Din notația a = b q rezultă că b este un divizor al lui a și că a este un multiplu al lui b. Din notația a = b q rezultă că b este un divizor al lui a și că a este un multiplu al lui b Numere multiple - definiție, exemple

Definiție 1. Lasă numărul A 1) există un produs din două numere bȘi q Asa de a=bq. Apoi A se numeste multiplu b.

1) În acest articol, cuvântul număr va însemna un număr întreg.

Poți spune și tu A impartit de b, sau b există un divizor A, sau b desparte A, sau b intră ca factor în A.

Definiția 1 implică următoarele afirmații:

Afirmație1. Dacă A-multiplu b, b-multiplu c, Acea A multiplu c.

Într-adevăr. Deoarece

Unde mȘi n niste numere,

Prin urmare A impartit de c.

Dacă într-o serie de numere, fiecare este divizibil cu următorul, atunci fiecare număr este un multiplu al tuturor numerelor următoare.

Afirmație 2. Dacă numerele AȘi b- multipli c, atunci suma și diferența lor sunt și ele multipli c.

Într-adevăr. Deoarece

a+b=mc+nc=(m+n)c,

a−b=mc−nc=(m−n)c.

Prin urmare a+b impartit de cȘi a−b impartit de c .

Semne de divizibilitate

Obținem o formulă generală pentru determinarea semnului de divizibilitate a numerelor cu un număr natural m, care se numește criteriul de divizibilitate al lui Pascal.

Aflați restul împărțirii la m următoarea secvență. Fie restul împărțirii 10 la m voi r 1, 10· r 1 pe m voi r 2, etc. Atunci poti scrie:

Să demonstrăm că restul împărțirii numărului A pe m egal cu restul împărțirii numărului

După cum știți, dacă sunt două numere, atunci când sunt împărțite la un număr m dați același rest, atunci diferența este divizibilă cu m fără urmă.

Luați în considerare diferența A-A"

(6)

(7)

Fiecare termen din partea dreaptă a lui (5) este divizibil cu m prin urmare și partea stângă a ecuației este divizibilă cu m. Argumentând în mod similar, obținem - partea dreaptă a (6) este împărțită la m, prin urmare, partea stângă a (6) este de asemenea divizibilă cu m, partea dreaptă a lui (7) este divizibilă cu m, prin urmare, partea stângă a (7) este de asemenea divizibilă cu m. Am constatat că partea dreaptă a ecuației (4) este divizibilă cu m. Prin urmare AȘi A" au același rest atunci când sunt împărțite la m. În acest caz, ei spun că AȘi A" echidistant sau comparabil ca modul m.

Astfel, dacă A" impartit de m m) , Acea A de asemenea împărțit în m(are rest zero atunci când este împărțit la m). Am arătat că pentru a determina divizibilitatea A divizibilitatea poate fi determinată număr prim A".

Pe baza expresiei (3), este posibil să se obțină semne de divizibilitate pentru anumite numere.

Semne de divizibilitate a numerelor 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Semn de divizibilitate cu 2.

Urmând procedura (1) pentru m=2, primim:

Toate resturile după împărțirea la 2 sunt zero. Atunci, din ecuația (3) avem

Toate resturile după împărțirea la 3 sunt egale cu 1. Atunci, din ecuația (3) avem

Toate resturile de la împărțirea cu 4, cu excepția primei, sunt egale cu 0. Apoi, din ecuația (3) avem

Toate resturile sunt zero. Atunci, din ecuația (3) avem

Toate resturile sunt egale cu 4. Atunci, din ecuația (3) avem

Prin urmare, numărul este divizibil cu 6 dacă și numai dacă numărul cvadruplu de zeci, adăugat la numărul de unități, este divizibil cu 6. Adică, aruncăm cifra dreaptă din număr, apoi însumăm numărul rezultat cu 4 și adunăm numărul aruncat. Dacă numărul dat este divizibil cu 6, atunci numărul inițial este divizibil cu 6.

Exemplu. 2742 este divizibil cu 6 deoarece 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 este divizibil cu 6.

Un criteriu mai simplu de divizibilitate. Un număr este divizibil cu 6 dacă este divizibil cu 2 și 3 (adică dacă număr par iar dacă suma cifrelor este divizibilă cu 3). Numărul 2742 este divizibil cu 6 deoarece numărul este par și 2+7+4+2=15 este divizibil cu 3.

Semn de divizibilitate cu 7.

