Reguli pentru ordinea înmulțirii, împărțirii, adunării și scăderilor. Ordinea efectuării operațiilor matematice. Mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea

Pentru a evalua corect expresiile în care trebuie să efectuați mai multe operații, trebuie să cunoașteți ordinea în care sunt efectuate operațiile aritmetice. Operațiile aritmetice din expresia fără paranteze au convenit să fie efectuate în următoarea ordine:

1. Dacă există exponențiere în expresie, atunci această acțiune este mai întâi efectuată în ordine secvențială, adică de la stânga la dreapta.
2. Apoi (dacă sunt prezente în expresie), operațiile de înmulțire și împărțire se efectuează în ordinea în care apar.
3. Ultimele (dacă sunt prezente în expresie) operații de adunare și scădere se efectuează în ordinea în care apar.

Ca exemplu, luați în considerare următoarea expresie:

Mai întâi trebuie să efectuați exponențiarea (pătrați numărul 4 și cubați numărul 2):

3 16 - 8: 2 + 20

Apoi se efectuează înmulțirea și împărțirea (de 3 ori 16 și 8 împărțit la 2):

Și la sfârșit, se efectuează scăderea și adunarea (scădeți 4 din 48 și adăugați 20 la rezultat):

48 - 4 + 20 = 44 + 20 = 64

Pașii 1 și 2

Operațiile aritmetice sunt împărțite în operații din prima și a doua etapă. Se numesc adunarea și scăderea acțiuni de prim pas, inmultirea si impartirea - acțiuni de pasul al doilea.

Dacă expresia conține acțiuni dintr-o singură etapă și nu există paranteze în ea, atunci acțiunile sunt efectuate în ordinea în care apar de la stânga la dreapta.

Exemplul 1

15 + 17 - 20 + 8 - 12

Soluţie. Această expresie conține acțiunile unei singure etape - prima (adunare și scădere). Este necesar să se determine ordinea acțiunilor și să le efectueze.

Răspuns: 42.

Dacă expresia conține acțiunile ambelor etape, atunci acțiunile celei de-a doua etape sunt executate mai întâi, în ordinea lor (de la stânga la dreapta), iar apoi acțiunile primei etape.

Exemplu. Calculați valoarea unei expresii:

24:3 + 5 2 - 17

Soluţie. Această expresie conține patru acțiuni: două din prima etapă și două din a doua. Să definim ordinea executării lor: conform regulii, prima acțiune va fi împărțirea, a doua - înmulțirea, a treia - adunarea și a patra - scăderea.

Acum să începem calculul.

Dacă comparăm funcțiile de adunare și scădere cu înmulțirea și împărțirea, atunci înmulțirea și împărțirea se calculează întotdeauna prima.

În exemplu, două funcții precum adunarea și scăderea, precum și înmulțirea și împărțirea, sunt echivalente una cu cealaltă. Ordinea de execuție este determinată în ordinea rândului de la stânga la dreapta.

Trebuie amintit că acțiunile întreprinse între paranteze au o prioritate specială în exemplu. Astfel, chiar dacă există o înmulțire în afara parantezei și adunarea între paranteze, ar trebui mai întâi să adunați și abia apoi să înmulțiți.

Pentru a înțelege acest subiect, puteți lua în considerare toate cazurile pe rând.

Luați în considerare imediat că expresiile noastre nu au paranteze.

Deci, dacă în exemplu prima acțiune este înmulțirea, iar a doua este împărțirea, atunci efectuăm mai întâi înmulțirea.

Dacă în exemplu prima acțiune este împărțirea, iar a doua este înmulțirea, atunci facem mai întâi împărțirea.

În astfel de exemple, acțiunile sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta, indiferent de numerele folosite.

Dacă, pe lângă înmulțire și împărțire, în exemple sunt și adunări și scăderi, atunci se fac mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.

În cazul adunării și scăderii, nici nu contează care dintre aceste operații se face prima.Ordinea este de la stânga la dreapta.

Să luăm în considerare diferite opțiuni:

În acest exemplu, prima acțiune care trebuie efectuată este înmulțirea și apoi adăugarea.

În acest caz, mai întâi înmulțiți valorile, apoi împărțiți și abia apoi adăugați.

În acest caz, trebuie mai întâi să faceți toate operațiile din paranteze, apoi să faceți doar înmulțirea și împărțirea.

Și de aceea trebuie amintit că în orice formulă, operațiile sunt efectuate mai întâi ca înmulțire și împărțire, iar apoi doar scădere și adunare.

