Функцияларды және олардың графиктерін қалай түсінуге болады. Функциялардың графиктерін құру. Котангенс функциясының қасиеттері

The әдістемелік материаланықтамалық мақсаттарға арналған және тақырыптардың кең ауқымын қамтиды. Мақалада негізгі элементар функциялардың графиктеріне шолу жасалып, қарастырылады ең маңызды сұрақ – графикті қалай дұрыс және ТЕЗ құру керек. Оқу барысында жоғары математиканегізгі элементар функциялардың графиктерін білмей, қиын болады, сондықтан параболаның, гиперболаның, синустың, косинустың және т.б. графиктерінің қалай көрінетінін есте сақтау, кейбір функция мәндерін есте сақтау өте маңызды. Сондай-ақ біз негізгі функциялардың кейбір қасиеттері туралы айтатын боламыз.

Мен материалдардың толықтығы мен ғылыми тиянақтылығын көрсетпеймін, ең алдымен практикаға баса назар аударылатын болады - бұл жоғары математиканың кез келген тақырыбында әр қадамда тура мағынада бетпе-бет келу керек. Манекендерге арналған диаграммалар? Солай деуге болады.

Оқырмандардың сұранысы бойынша басылатын мазмұн кестесі:

Сонымен қатар, тақырып бойынша ультра қысқаша реферат бар
– АЛТЫ бетті оқу арқылы диаграмманың 16 түрін меңгеріңіз!

Шынымды айтсам, алты, тіпті өзім де таң қалдым. Бұл реферат жақсартылған графиканы қамтиды және номиналды ақыға қол жетімді, демо нұсқасын көруге болады. Графиктер әрқашан қол астында болатындай етіп файлды басып шығару ыңғайлы. Жобаны қолдағаныңыз үшін рахмет!

Біз бірден бастаймыз:

Координат осьтерін қалай дұрыс салу керек?

Тәжірибеде тесттерді студенттер әрдайым дерлік жеке дәптерге, торға тізіп салады. Неліктен сізге құсбелгілер қажет? Өйткені, жұмыс, негізінен, А4 парақтарында жасалуы мүмкін. Ал тор тек сызбаларды сапалы және дәл құрастыру үшін қажет.

Функция графигінің кез келген сызбасы координаталық осьтерден басталады.

Сызбалар екі өлшемді және үш өлшемді.

Алдымен екі өлшемді жағдайды қарастырайық Декарттық тікбұрышты жүйекоординаттар:

1) Координаталық осьтерді саламыз. ось деп аталады x осі , және ось у осі . Біз әрқашан оларды салуға тырысамыз ұқыпты және қисық емес. Көрсеткілер де Папа Карлоның сақалына ұқсамауы керек.

2) «х» және «у» бас әріптері бар осьтерге қол қоямыз. Осьтерге қол қоюды ұмытпаңыз.

3) Масштабты осьтер бойымен орнатыңыз: нөлді және екіні сызыңыз. Сызбаны жасау кезінде ең ыңғайлы және кең таралған масштаб: 1 бірлік = 2 ұяшық (сол жақта сурет) - мүмкін болса, оны ұстаныңыз. Дегенмен, кейде сызба жазу кітапшасының парағына сәйкес келмейтіні орын алады - содан кейін біз масштабты азайтамыз: 1 бірлік = 1 ұяшық (оң жақта сурет). Сирек, бірақ сызбаның масштабын одан да азайтуға (немесе ұлғайтуға) тура келеді

Пулеметтен сызба ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....Өйткені координаталық жазықтық Декарттың ескерткіші емес, ал студент көгершін емес. қойдық нөлЖәне осьтер бойынша екі бірлік. Кейде орнынаБірліктер үшін басқа мәндерді «анықтауға» ыңғайлы, мысалы, абсцисса осінде «екі» және ордината осінде «үш» - ​​және бұл жүйе (0, 2 және 3) координаттар торын да бірегей түрде орнатады.

Сызбаны салудан бұрын сызбаның болжамды өлшемдерін бағалаған дұрыс.. Мәселен, мысалы, тапсырма төбелері бар үшбұрышты салуды қажет етсе, , , онда танымал масштаб 1 бірлік = 2 ұяшық жұмыс істемейтіні анық. Неліктен? Нүктеге назар аударайық - мұнда сіз он бес сантиметрді төмен өлшеуіңіз керек, және, анық, сызба жазу кітапшасының парағына сыймайды (немесе әрең сыймайды). Сондықтан біз бірден кішірек масштабты 1 бірлік = 1 ұяшықты таңдаймыз.

Айтпақшы, шамамен сантиметр және ноутбук ұяшықтары. Дәптердің 30 ұяшығында 15 сантиметр болатыны рас па? Сызғышпен қызығушылық үшін дәптерге 15 сантиметрді өлшеңіз. КСРО-да бұл дұрыс болған шығар... Бір қызығы, егер сіз дәл осы сантиметрлерді көлденең және тігінен өлшесеңіз, нәтижелер (ұяшықтарда) басқаша болады! Дәлірек айтқанда, қазіргі дәптер дойбы емес, төртбұрышты. Бұл нонсенс сияқты көрінуі мүмкін, бірақ мұндай жағдайларда, мысалы, циркуль бар шеңберді салу өте ыңғайсыз. Шынын айту керек, мұндай сәттерде отандық автомобиль өнеркәсібін, құлаған ұшақтарды немесе жарылған электр станцияларын айтпағанда, өндірістегі хакерлік жұмысқа лагерьлерге жіберілген Сталин жолдастың дұрыстығын ойлай бастайсың.

Сапа туралы айтатын болсақ, немесе кеңсе тауарлары туралы қысқаша ұсыныс. Бүгінгі күнге дейін сатылымдағы дәптерлердің көпшілігі жаман сөз айтпай, толықтай гоблин болып табылады. Өйткені олар тек гельдік қаламдардан ғана емес, шарикті қаламдардан да ылғалданады! Қағазға үнемдеңіз. Тазалау үшін бақылау жұмыстарыМен Архангельск целлюлоза-қағаз комбинатының (18 парақ, тор) немесе Пятерочка дәптерлерін пайдалануды ұсынамын, бірақ ол қымбатырақ. Гельдік қаламды таңдаған жөн, тіпті ең арзан қытайлық гель толтыру қағазды жағып немесе жыртатын шарикті қаламнан әлдеқайда жақсы. Менің жадымдағы жалғыз «бәсекеге қабілетті» шарикті қалам - Эрих Краузе. Ол анық, әдемі және тұрақты жазады - толық өзегімен немесе бос дерлік.

Қосымша: тікбұрышты координаталар жүйесін аналитикалық геометрия көзімен көру мақалада қарастырылған. Векторлардың сызықтық (бейне) тәуелділігі. Векторлық негіз, координаталық кварталдар туралы толық ақпаратты сабақтың екінші абзацынан табуға болады Сызықтық теңсіздіктер.

3D корпусы

Бұл жерде дерлік бірдей.

1) Координат осьтерін саламыз. Стандартты: осьті қолданыңыз – жоғары бағытталған, ось – оңға, ось – төмен солға бағытталған қатаң түрде 45 градус бұрышта.

2) Біз осьтерге қол қоямыз.

3) Масштабты осьтер бойымен орнатыңыз. Ось бойымен масштабтау - басқа осьтер бойындағы шкаладан екі есе аз. Сондай-ақ, дұрыс сызбада ось бойымен стандартты емес «серифті» қолданғанымды ескеріңіз (бұл мүмкіндік жоғарыда айтылған). Менің көзқарасым бойынша, бұл дәлірек, жылдамырақ және эстетикалық жағымды - микроскоптың астындағы жасушаның ортасын іздеудің және блокты бастапқы нүктеге дейін «мүсіндеудің» қажеті жоқ.