Urmând procedura (1) pentru m=7, primim:

Toate reziduurile sunt diferite și se repetă după 7 pași. Atunci, din ecuația (3) avem

Toate resturile sunt zero, cu excepția primelor două. Atunci, din ecuația (3) avem

Toate resturile după împărțirea la 9 sunt egale cu 1. Atunci, din ecuația (3) avem

Toate resturile după împărțirea la 10 sunt 0. Atunci, din ecuația (3) avem

Prin urmare, un număr este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima cifră este divizibilă cu 10 (adică ultima cifră este zero).

Tema „Numere multiple” este studiată în clasa a 5-a școală gimnazială. Scopul său este de a îmbunătăți abilitățile scrise și orale calcule matematice. În această lecție, sunt introduse concepte noi - „numere multiple” și „divizori”, se elaborează tehnica de a găsi divizori și multipli. numar natural, capacitatea de a găsi LCM în diverse moduri.

Acest subiect este foarte important. Cunoștințele despre aceasta pot fi aplicate atunci când rezolvați exemple cu fracții. Pentru asta trebuie să găsești numitor comun prin calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM).

Un multiplu al lui A este un întreg care este divizibil cu A fără rest.

Fiecare număr natural are un număr infinit de multipli ai acestuia. Este considerat a fi cel mai puțin. Un multiplu nu poate fi mai mic decât numărul în sine.

Este necesar să demonstrați că numărul 125 este un multiplu al numărului 5. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți primul număr la al doilea. Dacă 125 este divizibil cu 5 fără rest, atunci răspunsul este da.

Această metodă este aplicabilă pentru numere mici.

La calcularea LCM, există cazuri speciale.

1. Dacă trebuie să găsiți un multiplu comun pentru 2 numere (de exemplu, 80 și 20), unde unul dintre ele (80) este divizibil fără rest cu celălalt (20), atunci acest număr (80) este cel mai mic multiplu dintre aceste două numere.

LCM (80, 20) = 80.

2. Dacă doi nu au un divizor comun, atunci putem spune că LCM lor este produsul acestor două numere.

LCM (6, 7) = 42.

Luați în considerare ultimul exemplu. 6 și 7 în raport cu 42 sunt divizori. Ei împart un multiplu fără rest.

În acest exemplu, 6 și 7 sunt divizori de perechi. Produsul lor este egal cu cel mai multiplu număr (42).

Un număr se numește prim dacă este divizibil numai cu el însuși sau cu 1 (3:1=3; 3:3=1). Restul se numesc compozit.

Într-un alt exemplu, trebuie să determinați dacă 9 este un divizor față de 42.

42:9=4 (restul 6)

Răspuns: 9 nu este un divizor al lui 42 pentru că răspunsul are un rest.

Un divizor diferă de un multiplu prin aceea că divizorul este numărul cu care sunt împărțite numerele naturale, iar multiplul este el însuși divizibil cu acel număr.

cea mai mare divizor comun numere AȘi b, înmulțit cu cel mai mic multiplu al lor, va da produsul numerelor în sine AȘi b.

Și anume: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Multiplii comuni pentru numere mai complexe se găsesc în felul următor.

De exemplu, găsiți LCM pentru 168, 180, 3024.

Descompunem aceste numere în factori primi, le scriem ca produs de puteri:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

„Notația zecimală a unui număr” - Ce parte a unui metru este 1 dm? Rezolvați ecuația Ce parte a segmentului CD este din segmentul AB. Pashieva Lyubov Nikolaevna profesor de matematică de categoria I. Notație zecimală numere fracționare. zecimale. John Naper. Orașul Samarkand din Asia Centrală a fost bogat în secolul al XV-lea centru cultural. Reguli pentru notarea zecimală a numerelor fracționale.

„Sisteme de numere de înregistrare” - Sisteme de numere non-poziționale. Și cum nota o persoană înainte numerele? Dacă este scris numărul 56 sistem zecimal calcul, apoi o scriu astfel: Să ne amintim conceptul de gradul unui număr: Istoria numerelor și a sistemelor de numere. Serii naturale de numere în sistemul numeric pozițional. Notarea extinsă a unui număr. Conceptul de „sistem de numere”.

„Înregistrarea informațiilor pe un disc” - Înregistrarea de pe discuri audio este redată folosind playere optice (laser). Astfel de discuri sunt produse prin ștanțare și au o culoare argintie. unități laser. Există CD-R și DVD-R (R înseamnă recordable) care au culoarea aurie. Principiul de înregistrare optică. Durata programului sonor ajunge la o oră.

„Înregistrarea numerelor în sistemele numerice” - În sistemul numeric alfabetic slav, 27 de litere chirilice au fost folosite ca „numere”. Sistemele de numere non-poziționale mai avansate au fost sistemele alfabetice. sisteme alfabetice. Acest formular reprezintă conținutul oricărui fișier. Sistem zecimal non-pozițional egiptean antic. Sistemul numeric roman.

