funcție exponențială cu baza e se numește exponent: , iar logaritmul la baza e se numește logaritm natural: .

Proprietățile exponentului și ale logaritmului natural sunt prezentate pe pagini
„Exponent, e la puterea lui x”,
„Logaritm natural, funcție ln x”

Funcția de putere

Funcția de putere cu exponent p este funcția f (x) = xp, a cărei valoare în punctul x este egală cu valoarea funcției exponențiale cu baza x în punctul p .
În plus, f (0) = 0 p = 0 pentru p > 0 .

Aici luăm în considerare proprietățile funcției de putere y = x p pentru valorile nenegative ale argumentului. Pentru rațional, pentru m impar, funcția exponențială este definită pentru x negativ. În acest caz, proprietățile sale pot fi obținute folosind par sau impar.
Aceste cazuri sunt discutate și ilustrate în detaliu pe pagina Funcție de alimentare, proprietăți și grafice.

Teorema. Proprietățile funcției de putere (x ≥ 0)
O funcție de putere, y = x p , cu exponent p are următoarele proprietăți:
(C.1) definite şi continue pe platou
la ,
la ".

Funcții trigonometrice

Teorema de continuitate pentru funcții trigonometrice
Funcții trigonometrice: sinus ( sin x), cosinus ( cos x), tangentă ( tg x) și cotangentă ( ctg x

Teorema de continuitate pentru funcții trigonometrice inverse
Verso funcții trigonometrice: arcsinus ( arcsin x), arc cosinus ( arccos x), arc tangentă ( arctg x) și arc tangentă ( arcctg x) sunt continue pe domeniile lor de definire.

Referinte:
O.I. demonii. Prelegeri de analiză matematică. Partea 1. Moscova, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.

Definiție. Fie definită funcția y = f(x) în punctul x0 și o parte din vecinătatea acestuia. Se numește funcția y = f(x). continuă în punctul x0, Dacă:

1. există
2. această limită este egală cu valoarea funcției în punctul x0:

La definirea limitei, s-a subliniat că f(x) nu poate fi definit în punctul x0, iar dacă este definit în acest punct, atunci valoarea lui f(x0) nu participă la definirea limitei. La definirea continuității, este esențial ca f(x0) să existe, iar această valoare trebuie să fie egală cu lim f(x).

Definiție. Fie definită funcția y = f(x) în punctul x0 și o parte din vecinătatea acestuia. Funcția f(x) se numește continuă în punctul x0 dacă pentru tot ε>0 există un număr pozitiv δ astfel încât pentru tot x din vecinătatea δ a punctului x0 (adică |х-x0|
Aici se ia în considerare faptul că valoarea limitei ar trebui să fie egală cu f(x0), prin urmare, în comparație cu definiția limitei, condiția de puncție a vecinătății δ 0
Să mai dăm o definiție (echivalentă cu cele anterioare) în ceea ce privește incrementele. Notați Δх = x - x0, această valoare va fi numită increment al argumentului. Deoarece x->x0, atunci Δх->0, adică Δх - b.m. valoare (infinit de mică). Notăm Δу = f(х)-f(x0), această valoare va fi numită increment al funcției, deoarece |Δу| ar trebui să fie (pentru |Δх| suficient de mic) mai mic decât număr arbitrarε>0, atunci Δу este de asemenea f.m. valoare, deci

Definiție. Fie definită funcția y = f(x) în punctul x0 și o parte din vecinătatea acestuia. Se numește funcția f(x). continuă în punctul x0, dacă un increment infinitezimal al argumentului corespunde unui increment infinitezimal al funcției.

Definiție. Funcția f(x), care nu este continuă în punctul x0, numite discontinueîn acest moment.

Definiție. O funcție f(x) se numește continuă pe o mulțime X dacă este continuă în fiecare punct al acestei mulțimi.

Teorema privind continuitatea sumei, produsului, coeficientului

Teorema trecerii la limita sub semnul unei functii continue

Teorema de continuitate pentru suprapunerea funcțiilor continue

Fie ca funcția f(x) să fie definită pe un interval și să fie monotonă pe acest interval. Atunci f(x) poate avea doar puncte de discontinuitate de primul fel pe acest segment.