3D сызбасын қайта жасағанда - масштабқа басымдық беріңіз
1 бірлік = 2 ұяшық (сол жақта сурет).

Бұл ережелердің барлығы не үшін? Ережелерді бұзу керек. Енді не істеймін. Мәселе мынада, мақаланың кейінгі сызбаларын мен Excel бағдарламасында жасаймын, ал координаталық осьтер көзқарас тұрғысынан дұрыс емес көрінеді. дұрыс дизайн. Мен барлық графиктерді қолмен сала алатынмын, бірақ оларды салу өте қорқынышты, өйткені Excel оларды дәлірек сызуды қаламайды.

Элементар функциялардың графиктері және негізгі қасиеттері

Сызықтық функция теңдеу арқылы берілген. Сызықтық функция графигі тікелей. Түзу сызықты салу үшін екі нүктені білу жеткілікті.

1-мысал

Функцияны сызу. Екі нүктені табайық. Ұпайлардың бірі ретінде нөлді таңдаған тиімді.

Егер болса, онда

Біз басқа тармақты аламыз, мысалы, 1.

Егер болса, онда

Тапсырмаларды дайындау кезінде нүктелердің координаталары әдетте кестеде жинақталады:

Ал мәндердің өзі ауызша немесе жобада, калькуляторда есептеледі.

Екі нүкте табылды, сызайық:

Сызбаны жасағанда біз әрқашан графикаға қол қоямыз.

Сызықтық функцияның ерекше жағдайларын еске түсіру артық болмайды:

Жазбаларды қалай қойғаныма назар аударыңыз, сызбаны оқу кезінде қолтаңбалар екі жақты болмауы керек. Бұл жағдайда сызықтардың қиылысу нүктесінің жанына немесе графиканың төменгі оң жағындағы қолтаңбаны қою өте жағымсыз болды.

1) () түріндегі сызықтық функция тура пропорционалдық деп аталады. Мысалы, . Тура пропорционалдық графигі әрқашан координат басынан өтеді. Осылайша, түзу сызықтың құрылысы жеңілдетілген - тек бір нүктені табу жеткілікті.

2) Пішіннің теңдеуі осіне параллель түзуді анықтайды, атап айтқанда осьтің өзі теңдеу арқылы беріледі. Функцияның графигі ешбір нүктені таппай бірден құрастырылады. Яғни, жазбаны келесідей түсіну керек: «y әрқашан -4-ке тең, кез келген х мәні үшін».

3) Пішіннің теңдеуі осіне параллель түзу сызықты анықтайды, атап айтқанда осьтің өзі теңдеу арқылы беріледі. Функцияның графигі де бірден құрастырылады. Жазбаны келесідей түсіну керек: «x әрқашан, кез келген у мәні үшін 1-ге тең».

Біреулер сұрайды, жарайды, 6-сынып неге есте қалды?! Дәл солай, мүмкін солай шығар, тек тәжірибе жылдарында мен немесе сияқты графикті құру тапсырмасына таңғалған ондаған жақсы студенттерді кездестірдім.

Тікелей сызық сызу - сызбаларды жасау кезінде ең жиі қолданылатын әрекет.

Түзу сызық аналитикалық геометрия курсында егжей-тегжейлі талқыланады, ал қалаушылар мақалаға сілтеме жасай алады. Жазықтықтағы түзудің теңдеуі.

Квадрат функция графигі, кубтық функция графигі, көпмүшелік графигі

Парабола. Квадраттық функцияның графигі () - парабола. Атақты жағдайды қарастырайық:

Функцияның кейбір қасиеттерін еске түсірейік.

Сонымен, теңдеуіміздің шешімі: - дәл осы нүктеде параболаның төбесі орналасқан. Неліктен бұлай екенін туынды туралы теориялық мақаладан және функцияның экстремумы туралы сабақтан білуге ​​болады. Осы арада біз «y» сәйкес мәнін есептейміз:

Сонымен, шың нүктеде

Енді біз параболаның симметриясын пайдаланып, басқа нүктелерді табамыз. Бұл функцияны атап өткен жөн – біркелкі емес, бірақ, соған қарамастан, ешкім параболаның симметриясын жойған жоқ.

Қалған ұпайларды қалай табу керек, менің ойымша, бұл қорытынды кестеден анық болады:

Бұл құрылыс алгоритмін бейнелі түрде «шаттл» немесе Анфиса Чеховамен «алға-артқа» принципі деп атауға болады.

Сурет салайық:

Қарастырылған графиктерден тағы бір пайдалы мүмкіндік еске түседі:

Квадраттық функция үшін () мыналар дұрыс:

Егер , онда параболаның тармақтары жоғары бағытталған.

Егер , онда параболаның тармақтары төмен бағытталған.

Қисық туралы терең білімді Гипербола және парабола сабағында алуға болады.

Текше парабола функциясы арқылы берілген. Міне, мектептен таныс сурет:

Функцияның негізгі қасиеттерін тізімдейміз

Функция графигі

Ол параболаның тармақтарының бірін білдіреді. Сурет салайық:

Функцияның негізгі қасиеттері:

Бұл жағдайда ось болып табылады тік асимптота гипербола графигі үшін.

Егер сызбаны құрастыру кезінде абайсызда графиктің асимптотпен қиылысуына жол берсеңіз, бұл ҮЛКЕН қателік болады.

Сондай-ақ бір жақты шектеулер, гипербола екенін айтыңыз жоғарыдан шектелмейдіЖәне төменнен шектелмейді.

Функцияны шексіздікте зерттеп көрейік: , яғни ось бойымен солға (немесе оңға) шексіздікке жылжи бастасақ, онда «ойындар» жіңішке қадам болады. шексіз жақыннөлге жақындайды, сәйкесінше гиперболаның тармақтары шексіз жақыносіне жақындаңыз.

Сонымен ось көлденең асимптота функцияның графигі үшін, егер «x» плюс немесе минус шексіздікке ұмтылса.

Функция болып табылады тақ, бұл гиперболаның басына қатысты симметриялы екенін білдіреді. Бұл факт сызбадан анық көрінеді, сонымен қатар оны аналитикалық жолмен оңай тексеруге болады: .

() түріндегі функцияның графигі гиперболаның екі тармағын көрсетеді.

Егер , онда гипербола бірінші және үшінші координаталар квадранттарында орналасады(жоғарыдағы суретті қараңыз).

Егер , онда гипербола екінші және төртінші координаталық ширектерде орналасқан.

Гиперболаның тұрғылықты жерінің көрсетілген заңдылығын графиктердің геометриялық түрлендірулері тұрғысынан талдау қиын емес.

3-мысал

Гиперболаның оң жақ тармағын сал

Біз нүктелік құрылыс әдісін қолданамыз, ал мәндерді толығымен бөлетін етіп таңдау тиімді:

Сурет салайық:

Гиперболаның сол жақ тармағын салу қиын болмайды, мұнда функцияның тақтығы ғана көмектеседі. Дөрекі айтқанда, нүктелік құрылыс кестесінде ойша әр санға минус қосып, сәйкес нүктелерді қойып, екінші тармақты сызыңыз.

Қарастырылған түзу туралы толық геометриялық ақпаратты Гипербола және парабола мақаласынан табуға болады.

Көрсеткіштік функцияның графигі

Бұл тармақта мен бірден көрсеткіштік функцияны қарастырамын, өйткені жоғары математиканың есептерінде 95% жағдайда бұл көрсеткіш орын алады.

Естеріңізге саламын - бұл иррационал сан: , бұл графикті құру кезінде қажет болады, мен оны рәсімсіз саламын. Үш ұпай жеткілікті болуы мүмкін:

Функцияның графигін әзірге жалғыз қалдырайық, ол туралы кейінірек.

Функцияның негізгі қасиеттері:

Негізінде функциялардың графиктері бірдей көрінеді және т.б.