„Notația zecimală a numerelor fracționale” - Notați numărătorul părții fracționale. „Ce este aritmetica? Notație zecimală pentru numere fracționale. Simon Stevin (1548 - 1620). Ajustați, dacă este necesar, numărul de cifre după virgulă zecimală. L.F. Magnițki (1669-1739). M.V. Abanina. Pune o virgulă care separă partea întreagă de partea fracțională.

„Divizori și multipli” - TEMA: Divizori și multipli. Numerele perfecte. Calculați oral. Alegeți dintre numere: trei mâini, trei din palme, trei semne din cap. Îndoiți o dată - dezfundați, îndoiți de două ori - trageți în sus. Fizkulminutka. Ce divizori ai lui 24 nu sunt printre numerele date? Scrieți în caiete numărul și tema lecției: „Divizori și multipli”.

În acest articol, vom discuta divizori și multipli. Aici oferim definițiile de divizor și multiplu. Aceste definiții ne vor permite să dăm exemple de divizori și multipli ai diferitelor numere întregi. Vom lua în considerare separat divizorii unității și minus unu și vom vorbi, de asemenea, despre divizori și multipli de zero.

Navigare în pagină.

Divizori de numere - Definiție, Exemple

Mai întâi să dăm definiția divizorului număr întreg.

Definiție.

separatorîntregul a se numește un întreg b, prin care a este divizibil uniform.

Numărul natural 1 are un singur divizor pozitiv - acesta este numărul 1. Acest fapt distinge unitatea de alte numere naturale, deoarece numerele naturale altele decât unitatea au cel puțin doi divizori, și anume el însuși și 1. În funcție de absența sau prezența altor divizori decât numărul natural în sine și de unul, se disting numerele prime și compuse.

Unul este cel mai mic divizor pozitiv al unui număr natural a, altul decât 1, iar numărul a însuși este cel mai mare divizor pozitiv (am vorbit despre cele mai mari și mai mici numere din secțiune). Adică, pentru orice număr natural a, oricare dintre divizorii săi pozitivi b satisface condiția .

Multiplii - Definiție, Exemple

Să dăm definiție multiplă.

Definiție.

Multipluîntregul b este un întreg a, care este divizibil egal cu b.

Cu alte cuvinte, un multiplu al unui număr întreg b este un număr întreg a , care poate fi reprezentat sub forma a=b·q , unde q este un număr întreg.

Dacă a este un multiplu al unui întreg b , atunci a se spune că este un multiplu al lui b . În acest caz, se folosește denumirea ab.

Definiția multiplu și divizibil indică în mod clar relația dintre ele. Într-adevăr, prin definiție, dacă a este un multiplu al lui b, atunci b este un divizor al lui a și invers, dacă b este un divizor al lui a, atunci a este un multiplu al lui b.

Să aducem exemple de multipli. De exemplu, întregul −12 este un multiplu al lui 3 deoarece −12=3·(−4) . Alți multipli ai lui 3 sunt numerele întregi 0 , 3 , −3 , 6 , −6 , 9 , −9 și așa mai departe. Dar numărul 7 nu este un multiplu al întregului 3, deoarece 7 nu este divizibil cu 3 fără rest, adică nu există un astfel de număr întreg q care să fie valabil pentru egalitatea 7=3 q.

Din definiția unui multiplu, este clar că zero este un multiplu al oricărui număr întreg b, inclusiv zero. Egalitatea 0=b 0 în acest caz pare foarte convingătoare.

Rețineți că există infiniti multipli ai oricărui număr întreg b , deoarece există infinit de numere întregi și orice număr întreg egal cu produsul b q , unde q este un număr întreg arbitrar, este un multiplu al lui b .

Cel mai mic multiplu pozitiv al unui număr pozitiv dat a este numărul a însuși. Aici merită să acordați atenție faptului că cel mai mic multiplu pozitiv nu trebuie confundat cu cel mai mic multiplu comun (LCM) al mai multor numere.

În plus, putem considera numai multipli naturali de numere întregi numere pozitive. Putem face acest lucru din aceleași motive care au fost menționate în primul paragraf al acestui articol, în timp ce generalitatea prezentării nu va fi încălcată.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. etc.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
• Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
• Mihailovici Sh.Kh. Teoria numerelor.
• Kulikov L.Ya. și altele.Colecție de probleme în algebră și teoria numerelor: Tutorial pentru studenții la fizică și matematică. specialităţile institutelor pedagogice.