Identické transformácie exponenciálnych a logaritmických výrazov. Logaritmické výrazy. príklady! Identické transformácie logaritmických výrazov možnosť 8

Príklad 1 . Vypočítať:

Vedľa každého výrazu je identita v cykloch, pre ktoré môžu byť prítomné navrhované úlohy. Účelom takýchto úloh je osvojiť si vlastnosti záznamov vrátane symbolov nových operácií a funkcií a rozvíjať matematické rečové schopnosti.

Významná časť využitia transformácií identity spojených s elementárnymi funkciami pripadá na riešenie iracionálnych a transcendentálnych rovníc. Cykly súvisiace s asimiláciou identít zahŕňajú len väčšinu jednoduché rovnice, ale už tu je vhodné vykonať prácu na zvládnutí metódy riešenia takýchto rovníc: znížiť ju nahradením neznámej na algebraická rovnica.

Postupnosť krokov pre toto riešenie je nasledovná:

a) nájsť funkciu

b) vykonať náhradu

c) vyriešte každú z rovníc

Pri použití opísanej metódy sa krok b) často vykonáva implicitne bez zavedenia zápisu pre

Príklad 2 . vyriešiť rovnicu

Prvý spôsob:

Druhý spôsob:

Tu je vidieť, že krok a) je pri prvom spôsobe náročnejší ako pri druhom. Prvý spôsob je „ťažší na začiatok“, aj keď ďalší priebeh riešenia je oveľa jednoduchší. Na druhej strane má druhý spôsob výhody, spočívajúce vo väčšej jednoduchosti, väčšej prepracovanosti pri výučbe redukcie na algebraickú rovnicu.

Pre školský kurz Typické sú algebrické úlohy, v ktorých je prechod na algebraickú rovnicu ešte jednoduchší ako v tomto príklade. Hlavná záťaž takýchto úloh súvisí s výberom kroku c) ako samostatnej súčasti procesu riešenia spojeného s využitím vlastností skúmanej elementárnej funkcie.

Príklad 3 . Vyriešte rovnicu:

Tieto rovnice sú redukované na rovnice: a)

Dostávame sa teda ku klasifikácii úloh v cykloch súvisiacich s riešením transcendentálnych rovníc vrátane exponenciálnej funkcie:

1) rovnice redukujúce na rovnice tvaru

2) rovnice, ktoré sa redukujú na rovnice

3) rovnice, ktoré sa redukujú na rovnice

Podobné úlohy možno klasifikovať aj pre iné elementárne funkcie.

Značná časť identít naštudovaných v kurzoch algebry a algebry a začiatkov analýzy je v nich dokázaná alebo aspoň vysvetlená. Táto stránka štúdia identít má veľký význam pre oba kurzy, keďže demonštračné uvažovanie v nich prebieha s najväčšou jasnosťou a prísnosťou práve vo vzťahu k identitám. Okrem tohto materiálu sú dôkazy zvyčajne menej úplné, nie sú vždy odlíšené od zloženia použitých prostriedkov na odôvodnenie.

Vlastnosti aritmetických operácií sa používajú ako podpora, na ktorej sú postavené dôkazy totožnosti.

Výchovný vplyv výpočtov a identických transformácií možno smerovať k rozvoju logického myslenia, ak sa len od žiakov systematicky vyžaduje zdôvodňovanie výpočtov a identických transformácií, k rozvoju funkčného myslenia, ktoré sa dosahuje rôznymi spôsobmi. Dôležitosť výpočtov a rovnakých transformácií pri rozvoji vôle, pamäti, vynaliezavosti, sebaovládania a tvorivej iniciatívy je celkom zrejmá.

Požiadavky na každodennú, priemyselnú výpočtovú prax vyžadujú formovanie silných, automatizovaných zručností racionálnych výpočtov a identických transformácií u študentov. Tieto zručnosti sa rozvíjajú v procese akejkoľvek výpočtovej práce, avšak pri rýchlych výpočtoch a transformáciách sú potrebné špeciálne tréningové cvičenia.

Ak teda lekcia zahŕňa riešenie logaritmických rovníc pomocou základnej logaritmickej identity

Pojmy identity a identickej transformácie sú explicitne zavedené v kurze algebry triedy VI. Samotnú definíciu identických výrazov nemožno prakticky použiť na preukázanie totožnosti dvoch výrazov a na pochopenie toho, že podstatou identických transformácií je aplikovať na výraz definície a vlastnosti tých akcií, ktoré sú vo výraze naznačené, alebo k nemu pridať výraz, ktorý sa zhodne rovná 0, alebo ho vynásobiť výrazom, ktorý sa zhodne rovná jednej. Ale aj po zvládnutí týchto ustanovení študenti často nechápu, prečo nám tieto transformácie umožňujú tvrdiť, že pôvodné a výsledné výrazy sú totožné, t. mať rovnaké hodnoty pre všetky systémy (množiny) premenných hodnôt.