Айта кету керек, екінші жағдай тәжірибеде сирек кездеседі, бірақ ол орын алады, сондықтан мен оны осы мақалаға қосуды қажет деп таптым.

Логарифмдік функцияның графигі

Натурал логарифмі бар функцияны қарастырайық .
Сызық сызбасын жасайық:

Логарифмнің не екенін ұмытып қалсаңыз, мектеп оқулықтарын қараңыз.

Функцияның негізгі қасиеттері:

Домен:

Мәндер ауқымы: .

Функция жоғарыдан шектелмейді: , баяу болса да, бірақ логарифмнің тармағы шексіздікке дейін барады.
Оң жақта нөлге жақын функцияның әрекетін зерттейміз: . Сонымен ось тік асимптота Оң жақта нөлге ұмтылатын «x» функциясының графигі үшін.

Логарифмнің типтік мәнін білуді және есте сақтауды ұмытпаңыз: .

Негізінде логарифмнің негізіндегі графигі бірдей көрінеді: , , (10 негізіне ондық логарифм) т.б. Сонымен қатар, негіз неғұрлым үлкен болса, диаграмма соғұрлым тегіс болады.

Біз бұл істі қарастырмаймыз, бұл мен соңғы рет қашан мұндай негізбен графикті салғаным есімде жоқ. Иә, және логарифм жоғары математика есептерінің өте сирек қонағы болып көрінеді.

Параграфты қорытындылай келе тағы бір фактіні айтайын: Көрсеткіштік функция және логарифмдік функцияекеуі өзара кері функциялар . Егер сіз логарифм графигіне мұқият қарасаңыз, бұл бірдей дәреже екенін көре аласыз, жай ғана ол сәл басқаша орналасқан.

Тригонометриялық функциялардың графиктері

Тригонометриялық азап мектепте қалай басталады? Дұрыс. Синустардан

Функцияның графигін салайық

Бұл сызық деп аталады синусоид.

Естеріңізге сала кетейін, «пи» иррационал сан: және тригонометрияда ол көзді таң қалдырады.

Функцияның негізгі қасиеттері:

Бұл функция мерзімді басылымкезеңмен. Бұл нені білдіреді? Кесуді қарастырайық. Оның сол жағында және оң жағында графиктің дәл сол бөлігі шексіз қайталанады.

Домен: , яғни кез келген «x» мәні үшін синус мәні бар.

Мәндер ауқымы: . Функция болып табылады шектелген: , яғни барлық «ойындар» сегментте қатаң түрде отырады.
Бұл болмайды: немесе, дәлірек айтқанда, болады, бірақ бұл теңдеулердің шешімі жоқ.

Ұлттық зерттеу университеті

Қолданбалы геология кафедрасы

Жоғары математикадан эссе

Тақырып бойынша: «Негізгі элементар функциялар,

олардың қасиеттері мен графиктері»

Аяқталды:

Тексерілді:

мұғалім

Анықтама. y=a x формуласымен берілген функция (мұндағы a>0, a≠1) негізі a болатын көрсеткіштік функция деп аталады.

Негізгі қасиеттерді тұжырымдаймыз көрсеткіштік функция:

1. Анықтау облысы – барлығының жиыны (R). нақты сандар.

2. Мәндер ауқымы барлық оң нақты сандар жиыны (R+) болып табылады.

3. a > 1 болғанда, функция бүкіл нақты сызықта артады; 0-де<а<1 функция убывает.

4. Функция болып табылады жалпы көрініс.

y(х)=х n түріндегі функция, мұндағы n – ОР саны, дәрежелік функция деп аталады. n саны әртүрлі мәндерді қабылдай алады: бүтін және бөлшек, жұп және тақ. Осыған байланысты қуат функциясы басқа пішінге ие болады. Қуат функциялары болып табылатын және қисықтардың осы түрінің негізгі қасиеттерін келесі ретпен көрсететін ерекше жағдайларды қарастырыңыз: қуат функциясы y \u003d x² (жұп көрсеткішті функция - парабола), қуат функциясы y \u003d x³ (функция) тақ көрсеткішті – текше парабола) және y \u003d √ x функциясы (x ½ дәрежесіне) (бөлшек көрсеткіші бар функция), теріс бүтін көрсеткішті функция (гипербола).

Қуат функциясы y=x²

1. D(x)=R – функция бүкіл сандық осьте анықталған;

2. E(y)= және аралықта артады

Қуат функциясы y=x³

1. y \u003d x³ функциясының графигі кубтық парабола деп аталады. y=x³ қуат функциясының келесі қасиеттері бар:

2. D(x)=R – функция бүкіл сандық осьте анықталған;

3. E(y)=(-∞;∞) – функция өзінің анықтау облысындағы барлық мәндерді қабылдайды;

4. x=0 y=0 болғанда – функция O(0;0) басы арқылы өтеді.

5. Функция анықтаудың барлық облысы бойынша артады.

6. Функция тақ (бастапқы нүктеге қатысты симметриялы).

x³ алдындағы сандық факторға байланысты функция тік / тегіс және ұлғайту / азайту болуы мүмкін.

Бүтін теріс көрсеткішті қуат функциясы:

Егер n көрсеткіші тақ болса, онда мұндай дәрежелік функцияның графигі гипербола деп аталады. Теріс бүтін көрсеткішті дәреже функциясының келесі қасиеттері бар:

1. Кез келген n үшін D(x)=(-∞;0)U(0;∞);

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) егер n тақ сан болса; E(y)=(0;∞) егер n жұп сан болса;

3. Егер n тақ сан болса, функция анықтаудың барлық облысы бойынша кемиді; функция (-∞;0) интервалында артады және (0;∞) аралықта кемиді, егер n жұп сан болса.

4. Егер n тақ сан болса, функция тақ (бастапқы нүктеге қатысты симметриялы); n жұп сан болса, функция жұп болады.

5. Функция n тақ сан болса (1;1) және (-1;-1) нүктелері арқылы және n жұп сан болса (1;1) және (-1;1) нүктелері арқылы өтеді.

Бөлшек көрсеткіші бар қуат функциясы

Пішіннің (суреттің) бөлшек көрсеткіші бар дәреже функциясының суретте көрсетілген функцияның графигі болады. Бөлшек көрсеткіші бар дәреже функциясының келесі қасиеттері бар: (сурет)

1. D(x) ОР, егер n тақ сан және D(x)= болса, xО интервалында, xО [-3;3] аралығында

y \u003d log a x логарифмдік функциясының келесі қасиеттері бар:

1. Анықтау облысы D(x)н (0; + ∞).

2. E(y) мәндер диапазоны О (- ∞; + ∞)

3. Функция жұп та, тақ та емес (жалпы).

4. Функция a > 1 үшін (0; + ∞) аралықта артады, 0 үшін (0; + ∞) азаяды< а < 1.

y = log a x функциясының графигін y = a x функциясының графигінен y = x түзуіне қатысты симметрия түрлендіру арқылы алуға болады. 9-суретте a > 1 үшін логарифмдік функцияның, ал 10-суретте 0 үшін графигі берілген.< a < 1.

y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x функциялары тригонометриялық функциялар деп аталады.

y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x функциялары тақ, ал y \u003d cos x функциясы жұп.

y \u003d sin (x) функциясы.

1. D(x) анықтау облысы ОР.

2. E(y) мәндер диапазоны О [ - 1; 1].

3. Функция периодты; негізгі периоды 2π.

4. Функция тақ.

5. Функция [ -π/2 + 2πn аралықтарында артады; π/2 + 2πn] және [ π/2 + 2πn аралықтарында азаяды; 3π/2 + 2πn], n О Z.

y \u003d sin (x) функциясының графигі 11-суретте көрсетілген.