De asemenea, cu numerele care sunt între paranteze, trebuie să le numărați între paranteze și abia apoi să faceți diverse manipulări, amintindu-vă de succesiunea descrisă mai sus.

Primele vor fi următoarele acțiuni: înmulțirea și împărțirea.

Abia atunci se efectuează adunarea și scăderea.

Cu toate acestea, dacă există o paranteză, atunci acțiunile care sunt în ele vor fi efectuate mai întâi. Chiar dacă este vorba de adunare și scădere.

De exemplu:

În acest exemplu, mai întâi efectuăm înmulțirea, apoi 4 cu 5, apoi adunăm 4 la 20. Obținem 24.

Dar dacă este așa: (4 + 5) * 4, atunci mai întâi facem adunarea, obținem 9. Apoi înmulțim 9 cu 4. Obținem 36.

Dacă toate cele 4 acțiuni sunt prezente în exemplu, atunci înmulțirea și împărțirea vin mai întâi, iar apoi adunarea și scăderea.

Sau în exemplul a 3 acțiuni diferite, atunci prima va fi fie înmulțirea (sau împărțirea), apoi fie adunarea (sau scăderea).

Atunci când NU există CONTRACTĂ.

Exemplu: 4-2*5:10+8=11,

1 acțiune 2*5 (10);

actul 2 10:10 (1);

3 actiunea 4-1 (3);

4 act 3+8 (11).

Toate cele 4 acțiuni pot fi împărțite în două grupe principale, într-una - adunare și scădere, în cealaltă - înmulțire și împărțire. Prima acțiune va fi cea care este prima dintr-un rând în exemplu, adică cea din stânga.

Exemplu: 60-7+9=62, mai întâi trebuie 60-7, apoi ce se întâmplă (53) +9;

Exemplu: 5*8:2=20, mai întâi ai nevoie de 5*8, apoi ce primești (40) :2.

Când există PARAnteze în exemplu, atunci acțiunile care sunt în paranteză sunt efectuate mai întâi (conform regulilor de mai sus), iar apoi restul ca de obicei.

Exemplu: 2+(9-8)*10:2=7.

1 act 9-8 (1);

2 acțiune 1*10 (10);

Fapte 3 10:2(5);

4 act 2+5 (7).

Depinde de modul în care este scrisă expresia, luați în considerare cea mai simplă expresie numerică:

18 - 6:3 + 10x2 =

Mai întâi, efectuăm operații cu împărțire și înmulțire, apoi pe rând, de la stânga la dreapta, cu scădere și adunare: 18-2 + 20 \u003d 36

Dacă este o expresie între paranteze, atunci faceți parantezele, apoi înmulțiți sau împărțiți și, în final, adăugați/scădeți, așa:

(18-6): 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

Soarele este corect: mai întâi efectuați înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.

Dacă nu există paranteze în exemplu, atunci se efectuează mai întâi înmulțirea și împărțirea în ordine, iar apoi adunarea și scăderea, la fel în ordine.

Dacă exemplul conține doar înmulțire și împărțire, atunci acțiunile vor fi efectuate în ordine.

Dacă exemplul conține doar adunare și scădere, atunci acțiunile vor fi, de asemenea, efectuate în ordine.

În primul rând, acțiunile dintre paranteze sunt efectuate după aceleași reguli, adică mai întâi înmulțirea și împărțirea, și abia apoi adunarea și scăderea.

22-(11+3x2)+14=19

Ordinea efectuării operațiilor aritmetice este strict prescrisă, astfel încât să nu existe discrepanțe atunci când se efectuează același tip de calcule de către persoane diferite. În primul rând, se efectuează înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea, dacă acțiunile de același ordin merg una după alta, atunci se execută pe rând de la stânga la dreapta.

Dacă la înregistrare expresie matematică se folosesc paranteze, apoi trebuie efectuate mai întâi pașii indicați în paranteze. Parantezele ajută la schimbarea ordinii, dacă este necesar, efectuați mai întâi adunarea sau scăderea și numai după înmulțire și împărțire.

Se pot deschide orice paranteze și apoi ordinul de execuție va fi din nou corect:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Mai bine cu exemple:

• 1+2*3/4-5=?

În acest caz, efectuăm mai întâi înmulțirea, deoarece este în stânga împărțirii. Apoi împărțirea. Apoi, din cauza locației mai din stânga, și în cele din urmă scăderea.

• 1*3/(2+4)?

mai întâi facem calculul între paranteze, apoi înmulțirea și împărțirea.