Je tiež dôležité zabezpečiť, aby študenti dobre pochopili, že takéto závery identických transformácií sú dôsledkom definícií a vlastností zodpovedajúcich akcií.

V 6. ročníku sa rozširuje aparát identických premien, nahromadený v minulých rokoch. Toto rozšírenie začína zavedením identity vyjadrujúcej vlastnosť súčinu mocností s rovnakým základom:

Pojem titul s racionálny ukazovateľ. Riešenie iracionálnych rovníc. Exponenciálna funkcia, jej vlastnosti a graf. identické transformácie exponenciálnych výrazov. Riešenie exponenciálnych rovníc a nerovníc. Logaritmus čísla. Základné vlastnosti logaritmov. Logaritmická funkcia, jej vlastnosti a graf. Riešenie logaritmických rovníc a nerovníc. Derivácia exponenciálnej funkcie. Číslo a prirodzený logaritmus. Derivácia mocninovej funkcie.

Hlavným cieľom časti o štúdiu exponenciálnych a logaritmických funkcií je oboznámiť študentov s exponenciálnymi, logaritmickými a mocninnými funkciami; naučiť študentov riešiť exponenciálne a logaritmické rovnice a nerovnice.

Pojmy odmocniny tého stupňa a stupeň s racionálnym exponentom sú zovšeobecnením pojmov odmocniny a stupňa s celočíselným exponentom. Študenti by mali venovať pozornosť skutočnosti, že vlastnosti koreňov a stupňov s racionálnym exponentom, ktoré sa tu uvažujú, sú podobné tým vlastnostiam, ktoré boli študované skôr. odmocniny a stupne s celočíselnými exponentmi. Je potrebné venovať dostatok času vypracovaniu vlastností stupňov a formovaniu zručností pre identické transformácie. Pojem stupňa s iracionálnym exponentom je zavedený na vizuálno-intuitívnom základe. Tento materiál hrá pomocnú úlohu a používa sa pri zavádzaní exponenciálnej funkcie.

Štúdium vlastností exponenciálnych, logaritmických a mocninových funkcií je postavené v súlade s prijatou všeobecnou schémou pre štúdium funkcií. V tomto prípade je uvedený prehľad vlastností v závislosti od hodnôt parametrov. Exponenciálne a logaritmické nerovnice sú riešené na základe študovaných vlastností funkcií.

Charakteristickou črtou predmetu je systematizácia a zovšeobecňovanie vedomostí študentov, upevňovanie a rozvoj zručností a schopností získaných v kurze algebry, ktorý sa uskutočňuje tak pri štúdiu nového materiálu, ako aj pri vykonávaní zovšeobecňujúceho opakovania.

OTVORENÁ LEKCIA ALGEBRA V 11. TRIEDE „b“.

TÉMA LEKCIE

« KONVERZIA VÝRAZOV,

OBSAHUJÚCE LOGARITMY"

Ciele lekcie:

zopakujte definíciu logaritmu čísla, základnú logaritmickú identitu;

upevniť základné vlastnosti logaritmov;

zlepšiť praktická orientácia táto téma pre kvalitnú prípravu na UNT;

prispieť k pevnej asimilácii materiálu;

podporovať rozvoj zručností sebaovládania u žiakov.

Typ lekcie: kombinované s využitím interaktívneho testu.

Vybavenie: projektor, plátno, plagáty s úlohami, odpoveďový hárok.

Plán lekcie:

Organizovanie času.

Aktualizácia znalostí.

Interaktívny test.

"Turnaj s logaritmami"

Riešenie úloh z učebnice.

Zhrnutie. Vyplňte odpoveďový hárok.

Klasifikácia.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

2. Stanovenie cieľov vyučovacej hodiny.

Ahojte chalani! Dnes máme nezvyčajnú lekciu, lekcia je hra, ktorú budeme hrať formou turnaja s logaritmami.

Začnime lekciu interaktívnym testom.

3. Interaktívny test:

4. Turnaj s logaritmami:

Definícia logaritmu.

Logaritmické identity:

Zjednodušiť:

Nájdite hodnotu výrazu:

Vlastnosti logaritmov .

Konverzia:

Pracujte s učebnicou.

Zhrnutie.

Žiaci vypĺňajú odpoveďový hárok sami.

Za každú odpoveď dajte body.

Klasifikácia. Domáca úloha. Príloha 1.

Dnes si sa ponoril do logaritmov,

Musia byť presne vypočítané.

Na skúške ich samozrejme stretnete,

Zostáva vám zaželať úspech!

ja možnosť

a) 9 ½ = 3; b) 7 0 =1.

A)log8 = 6; b)log9=-2.

a) 1.7 log 1,7 2 ; b) 2 log 2 5 .