Негізгі элементар функциялар, оларға тән қасиеттер және сәйкес графиктер маңыздылығы бойынша көбейту кестесіне ұқсас математикалық білім негіздерінің бірі болып табылады. Элементарлы функциялар барлық теориялық мәселелерді зерттеудің негізі, тірегі болып табылады.

Төмендегі мақалада негізгі элементар функциялар тақырыбы бойынша негізгі материал берілген. Терминдерді енгіземіз, оларға анықтама береміз; Элементар функциялардың әрбір түрін егжей-тегжейлі зерттеп, олардың қасиеттерін талдап көрейік.

Негізгі элементар функциялардың келесі түрлері бөлінеді:

Анықтама 1

• тұрақты функция (тұрақты);
• n-ші дәрежелі түбір;
• қуат функциясы;
• көрсеткіштік функция;
• логарифмдік функция;
• тригонометриялық функциялар;
• бауырлас тригонометриялық функциялар.

Тұрақты функция мына формуламен анықталады: y = C (C - қандай да бір нақты сан) және де атауы бар: тұрақты. Бұл функция x тәуелсіз айнымалысының кез келген нақты мәні y айнымалысының бірдей мәніне – C мәніне сәйкес келетінін анықтайды.

Тұрақты шаманың графигі – х осіне параллель және координаталары (0, С) болатын нүкте арқылы өтетін түзу. Түсінікті болу үшін y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (сызбада сәйкесінше қара, қызыл және көк түспен белгіленген) тұрақты функциялардың графиктерін ұсынамыз.

Анықтама 2

Бұл элементар функция у = x n (n -) формуласымен анықталады. натурал санбіреуден көп).

Функцияның екі нұсқасын қарастырайық.

1. n-ші дәрежелі түбір, n – жұп сан

Түсінікті болу үшін біз осындай функциялардың графиктерін көрсететін сызбаны көрсетеміз: y = x , y = x 4 және y = x 8 . Бұл функциялар түсті кодталған: тиісінше қара, қызыл және көк.

Көрсеткіштің басқа мәндері үшін жұп дәрежелі функция графиктерінің ұқсас көрінісі.

Анықтама 3

n-дәрежелі функция түбірінің қасиеттері, n – жұп сан

• анықтау облысы барлық теріс емес нақты сандар жиыны [ 0 , + ∞) ;
• x = 0 болғанда, функция y = x n нөлге тең мәнге ие;
• берілген функция – функцияжалпы форма (жұп та, тақ та емес);
• диапазон: [ 0 , + ∞) ;
• бұл функция түбірдің жұп дәрежелері бар y = x n анықтаудың барлық облысы бойынша артады;
• функцияның барлық анықтау облысы бойынша жоғары бағытталған дөңестігі бар;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• асимптоталар жоқ;
• жұп n үшін функцияның графигі (0 ; 0) және (1 ; 1) нүктелері арқылы өтеді.

1. n-ші дәрежелі түбір, n - тақ сан

Мұндай функция нақты сандардың барлық жиынында анықталған. Түсінікті болу үшін функциялардың графиктерін қарастырыңыз y = x 3 , y = x 5 және x 9 . Сызбада олар түстермен көрсетілген: тиісінше қисықтардың қара, қызыл және көк түстері.

y = x n функциясының түбір көрсеткішінің басқа тақ мәндері ұқсас түрдегі графикті береді.

Анықтама 4

n-дәрежелі функция түбірінің қасиеттері, n - тақ сан

• анықтау облысы – барлық нақты сандар жиыны;
• бұл функция тақ;
• мәндер диапазоны - барлық нақты сандар жиыны;
• түбірдің тақ дәрежелері бар y = x n функциясы анықтаудың барлық облысы бойынша өседі;
• функцияның (- ∞ ; 0 ] интервалында ойыстығы және [ 0 , + ∞) интервалында дөңестігі бар;
• иілу нүктесінің координаттары бар (0 ; 0) ;
• асимптоталар жоқ;
• тақ n үшін функцияның графигі (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) және (1 ; 1) нүктелері арқылы өтеді.

Қуат функциясы

Қуат функциясы у = x a формуласымен анықталады.

Графиктердің түрі және функцияның қасиеттері көрсеткіштің мәніне байланысты.

• дәреже функциясының бүтін көрсеткіші а болса, онда дәреже функциясының графигінің түрі және оның қасиеттері көрсеткіштің жұп немесе тақ болуына, сондай-ақ көрсеткіштің қандай белгісі бар екеніне байланысты. Осы ерекше жағдайлардың барлығын төменде толығырақ қарастырайық;
• көрсеткіш бөлшек немесе иррационал болуы мүмкін – осыған байланысты графиктердің түрі мен функцияның қасиеттері де өзгереді. Біз бірнеше шарттарды қою арқылы ерекше жағдайларды талдаймыз: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• қуат функциясы нөлдік көрсеткішке ие болуы мүмкін, біз бұл жағдайды төменде толығырақ талдаймыз.

Қуат функциясын талдап көрейік а тақ болғанда y = x a оң сан, мысалы, a = 1 , 3 , 5 ...

Түсінікті болу үшін мұндай дәрежелік функциялардың графиктерін көрсетеміз: у = х (графиктің қара түсі), y = x 3 (диаграмманың көк түсі), y = x 5 (графиктің қызыл түсі), y = x 7 (жасыл график). a = 1 болғанда, біз аламыз сызықтық функция y=x.

Анықтама 6

Көрсеткіш тақ оң болғанда дәрежелік функцияның қасиеттері

• функция x ∈ үшін өсуде (- ∞ ; + ∞) ;
• функция x ∈ үшін дөңес (- ∞ ; 0 ] және x ∈ [ 0 ; + ∞) үшін ойыс (сызықтық функцияны қоспағанда);
• иілу нүктесінің координаттары бар (0 ; 0) (сызықтық функцияны қоспағанда);
• асимптоталар жоқ;
• функцияның өту нүктелері: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Қуат функциясын талдап көрейік а жұп оң сан болғанда y = x a, мысалы, a = 2 , 4 , 6 ...

Түсінікті болу үшін біз осындай қуат функцияларының графиктерін көрсетеміз: y \u003d x 2 (графиктің қара түсі), y = x 4 (графиктің көк түсі), y = x 8 (графиктің қызыл түсі). a = 2 болғанда, графигі квадраттық парабола болатын квадраттық функцияны аламыз.

Анықтама 7

Көрсеткіш жұп оң болғанда дәрежелік функцияның қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• x ∈ үшін кему (- ∞ ; 0 ] ;
• функция x ∈ үшін ойыс (- ∞ ; + ∞) ;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• асимптоталар жоқ;
• функцияның өту нүктелері: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Төмендегі суретте экспоненциалды функция графиктерінің мысалдары көрсетілген а тақ болғанда y = x a теріс сан: y = x - 9 (диаграмманың қара түсі); y = x - 5 (диаграмманың көк түсі); y = x - 3 (диаграмманың қызыл түсі); y = x - 1 (жасыл график). a \u003d - 1 болғанда, графигі гипербола болатын кері пропорционалдылықты аламыз.

Анықтама 8

Көрсеткіш тақ теріс болғанда қуат функциясының қасиеттері:

x \u003d 0 болғанда, біз екінші түрдегі үзіліс аламыз, өйткені lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Сонымен, х = 0 түзу тік асимптотаны құрайды;

• диапазон: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• функция тақ, себебі y (- x) = - y (x) ;
• функция x ∈ - ∞ үшін кемиді; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• функция x ∈ үшін дөңес (- ∞ ; 0) және x ∈ үшін ойыс (0 ; + ∞) ;
• бұрылыс нүктелері жоқ;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 болғанда, a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• функцияның өту нүктелері: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Төмендегі суретте а жұп теріс сан болғанда y = x a қуат функциясы графиктерінің мысалдары көрсетілген: y = x - 8 (қара түсті диаграмма); y = x - 4 (графиктің көк түсі); y = x - 2 (графиктің қызыл түсі).