• 1+2*(3-1*5)=?

Mai întâi, facem acțiunile dintre paranteze: înmulțirea, apoi scăderea. După aceea urmează înmulțirea în afara parantezelor și adunarea la sfârșit.

Înmulțirea și împărțirea sunt pe primul loc. Dacă există paranteze în exemplu, atunci acțiunea dintre paranteze este luată în considerare la început. Oricare ar fi semnul!

Aici trebuie să vă amintiți câteva reguli de bază:

1. Dacă în exemplu nu există paranteze și există operații - doar adunarea și scăderea, sau numai înmulțirea și împărțirea - în acest caz, toate acțiunile sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta.

De exemplu, 5 + 8-5 = 8 (facem totul în ordine - adunăm 8 la 5 și apoi scadem 5)

1. Dacă exemplul conține operații mixte - și adunare, și scădere, și înmulțire și împărțire, atunci în primul rând efectuăm operațiile de înmulțire și împărțire, iar apoi doar adunarea sau scăderea.

De exemplu, 5+8*3=29 (înmulțiți mai întâi 8 cu 3 și apoi adăugați 5)

1. Dacă exemplul conține paranteze, atunci acțiunile din paranteze sunt efectuate mai întâi.

De exemplu, 3*(5+8)=39 (primul 5+8 și apoi înmulțiți cu 3)

Și împărțirea numerelor este acțiunile celei de-a doua etape.
Ordinea în care sunt efectuate acțiunile la găsirea valorilor expresiilor este determinată de următoarele reguli:

1. Dacă în expresie nu există paranteze și conține acțiuni dintr-o singură etapă, atunci acestea sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta.
2. Dacă expresia conține acțiunile din prima și a doua etapă și nu există paranteze în ea, atunci se execută mai întâi acțiunile din a doua etapă, apoi acțiunile din prima etapă.
3. Dacă expresia conține paranteze, atunci acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi (ținând cont de regulile 1 și 2).

Exemplul 1 Găsiți valoarea expresiei

a) x + 20 = 37;
b) y + 37 = 20;
c) a - 37 = 20;
d) 20 - m = 37;
e) 37 - c = 20;
f) 20 + k = 0.

636. La scăderea ce numere naturale poate 12? Câte perechi de astfel de numere? Răspunde la aceleași întrebări pentru înmulțire și împărțire.

637. Sunt date trei numere: primul este format din trei cifre, al doilea este valoarea numărului de șase cifre împărțit la zece, iar al treilea este 5921. Puteți indica cel mai mare și cel mai mic dintre aceste numere?

638. Simplificați expresia:

a) 2a + 612 + 1a + 324;
b) 12y + 29y + 781 + 219;

639. Rezolvați ecuația:

a) 8x - 7x + 10 = 12;
b) 13y + 15y- 24 = 60;
c) Zz - 2z + 15 = 32;
d) 6t + 5t - 33 = 0;
e) (x + 59): 42 = 86;
e) 528: k - 24 = 64;
g) p: 38 - 76 = 38;
h) 43m-215 = 473;
i) 89n + 68 = 9057;
j) 5905 - 21 v = 316;
k) 34s - 68 = 68;
m) 54b - 28 = 26.

640. Ferma zootehnică asigură o creștere în greutate de 750 g pe animal pe zi. Ce câștig primește complexul în 30 de zile pentru 800 de animale?

641. Două cutii mari și cinci mici conțin 130 de litri de lapte. Cât lapte intra într-o cutie mică dacă capacitatea sa este de patru ori mai mică decât capacitatea unuia mai mare?

642. Câinele l-a văzut pe stăpân când se afla la o distanță de 450 m de el, și a alergat spre el cu o viteză de 15 m/s. Care este distanța dintre proprietar și câine după 4 s; după 10 s; prin t s?

643. Rezolvați problema folosind ecuația:

1) Mihail are de 2 ori mai multe nuci decât Nikolai, iar Petya are de 3 ori mai multe nuci decât Nikolai. Câte nuci are fiecare persoană dacă toți au împreună 72 de nuci?

2) Trei fete au adunat 35 de scoici pe malul mării. Galya a găsit de 4 ori mai mult decât Masha, iar Lena - de 2 ori mai mult decât Masha. Câte scoici a găsit fiecare fată?

644. Scrieți un program pentru a calcula expresia

8217 + 2138 (6906 - 6841) : 5 - 7064.

Scrieți acest program sub forma unei diagrame. Găsiți valoarea expresiei.