4. Vypočítajte:

A) lg8+lg125;

b) denník 2 7 log 2 7/16

V)log 3 16/log 3 4.

II možnosť

1. Nájdite logaritmus k základu a čísla vyjadreného ako mocnina so základom a:

a) 32 1/5 =2; b) 3 -1 =1/3.

2. Skontrolujte platnosť rovnosti:

A)log27 = -6; b)log 0,5 4=-2.

3. Zjednodušte výraz pomocou základných logaritmických identít:

a) 5 1+ log 5 3 ; b) 10 1- lg 2

4. Vypočítajte:

A) denník 12 4+log 12 36;

b)lg13-lg130;

V) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).

III možnosť

1. Nájdite logaritmus k základu a čísla vyjadreného ako mocnina so základom a:

a) 27 2/3 =9; b) 32 3/5 =8.

2. Skontrolujte platnosť rovnosti:

A)log 2 128=;

b)log 0,2 0,008=3.

3. Zjednodušte výraz pomocou základných logaritmických identít:

a) 4 2 log 4 3 ;

b) 5 -3 log 5 1/2 .

4. Vypočítajte:

A) denník 6 12+log 6 18;

b) denník 7 14 log 7 6+log 7 21;

V) (log 7 3/ log 7 13)∙ log 3 169.

IV možnosť

1. Nájdite logaritmus k základu a čísla vyjadreného ako mocnina so základom a:

a) 81 3/4 = 27; b) 125 2/3 =25.

2. Skontrolujte platnosť rovnosti:

A)log √5 0,2=-2;

b)log 0,2 125=-3.

3. Zjednodušte výraz pomocou základných logaritmických identít:

a) (1/2) 4 log 1/2 3 ;

b) 6 -2 log 6 5 .

4. Vypočítajte:

A) denník 14 42 log 14 3;

b) denník 2 20-log 2 25+log 2 80;

V) denník 7 48/ log 7 4- 0,5 log 2 3.

Úlohy, ktorých riešením je prevod logaritmických výrazov, pomerne často nájdený na skúške.

Na ich úspešné zvládnutie s minimálnym vynaložením času je okrem základných logaritmických identít potrebné poznať a správne používať aj ďalšie vzorce.

Toto je: a log a b = b, kde a, b > 0, a ≠ 1 (Vyplýva to priamo z definície logaritmu).

log a b = log c b / log c a alebo log a b = 1/log b a
kde a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
kde a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
kde a, b, c > 0 a a, b, c ≠ 1

Aby sme ukázali platnosť štvrtej rovnosti, zoberieme logaritmus ľavej a pravej strany v základe a. Dostaneme log a (a log c b) = log a (b log c a) alebo log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log s b = log s b.

Dokázali sme rovnosť logaritmov, čo znamená, že aj výrazy pod logaritmami sú rovnaké. Formula 4 je osvedčená.

Príklad 1

Vypočítajte 81 log 27 5 log 5 4 .

Riešenie.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5.

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Potom 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Nasledujúcu úlohu môžete splniť sami.

Vypočítajte (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Ako pomôcka, 0,2 = 1/5 = 5-1; log 0,25 = -1.

odpoveď: 5.

Príklad 2

Vypočítať (√11) log √3 9 log 121 81 .

Riešenie.

Nahradíme výrazy: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 112, 81 = 34, log12181 = 2 log113 (bol použitý vzorec 3).

Potom (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / (11 log 11 3) = 121.

Príklad 3

Vypočítajte log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Riešenie.

Logaritmy obsiahnuté v príklade nahradíme logaritmami so základom 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Potom log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/(2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).

Po otvorení zátvoriek a zmenšení podobných výrazov dostaneme číslo 3. (Pri zjednodušení výrazu možno log 2 3 označiť n a výraz zjednodušiť

(3 + n) (5 + n) – (6 + n) (2 + n)).

odpoveď: 3.

Sami môžete urobiť nasledovné:

Vypočítať (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Tu je potrebné urobiť prechod na logaritmy v základe 3 a rozklad na prvočiniteľa veľkých čísel.

Odpoveď: 1/2

Príklad 4

Sú uvedené tri čísla A \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Usporiadajte ich vo vzostupnom poradí.

Riešenie.

Transformujme čísla A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Poďme si ich porovnať

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 a log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Alebo 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Odpoveď. Preto poradie umiestnenia čísel: C; A; IN.

Príklad 5

Koľko celých čísel je v intervale (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Riešenie.

Určme, medzi akými mocnosťami čísla 3 je číslo 1/16. Dostaneme 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Pretože funkcia y \u003d log 3 x sa zvyšuje, potom log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 648 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Porovnajte log 6 (4/3) a 1/5 . A preto porovnávame čísla 4 / 3 a 6 1/5. Zvýšte obe čísla na 5. mocninu. Dostaneme (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

denník 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Preto interval (log 3 1/16 ; log 6 48) zahŕňa interval [-2; 4] a sú na ňom umiestnené celé čísla -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Odpoveď: 7 celých čísel.