Teorema valorii intermediare. Dacă funcția f(x) este continuă pe un segment și în două puncte a și b (a mai mic decât b) ia valori inegale A = f(a) ≠ B = f(b), atunci pentru orice număr C situat între A și B există un punct c ∈ unde valoarea funcției este C: f(c) = C.

Teorema de limite pentru o funcție continuă pe un interval. Dacă o funcție f(x) este continuă pe un interval, atunci ea este mărginită pe acest interval.

Teoremă privind atingerea valorilor minime și maxime. Dacă o funcție f(x) este continuă pe un segment, atunci ea își atinge limitele inferioare și superioare pe acest segment.

Teorema de continuitate a funcției inverse. Fie funcția y=f(x) continuă și strict crescătoare (descrescătoare) pe intervalul [а,b]. Apoi, pe segment există o funcție inversă x = g(y), care este, de asemenea, monoton crescător (descrescător) și continuă.

Acest articol este despre o funcție numerică continuă. Pentru mapări continue în diferite ramuri ale matematicii, consultați cartografierea continuă.

functie continua- o funcție fără „sărituri”, adică una în care mici modificări ale argumentului duc la mici modificări ale valorii funcției.

O funcție continuă, în general, este un sinonim pentru conceptul de mapare continuă, cu toate acestea, cel mai adesea acest termen este folosit într-un sens mai restrâns - pentru mapările dintre spațiile numerice, de exemplu, pe o linie reală. Acest articol este dedicat în mod specific funcțiilor continue definite în subset numere realeși luând valori reale.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Continuitatea funcției și punctele de întrerupere a funcției

✪ 15 Funcție continuă

✪ Caracteristici continue

✪ Analiza matematică, Lecția 5, Continuitatea funcției

✪ Continuă valoare aleatorie. funcția de distribuție

Subtitrări

Definiție

Dacă „corectăm” funcția f (\displaystyle f)în punctul de discontinuitate şi pus f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x)), atunci obținem o funcție care este continuă în acest punct. O astfel de operație asupra unei funcții este numită extinderea funcției la continuu sau extinderea funcţiei prin continuitate, care justifică numele punctului, ca puncte de unică folosință decalaj.

Punct de salt

Un „salt” de discontinuitate apare dacă

Punct de rupere „pol”

O discontinuitate „pol” apare dacă una dintre limitele unilaterale este infinită.

Punct de pauză semnificativ

În punctul unei discontinuități semnificative, una dintre limitele unilaterale este complet absentă.

Clasificarea punctelor singulare izolate în R n , n>1

Pentru funcții f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\la \mathbb (R) ^(n))Și f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \to \mathbb (C) ) nu este nevoie să lucrezi cu puncte de întrerupere, dar de multe ori trebuie să lucrezi cu puncte speciale(puncte în care funcția nu este definită). Clasificarea este similară.

Lipsește conceptul de „săritură”. Ce este în R (\displaystyle \mathbb (R) ) este considerat un salt, în spațiile dimensionale superioare este un punct singular esențial.

Proprietăți

Local

• Funcția continuă într-un punct a (\displaystyle a), este mărginit într-o vecinătate a acestui punct.
• Dacă funcţia f (\displaystyle f) continuu la un punct a (\displaystyle a)Și f (a) > 0 (\displaystyle f(a)>0)(sau fa)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), Acea f (x) > 0 (\displaystyle f(x)>0)(sau f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) pentru toți x (\displaystyle x), destul de aproape de a (\displaystyle a).
• Dacă funcţiile f (\displaystyle f)Și g (\displaystyle g) continuu la un punct a (\displaystyle a), apoi funcțiile f+g (\displaystyle f+g)Și f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g) sunt de asemenea continue la punct a (\displaystyle a).
• Dacă funcţiile f (\displaystyle f)Și g (\displaystyle g) continuu la un punct a (\displaystyle a) si in care g (a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), apoi funcția f / g (\displaystyle f/g) este, de asemenea, continuu la punct a (\displaystyle a).
• Dacă funcţia f (\displaystyle f) continuu la un punct a (\displaystyle a)și funcția g (\displaystyle g) continuu la un punct b = f (a) (\displaystyle b=f(a)), apoi compoziția lor h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f) continuu la un punct a (\displaystyle a).