645. Scrieți o expresie după următorul program de calcul:

1. Înmulțiți 271 cu 49.
2. Împărțiți 1001 la 13.
3. Înmulțiți rezultatul comenzii 2 cu 24.
4. Adăugați rezultatele comenzilor 1 și 3.

Găsiți valoarea acestei expresii.

646. Scrie o expresie conform schemei (Fig. 60). Scrieți un program pentru a-l calcula și găsiți valoarea acestuia.

647. Rezolvați ecuația:

a) Zx + bx + 96 = 1568;
b) 357z - 1492 - 1843 - 11 469;
c) 2y + 7y + 78 = 1581;
d) 256m - 147m - 1871 - 63 747;
e) 88 880: 110 + x = 809;
f) 6871 + p: 121 = 7000;
g) 3810 + 1206: y = 3877;
h) k + 12 705: 121 = 105.

648. Găsiți un privat:

a) 1 989 680: 187; c) 9 018 009: 1001;
b) 572 163: 709; d) 533.368.000: 83.600.

649. Nava cu motor a mers de-a lungul lacului timp de 3 ore cu o viteză de 23 km/h, iar apoi timp de 4 ore de-a lungul râului. Câți kilometri a parcurs nava în aceste 7 ore dacă se deplasa de-a lungul râului cu 3 km/h mai repede decât de-a lungul lacului?

650. Acum distanța dintre câine și pisică este de 30 m. În câte secunde va ajunge câinele din urmă pisica dacă viteza câinelui este de 10 m/s și viteza pisicii este de 7 m/s?

651. Găsiți în tabel (Fig. 61) toate numerele în ordine de la 2 la 50. Este util să efectuați acest exercițiu de mai multe ori; poți concura cu un prieten: cine va găsi mai repede toate numerele?

N.Da. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematică clasa a 5-a, Manual pentru instituțiile de învățământ

Descărcați gratuit planuri de lecții pentru matematică clasa a 5-a, manuale și cărți, dezvoltați lecții de matematică online

Când lucrăm cu diverse expresii care includ numere, litere și variabile, trebuie să facem un numar mare de operatii aritmetice. Când facem o transformare sau calculăm o valoare, este foarte important să urmărim ordinea corectă a acestor acțiuni. Cu alte cuvinte, operațiile aritmetice au propria lor ordine specială de execuție.

Yandex.RTB R-A-339285-1

În acest articol, vă vom spune ce acțiuni trebuie făcute mai întâi și care după. Mai întâi, să ne uităm la câteva expresii simple care conțin doar variabile sau valori numerice, precum și semne de împărțire, înmulțire, scădere și adunare. Apoi vom lua exemple cu paranteze și vom lua în considerare în ce ordine ar trebui evaluate. În a treia parte, vom oferi ordinea corectă a transformărilor și calculelor în acele exemple care includ semnele rădăcinilor, puterilor și altor funcții.

În cazul expresiilor fără paranteze, ordinea acțiunilor este determinată fără ambiguitate:

1. Toate acțiunile sunt efectuate de la stânga la dreapta.
2. În primul rând, facem împărțirea și înmulțirea, iar în al doilea rând, scăderea și adunarea.

Semnificația acestor reguli este ușor de înțeles. Ordinea tradițională de scriere de la stânga la dreapta determină succesiunea de bază a calculelor, iar necesitatea de a înmulți sau împărți mai întâi este explicată prin însăși esența acestor operații.

Să luăm câteva sarcini pentru claritate. Am folosit doar cele mai simple expresii numerice, astfel încât toate calculele să poată fi făcute mental. Astfel, vă puteți aminti rapid ordinea dorită și puteți verifica rapid rezultatele.

Exemplul 1

Condiție: calcula cat 7 − 3 + 6 .

Soluţie

Nu există paranteze în expresia noastră, înmulțirea și împărțirea sunt, de asemenea, absente, așa că efectuăm toate acțiunile în ordinea specificată. Mai întâi, scădeți trei din șapte, apoi adăugați șase la restul și, ca rezultat, obținem zece. Iată o înregistrare a întregii soluții:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Răspuns: 7 − 3 + 6 = 10 .

Exemplul 2

Condiție:în ce ordine trebuie efectuate calculele în expresie 6:2 8:3?

Soluţie

Pentru a răspunde la această întrebare, recitim regula pentru expresii fără paranteze, pe care am formulat-o mai devreme. Avem aici doar înmulțirea și împărțirea, ceea ce înseamnă că păstrăm ordinea scrisă a calculelor și numărăm secvențial de la stânga la dreapta.