Príklad 6

Vypočítajte 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Riešenie.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lg 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Potom 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

odpoveď: -1.

Príklad 7

Je známe, že log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Nájdite log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

Riešenie.

Čísla (√3 + 1) a (√3 - 1); (√6 - 2) a (√6 + 2) sú konjugované.

Urobme nasledujúcu transformáciu výrazov

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Potom log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

Odpoveď: 2 - A.

Príklad 8.

Zjednodušte a nájdite približnú hodnotu výrazu (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Riešenie.

Všetky logaritmy zredukujeme na spoločný základ 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / log 6) … (log 8 / log 9) log 9 = log 2 ≈ 0,3010 je možné nájsť pomocou posuvného pravítka alebo posuvného pravidla 2.

Odpoveď: 0,3010.

Príklad 9.

Vypočítajte log a 2 b 3 √ (a 11 b -3), ak log √ a b 3 = 1. (V tomto príklade je a 2 b 3 základom logaritmu).

Riešenie.

Ak log √ a b 3 = 1, potom 3/(0,5 log a b = 1. A log a b = 1/6.

Potom log a 2 b 3√ (a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3)) = (log a a 11 + log a b -3) / (2 (log a a 2) + log 3 (log a 2) + log 3 (log a 2) + log a 1 + 3 ) Ak vezmeme do úvahy, že log a b = 1/6 dostaneme (11 - 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Odpoveď: 2.1.

Sami môžete urobiť nasledovné:

Vypočítajte log √3 6 √2,1, ak log 0,7 27 = a.

Odpoveď: (3 + a) / (3a).

Príklad 10

Vypočítajte 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Riešenie.

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 3 3 1 3 = (13 3 + 1 3) 3 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (vzorec 4))

Dostaneme 9 + 6 = 15.

odpoveď: 15.

Máte nejaké otázky? Nie ste si istí, ako nájsť hodnotu logaritmického výrazu?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Podnesterská Štátna univerzita

ich. T.G. Ševčenko

Fakulta fyziky a matematiky

oddelenie matematická analýza

a metódy vyučovania matematiky

KURZOVÁ PRÁCA

„Transformácie identity

exponenciálne a logaritmické

výrazy"

Práca dokončená:

študent skupiny ______

Fakulta fyziky a matematiky

_________________________

Skontrolovaná práca:

_________________________

Tiraspol, 2003

Úvod ……………………………………………………………………… 2

Kapitola 1

§1. Formovanie zručností pre aplikáciu špecifických typov transformácií……………………………………………………………………………………….4

§2. Vlastnosti organizácie znalostného systému pri štúdiu identických transformácií.…….………………………….………..………….5

§3. Matematický program ………………………………………….11

Kapitola 2

§1. Zovšeobecnenie pojmu titul………………………………………………..13

§2. Exponenciálna funkcia………………………………………………..15

§3. Logaritmická funkcia……………………………………………….16

Kapitola 3

Záver………………………………………………………………………..24

Zoznam použitej literatúry……………………………………….25
Úvod

V tomto ročníková práca budú uvažované identické transformácie exponenciálnych a logaritmických funkcií, bude uvažovaná metodika ich vyučovania v školskom kurze algebry a začiatok analýzy.

Prvá kapitola práce popisuje metodiku výučby identických transformácií v kurze školskej matematiky, obsahuje aj matematický program v kurze "Algebra a začiatok analýzy" so štúdiom exponenciálnych a logaritmických funkcií.

Druhá kapitola sa priamo zaoberá samotnými exponenciálnymi a logaritmickými funkciami, ich hlavnými vlastnosťami používanými pri identických transformáciách.

Treťou kapitolou je riešenie príkladov a úloh pomocou identických transformácií exponenciálnej a logaritmickej funkcie.

Štúdium rôznych premien výrazov a vzorcov zaberá značnú časť študijného času v rámci školskej matematiky. Najjednoduchšie transformácie založené na vlastnostiach aritmetických operácií sa už vykonávajú v Základná škola a v ročníkoch IV-V. Ale hlavnú záťaž na formovanie zručností a schopností vykonávať transformácie nesie kurz školskej algebry. Súvisí to jednak s prudkým nárastom počtu a rôznorodosti vykonaných transformácií, jednak s komplikovanosťou činností na ich zdôvodnenie a objasnenie podmienok použiteľnosti, s identifikáciou a štúdiom zovšeobecnených pojmov identity, identickej transformácie, ekvivalentnej transformácie, logického dôsledku.