Global

• set compact) este uniform continuu pe acesta.
• O funcție care este continuă pe un segment (sau orice altă mulțime compactă) este mărginită și își atinge valorile maxime și minime pe ea.
• Gama de funcții f (\displaystyle f), continuu pe segmentul , este segmentul [ min f , max f ] , (\displaystyle [\min f,\\max f],) unde minimul și maximul sunt luate de-a lungul segmentului [ a , b ] (\displaystyle ).
• Dacă funcţia f (\displaystyle f) continuu pe segment [ a , b ] (\displaystyle )Și f(a) ⋅ f(b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} atunci există un punct în care f (ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
• Dacă funcţia f (\displaystyle f) continuu pe segment [ a , b ] (\displaystyle ) si numarul φ (\displaystyle \varphi ) satisface inegalitatea fa)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi sau inegalitate f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),) atunci există un punct ξ ∈ (a, b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)în care f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi ).
• O mapare continuă de la un segment la linia reală este injectivă dacă și numai dacă funcția dată pe segment este strict monotonă.
• Funcție monotonă pe un segment [ a , b ] (\displaystyle ) este continuă dacă și numai dacă domeniul său este un segment cu capete f (a) (\displaystyle f(a))Și f (b) (\displaystyle f(b)).
• Dacă funcţiile f (\displaystyle f)Și g (\displaystyle g) continuu pe segment [ a , b ] (\displaystyle ), și fa)< g (a) {\displaystyle f(a)Și f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),) atunci există un punct ξ ∈ (a, b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)în care f (ξ) = g (ξ) . (\displaystyle f(\xi)=g(\xi).) Din aceasta, în special, rezultă că orice mapare continuă a unui segment în sine are cel puțin un punct fix.

Exemple

Funcții elementare

Această funcție este continuă în fiecare punct x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0).

Punctul este punctul de rupere primul fel, în plus

în timp ce funcția dispare în punctul însuși.

functie de pas

O funcție pas definită ca

este continuă peste tot, cu excepția unui punct x = 0 (\displaystyle x=0), unde funcția suferă o discontinuitate de primul fel. Cu toate acestea, la punctul x = 0 (\displaystyle x=0) există o limită din dreapta care coincide cu valoarea funcției la un punct dat. Deci această funcție este un exemplu dreapta continua funcții pe tot domeniul definirii.

În mod similar, funcția pas definită ca

este un exemplu stânga continuă funcții pe tot domeniul definirii.

Funcția Dirichlet

Continuitatea unei funcții într-un punct

Fie definită funcția f(x) într-o vecinătate O(x0) a punctului x0 (inclusiv punctul x0 însuși).

O funcție f(x) se numește continuă într-un punct x0 dacă există limx → x0 f(x) egală cu valoarea funcției f(x) în acest punct: lim

f(x) = f(x0), (1)

acestea. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) X f(x) O O(f(x0)) .

Cometariu. Egalitatea (1) se poate scrie ca: lim

acestea. sub semnul unei funcţii continue se poate trece la limită.

Fie Δx = x − x0 incrementul argumentului, Δy = f(x) − f(x0) incrementul corespunzător al funcției.

Condiție necesară și suficientă pentru continuitatea unei funcții într-un punct

Funcția y = f(x) este continuă la x0 dacă și numai dacă

Cometariu. Condiția (2) poate fi interpretată ca a doua definiție a continuității unei funcții într-un punct. Ambele definiții sunt echivalente.

Fie definită funcția f(x) în intervalul .

Se spune că o funcție f(x) este lăsată continuă într-un punct x0 dacă există o limită unilaterală.