Răspuns: mai întâi, împărțim șase la doi, înmulțim rezultatul cu opt și împărțim numărul rezultat la trei.

Exemplul 3

Condiție: calculați cât va fi 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2.

Soluţie

Mai întâi, să determinăm ordinea corectă a operațiilor, deoarece avem aici toate tipurile de bază de operații aritmetice - adunare, scădere, înmulțire, împărțire. Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să împărțim și să înmulțim. Aceste acțiuni nu au prioritate una față de alta, așa că le executăm în ordinea scrisă de la dreapta la stânga. Adică, 5 trebuie înmulțit cu 6 și obțineți 30, apoi 30 împărțit la 3 și obțineți 10. După aceea împărțim 4 la 2, adică 2. Înlocuiți valorile găsite în expresia originală:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Nu există nicio împărțire sau înmulțire aici, așa că facem calculele rămase în ordine și obținem răspunsul:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Răspuns:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

Până când ordinea efectuării acțiunilor este învățată ferm, puteți pune numere peste semnele operațiilor aritmetice, indicând ordinea de calcul. De exemplu, pentru problema de mai sus, am putea scrie astfel:

Dacă avem expresii literale, atunci facem același lucru cu ele: mai întâi înmulțim și împărțim, apoi adunăm și scădem.

Care sunt pașii unu și doi

Uneori, în cărțile de referință, toate operațiile aritmetice sunt împărțite în operații din prima și a doua etapă. Să formulăm definiția necesară.

Operațiile primei etape includ scăderea și adunarea, a doua - înmulțirea și împărțirea.

Cunoscând aceste nume, putem scrie regula dată mai devreme cu privire la ordinea acțiunilor astfel:

Definiția 2

Într-o expresie care nu conține paranteze, executați mai întâi acțiunile pasului al doilea în direcția de la stânga la dreapta, apoi acțiunile primului pas (în aceeași direcție).

Ordinea evaluării în expresii cu paranteze

Parantezele în sine sunt un semn care ne spune ordinea dorită în care să efectuăm acțiunile. În acest caz regula corecta se poate scrie asa:

Definiția 3

Dacă există paranteze în expresie, atunci acțiunea din ele este efectuată mai întâi, după care înmulțim și împărțim, apoi adunăm și scădem în direcția de la stânga la dreapta.

În ceea ce privește expresia între paranteze în sine, aceasta poate fi considerată o componentă a expresiei principale. La calcularea valorii expresiei dintre paranteze, păstrăm aceeași procedură cunoscută nouă. Să ilustrăm ideea noastră cu un exemplu.

Exemplul 4

Condiție: calcula cat 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

Soluţie

Această expresie are paranteze, așa că să începem cu ele. Mai întâi de toate, să calculăm cât va fi 7 − 2 · 3. Aici trebuie să înmulțim 2 cu 3 și să scădem rezultatul din 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Considerăm rezultatul în a doua paranteză. Acolo avem o singură acțiune: 6 − 4 = 2 .

Acum trebuie să înlocuim valorile rezultate în expresia originală:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Să începem cu înmulțirea și împărțirea, apoi scădem și obținem:

5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6

Aceasta completează calculele.

Răspuns: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

Nu vă alarmați dacă afecțiunea conține o expresie în care unele paranteze includ altele. Trebuie doar să aplicăm regula de mai sus în mod consecvent tuturor expresiilor între paranteze. Să luăm această sarcină.

Exemplul 5

Condiție: calcula cat 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Soluţie

Avem paranteze între paranteze. Începem cu 3 + 1 + 4 (2 + 3) și anume 2 + 3 . Va fi 5. Valoarea va trebui înlocuită în expresie și calculați că 3 + 1 + 4 5 . Ne amintim că trebuie mai întâi să înmulțim, apoi să adăugăm: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Înlocuind valorile găsite în expresia originală, calculăm răspunsul: 4 + 24 = 28 .

Răspuns: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

Cu alte cuvinte, atunci când evaluăm valoarea unei expresii care implică paranteze în paranteze, începem cu parantezele interioare și ne îndreptăm spre cele exterioare.

Să presupunem că trebuie să aflăm cât va fi (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Începem cu expresia din parantezele interioare. Deoarece 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , expresia originală poate fi scrisă ca (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Ne întoarcem din nou la parantezele interioare: 4 + 1 = 5 . Am ajuns la expresie (4 + 5 − 1) − 1 . Noi credem 4 + 5 − 1 = 8 și ca rezultat obținem diferența 8 - 1, al cărei rezultat va fi 7.