Kultúra vykonávania identických transformácií sa vyvíja rovnakým spôsobom ako kultúra výpočtovej techniky, založená na solídnej znalosti vlastností operácií s objektmi (čísla, vektory, polynómy atď.) a algoritmov na ich implementáciu. Prejavuje sa nielen v schopnosti správne zdôvodniť transformácie, ale aj v schopnosti nájsť najkratšiu cestu prechodu od pôvodného analytického výrazu k výrazu, ktorý najlepšie vyhovuje účelu transformácie, v schopnosti sledovať zmenu v oblasti definície analytických výrazov v reťazci identických transformácií, v rýchlosti a bezchybnom vykonávaní transformácií.

Dôležitým problémom pri vyučovaní matematiky je zabezpečenie vysokej kultúry výpočtov a identických transformácií. Tento problém však ešte zďaleka nie je vyriešený uspokojivo. Dôkazom toho sú štatistické údaje orgánov verejného školstva, v ktorých sa každoročne uvádzajú chyby a iracionálne spôsoby výpočtov a transformácií, ktorých sa dopustili žiaci rôznych tried pri realizácii kontrolné práce. Potvrdzujú to názory vyš vzdelávacie inštitúcie o kvalite matematických vedomostí a zručností uchádzačov. Nedá sa len súhlasiť so závermi orgánov verejného školstva a vysokých škôl, že to nestačí vysoký stupeň kultúra výpočtovej techniky a identické transformácie v stredná škola je dôsledkom formalizmu v poznaní žiakov, oddelenosti teórie od praxe.

Premeny identity a vyučovacie metódy

v školskom kurze algebry a začiatku analýzy.

§1. Formovanie aplikačných zručností

špecifické typy transformácií.

Systém techník a pravidiel na vykonávanie transformácií, ktorý sa používa v štádiu začiatkov algebry, má veľmi široký rozsah aplikácií: používa sa pri štúdiu celého kurzu matematiky. Tento systém však práve pre svoju nízku špecifickosť potrebuje dodatočné transformácie, ktoré zohľadňujú zvláštnosti štruktúry transformovaných výrazov a vlastnosti novozavedených operácií a funkcií. Vývoj zodpovedajúcich typov transformácií začína zavedením skrátených vzorcov násobenia. Potom uvažujeme o transformáciách spojených s operáciou zvýšenia na mocninu, s rôznymi triedami elementárnych funkcií – exponenciálna, mocninná, logaritmická, trigonometrická. Každý z týchto typov premien prechádza štádiom štúdia, v ktorom sa pozornosť sústreďuje na asimiláciu ich charakteristických čŕt.

S akumuláciou materiálu je možné vyčleniť spoločné znaky všetkých uvažovaných transformácií a na tomto základe zaviesť koncepty identických a ekvivalentných transformácií.

Treba poznamenať, že pojem identickej transformácie sa v školskom kurze algebry podáva nie úplne všeobecne, ale iba v aplikácii na výrazy. Transformácie sú rozdelené do dvoch tried: identické transformácie sú transformácie výrazov a ekvivalentné transformácie sú transformácie vzorcov. V prípade, že je potrebné zjednodušiť jednu časť vzorca, je v tomto vzorci zvýraznený výraz, ktorý slúži ako argument pre použitú identickú transformáciu. Zodpovedajúci predikát sa považuje za nezmenený.

Pokiaľ ide o organizáciu integrálneho systému transformácií (syntézy), jeho hlavným cieľom je vytvoriť flexibilný a výkonný; prístroj vhodný na použitie pri riešení rôznych vzdelávacích úloh.

V priebehu algebry a na začiatku analýzy kompletný systém transformácie, vo všeobecnosti už vytvorené, sa naďalej postupne zdokonaľujú. Pridávajú sa k nemu aj niektoré nové typy transformácií, ktoré ho však len obohacujú, rozširujú jeho možnosti, no nemenia jeho štruktúru. Metodológia štúdia týchto nových transformácií sa prakticky nelíši od tej, ktorá sa používa v kurze algebry.

§2. Vlastnosti organizácie systému úloh

pri štúdiu identických premien.

Základným princípom organizovania akéhokoľvek systému úloh je prezentovať ich od jednoduchých po zložité, berúc do úvahy potrebu študentov prekonávať možné ťažkosti a vytvárať problémové situácie. Uvedený základný princíp si vyžaduje konkretizáciu vo vzťahu k znakom tohto vzdelávacieho materiálu. Pre popis rôzne systémyúloh v metodike matematiky sa používa koncepcia cyklu cvičení. Cyklus cvičení je charakterizovaný kombináciou v postupnosti cvičení niekoľkých aspektov štúdia a metód usporiadania materiálu. Vo vzťahu k identickým transformáciám môže byť daná myšlienka cyklu nasledujúcim spôsobom.

Cyklus cvičení je spojený so štúdiom jednej identity, okolo ktorej sa zoskupujú ďalšie identity, ktoré sú s ňou v prirodzenom spojení. Zloženie cyklu spolu s výkonnými úlohami zahŕňa úlohy, ktoré si vyžadujú uznanie použiteľnosti uvažovanej identity. Študovaná identita sa používa na vykonávanie výpočtov v rôznych numerických doménach. Zohľadňuje sa špecifickosť identity; organizujú sa najmä obraty reči s tým spojené.