Continuitatea sumei, a produsului și a coeficientului a două funcții continue

Teorema 1. Dacă funcțiile f(x) și g(x) sunt continue în punctul x0, atunci f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) sunt continue în acest punct

Continuitatea unei funcții complexe

Teorema 2. Dacă funcția u(x) este continuă în punctul x0, iar funcția f(u) este continuă în punctul corespunzător u0 = f(x0), atunci functie complexa f(u(x)) este continuă la x0.

Toate funcțiile elementare sunt continue în fiecare punct al domeniilor lor.

Proprietățile locale ale funcțiilor continue

Teorema 3 (mărginirea unei funcții continue). Dacă funcția f(x) este continuă în punctul x0, atunci există o vecinătate O(x0) în care f(x) este mărginit.

Dovada rezultă din afirmația că o funcție care are o limită este mărginită.

Teorema 4 (stabilitatea semnului unei funcții continue). Dacă funcția f(x) este continuă în punctul x0 și f(x0) ≠ 0, atunci există o vecinătate a punctului x0 unde f(x) ≠ 0, iar semnul lui f(x) în această vecinătate coincide cu semnul lui f(x0).

Clasificarea punctelor de întrerupere

Condiția (1) a continuității funcției f(x) în punctul x0 este echivalentă cu condiția f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)

unde f(x 0 − 0) = lim

f(x) și f(x0 + 0) = lim

f(x) - limitele unilaterale ale funcției f(x) în punctul x0.

Dacă condiția (3) este încălcată, punctul x0 se numește punctul de discontinuitate al funcției f(x). În funcție de tipul de încălcare a condiției (3), punctele de întrerupere au un caracter diferit și sunt clasificate după cum urmează:

1. Dacă într-un punct x0 există limite unilaterale f(x0 − 0), f (x0 + 0) și

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), atunci punctul x0 se numește punctul de discontinuitate al funcției f(x) (Fig. 1).

Cometariu. În punctul x0, este posibil ca funcția să nu fie definită.

2. Dacă în punctul x0 există limite unilaterale f(x0 − 0), f (x0 + 0) și

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), atunci punctul x0 se numește punct de discontinuitate cu un salt finit al funcției f(x) (Fig. 2).

Cometariu. La punctul de discontinuitate cu un salt finit, valoarea funcției poate fi orice sau poate să nu fie definită.

Punctele unei discontinuități detașabile și ale unui salt finit se numesc puncte de discontinuitate de primul fel. Al lor semn distinctiv este existenţa limitelor unilaterale finite f(x0 − 0) şi

3. Dacă în punctul x0 cel puțin una dintre limitele unilaterale f(x0 − 0), f (x0 + 0) este egală cu infinitul sau nu există, atunci
x0 se numește punct de discontinuitate de al 2-lea fel (fig. 3).

Dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale f(x0 − 0), f (x0 + 0) este egală cu infinit, atunci linia x = x 0 se numește asimptota verticală a graficului funcției y = f( X).

Definiție. O funcție f(x) definită într-o vecinătate a unui punct x0 se numește continuă în punctul x0 dacă limita funcției și valoarea ei în acest punct sunt egale, i.e.

Același fapt poate fi scris diferit:

Definiție. Dacă funcția f(x) este definită într-o vecinătate a punctului x0, dar nu este continuă în punctul x0 însuși, atunci se numește funcție discontinuă, iar punctul x0 este numit punct de discontinuitate.

Definiție. Funcția f(x) se numește continuă în punctul x0 dacă pentru oricare număr pozitiv e>0 există un astfel de număr D>0 încât pentru orice x care satisface condiția

adevărata inegalitate.

Definiție. Funcția f(x) se numește continuă în punctul x = x0 dacă incrementul funcției în punctul x0 este o valoare infinitezimală.

f(x) = f(x0) + a(x)

unde a(x) este infinit mic pentru x®x0.

Proprietățile funcțiilor continue.

1) Suma, diferența și produsul funcțiilor continue în punctul x0 este o funcție continuă în punctul x0.

2) Coeficientul a două funcții continue este o funcție continuă cu condiția ca g(x) să nu fie egal cu zero în punctul x0.

3) Suprapunerea funcțiilor continue este o funcție continuă.