Анықтама 9

Көрсеткіш тіпті теріс болғанда қуат функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

x \u003d 0 болғанда, біз екінші түрдегі үзіліс аламыз, өйткені lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Сонымен, х = 0 түзу тік асимптотаны құрайды;

• функциясы жұп, өйткені y (- x) = y (x) ;
• функция x ∈ (- ∞ ; 0) үшін өсуде және x ∈ 0 үшін кемуде; +∞ ;
• функция x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) үшін ойыс;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• көлденең асимптота y = 0 түзу, себебі:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 болғанда, a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• функцияның өту нүктелері: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Ең басынан бастап мына аспектіге назар аударыңыз: а тақ бөлімі бар оң бөлшек болған жағдайда, кейбір авторлар бұл дәреже функциясының анықталу облысы ретінде - ∞ интервалын алады; + ∞ , a көрсеткішінің азайтылмайтын бөлшек екенін шарттайды. Қазіргі уақытта алгебра және талдаудың бастамалары бойынша көптеген оқу басылымдарының авторлары дәрежелік функцияларды АНЫҚТАМАДЫ, мұнда көрсеткіш аргументтің теріс мәндері үшін тақ бөлгіші бар бөлшек болып табылады. Әрі қарай, біз дәл осындай ұстанымды ұстанамыз: біз жиынды аламыз [ 0 ; +∞) . Студенттерге ұсыныс: келіспеушіліктерді болдырмау үшін осы сәтте мұғалімнің көзқарасын біліңіз.

Сонымен, қуат функциясын қарастырайық y = x a, егер дәреже көрсеткіші 0 болған жағдайда рационал немесе иррационал сан болса< a < 1 .

Қуат функцияларын графиктер арқылы көрсетейік a = 11 12 болғанда y = x a (қара түсті диаграмма); a = 5 7 (графиктің қызыл түсі); a = 1 3 (графиктің көк түсі); a = 2 5 (графиктің жасыл түсі).

a көрсеткішінің басқа мәндері (0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Анықтама 10

0-дегі қуат функциясының қасиеттері< a < 1:

• диапазон: y ∈ [ 0 ; +∞);
• функция x ∈ [ 0 үшін өсуде; +∞);
• функцияның x ∈ (0 ; + ∞) үшін дөңестігі бар;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• асимптоталар жоқ;

Қуат функциясын талдап көрейік y = x a, егер дәреже көрсеткіші бүтін емес рационал немесе иррационал сан болса, a > 1 болған жағдайда.

Біз қуат функциясының графиктерін суреттейміз y \u003d x a берілген шарттарда келесі функцияларды мысал ретінде пайдалана отырып: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (қара, қызыл, көк, жасыл) тиісінше графиктер).

a > 1 шартындағы а көрсеткішінің басқа мәндері графиктің ұқсас көрінісін береді.

Анықтама 11

> 1 үшін қуат функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ [ 0 ; +∞);
• диапазон: y ∈ [ 0 ; +∞);
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• функция x ∈ [ 0 үшін өсуде; +∞);
• функция x ∈ (0 ; + ∞) үшін ойыс болады (1 болғанда< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• асимптоталар жоқ;
• функцияның өту нүктелері: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Назарларыңызды аударамыз!a – тақ бөлгіші бар теріс бөлшек болғанда, кейбір авторлардың еңбектерінде бұл жағдайда анықтау облысы – ∞ интервалы деген көзқарас бар; 0 ∪ (0 ; + ∞) a көрсеткішінің азайтылмайтын бөлшек болуы шартымен. Қазіргі уақытта авторлар оқу материалдарыалгебра және талдаудың басына сәйкес, аргументтің теріс мәндері бар тақ бөлгіші бар бөлшек түріндегі көрсеткіші бар дәреже функциялары АНЫҚТАМАДЫ. Әрі қарай, біз дәл осындай көзқарасты ұстанамыз: бөлшек теріс көрсеткішті дәрежелік функциялардың анықталу облысы ретінде (0 ; + ∞) жиынын аламыз. Оқушыларға ұсыныс: Келіспеушілік тудырмас үшін осы сәтте мұғалімнің көзқарасын нақтылаңыз.

Тақырыпты жалғастырып, қуат функциясын талдаймыз y = x a берілген: - 1< a < 0 .

Мына функциялардың графиктерінің сызбасы: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (сәйкесінше қара, қызыл, көк, жасыл сызықтар) ).

Анықтама 12

Қуат функциясының қасиеттері - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ болғанда - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• диапазон: y ∈ 0 ; +∞ ;
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• бұрылыс нүктелері жоқ;

Төмендегі сызбада y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (қара, қызыл, көк, жасыл түстертиісінше қисықтар).

Анықтама 13

a үшін қуат функциясының қасиеттері< - 1:

• анықтау облысы: x ∈ 0 ; +∞ ;

a болғанда lim x → 0 + 0 x a = + ∞< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• функция x ∈ 0 үшін кемиді; +∞ ;
• функция x ∈ 0 үшін ойыс; +∞ ;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• көлденең асимптот - түзу y = 0 ;
• функцияның өту нүктесі: (1 ; 1) .

\u003d 0 және x ≠ 0 болғанда, біз (0; 1) нүктесі алынып тасталатын сызықты анықтайтын y \u003d x 0 \u003d 1 функциясын аламыз (біз 0 0 өрнегі берілмейтініне келістік. кез келген мән).

Көрсеткіштік функцияның пішіні бар y = a x , мұндағы a > 0 және a ≠ 1 , және бұл функцияның графигі a негізінің мәніне негізделген басқаша көрінеді. Ерекше жағдайларды қарастырайық.

Алдымен, көрсеткіштік функцияның негізі нөлден бірге дейінгі мәнге ие болған жағдайды талдап көрейік (0< a < 1) . Көрсеткіш мысал ретінде a = 1 2 (қисық сызықтың көк түсі) және a = 5 6 (қисық сызықтың қызыл түсі) үшін функциялардың графиктері келтірілген.

Көрсеткіштік функцияның графиктері 0 болған жағдайда негіздің басқа мәндері үшін ұқсас пішінге ие болады.< a < 1 .

Анықтама 14

Көрсеткіштік функцияның негізі бірден кіші болғандағы қасиеттері:

• диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• негізі біреуден кіші экспоненциалды функция анықтаудың барлық облысы бойынша кемиді;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• көлденең асимптота - y = 0 түзу сызық, х айнымалысы + ∞ -ге бейім;

Енді көрсеткіштік функцияның негізі бірден үлкен (a > 1) болған жағдайды қарастырайық.

Бұл ерекше жағдайды y = 3 2 x (қисық сызықтың көк түсі) және y = e x (графиктің қызыл түсі) көрсеткіштік функцияларының графигі арқылы көрсетейік.

Бірден үлкен негіздің басқа мәндері экспоненциалды функцияның графигіне ұқсас көрініс береді.

Анықтама 15

Көрсеткіштік функцияның негізі бірден үлкен болғандағы қасиеттері:

• анықтау облысы нақты сандардың бүкіл жиынтығы;
• диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• негізі бірден үлкен көрсеткіштік функция x ∈ - ∞ үшін өседі; +∞ ;
• функция x ∈ - ∞ үшін ойыс; +∞ ;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• көлденең асимптота - түзу y = 0 x айнымалысы бар - ∞ ;
• функцияның өту нүктесі: (0 ; 1) .

Логарифмдік функция y = log a (x) түрінде болады, мұндағы a > 0 , a ≠ 1 .

Мұндай функция тек аргументтің оң мәндері үшін анықталады: x ∈ 0 үшін; +∞ .

Логарифмдік функцияның графигі а негізінің мәніне негізделген басқа пішінге ие.