Úlohy v každom cykle sú rozdelené do dvoch skupín. Prvá zahŕňa úlohy vykonávané počas prvotného oboznámenia sa s identitou. Slúžia vzdelávací materiál na niekoľko po sebe nasledujúcich vyučovacích hodín, spojených jednou témou. Druhá skupina cvičení spája skúmanú identitu s rôznymi aplikáciami. Táto skupina netvorí kompozičnú jednotu – cvičenia sú tu roztrúsené na rôzne témy.

Opísaná štruktúra cyklu sa týka štádia formovania zručností pre aplikáciu konkrétnych typov transformácií. V konečnom štádiu – štádiu syntézy, sa cykly upravia. Najprv sa obe skupiny úloh kombinujú, tvoria „rozložený“ cyklus a z prvej skupiny sa vylučujú najjednoduchšie z hľadiska znenia či zložitosti vykonávania úloh. Zvyšné typy úloh sa stávajú zložitejšími. Po druhé, dochádza k zlučovaniu cyklov súvisiacich s rôznymi identitami, vďaka čomu sa zvyšuje úloha akcií na rozpoznanie použiteľnosti tej či onej identity.

Všímame si vlastnosti cyklov úloh súvisiacich s identitami pre elementárne funkcie. Tieto črty sú spôsobené tým, že po prvé, zodpovedajúce identity sa skúmajú v súvislosti so štúdiom funkčného materiálu a po druhé, objavujú sa neskôr ako identity prvej skupiny a študujú sa pomocou už vytvorených zručností na vykonávanie identických transformácií.

Každá novozavedená elementárna funkcia výrazne rozširuje rozsah čísel, ktoré je možné jednotlivo označiť a pomenovať. Prvá skupina úloh cyklov by preto mala zahŕňať úlohy na vytvorenie spojenia medzi týmito novými číselnými oblasťami s pôvodnou oblasťou. racionálne čísla. Uvádzame príklady takýchto úloh.

Príklad 1 Vypočítajte:

Vedľa každého výrazu je identita v cykloch, pre ktoré môžu byť prítomné navrhované úlohy. Účelom takýchto úloh je osvojiť si vlastnosti záznamov vrátane symbolov nových operácií a funkcií a rozvíjať matematické rečové schopnosti.

Významná časť využitia transformácií identity spojených s elementárnymi funkciami pripadá na riešenie iracionálnych a transcendentálnych rovníc. Cykly súvisiace s asimiláciou identít zahŕňajú iba najjednoduchšie rovnice, ale už tu je vhodné vykonať prácu na zvládnutí metódy riešenia takýchto rovníc: jej redukciu nahradením neznámej rovnicou algebraickou.

Postupnosť krokov pre toto riešenie je nasledovná:

a) nájdite funkciu, pre ktorú môže byť táto rovnica reprezentovaná ako ;

b) urobte substitúciu a vyriešte rovnicu;

c) vyriešiť každú z rovníc , kde je množina koreňov rovnice .

Pri použití opísanej metódy sa krok b) často vykonáva implicitne bez zavedenia zápisu pre . Okrem toho si študenti často vyberajú z rôznych ciest vedúcich k nájdeniu odpovede, aby si vybrali tú, ktorá vedie k algebraickej rovnici rýchlejšie a jednoduchšie.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu.

Prvý spôsob:

Druhý spôsob:

A)

b)

Tu je vidieť, že krok a) je pri prvom spôsobe náročnejší ako pri druhom. Prvý spôsob je „ťažší na začiatok“, aj keď ďalší priebeh riešenia je oveľa jednoduchší. Na druhej strane má druhý spôsob výhody, spočívajúce vo väčšej jednoduchosti, väčšej prepracovanosti pri výučbe redukcie na algebraickú rovnicu.

Pre školský kurz algebry sú typické úlohy, v ktorých je prechod na algebraickú rovnicu ešte jednoduchší ako v tomto príklade. Hlavná záťaž takýchto úloh súvisí s výberom kroku c) ako samostatnej súčasti procesu riešenia spojeného s využitím vlastností skúmanej elementárnej funkcie.

Príklad 3. Vyriešte rovnicu:

A) ; b) .

Tieto rovnice sú redukované na rovnice: a) alebo ; b) alebo. Na vyriešenie týchto rovníc je potrebná znalosť len tých najjednoduchších faktov o exponenciálnej funkcii: jej monotónnosti, rozsahu hodnôt. Rovnako ako predchádzajúci príklad, rovnice a) a b) možno priradiť k prvej skupine cyklu cvičení na riešenie kvadratických exponenciálnych rovníc.