Ordinea de calcul în expresii cu puteri, rădăcini, logaritmi și alte funcții

Dacă avem o expresie în condiția cu un grad, rădăcină, logaritm sau functie trigonometrica(sinus, cosinus, tangentă și cotangentă) sau alte funcții, atunci primul lucru pe care îl facem este să calculăm valoarea funcției. După aceea, acționăm conform regulilor specificate în paragrafele precedente. Cu alte cuvinte, funcțiile sunt egale ca importanță cu expresia cuprinsă între paranteze.

Să ne uităm la un exemplu de astfel de calcul.

Exemplul 6

Condiție: afla cât va fi (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .

Soluţie

Avem o expresie cu grad, a cărei valoare trebuie găsită mai întâi. Considerăm: 6 2 \u003d 36. Acum înlocuim rezultatul în expresie, după care va lua forma (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

Răspuns: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

Într-un articol separat, dedicat calculării valorilor expresiilor, prezentăm altele, mai multe exemple complexe calcule în cazul expresiilor cu rădăcini, grade etc. Vă recomandăm să vă familiarizați cu acesta.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Alpha înseamnă numar real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau un infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu un set infinit de numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi reprezentate după cum urmează:

Pentru a-și demonstra vizual cazul, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe dansurile șamanilor cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele camere nu sunt ocupate și se stabilesc noi oaspeți în ele, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Mutarea unui număr infinit de vizitatori durează o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră de oaspeți, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat în mod prostesc, dar acesta va fi deja din categoria „legea nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: adaptăm realitatea la teoriile matematice sau invers.

Ce este un „hotel infinit”? Un han infinit este un han care are întotdeauna orice număr de locuri libere, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă toate camerele din holul nesfârșit „pentru vizitatori” sunt ocupate, există un alt hol nesfârșit cu camere pentru „oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. În același timp, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii, pe de altă parte, nu sunt capabili să se îndepărteze de problemele banale de zi cu zi: Dumnezeu-Allah-Buddha este întotdeauna unul singur, hotelul este unul, coridorul este doar unul. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem cei neîmpinși”.

Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspundeți la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece noi înșine am inventat numerele, nu există numere în Natură. Da, Natura știe să numere perfect, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. După cum crede Natura, vă voi spune altă dată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Luați în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine unui adevărat om de știință.

Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe un raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și nu există unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua o unitate din setul pe care l-am luat deja și o putem întoarce la raft. După aceea, putem lua o unitate de pe raft și o putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, obținem din nou un set infinit de numere naturale. Puteți scrie toate manipulările noastre astfel:

Am înregistrat acțiunile în sistem algebric notația și în sistemul de notație adoptat în teoria mulțimilor, cu o enumerare detaliată a elementelor mulțimii. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată numai dacă din el se scade unul și se adaugă același.

Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raft. Subliniez - DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce primim:

Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă la o mulțime infinită se adaugă o altă mulțime infinită, rezultatul este o nouă mulțime infinită constând din elementele primelor două mulțimi.

Setul de numere naturale este folosit pentru numărare în același mod ca o riglă pentru măsurători. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi deja o linie diferită, nu egală cu originalul.

Puteți să acceptați sau să nu acceptați raționamentul meu - aceasta este treaba voastră. Dar dacă te confrunți vreodată cu probleme matematice, gândește-te dacă te afli pe calea raționamentului fals, călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, orele de matematică, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi ne adaugă abilități mentale (sau invers, ne privează de gândirea liberă).

Duminică, 4 august 2019

Scriam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:

Citim: „... bogat fundal teoretic matematica Babilonului nu avea un caracter holistic și era redusă la un set de tehnici disparate, lipsite de sistem comunși bază de dovezi.

Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Este slab pentru noi să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am obținut următoarele:

Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu are un caracter holistic și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și bază de dovezi.

Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic un întreg ciclu de publicații celor mai evidente gafe ale matematicii moderne. Pe curând.

Sâmbătă, 3 august 2019

Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură, care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Luați în considerare un exemplu.

Să avem multe A format din patru persoane. Acest set este format pe baza de „oameni” Să desemnăm elementele acestui set prin scrisoare A, indicele cu un număr va indica numărul ordinal al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „caracteristica sexuală” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului A pe gen b. Observați că setul nostru de „oameni” a devenit acum setul de „oameni cu gen”. După aceea, putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bmși de femei bw caracteristici de gen. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care este bărbat sau femeie. Dacă este prezent la o persoană, atunci îl înmulțim cu unul, dacă nu există un astfel de semn, îl înmulțim cu zero. Și apoi aplicăm matematica obișnuită a școlii. Vezi ce sa întâmplat.