Алдымен 0 болған жағдайды қарастырайық< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Бірден көп емес негіздің басқа мәндері графиктің ұқсас көрінісін береді.

Анықтама 16

Логарифмдік функцияның негізі бірден кіші болғандағы қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ 0 ; +∞ . х оң жақтан нөлге ұмтылатындықтан, функцияның мәндері + ∞;
• диапазон: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• логарифмдік
• функция x ∈ 0 үшін ойыс; +∞ ;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• асимптоталар жоқ;

Енді логарифмдік функцияның негізі бірден үлкен болатын ерекше жағдайды талдап көрейік: a > 1 . Төмендегі сызбада y = log 3 2 x және y = ln x логарифмдік функциялардың графиктері берілген (тиісінше графиктердің көк және қызыл түстері).

Бірден жоғары негіздің басқа мәндері графиктің ұқсас көрінісін береді.

Анықтама 17

Негізі бірден үлкен болғанда логарифмдік функцияның қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ 0 ; +∞ . х оң жақтан нөлге ұмтылатындықтан, функцияның мәндері - ∞;
• диапазон: y ∈ - ∞ ; + ∞ (нақты сандар жиыны);
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• логарифмдік функция x ∈ 0 үшін өсуде; +∞ ;
• функцияның х ∈ 0 үшін дөңестігі бар; +∞ ;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• асимптоталар жоқ;
• функцияның өту нүктесі: (1 ; 0) .

Тригонометриялық функцияларға синус, косинус, тангенс және котангенс жатады. Олардың әрқайсысының қасиеттерін және сәйкес графиктерді талдап көрейік.

Жалпы алғанда, барлық тригонометриялық функциялар периодтылық қасиетімен сипатталады, яғни. функция мәндері қайталанған кезде әртүрлі мағыналарбір-бірінен f (x + T) = f (x) периодының мәнімен ерекшеленетін аргумент (T - период). Осылайша, тригонометриялық функциялардың қасиеттерінің тізіміне «ең аз оң кезең» тармағы қосылады. Сонымен қатар, сәйкес функция жойылатын аргументтің осындай мәндерін көрсетеміз.

1. Синус функциясы: y = sin(x)

Бұл функцияның графигі синус толқыны деп аталады.

Анықтама 18

Синус функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: нақты сандар жиыны x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• функция x = π k болғанда жойылады, мұндағы k ∈ Z (Z – бүтін сандар жиыны);
• функция x ∈ - π 2 + 2 π · k үшін өсуде; π 2 + 2 π k, k ∈ Z және x ∈ π 2 + 2 π k үшін кему; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• синус функциясы бар жергілікті максимумнүктелерінде π 2 + 2 π · k ; 1 және нүктелердегі жергілікті минимумдар - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• x ∈ - π + 2 π k болғанда синус функциясы ойыс болады; 2 π k, k ∈ Z және x ∈ 2 π k болғанда дөңес; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• асимптоталар жоқ.

1. косинус функциясы: y=cos(x)

Бұл функцияның графигі косинус толқыны деп аталады.

Анықтама 19

Косинус функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ең кіші оң кезең: T \u003d 2 π;
• диапазон: y ∈ - 1 ; 1 ;
• бұл функция жұп, өйткені y (- x) = y (x) ;
• функция x ∈ - π + 2 π · k үшін өсуде; 2 π · k, k ∈ Z және x ∈ 2 π · k үшін кему; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• косинус функциясы 2 π · k нүктелерінде жергілікті максимумдарға ие; 1 , k ∈ Z және π + 2 π · k нүктелеріндегі жергілікті минимумдар; - 1 , k ∈ z ;
• x ∈ π 2 + 2 π · k болғанда косинус функциясы ойыс болады; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z және x ∈ - π 2 + 2 π k болғанда дөңес; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• иілу нүктелерінің координаттары бар π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• асимптоталар жоқ.

1. Тангенс функциясы: y = t g (x)

Бұл функцияның графигі деп аталады тангентоид.

Анықтама 20

Тангенс функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , мұндағы k ∈ Z (Z – бүтін сандар жиыны);
• lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + анықтау облысы шекарасындағы тангенс функциясының әрекеті ∞ . Сонымен, x = π 2 + π · k k ∈ Z түзулері тік асимптоталар;
• k ∈ Z үшін x = π k болғанда функция жойылады (Z – бүтін сандар жиыны);
• диапазон: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• бұл функция тақ, себебі y (- x) = - y (x) ;
• функция өсуде - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• тангенс функциясы x ∈ [π · k үшін ойыс; π 2 + π k) , k ∈ Z және x ∈ үшін дөңес (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• иілу нүктелерінің координаталары π k; 0 , k ∈ Z ;

1. Котангенс функциясы: y = c t g (x)

Бұл функцияның графигі котангентоид деп аталады. .

Анықтама 21

Котангенс функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ (π k ; π + π k) , мұндағы k ∈ Z (Z – бүтін сандар жиыны);

Анықтау облысы шекарасындағы котангенс функциясының әрекеті lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Сонымен, x = π k k ∈ Z сызықтары тік асимптоталар;

• ең кіші оң кезең: T \u003d π;
• k ∈ Z үшін x = π 2 + π k болғанда функция жойылады (Z – бүтін сандар жиыны);
• диапазон: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• бұл функция тақ, себебі y (- x) = - y (x) ;
• функция x ∈ π · k үшін кемиді; π + π k , k ∈ Z ;
• котангенс функциясы x ∈ үшін ойыс (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z және x ∈ үшін дөңес [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
• иілу нүктелерінің координаттары бар π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• қиғаш және көлденең асимптоталар жоқ.

Кері тригонометриялық функцияларға арксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангенс жатады. Көбінесе атауында «доға» префиксінің болуына байланысты кері тригонометриялық функцияларды доғалық функциялар деп атайды. .

1. Арксинус функциясы: y = a r c sin (x)

Анықтама 22

Арксинус функциясының қасиеттері:

• бұл функция тақ, себебі y (- x) = - y (x) ;
• доғалық функция x ∈ 0 үшін ойыс; 1 және х ∈ - 1 үшін дөңес; 0;
• иілу нүктелерінің координаттары бар (0 ; 0) , ол да функцияның нөлі;
• асимптоталар жоқ.

1. Арккосинус функциясы: y = a r c cos (x)

Анықтама 23

Арккосинус функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ - 1 ; 1 ;
• диапазон: y ∈ 0 ; π;
• бұл функция жалпы формада (жұп емес, тақ емес);
• функция анықтаудың барлық облысында азаяды;
• арккосинус функциясы x ∈ - 1 үшін ойыс; 0 және x ∈ 0 үшін дөңес; 1 ;
• иілу нүктелерінің координаталары 0; π2;
• асимптоталар жоқ.

1. Арктангенс функциясы: y = a r c t g (x)

Анықтама 24

Арктангенс функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• диапазон: y ∈ - π 2 ; π2;
• бұл функция тақ, себебі y (- x) = - y (x) ;
• функция анықтаудың барлық облысы бойынша өсуде;
• арктангенс функциясы x ∈ үшін ойыс (- ∞ ; 0 ] және x ∈ үшін дөңес [ 0 ; + ∞) ;
• иілу нүктесінің координаталары (0; 0) бар, ол да функцияның нөлі;
• көлденең асимптоталар x → - ∞ үшін y = - π 2 түзулері және x → + ∞ үшін y = π 2 түзулері (суреттегі асимптоталар жасыл сызықтар).