Dostávame sa teda ku klasifikácii úloh v cykloch súvisiacich s riešením transcendentálnych rovníc vrátane exponenciálnej funkcie:

1) rovnice, ktoré sú redukované na rovnice tvaru a majú jednoduchú odpoveď, všeobecnú vo forme: ;

2) rovnice, ktoré sa redukujú na rovnice , kde je celé číslo alebo , kde ;

3) rovnice, ktoré sa redukujú na rovnice a vyžadujú explicitnú analýzu formy, v ktorej je číslo zapísané.

Podobné úlohy možno klasifikovať aj pre iné elementárne funkcie.

Značná časť identít naštudovaných v kurzoch algebry a algebry a začiatkov analýzy je v nich dokázaná alebo aspoň vysvetlená. Táto stránka štúdia identít má pre oba kurzy veľký význam, keďže dôkazné zdôvodnenie v nich prebieha s najväčšou jasnosťou a prísnosťou práve vo vzťahu k identitám. Okrem tohto materiálu sú dôkazy zvyčajne menej úplné, nie sú vždy odlíšené od zloženia použitých prostriedkov na odôvodnenie.

Vlastnosti aritmetických operácií sa používajú ako podpora, na ktorej sú postavené dôkazy totožnosti.

Výchovný vplyv výpočtov a identických transformácií možno smerovať k rozvoju logického myslenia, ak sa len od žiakov systematicky vyžaduje zdôvodňovanie výpočtov a identických transformácií, k rozvoju funkčného myslenia, ktoré sa dosahuje rôznymi spôsobmi. Dôležitosť výpočtov a rovnakých transformácií pri rozvoji vôle, pamäti, vynaliezavosti, sebaovládania a tvorivej iniciatívy je celkom zrejmá.

Požiadavky na každodennú, priemyselnú výpočtovú prax vyžadujú formovanie silných, automatizovaných zručností racionálnych výpočtov a identických transformácií u študentov. Tieto zručnosti sa rozvíjajú v procese akejkoľvek výpočtovej práce, avšak pri rýchlych výpočtoch a transformáciách sú potrebné špeciálne tréningové cvičenia.

Ak teda lekcia zahŕňa riešenie logaritmických rovníc pomocou základnej logaritmickej identity, potom je užitočné zahrnúť do plánu lekcie ústne cvičenia na zjednodušenie alebo výpočet hodnôt výrazov: , , . Účel cvičení je vždy študentom oznámený. Počas cvičenia môže byť potrebné vyžadovať od študentov, aby zdôvodnili jednotlivé transformácie, akcie alebo vyriešili celý problém, aj keď to nebolo plánované. Tam, kde sú možné rôzne spôsoby riešenia problému, je vždy žiaduce položiť si otázky: „Akým spôsobom bol problém vyriešený?“, „Kto vyriešil problém iným spôsobom?“

Pojmy identity a identickej transformácie sú explicitne zavedené v kurze algebry triedy VI. Samotnú definíciu identických výrazov nemožno prakticky použiť na preukázanie totožnosti dvoch výrazov a na pochopenie toho, že podstatou identických transformácií je aplikovať na výraz definície a vlastnosti tých akcií, ktoré sú vo výraze naznačené, alebo k nemu pridať výraz, ktorý sa zhodne rovná 0, alebo ho vynásobiť výrazom, ktorý sa zhodne rovná jednej. Ale aj po zvládnutí týchto ustanovení študenti často nechápu, prečo nám tieto transformácie umožňujú tvrdiť, že pôvodné a výsledné výrazy sú totožné, t. mať rovnaké hodnoty pre všetky systémy (množiny) premenných hodnôt.

Je tiež dôležité zabezpečiť, aby študenti dobre pochopili, že takéto závery identických transformácií sú dôsledkom definícií a vlastností zodpovedajúcich akcií.

V 6. ročníku sa rozširuje aparát identických premien, nahromadený v minulých rokoch. Toto rozšírenie začína zavedením identity vyjadrujúcej vlastnosť súčinu mocnín s rovnakými základmi: , kde , sú celé čísla.