Această proprietate poate fi scrisă după cum urmează:

Dacă u = f(x), v = g(x) – funcții continueîn punctul x = x0, atunci funcția v = g(f(x)) este de asemenea o funcție continuă în acest punct.

Valabilitatea proprietăților de mai sus poate fi demonstrată cu ușurință folosind teoremele limită

Proprietățile funcțiilor continue pe un interval.

Proprietatea 1: (Prima teoremă a lui Weierstrass (Weierstrass Karl (1815-1897) - matematician german)). O funcție care este continuă pe un interval este mărginită pe acest interval, adică. condiţia –M £ f(x) £ M este îndeplinită pe interval.

Dovada acestei proprietăți se bazează pe faptul că o funcție care este continuă în punctul x0 este mărginită într-o vecinătate a acesteia, iar dacă un segment este împărțit într-un număr infinit de segmente care se „contractează” la punctul x0, atunci se formează o anumită vecinătate a punctului x0.

Proprietatea 2: O funcție care este continuă pe interval își ia valorile maxime și minime.

Acestea. există valori x1 și x2 astfel încât f(x1) = m, f(x2) = M și

Remarcăm aceste valori maxime și minime pe care funcția le poate lua pe un segment și de mai multe ori (de exemplu, f (x) = sinx).

Diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment se numește oscilația unei funcții pe un segment.

Proprietatea 3: (Teorema a doua Bolzano–Cauchy). O funcție care este continuă pe un segment ia pe acest segment toate valorile dintre două valori arbitrare.

Proprietatea 4: Dacă funcția f(x) este continuă în punctul x = x0, atunci există o vecinătate a punctului x0 în care funcția își păstrează semnul.

Proprietatea 5: (Prima teoremă a lui Bolzano (1781-1848) - Cauchy). Dacă funcția f(x) este continuă pe un segment și are valori de semne opuse la capetele segmentului, atunci există un punct în interiorul acestui segment în care f(x) = 0.

Acestea. dacă semn(f(a)) ¹ semn(f(b)), atunci $ x0: f(x0) = 0.

Definiție. Funcția f(x) se numește uniform continuă pe segment dacă pentru orice e>0 există D>0 astfel încât pentru orice puncte x1О și x2О astfel încât

х2 – х1п< D

inegalitatea ïf(x2) – f(x1)ï< e

Diferența dintre continuitatea uniformă și continuitatea „obișnuită” este că pentru orice e există propriul D care nu depinde de x, în timp ce pentru continuitatea „obișnuită” D depinde de e și x.

Proprietatea 6: Teorema lui Cantor (Kantor Georg (1845-1918) - matematician german). O funcție care este continuă pe un segment este uniform continuă pe acesta.

(Această proprietate este valabilă numai pentru segmente, nu pentru intervale și semiintervale.)

Definiţia continuity

O funcție f (x) se numește continuă într-un punct a dacă: f () pp

1) funcția f(x) este definită în punctul a,

2) are o limită finită ca x→ a 2) are o limită finită ca x→ a,

3) această limită este egală cu valoarea funcției în acest punct:

Continuitate pe interval

Funcția f (x) se numește continuă pe intervalul X dacă f () pp py

Este continuă în fiecare punct al acestui interval.

Afirmație. Toate funcțiile elementare sunt continue în

Domenii ale definirii lor.

funcţie mărginită

O funcție se numește mărginită pe un segment dacă

există un număr M astfel încât pentru tot x ∈

inegalitate:| f(x)| ≤M.

Două teoreme ale lui Weierstrass

Prima teoremă a lui Weierstrass. Dacă funcția f (x p p p fu f (

este continuă pe segmentul , apoi este mărginită pe acest segment

A doua teoremă a lui Weierstrass. Dacă funcția f(x

este continuu pe segmentul , atunci trebuie sa ajunga pe acest segment

cea mai mică valoare m și cea mai mare valoare M.

Teorema Bolzano-Cauchy

Dacă funcția f (x) este continuă pe interval și pe fu f () pp p

la capetele acestui segment f(a) și f(b) au semne opuse,

atunci în interiorul segmentului există un punct c∈ (a,b) astfel încât f (c) = 0. ur p () f ()