1. Доға котангенсі функциясы: y = a r c c t g (x)

Анықтама 25

Доға котангенті функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• диапазон: y ∈ (0 ; π) ;
• бұл функция жалпы типті;
• функция анықтаудың барлық облысында азаяды;
• доғалық котангенс функциясы x ∈ [ 0 үшін ойыс ; + ∞) және x ∈ үшін дөңес (- ∞ ; 0 ] ;
• иілу нүктесінің координаттары 0; π2;
• көлденең асимптоталар x → - ∞ (сызбадағы жасыл сызық) y = π түзулері және x → + ∞ нүктесінде у = 0 түзулері.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Білім негізгі элементар функциялар, олардың қасиеттері және графиктерікөбейту кестесін білуден кем емес. Олар іргетас сияқты, бәрі соларға негізделген, бәрі солардан салынған және бәрі соларға түседі.

Бұл мақалада біз барлық негізгі элементар функцияларды тізіп, олардың графиктерін келтіреміз және оларды туындысыз және дәлелдеусіз береміз. негізгі элементар функциялардың қасиеттерісхемаға сәйкес:

• анықтау облысы, тік асимптоталар шекараларындағы функцияның әрекеті (қажет болған жағдайда функцияның үзіліс нүктелерінің мақала классификациясын қараңыз);
• жұп және тақ;
• дөңес (дөңес жоғары) және ойыс (төмен қарай дөңес) аралықтары, иілу нүктелері (қажет болған жағдайда артикль функциясын дөңес, дөңес бағытын, иілу нүктелерін, дөңес және иілу шарттарын қараңыз);
• көлбеу және көлденең асимптоталар;
• арнайы нүктелерфункциялар;
• кейбір функциялардың арнайы қасиеттері (мысалы, тригонометриялық функциялар үшін ең кіші оң период).

Егер сізді қызықтыратын болсаңыз немесе, онда сіз теорияның осы бөлімдеріне өтуіңізге болады.

Негізгі элементар функцияларолар: тұрақты функция (тұрақты), n-ші дәрежелі түбір, дәреже функциясы, дәрежелік, логарифмдік функция, тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялар.

Бетті шарлау.

Тұрақты функция.

Тұрақты функция барлық нақты сандар жиынында формула бойынша берілген, мұндағы С - қандай да бір нақты сан. Тұрақты функция х тәуелсіз айнымалының әрбір нақты мәніне тәуелді айнымалы удың бірдей мәнін – С мәнін береді. Тұрақты функцияны тұрақты деп те атайды.

Тұрақты функцияның графигі х осіне параллель және координаталары (0,С) нүкте арқылы өтетін түзу болып табылады. Мысалы, төмендегі суретте сәйкесінше қара, қызыл және көк сызықтарға сәйкес келетін y=5 , y=-2 және тұрақты функциялардың графиктерін көрсетейік.

Тұрақты функцияның қасиеттері.

• Анықтау облысы: нақты сандар жиыны.
• Тұрақты функция жұп.
• Мәндер ауқымы: бір C санынан тұратын жиын.
• Тұрақты функция өспейді және кемімейді (сол себепті ол тұрақты).
• Тұрақтының дөңестігі мен ойысы туралы айтудың мағынасы жоқ.
• Асимптот жоқ.
• Функция координаталық жазықтықтың (0,С) нүктесі арқылы өтеді.

n-ші дәреженің түбірі.

Негізгі элементар функцияны қарастырайық, ол формуламен берілген, мұндағы n - бірден үлкен натурал сан.

n-дәреженің түбірі, n – жұп сан.

n түбір көрсеткішінің жұп мәндері үшін n-ші түбір функциясынан бастайық.

Мысалы, функциялардың графиктерінің кескіндері бар суретті береміз және , олар қара, қызыл және көк сызықтарға сәйкес келеді.

Жұп дәрежелі түбір функцияларының графиктері көрсеткіштің басқа мәндері үшін ұқсас пішінге ие.

Жұп n үшін n-ші дәрежелі түбірдің қасиеттері.

n-ші дәреженің түбірі, n - тақ сан.

Нақты сандардың барлық жиынында n түбірдің тақ көрсеткіші бар n-ші дәрежелі түбір функциясы анықталған. Мысалы, біз функциялардың графиктерін ұсынамыз және , қара, қызыл және көк қисықтар оларға сәйкес келеді.

Түбір көрсеткішінің басқа тақ мәндері үшін функцияның графиктері ұқсас көрініске ие болады.

Тақ n үшін n-ші дәрежелі түбірдің қасиеттері.

Қуат функциясы.

Қуат функциясы түрдегі формуламен берілген.

Дәрежелік функцияның графиктерінің түрін және дәрежелік функцияның қасиеттерін дәреженің мәніне байланысты қарастырайық.

a бүтін көрсеткіші бар қуат функциясынан бастайық. Бұл жағдайда дәрежелік функциялардың графиктерінің формасы және функциялардың қасиеттері жұп немесе тақ көрсеткішке, сондай-ақ оның таңбасына байланысты. Сондықтан, алдымен a көрсеткішінің тақ оң мәндері үшін, содан кейін жұп оң мәндері үшін, содан кейін тақ теріс дәрежелі мәндер үшін және ең соңында жұп теріс а үшін дәреже функцияларын қарастырамыз.

Бөлшек және иррационал дәрежелі дәрежелік функциялардың қасиеттері (сондай-ақ мұндай дәрежелік функциялардың графиктерінің түрі) а көрсеткішінің мәніне байланысты. Оларды, біріншіден, а нөлден бірге дейін болғанда, екіншіден, а бірден үлкен болғанда, үшіншіден, а минус бірден нөлге дейін болғанда, төртіншіден, а минус бірден кіші болғанда қарастырамыз.

Осы бөлімді қорытындылай келе, толық болу үшін көрсеткіші нөлдік дәреже функциясын сипаттаймыз.

Тақ оң көрсеткішті қуат функциясы.

Дәрежесі тақ оң көрсеткішті, яғни a=1,3,5,… болатын дәреже функциясын қарастырайық.

Төмендегі суретте қуат функцияларының графиктері көрсетілген - қара сызық, - көк сызық, - қызыл сызық, - жасыл сызық. a=1 үшін бізде бар сызықтық функция y=x.

Дәрежесі тақ оң көрсеткішті функцияның қасиеттері.

Жұп оң көрсеткішті қуат функциясы.

Дәрежесі жұп оң дәрежелі функцияны қарастырайық, яғни a=2,4,6,... үшін.

Мысал ретінде қуат функцияларының графиктерін алайық - қара сызық, - көк сызық, - қызыл сызық. a=2 үшін графигі болатын квадраттық функция бар квадраттық парабола.

Жұп оң көрсеткішті дәрежелік функцияның қасиеттері.

Тақ теріс көрсеткішті қуат функциясы.

Көрсеткіштің тақ теріс мәндері үшін, яғни -1, -3, -5, ... үшін көрсеткіштік функцияның графиктерін қараңыз.

Суретте көрсеткіштік функциялардың графиктері мысал ретінде көрсетілген - қара сызық, - көк сызық, - қызыл сызық, - жасыл сызық. a=-1 үшін бізде бар кері пропорционалдық, кімнің графигі гипербола.

Теріс көрсеткіші тақ дәрежелі функцияның қасиеттері.

Жұп теріс көрсеткішті қуат функциясы.

a=-2,-4,-6,… нүктелеріндегі қуат функциясына көшейік.

Суретте қуат функцияларының графиктері көрсетілген - қара сызық, - көк сызық, - қызыл сызық.

Дәрежесі жұп теріс көрсеткішті функцияның қасиеттері.

Мәні нөлден үлкен және бірден кіші рационал немесе иррационал көрсеткіші бар дәреже функциясы.