§3. Matematický program. V školskom kurze "Algebra a začiatky analýzy" študenti systematicky študujú exponenciálne a logaritmické funkcie a ich vlastnosti, identické transformácie logaritmických a exponenciálnych výrazov a ich aplikáciu na riešenie príslušných rovníc a nerovníc, oboznamujú sa so základnými pojmami, tvrdeniami. V 11. ročníku hodiny algebry trvajú 3 hodiny týždenne, spolu 102 hodín ročne. Štúdium exponenciálnych, logaritmických a mocninových funkcií podľa programu trvá 36 hodín. Program zahŕňa úvahy a štúdium nasledujúcich problémov: Koncepcia titulu s racionálnym ukazovateľom. Riešenie iracionálnych rovníc. Exponenciálna funkcia, jej vlastnosti a graf. identické transformácie exponenciálnych výrazov. Riešenie exponenciálnych rovníc a nerovníc. Logaritmus čísla. Základné vlastnosti logaritmov. Logaritmická funkcia, jej vlastnosti a graf. Riešenie logaritmických rovníc a nerovníc. Derivácia exponenciálnej funkcie. Číslo a prirodzený logaritmus. Derivácia mocninovej funkcie. Hlavným cieľom časti o štúdiu exponenciálnych a logaritmických funkcií je oboznámiť študentov s exponenciálnymi, logaritmickými a mocninnými funkciami; naučiť žiakov riešiť exponenciálne a logaritmické rovnice a nerovnosti. Pojmy odmocniny tého stupňa a stupeň s racionálnym exponentom sú zovšeobecnením pojmov odmocniny a stupňa s celočíselným exponentom. Študenti by mali venovať pozornosť skutočnosti, že vlastnosti koreňov a stupňov s racionálnym exponentom, ktoré sa tu uvažujú, sú podobné vlastnostiam, ktoré majú predtým študované odmocniny a stupne s celočíselnými exponentmi. Je potrebné venovať dostatok času vypracovaniu vlastností stupňov a formovaniu zručností pre identické transformácie. Pojem stupňa s iracionálnym exponentom je zavedený na vizuálno-intuitívnom základe. Tento materiál hrá pomocnú úlohu a používa sa pri zavádzaní exponenciálnej funkcie. Štúdium vlastností exponenciálnych, logaritmických a mocninových funkcií je postavené v súlade s prijatou všeobecnou schémou pre štúdium funkcií. V tomto prípade je uvedený prehľad vlastností v závislosti od hodnôt parametrov. Exponenciálne a logaritmické nerovnice sú riešené na základe študovaných vlastností funkcií. Charakteristickou črtou predmetu je systematizácia a zovšeobecňovanie vedomostí študentov, upevňovanie a rozvoj zručností a schopností získaných v kurze algebry, ktorý sa uskutočňuje tak pri štúdiu nového materiálu, ako aj pri vykonávaní zovšeobecňujúceho opakovania.
Kapitola 2

§1. Zovšeobecnenie pojmu titul.

Definícia: Koreňom tého stupňa čistého je také číslo, ktorého tý stupeň sa rovná.

Podľa túto definíciu koreň tého stupňa čísla je riešením rovnice. Počet koreňov tejto rovnice závisí od a . Uvažujme o funkcii. Ako je známe, v intervale sa táto funkcia zvyšuje pre ľubovoľnú a preberá všetky hodnoty z intervalu. Podľa koreňovej vety má rovnica pre ľubovoľný nezáporný koreň a navyše iba jeden. Nazýva sa aritmetický koreň tého stupňa čísla a označuje sa; číslo sa nazýva index koreňa a samotné číslo sa nazýva radikálny výraz. Znak sa nazýva aj radikál.

Definícia: Aritmetický koreň tého stupňa čísla je nezáporné číslo, ktorého tý stupeň je .

Pre párne, funkcia je párna. Z toho vyplýva, že ak, tak rovnica má okrem koreňa aj koreň. Ak , potom existuje iba jeden koreň: ; ak , potom táto rovnica nemá korene, pretože párna mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná.

Pre nepárne hodnoty sa funkcia zvyšuje pozdĺž celej číselnej osi; jeho rozsah hodnôt je množinou všetkých reálne čísla. Aplikovaním koreňovej vety zistíme, že rovnica má jeden koreň pre ľubovoľné a najmä pre . Tento koreň pre akúkoľvek hodnotu je označený .

Pre korene nepárneho stupňa platí rovnosť. Skutočne, t.j. číslo je tý koreň z . Ale taký koreň pre nepárne je jedinečný. Preto, .

Poznámka 1: Pre akékoľvek skutočné

Pripomeňme si známe vlastnosti aritmetických koreňov t. stupňa.

Pre všetky prirodzené čísla platia celé číslo a všetky nezáporné celé čísla a rovnosti:

1.

2.

3.

4.

Stupeň s racionálnym exponentom.

Výraz je definovaný pre všetky a okrem prípadu, keď . Pripomeňte si vlastnosti takýchto právomocí.

Pre všetky čísla a všetky celé čísla a rovnosti platia:

Poznamenávame tiež, že ak , potom pre a pre .. a

Pre študentov študujúcich na Jednotnú štátnu skúšku učitelia matematiky na strednej škole č. 26 v Jakutsku používajú zoznam obsahových otázok (kodifikátor) školského kurzu matematiky, ktorých asimilácia sa kontroluje pri zložení jednotnej štátnej skúšky v roku 2007. voliteľný kurz v príprave na Zjednotené Štátna skúška je založená na opakovaní, systematizácii a prehlbovaní skôr získaných vedomostí. Kurzy prebiehajú formou bezplatnej...