După înmulțire, reduceri și rearanjamente, am obținut două submulțimi: submulțimea masculină bmși un subgrup de femei bw. Aproximativ în același mod în care matematicienii raționează atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne lasă să intrăm în detalii, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni sunt formați dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare, cât de corect a aplicat matematica în transformările de mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că de fapt transformările sunt făcute corect, este suficient să cunoașteți justificarea matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor secțiuni ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.

În ceea ce privește superseturile, este posibil să combinați două mulțimi într-un singur superset, alegând o unitate de măsură care este prezentă în elementele acestor două mulțimi.

După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac ca teoria seturilor să devină un lucru din trecut. Un semn că totul nu este în regulă cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul lor limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au făcut ceea ce şamanii au făcut cândva. Doar șamanii știu să-și aplice „corect” „cunoștințele”. Această „cunoaștere” ne-o învață.

În cele din urmă, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii.

luni, 7 ianuarie 2019

În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai cunoscută este aporia „Achile și broasca țestoasă”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună despre esența paradoxurilor... analiză matematică, teoria multimilor, noi abordari fizice si filozofice; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.

Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până la o oprire completă în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limba lui Zeno, arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu la infinit numere mari, dar în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare se odihnește în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina fapta mișcării mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite în timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii realizate din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (în mod firesc, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta). Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.

miercuri, 4 iulie 2018

Ți-am spus deja asta, cu ajutorul căruia șamanii încearcă să sorteze „” realitățile. Cum o fac? Cum are loc de fapt formarea setului?

Să aruncăm o privire mai atentă asupra definiției unui set: „o colecție de elemente diferite, concepute ca un singur întreg”. Acum simțiți diferența dintre cele două fraze: „conceput ca întreg” și „conceput ca întreg”. Prima frază este rezultatul final, mulțimea. A doua frază este o pregătire preliminară pentru formarea setului. În această etapă, realitatea este împărțită în elemente separate („întreg”) din care apoi se va forma o multitudine („un singur întreg”). În același timp, factorul care vă permite să combinați „întregul” într-un „unic întreg” este atent monitorizat, altfel șamanii nu vor reuși. La urma urmei, șamanii știu dinainte exact ce set vor să ne demonstreze.

Voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solid roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Așa se hrănește șamanii legându-și teoria seturilor de realitate.

Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid într-un coș cu fundă” și să unim aceste „întregi” după culoare, selectând elemente roșii. Avem mult „roșu”. Acum o întrebare dificilă: seturile primite „cu fundă” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa să fie.

Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „coșuri roșii solide cu fundă”. Formarea s-a desfășurat în funcție de patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (într-un cucui), decorațiuni (cu fundă). Doar un set de unități de măsură face posibilă descrierea adecvată a obiectelor reale în limbajul matematicii. Iată cum arată.

Litera „a” cu indici diferiți indică unități de măsură diferite. În paranteze sunt evidențiate unitățile de măsură, conform cărora „întregul” este alocat în etapa preliminară. Unitatea de măsură, conform căreia se formează setul, este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansurile șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând cu „evident”, deoarece unitățile de măsură nu sunt incluse în arsenalul lor „științific”.

Cu ajutorul unităților de măsură, este foarte ușor să spargi unul sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă asupra algebrei acestui proces.

Sâmbătă, 30 iunie 2018

Dacă matematicienii nu pot reduce un concept la alte concepte, atunci ei nu înțeleg nimic în matematică. Răspund: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Răspunsul este foarte simplu: numere și unități de măsură.

Astăzi tot ceea ce nu luăm aparține unui anumit set (cum ne asigură matematicienii). Apropo, ai văzut în oglinda de pe frunte o listă cu acele seturi cărora le faci parte? Și nu am văzut o astfel de listă. Voi spune mai multe - nici un singur lucru în realitate nu are o etichetă cu o listă de seturi căreia îi aparține acest lucru. Seturile sunt toate invenții ale șamanilor. Cum o fac? Să ne uităm puțin mai adânc în istorie și să vedem cum arătau elementele setului înainte ca matematicienii-șamanii să le despartă în seturile lor.