Назар аударыңыз!Егер а тақ бөлгіші бар оң бөлшек болса, онда кейбір авторлар интервалды дәреже функциясының анықталу облысы деп есептейді. Бұл ретте a көрсеткішінің азайтылмайтын бөлшек екендігі қарастырылады. Қазір алгебра және талдаудың бастамасы бойынша көптеген оқулықтардың авторлары аргументтің теріс мәндері үшін тақ бөлгіші бар бөлшек түріндегі көрсеткіші бар дәрежелік функцияларды АНЫҚТАМАДЫ. Біз дәл осындай көзқарасты ұстанамыз, яғни бөлшек оң көрсеткішті дәрежелік функциялардың облыстарын жиын деп қарастырамыз. Біз студенттерді келіспеушіліктерді болдырмау үшін мұғалімнің осы нәзік мәселеге көзқарасын білуге ​​шақырамыз.

a , және рационал немесе иррационал көрсеткіші бар дәреже функциясын қарастырайық.

a=11/12 (қара сызық), a=5/7 (қызыл сызық), (көк сызық), a=2/5 (жасыл сызық) үшін қуат функцияларының графиктерін ұсынамыз.

Бірден үлкен бүтін емес рационал немесе иррационал көрсеткіші бар дәреже функциясы.

Бүтін емес рационал немесе иррационал көрсеткіші a , және болатын дәреже функциясын қарастырайық.

Формулалар арқылы берілген дәрежелік функциялардың графиктерін көрсетейік (тиісінше қара, қызыл, көк және жасыл сызықтар).

a көрсеткішінің басқа мәндері үшін функцияның графиктері ұқсас көрініске ие болады.

үшін қуат функциясының қасиеттері.

Нақты көрсеткіші минус бірден үлкен және нөлден кіші дәреже функциясы.

Назар аударыңыз!Егер а - тақ бөлгіші бар теріс бөлшек болса, онда кейбір авторлар интервалды қарастырады . Бұл ретте a көрсеткішінің азайтылмайтын бөлшек екендігі қарастырылады. Қазір алгебра және талдаудың бастамасы бойынша көптеген оқулықтардың авторлары аргументтің теріс мәндері үшін тақ бөлгіші бар бөлшек түріндегі көрсеткіші бар дәрежелік функцияларды АНЫҚТАМАДЫ. Біз дәл осындай көзқарасты ұстанамыз, яғни бөлшек теріс көрсеткішті дәрежелік функциялардың облыстарын сәйкесінше жиын деп қарастырамыз. Біз студенттерді келіспеушіліктерді болдырмау үшін мұғалімнің осы нәзік мәселеге көзқарасын білуге ​​шақырамыз.

Қуат функциясына өтеміз, мұндағы.

Дәрежелік функциялардың графиктерінің түрі туралы жақсы түсінікке ие болу үшін функциялардың графиктеріне мысалдар келтіреміз. (тиісінше қара, қызыл, көк және жасыл қисық).

a , дәрежелі дәрежелік функцияның қасиеттері.

Минус бірден кіші бүтін емес нақты көрсеткіші бар дәреже функциясы.

үшін дәрежелік функциялардың графиктеріне мысалдар келтірейік , олар сәйкесінше қара, қызыл, көк және жасыл сызықтармен бейнеленген.

Бүтін емес теріс көрсеткіші минус бірден кіші дәрежелік функцияның қасиеттері.

a=0 болғанда және бізде функция бар - бұл (0; 1) нүктесі алынып тасталатын түзу (0 0 өрнегі ешқандай мән бермеуге келісті).

Көрсеткіштік функция.

Негізгі элементар функциялардың бірі – көрсеткіштік функция.

Көрсеткіштік функцияның графигі, мұндағы және негізі а мәніне байланысты басқа пішінді алады. Оны анықтап көрейік.

Біріншіден, көрсеткіштік функцияның негізі нөлден бірге дейінгі мән алатын жағдайды қарастырайық, яғни .

Мысалы, а = 1/2 – көк сызық, а = 5/6 – қызыл сызық үшін көрсеткіштік функцияның графиктерін ұсынамыз. Көрсеткіштік функцияның графиктері аралықтағы негіздің басқа мәндері үшін ұқсас көрініске ие.

Негізі бірден кіші көрсеткіштік функцияның қасиеттері.

Көрсеткіштік функцияның негізі бірден үлкен болған жағдайға көшеміз, яғни .

Иллюстрация ретінде біз экспоненциалды функциялардың графиктерін ұсынамыз - көк сызық және - қызыл сызық. Бірден үлкен негіздің басқа мәндері үшін көрсеткіштік функцияның графиктері ұқсас көрініске ие болады.

Негізі бірден үлкен көрсеткіштік функцияның қасиеттері.

Логарифмдік функция.

Келесі негізгі элементар функция логарифмдік функция, мұндағы , . Логарифмдік функция тек үшін анықталған оң мәндераргумент, яғни үшін.

Логарифмдік функцияның графигі а негізінің мәніне байланысты басқа формада болады.

Қашан жағдайдан бастайық.

Мысалы, а = 1/2 – көк сызық, а = 5/6 – қызыл сызық үшін логарифмдік функцияның графиктерін ұсынамыз. Бірден аспайтын негіздің басқа мәндері үшін логарифмдік функцияның графиктері ұқсас көрініске ие болады.

Негізі бірден кіші логарифмдік функцияның қасиеттері.

Логарифмдік функцияның негізі бірден () үлкен болған жағдайға көшейік.

Логарифмдік функциялардың графиктерін көрсетейік – көк сызық, – қызыл сызық. Бірден үлкен негіздің басқа мәндері үшін логарифмдік функцияның графиктері ұқсас көрініске ие болады.

Негізі бірден үлкен логарифмдік функцияның қасиеттері.

Тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері және графиктері.

Барлық тригонометриялық функциялар (синус, косинус, тангенс және котангенс) негізгі элементар функциялар болып табылады. Енді біз олардың графиктерін қарастырамыз және олардың қасиеттерін тізімдейміз.

Тригонометриялық функциялардың ұғымы бар мерзімділік(кезеңнің мәні бойынша бір-бірінен ерекшеленетін аргументтің әртүрлі мәндері үшін функция мәндерінің қайталануы , мұндағы T - период), сондықтан тригонометриялық функциялардың қасиеттерінің тізіміне элемент қосылды. «ең кіші оң кезең». Сондай-ақ, әрбір тригонометриялық функция үшін сәйкес функция жойылатын аргументтің мәндерін көрсетеміз.

Енді барлық тригонометриялық функцияларды ретімен қарастырайық.

Синус функциясы y = sin(x) .

Синус функциясының графигін салайық, ол «синусоид» деп аталады.

Синус функциясының қасиеттері y = sinx .

Косинус функциясы y = cos(x) .

Косинус функциясының графигі («косинус» деп аталады) келесідей көрінеді:

Косинус функциясының қасиеттері y = cosx .

Тангенс функциясы y = tg(x) .

Тангенс функциясының графигі («тангентоид» деп аталады) келесідей көрінеді:

Функцияның қасиеттері тангенс y = tgx .

Котангенс функциясы y = ctg(x) .

Котангенс функциясының графигін салайық («котангентоид» деп аталады):

Котангенс функциясының қасиеттері y = ctgx.

Кері тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері және графиктері.

Кері тригонометриялық функциялар (арксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангенс) негізгі элементар функциялар болып табылады. Көбінесе «доға» префиксі болғандықтан кері тригонометриялық функциялар доғалық функциялар деп аталады. Енді біз олардың графиктерін қарастырамыз және олардың қасиеттерін тізімдейміз.

Арксинус функциясы y = arcsin(x) .

Арксинус функциясының графигін салайық:

Әдебиеттер тізімі.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. Алгебра және талдаудың бастаулары: Прок. 10-11 ұяшық үшін. оқу орындары.
• Выгодский М.Я. Бастауыш математика анықтамалығы.
• Новоселов С.И. Алгебра және элементар функциялар.
• Тұманов С.И. Бастауыш алгебра. Өзін-өзі тәрбиелеуге арналған нұсқаулық.