Cu mult, mult timp în urmă, când nimeni nu auzise încă de matematică și doar copacii și Saturn aveau inele, turme uriașe de elemente sălbatice de seturi cutreierau câmpuri fizice(la urma urmei, șamanii nu au inventat încă domenii matematice). Arătau așa.

Da, nu fi surprins, din punct de vedere al matematicii, toate elementele mulțimilor sunt cel mai asemănătoare cu arici de mare- dintr-un punct, precum acele, unitățile de măsură ies în toate direcțiile. Pentru cei care, vă reamintesc că orice unitate de măsură poate fi reprezentată geometric ca un segment de lungime arbitrară, iar un număr ca punct. Geometric, orice cantitate poate fi reprezentată ca un mănunchi de segmente care ies în direcții diferite dintr-un punct. Acest punct este punctul zero. Nu voi desena această operă de artă geometrică (fără inspirație), dar vă puteți imagina cu ușurință.

Ce unități de măsură formează un element al mulțimii? Oricare care descrie acest element din diferite puncte de vedere. Acestea sunt vechile unități de măsură folosite de strămoșii noștri și de care toată lumea a uitat de mult. Acestea sunt unitățile de măsură moderne pe care le folosim acum. Acestea sunt unități de măsură necunoscute nouă, pe care urmașii noștri le vor găsi și pe care le vor folosi pentru a descrie realitatea.

Ne-am dat seama de geometrie - modelul propus al elementelor setului are o claritate reprezentare geometrică. Și cum rămâne cu fizica? Unități de măsură - aceasta este legătura directă dintre matematică și fizică. Dacă șamanii nu recunosc unitățile de măsură ca un element cu drepturi depline al teoriilor matematice, aceasta este problema lor. Eu personal nu îmi pot imagina o adevărată știință a matematicii fără unități de măsură. De aceea, chiar la începutul poveștii despre teoria seturilor, am vorbit despre ea ca fiind Epoca de Piatră.

Dar să trecem la cel mai interesant - la algebra elementelor mulțimilor. Din punct de vedere algebric, orice element al multimii este un produs (rezultat al inmultirii) a unor marimi diferite.Arata asa.

În mod deliberat, nu am folosit convențiile adoptate în teoria mulțimilor, deoarece luăm în considerare un element al unei mulțimi într-un habitat natural înainte de apariția teoriei mulțimilor. Fiecare pereche de litere dintre paranteze denotă o valoare separată, constând din numărul indicat de litera " n" și unități de măsură, indicate prin litera " A". Indexurile de lângă litere indică faptul că numerele și unitățile de măsură sunt diferite. Un element al setului poate consta dintr-un număr infinit de valori (atâta timp cât noi și descendenții noștri avem suficientă imaginație). Fiecare bracket este reprezentat geometric printr-un segment separat.În exemplul cu arici de mare, un bracket este un ac.

Cum formează șamanii seturi din diferite elemente? De fapt, după unități de măsură sau după numere. Neînțelegând nimic la matematică, ei iau diferiți arici de mare și îi examinează cu atenție în căutarea acelui ac unic prin care formează un set. Dacă există un astfel de ac, atunci acest element aparține setului; dacă nu există un astfel de ac, acest element nu este din acest set. Șamanii ne spun fabule despre procesele mentale și un singur întreg.

După cum probabil ați ghicit, același element poate aparține unei varietăți de seturi. În continuare, vă voi arăta cum se formează seturile, submulțimile și alte prostii șamaniste. După cum puteți vedea, „multimea nu poate avea două elemente identice”, dar dacă există elemente identice în set, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică a absurdității. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, în care mintea este absentă din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.

Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timpul testelor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „mind-mă, sunt în casă”, sau mai degrabă „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le leagă indisolubil de realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.

Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casierie, plătim salarii. Aici vine un matematician la noi pentru banii lui. Numărăm întreaga sumă pentru el și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm câte o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său de salariu matematic”. Explicăm la matematică că va primi restul bancnotelor doar atunci când va dovedi că mulțimea fără elemente identice nu este egală cu mulțimea cu elemente identice. Aici începe distracția.

În primul rând, logica deputaților va funcționa: „puteți aplica și altora, dar mie nu!” În plus, vor începe asigurările că există numere diferite de bancnote pe bancnotele de aceeași valoare nominală, ceea ce înseamnă că acestea nu pot fi considerate elemente identice. Ei bine, numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici, matematicianul își va aminti frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor pentru fiecare monedă este unică...

Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este granița dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința aici nu este nici măcar aproape.

Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Aria câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cât de corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.

Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.